Estrutura da Matéria e Mecânica Quântica

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FACULDADE ÚNICA 
DE IPATINGA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Luíz Guilherme Rezende Rodrigues 
 
Possui Licenciatura (2013), Bacharelado (2015), Mestrado (2015) e Doutorado em Física 
(2019) pela Universidade Federal de Juiz de Fora (UFJF-MG). É professor conteudista na 
criação de material didático para cursos superiores à distância (EaD), concursos públicos, 
concursos militares, ENEM, PISM, ensino médio, artigos didáticos complementares 
extraclasse e vídeo aulas. Além das disciplinas de Física, é capacitado para lecionar 
disciplinas de estatística, cálculo, geometria analítica e álgebra linear para alunos nas 
Graduações de Engenharias, Administração, Economia, Ciências Contábeis, 
Matemática, Física, Química e áreas afins. Nos cursos superiores de Engenharias e 
Arquitetura e Urbanismo é capacitado para lecionar disciplinas como estruturas, 
resistência dos materiais, fenômenos de transporte, Eletricidade e afins. 
ESTRUTURA DA MATÉRIA 
 
1ª edição 
Ipatinga – MG 
2021 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
 
FACULDADE ÚNICA EDITORIAL 
 
Diretor Geral: Valdir Henrique Valério 
Diretor Executivo: William José Ferreira 
Ger. do Núcleo de Educação a Distância: Cristiane Lelis dos Santos 
Coord. Pedag. da Equipe Multidisciplinar: Gilvânia Barcelos Dias Teixeira 
Revisão Gramatical e Ortográfica: Izabel Cristina da Costa 
Revisão/Diagramação/Estruturação: Bárbara Carla Amorim O. Silva 
 Carla Jordânia G. de Souza 
 Rubens Henrique L. de Oliveira 
Design: Brayan Lazarino Santos 
 Élen Cristina Teixeira Oliveira 
 Maria Luiza Filgueiras 
 
 
 
 
 
 
 
© 2021, Faculdade Única. 
 
Este livro ou parte dele não podem ser reproduzidos por qualquer meio sem 
Autorização escrita do Editor. 
 
 
 
Ficha catalográfica elaborada pela bibliotecária Melina Lacerda Vaz CRB – 6/2920. 
 
 
 
 
 
NEaD – Núcleo de Educação a Distância FACULDADE ÚNICA 
Rua Salermo, 299 
Anexo 03 – Bairro Bethânia – CEP: 35164-779 – Ipatinga/MG 
Tel (31) 2109 -2300 – 0800 724 2300 
www.faculdadeunica.com.br
http://www.faculdadeunica.com.br/
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
 
Menu de Ícones 
Com o intuito de facilitar o seu estudo e uma melhor compreensão do conteúdo 
aplicado ao longo do livro didático, você irá encontrar ícones ao lado dos textos. 
Eles são para chamar a sua atenção para determinado trecho do conteúdo, cada um 
com uma função específica, mostradas a seguir: 
 
 
 
São sugestões de links para vídeos, documentos científi-
co (artigos, monografias, dissertações e teses), sites ou 
links das Bibliotecas Virtuais (Minha Biblioteca e 
Biblioteca Pearson) relacionados com o conteúdo 
abordado. 
 
Trata-se dos conceitos, definições ou afirmações 
importantes nas quais você deve ter um maior grau de 
atenção! 
 
São exercícios de fixação do conteúdo abordado em 
cada unidade do livro. 
 
São para o esclarecimento do significado de 
determinados termos/palavras mostradas ao longo do 
livro. 
 
Este espaço é destinado para a reflexão sobre questões 
citadas em cada unidade, associando-o a suas ações, 
seja no ambiente profissional ou em seu cotidiano. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
 
SUMÁRIO 
 
INTRODUÇÃO A MECÂNICA QUÂNTICA DE SCHRÖDINGER .................. 7 
1.1 INTRODUÇÃO.......................................................................................................... 7 
1.2 A EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE SCHRÖDINGER ..................................................... 8 
1.3 A FUNÇÃO DE ONDA E SUA INTERPRETAÇÃO .................................................... 13 
FIXANDO O CONTEÚDO ...................................................................................... 19 
ASPECTOS PROBABILÍSTICOS DA EQUAÇÃO DE ONDA DE 
SCHRÖDINGER ........................................................................................ 24 
2.1 INTRODUÇÃO........................................................................................................ 24 
2.2 EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER INDEPENDENTE DO TEMPO ................................ 24 
2.3 VALOR ESPERADO ................................................................................................ 27 
2.4 AUTOFUNÇÕES ..................................................................................................... 32 
FIXANDO O CONTEÚDO ...................................................................................... 36 
APLICAÇÕES DA EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER INDEPENDENTE DO 
TEMPO ...................................................................................................... 41 
3.1 INTRODUÇÃO........................................................................................................ 41 
3.2 A PARTÍCULA LIVRE ............................................................................................... 41 
3.3 O POTENCIAL DEGRAU ......................................................................................... 43 
FIXANDO O CONTEÚDO ...................................................................................... 53 
SPIN E INTERAÇÕES MAGNÉTICAS ......................................................... 57 
4.1 INTRODUÇÃO........................................................................................................ 57 
4.2 A INTERAÇÃO COM UM CAMPO MAGNÉTICO EXTERNO ................................. 60 
4.3 O EXPERIMENTO DE STERN-GERLACH E O SPIN DO ELÉTRON ............................ 61 
FIXANDO O CONTEÚDO ...................................................................................... 67 
MOMENTO ANGULAR E INTERAÇÕES SPIN-ÓRBITA .............................. 71 
5.1 INTRODUÇÃO........................................................................................................ 71 
5.2 O MOMENTO ANGULAR TOTAL ........................................................................... 71 
5.3 INTERAÇÃO ENTRE SPIN-ÓRBITA .......................................................................... 74 
FIXANDO O CONTEÚDO ...................................................................................... 77 
ÁTOMOS MULTIELETRÔNICOS ................................................................. 81 
6.1 INTRODUÇÃO........................................................................................................ 81 
6.2 ÁTOMOS MULTIELETRÔNICOS .............................................................................. 81 
6.3 O PRINCÍPIO DA EXCLUSÃO DE PAULI ................................................................ 84 
FIXANDO O CONTEÚDO ...................................................................................... 88 
RESPOSTAS DO FIXANDO O CONTEÚDO ............................................... 93 
REFERÊNCIAS ........................................................................................... 94 
 
UNIDADE 
02 
UNIDADE 
03 
UNIDADE 
01 
UNIDADE 
04 
UNIDADE 
05 
UNIDADE 
06 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
 
 
CONFIRA NO LIVRO 
 
Na primeira unidade são apresentados os conceitos mais 
fundamentais que serão utilizados no decorrer de todas as outras. 
A equação de Schrödinger é a base das discussões da presente 
unidade. 
A segunda unidade é destinada às discussões sobre os aspectos 
probabilísticos das soluções da equação de Schrödinger. Através 
dessas soluções, conseguiremos obter todas as quantidades, 
grandezas e observáveis no contexto da Mecânica Quântica. 
 
 
.A unidade 3 é destinada ao estudo e discussões de dois 
problemas fundamentais e muito comuns em Mecânica Quântica. 
Os problemas discutidos na presente unidade são a partícula livre 
e o potencial degrau. Esses exemplos fundamentam vários outros, 
inclusive problemas mais complexos. 
Na unidade 4 trataremos informações interessantes sobre o 
momento angular,no nível quântico, uma vez que o elétron fica 
girando em torno do núcleo. 
 
 
Na unidade 5 iremos tratar o momento angular total de um átomo 
monoeletrônico, assim como estudar a interação do spin-órbita. 
Para isso, iremos utilizar alguns conceitos trazidos da Mecânica 
Clássica. 
Os átomos multieletrônicos é o grande foco da unidade 6. Nesse 
contexto, o conceito de partícula quântica idêntica surge como 
um novo princípio em física. Este novo princípio destaca o 
conceito e as propriedades quânticas com spin semi-inteiro do 
elétron. Isso é uma das contribuições mais importantes de Pauli 
para a teoria quântica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
 
 
INTRODUÇÃO A MECÂNICA 
QUÂNTICA DE SCHRÖDINGER 
 
 
1.1 INTRODUÇÃO 
O capítulo inicial do presente livro, será referido em sua maioria das vezes à 
discussões e resultados obtidos pela ciência a partir do desenvolvimento da teoria 
quântica de Schrödinger. Mas, é claro que por trás de todas essas discussões, 
como em qualquer área da ciência, existem muitos fatores históricos e também 
científicos que ocorreram e que contribuíram de inúmeras formas para o 
desenvolvimento da presente teoria. Esses fatores, quando forem necessários, serão 
sempre referidos e comentados. Isso trará ao presente material uma 
contextualização de todo o conteúdo, potencializando assim as maiores absorção 
e assimilação do conteúdo. 
O ano de 1925 foi marcado pela proposta de um novo formalismo para a 
Teoria Quântica. Esse, foi desenvolvido por Erwin Schrödinger que se baseou nos 
resultados obtidos de maneira experimental sobre movimentos das partículas 
microscópicas. Nesses casos, foi constatado que o movimento dessas partículas 
deveria obedecer às leis ondulatórias que são bem diferentes das leis Newtonianas, 
nos casos macroscópicos. Nesse contexto foi constatado que os movimentos das 
partículas microscópicas deveriam ser descritos através de funções de ondas que 
seriam representadas por ondas de De Broglie. Essa é uma representação 
denominada onda de matéria. As funções de onda nesse caso são descritas por 
pacotes de ondas genericamente representadas, a menos da constante 1
√2π
⁄ , na 
forma da equação (1): 
 
 
ψ(x, t) = ∫ A(k)ei(kx− ωt)dk
+∞
−∞
 (1) 
 
A função de onda de De Broglie gera as seguintes relações entre os 
momentos e a energia de um sistema físico, nas formas das equações (2) e (3): 
 
 p = ħk (2) 
 
UNIDADE 
01 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
 
 
 E = ħω (3) 
 
 
 
 
É importante destacar que, assim como todas as teorias envolvidas em 
qualquer área da ciência, a teoria de Schrödinger é uma teoria bem geral que 
inclui também a teoria Newtoniana como caso particular em limites macroscópicos. 
Um outro bom exemplo sobre generalização de teorias é a Relatividade de Einstein, 
que também inclui limites de baixas velocidades destacados pela teoria 
Newtoniana. 
Em resumo, trataremos no capítulo inicial as discussões, relacionadas aos 
aspectos considerados como fundamentais, da Mecânica Quântica de 
Schrödinger. Iremos durante todas as unidades do presente livro aplicar os 
conceitos, definições e equações envolvidas nesse contexto. 
 
1.2 A EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE SCHRÖDINGER 
Certamente você já ouviu falar que a Mecânica Quântica é uma teoria que 
não envolve, a princípio, a relatividade de Einstein. Em outras palavras, isso quer 
dizer que o movimento de partículas microscópicas deve sempre respeitar limites 
de velocidade que sejam bem menores do que a velocidade da luz. Conforme os 
movimentos apresentam velocidades próximas a da luz, podemos adotar algumas 
aproximações e correções relativísticas, mas isso, não será realizado aqui. 
Considere uma partícula, a nível microscópico, se movendo no eixo x e na 
presença de um potencial que denominaremos por V(x). Nesse caso, a força que 
atua sobre ela é dada na forma da equação (4): 
 
 
F = − 
d V(x)
dx
 (4) 
 
https://bit.ly/3h2lpHZ
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 
 
 
No contexto da Mecânica Clássica (ou Newtoniana), o passo principal seria 
determinar a equação de movimento para essa partícula, em função do tempo t. 
Já no contexto da Mecânica Quântica o objetivo principal é a determinação da 
função de onda que denominaremos como ψ(x, t). A partir dessa função, todas as 
quantidades e informações físicas sobre ela serão determinadas. Em outras 
palavras, através dos aspectos probabilísticos associados a função de onda, 
conseguimos determinar grandezas cinemáticas e grandezas dinâmicas 
relacionadas a esse movimento. 
Para o caso de uma partícula livre, é necessário que o potencial seja 
independente da posição em que a partícula se encontra, matematicamente isso 
quer dizer que V(x) = V. Sendo assim, a equação (1) se reduz a F = 0. Sobre esse 
caso, esperamos que a descrição quântica seja compatível com a clássica. Para 
isso iremos considerar que o potencial seja nulo, afinal, o valor nulo é também uma 
constate. A equação, segundo o teorema da conservação da energia, ficará 
dada então na forma da equação (5): 
 
 Etotal = Ecinética + Epotencial. (5) 
 
 
 
Considerando, como mencionado, que a energia potencial é nula e 
descrevendo a energia cinética em termos do momento linear p⃑ não relativístico, a 
equação (5) se transforma na equação (6): 
 
 
Etotal = 
p2
2m
 (6) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 
 
 
Nesse caso, m é a massa da partícula e p⃑ seu momento linear. Por questões 
de conveniência, iremos omitir o subíndice e considerar Etotal = E. Assim ficaremos 
com a equação na forma (7): 
 
 
E = 
p2
2m
 (7) 
 
Combinando a equação da conservação da energia, dada por (7), com as 
equações descritas em (2) e (3) encontramos a equação dada na forma (8): 
 
 
ω = 
ħk2
2m
 (8) 
 
Essa, substituída na onda de matéria de De Broglie (1) resulta em uma 
equação (9): 
 
 
ψ(x, t) = ∫ A(k)ei(kx− 
ħk2
2m
t)dk
+∞
−∞
 (9) 
 
Efetuando duas derivadas da função de onda acima, em relação a variável 
espacial obtemos a equação na forma (10): 
 
 ∂2ψ(x, t)
∂x2
= ∫ (ik)2A(k)ei(kx− 
ħk2
2m
t)dk
+∞
−∞
 (10) 
 
Considerando o número imaginário i2 = −1 e multiplicando os dois lados 
pelo fator 
iħ
2m
, obtemos a equação na forma (11): 
 
 iħ
2m
∂2ψ(x, t)
∂x2
= ∫ (−
iħ
2m
k2)A(k)e
i(kx− 
ħk2
2m
t)
dk
+∞
−∞
 (11) 
 
De maneira análoga, derivando (9) em relação ao tempo obtemos a 
equação na forma (12): 
 
 ∂ψ(x, t)
∂t
= ∫ (−
iħ
2m
k2)A(k)e
i(kx− 
ħk2
2m
t)
dk
+∞
−∞
 (12) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11 
 
 
Repare que o membro direito das equações (11) e (12) são idênticos. Nesse 
caso, podemos igualar os membros esquerdos, o que resulta na equação (13): 
 
 iħ
2m
∂2ψ(x, t)
∂x2
=
∂ψ(x, t)
∂t
 (13) 
 
Por questões de conveniência, multiplicamos esse resultado pelo fator iħ. 
Nesse caso a forma final da equação acima fica dada na forma da equação (14): 
 
 
−
ħ2
2m
∂2ψ(x, t)
∂x2
= iħ
∂ψ(x, t)
∂t
 (14) 
 
 
 
 
 
Não se esqueça que esses, por serem operadores diferenciais devem 
 
 (15) 
 
 (16) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12 
 
 
sempre virem acompanhados por funções, que no caso da Mecânica Quântica é 
a função de onda. Em termos técnicos dizemos que estamos aplicando os 
operadores quânticos nas funções de onda. Esses operadores, de acordo com as 
regras de transformação acima, permitem a interpretação quântica das 
grandezas clássicas momento linear e energia total dadas respectivamente por p ⃑⃑⃑ e 
E. É através deles que construímos toda a teoria quântica, a partir da teoria 
clássica de Newton. 
Repare que a lei de transformação obtida acima, no caso do momento 
linear, é obtida para essa grandeza ao quadrado. Para obter o caso não 
quadrático, basta utilizar o exemplo de uma onda plana monocromática dada 
pela seguinte função de onda, dada na forma da equação (17): 
 
 ψ(x, t) = A(k)ei(kx− ωt) (17) 
 
 
 
Não faremos essa obtenção, mas, é indicadoque você tente obter o 
resultado dado pela equação (18): 
 
 
p = −iħ
∂
∂x
 (18) 
 
Caso tenha dificuldade em encontrar esse resultado você pode consultar 
Griffiths (2011). 
Fica subentendido que, obtemos uma versão para uma partícula qualquer 
Griffiths
https://bit.ly/3ueAo5j
https://bit.ly/2RhWa9O
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13 
 
 
submetida a um potencial diferente de zero cuja equação da conservação da 
energia gera a equação na forma (19): 
 
 
E = 
p2
2m
+ V (19) 
 
Com base nessa equação, aplicando os operadores quânticos (11) e (12) 
em uma função de onda ψ(x, t) obtemos a equação na forma (20): 
 
 
−
ħ2
2m
∂2ψ(x, t)
∂x2
+ Vψ(x, t) = iħ
∂ψ(x, t)
∂t
 (20) 
 
Nesse caso geral em que o potencial é variável a partícula fica sujeita a uma 
força não nula dada por (4). Assim, a descrição quântica da partícula deverá ser 
compatível com a segunda lei de Newton da Mecânica Clássica. Se você quiser se 
aprofundar um pouco mais nos operadores quânticos, assim como na equação de 
Schrödinger, você pode consultar as obras de Griffiths (2011), e Eisberg e Resnick 
(1994), Alonso e Finn (2000) que são livros muito bons e recomendados em um curso 
de Mecânica Quântica e Estrutura da Matéria. 
 
1.3 A FUNÇÃO DE ONDA E SUA INTERPRETAÇÃO 
Esse talvez seja o tópico mais importante relacionado ao tema das soluções 
da equação de Schrödinger e as funções de ondas. Em outras palavras, esse é o 
principal tema relacionado a interpretação quântica de Schrödinger. O fato é que 
através da função de onda conseguimos determinar a posição aleatória da 
partícula quântica no caso microscópico. Isso será discutido com mais detalhes 
logo adiante e para fazê-lo, consideraremos, por questões de simplicidade o caso 
unidimensional. 
Inicialmente Schrödinger esperava que a função de onda apresentasse 
algum significado físico. Porém, o fator imaginário iħ já descartaria qualquer 
possibilidade do tipo, pois, torna a função de onda imaginária. Em contrapartida se 
fizermos o módulo ao quadrado dessa função obteremos, segundo a teoria dos 
números complexos, uma quantidade real que nesse caso será dada pela 
equação na forma (21): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14 
 
 
 |ψ(x, t)|2 = ψ(x, t)∗ψ(x, t) (21) 
 
Sendo o termo ψ(x, t)∗ dito complexo conjugado de ψ(x, t). O complexo 
conjugado é obtido trocando o sinal da parte imaginária da função de onda 
ψ(x, t). 
 
 
 
Vamos considerar um feixe de partículas microscópicas. Associada a esse 
feixe, iremos considerar uma função de onda dada por ψ. O feixe de onda passa 
pela fenda dupla em uma experiência de Young. Nesse caso, a onda então é 
dividida em outras duas que representaremos como ψ1 e ψ2. Essas funções de 
onda estão associadas também as duas fendas do experimento. Como resultado 
desse experimento observamos que as interferências entre as duas ondas geram 
regiões conhecidas como interferências construtivas e destrutivas. A situação 
descrita acima é representada pela figura abaixo. 
 
Figura 1: Experiência de dupla fenda 
 
Fonte: Lima e Zappa (2014, online) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15 
 
 
Nesse processo, após atravessar as fendas, ocorrerá a superposição das 
ondas ψ1 e ψ2. Matematicamente isso quer dizer que a função de onda é dada 
pela equação (22): 
 
 ψ = ψ1 + ψ2 (22) 
 
Vamos considerar as funções de onda como sendo ondas planas dadas 
respectivamente pelas seguintes funções nas formas (23) e (24): 
 
 ψ1 = |ψ1|e
iϕ1 (23) 
 
 
 ψ2 = |ψ2|e
iϕ2 (24) 
 
Nas funções de onda acima os fatores ϕ1 e ϕ2 são dadas respectivamente 
pelas equações (25) e (26): 
 
 ϕ1 = k1x − ω1t (25) 
 
 ϕ2 = k2x − ω2t (26) 
 
E são nomeadas como fases associadas a cada onda. Já vimos que a 
localização das partículas depois das fendas é dada pelo módulo ao quadrado da 
função de onda, que gera a equação (27): 
 
|ψ|2 = (ψ1
∗ + ψ2
∗)(ψ1 + ψ2) 
 
|ψ|2 = |ψ1|
2 + |ψ2|
2 + ψ2
∗ψ1 + ψ1
∗ψ2 
 
|ψ|2 = |ψ1|
2 + |ψ2|
2 + |ψ1||ψ2|[e
−i(ϕ2−ϕ1) + ei(ϕ2−ϕ1)] 
 
 |ψ|2 = |ψ1|
2 + |ψ2|
2 + 2|ψ1||ψ2| cos(ϕ2 − ϕ1) (27) 
 
É importante mencionar que na última passagem foi utilizado a identidade 
trigonométrica em termos do número de Euller. Esse é dado pela equação (28): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
16 
 
 
 e−iα + eiα = 2cos α (28) 
 
A equação (28) contém duas quantidades físicas, que como já discutido são 
|ψ1|
2 e |ψ2|
2. Essas grandezas são associadas a intensidade de cada feixe de 
partículas que passam pelas fendas somado ao termo de interferência 
2|ψ1||ψ2| cos(ϕ2 − ϕ1). As fases ϕ1 e ϕ2 são quantidades variáveis que dependem 
dos pontos de observação. Essas fases geram o padrão de interferência entre as 
ondas gerando ondas construtivas ou destrutivas. A equação (27) mostra diferentes 
probabilidades das partículas de serem encontradas em diferentes posições do 
eixo x. Segundo Bohr, a probabilidade de uma partícula estar localizada entre as 
posições x e x + dx, em um determinado instante de tempo é infinitesimalmente 
representado pela equação (29): 
 
 dP = p(x, t)dx = |ψ(x, t)|2dx = ψ(x, t)∗ψ(x, t)dx (29) 
 
sendo p(x, t) = |ψ(x, t)|2 = dP dx⁄ uma quantidade que se refere a uma 
densidade de probabilidade. Dessa forma, a probabilidade de encontrar uma 
partícula dentro de uma região do espaço limitada por x1 e x2, em um 
determinado instante t, será dada na forma da equação (30): 
 
 
P = ∫ |ψ(x, t)|2dx
x2
x1
= ∫ ψ(x, t)∗ψ(x, t)dx
x2
x1
 (30) 
 
É fácil mencionar que, de fato, a partícula deve se localizar em algum ponto 
do espaço, em consequência disso, a função de onda deve satisfazer a seguinte 
condição denominada normalização, dada pela equação (31): 
 
 
∫ |ψ(x, t)|2dx
∞
−∞
= ∫ ψ(x, t)∗ψ(x, t)dx
∞
−∞
= 1 (31) 
 
Uma observação importante a ser mencionada é que a função de onda 
deve ser localizada e a integral devem convergir. Como de fato é destacado em 
(31). Também é importante destacar que a densidade de probabilidade carrega 
uma informação temporal. Isso gera algumas definições devido ao fato das 
funções ψ(x, t) e ψ(x, t)∗ satisfazerem a equação de onda da partícula livre dadas 
nas formas das equações (32) e (33): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
17 
 
 
 
 
−
ħ2
2m
∂2ψ(x, t)
∂x2
= iħ
∂ψ(x, t)
∂t
 (32) 
 
 
−
ħ2
2m
∂2ψ(x, t)∗
∂x2
= −iħ
∂ψ(x, t)∗
∂t
 (33) 
 
Considerando as equações acima, podemos obter a dependência 
temporal da densidade de probabilidade, no caso da partícula livre. Em outras 
palavras isso quer dizer que obteremos a equação na forma (34): 
 
∂ 
∂t
p(x, t) = 
∂
∂t
( ψ(x, t)∗ψ(x, t)) = ψ(x, t)∗
∂
∂t
ψ(x, t) + ψ(x, t)
∂ 
∂t
ψ(x, t)∗ 
= ψ(x, t)∗ (−
ħ
2im
∂2ψ(x, t)
∂x2
) + ψ(x, t) (
ħ
2im
∂2ψ(x, t)∗
∂x2
) 
= −
ħ
2im
(ψ(x, t)∗
∂2ψ(x, t)
∂x2
− ψ(x, t)
∂2ψ(x, t)∗
∂x2
) 
= −
∂
∂x
(
ħ
2im
(ψ(x, t)∗
∂ψ(x, t)
∂x
− ψ(x, t)
∂ψ(x, t)∗
∂x
)) 
 
 ∂ 
∂t
p(x, t) = −
∂
∂x
(
ħ
2im
(ψ(x, t)∗
∂ψ(x, t)
∂x
− ψ(x, t)
∂ψ(x, t)∗
∂x
)) (34) 
 
 
 
 
 (35) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
18 
 
 
 
 
A equação da continuidade carrega a informação de que um aumento da 
densidade, em uma pequena região do espaço, é compensado por uma redução 
do fluxo que atravessa a superfície que envolve essa região. 
 
 (36) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19 
 
 
FIXANDO O CONTEÚDO 
1. A Mecânica Quântica de Schrödinger, na época, foi uma teoria revolucionária 
que levou a quebra de muitos paradigmas da comunidade científica. 
 
Considerando a afirmação acima, marque a alternativa correta sobre a Teoria 
Quântica. 
 
a) Foi uma diferente visão introduzida nos sistemas microscópicos. Nesse caso foi 
introduzido a visão ondulatória para esses sistemas, o que até então eram 
considerados sistemas corpusculares. 
b) A grande contribuição da Mecânica Quântica se deve ao fato das 
transformações de Lorentz que introduziu a noção de invariância da equação 
de onda. 
c) Essa teoria marcou a época devido a substituição das equações da mecânicaNewtoniana pela equação de Schrödinger. Nesse caso, as equações de 
Newton foram totalmente abolidas. 
d) É extremamente recomendada para o estudo de corpos gigantescos como por 
exemplo problemas relacionados aos sistemas celestes. 
e) É uma teoria de vínculos e também é denominada na literatura como teoria de 
Hamilton. 
 
2. Um fator extremamente interessante, derivado da Teria de Schrödinger é a 
noção de operadores diferenciais, ou seja, quantidades que eram tratadas 
como variáveis na teoria de Newton, passam a ser tratadas como operadores. 
 
Considerando a afirmação acima, marque a alternativa correta sobre o 
operador momento quântico. 
 
a) Matematicamente é dado na forma, p = −ħ2
∂2
∂x2
. 
b) Não precisa ser necessariamente aplicado a uma função. 
c) Na teoria quântica o momento é uma grandeza inexistente. 
d) O operador momento é dado pela derivada parcial da função de onda em 
relação ao tempo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20 
 
 
e) É dado através da derivada parcial da função de onda em relação a posição. 
 
3. A Mecânica Quântica de Schrödinger é uma teoria que introduziu a noção de 
ondulatória em sistemas microscópicos. Dessa forma a posição, o momento, a 
energia e várias outras grandezas passam a ser determinadas através de uma 
função denominada função de onda. 
 
Considerando a afirmação acima, marque a alternativa que expressa a 
denominada equação de Schrödinger para a partícula livre. 
 
a) −
ħ2
2m
∂2ψ(x,t)
∂x2
= iħ
∂ψ(x,t)
∂t
 
b) É uma equação que viola o princípio da conservação de energia, uma vez que 
a teoria quântica é baseada em valores proibidos para a energia. 
c) A equação de Schrödinger depende única e exclusivamente das derivadas 
parciais da função de onda em relação a posição e ao tempo. Dessa forma, 
exclui quantidades que classicamente seriam importantes, como por exemplo a 
massa da partícula. 
d) Não existe noção de tempo na teoria quântica e por isso esse parâmetro está 
ausente na equação de onda. 
e) A noção de posição, segundo a equação de Schrödinger para a partícula livre, 
é introduzida pelo operador energia. 
 
4. Os operadores diferenciais da Mecânica Quântica, para produzirem algum 
efeito, devem ser aplicados em funções. Nesse contexto as funções tratadas 
nessa teoria são denominadas funções de onda. 
 
Considerando a afirmação acima, marque a alternativa correta em relação as 
funções de onda. 
 
a) As funções de onda aparecem explicitamente no princípio da incerteza de 
Heisenberg. 
b) Na visão quântica as funções de onda representa a energia de um sistema 
quântico. 
c) O momento quântico é dado pela multiplicação entre a função de onda e sua 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
21 
 
 
derivada parcial em relação ao tempo. 
d) As funções de onda não apresentam significado físico. Na verdade, a noção 
probabilística, que é a interpretação física dessas funções, é dada pelo módulo 
ao quadrado das funções de onda. 
e) A função de onda não é solução da equação de Schrödinger. A solução dessa 
equação é na verdade o módulo ao quadrado dessas funções. 
 
5. O princípio da conservação da energia é um dos princípios mais importantes de 
toda a física. De uma maneira bem elegante a conservação de energia, assim 
como a conservação de qualquer outra quantidade, é representada por uma 
equação diferencial denominada equação da continuidade. 
 
Considerando a afirmação acima, em relação a equação da continuidade, 
marque a alternativa correta. 
 
a) A equação matemática da continuidade é dada pela equação de Scrödinger 
ao quadrado. 
b) A equação da continuidade destaca que o aumento na densidade de uma 
determinada grandeza é compensada pela diminuição do fluxo da mesma 
grandeza que atravessa uma superfície. 
c) A interpretação física da equação da continuidade é dada como sendo a 
probabilidade de encontrar uma partícula microscópica em uma região entre 
x e x + dx. 
d) A densidade de probabilidade, na equação da continuidade é dada pela 
multiplicação da função de onda com seu módulo ao quadrado. 
e) É uma equação diferencial parcial de segunda ordem no tempo. 
 
6. As funções de onda são funções genéricas que devem satisfazer a equação de 
onda de Schrödinger. 
 
Considerando a afirmação acima, em relação as funções de onda, marque a 
alternativa da função de onda que satisfaz a equação de Schrödinger 
unidimensional para a partícula livre. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22 
 
 
a) ψ(x, t) = ax + t. Sendo a um parâmetro qualquer, x a variável posição e t a 
variável temporal. 
b) ψ(x, t) = ax2 + bt + c. Nesse caso, a, b e c são coeficientes que podem assumir 
quaisquer valores. 
c) ψ(x, t) = Ψ(x)e−iE
t
ħ⁄ . Com E sendo uma constante que representa a energia total 
do sistema. 
d) É impossível a determinação da função de onda, solução da equação de 
Schrödinger, de maneira geral, sem as denominadas condições de contorno. 
e) O que determina se uma função de onda é fisicamente válida é sua condição 
de normalização. Em outras palavras, isso quer dizer que, o módulo da função 
de onda ao quadrado deve ser igual a zero. 
 
7. A teoria quântica de Schrödinger é baseada em vários princípios, teoremas e 
propriedades. Um dos princípios ao qual a Mecânica Quântica deve respeitar é 
o denominado princípio da incerteza de Heisenberg. 
 
Considerando a afirmação acima, marque a alternativa que melhor define o 
princípio da incerteza. 
 
a) O princípio da incerteza fornece informações sobre a posição e o momento de 
uma partícula microscópica. De forma que determinando um, fica possível 
determinar o outro. 
b) É um princípio extremamente relativo, uma vez que, só funcionada em 
determinadas situações. 
c) Serve para a determinação da função de onda, que é a solução da equação 
de Schrödinger. 
d) O termo incerteza está diretamente ligado ao fato de não se pode determinar, 
ao mesmo tempo e com total precisão a posição e o momento de uma 
partícula microscópica. 
e) Está relacionado com a positividade da função de onda. 
 
8. Considere uma partícula microscópica de massa m e sob a ação de um 
potencial constante dado na forma, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
23 
 
 
V(x) = k. 
 
Sendo k uma constante. Considerando o potencial acima, a equação de 
Schrödinger é dada na forma. 
 
a) −
ħ2
2m
∂2ψ(x,t)
∂x2
= iħ
∂ψ(x,t)
∂t
. 
b) −
ħ2
i
∂2ψ(x,t)
∂x2
+ kψ(x, t) = iħ
∂ψ(x,t)
∂t
. 
c) −
ħ2
2m
∂2ψ(x,t)
∂x2
+ kψ(x, t) = −ħ
∂ψ(x,t)
∂t
. 
d) −
ħ2
2m
∂2ψ(x,t)
∂t2
+ kψ(x, t) = iħ
∂ψ(x,t)
∂x
. 
e) −
ħ2
2m
∂2ψ(x,t)
∂x2
+ kψ(x, t) = iħ
∂ψ(x,t)
∂t
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
24 
 
 
ASPECTOS PROBABILÍSTICOS DA 
EQUAÇÃO DE ONDA DE 
SCHRÖDINGER 
 
 
2.1 INTRODUÇÃO 
Na presente unidade trataremos de maneira mais específica a visão 
probabilística da Mecânica Quântica. Para isso, discutiremos alguns aspectos 
interessantes da equação de onda de Schroedinger, como por exemplo, o método 
da separação de variáveis. Através dele discutiremos qualitativamente o 
comportamento do setor independente do tempo da função de onda e assim 
introduziremos algumas outras quantidades probabilísticas como por exemplo o 
valor esperado de alguns observáveis. 
 
2.2 EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER INDEPENDENTE DO TEMPO 
Como já introduzida, já é sabido que a teoria quântica de Schroedinger é 
toda baseada em uma equação de conservação de energia e que essa é uma 
equação diferencial parcial. É sabido também que a solução dessa equação é 
que determina a dependência espacial e também temporal da função de onda. 
A função de onda é quem controla o movimento da partícula no nível 
microscópico. Como estamos tratando até o presente momento apenas o 
problemas unidimensionais, a função de onda, nesse caso, apresenta as variáveis x 
e t como variáveis independentes. 
Vale lembrar e destacar que, o potencial dado por (4), que atua em 
sistemasmicroscópicos apresenta dependência espacial e temporal. Apesar disso, 
na grande maioria das vezes, ele pode ser considerado como uma função que 
apresenta apenas dependência espacial, sem perda de generalidade. Dessa 
forma, podemos escrever uma equação de Schrödinger, com o potencial na 
forma da equação (37): 
 
 
−
ħ2
2m
∂2ψ(x, t)
∂x2
+ V(x)ψ(x, t) = iħ
∂ψ(x, t)
∂t
 (37) 
 
UNIDADE 
02 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
25 
 
 
Repare que as variáveis espaciais e temporais são variáveis independentes e 
isso facilita muito a obtenção da solução para equações diferenciais parciais 
desse tipo. O método a ser utilizado é o denominado separação de variáveis. 
Dessa forma, conseguiremos obter uma solução para a parte espacial e uma para 
a parte temporal de maneira independente. 
 
 
 
Segundo o método da separação de variáveis podemos supor a solução da 
equação (37) na forma (38): 
 
 ψ(x, t) = Ψ(x)φ(t) (38) 
 
Ou seja, uma parte totalmente espacial e uma totalmente temporal. O 
objetivo agora é verificar se nossa suposição satisfaz a equação (37). Ou seja, se a 
equação fica dada na forma (39): 
 
 
−φ(t)
ħ2
2m
d2Ψ(x)
dx2
+ V(x)Ψ(x)φ(t) = iħΨ(x)
dφ(t)
dt
 (39) 
 
Dividindo toda a equação pela possível solução (38) obtemos a equação 
na forma (40): 
 
 
−
ħ2
2m
d2Ψ(x)
dx2
+ V(x)Ψ(x)
Ψ(x)
= 
iħ
dφ(t)
dt
φ(t)
 (40) 
 
É importante destacar o fato de que o lado esquerdo da equação acima 
depende apenas da variável espacial x. Já o lado direito apresenta dependência 
apenas da variável temporal t. Através desse fato podemos fazer a seguinte 
afirmação: A igualdade entre duas funções de diferentes variáveis só é satisfeita se 
https://bit.ly/3tfaMEn
 
 
 
 
 
 
 
 
 
26 
 
 
estas forem iguais a uma constante independente de ambas as variáveis. Dessa 
forma, iremos considerar α como sendo uma constante e assim, (40) se transforma 
em duas equações, sendo uma para Ψ(x) e a outra para φ(t) representadas pelas 
equações (41) e (42): 
 
 
−
ħ2
2m
d2Ψ(x)
dx2
+ V(x)Ψ(x) = αΨ(x) (41) 
 
 
iħ
dφ(t)
dt
= αφ(t) (42) 
 
A segunda equação é uma equação diferencial ordinária de primeira 
ordem, cuja solução é, a menos de uma constante, dada na forma (43): 
 
 φ(t) = e−iα
t
ħ⁄ (43) 
 
É importante mencionar que, a função de onda deve apresentar uma 
componente temporal oscilante, ou seja, algo do tipo e−iωt. Dessa forma, a solução 
(43) fica parametrizada pela frequência angular ω dada na forma da equação 
(44): 
 
 ω = α ħ⁄ (44) 
 
Essa, também pode ser reescrita na forma da equação (45): 
 
 α = ħω = E (45) 
 
Nesse caso, E é a energia total do sistema quântico. Com essas informações 
a solução (43) se transforma na função dada na forma (46): 
 
 φ(t) = e−iE
t
ħ⁄ (46) 
 
e a equação diferencial espacial fica dada na forma (47): 
 
 
−
ħ2
2m
d2Ψ(x)
dx2
+ V(x)Ψ(x) = EΨ(x) (47) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
27 
 
 
 
 
O produto formado pelas funções espacial e temporal dado em (38) é de 
fato uma solução para a equação diferencial. Essa será a solução sempre que um 
determinado valor especifico de energia E = En, com n sendo um índice inteiro, for 
capaz de gerar soluções particulares Ψ = Ψn que sejam fisicamente aceitáveis, da 
equação independente do tempo. Como resultado, a equação de Schrödinger, 
pelo método da separação de variáveis, gera soluções de uma forma bem 
especial do tipo (48): 
 
 ψn(x, t) = Ψn(x)e
−iEn
t
ħ⁄ (48) 
 
Essas soluções, que correspondem a valores de energia com diferentes 
números inteiros, são soluções particulares da equação de Schrödinger. A solução 
geral é obtida através da combinação linear dessas soluções. 
Ao calcular a densidade de probabilidade, com (48) obtemos a equação 
(49): 
 
 |Ψn(x, t)|
2 = |Ψn(x)|
2e−iEn
t
ħ⁄ eiEn
t
ħ⁄ = |Ψn(x)|
2 (49) 
 
Isso quer dizer que, o mesmo valor de energia, apresenta em termos 
probabilísticos uma invariância temporal. Esse é o fato que nomeia as soluções 
Ψn(x, t) como diferentes estados estacionários, ou simplesmente configurações 
espaciais do sistema quântico. 
 
2.3 VALOR ESPERADO 
Uma vez que já sabemos que ψ(x, t) é a função de onda de uma partícula 
microscópica e |ψ(x, t)|2 sua densidade de probabilidade, que define todos seus 
aspectos probabilísticos associados a esse sistema, passaremos ao estudo de mais 
uma quantidade estatística. Já foi mencionado que através da quantidade 
|ψ(x, t)|2 conseguimos determinar todas as quantidades e informações físicas do 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
28 
 
 
sistema quântico. Essas quantidades foram denominadas por nós como sendo 
grandezas mensuráveis ou simplesmente observáveis. Alguns bons exemplos desses 
observáveis são a posição, a força, o momento e também a energia do sistema. 
Classicamente a posição x(t) de uma determinada partícula, em um 
determinado instante de tempo, é uma grandeza primitiva que permite a 
derivação de novas grandezas como a derivada do momento, a força e a 
energia. Sabe-se que o momento linear p(t) pode ser obtido por meio da posição 
x(t) através da derivada. Dessa forma obremos uma equação na forma (50): 
 
 
p(t) = m
d
dt
x(t) (50) 
 
Uma vez que a partícula está submetida a um potencial V(x, t) a força pode 
ser determinada de acordo com a segunda lei de Newton. Essa, pode ser expressa 
em termos do momento linear na forma da equação (51): 
 
 
F(t) =
d
dt
p(t) = −
∂
∂x
V(x, t) (51) 
 
A nível quântico, vimos que a posição de uma partícula está associada a 
uma densidade de probabilidade, dessa forma, o mesmo deve ocorrer com todas 
as outras grandezas físicas associadas a essa densidade de probabilidade. Isso 
quer dizer que as grandezas físicas, como por exemplo o momento p(t), a força F(t) 
e a energia E, devem por esses argumentos estarem ligados a esses aspectos 
probabilísticos. 
É claro que não devemos deixar de mencionar que a probabilidade já havia 
sido prevista pelo princípio da incerteza de Heisenberg, mesmo que feita apenas 
em relação a posição e ao momento de uma partícula em um sistema físico 
quântico. 
 
 
 
https://bit.ly/3ufRGPG
 
 
 
 
 
 
 
 
 
29 
 
 
Quando medidos muitas vezes a posição de uma partícula macroscópica, 
essa, deve resultar em um conjunto de valores possíveis dessa grandeza. Em termos 
de valor esperado, esse é dado nesse caso, como sendo a média das flutuações 
ao redor da média dessas medidas. De maneira análoga, para o caso de uma 
partícula microscópica, a determinação de um observável pode ser dada em 
termos de um valor esperado e também uma incerteza associada a essa medida. 
As componentes estatísticas devem então depender da função de onda ψ(x, t) 
que representa o sistema quântico de interesse. 
 
 
 
Para definir essa quantidade, vamos imaginar uma grandeza G que foi 
medida N vezes. Nessas medidas os valores Gi são obtidos Ni vezes. Assim, o valor 
esperado dessa grandeza será dado pela equação (52): 
 
 
〈G〉 = 
∑ ni
N
i=1 Gi
N
= 
∑ Gi
N
i=1 ni
∑ ni
N
i=1
 (52) 
 
Quanticamente, vamos supor que G é uma função da posição x da 
partícula em nível microscópico. Nesse caso, o valor G(x) ocorre com a mesma 
probabilidade dP = |ψ(x, t)|2dx de ser encontrada entre o intervalo x e x + dx. O 
valor esperado então será calculado seguindo a equação (52), onde será trocado 
Ni por dP e o somatório será trocado por integrais. A maneira mais apropriada para 
escrevermos a equação (52) é na forma da equação (53): 
 
 
〈G(x)〉 = 
∫ G(x)dP
∞
−∞
∫ dP
∞
−∞
= 
∫ G(x)|ψ(x, t)|2dx
∞
−∞
∫ |ψ(x, t)|2dx
∞
−∞
 (53) 
 
Considerando a condição de normalização ∫ |ψ(x, t)|2dx
∞
−∞
= 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
30 
 
 
 
 
O valor esperado fica dado então pela equação (54): 
 
 
〈G(x)〉 = ∫ G(x)|ψ(x, t)|2dx
∞
−∞
 (54) 
 
 
 
Fazendo ainda analogias a sistemas clássicos, podemos fazer inúmeras 
medições da grandeza representada por G. Essas medições irão gerarflutuações 
relacionadas com o valor esperado 〈G(x)〉. Essas flutuações são introduzidas através 
do conceito de desvio padrão, ou também conhecido como incerteza ∆G, dado 
na forma (56): 
 
 〈G(x)〉 = ∆G = √〈(G − 〈G〉)2〉 (56) 
 
Essa quantidade também pode ser melhor escrita de uma maneira mais 
apropriada como a equação (57): 
 
∆G2 = 〈(G − 〈G〉)2〉 = 〈G2 − 2G〈G〉 + 〈G〉2〉 
 
= 〈G2〉 − 2〈G〉〈G〉 + 〈G〉2 
 
 ∆G2 = 〈G2〉 − 〈G〉2 (57) 
 
 
 (55) 
https://bit.ly/3aYNoEG
 
 
 
 
 
 
 
 
 
31 
 
 
 
 
Considerando o presente formalismo, o valor esperado da posição x em 
nível microscópico, da partícula é dado pela equação (59): 
 
 
〈x〉 = ∫ ψ(x, t)∗xψ(x, t)dx.
∞
−∞
 (59) 
 
Essa quantidade assume um significado especial e muito importante, de 
forma que, se x(t) é uma grandeza fundamental classicamente, 〈x(t)〉 apresenta o 
mesmo papel a nível quântico. Através dessas informações podemos calcular 
também o valor esperado do momento p da partícula microscópica que fica dado 
na forma da equação (60): 
 
 
〈p〉 = ∫ ψ(x, t)∗pψ(x, t)dx
∞
−∞
 (60) 
 
Utilizando a associação entre a transformação do momento em um 
operador diferencial (18), obtemos a equação na forma (61): 
 
 
〈p〉 = ∫ ψ(x, t)∗
ħ
i
∂
∂x
ψ(x, t)dx.
∞
−∞
 (61) 
 
 
 
 
 
 (58) 
 
 
 (62) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
32 
 
 
 
 
2.4 AUTOFUNÇÕES 
Vamos agora, na presente seção estudar e discutir mais afundo sobre as 
soluções aceitáveis relacionadas a equação de Schrödinger utilizando apenas 
argumentos qualitativos. Utilizaremos de início e como base para essa discussão a 
equação independente do tempo dada por (47). Nesse contexto iremos 
reescrever essa equação na forma (63): 
 
 d2Ψ(x)
dx2
= −
2m
ħ2
[E − V(x)]Ψ (63) 
 
É evidente que o comportamento de uma determinada função de onda 
apresenta dependência direta com a forma da energia potencial, uma vez que é 
essa grandeza que determina a força atuante no sistema. Para critério de 
ilustração, vamos considerar o seguinte potencial representado pela figura abaixo. 
 
Figura 2: Potencial em função da posição 
 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2021) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
33 
 
 
Essa é a situação que também inclui um valor escolhido para a energia total 
do sistema. É importante destacar que esse valor pode ser assumido como um 
autovalor de energia na equação de Schrödinger e que também satisfaz a 
condição dada pela equação (64): 
 
 E = V(x), x = x1, x = x2 (64) 
 
 
 
Expressando a energia cinética em termos do momento linear, segundo a 
equação da conservação da energia (19) obtemos a equação dada nas formas 
(65) e (66): 
 
 
K = E − V(x) = 
p2
2m
 (65) 
 
 p = √2m[E − V(x)] (66) 
 
A equação acima diz que os valores reais possíveis do momento p devem 
satisfazerem a relação, E ≥ V(x). As regiões x < x1 e x > x2, onde vale E < V(x), são 
conhecidas como regiões classicamente proibidas. A limitação é claro não se 
estende para partículas microscópicas, apesar disso os pontos x1 e x2 são pontos 
conhecidos como pontos de transição clássica e ajudam na determinação do 
comportamento geral das autofunções. Vamos reescrever (63) na forma (67): 
 
 d2Ψ(x)
dx2
= −α2Ψ (67) 
 
Sendo α2 dado pela equação (68): 
 
 
α2 = 
2m
ħ2
[E − V(x)] (68) 
https://bit.ly/3ueAo5j
 
 
 
 
 
 
 
 
 
34 
 
 
Essa equação evidencia o comportamento da função de onda que agora 
depende do sinal do parâmetro α. Através de técnicas de cálculo diferencial, a 
condição 
dΨ(x)
dx
= 0 define o ponto x = x0, tal que: 
 
d2Ψ(x)
dx2
> 0 → x0 é ponto de mínimo; 
d2Ψ(x)
dx2
< 0 → x0 é ponto de máximo 
 
A figura 2 ilustra que nas regiões 1 e 3 (R1e R3 respectivamente) o parâmetro 
é positivo devido ao fato da energia total ser menor do que o potencial, ou seja, 
α2 < 0, pois, E < V(x). Em contra partida, na região 2 o parâmetro é positivo, pois a 
energia total é maior do que o potencial, ou seja, E > V(x). Dessa forma a 
equação (67) mostra que os sinais de Ψ(x) e 
d2Ψ(x)
dx2
 são os mesmos nas regiões 1 e 3, 
já na região 2 são contrários. Mais especificamente na região 1 e 3 a função de 
onda apresentará um ponto de mínimo se Ψ(x) é positivo (Ψ(x) > 0) e ponto de 
máximo se Ψ(x) é negativo (Ψ(x) < 0). De maneira contrária na região 2 a função 
de onda apresentará um ponto de máximo se Ψ(x) > 0 e de mínimo se Ψ(x) < 0. A 
figura abaixo é uma situação ilustrativa representa essa discussão de maneira 
resumida e mais clara para facilitar o entendimento. 
 
Figura 3: Função de onda para a partícula sujeita ao potencial representado em Figura 2 
 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2021) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
35 
 
 
A discussão feita acima, nos diz em outras palavras que, a equação de 
Schrödinger independe do tempo pode ser utilizada para a determinação do 
comportamento da função de onda da partícula. Nesse caso buscamos apenas 
resultados qualitativos obtidos a partir do cálculo diferencial aplicado ao potencial 
V(x). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
36 
 
 
FIXANDO O CONTEÚDO 
1. A equação de Schrödinger é uma equação do tipo diferencial parcial. Sua 
solução é dada por uma função de onda dependente do tempo e do espaço, 
ou seja, é uma função que depende de no mínimo uma coordenada espacial e 
uma temporal. 
 
Considerando a afirmação acima, marque a alternativa correta em relação a 
solução da equação de Schrödinger. 
 
a) A solução da equação de onda sempre será uma função contendo um fator 
exponencial, em todos os casos. 
b) Um dos métodos utilizados para a solução da equação de onda de Schrödinger 
pode ser o método da separação de variáveis. Esse método consiste em supor a 
solução geral na forma de um produto entre uma função dependente apenas 
das coordenadas espaciais e a outra uma função dependente apenas da 
coordenada temporal. 
c) Uma propriedade que deve ser respeitada pela função de onda é a nulidade do 
seu módulo ao quadrado. 
d) Dizer que uma função de onda é solução da equação de onda é o mesmo que 
dizer que o produto dela com ela mesma é igual a zero. 
e) São funções que dependem apenas de uma parte imaginária. 
 
2. O eletromagnetismo é uma teoria clássica que teve um avanço extremamente 
importante após a descoberta da equação da onda eletromagnética. A 
equação de onda se estendeu por exemplo para diferentes áreas, como por 
exemplo a Mecânica Quântica. 
 
Considerando a afirmação acima, marque a alternativa correta sobre a 
equação de onda. 
 
a) A equação de onda, tanto para o eletromagnetismo, tanto para a mecânica 
quântica segue a mesma estrutura matemática, ou seja, duas derivadas parciais 
em relação as coordenadas espaciais e uma derivada parcial em relação a 
Samsung
Realce
Samsung
Realce
 
 
 
 
 
 
 
 
 
37 
 
 
coordenada temporal. 
b) As funções de ondas de um determinado caso específico, que são soluções das 
equações de onda, seguem sempre um padrão estrutural que é independente 
das suas condições de contorno. 
c) O método da separação das variáveis é um método de solução da equação de 
onda ineficaz. 
d) Funções lineares do tipo primeiro grau, segundo grau e polinômios são sempre 
boas sugestões para teste na equação de onda. Uma vez que essas funções são 
de fácil derivação. 
e) O método dos mínimos quadrados se encaixa perfeitamente como uma técnica 
de resolução da função de onda. Uma vez que esse método, é muitas vezes, 
associados a medidas estatísticas. 
 
3. Uma das grandes contribuições da Mecânica Quântica para a ciência moderna 
foi a introdução de uma visão probabilística em relação a posição e as outras 
grandezas associadas a uma partícula microscópica. 
 
Considerando a afirmação acima, marque a alternativa que descreve o 
conceito de valor esperado, no contexto dessa teoria. 
 
a) Matematicamente, por exemplo, o valor esperado de um observável qualqueré 
dado na forma, 〈G(x)〉 = i ∫ ψ(x, t)∗G(x)ψ(x, t)dx
∞
−∞
. 
b) Não faz sentido em pensar em valor esperado na teoria quântica, uma vez que, 
segundo o princípio da incerteza, fica impossível determinar qualquer 
quantidade probabilística. 
c) O valor esperado é o mesmo que a probabilidade de encontrar uma partícula 
microscópica dentro de uma região limitada por x e x + dx. 
d) A única quantidade possível de ser determinada na teoria quântica é o 
momento. Através dele, todas as outras quantidades podem ser derivadas. 
e) No caso contínuo, o valor esperado de um observável é dado em termos da 
integral da função de onda, multiplicada pelo observável, multiplicada pelo 
complexo conjugado da função de onda. 
 
 
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38 
 
 
4. Considere uma partícula livre, de massa m e energia E, se movendo sob a ação 
de um potencial constante dado na forma, 
 
V(x) = k. 
 
Sendo k uma constante. Considerando o potencial acima, o valor esperado do 
momento quântico é dado na forma. 
 
a) 〈p〉 = ∫ ψ(x, t)∗E(t)ψ(x, t)dx
∞
−∞
.. 
b) 〈p〉 = −i∫ ψ(x, t)∗p(x)E(t)ψ(x, t)dx
∞
−∞
.. 
c) 〈p〉 = −(i2) ∫ ψ(x, t)∗p(x)ψ(x, t)dx
∞
−∞
.. 
d) 〈p〉 = mħ∫ ψ(x, t)∗p(x)ψ(x, t)dx
∞
−∞
.. 
e) 〈p〉 = ∫ ψ(x, t)∗p(x)x(t)ψ(x, t)dx
∞
−∞
.. 
 
5. A equação de onda de Schrödinger é uma equação diferencial parcial 
contendo termos de segunda ordem nas coordenadas espaciais e de primeira 
ordem na coordenada temporal. 
 
Considerando a afirmação acima, em relação a solução dessa equação, 
marque a alternativa correta. 
 
a) A função de onda, solução da equação de Schrödinger, independe do 
potencial ao qual o sistema quântico está sob a ação. 
b) As funções de onda sempre podem ser escritas na forma polinomial, uma vez 
que esse tipo de função obedece todas as propriedades da teoria 
quântica. 
c) Uma boa tentativa para a solução da equação de onda são funções cíclicas. 
Ou seja, funções que apresentam segundas derivadas iguais a própria função. 
Isso é justificado pela igualdade entre a derivada de segunda ordem no espaço 
e a de primeira ordem no tempo, na equação de onda. 
d) O que determina o tipo de função de onda e suas propriedades são grandezas 
clássicas como, por exemplo, a massa de uma partícula microscópica. 
e) Uma função de onda é a grosso modo a trajetória quântica de um sistema 
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39 
 
 
quântico. Em outras palavras é ela que determina de maneira exata de como o 
sistema irá evoluir. 
 
6. Considere uma partícula com massa m e energia E, se movendo sob a ação de 
um potencial dado na forma, 
 
V(x) = 3 + 
1
x7
. 
 
O valor esperado da posição dessa partícula é dado na forma. 
 
a) 〈x〉 = ∫ ψ(x, t)∗pψ(x, t)dx
∞
−∞
.. 
b) 〈x〉 = −i∫ ψ(x, t)∗xpψ(x, t)dx
∞
−∞
.. 
c) 〈x〉 = −(i2) ∫ ψ(x, t)∗xψ(x, t)dx
∞
−∞
.. 
d) 〈x〉 = mħ∫ ψ(x, t)∗xψ(x, t)dx
∞
−∞
.. 
e) 〈x〉 = ∫ ψ(x, t)∗p. xψ(x, t)dx
∞
−∞
.. 
 
7. Funções de ondas cíclicas são as mais indicadas para serem solução da 
equação de Schrödinger, uma vez que essa é uma função de onda e onda é 
um tipo específico de movimento. Ondas são caracterizadas por sucessivos 
pulsos e pela propagação de energia. Considere a seguinte função de onda, 
independente do tempo, dada na forma, 
 
Ψ(x) = Aeikx + Beikx 
 
Sendo A e B constantes. Considerando a afirmação acima, o operador momento 
quando atuado na função de onda acima gera: 
 
a) p = ħ[A + B]keikx. 
b) p = −ħAkeikx − Bke−ikx. 
c) p = −ħ(B + A)keikx − Bke−ikx. 
d) p = −ħ(B + A)keikx − Bke−ikx. 
e) p = −iħ[A + B]keikx. 
 
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40 
 
 
8. Considere uma partícula de massa m e energia E sob a ação de um 
determinado potencial. Nesse caso a função de onda, com dependência 
temporal, solução da equação de Schrödinger é dada na forma, 
 
Ψ(t) = Ae−ikt 
 
Considerando A como sendo uma constante, o operador energia, quando 
atuado na função de onda acima gera: 
 
a) E = ħkAeikt. 
b) E = −iħkAe−ikt. 
c) E = −ħkAe−ikt. 
d) E = ħkAe−ikt. 
e) E = ħAeikt. 
 
 
 
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41 
 
 
APLICAÇÕES DA EQUAÇÃO DE 
SCHRÖDINGER INDEPENDENTE DO 
TEMPO 
 
 
 
3.1 INTRODUÇÃO 
Na presente unidade iremos analisar e estudar mais afundo alguns 
problemas simples, porém, de extrema importância na Mecânica Quântica. Esses 
problemas são muitas vezes comuns em situações diversas que aparecem no dia a 
dia de um cientista e serão tratados, é claro, via equação de Schrödinger. Mais 
especificamente a partir das soluções dessa equação em cada situação de 
interesse. É importante destacar que os problemas tratados aqui serão 
considerados apenas em uma dimensão, pois, isso irá simplificar totalmente os 
cálculos, sem perda de generalidade. 
 
3.2 A PARTÍCULA LIVRE 
A partícula livre é conhecida como sendo o sistema quântico mais simples 
que existe. Esse sistema é caracterizado por um potencial V(x) constante. Lembre-
se que nesses casos a força é dada por (4) e que, sem perda de generalidade, 
podemos assumir V(x) = 0, afinal como já mencionado, o potencial nulo também 
é um potencial constante. Para o caso de potencial nulo a equação quântica de 
Schrödinger, independente do tempo é dada na forma da equação (69): 
 
 
−
ħ2
2m
d2Ψ(x)
dx2
= EΨ(x) (69) 
 
A solução mais geral dessa equação é uma combinação linear de duas 
ondas planas. Nesse caso, uma onda vai para a direita e a outra para a esquerda. 
Matematicamente esse argumento é representado pela seguinte função de onda, 
dada na forma (70): 
 
 Ψ(x) = Aeikx + Be−ikx (70) 
UNIDADE 
03 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
42 
 
 
A substituição da equação (70) em (69) gera a seguinte relação, dada na 
forma (71): 
 
 
k = 
√2mE
ħ
 (71) 
 
Podemos agora calcular o valor esperado do momento linear através de 
(61). Nesse caso, para a parcela da combinação linear de ondas, que se move 
para a direita teremos uma equação na forma (72): 
 
 
〈p〉 = ∫ Ψd
∗ ħ
i
∂
∂x
Ψddx,
∞
−∞
 (72) 
 
Sendo Ψd a parcela da função de onda que vai para a direita. Substituindo 
(70) em (72) obtemos, 
 
〈p〉 = ∫ Ψd
∗ ħ
i
∂
∂x
Aeikxdx,
∞
−∞
 
= ∫ Ψd
∗ (
ħ
i
ikAeikx) dx
∞
−∞
 
= ∫ Ψd
∗(ħk)Ψddx
∞
−∞
= ħk∫ Ψd
∗Ψddx
∞
−∞
. 
 
Utilizando a condição de normalização ∫ |ψ(x, t)|2dx
∞
−∞
= 1 obtemos a 
equação dada na forma (73): 
 
 〈p〉 = ħk = √2mE (73) 
 
O mesmo resultado é obtido para a parcela da função que se movimenta 
para a esquerda. Nesse caso há apenas a troca de sinal dada na forma da 
equação (74): 
 
 〈p〉 = −ħk = −√2mE (74) 
 
De maneira análoga podemos calcular a densidade de probabilidade para 
as funções de onda. Para o caso da função de onda para a direita a densidade 
de probabilidade é dada pela equação (75): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
43 
 
 
 |Ψd(x)|
2 = Ψd
∗(x)Ψd(x) = A
∗e−ikx Aeikx = A∗A (75) 
 
Essa é uma densidade de probabilidade que independe da posição da 
partícula. Dessa forma, a partícula livre apresenta igual probabilidade de ser 
encontrada em um ponto de espaço qualquer e, há uma incerteza na sua 
localização ∆x → ∞. Em outras palavras isso quer dizer que o pacote de onda 
apresenta largura infinita, além disso, o princípio da incerteza mostra que o 
momento da partícula pode ser determinado com máxima precisão, pois, ∆p → 0. 
As mesmas conclusões podem ser obtidas para o caso da energia E, que 
pelo princípio da incerteza, resulta em uma determinação precisa, ou seja, ∆E → 0. 
Em contrapartida o intervalo de tempo ∆t → ∞. Nesse contexto a energia e o 
momento da partícula livre podem assumir quaisquer valor incluindo o valor nulo. 
Uma observação importante a ser destacada é que a partícula livre é um 
caso ideal que dificilmente é encontrado naturalmente, no entanto os casos mais 
realísticos, com potenciais diferentesde zero serão destacados, comentados e 
referenciados em seguida. 
 
3.3 O POTENCIAL DEGRAU 
O potencial degrau é um dos casos de descontinuidade na função, no 
decorrer do presente texto também iremos citar e referenciar outros exemplos com 
diferentes tipos de descontinuidade que sempre são utilizados e discutidos na 
maioria dos livros didáticos envolvendo a Mecânica Quântica de Schrödinger. 
Esses exemplos, apesar de não existirem de fato na natureza, são bastante 
utilizados em física quântica principalmente por apresentarem tratamentos 
matemáticos relativamente simples. Além disso, reproduzem situações reais sob 
boa aproximação. O problema inicial é baseado no seguinte potencial 
descontínuo, dado na forma (76): 
 
 V(x) = {
0 para x < 0
V0 para x ≥ 0
 (76) 
 
Nesse caso, o valor V0 é uma constante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
44 
 
 
 
 
Vamos considerar uma partícula massiva, com massa m e energia total 
dada por E na região x < 0 que se dirige para o ponto x = 0. Nesse ponto, como 
podemos verificar, o potencial V(x) apresenta uma variação abrupta. No nível 
clássico, a partícula move livremente até x = 0. Nesse ponto ela fica sujeita a uma 
força impulsiva dada por (4) e que atua no sentido negativo do eixo x. A ideia do 
potencial implica em uma força impulsiva com módulo infinito em x = 0. Repare 
que nesse ponto dx → 0. Apesar disso, como sua ação atua apenas durante um 
tempo infinitesimal, o impulso dado por I = ∫ Fdt é o que leva a variação do 
momento linear da partícula, dado por ∆p. Esse é finito e o potencial dado por (76) 
não afeta, dessa forma, a variação do momento linear da partícula. 
 
 
Figura 4: Potencial degrau 
https://sites.ifi.unicamp.br/aguiar/files/2014/10/top-mec-clas.pdf
 
 
 
 
 
 
 
 
 
45 
 
 
Classicamente, a partícula apresenta um comportamento dependente da 
energia E e do potencial V0. Isso porque ela não recebe ação do potencial em x =
 0. Essa também é uma afirmação válida no contexto da Mecânica Quântica. 
Iremos estudar o presente caso em duas etapas sendo elas o caso em que E < V0 
e o caso em que E > V0. A figura abaixo ilustra o caso em que a energia total é 
maior do que a energia potencial, ou seja, E > V0. 
 
Figura 5: Partícula com energia E incidindo em um potencial degrau 
 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2021) 
 
A nível clássico, como a região x > 0 é proibida, a força impulsiva sempre 
irá inverter o momento da partícula. Segundo a conservação do momento linear 
esse permanece com mesmo módulo, mesmo após a inversão. O movimento da 
partícula é determinado ao encontrar uma função de onda que é solução da 
equação de Schroedinger independente do tempo, no caso E < V0. O potencial 
degrau é dividido em duas partes sendo elas x < 0, onde V(x) = 0 e x ≥ 0, onde 
V(x) = V0. As respectivas equações de Schrödinger independente do tempo para 
essas regiões são dadas pelas equações (77) e (78): 
 
 
−
ħ2
2m
d2Ψ(x)
dx2
= EΨ(x); x < 0 (77) 
 
 
−
ħ2
2m
d2Ψ(x)
dx2
+ V0Ψ(x) = EΨ(x); x ≥ 0 (78) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
46 
 
 
É importante reparar que a equação (77) é uma equação para a partícula 
livre com solução já discutida na seção anterior. Apesar disso, como estamos nos 
referindo a regiões clássicas proibidas, não devemos esperar uma função de onda 
oscilatória associada a equação (78). Mais especificamente, devemos esperar 
uma função que se aproxime de maneira gradativa do eixo x. É claro que uma 
boa função com essas propriedades pode ser a exponencial real decrescente. Ou 
seja, dada na forma da equação (79): 
 
 Ψ(x) = e−k2x; x ≥ 0 (79) 
 
Dessa forma, obtemos a equação (80): 
 
 d2Ψ(x)
dx2
= (−k2)
2e−k2x = k2
2Ψ(x) (80) 
 
Ao substituir (79) e (80) em (78) obtemos, a equação (81): 
 
 
k2 = 
√2m(V0 − E)
ħ
; E < V0 (81) 
 
Repare que (80) apresenta uma relação quadrática de k2. Isso quer dizer 
que o sinal da exponencial não é importante para nós, afinal, teremos uma 
solução geral do tipo (82): 
 
 
 Ψ(x) = Cek2x + De−k2x; x ≥ 0 (82) 
 
As constantes dadas por A, B, C e D são determinadas utilizando as 
condições da continuidade das funções Ψ(x) e de suas derivadas 
dΨ(x)
dx
. 
Vamos fazer essa determinação considerando que em x → ∞ a solução é 
dada por (81) e dessa forma assume Ψ(x) → ∞, quando x → ∞. Esse comportamento 
é dado pelo termo Cek2x. Tentando evitar esse problema podemos assumir C = 0. 
Em contrapartida, afim de garantir a continuidade em x = 0, (71) e (81) e suas 
respectivas derivadas devem assumir valores iguais em x = 0. Dessa forma, para a 
primeira situação obtemos, a equação (83): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
47 
 
 
D(e−k2x)x=0 = A(e
k1x)x=0 + B(e
−k1x)x=0 
 D = A + B (83) 
 
Já na segunda situação, obtemos a equação (84): 
 
−k2D(e
−k2x)x=0 = ik1A(e
−ik1x)x=0 − ik1B(e
−ik1x)x=0 
 ik2
k1
D = A − B (84) 
 
Somando as equações (83) + (84) obtemos o valor de A, na forma da 
equação (85): 
 
 
A =
D
2
(1 + 
ik2
k1
) (85) 
 
Fazendo (83) - (84) obtemos o valor de B, na forma da equação (86): 
 
 
B =
D
2
(1 − 
ik2
k1
) (86) 
 
Finalmente, a solução para o potencial degrau no caso em que a energia 
total é menor que a energia potencial será dada pela equação (87): 
 
 
Ψ(x) = {
D
2
(1 + 
ik2
k1
) eik1x + 
D
2
(1 − 
ik2
k1
) e−ik1x
De−k2x x ≥ 0
, x ≤ 0 (87) 
 
A função de onda com dependência temporal e espacial, ou seja, a 
função de onda total será obtida fazendo a substituição de (87) na seguinte 
equação geral, dada na forma (88): 
 
 
ψ(x, t) = Ψ(x)e−
iEt
ħ (88) 
 
A constante D vai definir a amplitude da função de onda por isso podemos, 
por questões de conveniência, mantê-la arbitrária. 
Na região com x ≤ 0, o primeiro termo de (88) é uma onda se propagando 
no sentido positivo do eixo x. Já o segunto termo representa uma onda que se 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
48 
 
 
propaga no sentido negativo. 
 
 
 
Com essas conclusões e percepções, podemos obter a probabilidade da 
partícula incidente sofrer refletância. Como já vimos, sabemos que a intensidade 
de uma onda está diretamente ligada ao quadrado do módulo de sua amplitude. 
Nesse caso, a refletância R é dada em termos da razão entre módulos quadráticos 
da amplitude relacionada a onda refletida e também da amplitude da onda 
incidente. Matematicamente isso quer dizer que, teremos uma equação na forma 
(89): 
 
 
R =
|B|2
|A|2
= 
B∗B
A∗A
= 
(1 + 
ik2
k1
) (1 − 
ik2
k1
)
(1 − 
ik2
k1
) (1 + 
ik2
k1
)
= 1 (89) 
 
 
 
Segundo (87) e (88) a densidade de probabilidade de obtermos a partícula 
na região x > 0 é, dada na forma da equação (90): 
 
 |ψ(x, t)|2 = ψ∗(x, t)ψ(x, t) = Ψ∗(x)Ψ(x) = D∗De−2k2x para x ≥ 0 (90) 
 
É importante destacar que a situação em que a partícula microscópica é 
encontrada na região em que a energia potencial é menor que a energia total 
representa uma das previsões mais sensacionais da Mecânica Quântica. Também 
é importante destacar que essa penetração não quer dizer que a partícula é 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
49 
 
 
mantida nessa região, pois, vimos que ela é totalmente refletida. Se observarmos a 
figura (5) temos uma distância de penetração definida como sendo x = l em que 
e−2k2x = e−2, ou seja, dada na forma da equação (91): 
 
 
l = 
1
k2
= 
ħ
√2m (V0 − E)
 (91) 
 
Uma observação importante a ser destacada no presente momento é que 
em termos clássicos, o produto entre a massa m. (V0 − E) ≫ ħ, ou seja esse termo é 
praticamente nulo. 
Através do princípio da incerteza, calculamos a incerteza na energia (∆E) 
quando a partícula se encontra na região classicamente proibida. Nessa região a 
incerteza na posição (∆x) pode ser violada para ser metade da distância de 
penetração, ou seja, l 2⁄ . 
 
∆p∆x ≅
ħ
2
 
∆p
l
2
≅
ħ
2
 
∆p ≅
ħ
l
= √2m (V0 − E) 
 
A incerteza no potencialna região x > 0 é nula devido a seu valor ser 
exatamente V0. A incerteza na energia total dada pela conservação da energia 
será então dada na forma da equação (92): 
 
E = V0 + k 
∆E = ∆V0 + ∆k 
 
∆E = 0 +
∆p2
2m
≅ V0 − E (92) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
50 
 
 
Vamos a partir de agora analisar o caso E > V0. Novamente, em termos 
clássicos, a força sobre a partícula, com energia total E e no ponto x = 0. Fará que 
a partícula fique mais lenta, mas continui seu movimento em x > 0. Dessa forma, 
classicamente a partícula sempre irá atingir a região x > 0. É importante destacar 
que em nível quâtico as previsões não são tão simples como no caso clássico. Isso 
porque não existe regiões proibidas classicamente. Dessa forma, as soluções das 
equações de Schrödinger, independente do tempo serão funções oscilatórias nas 
regiões x < 0 e x > 0, ou seja, dadas pelas equações (93) e (94): 
 
 ψ(x) = Aeik1x + Be−ik2x para x < 0 (93) 
 
 ψ(x) = Ceik2x + De−ik2x para x > 0 (94) 
 
de acordo com as equações (95) e (96): 
 
 
k1 = 
√2mE
ħ
= 
p1
ħ
 (95) 
 
 
k2 = 
√2m(E − V0)
ħ
= 
p2
ħ
 (96) 
 
No contexto das funções de onda de De Broglie em que  = 2π k⁄ , e devido 
ao fato de que k2 < k1 conclui-se que 2 < 1. 
Passando para a região x > 0 a partícula então não deve retornar para a 
região de incidência. Logo D = 0, em (94). As constantes A, B, e C são 
determinadas novamente via condições de continuidade da função de onda e 
de sua derivada em x = 0. Dessa forma, obteremos a equação (97): 
 
A(eik1x)x=0 + B(e
−ik1x)x=0 = C(e
ik1x)x=0 
 A + B = 0 (97) 
 
Já no segundo caso, obteremos a equação (98): 
 
ik1A(e
ik1x)x=0 − ik1B(e
−ik1x)x=0 = ik2C(e
ik2x)x=0 
 k1(A − B) = k2C (98) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
51 
 
 
A combinação de (97) com (98) leva a equação (99): 
 
 
B = 
k1 − k2
k1 + k2
A e C = 
2k1
k1 + k2
A (99) 
 
As soluções de (93) e (94) serão então dadas na forma (100): 
 
 
Ψ(x) = 
{
 
 Aeik1x + A
k1 − k2
k1 + k2
e−ik1x
A
2k1
k1 + k2
eik2x, x ≥ 0
, x ≤ 0 (100) 
 
com as equações (101) e (102): 
 
 
k1 = 
√2mE
ħ
 (101) 
 
 
k2 = 
√2m(E − V0)
ħ
 (102) 
 
A onda incidente é especificada pelo primeiro termo para x < 0. Já o 
segundo termo especifica a onda refletida na mesma região. O único termo para 
x > 0 é o que especifica a onda transmitida. 
Considerando a primeira equação em (100), a refletância é dada na forma 
da equação (103): 
 
 
R =
|B|2
|A|2
= 
B∗B
A∗A
= (
k1 − k2
k1 + k2
)
2
 para E > V0 (103) 
 
A existência da probabilidade da partícula ser refletida em um potencial 
degrau com E > V0 é fantástica uma vez que classicamente ela deveria ser 
sempre transmitida. 
Também podemos determinar a probabilidade da partícula ser transmitida. 
Essa situação denominaremos como transmitância T. Essa é uma quantidade de 
fácil determinação, pois, a velocidade da partícula é diferente nas duas regiões. 
Nesse caso é então conveniente utilizar o conceito de fluxo de probabilidade que 
nada mais é do que a probabilidade por unidade de tempo. Assim, obteremos a 
equação (104): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
52 
 
 
 
T =
v2C
∗C
v1A
∗A
=
v2
v1
(
2k1
k1 + k2
)
2
 (104) 
 
com, 
v1 = 
p1
m
= 
ħk1
m
, 
v2 = 
p2
m
= 
ħk2
m
. 
 
Então, obteremos a equação (105): 
 
 
T =
k2
k1
(
2k1
k1 + k2
)
2
= 
4k1k2
(k1+ k2)
2
 para E > V0 (105) 
 
Fazendo (103) + (104) obtemos, R + T = 1. 
Esse resultado expressa a motivação para que definimos transmitância T e 
refletância R em termos do fluxo de probabilidade. 
 
 
 
 
 
 
https://bit.ly/2Rq8yos
 
 
 
 
 
 
 
 
 
53 
 
 
FIXANDO O CONTEÚDO 
1. Considere um sistema quântico formado por uma partícula de massa m com 
energia E. A função de onda espacial desse sistema é dada matematicamente 
por, 
 
Ψ(x) = Ae−ikx. 
 
Considerando a afirmação acima, a densidade de probabilidade de encontrar 
essa partícula em uma região limitada por x e x + dx é: 
 
a) |Ψ(x)|2 = A2. 
b) |Ψ(x)|2 = A2e−ikx. 
c) |Ψ(x)|2 = A2e−2ikx. 
d) |Ψ(x)|2 = A2eikx. 
e) |Ψ(x)|2 = A2e2ikx. 
 
2. Durante um experimento quântico, formado por inúmeras partículas e sob um 
potencial bem definido e controlado pelos equipamentos do laboratório, foi 
escrita uma equação quântica para uma partícula específica desse sistema. A 
função de onda, solução dessa equação foi determinada na forma, 
 
Ψ(x, t) = Asen(kx − ωt). 
 
Sendo A e k constantes. Considerando a afirmação acima, a densidade de 
probabilidade de encontrar essa partícula em uma região limitada por x e x + dx 
é: 
 
a) |Ψ(x, t)|2 = A2cos2(kx − ωt). 
b) |Ψ(x, t)|2 = −A2sen2(kx − ωt). 
c) |Ψ(x, t)|2 = A2sen2(kx − ωt). 
d) |Ψ(x, t)|2 = A2sen2(kx + ωt). 
e) |Ψ(x, t)|2 = −iA2sen2(kx + ωt). 
 
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3. Considere que, em um determinado momento de sua pesquisa científica, você 
se depara com um sistema físico quântico bem parecido com o sistema de uma 
partícula livre. Como você é especialista em Mecânica Quântica, escreve a 
equação de onda e encontra a seguinte função de onda, 
 
Ψ(x, t) = Acos(kx − ωt). 
 
Sendo A e k constantes. Considerando a afirmação acima, a densidade de 
probabilidade de encontrar essa partícula em uma região limitada por x e x + dx 
é: 
 
a) |Ψ(x, t)|2 = A2sen2(kx − ωt). 
b) |Ψ(x, t)|2 = −A2cos2(kx − ωt). 
c) |Ψ(x, t)|2 = A2cos2(kx − ωt). 
d) |Ψ(x, t)|2 = A2cos2(kx + ωt). 
e) |Ψ(x, t)|2 = −iA2cos2(kx + ωt). 
 
4. Imagine que você é fascinado por física e que por isso optou em seguir tal 
carreira estudando na faculdade Única de Ipatinga-MG, na modalidade EAD. 
Seu fascínio por essa ciência vem do seu grande interesse em Mecânica 
Quântica. Em um curso de Cálculo, você tem seu primeiro contato com a 
equação de onda de Schrödinger, onde o professor encontra a seguinte função 
de onda como solução. 
 
Ψ(x, t) = Aei(kx− ωt). 
 
Sendo A e k constantes. Considerando a afirmação acima, a o operador 
energia, quando atuado na função de onda gera: 
 
a) E = −iħωAei(kx− ωt). 
b) E = −iħkAei(kx− ωt). 
c) E = −ħkAei(kx− ωt). 
d) E = ħkAei(kx− ωt). 
e) E = ħAei(kx− ωt). 
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5. A partícula livre é o exemplo mais simples para a introdução da equação de 
Schrödinger. Apesar de dificilmente ser encontrado na natureza ele é muito 
utilizado para fins didáticos. O sistema físico composto pela partícula livre é um 
sistema onde o potencial é uma constante e por isso pode assumir o valor nulo. 
Considerando a afirmação acima, em relação a equação de onda da partícula 
livre, marque a alternativa correta. 
 
a) Qualquer problema de física pode ser aproximado às soluções do problema da 
partícula livre, por isso, tal exemplo é tão importante. 
b) A partícula livre quântica é um sistema muito utilizado, pois, reproduz muitas 
situações reais tratadas na física. 
c) Para a partícula livre a energia total é nula, uma vez que ela está livre de forças 
externas. 
d) A energia total de uma partícula quântica é dada pelo princípio da 
conservação da energia. Esse é a soma da energia cinética com a energia 
potencial. No caso da partícula livre a energia potencial pode assumir qualquer 
função que tenha como incógnitas as coordenadas espaciais. 
e) A equação quântica para a partícula livre é determinada a partir da equação 
clássica. Ou seja, é baseada no princípio da conservação da energia, onde a 
equação apresenta um setor cinético e um setor potencial. 
 
6. Considere uma partícula com massa m e energia E, se movendo sob a ação de 
um potencial descontínuo dado na forma, 
 
V(x) = {
0 para x < 0
x2 + x + 3 para x ≥ 0
. 
Nesse caso, a força clássica que age sobre a partícula é dada por: 
 
a) F(x) = {
0 para x < 0
x + 1para x ≥ 0
. 
b) F(x) = {
0 para x < 0
− 2x + 1 para x ≥ 0
. 
c) F(x) = {
0 para x < 0
2x + 1 para x ≥ 0
. 
d) F(x) = {
0 para x < 0
− x + 1 para x ≥ 0
. 
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e) F(x) = {
0 para x < 0
2x2 + 1 para x ≥ 0
. 
 
7. Em um determinado problema quântico de física do estado sólido você está 
simulando os elétrons dentro de um metal condutor. Após a escrita da função de 
onda de Schrödinger você encontra a seguinte solução espacial em duas 
regiões diferentes para o potencial do problema. 
 
Ψ(x) = {
0 para x < 0
eikx + Beikx para x ≥ 0
. 
 
Considerando B uma constante. A densidade de probabilidade de encontrar um 
elétron na região x ≥ 0, limitada por x e x + dx é dado na forma: 
 
a) |Ψ(x)|2 = (1 + B). 
b) |Ψ(x)|2 = (1 + B)2. 
c) |Ψ(x)|2 = (1 − B)2. 
d) |Ψ(x)|2 = (−1 + B)2. 
e) |Ψ(x)|2 = −(1 + B)2. 
 
8. Considere uma partícula livre de massa m e energia E. Nesse caso a função de 
onda, com dependência espacial, solução da equação de Schrödinger é dada 
na forma, 
 
Ψ(t) = Be−ikt 
 
Sendo B uma constante e considerando a afirmação acima e a condição de 
normalização para a função de onda, o valor esperado para o operador 
momento é dado na forma: 
a) 〈p〉 = ħ. 
b) 〈p〉 = −k. 
c) 〈p〉 = −ħ. 
d) 〈p〉 = ħk. 
e) 〈p〉 = 1. 
 
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57 
 
 
SPIN E INTERAÇÕES MAGNÉTICAS 
 
 
 
4.1 INTRODUÇÃO 
No presente momento iremos considerar átomos de apenas um elétron, 
para que, nas unidades seguintes estendermos as ideias discutidas à átomos 
multieletrônicos. É interessante destacar que nos capítulos precedentes, 
consideramos o elétron e sua órbita. Um fator interessante e que não consideramos 
foram as informações sobre seu momento angular, uma vez que o elétron fica 
girando em torno do núcleo. Esse será o objetivo da presente unidade. No 
contexto da Mecânica Quântica e do Eletromagnetismo, existe uma grandeza que 
é análoga ao momento angular da Mecânica. Esse recebe o nome de momento 
de dipolo orbital que é resultado de uma interação magnética dentro do átomo. 
Através dessa grandeza, é verificado o spin do elétron. 
 
 
 
Vamos considerar um elétron com massa dada por m e carga – e. Tal elétron 
se move com velocidade v⃑ em uma órbita circular de raio r. A carga que circula 
na órbita acaba gerando uma corrente que é dada pela equação (106): 
 
 i = 
e
T
= 
ev
2πħ
 (106) 
 
Nesse caso, T é o período da órbita e a velocidade é dada por v = 2πr/T. A 
origem dessas informações não apresenta muita relevância no momento, uma vez 
que, são obtidas por meio da Eletrodinâmica avançada. O fato é que a corrente 
circulante produz um campo magnético B⃑⃑ a grandes distâncias. Esse campo é 
equivalente ao campo gerado por um dipolo magnético localizado no centro da 
órbita. A orientação desse campo é perpendicular ao seu plano. A situação acima 
UNIDADE 
04 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
58 
 
 
é representada pela figura abaixo. 
 
Figura 6: Momento angular orbital e intrínseco do elétron 
 
Fonte: Lima e Zappa, C.; R.; A. (2014) 
 
Considerando a área da orbita circular como A = πr2, o módulo do 
momento de dipolo magnético orbital será dado pela equação (107): 
 
 μL = iA = iπr
2 (107) 
 
A direção, como já mencionado, é dada de maneira perpendicular à 
órbita. Devido a carga negativa do elétron, o momento de dipolo é antiparalelo 
com módulo dado pela equação (108): 
 
 L = rp = mvr (108) 
 
Sua direção é indicada pela figura 6. Através da combinação entre as 
equações (106)(107)(108) obtemos a equação (109): 
 
 μL = iπr
2 = 
ev
2πħ
πr2 = 
e
2m
mvr = 
e
2m
L (109) 
 
No contexto vetorial isso quer dizer que obtemos a equação (110): 
 
 μL⃑⃑⃑⃑ = 
e
2m
L⃑ (110) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
59 
 
 
É interessante destacar que a proporção entre as grandezas μL⃑⃑⃑⃑ e 
L⃑ é uma propriedade que está associada as cargas em rotação. Isso pode ser 
estendido não apenas para cargas, mas, também distribuições de cargas. Para 
uma distribuição de cargas com carga Q e massa M, em rotação, o momento 
magnético e o angular se relacionam da seguinte maneira conforme a equação 
(111): 
 
 
μ⃑ = g
Q
2M
L⃑ (111) 
 
g então é considerado um fator a ser determinado pelo detalhe da 
distribuição de cargas em movimento. Assim, na notação utilizada, podemos 
reescrever a equação acima na forma da equação (112): 
 
 μL⃑⃑⃑⃑ = −gL
e
2m
L⃑ (112) 
 
Nesse caso, gL = 1 é o denominado fator orbital. É importante destacar que 
a razão μL⃑⃑⃑⃑ /L é independente dos detalhes da órbita. Isso quer dizer que o valor não 
depende da mecânica utilizada. Em termos da Mecânica Quântica teremos os 
valores conforme a equação (113): 
 
 L = √l(l + 1)ħ (113) 
 
Assim, as expressões corretas da intensidade e da componente z do 
momento de dipolo magnético podem ser dadas pela equação (114): 
 
 μL = gL
e
2m
√l(l + 1)ħ = gLμB√l(l + 1) (114) 
 
O sinal negativo na última equação está relacionada com o antiparalelismo 
entre as quantidade μ⃑ e L⃑ . O índice l em μL ressalta a dependência de μL com o 
número quântico orbital l. Assim obtemos a equação (115): 
 
 
μB = 
eħ
2m
= 9,274 × 10−24
J
T
= 5,788 ×
10−9eV
G
 (115) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
60 
 
 
Essa é a constante denominada magnéton de Bohr. As dimensões do 
magnéton são as mesmas de μL e isso indica que μB pode ser utilizado como 
unidade para o momento magnético do átomo. 
 
 
 
4.2 A INTERAÇÃO COM UM CAMPO MAGNÉTICO EXTERNO 
É claro que podemos utilizar a relação entre μ⃑ e L⃑ para determinar o 
comportamento, mesmo que de maneira clássica, de μ⃑ e na presença de um 
campo externo B⃑⃑ . Seguindo a teoria do eletromagnetismo, na presença de um 
campo magnético B⃑⃑ , um momento magnético sofre um torque dado pela 
equação (116): 
 
 τ⃑ = μ × B⃑⃑ (116) 
 
Esse pode ser reescrita na forma da equação (117): 
 
 
τ⃑ = 
dL⃑ 
dt
μ × B⃑⃑ (117) 
 
Considerando o momento de dipolo magnético orbital dado pela forma 
(118): 
 
 dL⃑ 
dt
= −gL
e
2m
L⃑ × B⃑⃑ = gL
e
2m
B⃑⃑ × L⃑ = ωL⃑⃑ ⃑⃑ ⃑ × L⃑ . (118) (118) 
 
com a seguinte equação (119): 
 
 ωL⃑⃑ ⃑⃑ ⃑ = gL
e
2m
B⃑⃑ (119) 
 
A equação acima descreve o efeito denominado precessão de Larmar e 
https://bit.ly/3h2lpHZ
 
 
 
 
 
 
 
 
 
61 
 
 
ômega é conhecido como a frequência de Larmar. É muito importante destacar 
que esse efeito é bem parecido com a precessão do momento angular de um 
pião inserido em um campo gravitacional. 
O módulo do momento angular é constante e isso pode ser verificado pela 
equação (120): 
 
 d
dt
L2 = 
dL⃑ 
dt
. L⃑ = 
dL⃑ 
dt
. L⃑ + L⃑ .
dL⃑ 
dt
= 2L⃑ 
dL⃑ 
dt
 (120) 
 
Ou pela equação (121): 
 
 d
dt
L2 = 2L⃑ (ωL⃑⃑ ⃑⃑ ⃑ × L⃑ ) = 0 (121) 
 
Isso quer dizer que apenas a direção do momento angular L⃑ varia no tempo. 
Considerando então um intervalo temporal dt e um pequeno incremento azimutal 
encontramos a equação (122): 
 
 
dφ = 
dL
Lsenθ
 
 dφ
dt
= 
1
Lsenθ
dL
dt
 (122) 
 
Após algumas considerações e manipulações encontramos a equação 
(123): 
 
 
ωL =
dφ
dt
 (123) 
 
Em torno do campo magnético B⃑⃑ , a precessão de um faz a órbita eletrônica 
funcionar como uma espira se movimentando no campo B⃑⃑ . 
 
4.3 O EXPERIMENTO DE STERN-GERLACH E O SPIN DO ELÉTRON 
O. Stern e W. Gerlach foram quem conseguiram realizar as medidas dos 
valores possíveis de μLz em átomos de prata pela primeira vez. Esse fato ocorreu em 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
62 
 
 
1922. 
É importante destacar que a experiência de Stern-Gerlach explora 
justamente a dinâmica do dipolo magnético que se forma pelo átomo quando 
submetido a um campo magnético externo e não uniforme. A situação acima 
descrita é representada pela figura abaixo. 
 
Figura 7: Dinâmica do dipolo magnético no experimento de Stern-Gerlach