P2 de Física Quântica (FQ) - Prof. Javier Acuña (UFABC)

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Prova 02 - Física Quântica - BC 0103
07 de Dezembro de 2012, 16:30 hrs. Turma B1
Professor: J. Javier S. Acuña Nome / RA:
Instruções. As respostas são analíticas (não numéricas) e devem estar apenas expressadas em termos
das quantidades entregadas em cada enunciado, e/ou em termos das constantes universais da física (listadas
no apêndice). Não é permitido uso de calculadora ou qualquer aparelho eletrônico (desligar celulares). A
prova é individual e qualquer situação de suspeita ao respeito será sancionada com nota zero. Durante a
prova, as consultas sobre o conteúdo da mesma também é individual (se o comentário é pertinente, esse será
informado para todos). A prova tem 0.5 pontos base.
Apenas comentar que esse gabarito apresenta a discussão (e/ou expli-
cação) mais sucinta possível, dentro do que poderia ser considerado como
correto para a correção da prova. Naturalmente, uma boa explicação se-
ria bem mais estendida.
1. Propriedades ondulatórias das partículas:
(2.0 pontos) Os núcleos atômicos são também sistemas quânticos com níveis de energia discretos.
Um estado excitado de um certo núcleo tem uma vida meia de a [s]. Considerando que este tempo
é a incerteza ∆t para a emissão de um fóton, use a relação ∆E∆t ∼ h¯ para calcular a incerteza da
freqüência, ∆f , e calcule κ = ∆ff para λ = b [m].
• ∆t = a [s]
λ = b [m]
Usando o princípio de indeterminação na forma ∆E∆t ∼ h¯, e de acordo com a relação de Planck
∆E = h∆f , temos
∆E∆t = h¯
h∆f∆t =
h
2π
∆f∆t =
1
2π
⇒ ∆f =
1
2π∆t
onde usando a relação f = cλ resulta
κ =
∆f
f
=
λ
2πc∆t
=
b
2πc a
2. Equação de Schrödinger:
Um feixe de prótons com uma energia cinética de 4 MeV incide sobre um degrau de potencial de
3 MeV.
(a) Que fração do feixe é refletida? (1.5 pontos)
(b) Que fração do feixe é transmitida? (1.5 pontos)
1
(c) Mostre que o coeficiente de transmissão é nulo para o caso em que o feixe de prótons incide no
degrau de potencial com energia cinética menor que o degrau, por exemplo, 2 MeV. (1.5 pontos)
• O coeficiente de reflexão para um degrau de potencial quando ξ > V , é
R =
�
k1 − k2
k1 + k2
�2
onde
k1 =
�
2mξ
h¯2
(1)
e
k2 =
�
2m (ξ − V )
h¯2
(2)
são as constantes envolvidas na desenvolvimento da equação de Schrödinger.
Aqui V = 3
4
ξ, por tanto
k1 − k2 =
�
2mξ
h¯2
−
�
2mξ
�
1− 3
4
�
h¯2
=
1
2
�
2mξ
h¯2
k1 + k2 =
�
2mξ
h¯2
+
�
2mξ
�
1− 3
4
�
h¯2
=
3
2
�
2mξ
h¯2
Assim
R =
�
k1 − k2
k1 + k2
�2
=
�
1
3
�2
=
1
9
O coeficiente de transmissão para um degrau de potencial quando ξ > V , é
T =
k2
k1
�
2k1
k1 + k2
�2
=
4k1k2
(k1 + k2)
2
onde
4k1k2 = 4
�
2mξ
h¯2
�
2mξ
�
1− 3
4
�
h¯2
=
4mξ
h¯2
logo
T =
4k1k2
(k1 + k2)
2
=
4mξ
h¯2
2
3
�
h¯2
2mξ
2 = 4mξ
h¯2
2h¯2
9mξ
=
8
9
Na terceira parte do problema ξ < V , e k2 na região x > 0 resulta um número imaginario
(eq.2), e das relações entre constantes da função de onda, nas diferentes regiões, resulta
|B|2 = |A|2 (ou bem, simplesmente operar como números complexos sobre a definição dos
coeficientes), assim, da definição do coeficiente de reflexão, temos
R =
v1 |B|
2
v1 |A|
2
= 1
e por tanto, desde que R+ T = 1, temos que T = 0.
3. Átomo nuclear:
(3.0 pontos) Mostre que no átomo de hidrogênio no estado excitado n = 2 e l = 1 e m = 0 a
distância mais provável entre o elétron e o núcleo é r = 4a0.
2
• No estado excitado n = 2, l = 1 e m = 0, temos que a função de onda é dada por
ψ210 = C210
Zr
a0
e−Zr/2a0 cos θ
A densidade de probabilidade radial P (r) representa a distância mais provável de encontrar o
elétron.
P (r) dr = ψ∗ψ 4πr2 dr = 4πC2210
�
Zr
a0
�2
e−Zr/a0 cos2 θ r2 dr
com C210 = 1
4
√
2π
�
Z
a0
�3/2
(esta constante não é necessária para o calculo), resulta
P (r) = 4πC2210
�
Z
a0
�2
cos2 θ e−Zr/a0r4
Logo, a distância mais provável será um máximo na curva P (r), assim, a resposta ao problema
pode ser encontrada fazendo ∂P/∂r = 0 (inclinação zero).
∂P
∂r
= 4πC2210
�
Z
a0
�2
cos2 θ
∂
∂r
�
e−Zr/a0r4
�
= 4πC2210
�
Z
a0
�2
cos2 θ
�
e−Zr/a0
∂
∂r
r4 + r4
∂
∂r
e−Zr/a0
�
= 4πC2210
�
Z
a0
�2
cos2 θ
�
e−Zr/a04r3 − r4
Z
a0
e−Zr/a0
�
= 0
diretamente aqui temos para o termo entre parêntesis
e−Zr/a04r3 − r4
Z
a0
e−Zr/a0 = 0
4a0
Z
= r
Para o átomo de hidrogênio, Z = 1, e resulta r = 4a0.
3