ESTUDO DA FUNÇÃO SENO UTILIZANDO O SOFTWARE GEOGEBRA

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UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ 
CURSO DE LICENCIATURA EM MATAMÁTICA 
 
 
 
 
 
MICHEL DE OLIVEIRA CHAGAS 
2016.08.301281 
 
 
 
 
 
ESTUDO DA FUNÇÃO SENO UTILIZANDO O SOFTWARE GEOGEBRA 
INFORMÁTICA EM EDUCAÇÃO DE MATEMÁTICA 
 
 
 
Trabalho de avaliação da disciplina 
“Informática em Educação de 
Matemática” solicitado pelo professor 
Daniel Portinha Alves. 
 
 
 
 
2017 
RIO DE JANEIRO 
 
 
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SUMÁRIO 
 
1.0) INTRODUÇÃO 3 
2.0) DESCRIÇÃO DO ASSUNTO 4 
3.0) PREPARANDO O GEOGEBRA PARA USO – PASSO A PASSO 5 
 3.1) Download e Instalação 5 
 3.2) Ajustes para Utilização do GeoGebra 6 
 3.2.1) Exibir a malha quadriculada 6 
 3.2.2) Mudar a unidade do eixo das abscissas para radianos 7 
 3.3) Digitar as Funções 8 
4.0) ATIVIDADES 10 
 4.1) Atividade 1 10 
 4.1.1) Comparação das funções f, g e h 11 
 4.1.2) Comparação das funções f, i, j e k 12 
 4.1.3) Comparação das funções f, l e m 13 
 4.1.4) Comparação das funções f, n, o e p 14 
 4.2) Atividade 2 15 
5.0) CONCLUSÃO 16 
6.0) REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 17 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1.0) INTRODUÇÃO 
 
Educar é colaborar para que professores e alunos transformem suas vidas em processos 
permanentes de aprendizagem. É Ajudar os alunos na construção de sua identidade, do seu 
caminho pessoal e profissional, no desenvolvimento das habilidades de compreensão, emoção e 
comunicação que lhes permitam encontrar seu espaço dentro da sociedade e tornarem-se 
cidadãos realizados e produtivos. No contexto da matemática, ensinar de forma clara depende 
de ações que caracterizam o “fazer matemática”: experimentar, interpretar, visualizar, induzir, 
conjeturar, abstrair e, enfim, demonstrar. Não se constrói o conhecimento matemático com 
memorização e repetição. 
Usar novas tecnologias como ferramenta no ensino-aprendizagem em matemática 
significa ministrar os conteúdos curriculares usando o computador. Atualmente existe uma 
grande variedade de recursos metodológicos que podem ser aplicados para organizar a 
comunicação, introduzir temas, trabalhar com os alunos e avaliá-los. Com esse objetivo, o uso 
de softwares livres é uma opção que vem ganhando bastante destaque em sala de aula como 
ferramenta no ensino da matemática. 
GeoGebra (Geometria + Álgebra) é um aplicativo de matemática dinâmica que combina 
conceitos de geometria e álgebra em uma única Interface Gráfica. Sua distribuição é livre e é 
escrito em linguagem Java, o que lhe permite estar disponível em várias plataformas digitais. Foi 
criado por Markus Hohenwarter para ser utilizado em ambiente de sala de aula. O projeto foi 
iniciado em 2001, na Universität Salzburg e tem prosseguido em desenvolvimento na Florida 
Atlantic University. 
O programa permite realizar construções geométricas com a utilização de pontos, retas, 
segmentos de reta, polígonos etc, assim como permite inserir funções e alterar todos esses 
objetos dinamicamente, após a construção estar finalizada. Equações e coordenadas também 
podem ser diretamente inseridas. Portanto, o GeoGebra é capaz de lidar com variáveis para 
números, pontos, vetores, derivar e integrar funções, e, ainda, oferecer comandos para se 
encontrar raízes e pontos extremos de uma função. Com isto, o programa reúne as ferramentas 
tradicionais de geometria com outras mais adequadas à álgebra e ao cálculo. Isto tem a vantagem 
didática de representar, ao mesmo tempo e em um único ambiente visual, as características 
geométricas e algébricas de um mesmo objeto. 
As atividades, utilizando os recursos do GeoGebra servirão para visualizar as variações 
produzidas pelos parâmetros que modificam o domínio, conjunto imagem, período e amplitude 
das funções. Os recursos digitais para o aprendizado de matemática contribuem positivamente 
para o aluno, já que os gráficos e desenhos necessitam de grande habilidade e de precisão 
fazendo-se necessários cálculos com aproximações difíceis de representar num plano cartesiano 
o que o GeoGebra permite de forma simples e fácil. A utilização de tais recursos pode contribuir 
consideravelmente para o exercício de aprender a fazer e aprender a pensar. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2.0) DESCRIÇÃO DO ASSUNTO 
 
A proposta da atividade consiste em apresentar uma situação de investigação do 
comportamento da função seno, com apoio do GeoGebra. O software possibilita a construção 
precisa dos gráficos dessa função e isso permite uma visualização dos efeitos gerados pelos 
parâmetros os quais podem alterar o período, a imagem, a amplitude e o domínio da função. O 
GeoGebra possui uma infinidade de recursos, mas optamos por apresentar apenas as 
ferramentas necessárias para a realização da atividade. 
O objetivo deste trabalho é ensinar a utilizar o software livre GeoGebra na construção do 
gráfico da função seno, passo-a-passo. Este trabalho tem como objetivo central apresentar 
alternativas didático-metodológicas utilizando o Software GeoGebra como uma eficaz 
ferramenta de ensino para sala de aula, na perspectiva de proporcionar ao aluno condições para 
que possa apropriar-se do conhecimento matemático. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3.0) PREPARANDO O GEOGEBRA PARA USO – PASSO A PASSO 
Todas as imagens foram obtidas da versão 6-0-387-0 (2017) instalada no computador 
pessoal. É possível que se encontrem versões mais recentes, mas as modificações são pequenas 
e não interferem na realização das tarefas. 
 
3.1) Download e Instalação 
Acesse o site: https://www.geogebra.org/download. Para construção do gráfico da 
função seno, objetivo deste trabalho, faremos o download da “Calculadora Gráfica GeoGebra”. 
Minha plataforma operacional é Windows, portanto vou clicar no ícone do Windows, referente à 
calculadora, e baixar o software. O GeoGebra também está disponível para MAC ou Google OS. 
 
 
A instalação é bem simples. Após o download do arquivo, basta executá-lo. O processo é todo 
automatizado e depois de concluída a instalação, aparecerá um ícone de atalho. Para entrar no 
GeoGebra, basta executar o atalho Graphing Calc. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3.2) Ajustes para Utilização do GeoGebra 
 
 
 
Antes de iniciarmos o uso do GeoGebra para atividades com a Função Seno, realizaremos 
alguns ajustes: 
 
3.2.1) Exibir a malha quadriculada 
 
Exibir a malha quadriculada é importante para facilitar a identificação de valores no 
gráfico. Para isso, basta clicar sobre a região do gráfico com o botão direito do mouse e selecionar 
“Exibir Malha”. Em seguida, selecione “Major and Minor Gridlines”, e aparecerá a malha 
quadriculada no plano cartesiano. 
 
 
 
 
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3.2.2) Mudar a unidade do eixo das abscissas para radianos 
 
Para a análise dos gráficos das funções trigonométricas, o eixo das abscissas deve ser 
graduado em radianos. Para fazer a mudança da unidade do eixo x para radianos, basta clicar com 
o botão direito do mouse sobre a área do gráfico e escolher a opção “Configurações”. 
 
 
 
Selecionar a guia “Eixo X” para definir “Distância” π/2, “Rótulo” x e “Unidade” π. 
 
 
 
 
 
 
 
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Após as configurações, o GeoGebra está pronto para receber as funções seno que serão 
trabalhadas nas atividades. 
 
 
 
 
3.3) Digitar as Funções. 
 
No canto superior esquerdo, há a caixa de entrada das funções. Para visualizar o gráfico, 
basta digitar a função na caixa de entrada, clicando, em seguida, natecla “Enter”. Após esse 
procedimento, é possível visualiza, a função e o seu gráfico na “Janela de Visualização à direita. 
 
 
 
 
 
 
 
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Caso seja necessário, é possível mudar a cor do gráfico. Para isso, basta posicionar o cursor do 
mouse sobre desenho do gráfico, clicar uma vez, depois clicar outra vez no ícone de cores e 
escolher a cor desejada. 
 
 
 
Para visualizar o gráfico da função no intervalo [0, 2π], por exemplo, basta digitar f(x) = sen x (0 ≤ 
x ≤ 2π). Para facilitar a digitação de símbolos, use o teclado virtual da calculadora, na parte 
inferior da tela. 
 
 
 
 
 
 
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4.0) ATIVIDADES 
 
4.1) Atividade 1 
 
Essa atividade destina-se à construção dos gráficos de algumas funções utilizando o 
GeoGebra. Para realizá-la é necessário que as mudanças na configuração do software já estejam 
feitas. 
A atividade consiste na construção de gráficos com variações da função seno e, pela 
observação dos gráficos na tela do computador, atingir os objetivos específicos de: reconhecer a 
natureza cíclica da função; observar o comportamento dos gráficos obtidas por modificações 
feitas na função, como os deslocamentos horizontal e vertical, alterações no período e na 
amplitude, crescimento e decrescimento; e, por fim, fazer conjecturas a partir das observações 
feitas e comparações com os parâmetros modificados nas leis das funções. f(x) = sen(x). 
Na caixa de entrada do GeoGebra, insira as funções listadas a seguir. Num primeiro 
momento, elas aparecerão juntas na tela, mas o software possui um recurso que permite “ligar” 
ou “desligar” a função, o qual será utilizado para analisar as modificações ocorridas no gráfico em 
função dos parâmetros que alteram função original f(x) = sen(x). 
 
 
 
 
De acordo com a orientação do enunciado, cada função deve ser comparada com a 
função original f(x) = sen(x). Os gráficos aparecem todos juntos, de uma forma aparentemente 
caótica, mas, para responder às perguntas, serão habilitadas apenas as funções de interesse. Para 
habilitar e desabilitar uma função, basta clicar na bolinha correspondente a cor da função no 
campo de entrada. É possível detectar que dentre as funções g, h, i, ..., p, ocorrem mudanças no 
conjunto imagem, na amplitude, na amplitude e/ou no período, em relação à função f(x) = sen(x). 
 
 
 
 
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4.1.1) Comparação das funções f, g e h. 
 
 
 
 
 
Considerando a função genérica f(x) = a + b.sen (cx + d), percebemos que as modificações 
foram provocadas pelo parâmetro “a”. Na comparação da função f(x) = sen(x) com a função g(x) 
= 2 + sen(x) é possível observar que o gráfico da função g sofreu um deslocamento vertical para 
cima de 2 unidades em relação ao gráfico da função f. Esse deslocamento horizontal provocou 
também uma mudança no conjunto imagem que passou de [-1, 1] para [1, 3]. Na comparação da 
função f(x) = sen(x) com a função h(x) = -2 + sen(x) é possível observar que o gráfico da função h 
sofreu um deslocamento vertical para baixo de 2 unidades em relação ao gráfico da função f. 
Esse deslocamento horizontal provocou também uma mudança no conjunto imagem que passou 
de [-1, 1] para [-3, -1]. Não foram observadas modificações no domínio nem na amplitude. 
 
Portanto, é possível concluir que para a função genérica f(x) = a + b.sen (cx + d), quando 
o parâmetro “a” é positivo, o gráfico é deslocado verticalmente para cima e quando o parâmetro 
“a” é negativo, esse deslocamento é verticalmente para baixo. Em ambos os casos, verifica-se 
uma modificação no conjunto imagem da função. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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4.1.2) Comparação das funções f, i, j e k. 
 
 
 
 
 
Considerando a função genérica f(x) = a + b.sen (cx + d), percebemos que as modificações 
foram provocadas pelo parâmetro “b”. Na comparação da função f(x) = sen(x) com a função i(x) 
= 2.sen(x) é possível observar que o gráfico da função i sofreu uma dilatação vertical de duas 
unidades para cima e para baixo em relação ao gráfico da função f. Essa modificação foi 
provocada pelo fator 2, o qual alterou a amplitude da função e, consequentemente, o conjunto 
imagem que passou de [-1, 1] para [- 2 ,2]. Na comparação da função f(x) = sen(x) com a função 
j(x) = 4.sen(x) é possível observar que o gráfico da função j sofreu uma dilatação vertical de quatro 
unidades para cima e para baixo em relação ao gráfico da função f. Essa modificação foi 
provocada pelo fator 4, o qual alterou a amplitude da função e, consequentemente, o conjunto 
imagem que passou de [-1, 1] para [- 4, 4]. Na comparação da função f(x) = sen(x) com a função 
k(x) = - 2.sen(x) é possível observar que o gráfico da função k sofreu uma dilatação vertical de 
duas unidades para cima e para baixo em relação ao gráfico da função f, além disso, percebe-se 
uma inversão no gráfico pelo fato de o fator multiplicativo ser negativo. Essa modificação foi 
provocada pelo fator – 2, o qual alterou a amplitude da função e, consequentemente, o conjunto 
imagem que passou de [-1, 1] para [- 2, 2]. Não foram observadas modificações no domínio nem 
no período das funções. É possível concluir que, para a função genérica f(x) = a + b.sen (cx + d), 
o parâmetro “b” altera a amplitude da função. Quando o parâmetro “b” é positivo, o gráfico é 
dilatado para cima e para baixo simultaneamente e, quando o parâmetro “b” é negativo, essa 
dilatação ocorre juntamente com a inversão no gráfico da função, isto é, os valores positivos na 
função f(x) = sen(x) serão negativos na função modificada por esse parâmetro. Em ambos os 
casos não se verifica modificação no domínio e no período da função. 
 
 
 
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4.1.3) Comparação das funções f, l e m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Considerando a função genérica f(x) = a + b.sen (cx + d), percebemos que as modificações 
foram provocadas pelo parâmetro “d”. Na comparação da função f(x) = sen (x) com a função l(x)= 
sen(x + π/2) é possível observar que o gráfico da função l sofreu um deslocamento horizontal para 
a esquerda de π/2 unidades em relação ao gráfico da função f. Na comparação da função f(x) = 
sen (x) com a função m(x)=sen(x - π/2) é possível observar que o gráfico da função m sofreu um 
deslocamento horizontal para a direita de π/2 unidades em relação ao gráfico da função f. Não 
foram observadas modificações no domínio, no conjunto imagem e nem na amplitude. É possível 
concluir que, para a função genérica f(x) = a + b.sen (cx + d), quando o parâmetro “d” é positivo, 
o gráfico é deslocado horizontalmente para a esquerda e, quando o parâmetro “d” é negativo, 
esse deslocamento é horizontalmente para a direita. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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4.1.4) Comparação das funções f, n, o e p. 
 
 
 
 
 
Considerando a função genérica f(x) = a + b.sen (cx + d), percebemos que as modificações 
foram provocadas pelo parâmetro “c”. Na comparação da função f(x) = sen (x) com a função n(x) 
= sen(2x) é possível observar que o gráfico da função n sofreu uma compressão horizontal 
provocada pelo fator 2 que multiplicou o arco x. Isso causou uma mudança do período de 2π para 
π, ou seja, o período da função original foi dividido por 2. Na comparação da função f(x) = sen (x) 
com a função o(x)= sen(4x) é possível observar que o gráfico da função “o” sofreu uma 
compressão horizontal provocada pelo fator 4 que multiplicou o arco x. Isso causou uma mudança 
do período de 2π para π/2, ou seja, o período da função original foi dividido por 4. Na comparação 
da função f(x) = sen (x) com a função p(x) = sen (x/2) é possível observar que o gráfico da função 
p sofreu uma expansão horizontal provocada pelo fator ½ que multiplicou o arco x. Isso causou 
uma mudança do período de 2π para 4π, ou seja, o período da função original foi dividido por ½ 
ou multiplicado por 2. Não foram observadas modificações no domínionem no conjunto imagem 
das funções. É possível concluir que, para a função genérica f(x) = a + b.sen (cx + d), o parâmetro 
“c” altera o período da função dada pelo quociente 2π/c. 
 
 
 
 
 
 
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4.2) Atividade 2 
 
Apresente a lei da função seno, h(x), sabendo que seu gráfico, comparado com o gráfico 
da função f(x) = sen (x), representa uma curva deslocada π/4 unidades para a esquerda, possui 
domínio R, amplitude 3 e período 2π. Construa o gráfico dessa função. 
 
Resolução: 
 
Deslocamento horizontal de π /4 unidades para a esquerda: d = π /4 
Amplitude igual a 3: b = 3 
Portanto a função é h(x) = 3.sen (x + π /4) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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5.0) CONCLUSÃO 
 
Concluímos que as potencialidades da utilização do GeoGebra em sala de aula com 
propostas de atividades práticas são importantíssimas para que o aluno consiga enxergar e 
compreender as variações nos gráficos da função seno genérica f(x) = a + b.sen (cx + d) quando 
a, b, c e d apresentam valores reais maiores que um. O uso do GeoGebra desempenha papel 
fundamental na aprendizagem de Matemática, no estabelecimento de conexões entre temas e 
na articulação entre tópicos de diferentes anos e ciclos de escolaridade, discutindo aspectos 
fundamentais da dinâmica da aula. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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6.0) REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
 
SALAZAR, Denise Mansoldo. Geogebra e o Estudo das Funções Trigonométricas no Ensino Médio. 
2015. 133 f. Dissertação de Mestrado apresentada ao Curso de Mestrado Profissional em 
Educação Matemática Universidade Federal de Juiz de Fora, Juiz de Fora, MG. 
 
Hespanhol, L. L. et al. A Utilização do Software Geogebra para o Ensino da Geometria. São Paulo, 
SP: ENEM, 2016. 
 
Colaço, S. et al. A Utilização do Geogebra em Contexto de Sala de Aula. Santarem, Portugual. 
Escola Superior de Educação de Santarem.