Representação Gráfica de Funções de Variáveis Complexas Através do Domínio de Cores

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FACULDADE ESTADUAL DE FILOSOFIA, CIÊNCIAS E LETRAS – FAFIUV 
COLEGIADO DE MATEMÁTICA 
 
 
 
 
 
 
DIOGO DA SILVA GOMES DE PINHO 
 
 
 
 
 
 
 
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE FUNÇÕES COM VARIÁVEIS COMPLEXAS 
ATRAVÉS DO DOMÍNIO DE CORES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIÃO DA VITÓRIA 
2011 
1 
 
DIOGO DA SILVA GOMES DE PINHO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE FUNÇÕES COM VARIÁVEIS COMPLEXAS 
ATRAVÉS DO DOMÍNIO DE CORES 
 
Trabalho de conclusão de curso, apresentado como 
requisito parcial para obtenção de título de 
Licenciatura Plena em Matemática, pela Faculdade 
Estadual de Filosofia, Ciências e Letras – FAFIUV 
 
Orientador: Prof. Dr. Simão Nicolau Stelmatchuk 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIÃO DA VITÓRIA 
2011 
2 
 
AGRADECIMENTOS 
 
 
 Agradeço acima de tudo a Deus Supremo e ao Meishu-Sama por terem me 
guiado e auxiliado na confecção deste trabalho, sei que se não fosse sua luz, não 
teria conseguido escrever uma página sequer. 
 Agradeço aos colegas da igreja messiânica mundial da cidade de União da 
Vitoria/PR pelas sessões de Johrei que me auxiliaram a centrar meu corpo e mente 
para realizar um trabalho mais produtivo. 
 Obviamente devo mais que agradecer ajuda que minha família me deu, não 
pela presença física, mesmo por que por um longo tempo estivemos ausentes, mas 
pelo carinho, apoio moral e toda a confiança que depositaram em mim em todo esse 
tempo. 
 Aos meus amigos Felipe Wisniewski, Laiane Ribicki, Luany Schaefer e 
Scheila Kielb por toda a ajuda que me deram em todos esses quatro anos, não teria 
palavras para descrever toda a felicidade que já me proporcionaram. 
 Agradeço também a Aline Araujo, Fernanda Marszaukowski, Gabriel Konkol, 
Keiti Fiduniv, Kelin Gibinksi e Leia Cardoso pela confiança que depositaram em mim 
em todo esse tempo, pela amizade, pelas risadas e pela oportunidade de cada dia 
poder estar com vocês. 
 Obviamente não me esquecerei de Debora Rengel, Dion Ross, Henrique 
Souza, Juliane Buaski, Luciane Kazmierczak, Robson Gaebler e Simone Kuchisnki 
por terem contribuído de forma significativa para o meu crescimento pessoal e 
profissional. 
 E por ultimo, mas não menos importante, devo agradecer aos professores do 
departamento de matemática da FAFI que me ajudaram imensamente nessa longa 
caminhada. À Celine Paulek, Celso da Silva, Elizane Appel, Gabriele Granada, 
Gilson Tumeleiro, Israel Bostelmann, João Alberto Valcanover, Maria Ivete Basniak, 
Mariele Musial, Michele Veronez, Tatianne Verboski e principalmente ao meu 
orientador, Simão Stelmatchuk, pela sua paciência e disponibilidade em me ajudar 
sempre que procurei. 
 A todos os meus sinceros agradecimentos. 
 
 
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O Espírito Divino expressou-se sublimemente nesta maravilha da análise, 
neste portento do mundo das ideias, este anfíbio entre o ser e o não ser, 
que chamamos de raiz imaginária da unidade negativa. 
 (Leibniz) 
 
4 
 
RESUMO 
 
Em muitos cursos universitários e de extensão são estudadas funções com variáveis complexas. 
Como é de praxe, ao se estudar funções é visto também sua representação gráfica. Como um 
número complexo pode ser representado por coordenadas em um plano cartesiano, então uma 
função onde os conjuntos de partida e de chegada são os números complexos, é inviável 
representarmos da forma convencional tais funções, pois demandaríamos de quatro dimensões, o 
que foge da compreensão humana da percepção espacial, por isso são utilizados métodos 
alternativos para tal. Com relação ao processo de ensino/aprendizagem alguns desses métodos 
acabam sendo inexequíveis, pois gerar tais gráficos é um trabalho muito minucioso e nem sempre há 
tempo disponível para atentar a tantos detalhes. Neste pensamento que Thaller (2000) propõe uma 
alternativa de representar graficamente as funções com variáveis complexas, o Domínio de Cores. 
Nesta, cada ponto do domínio da função recebe uma cor que obedece a uma ordem, esta que 
chamamos de Mapa de Cores. A partir disso a disposição da imagem da função é gerada Sendo que 
cada ponto da imagem tem uma cor que se relaciona à disposição inicial do domínio. Para gerar tais 
gráficos, já que a mão livre pode ser um trabalho um tanto quanto irrealizável, Edvaldo Silva criou o 
Software F(C): Funções Complexas. O objetivo deste trabalho é mostrar como o domínio de cores 
pode favorecer o estudo dos gráficos de funções com variáveis complexas. 
 
Palavras chaves: Números Complexos, Funções, Domínio de Cores, Software livre. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte do resumo: PINHO, Diogo da Silva Gomes. Representação gráfica de funções com 
variáveis complexas, através do domínio de cores. União da vitória, 2011, 63 f. Trabalho de 
conclusão de curso (Licenciatura Plena em Matemática). Faculdade Estadual de Filosofia, Ciências e 
Letras – FAFIUV, União da Vitória, 2011. 
5 
 
LISTA DE FIGURAS 
 
Figura 1: Representação geométrica por pares no plano complexo ................. 13 
Figura 2: Representação do vetor r, destacando o ângulo .............................. 14 
Figura 3: Diagrama de uma função complexa .......................................................... 19 
Figura 4: Transformação definida pela função f(z) = z² ............................................. 20 
Figura 5: Disposição inicial do Domínio. ................................................................... 21 
Figura 6: Disposição final da imagem ...................................................................... 22 
Figura 7: Mapa do Plano Complexo ......................................................................... 22 
Figura 8: Disposição das cores da função f(z) = -z em relação ao mapa de cores ... 24 
Figura 9: Disposição das cores da função f(z) = z² em relação ao mapa de cores .. 25 
Figura 10: Esquema de leitura dos gráficos ............................................................. 28 
Figura 11: Localização e funcionamento da lupa ..................................................... 29 
Figura 12: Tela da ferramenta para gerar vídeos ..................................................... 30 
Figura 13: Disposição inicial do Domínio ................................................................. 36 
Figura 14: Disposição final da Imagem .................................................................... 36 
Figura 15: Atividade de reconhecimento de pontos de acordo com a cor ................ 37 
Figura 16: f(z) = z ..................................................................................................... 39 
Figura 17: f(z) = -3z .................................................................................................. 40 
Figura 18: f(z) = 0,3z ................................................................................................ 41 
Figura 19: f(z) = -0,5 .................................................................................................. 41 
Figura 20: f(z) = z+2 ................................................................................................. 42 
Figura 21: ƒ(z) = -(z1,5)2-0,8 ....................................................................................... 43 
Figura 22: ƒ(z) = -(z1,5)-2-0,8 ...................................................................................... 44 
Figura 23: ƒ(z) = + ........................................................................................... 45 
Figura 24: ƒ(z) = ...................................................................................... 45 
Figura 25: ƒ 
 
 + 1 ......................................................................................... 46 
Figura 26: ƒ(z) = 
 
– 1 ..............................................................................................46 
Figura 27: ƒ(z) = 
 
 ............................................................................................... 47 
Figura 28: ƒ(z) = 
 
 - 1 ........................................................................................... 47 
Figura 29: ƒ(z) = 
 
 + 1 ......................................................................................... 48 
Figura 30: ƒ(z) = 
 
 +0,5 ................................................................................. 48 
Figura 31: f(z) = sen z ............................................................................................. 49 
6 
 
Figura 32: f(z) = .................................................................................... 50 
Figura 33: ƒ(z) = ....................................................................................... 51 
Figura 34: f(z) = sen³ (z) ............................................................................................ 51 
Figura 35: f(z) = sen-6(z) ............................................................................................ 52 
Figura 36: ƒ(z) =15 sen-5 (z) ................................................................................... 53 
Figura 37: ƒ(z) =2 sen5 (z) ......................................................................................... 53 
Figura 38: f(z) = 3sen²( ) ................................................................................ 54 
Figura 39: f(z) = -2sen-1( )+3 ............................................................................... 54 
Figura 40: Comparação entre f(z) = cos (z) com f(z) = sen (z)) ................................. 55 
Figura 41: Comparação entre f(z) = sen-6 (z) e f(z) = cos-6 (z) ................................. 55 
Figura 42: Comparação entre f(z) = -2 cos-1 z 2,59e f(z) = -2 sen1 z 2,59 ..................... 56 
Figura 43: f(z) = tan (z) ............................................................................................. 56 
Figura 44: f(z)= 0,3 tan z ........................................................................................... 57 
Figura 45: f(z) = tanz2,5 .............................................................................................. 59 
Figura 46: f(z) = -tan5 (z) ............................................................................................ 59 
Figura 47: f(z) = -tan6(z) ............................................................................................ 59 
Figura 48: f(z) = -tan5 (z) -2 ....................................................................................... 60 
 
 
 
LISTA DE TABELAS 
 
Tabela 1: Alguns valores de f(z) = z+2 ...................................................................... 16 
Tabela 2: Alguns valores de f(z) = ............................................................. 17 
Tabela 3: Alguns valores de f(z) = - ............................................................ 17 
Tabela 4: Alguns valores de f(z) = sen z .................................................................. 17 
Tabela 5: Alguns valores de f(z) = cos z .................................................................. 18 
Tabela 6: Alguns valores de f(z) = tan z ................................................................... 18 
Tabela 7: Alguns valores de f(z) = -z ........................................................................ 23 
Tabela 8: Alguns valores de f(z) = z² ....................................................................... 24 
 
 
 
 
 
7 
 
SUMÁRIO 
 
1 INTRODUÇÃO ......................................................................................................... 9 
2 OS NÚMEROS COMPLEXOS ............................................................................... 11 
2.1 HISTÓRIA DOS NÚMEROS COMPLEXOS ..................................................... 11 
2.2 O CONCEITO DE NÚMERO COMPLEXO ...................................................... 12 
2.3 O NÚMERO COMPLEXO ................................................................................ 12 
2.4 COMPLEXO NO PLANO DE ARGAND-GAUSS ............................................. 13 
2.5 O COMPLEXO NA FORMA POLAR ................................................................ 13 
2.6 OPERAÇÕES COM OS NÚMEROS COMPLEXOS ........................................ 14 
2.6.1 Adição .................................................................................................... 14 
2.6.2 Subtração .............................................................................................. 15 
2.6.3 Multiplicação .......................................................................................... 15 
2.6.4 Divisão ................................................................................................... 15 
2.7 FUNÇÕES ELEMENTARES ............................................................................ 16 
2.7.1 Função Polinomial ................................................................................. 16 
2.7.2 Função Exponencial .............................................................................. 16 
2.7.3 Funções Trigonométricas ...................................................................... 17 
2.7.3.1 Função Seno ............................................................................ 17 
2.7.3.2 Função Cosseno ...................................................................... 17 
2.7.3.3 Função Tangente ..................................................................... 18 
3 O DOMÍNIO DE CORES ........................................................................................ 19 
3.1 FUNÇÕES COM VARIÁVEIS COMPLEXAS ................................................... 19 
3.2 DOMÍNIO DE CORES ...................................................................................... 21 
4 O SOFTWARE F(C): FUNÇÕES COMPLEXAS ................................................... 26 
4.1 A IDEALIZAÇÃO DO SOFTWARE .................................................................. 26 
4.2 O DESENVOLVIMENTO DO PROGRAMA ..................................................... 27 
4.2.1 Desenvolvimento ....................................................................................... 27 
4.2.2 Testes ........................................................................................................ 28 
4.2.3 Correções .................................................................................................. 28 
4.2.4 Versão final ................................................................................................ 30 
4.2.5 Distribuição ................................................................................................ 31 
 
8 
 
5 PROPOSTA DE ENSINO....................................................................................... 32 
5.1 INTRODUÇÃO ................................................................................................. 32 
5.2 PROBLEMA ..................................................................................................... 32 
5.3 JUSTIFICATIVA ............................................................................................... 32 
5.4 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ....................................................................... 33 
5.5 OBJETIVO ....................................................................................................... 34 
5.5.1 Objetivo Geral ........................................................................................ 35 
5.5.2 Objetivos Específicos ............................................................................. 35 
5.6 PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS ........................................................ 35 
5.6.1 Funções Elementares ............................................................................ 39 
5.6.1.2 Polinomial .................................................................................39 
5.6.1.2 Exponencial .............................................................................. 44 
5.6.1.3 Trigonométricas ........................................................................ 49 
5.6.1.3.1 Seno ........................................................................... 49 
5.6.1.3.2 Cosseno ...................................................................... 55 
5.6.1.3.3 Tangente ..................................................................... 57 
6 CONCLUSÃO ........................................................................................................ 61 
REFERÊNCIAS ......................................................................................................... 62 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 
 
1 INTRODUÇÃO 
 
 Cabe aos estudantes de matemática, não só aos graduandos, ou pós - 
graduandos, mas a qualquer indivíduo que se ponha a estudar tal disciplina, 
questionar-se quanto à procedência dos objetos estudados. Como Vygotsky (1989) 
diz, o papel do aluno é o de sujeito atuante na construção do conhecimento de modo 
que possa colocar-se em contato com a herança histórica do saber humano. Espera-
se que aquele que realmente se dedica a estudar alguma coisa vá a fundo dos 
conceitos propostos. 
Apesar de pouca experiência na área da licenciatura, percebo que a falta de 
interesse no aprofundamento do conhecimento acerca do objeto de estudo, ou 
mesmo a falta de veemência quando se analisa como os conteúdos matemáticos se 
relacionam, atrapalham o desenvolvimento do pensamento crítico-matemático do 
estudante. Vejo como uma boa iniciativa para mudar esta situação a inclusão de 
algumas perguntas ao conhecermos ou explorarmos um conceito, e as perguntas 
são “por quê?”, “como?”, “sempre?”, entre outras. 
 Este trabalho é fruto de um desses momentos de indagação ao analisar como 
conteúdos matemáticos que até então, pelo menos por mim, eram vistos de forma 
isolada, se relacionam, e tais conteúdos são: funções, geralmente estudadas no 
primeiro ano do Ensino Médio do ensino regular, e os números complexos, que 
apesar de figurar nos Parâmetros Curriculares Nacionais como conteúdo 
estruturante, muitas vezes é deixado de lado, mas que pertence ao programa do 
terceiro ano do Ensino Médio. 
 O problema inicial era estudar como são representadas graficamente funções 
com variáveis complexas. Ao avançar no estudo descobri que essa representação 
gráfica existe, mas só é trabalhada em determinadas áreas da matemática a nível 
técnico e universitário, mais específico em cursos de bacharelado. Conhecendo 
essas representações, percebi certa dificuldade para analisar um gráfico da uma 
função neste estilo. Então meu problema principal se modificou, passando a ser 
como facilitar a leitura, e até mesmo a confecção de gráficos de funções com 
variáveis complexas. 
 Durante a pesquisa conheci o “Domínio das Cores”, um método de graficar 
tais funções. Não é um artifício exatamente novo, porém ele foi pouco explorado até 
então, creio que pela falta de recursos disponíveis e acessíveis para o estudo. 
10 
 
Ao longo deste trabalho apresento este conceito de representação gráfica que 
de certa maneira facilita a visualização de gráficos do plano complexo ℂ². Além 
disso, discuto sobre o software “F(C): Funções Complexas” que é a principal base 
tecnológica que utilizarei para realizar o estudo acerca do Domínio de Cores. E por 
fim, apresento uma proposta de ensino que visa introduzir o conceito Domínio de 
Cores e a análise de gráficos de algumas funções de variáveis complexas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11 
 
2 OS NÚMEROS COMPLEXOS 
 
2.1 HISTÓRIA DOS COMPLEXOS 
 
Como Boyer (1996) diz, os números complexos ilustram bem como um 
conceito matemático pode surgir e demorar a ter aceitação geral da sociedade dos 
matemáticos. O conceito de número complexo enfrentou muita resistência por parte 
de vários pesquisadores e estudantes no campo da matemática. 
Este conjunto numérico começou a aparecer sistematicamente com os 
algebristas italianos no século XVI, porém os números complexos já foram 
detectados na historia da matemática por volta de 2.000 a.C em Alexandria por 
Diofanto (Nahin, 1998). Quando este conjunto surgiu não tinha sido bem definido 
nem o conceito de número negativo nem o de número irracional. Muito 
provavelmente ai reside a maior dificuldade em aceitar a existência de um número 
complexo, pois ele se trata de uma aplicação da multiplicação de números cujo 
quadrado seja um número negativo, e este ultimo ainda não estava bem definido. 
Um fato que revela a demora para aceitar o número complexo é que até o século 
XIX quando Gauss já aceitava a existência de uma interpretação geométrica para os 
números complexos, ainda era discutido se os números negativos existiam ou não. 
Durante todo esse processo de reconhecimento muitos matemáticos 
desenvolveram e discutiram formas de interpretar esse número complexo. Cardano 
(1501 - 1576) em seu livro Ars Magma (1545), entre outras coisas fala sobre como 
resolver uma equação do terceiro grau. 
Um famoso problema dele era de como dividir 10 em duas partes cujo produto 
é 40. Após alguns estudos percebeu que resolver este problema era o mesmo que 
resolver a equação do segundo grau x²-10x+40 = 0. Ele descobriu então que estes 
dois números são: 5+ e 5- . 
Mais a frente muitos matemáticos, mesmo com receio, utilizavam os números 
complexos, e tentavam fazer analogia aos números reais. Com a ajuda de Bombelli, 
René Descartes, D’Alembert e outros, os números complexos tomaram forma e 
foram descobertas várias aplicações, quase todas no campo da elétrica e mecânica 
de fluídos. 
 
 
12 
 
2.2 O CONCEITO DE NÚMERO COMPLEXO 
 
Nos livros didáticos de Ensino Médio atualmente apresentam o conceito de 
número complexo ligado a soluções de equações do segundo grau em que o 
discriminante da equação é menor do que zero, resultando então na raiz quadrada 
de um número negativo, o que pode ser facilmente verificada resolvendo uma 
equação como, por exemplo, a - x²+4x-29 = 0. Da fórmula resolutiva de Báskara 
temos: 
 
 
 
 , 
 
 
 
 
 
 
 
 
 , ou seja, 
 
 
 
 . 
Simplificando, temos 
 Caso substituamos os dois valores de x na equação proposta, obviamente 
veremos que ela esta correta. A ideia até então não era mostrar que é possível ter 
raízes complexas em uma equação e sim tentar entender a relevância de incluir os 
números complexos no currículo escolar do Ensino Médio. E de fato ao analisarmos 
mais criticamente percebemos que é sim de extrema importância que os alunos 
tenham contato com este conjunto numérico, pois ele apresenta uma gama de 
possibilidades de estudo, pois ele engloba vários conceitos matemáticos. 
 
2.3 O NÚMERO COMPLEXO 
 
 Chamamos de número complexo, o número z formado pelo par ordenado 
(a,b), com a e b pertencentes ao conjunto dos números reais, onde z = (a,b) = 
a + bi, na qual determinamos o marco ℂ que simboliza o conjunto dos números 
complexos (Ávila, 2000). 
 Como Conway (1978) define, o número complexo z = a + bi possui duas 
partes, a parte real Re(z) que é determinada pelo número real a e a parte imaginária 
Im(z) que é determinada pelo real b, sendo então a unidade imaginária i acoplada ao 
real b, e i²=-1, responsável por indicar a parte imaginária do número. Com isso há 
três classificações possíveis para os números complexos. 
1º) a ≠ 0 e b ≠ 0, logo z = a + bi, então z é um número imaginário. 
2º) a = 0 e b ≠ 0, logo z = bi, então z é um número imaginário puro. 
3º) a ≠ 0 e b = 0, logo z = a, então z é um real. 
13 
 
 Esta terceira classificação nos evidencia então que todo número real na 
verdade é um número complexo, mas a recíproca não é verdadeira.No caso de a = 0 e b = 0, temos que z = 0, então z é um número real também. 
 
2.4 O COMPLEXO NO PLANO DE ARGAND-GAUSS 
 
Dado um plano e duas retas r e s perpendiculares entre si, as chamaremos 
de eixos e as graduaremos. Silva (2005), diz que de maneira análoga que devemos 
associar cada número real a um ponto da reta real para obtermos a representação 
gráfica dos números reais, podemos também associar um número complexo z a um 
ponto em um plano ortogonal, e assim como na representação gráfica de funções no 
plano dos reais, é possível representar um conjunto de números complexos no plano 
de Argand-Gauss. Logo, cada ponto do plano representa um único número de ℂ. 
Um número complexo z dado no plano dos complexos é constituído tal que 
ele possui duas coordenadas, a e b, correspondentes aos eixos real (x) e imaginário 
(y) respectivamente. 
 
 
Figura 1: Representação geométrica de z por pares no plano complexo. 
Fonte: O Autor (2011) 
 
 
2.5 O COMPLEXO NA FORMA POLAR 
 
Consideremos o complexo z = a+bi, representado pela letra P, no plano de 
Argand-Gauss conforme mostra a figura: 
14 
 
 
Figura 2, Representação do vetor r, destacando o ângulo . 
Fonte: O Autor (2011) 
 
Baseando-nos no módulo e argumento de um vetor, e nos referenciando na 
figura 2 acima, temos então que sen = 
 
 
, logo b = r sen e cos = 
 
 
, e a = r cos . 
Então, podemos reescrever as coordenadas do complexo de forma que z = r cos + 
(r sen )i. Simplificando temos z = r (cos + i sen ), e esta é denominada forma 
polar de um número complexo, ou forma trigonométrica. 
 
2.6 OPERAÇÕES COM OS NÚMEROS COMPLEXOS. 
 
 Como pode ser visto em Ferreira (2011) o conjunto dos números complexos é 
um corpo ordenado completo, por isso podemos dizer que são válidas as operações 
de adição e multiplicação com os elementos de seus conjuntos. Veremos a seguir 
como elas (e suas opostas) se relacionam com os números. E em seguida 
analisaremos outras operações e aplicações em funções. E para isso adotemos 
z1 = a1+b1i e z2 = a2+b2i com a1, b1, a2, b2 ∊ℝ. 
 
2.6.1 Adição 
 
 Na adição de números complexos somamos as partes reais e as partes 
complexas separadamente. Definimos a soma de complexos como z1 + z2 = 
(a1 + a2) + (b1 + b2)i. Podemos chegar a esse resultado a partir da aplicação de 
algumas propriedades dos números complexos: z1 + z2 = (a1+b1i) + (a2+b2i). 
Utilizando a propriedade distributiva temos a1+ b1i + a2 + b2i. Com a comutativa 
escrevemos então a1 + a2 + b1i + b2i. Utilizando a associativa da adição, (a1 + a2) + 
(b1i + b2i). E novamente com a distributiva concluímos z1 + z2 = (a1 + a2) + (b1 + b2)i. 
 
15 
 
2.6.2 Subtração 
 
 Para a subtração o processo é o mesmo feito para a adição. 
z1 – z2 = (a1+b1i) - (a2+b2i). Tirando dos parênteses e aplicando a distributiva 
da soma temos: a1+ b1i – a2 – b2i. Agrupando os termos semelhantes conseguimos 
a1- a3 + b1i - b3i. Logo definimos z1 – z3 = (a1 - a3) + (b1i – b3i) = (a1 - a3) + (b1 - b3)i. 
 
2.6.3 Multiplicação 
 
 Para a multiplicação dos números complexos utilizaremos a definição i² = -1. 
z1 z2 = (a1+b1i) (a2+b2i). Através de um processo indutivo podemos chegar à 
definição como é apresentada em livros didáticos. Começaremos pela propriedade 
da distribuição da soma pela multiplicação e temos a1a2 + a1b2i + b1ia2 + b1ib2i. Logo 
a1a2 + a1b2i + b1ia2 + b1b2i². Então como i² = -1, temos a1a2 + a1b2i + a2b1i- b1b2i. Pela 
associativa temos a1a2 + (a1b2+a2b1)i - b1b2. Com a comutatividade temos a1a2 - b1b2 
+ (a1b2+a2b1)i. Logo definimos z1 z2 = (a1a2 - b1b2) + (a1b2+a2b1)i. 
 
2.6.4 Divisão 
 
 Para realizarmos a divisão entre complexos tomaremos um complexo z = a 
+ bi, de forma que 
 
 
 = z. Logo z z2 = z1. De onde temos z1 z2 = (aa2 - bb2) + 
(ab2+a2b)i. Então para z1 temos 
 
 
 . Resolvendo o sistema com 
incógnita em a e b, podemos escrever: 
a = 
 
 
 
 e b = 
 
 
 
 . 
Logo a razão determina o complexo 
z = 
 
 
 
 + 
 
 
 
 i. 
 
 
 
 
 
 
16 
 
2.7 FUNÇÕES ELEMENTARES 
 
Para as funções a seguir, consideremos o complexo z = a + bi com a, b ∊ℝ de 
uma função ƒ:ℂ ℂ. Tais fórmulas que seguem podem ser verificadas em Lins Neto 
(2008). 
 
2.7.1 Função Polinomial 
 
 Uma função polinomial com variável complexa tem forma geral 
p(z) = a0 + a1z + a2z
2 + a3z
3 + ... + anz
n com n ∊ℕ. 
A diferença entre a função polinomial com variáveis complexas para a com variáveis 
reais, é unicamente a variante, pois de resto mantém-se igual. 
 Consideremos a função f(z) = z+2, cujo gráfico será analisado no capítulo 5 
deste trabalho. Percebe-se que nesta função para quaisquer valores de z, teremos 
um correspondente diferente em f(z). Ou seja, não há nenhuma restrição para os 
valores do domínio de f(z). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tabela 1: Alguns valores de f(z) = z+2 
Fonte: O Autor (2011) 
 
2.7.2 Função Exponencial 
 
 Determinamos uma função exponencial, aplicada a um número complexo z = 
a+bi, como uma potência de base e expoente um número complexo, por 
definição: 
 = = (cos b + i sen b). 
 Sendo necessário, utilizaremos uma aproximação de 3 casas decimais. 
 Veremos a seguir duas tabelas, uma para a função . E outra para 
 . 
z F(z) = z+2 
-2-3i 0+3i 
-1+2i 1+2i 
0+0i 2+0i 
1-i 3-i 
2+2i 4+2i 
17 
 
z 
0- -0,38+0i 
 – (
 
 
0,62 – 1,648i 
0+0i 1,62+ 0i 
0 + ( 2,034 + 1,414i 
 + (
 
 
0,62 + 0,606i 
Tabela 2, Alguns valores de f(z) = . 
Fonte: O Autor (2011) 
 
 
z 
0- 0,38+0i 
 – (
 
 
 -0,62 + 1,648i 
0+0i -0,38- 0i 
0 + ( -2,034 - 1,414i 
 + (
 
 
-0,62 - 0,606i 
Tabela 3, Alguns valores de f(z) = - . 
Fonte: O Autor (2011) 
 
 
2.7.3 Funções Trigonométricas 
 
 Para operar as funções trigonométricas com variáveis complexas teremos 
como base a definição de exponencial complexa. 
 
2.7.3.1 Função Seno 
 
 A função seno com variável complexa é definida por sen (z) = 
 
 
. 
z sen (z) 
 + 0 -1+0i 
 
 
 - 
 
-0,019 – 2,5175i 
0 + 0i 0+0i 
 
 
 + 
 0,019 – 2,5175i 
 + 0i 0+0i 
Tabela 4, Alguns valores de f(z) = sen z 
Fonte: O Autor (2011) 
 
 
2.7.3.2 Função Cosseno 
 
 A função cosseno com variável complexa é definida por cos (z) = 
 
 
. 
18 
 
z cos (z) 
 + 0 0-0i 
 
 
 - 
 
0,7662 + 0,01547i 
0 + 0i 1+0i 
 
 
 + 
 -0,7662 + 0,01547i 
 + 0i -1+0i 
Tabela 5, Alguns valores de f(z) = cos z 
Fonte: O Autor (2011) 
 
 
2.7.3.3 Função Tangente 
 
 A função tangente com variável complexa é definida por tan (z) = 
 
 
. 
z tan (z) 
 + 0 
 
 
 - 
 
-0,017-1,64i 
0 + 0i 0+0i 
 
 
 + 
 0,017-1,64i 
 + 0i 0+0i 
Tabela 6, Alguns valores de f(z) = tan z 
Fonte: O Autor (2011) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19 
 
3 O DOMÍNIO DE CORES 
 
 Neste capítulo apresentamos um estudo detalhado da representação gráfica 
das funções com variáveis complexas. Veremos como essa representação é feita 
atualmente e em seguida conheceremos um método alternativo para simularmos 
graficamente uma função complexa, o método do domínio de cores. 
 
3.1 FUNÇÕES COM VARIÁVEIS COMPLEXAS 
 
 Fernandez & Bernardes Jr. (2008) diz que como um número complexo pode 
ser representado na forma geométrica através do plano de Argand-Gauss, é 
possível conseguir uma sequência de pontos representados no mesmo plano. Mas 
ao transpormos isso ao conceito de função teremos certa dificuldade. Lógico que 
para funções ƒ ℝ ℝ não temos obstrução, pois um eixo representa o conjunto de 
partida da função e o outro eixo o conjunto de chegada, logo são indispensáveis 
apenas duas dimensões, e comisso, o gráfico da função está no plano ℝ . 
 Podemos então adaptar esse conceito de função real para o conjunto de 
complexos. Dada uma relação ƒ entre dois conjuntos, no caso, dois subconjuntos de 
ℂ , denominamos de Domínio da relação o conjunto de partida e 
Contradomínio da relação como o conjunto de chegada (Ferreira, 2011). Temos 
que através dessa relação ƒ todo elemento de se relacionam uma única vez com 
um elemento de . Logo, existe um z∊ e um único w ∊ tal que ƒ(z) = w. E 
assim, todos os elementos w obtidos formam a imagem ( da relação. 
 
Figura: 3:Diagrama de uma função complexa. 
Fonte: O Autor (2011) 
 
20 
 
Mais a frente poderíamos pensar em funções do tipo ƒ ℝ ℂ ou ƒ ℂ ℝ 
onde necessitaríamos de três dimensões. Porém ao tratarmos de funções do tipo 
ƒ ℂ ℂ percebemos que não seria tão simples fazer a representação gráfica, já que 
careceríamos de quatro dimensões, duas para o conjunto de partida e duas para o 
conjunto de chegada. Também temos que devido às limitações da compreensão 
humana quanto ao demasiado número de dimensões em um mesmo espaço, não é 
coerente conceber tal representação. Logo, são feitas adaptações para que seja 
possível prever tal situação. 
Segundo Silva (2005) existem várias maneiras de representar uma função 
com variáveis complexas, tais como criar imagens às curvas no domínio da função, 
gráficos separados para as partes reais, imaginárias, modulo e argumento, e 
também conjuntos de níveis (também em separado das partes reais e imaginárias). 
Atualmente, o mais praticado para representar funções do tipo ƒ ℂ ℂ é 
através da representação das imagens de curvas que preenchem o plano complexo 
com base nas transformações lineares. Tomando z = (x+iy) ∊ ℂ e x, y ∊ ℝ, escrever 
f(x+iy) é equipotente a escrever f(x+iy) = u(x,y) + iv(x,y), com u(x,y) e v(x,y) ∊ ℝ, 
sendo u a parte real e v a parte imaginária da função f (u,v). Nesta representação 
devemos justapor dois planos, um que representa o conjunto de partida com o 
elemento z e outro para o conjunto de chegada, com o elemento w, representando a 
relação temos algumas curvas e retas. 
 
Figura 4:Transformação definida pela função f(z) = z² 
Fonte: http://www.math.ist.utl.pt/~lmagal/ACCap2.pdf 
Acessado em: 18 de Junho de 2011 
 
 
 Nesta representação gráfica, a função f(z) = z² é definida no semiplano 
superior complexo S = {(x,y) ∊ ℂ : y > 0}. 
http://www.math.ist.utl.pt/~lmagal/ACCap2.pdf
21 
 
O método de representação de curvas nos planos pode apresentar algumas 
dificuldades para o leitor, já que em uma foto pode ser difícil capturar todas as 
relações que ocorrem em um mesmo espaço. Por isto, neste trabalho analisaremos 
uma maneira alternativa de representar o gráfico das funções ƒ ℂ ℂ , é o 
denominado Domínio das cores. 
 
3.2 DOMÍNIO DE CORES 
 
 Como vimos graficar uma função ℝ ℝ é perfeitamente viável, pois este 
tipo de função tem sua representação no plano ℝ . O conceito utilizado pelo Domínio 
das Cores tenta buscar auxílio na facilidade da forma gráfica de funções reais pra 
atingirmos nosso objetivo de maneira mais simples. 
 Dada uma distribuição de cores predefinida para o plano complexo, faremos 
uma relação dessa coloração com o novo ponto obtido através da correspondência 
dada na relação. 
Para compreender melhor esse método, trabalharemos com um exemplo bem 
simples. Determinaremos cores e pontos em um plano, e depois com base na 
relação dada, obteremos o gráfico que descreverá o comportamento da função. Para 
este exemplo, tomaremos as cores: vermelha, azul e verde para os pontos (2,0); 
(0,0) e (0,-3) respectivamente, e para todo o resto branco, exceto para os eixos, que 
utilizaremos a cor preta, estas duas ultimas que não irão interferir em nada no 
exemplo. E a função f(z) = z² +(1+i). 
 
 
Figura 5:Disposição inicial do Domínio. 
Fonte: O Autor (2011) 
22 
 
Aplicando os pontos dados na função, temos então: 
 O ponto (2,0) que inicialmente era vermelho, aplicado a função, temos f(2+0i) 
= (2+0i)² +1+ i = 4 + 2 2 0i + 0i² + 1 +i, logo f(2+0i) = 5+i, portanto o ponto (5,1) será 
vermelho na representação da imagem. 
 Para o ponto (0,0) que inicialmente era azul, aplicado a função, temos f(0+0i) 
= (0+0i)² +1+ i = 0 + 2 0 0i + 0i² + 1 +i, logo f(0+0i) = 1+i, portanto o ponto (1,1) será 
azul na representação da imagem. 
 Para o ponto (0,-3) que inicialmente era verde, aplicado a função, temos f(0-
3i) = (0-3i)² +1+ i = 0² - 2 0 3i + 3i² + 1 +i, logo f(0-3i) = 0 – 0 – 9 +1 + i = -8+i. 
Portanto o ponto (-8,1) será verde na representação da imagem. 
 
 
Figura 6: Disposição final da imagem. 
Fonte: O Autor (2011) 
 
 
 Logo, para entender o que a função descreveu, só precisamos olhar a cor que 
os pontos descreviam antes, e quais eles passaram a descrever. 
Iremos agora aprofundar o estudo a cerca do domínio de cores. Chamaremos 
de Mapa do Plano Complexo uma distribuição de cores onde cada ponto de um 
plano cartesiano possui uma cor. A idéia é bem próxima ao que vimos nos exemplo, 
porém o plano vai ser totalmente coberto. 
 
 
Figura 7: Mapa do Plano Complexo 
Fonte: O Autor (2011) 
23 
 
 Outra característica importante a se notar é que a mudança de cor no plano 
tem dois sentidos, a angular e a linear. Tais cores como estão dispostas são de 
criação do Thaller (2000), e são as que perduram até o momento. 
 Expliquemos isso de maneira mais detalhada. Como referência temos a 
origem do plano. O centro (0,0) possui cor preta, e ao redor os pontos vão 
recebendo outras cores. Uma breve análise nos mostra que no eixo horizontal, no 
sentido positivo, a cor que representa é a vermelha, e conforme vai mudando o 
ângulo a cor vai se alterando, passando pelo laranja, amarelo, verde, anil, azul e 
lilás. Outra diferença perceptível é quanto ao gradiente da cor. Conforme o ponto, 
em uma mesma linha, se afasta do centro, a cor vai perdendo o seu tônus. Por 
exemplo, no ponto (0,1) é possível perceber a cor verde em uma tonalidade, já no 
ponto (0,3) a cor também é verde, porém com uma tonalidade bem menor, e o 
mesmo acontece com todas as cores. Logo, deduzimos que o valor 0 é sempre 
representado pelo preto e que quando o número tende ao infinito, a cor tende a ser 
branca. 
 Exemplificaremos a representação da função f(z) = -z utilizando os 
argumentos vistos acima. 
 Usaremos a tabela seguinte para nos auxiliar a calcular a imagem dos pontos. 
 
z f(z) = -z 
0+0i 0–0i 
1+2i -1-2i 
1+0i 2-2i 
-1+0i -2+2i 
-1-i 1+i 
-2+i 2-i 
Tabela 7: Alguns valores de f(z) = -z 
Fonte: O Autor (2011) 
 
 Para gerar o gráfico da função, fazemos a associação dos números 
complexos do mapa de cores com a cor correspondente, ou seja, cada número z 
possui um correspondente w no plano complexo. 
 As duas figuras a seguir serão geradas a partir do software F(C): Funções 
Complexas, o qual o funcionamento e finalidade serão detalhados no capítulo 
seguinte. 
24 
 
 
Figura 8:Disposição das cores da função f(z) = -z em relação ao mapa de cores. 
Fonte: O Autor (2011) 
 
 
 Uma das justificativas que evidencia a eficácia da facilidade na representação 
gráfica através do domínio de cores é que praticamente substituímos o plano ℂ que 
seria o do conjunto de chegada, por cores. Sabemos que o elemento cor não é um 
objeto matemático, mas neste caso ele nos ajuda, pois faz a relação que precisamos 
e não ocupa espaço algum além do necessário, já que cor não tem dimensão. 
Veremos agora outro exemplo a fim de melhorar o entendimento. Tomemos a 
função f(z) = z². 
 
z f(z) = z² 
0+0i 0+0i 
1+0i 1+0i 
1-i -2i 
0-2i -4 
-1-i 2i 
-0,5+i 0,75-2i 
Tabela 8, Alguns valores de f(z) = z² 
Fonte: O Autor (2011) 
 
 
25 
 
 
Figura 9:Disposição das cores da função f(z) = z² em relação ao mapa de cores. 
Fonte: O Autor (2011) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
26 
 
4 O SOFTWAREF(C): FUNÇÕES COMPLEXAS 
 
Até o momento, vimos como o domínio de cores pode facilitar a maneira de 
representar uma função com variáveis complexas. Mas fica claro que desenhar este 
gráfico não é uma tarefa que pode ser feita a mão em grande escala. Perderíamos 
muito tempo e nem sempre teríamos um resultado suficientemente bom. Para tal, 
utilizaremos um software, o F(C): Funções Complexas. Não nos ateremos a muitos 
detalhes, como os trabalhos técnicos de programações, analisaremos apenas o seu 
funcionamento e algumas justificativas. 
 
4.1A IDEALIZAÇÃO DO SOFTWARE 
 
 O software F(C): Funções Complexas foi desenvolvido pelo pós graduando 
Edvaldo Lima da Silva e seu orientador Prof. Dr. Aguinaldo Robinson de Souza 
como trabalho de conclusão de seu mestrado da Faculdade de Ciências, Programa 
de Pós-Graduação em Educação para a Ciência, com o título “Construção e 
validação de um objeto tecnológico de aprendizagem em matemática para funções 
de uma variável complexa” no ano de 2005. 
Segundo o próprio autor em sua dissertação, o que o inspirou para 
desenvolver o software era a necessidade de ter um objeto matemático mais prático, 
que auxiliasse a representação gráfica das funções com variáveis complexas. Mais 
prático, por que já existia, até então, outro software que fazia tal cátedra, o 
Mathematica® . Porém, este software realiza várias outras funcionalidades, o que 
por um lado era bom, pois faz os cálculos e permite manipulações algébricas, 
aritméticas e gráficas utilizando o mesmo princípio, o do domínio de cores. Porém 
devido ao elevado número de funcionalidades o Mathematica® se torna inviável em 
uma sala de aula, pois demanda de um conhecimento muito amplo de seu uso. 
Segundo o próprio autor do software: 
“Em segundo plano, vislumbramos a facilidade de desenvolvimento de 
software frente a ambientes de desenvolvimento orientado (Cataldiet al, 
2000; Marshall, 2004a e 2004b), a expansão do conceito de software livre e 
suas principais vantagens: desenvolvimento coletivo e livre distribuição. 
Assim, iniciamos o desenvolvimento do software F(C): Funções Complexas 
que propõe como característica a fácil utilização, o tratamento exclusivo de 
representação de funções, o auxilio a compreensão de conceitos em 
Análise Complexa e o acesso fácil e livre.” (Silva, dissertação mestrado 
2005). 
 
27 
 
 O referido software é de fácil utilização, pois suas funcionalidades são bem 
diretas. É um software gratuito que pode ser baixado através do site 
http://wwwp.fc.unesp.br/~edvaldo. Para a instalação é necessária uma senha que o 
próprio autor disponibiliza para os interessados que requisitarem através de um 
contato via e-mail. 
 
4. 2 O DESENVOLVIMENTO DO PROGRAMA 
 
Ainda com base no responsável pelo programa, o processo de 
desenvolvimento do software passou por algumas etapas (desenvolvimento, testes, 
sugestões e correções, versão final e distribuição) as quais apresentamos 
brevemente. 
 
4.2.1 Desenvolvimento 
 
Para o seu desenvolvimento, os criadores analisaram basicamente as 
condições mínimas e necessárias para que o programa pudesse funcionar em 
qualquer computador e indiferente ao sistema operacional usado, já que para cada, 
há uma versão diferente. 
Para a geração e exibição dos gráficos no software, foram utilizadas 
combinações de RGB (Red, Green e Blue – componentes vermelho, verde e azul) 
num intervalo de 256 variações para cada componente, e para isso, há um requisito 
técnico de placas de vídeo e monitores com capacidade de exibição de 
aproximadamente 16 milhões variações de cores (16 gigabits). O que é comum na 
grande maioria dos computadores disponíveis em mercado atualmente. 
Em relação a entrada dos dados, o idealizador do software diz que para 
otimizar o funcionamento, ele utiliza da proximidade das operações com os números 
reais para realizar as operações com os complexos, ou seja, dado a entrada 
numérica o programa ao invés de jogar diretamente nas fórmulas relativas aos 
números complexos, ele realiza as operações nos números reais e só no final 
transforma o resultado em um complexo. 
 
 
 
http://wwwp.fc.unesp.br/~edvaldo
28 
 
4.2.2 Testes 
 
 Após a criação de sua base, o programa foi posto em teste. De maneira que 
foi levado a uma turma do curso de Matemática da Faculdade de Ciências da 
UNESP Bauru, a fim de que os alunos contribuíssem com sugestões para 
ferramentas novas, interfaces atrativas, e até mesmo aplicar correções. Além disso, 
esta fase de experimentação foi importante para que houvesse as discussões que 
iriam até a importância acerca da utilização de softwares na Educação. 
Os resultados das experimentações estão disponíveis no trabalho de Silva 
(2005). 
 
4.2.3 Correções 
 
 A primeira correção feita foi a inclusão do mapa de cores do plano complexo, 
o qual já foi apresentado no capítulo 2, figura 7, ao gráfico final da função. Em 
seguida para ajudar na leitura, foi adicionado um localizador que agiliza a 
localização do valor da imagem no ponto desejado, para tal, basta dar dois cliques 
onde se pretende descobrir o valor, e em seguida observar a posição do cursor no 
mapa de cores. 
A leitura dos gráficos pode ser feita de acordo com o esquema a seguir: 
 
 
Figura 10: Esquema de leitura dos gráficos. 
Fonte: O Autor (2011) 
 
As outras alterações feitas foram a lupa, a inclusão de um painel de 
transformações lineares e a opção vídeo. 
 A lupa é uma ferramenta opcional que serve para aproximarmos os pixels de 
algum ponto determinado pela localização do mouse. E essa função é de grande 
importância, pois em determinadas situações onde há alguma dúvida quanto ao 
valor, ao invés de ter que gerar outro gráfico mais próximo ao ponto desejado, basta 
utilizar essa ferramenta de visualização. 
29 
 
 Segundo o autor do software, o tópico de transformações lineares é 
importante, pois, além deste ser um conteúdo importante de estudo, ele pode gerar 
cálculos instantâneos e visualizar algumas restrições no domínio. Porém esta função 
não é tão simples de trabalhar. Até o momento da escrita deste capítulo, não 
conseguimos compreender como ele funciona e quais são os comandos necessários 
para tais interpretações possíveis. 
 
 
Figura 11: Localização e funcionamento da lupa 
Fonte: O Autor (2011) 
 
 A outra ferramenta disponível é a geração de vídeos. Juntar vários gráficos 
em um vídeo também se mostrou bastante pertinente. É possível selecionar o tipo 
de função, o coeficiente que irá variar e o intervalo de variação. Então uma 
sequência de imagens é criada e salva de maneira que é formado um vídeo em 
formato AVI, podendo ser salvo em outros formatos. 
 
30 
 
 
Figura 12: tela da ferramenta para gerar vídeos. 
Fonte: O Autor (2011) 
 
4.2.4 Versão final 
 
 De acordo com Silva (2005), a versão final do software conta com: 
a) 12 tipos diferentes de funções, personalizáveis com até 4 coeficientes 
decimais em cada uma delas; 
b) Geração de Animações em Vídeo com todos os tipos de funções 
disponíveis,com escolha de coeficientes a variar, número de quadros por segundos 
(FPS) e incremento; 
c) Exibição opcional de Eixos, Grade e Escala no gráfico e no Mapa do Plano 
Complexos; 
d) Customização do tamanho dos gráficos e do Mapa do Plano Complexo, 
bem como as escalas utilizadas; 
e) Alteração entre tipos de coordenadas utilizadas (Polar ou Retangular); 
f) Janela e Ferramentas de Transformações Lineares; 
g) 3 tipos diferentes de mapas de cores; 
h) Ajuda documentada; 
i) Salvamento de gráfico para arquivo; 
j) Arquivo de instalação com tamanho menor que 1 MB. 
 
 
 
 
31 
 
4.2.5 Distribuição 
 
 Como já foi dito anteriormente, este é um software gratuito, e seu instalador 
se encontra no site http://wwwp.fc.unesp.br/~edvaldo, porém requer uma senha que 
o desenvolvedor do software disponibiliza quando requisitada por e-mail.http://wwwp.fc.unesp.br/~edvaldo
32 
 
5 PROPOSTA DE ENSINO 
5.1 INTRODUÇÃO 
Em várias universidades no curso de Matemática ou áreas afins da 
engenharia é estudado a disciplina de variáveis complexas, que envolve conteúdos 
referentes aos números complexos. Estes são (ou deveriam ser) estudados pela 
primeira vez no terceiro ano do Ensino Médio. 
O curso de variáveis complexas envolve vários conteúdos aprofundados 
neste conjunto numérico. Baseado no conteúdo programático e na ementa da 
Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG) do curso de Matemática que está 
disponível em: <http://www.mat.ufmg.br/disciplinas/ementas/MAT118.html> é 
possível perceber que para o curso, é muito importante que os alunos compreendam 
bem o conceito de função com variáveis complexas, como é de praxe ao se estudar 
funções, é importante e essencial sabermos representar graficamente para 
analisarmos o comportamento das mesmas. 
 
5.2 PROBLEMA 
 
 Como já vimos anteriormente, não é possível graficar funções no espaço ℂ ², 
pela incapacidade de concebermos a demasiada quantidade de dimensões 
necessárias. Logo no processo de ensino/aprendizagem precisamos de alguns 
fatores simplificadores e métodos alternativos para o conteúdo de funções com 
variáveis complexas eles são empregados para auxiliar a desenhar estes gráficos. 
 
5.3 JUSTIFICATIVA 
 
 No capítulo 2 deste trabalho apresentamos e falamos acerca de como o 
domínio de cores pode auxiliar um estudante e/ou o professor no conteúdo de 
funções com variáveis complexas. É obvio que este tipo de função é mais intricado 
do que funções com variáveis reais, pois envolvem números com o conceito mais 
amplo, tomamos então, um conjunto numérico maior. 
33 
 
Para atingir o objetivo principal de um estudante, que é, ou deveria ser, obter 
o conhecimento pleno é necessário que ele entenda bem a ideia. Para o professor 
nem sempre é possível simplificar um conteúdo, de forma que todos compreendam 
perfeitamente a mensagem repassada, pois depende muito também do objeto a ser 
estudado, mas cabe ao professor conduzir o conteúdo de forma clara e acessível a 
todos. Transpondo este papel do professor à situação que analisamos, é que vamos 
aplicar o Domínio de Cores. 
 
5.4 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 
 
Como já visto anteriormente, o domínio de cores auxilia a representação 
gráfica de funções com variáveis complexas pela facilidade em representarmos as 
funções no plano ℝ . 
Para o estudo de funções de uma variável complexa, baseamo-nos em 
estudos já realizados com representações gráficas de funções de uma variável 
complexa e a utilização de cores como atributos relevantes ao gráfico da função. 
Needham (2000) apud Silva (2005) e Thaller (2000) são dois autores que 
embasam, em parte e indiretamente, a necessidade de trabalharmos de maneira 
mais próxima àquela que nos facilita a compreensão e utilizações de funções de 
variáveis complexas, já que essas têm utilidade direta em vários campos de diversas 
áreas. Porém, como estas situações não são de utilização habitual, então não são 
sempre vistas, e quando são, descrevem situações que por si só, já são mais 
intricadas, e por isso há essa necessidade de facilitar a linguagem. 
Needham (2000) (apud Silva (2005)) examina a atual linguagem lógica, que 
tem sido puramente simbólica, na argumentação de situações acessíveis para 
explicar as coerências da Análise Complexas elementar. 
Entre vários fatores, podemos destacar que o interesse pela própria 
geometria auxilia, pois mais que apenas simbólica, ela traz recursos visuais e 
argumentativos que embasam o estudo de objetos matemáticos. E nessa parte a 
utilização de computadores contribui de forma expressiva, já que em vários casos 
programas como, por exemplo, o Geogebra pode desenhar mais rapidamente e de 
maneira precisa tais objetos, facilitando o raciocínio geométrico. 
Um dos campos onde usamos a análise complexa é a Mecânica Quântica. 
Thaller (2000) enfatiza que ela governa o comportamento da natureza num nível 
34 
 
fundamental e que o computador, mais uma vez é essencial no processo de 
aprofundamento no assunto, pois ele permite a visualização de fenômenos 
estranhos muito longe do nosso alcance cotidiano. Uma maneira de tornar esses 
conteúdos mais compreensíveis é através de animações geradas por computadores. 
Esse é um dos pontos-chaves do autor, pois ele vê que tais fenômenos podem ser 
descritos em termos de funções de uma variável complexa. 
Ambos os autores se preocupam também com questões relacionadas à 
Análise Complexa, que é o tema geral deste trabalho. É descrito por eles que um 
número complexo é escrito como um par de números reais, como já vimos no 
capítulo 1. Isto gera a preocupação sobre a forma de representar, analiticamente, 
outros fatores complexos, como por exemplo, as funções, que devem possuir no 
mínimo quatro variáveis reais. Por Silva (2005) A palavra analítica significa 
expansível em uma série de potências convergente, que no caso complexo, acaba 
de realizar todas as funções diferenciáveis. Tais variáveis, normalmente são 
associadas a dimensões, o que nos faz retomar ao problema já discutido no capítulo 
2, que nos diz que representar graficamente uma função com variáveis complexas, 
acaba sendo inviável. 
Este problema foi parcialmente resolvido, já que atualmente temos uma 
representação gráfica para tais funções com variáveis complexas, como visto no 
capítulo 2. 
Apresentaremos aqui alguns gráficos de funções com uma variável complexa, 
utilizando o software “F(C): Funções Complexas”. Destacaremos algumas 
características das situações apresentadas, tais podem ser verificadas 
algebricamente. Trataremos de três tipos de funções: polinomiais, trigonométricas 
(com suas variações em Seno, Cosseno e Tangente) e exponenciais, tomando 
alguns exemplos de cada, apenas com o intuito de conhecer. O software tem mais 
funções que podem ser trabalhadas, mas refinaremos as funções para não nos 
prolongarmos e direcionarmos o estudo ao ponto realmente necessário. 
 
5.5 OBJETIVO 
 Como objetivo principal desta proposta temos claro que se pretende mudar a 
maneira como os gráficos das referentes funções são ensinados, para que de fato o 
entendimento do assunto seja mais amplo. 
35 
 
5.5.1 Objetivo Geral 
 Facilitar o entendimento e a manipulação de gráficos com variáveis 
complexas através do Domínio de Cores. 
5.5.2 Objetivos Específicos 
 Conhecer o Domínio de Cores e suas características; 
 Gerar gráficos de funções elementares através do software F(C): funções 
Complexas; 
 Analisar o comportamento dos pontos da função no gráfico; 
 Reconhecer algumas propriedades das funções. 
 
5.6 PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS 
 Para tal plano é necessário que os alunos já tenham o conhecimento prévio 
acerca das operações com os números complexos, como a adição, subtração, 
multiplicação e divisão, além das representações polares e geométricas. E lógico 
que como conhecimento adquirido no Ensino Médio, os alunos devem reconhecer e 
trabalhar com funções de um modo geral. O presente plano vai tratar da introdução 
do domínio de cores como método alternativo de representação gráfica das funções 
com variáveis complexas, e ainda da análise de algumas funções. 
 Primeiro o professor deve mostrar aos alunos como funciona o domínio de 
cores. Para isso, ele deve falar sobre a ideia inicial da metodologia, que resume-se a 
atribuir cores a pontos do domínio e depois de aplicar a relação à um número 
complexo, a imagem terá uma cor que é a determinada pela disposição inicial. A 
coloração inicial dos pontos é chamada de Mapa do Plano Complexo, que foi 
apresentado na figura 7 deste trabalho, e a final é a disposição final da imagem da 
função. É de extrema importância que o professor destaque as características dos 
pontos 
 A fim de exemplificar como trabalhar com o Domínio de cores o professor 
deve utilizaro exemplo dado neste trabalho, a qual relaciona apenas alguns pontos 
a cores e depois de haver a transformação implicará em outra disposição de pontos 
coloridos. Tal exemplo pode ser encontrado nas páginas 21 e 22 deste trabalho, e 
as figuras são apresentadas a seguir. 
36 
 
 
 
Figura 13: Disposição inicial do Domínio 
Fonte: O Autor (2011) 
 
Após definida a cor dos pontos, os valores são aplicados à função, neste caso 
na função f(z) = z² + (1+i). 
 
Figura 14: Disposição final da Imagem 
Fonte: O Autor (2011) 
 
Os três pontos propostos podem ser insuficientes para que todos os alunos 
compreendam o processo, então o professor deve julgar e se necessário sugerir 
outros pontos e pedir que os alunos encontrem os seus correspondentes no plano 
da imagem da função. Para esta atividade que pode ser realizada na própria sala de 
aula o professor deve disponibilizar, ou pedir que os alunos levem consigo uma folha 
quadriculada e que nela representem o plano cartesiano, além disso, é importante 
que os alunos tenham alguns lápis de cores diferentes. 
37 
 
Este exemplo é bem simples e eficaz para mostrar como o os pontos se 
comportam na imagem da função. Ou seja, só de olhar a representação final dos 
pontos, os alunos podem analisar, por exemplo, que o ponto (1,1) que representa o 
complexo 1+i tem como valor correspondente o complexo 0+0i que inicialmente 
assumia o valor azul. 
Na segunda atividade, eles farão o processo contrário. Será apresentado o mapa 
criado por Thaller (2000) como base fundamental do domínio de cores, e em 
seguida eles terão que identificar quais são os valores numéricos aproximados que 
correspondem às cores. 
 
 
Figura 15: Atividade de reconhecimento de pontos de acordo com a cor 
Fonte: O Autor (2011) 
 
Com a ideia desta representação bem fixa, o professor vai poder utilizar o 
software F(C): Funções Complexas para gerar mais rapidamente as funções 
desejadas. Para isso, ele apresentará à turma o software como um facilitador para 
gerar tais gráficos, e salientará que este é apenas uma ferramenta, e que existem 
outros softwares, como o Mathematica®, mas que este demanda de muito tempo 
para o reconhecimento das funcionalidades, enquanto o F(C): Funções Complexas é 
mais simples e atende igualmente as necessidades para gráficos de funções com 
variáveis complexas. 
Por ser o primeiro contato que os alunos terão com o software o professor irá 
mostrar a todos os alunos como utilizar o software, as telas iniciais, os 
procedimentos para a instalação, estes que estão descritos no capítulo 3 deste 
trabalho. O principal e essencial é que os alunos entendam como fazer as alterações 
nos parâmetros A, B, C e D. No primeiro momento o importante é que os alunos 
apenas observem os gráficos. Então o professor questiona a eles se alterando os 
38 
 
quatro parâmetros, separadamente ou de maneira combinada, alteram o gráfico da 
função. Em seguida, como exercício, o professor pode pedir aos alunos para que, 
arbitrariamente, escolham valores para A, B, C e D, formando então uma função, e 
em seguida, manualmente, que apliquem os pontos (1,0), (0,0) e (0,1) na função 
encontrada. Após isso, os alunos devem plotar a função no software e verificar se os 
valores encontrados correspondem aos encontrados pelo gráfico. 
Inicialmente o professor deverá utilizar a área de plotagem com 300 pixels de 
altura e largura, o que vai apresentar um resultado mais restrito. Mas ao alterar a 
área de plotagem, mais valores serão mostrados na figura. Como tarefa de 
observação, o professor pode definir uma função e pedir aos alunos para que 
ampliem a área de plotagem para 900 pixels de altura e largura, e que percebam a 
diferença na imagem. 
Após isso, os alunos já estarão mais familiarizados com o programa e 
poderão dar outro enfoque que não apenas o software, pois como já dito, ele é 
apenas uma ferramenta para auxiliar a representar graficamente as funções. Então a 
partir daí o professor pode voltar-se ao estudo da função e analisar se tem e quais 
são os pontos que representam as raízes da equação, o que pontos com cores 
iguais representam, se a função possui algum valor não definido e por quê. E assim 
por diante, dependendo exclusivamente de o quão a fundo o professor deseja ir ao 
tema. 
Para trabalhar mais diretamente com as funções, e isso deve ser feito de 
maneira separada, analisando cada função de uma vez, começando pela polinomial, 
em seguida pela exponencial e por ultimo as trigonométricas, o professor pode pedir 
aos alunos que, da maneira que eles acharem mais conveniente, alterem os 
coeficientes A, B, C e D, e por fim sempre gerando o gráfico e que façam anotações. 
O intuito desta atividade é que eles percebam que cada coeficiente influencia a 
função de uma maneira diferente. Ao fim da análise com cada tipo de função, os 
alunos terão que fazer um relatório sobre as mudanças e as características das 
funções que eles mesmos criaram, além da influencia de cada parâmetro na 
representação gráfica das funções. Espera-se que os alunos cheguem próximo as 
análises apresentadas a seguir.. 
Dado o número complexo z, consideraremos as funções ƒ: ℂ ℂ , z = a + bi, 
a e b ∊ ℝ ou z = r ( ), com r ∊ ℝ e 0 < < 2 . 
39 
 
5.6.1 Funções Elementares 
 
5.6.1.2 Polinomial 
 Como função elementar tomaremos a função polinomial: 
f(z) =A*((z^B)^C)+D 
 
Primeiramente, observemos A = 1 e B = C = 1 e D = 0, temos a função 
ƒ(z) = z. 
 
 
Figura 16: f(z) = z 
Fonte: O Autor (2011) 
 
A figura 16 representa a função do caso geral e acima dela faremos 
alterações a fim de analisar qual a influencia de cada coeficiente no gráfico da 
função. 
O coeficiente A faz o papel de multiplicador. Com sua variação, teríamos o 
afastamento ou aproximação dos valores que correspondem os complexos dados. 
 
 A>1 e B = C = 1 e D = 0, f(z) = Az, A > 1. 
Neste caso a disposição dos valores seriam semelhantes, porém a região 
próxima ao zero da função teria uma área menor, ou seja, a região dos valores que 
tendem zero, seria menor, e consequentemente todos os valores seguintes estariam 
mais afastados da cor preta, ou seja, quanto mais o número estiver afastado do 
centro, mais clara seria a tonalidade da cor correspondente. 
 
 A<1 e B = C = 1 e D = 0, f(z) = Az, A < 1. 
40 
 
 
A figura 17 ilustra a função com o coeficiente A = -3, B = C = 1 e D = 0. 
Temos uma inversão na disposição das cores em relação ao quadrante em 
que estão dispostos, é como se a representação gráfica fosse girada em 180º, os 
valores do primeiro quadrante estariam (na mesma ordem de cor e tonalidades) no 
terceiro, e vice-versa. Igualmente acontece com o segundo e o quarto quadrante. 
Além disso, para f(z) = -3z temos que o gradiente das cores se enfraquece mais 
rapidamente quando andamos no sentido radial. 
 
 
Figura 17: f(z) = -3z 
Fonte: O Autor (2011) 
 
 
 0 < A < 1, B = C = 1 e D = 0, f(z) = Az, 0 < A <1 
A figura 18 ilustra a função com o coeficiente A = 0,3, B = C = 1 e D = 0 
Nesta representação teremos a visualização ampliada do centro da 
representação, ou seja, a área em torno da origem possui tonalidades mais fortes, e 
isto é influência do coeficiente A=0,3. 
41 
 
 
Figura 18: f(z) = 0,3z 
Fonte: O Autor (2011) 
 
 A = 0, B = C = 1 e D = n, f(z) = n 
Obviamente teríamos como referência o coeficiente D, que representa o eixo 
dos números reais, assim o gráfico seria de apenas uma cor, anil, preta ou 
vermelha, podendo variar em sua tonalidade dependendo do número. 
 
 
Figura 19, f(z) = -0,5 
Fonte: O Autor (2011) 
 
No caso desta função f(z) = (A*((z^B)^C)+D), os coeficientes B e C 
representam o grau da função, e eles vão determinar a quantidades de “zeros” que a 
função vai possuir, neste caso, quantas regiões com um ponto preto teríamos e qual 
o seu tamanho. 
42 
 
E o coeficiente D determina o deslocamento dos valores.Se D for negativo o 
deslocamento será à direita, e se positivo, o deslocamento será à esquerda, como 
veremos na figura a seguir. 
 
 A = B = C = 1 e D = 2, ƒ(z) = z+2. 
Pela tabela 1, é possível verificar alguns pontos desta representação. 
 
 
Figura 20: f(z) = z+2 
Fonte: O Autor (2011) 
 
Neste caso o número complexo que se aproxima do ponto 0i-2 sobre o eixo 
 (z) á direita possui sua parte real positiva e horizontalmente próximos ao 
correspondente de 0i+1 no domínio da função. Conforme este número vai se 
afastando à direita vai perdendo a tonalidade. O mesmo acontece com o lado 
esquerdo. Que quanto mais próximo ao novo zero da função, mais forte é a cor e 
quanto mais afastado menos tônus recebe. 
 
 A = -1; B = 1,5; C = 2 e D = -0,8; ƒ(z) = -(z1,5)2-0,8. 
 Vindo da propriedade de potenciação vemos que esta passa a ser uma 
função do 3º grau, ou seja, com três valores correspondentes ao zero complexo da 
função. O coeficiente D = -0,8 fez com que os zeros da função fossem diferentes do 
número complexo nulo. É isto que observamos dado que os zeros sempre são 
representados por pontos pretos. Como se pode observar temos as cores repetidas 
três vezes, seguindo a mesma sequência. E isso se relaciona ao fato de os números 
próximos aos zeros reais se comportam de maneira semelhante. É possível 
43 
 
perceber também que quanto mais afastado da origem menos tônus as cores têm, o 
que mostra que os complexos tendem a valores muito maiores ao que estamos 
utilizando para representar. 
 
 
Figura 21: ƒ(z) = -(z
1,5
)
2
-0,8 
Fonte: O Autor (2011) 
 
Ainda como variação do anterior, podemos utilizar os mesmo valores para os 
parâmetros A, C e D, e apenas alteramos o B para -1,5, logo: 
 
 A = -1; B = -1,5; C = 2 e D = -0,8; ƒ(z)= -(z-1,5)2-0,8 
Aqui, temos outro conceito matemático aplicado, o de potência com expoente 
menor do que zero. Resultando num gráfico com as mesmas características do 
anterior, porém os valores cada vez mais distantes do centro do gráfico não tendem 
mais ao infinito, e sim ao complexo referente à cor representado no coeficiente D. 
Enquanto os pontos ao arredor da origem tendem ao infinito, e os próximos aos 
zeros da função, agora estão voltados ao centro enquanto outrora estavam 
exteriores. 
 
44 
 
 
Figura 22, ƒ(z) = -(z
1,5
)-
2
-0,8 
Fonte: O Autor (2011) 
 
5.6.1.2 Exponencial 
 
Tomaremos agora a função: 
f(z) =A*exp(z^B)^C)+D 
 
 A = B = C = 1 e D = 0,62. ƒ(z) = . 
Na figura 23, representamos tal função. É possível perceber a predominância 
da cor marrom no lado esquerdo. Mais detalhes e especificações estão nas tabelas 
2 e 3. A segunda tabela, e a figura 24 mostra a diferença dos valores, quando 
trocamos apenas o sinal do coeficiente A e D,ƒ(z) = . 
Além disso, podemos perceber a tendência em repetir as cores ao longo do 
eixo , esta tendência é fácil de ser notada, mas fica mais evidente quando há 
uma resolução da tela do software maior do que a padrão.Há também, outros 
aspectos que podem ser analisados, mas que não são de grande relevância no 
momento. 
 
45 
 
 
Figura 23: ƒ(z) = + 
Fonte: O Autor (2011) 
 
 
Figura 24: ƒ(z) = 
Fonte: O Autor (2011) 
 
Essa tendência acontece de forma comparável quando mudamos o parâmetro 
B, e não o C. Eles vão determinar dois tipos diferentes de função. 
 Alterando o parâmetro C, e mantendo o B em 1, por quaisquer que seja o 
valor de A e D, dividirá a representação gráfica em duas partes, como se houvesse 
uma reta vertical, com constantes repetições de valores ao longo dessa “reta”. 
 
 A = B = 1, C >1, D = m, f(z) = 
 
+ m, n > 1 e m qualquer. 
46 
 
O lado esquerdo da reta (essa tal que é determinada pelo valor de A, sendo A 
≠ 0) estará com a cor determinada por D, porém, para o outro lado não temos como 
representar com uma cor, pois teríamos cada vez um número maior, ou seja, ele 
tende ao infinito positivo, por isso a cor branca, e para as figuras 25 e 26 a seguir, 
tomaremos D = 1 e D = -1 respectivamente. Caso C seja negativo, se inverte a 
posição das cores. 
 
 
Figura 25: 
 
 + 1 
Fonte: O Autor (2011) 
 
 
 
Figura 26: ƒ(z) = 
 
– 1 
Fonte: O Autor (2011) 
 
47 
 
Já o parâmetro B vai diferenciar o gráfico de uma maneira totalmente 
diferente. Primeiro, ele deverá ser limitado inferiormente, neste caso, o B não poderá 
assumir valores negativos, nem ser nulo e segundo o software, ele será limitado 
superiormente por , essa limitação se dá devida a capacidade do 
software que fica restrita a cálculos com este valor, e isso irá refletir na quantidade 
de zeros e regiões que os valores tendem ao infinito. Nas figuras 27, 28 e 29 a 
seguir, notaremos que podemos fazer variações com valores bem pequenos e ainda 
assim eles resultariam em uma significante mudança no gráfico. 
 
 
Na figura 27: ƒ(z) = 
 
 
Fonte: O Autor (2011) 
 
 
Na figura 28: ƒ(z) = 
 
 - 1. 
Fonte: O Autor (2011) 
 
48 
 
 
 
Na figura 29: ƒ(z) = 
 
 + 1. 
Fonte: O Autor (2011) 
 
 Como sabemos é possível fazer infinitas combinações de valores nos 
parâmetros. Então no próximo gráfico, veremos uma função exponencial, nos 
moldes que já foram apresentados, porém, estas foram as mais simples, poderíamos 
nos aprofundar no tema, analisando a figura 30, mas deixaremos a cargo dos 
interessados analisar as situações e influências dos parâmetros. 
 
 
Figura 30; ƒ(z) = 
 
 +0,5 
Fonte: O Autor (2011) 
 
 
 
49 
 
5.6.1.3 Trigonométricas 
 
Estudaremos as principais funções trigonométricas separadamente. Teremos 
uma parte que abordará a função seno, a segunda, a função cosseno e por ultimo a 
função tangente, tendo como base as funções trigonométricas com variáveis 
complexas analisadas no capítulo 1. 
 
5.6.1.3.1 Seno 
 
Como função seno, escolheremos: 
f(z)= A*sen^C(z^B)+D 
 
 
Figura 31: f(z) = sen z 
Fonte: O Autor (2011) (2011) 
 
 A = B = C = 1 e D = 0, f(z) = sen z. 
O gráfico desta função apresenta uma repetição de padrões de cores ao 
longo do eixo real. A cada intervalo no eixo real, também é verificada um ponto 
preto, que descrevem as raízes da função. Fazendo uma analogia rápida ao gráfico 
da função seno com variáveis reais, percebemos uma similaridade com o gráfico dos 
complexos pelo domínio de cores, e esta é a periodicidade e a “ondulação” de 
valores.A tabela 4 mostra alguns valores para esta função. 
Vamos agora analisar o coeficiente C, com sua variação ele vai determinar 
duas situações: 
50 
 
1) Onde serão (ou mesmo se terá) os locais que representam os 
zeros da função. 
2) Quantas vezes os outros valores (a não ser o zero) vão se repetir 
dentro de um período P da função. 
 
 A = B = 1, D = 0 e C = n, 0 < n < 1, ou -1 < n < 0, f(z) = z. 
Estes casos vão gerar mudanças nos dois lados separados pelo eixo Im (z). 
Do lado esquerdo, haverá uma linha imaginária, paralela ao eixo Im (z) que passa 
pelo ponto (-1,56 , 0) que divide os quadrantes em graduações de tons em verde e 
azul, porém eles são diferentes da representação inicial, de forma mais linear. E do 
lado direito, não haverá mudança na forma em si, apenas que a região avermelhada 
será maior, quanto mais próxima de 1. 
 
 
Figura 32: f(z) = 
Fonte: O Autor (2011) 
 
51 
 
 
Figura 33: ƒ(z) = 
Fonte: O Autor (2011) 
 
 A = B = 1, D = 0 e C = n, n > 1, f(z) = z 
Irá acontecer uma das situações previstas anteriormente, haverá um acumulo 
de valores (cores) próximos á porção escura que determina as raízes, como vemos 
na figura 34, a quantidade de repetições é de acordo com o próprio C. 
 
 
Figura 34: f(z) = sen³ (z) 
Fonte: O Autor (2011) 
 
 A = B = 1, D = 0 e C = n, n < 1, f(z) = z 
52 
 
Teremos então, a situação descrita em 1), a maior parte do gráfico estará em 
preto, e o que antes seria a raiz, passará a ser a região onde os valorestendem ao 
infinito. 
Por exemplo, se o valor de C for -6, a região que possui ondulação com 
cores, estará entre -1 e 1, e a quantidade de vezes que os mesmos valores repetirão 
serão em módulo, o mesmo valor de C, onde o interior, de cada período, será 
branco, e todo o espaço além, preto, vide figura 35. 
 
 
Figura 35: f(z) = sen
-6
(z) 
Fonte: O Autor (2011) 
 
 Para o parâmetro A, perceberemos que ele vai alterar o período da função e a 
cor da região que fica entre os intervalos por período. Novamente, duas situações 
podem acontecer, porém desta vez, não vai depender apenas de um parâmetro. As 
mudanças em A, dependem também dos valores de C. Esse intervalo vai 
aumentando, até o momento em que não haverá mais pontos em comum, ou seja: 
1) A intersecção dos intervalos seja a união de todo o espaço interno 
entre eles. Como pode ser visto na figura 36. 
2) A intersecção dos intervalos seja nula, exemplificada na figura 37. 
 
53 
 
 
Figura 36: ƒ(z) =15 sen
-5 
(z) 
Fonte: O Autor (2011) 
 
 
 
Figura 37: ƒ(z) =2 sen
5 
(z) 
Fonte: O Autor (2011) 
 
Com as mudanças no parâmetro B alteram-se a quantidades de zeros, 
teremos o aumento, quando a variação de B for crescente, ou diminuição, quando 
for decrescente, assim como a inclinação da reta que possui esses zeros alinhados. 
Assim, B será restrito, limitado pelo intervalo 0 < B < 4,555 aproximadamente, esta 
restrição se dá pelo mesmo motivo mencionado quando analisamos a função 
exponencial, restrições nos cálculos efetuados pelo software. 
54 
 
O parâmetro D vai influenciar na amplitude e no deslocamento dos zeros da 
função em relação aos eixos. Assim como a cor que predominará pelo gráfico, 
sendo esta azul ou vermelha, por representarem os valores sobre o eixo dos reais e 
em qual par de quadrantes eles estarão: 1º e 4º ou 2º e 3º. 
 
 
Figura 38: f(z) = 3sen²( ) 
Fonte: O Autor (2011) 
 
 
 
Figura 39: f(z) = -2sen
-1
( )+3 
Fonte: O Autor (2011) 
 
 
 
55 
 
5.6.1.3.2 Cosseno 
 
 A função cosseno possui as características semelhantes as da função seno. E 
assim como no plano dos reais, nos complexos a diferença entre elas é só uma 
questão de visualização e correlação entre os pontos. Analisaremos a função 
f(z) = A*cos^C(z^B)+D e pontuaremos a diferença entre alguns gráficos já 
apresentados do seno para a do cosseno. 
 
 
Figura 40: Comparação entre f(z) = cos (z) com f(z) = sen (z) 
Fonte: O Autor (2011) 
 
 
É como se o gráfico fosse o mesmo, mas tivesse sido deslocado para o lado. 
 
Figura 41: Comparação entre f(z) = sen
-6
 (z) e f(z) = cos
-6
 (z) 
Fonte: O Autor (2011) 
56 
 
 
 
Figura 42: Comparação entre f(z) = -2 cos
-1
 z 
2,59
e f(z) = -2 sen
1
 z 
2,59 
Fonte: O Autor (2011) 
 
5.6.1.3.3 Tangente 
 
Consideremos a função 
f(z) = A*tan^C(z^B)+D 
 A = B = C = 1 e D = 0 
 
 
Figura 43: f(z) = tan (z) 
Fonte: O Autor (2011) 
 
57 
 
O gráfico da função tangente apresenta repetições, inclusive de porções 
escuras, ao longo do eixo real. Para o primeiro e segundo quadrantes, bem como 
para o terceiro e quarto, é visível uma tendência a uma cor específica do Mapa na 
figura 40. Valores da relação podem ser vistos na Tabela 5. 
 Analisaremos primeiro as variações no parâmetro A. Ele irá determinar a 
proximidade do gráfico com seus valores. 
 
 A = n, B = C = 1 e D = 0, 0 < n < 1, f(z) = n tanz 
Nesta situação teremos uma aproximação dos valores do gráfico, ou seja, ele 
permanece com a mesma aparência, porém com as cores um tom mais escuro, ou 
seja, como se estivessem mais próximas do zero da função. 
 Na figura a seguir teremos A = 0,3, B = C = 1 e D = 0, f(z) = 0,3tanz 
 
 
Figura 44: f(z)= 0,3 tan z 
Fonte: O Autor (2011) 
 
Caso A seja um valor negativo, inverteríamos as cores do 1º e 2º quadrantes 
com as do 3º e 4º respectivamente. 
Para os outros parâmetros B, C e D, a tangente possui características bem 
diferentes às apresentadas para as funções seno e cosseno, a diferença está 
basicamente nas regiões que nas outras duas funções são determinadas por não 
tenderem a um valor específico a não ser o zero. Na tangente essas regiões, terão 
um valor correspondente específico. 
58 
 
 Na figura 45 abaixo, temos a função com a variação em B. Logo percebemos 
a diferença na representação gráfica, pela divisão do espaço em “B” espaços iguais. 
Lembrando que o valor de B continua sendo restrito no caso, 0 < B < 4,555. 
 
 
Figura 45, f(z) = tanz
2,5.
 
Fonte: O Autor (2011) 
 
 Para a variação do parâmetro C teremos periodicamente a mudança na 
representação da função, e isso com base em dois tipos predefinidos. Digamos que 
teremos semelhanças para toda representação definida por n ∊ ℤ* tal que a primeira 
vai ser 4n e a outra 4n+1, o que muda na representação dentro desses intervalos é 
que a amplitude da imagem vai aumentando. 
Percebemos que intercalado às regiões que representam os zeros da função, 
há regiões que não tem valores determinados para a tangente, e estão 
representados em branco. 
59 
 
 
Figura 46: f(z) = -tan
5 
(z) 
Fonte: O Autor (2011) 
 
 
Figura 47: f(z) = -tan
6
(z) 
Fonte: O Autor (2011) 
 
 
E no parâmetro D, como vimos e confirmamos, ele está alterando/ampliando 
a distância entre as raízes e a amplitude da imagem. A coloração ao longo dos 
quadrantes vai ser determinada pelo “sinal” de D. Caso seja positivo, predominará 
as cores amarela, vermelha e laranja. Caso negativo, azul, anil e verde. 
 
60 
 
 
Figura 48: f(z) = -tan
5 
(z) -2 
Fonte: O Autor (2011) 
 
 Estas foram algumas análises dentre as várias possíveis ao trabalharmos 
com determinadas funções disponíveis no software. É lógico que conforme forem 
alterando mais parâmetros ao mesmo tempo, diferentes serão os resultados obtidos, 
ampliando e de certa forma dificultando a análise dos gráficos, ficando a cargo do 
professor julgar qual o nível de dificuldade pertinente ao momento de estudo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
61 
 
6 CONCLUSÃO 
 
 Ao longo de todo o tempo de pesquisa sobre os conceitos envolvidos neste 
trabalho, com certeza tive muitas dúvidas, algumas provenientes da falta de 
informações disponíveis para pesquisa, outras oriundas da própria deficiência de 
conhecimentos prévios acerca do conteúdo estudado. Porém ao avançar o estudo 
foi possível perceber que por mais complicado, ou distante da realidade do indivíduo 
for o objeto a ser estudado, é necessário e suficiente dedicação e entrega pessoal 
integral, visando sempre o objetivo envolvido ao estudar. 
 Este projeto teve como foco compreender como o Domínio de Cores pode 
auxiliar no processo de ensino-aprendizagem de funções com variáveis complexas. 
Podemos concluir que este método alternativo pode sim ser utilizado tanto nas aulas 
dos cursos de variáveis complexas quanto no estudo individual para análise das 
situações descritas nas funções e o software F(C): Funções Complexas contribui 
expressivamente para o sucesso na análise. 
 Infelizmente o software ainda é um pouco restrito, pois trabalha apenas com 
algumas funções pré-determinadas, então dependendo do enfoque a ser dado no 
estudo, ele pode não contribuir da forma desejada, mas com certeza é uma 
ferramenta muito útil. A exemplo do criador deste programa, o Edvaldo Lima da 
Silva, outros programas podem ser desenvolvidos com a intenção de melhorar e 
ampliar as possibilidades de estudo. 
 Certamente toda ação que visa melhorar o ensino é válida. A educação 
carece de iniciativas como essas, tanto de pesquisa, e quando falo isso me 
referencio a criação do domínio de cores, quanto tecnológicas que deem suporte às 
pesquisas e processos facilitadores do ensino. 
 
 
 
 
 
 
 
 
62 
 
REFERÊNCIAS 
 
BOYER, C. B. História da Matemática. São Paulo: Edgard Blücher, 1996. 
 
CONWAY, J. B. Functions of one Complex Variable. 2nd ed. New York: Springer-