Lista 03

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Universidade Federal de Itajubá
Instituto de Matemática e Computação
Lista 03 � Equações Diferenciais I � 2017-II
Exercícios do livro [1]
1. Seção 3.1 (pág. 110�): 1, 3, 5, 6, 11, 15, 16, 17, 25, 27 e 28.
2. Seção 3.2 (pág. 119�): 1, 3, 5 � 17, 19, 20 � 22, 27, 29, 31, 32, 37, 39, 41 � 43,46, 47 e 49.
3. Seção 3.3 (pág. 125�): 1�4, 6, 7, 11, 12, 20, 22, 27,28, 30, 31, 34, 35, 43 e 46.
4. Seção 3.4 (pág. 132�): 1, 2, 7, 11, 12, 16, 20, 23, 25, 30, 31, 32, 43 e 46.
5. Seção 3.5 (pág. 141�): 1, 5, 9, 11, 13, 19 a), 21 a), 24 a), 25 a) e 27.
6. Seção 3.6 (pág. 146�): 3, 5, 7, 9, 13, 17, 21, 28, 29 e 30.
Exercícios adicionais
1. Sabendo que y
1
(x) = x
3
é solução da equação diferencial
2x
2
y
00
� xy
0
� 9y = 0;
encontre uma função u(x) tal que y
2
(x) = y
1
(x)u(x) seja também solução da equação dada. Verifi-
que que as duas soluções y
1
(x) e y
2
(x) são fundamentais.
2. Considere a equação diferencial
(1� x)
2
d
2
y
dx
2
+ 4(1� x)
dy
dx
+ 6y = (1� x)
3
; x < 1: (1)
Resolva a equação (1) sequindo os seguintes passos:
(i) Mostre que a mudança de variável t = 1� x transforma a equação (1) na seguinte equação de
Cauchy-Euler:
t
2
d
2
y
dt
2
� 4t
dy
dt
+ 6y = t
3
; t > 0: (2)
(ii) Encontre a solução da equação de Cauchy-Euler homogênea associada à equação (2).
(iii) Usando o método de variação dos parâmetros, encontre a solução geral da equação (2).
(iv) Escreva a solução da equação (1).
3. Utilize variação dos parâmetros para resolver a equação diferencial ordinária:
x
2
y
00
� x(x+ 2)y
0
+ (x+ 2)y = 2x
3
; com x > 0 (3)
sabendo que y
1
(x) = x e y
2
(x) = xe
x
são soluções da equação homogênea.
4. Considere a equação
xy
00
� (2 + x
2
)y
0
+ 3xy = 0:
Mostre que y
1
(x) = x
3
e y
2
(x) = x
2
jxj são soluções LI desta equação válidas para todo x 2 R,
embora W [y
1
; y
2
](x) = 0, para todo x 2 R.
1
5. Dado que y
1
(x) = (x� 1)
3
é uma solução conhecida da equação de segunda ordem
(x� 1)
2
y
00
� (x� 1)y
0
� 3y = 0 :
(a) Use redução de ordem para achar a solução geral desta equação.
(b) Encontre a solução que satisfaz y(0) = 4 e y
0
(0) = �8.
(c) Qual o maior intervalo na qual a solução existe?
6. Mostre que toda solução de x
2
y
00
� xy
0
+ y = 1 tende a 1 quando x tende a 0.
Referências
[1] W. E. Boyce e R. C. Diprima. Equações diferenciais elementares e problemas de valores de
contorno. Rio de Janeiro: Guanabara koogan, LTC Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda, 9
a
Edição, 2010.
2