Aula 4 Distribuição normal (1)

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Métodos Estatísticos – Aula 5
Prof. Gustavo R. Borges
gustavorborges01@gmail.com
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05 |--- 25 25 |--- 45 45 |--- 65 65 |--- 85 85 |--- 105 105 |--- 125 125 |--- 145 145 |--- 165
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05 |--- 25 25 |--- 45 45 |--- 65 65 |--- 85 85 |--- 105 105 |--- 125 125 |--- 145 145 |--- 165
I Classes
Número de 
usuários
fri
1 05 |--- 25 4 5
2 25 |--- 45 6 7,5
3 45 |--- 65 14 17,5
4 65 |--- 85 26 32,5
5 85 |--- 105 14 17,5
6 105 |--- 125 8 10
7 125 |--- 145 6 7,5
8 145 |--- 165 2 2,5
Exemplo: Observamos o peso, em kg, de 1500 pessoas adultas 
selecionadas ao acaso em uma população.
A análise do histograma indica que:
- A distribuição dos valores é 
aproximadamente simétrica em torno de 70 
kg; 
- A maioria dos valores (88%) encontra-se 
no intervalo (55;85 kg);
- Existe uma pequena proporção de valores 
abaixo de 48kg (1,2%) e acima de 92kg (1%).
Vamos definir a variável aleatória
X: peso, em kg, de uma pessoa adulta escolhida ao acaso da população. 
Como se distribuem os valores da variável aleatória X, isto é, qual a distribuição de 
probabilidades de X ?
A curva contínua da figura denomina-se curva Normal
Distribuição Normal ou Gaussiana
É considerada a distribuição de probabilidades mais importante, pois permite modelar
uma infinidade de fenômenos naturais, e além disso, possibilita realizar aproximações
para calcular probabilidades de muitas variáveis aleatórias que têm outras distribuições.
É também conhecida como distribuição de Gauss, Laplace ou Laplace-Gauss, e é muito
importante também na inferência estatística.
A distribuição Normal é caracterizada por uma Função de Densidade de Probabilidade
cujo gráfico descreve uma curva em forma de sino, que evidencia maior probabilidade de
a variável aleatória (V.A.) assumir valores próximos aos valores centrais.
Exemplos de variáveis aleatórias com distribuição normal: a altura das pessoas; as
medidas de laboratório; o tempo de vida útil de lâmpadas, etc.
Média Populacional 
Desvio Padrão Populacional 
Exemplos:
1. Seja X uma VAC com distribuição N(10, 2). Determinar:
(a) P(X < 10)
(b) P(X > 11,50)
(c) P(8 < Z ≤ 12) 
(d) P(6,08 ≤ Z ≤ 13,92)
Exemplos:
Seja Z ~ N(0,1). Calcule
1. P (0 < Z < 1)
Solução: 
Essa probabilidade corresponde à área situada entre os limites indicados na figura. Ela é a área total, que é 1 (um), menos 
as áreas das duas caudas, a que fica acima de 1 e a que fica abaixo de 0 (zero).
Pela Tabela A.1:
Procurando o valor correspondente a z = 1, temos 0,1587
Procurando o valor correspondente a z = 0, temos 0,5000
P (0 < Z < 1) = 1 – 0,1587 – 0,5000 = 0,3413 = 34,13%
Ou
P (0 < Z < 1) = 0,500 – 0,1587 = 0,3413 = 34,13%
Exemplos:
Seja Z ~ N(0,1). Calcule
2. P (1 ≤ Z < 2,5)
Solução:
P (1 ≤ Z < 2,5) = P (1 < Z < 2,5) = P (1 < Z ≤ 2,5)
Pela Tabela A.1:
z = 1, temos 0,1587
z = 2,5, temos 0,0062
P (1 ≤ Z < 2,5) = 0,1587 – 0,0062 = 0,1525 = 15,25 %
Exemplos:
Seja Z ~ N(0,1). Calcule
3. P (-1 ≤ Z ≤ 0)
Solução:
P (-1 ≤ Z ≤ 0) = P (-1 < Z < 0) = P (0 < Z < 1)
Pela Tabela A.1:
z = 0, temos 0,5000
z = 1, temos 0,1587
P (-1 ≤ Z ≤ 0) = 0,5000 – 0,1587 = 0,3413 = 34,13 %
Exemplos:
Seja Z ~ N(0,1). Calcule
4. P (Z < -1)
Solução:
P (Z < -1) = P (Z > 1)
Pela Tabela A.1:
z = 1, temos 0,1587
P (Z < -1) = 0,1587 = 15,87 %
Exemplos:
Seja Z ~ N(0,1). Calcule
5. P (-1 < Z < 2)
Solução:
Pela Tabela A.1:
z = 1, temos 0,1587
z = 2, temos 0,0228
P (-1 < Z < 2) = 1 – 0,1587 – 0,0228 = 0,8185 = 81,85 %
Exercícios:
1. Seja Z uma N(0, 1). Determinar as seguintes probabilidades:
(a) P(Z < 2,23) 
(b) P(Z > -1,45)
(c) P(-2 < Z ≤ 2)
(d) P(-1 ≤ Z ≤ 1)
2. As vendas de determinado produto têm distribuição aproximadamente normal, com média de 500 e desvio padrão 
de 50. Se a empresa decide fabricar 600 unidades no mês em estudo, qual é a probabilidade de que não possa 
atender a todos os pedidos desse mês, por estar com a produção esgotada?
3. O número de pedidos de compra de certo produto que uma cia recebe por semana distribui-se normalmente, com 
média 125 e desvio padrão de 25. Se em uma dada semana o estoque disponível é de 150 unidades, qual é a 
probabilidade de que todos os pedidos sejam atendidos? Qual deveria ser o estoque para se tivesse 99% de 
probabilidade de que todos os pedidos fossem atendidos?
4. Uma enchedora automática de garrafas de refrigerantes está regulada para que o volume médio de líquido em cada 
garrafa seja de 1000 cm3, com desvio padrão de 10 cm3. Pode-se admitir que a distribuição da variável seja normal.
(a) Qual a percentagem de garrafas em que o volume de líquido é menor que 990 cm3? 
(b) Qual a percentagem de garrafas em que o volume do líquido não se desvia da média em mais do que dois desvios 
padrões?