UNID.4 FSC I CIV 2010 2

Prévia do material em texto

Prof.: Altamiro Quevedo Schervenski 120
UNIDADE 4 -TRABALHO E ENERGIA 
 
 
4.1- INTRODUÇÃO 
 
 
 A unidade anterior abordou os conceitos de força e massa, os quais fundamentam as 
leis de Newton que descrevem os movimentos de nosso cotidiano. O conceito de energia se 
apresenta em um grande número de formas diferentes, e há uma equação para o cálculo de 
cada uma delas. Cada uma das formas em que a energia se manifesta está associada a um 
fenômeno físico que lhe dá nome: Energia gravitacional, energia cinética (associada ao 
movimento), energia elástica, energia térmica, energia radiante, energia química e a energia 
nuclear. 
 Em todas as transformações que sofre, a energia sempre se conserva, e há uma 
equivalência entre trabalho e energia, isto é, o trabalho pode ser convertido em energia e a 
energia pode ser convertida em trabalho. Interessa-nos, em especial, esta relação entre trabalho 
e energia, porque os corpos, ou sistemas, que possuem energia são capazes de produzir 
trabalho, e os seres humanos têm buscado, ao longo de séculos, inventar máquinas que 
multipliquem a sua força e a capacidade de realizar trabalho. Máquinas que transformam uma 
forma de energia em outra, convertem energia em trabalho e que estão presentes em nossas 
casas, nos edifícios, nas indústrias, nas usinas de geração de energia elétrica, nos meios de 
transporte, etc. 
 Assim, os conceitos físicos de trabalho, potência e energia estão intimamente 
relacionados, fazem parte do nosso cotidiano e, por isso, iremos começar o nosso estudo 
introduzindo o conceito da grandeza física trabalho. 
 
 
4.2- TRABALHO REALIZADO POR UMA FORÇA. 
 
 
 Na linguagem cotidiana, palavras como trabalho e energia são usadas num sentido 
muito amplo e, muitas vezes, distinto do seu uso em Física. Em Física, o significado da palavra 
trabalho é mais restrito e bem preciso: “dizemos que uma força realiza trabalho sobre um 
corpo quando é responsável pelo deslocamento do mesmo ao longo de uma certa distância”. 
 O conceito de trabalho foi introduzido pelo General Jean Victor Poncelet (matemático 
francês), em 1826, associado ao produto da força que atua em um corpo pelo deslocamento por 
ela produzido sobre o mesmo. 
 A seguir, abordaremos o trabalho realizado por uma força em duas situações distintas: 
trabalho realizado por uma força constante e trabalho realizado por uma força variável. 
 
 
 
4.2.1- TRABALHO REALIZADO POR UMA FORÇA CONSTANTE. 
 
 
 Consideremos o bloco representado na figura 4.1 sendo arrastado por uma distância x 
sobre uma superfície plana horizontal devido a ação da força constante F
→
. Seja θ o ângulo 
formado entre a força e o deslocamento r
→∆ . 
 
Prof.: Altamiro Quevedo Schervenski 121
 F
→
 F
→
 
 
 θ θ 
 
 
 
 
 r
→∆ 
 Figura 4.1 – Bloco apoiado sobre uma superfície horizontal submetido a ação de uma 
força F
→
. 
 
 
 Neste caso, definimos o trabalho realizado por uma força constante como sendo igual ao 
produto escalar da força F
→
 pelo deslocamento, r
→∆ conforme a equação 4.1. 
 
 W F
→= . r→∆ (4.1) 
 
 A equação 4.1 pode ser reescrita a partir das componentes da força e do deslocamento na 
direção do movimento, ou seja, na direção x, conforme a equação 4.2. 
 
 cosxW F x θ= ∆ (4.2) 
 
onde xF é o módulo da força F
→
 na direção do deslocamento, ao longo da direção x; 
 x∆ é o módulo do deslocamento r→∆ ao longo da direção x; 
 θ é o ângulo formado entre F→ e r→∆ . 
 
 As unidades de trabalho estão representadas na tabela 3.1. 
 
Sietema Força Deslocamento Trabalho 
 S.I. N M N.m = J [Joule] 
C.G.S. dyn Cm dyn.com = erg 
 Caloria (cal) 
 
 Tabela 3.1- Fonte: David Halliday, Robert Resnick e Jearl Walker (Vol. 1-1996) 
 
 As unidades de trabalho têm as seguintes equivalências: 71. 10J erg= , 1. 9,239J cal= e 
1 4,19cal J= . 
 
 Algumas considerações importantes em relação ao trabalho realizado por uma força. 
 
¾ O trabalho é uma grandeza escalar, pois é resultado do produto entre duas 
componentes escalares dos vetores força e deslocamento. 
¾ O trabalho será nulo se não houver deslocamento, 0x∆ = . 
¾ O trabalho depende do ângulo entre a força e o deslocamento, e dessa forma, teremos 
três situações: 
Prof.: Altamiro Quevedo Schervenski 122
I. Se 0 00 90θ< < o trabalho será positivo, 0W > , e a força aplicada ao corpo fará com 
que a velocidade do mesmo aumente. 
II. Se 090θ = o trabalho será nulo, 0W = . 
III. Se 090º < < 180θ o trabalho será negativo, 0W < , e a força aplicada ao corpo fará 
com que a velocidade do mesmo diminua. 
 
¾ Podemos representar em um gráfico a intensidade da força constante na direção do 
movimento em função do valor do deslocamento do corpo, ou seja, ( XF x x∆ ), e a área 
sob o reta é numericamente igual ao trabalho realizado (
N
A W= ). 
 
 ( )F N 
 F 
 
 
N
A W= 
 
 
 
 x∆ 
 
EXEMPLO 4.1- Determine o trabalho realizado pela força F
→
 para deslocar verticalmente, com 
velocidade constante, por 2 m, a partir do solo, um bloco com massa 50 kg. 
 
 
 
 
 F
→
 h 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 4.2- Um bloco cuja massa é 100 kg, se movimenta, em M.R.U, sobre um plano 
inclinado sem atrito, que forma coma horizontal, um ângulo de 040 , conforme mostra a figura 
abaixo. O movimento do bloco ocorre plano acima devido a ação da força 
→
F sobre o bloco, 
conforme a figura (a). Dados:( 77,040cos 0 = ; 64,0400 =sen ). 
 
 
 
 d = 15 m 
 
 
→
F 
→
F 
 
 h = 9,6 m h = 9,6 m 
 
 
 (a) (b) 
Prof.: Altamiro Quevedo Schervenski 123
a) Qual o valor da força 
→
F que o cabo deve exercer sobre o bloco? 
 
 
 
b) Qual o trabalho realizado pela força 
→
F sobre o engradado? 
 
 
 
c) Se levantarmos o bloco verticalmente até a mesma altura h, conforme a figura (b) qual será 
o trabalho realizado pela força 
→
F sobre o bloco?d) Qual o trabalho realizado pelo peso do bloco para deslocá-lo ao longo do plano e também, 
para deslocá-lo verticalmente do solo até o topo do plano? 
 
 
 
 
 
4.2.2- TRABALHO REALIZADO POR UMA FORÇA VARIÁVEL 
 
 
 Vamos considerar, agora, o trabalho de uma força cujo módulo é variável, deslocando 
um corpo ao longo de uma trajetória retilínea. Para definirmos o trabalho realizado por uma 
força de módulo variável, adotaremos a mesma direção para o deslocamento usado para 
definir o trabalho realizado por uma força constante. Dessa forma, vamos considerar a 
trajetória retilínea na direção x. 
 Inicialmente, vamos fazer uma análise unidimensional para obtermos o trabalho 
realizado por uma força variável. 
 Na figura 4.2(a) o gráfico de uma força variável F(x) em função do deslocamento do 
corpo sobre o qual é exercida. Nesta figura, a força desloca o corpo desde a posição inicial ix 
até uma posição final fx . Para calcularmos o trabalho realizado pela força variável F(x), vamos 
dividir o deslocamento total da partícula em vários intervalos com largura x∆ , conforme 
mostra a figura 4.2(b). 
 Na figura 4.2(b), a largura dos intervalos permite considerarmos a força praticamente 
constante durante o mesmo. Assim, podemos chamar de ( )F x o valor médio da força F(x) no 
intervalo x∆ . Temos, então, a partir dessas definições, uma pequena quantidade de trabalho 
realizado pela força durante qualquer intervalo x∆ . A pequena quantidade de trabalho pode 
ser obtida pela equação 4.3. 
 
 
 ( ).W F x x∆ = ∆ (4.3) 
 
 
 
 
Prof.: Altamiro Quevedo Schervenski 124
 
 
( )F x ( )F x 
 
 W∆ 
 
 
 ( )F x 
 
 
 
 0 ix fx x 0 ix x∆ fx x 
 
 4.2(a) 4.2(b) 
 
 
 A pequena quantidade de trabalho W∆ é igual, em módulo, à área da partição 
(retângulo), a qual tem altura ( )F x e largura x∆ . Assim, temos que a área desse retângulo é 
dada por ( ).W F x x∆ = ∆ conforme a equação (4.3). O trabalho total realizado ela força F(x) é 
obtido pela soma de todas as pequenas quantidades de trabalho W∆ , que podemos 
representar pela equação 4.4. 
 
 
 ( ).W W F x x= ∆ = ∆∑ ∑ (4.4) 
 
 
 À medida que vamos diminuindo a largura do retângulo, x∆ , estamos obtendo uma 
melhor aproximação para o valor do trabalho realizado pela força F(x), conforme mostra a 
figura 4.2(c). Com a redução da largura do retângulo, fazendo-o tender a zero, lim[ 0]x∆ → , 
podemos reescrever a equação 4.4 conforme a equação 4.5. 
 
 
 
0
lim ( ).
x
W F x x∆ →= ∆∑ (4.5) 
 
 
 A equação 4.5 pode ser escrita na forma integral da função F(x) com limites inferior, ix , e 
superior, fx , os quais compreendem o deslocamento total do corpo submetido à ação da força 
F(x), conforme a equação 4.6. O resultado da integração é o trabalho total realizado pela força 
variável, o qual é equivalente a área sob a curva, conforme mostra a figura 4.2(d). 
 
 
 ( )
f
i
x
x
W F x dx= ∫ (4.6) 
 
 
 
 
Prof.: Altamiro Quevedo Schervenski 125
 
 ( )F x ( )F x 
 
 
 
 
 W 
 
 
 
 
 0 ix fx x 0 ix fx x 
 x∆ 
 
 4.2(c) 4.2(d) 
 
 Obtida a expressão para o cálculo do trabalho realizado por uma força variável em uma 
dimensão, podemos, da mesma forma, obter o trabalho realizado para as demais direções. 
Para isso, vamos considerar que o corpo está submetido, agora, à ação de uma força 
tridimensional, isto é, X Y ZF F i F j F k
→ → → →= + + . Como sabemos, para que haja trabalho 
tridimensional realizado pelas componentes da força F
→
, o corpo deverá sofrer deslocamentos 
devidos a cada uma das componentes da força, ou seja, d r dx i dy j dz k
→ → → →= + + , é claro, com 
exceção dos ângulos de 90º e 270º, entre a força e deslocamento, onde o co-seno é nulo. 
 O trabalho diferencial, realizado por cada uma das componentes, ao deslocar o corpo 
por deslocamentos infinitesimais, pode ser obtido pela equação 4.7, ou representado 
tridimensionalmente pela equação 4.8. 
 
 
 dW F
→= .d r→ (4.7) 
 
 
 x y zdW F dx F dy F dz= + + (4.8) 
 
 
 O trabalho total, W , realizado pela força F
→
 durante o deslocamento do corpo que parte 
de uma posição inicial ir , com coordenadas ( , ,i i ix y z ), para uma posição final fr , cujas 
coordenadas são( , ,f f fx y z ), obtido pela equação 4.9. 
 
 ( ) ( ) ( )
f f f
i i i
x y z
x y z
W F x dx F y dy F z dz= + +∫ ∫ ∫ (4.9) 
 
 O trabalho realizado por uma força variável pode ser obtido mediante o cálculo da área 
sob a curva. Num gráfico ( XF x x∆ ), a área sob a(as) reta(as), conforme mostra a figura 4.3, é 
numericamente igual ao trabalho realizado (
N
A W= ) 
Prof.: Altamiro Quevedo Schervenski 126
 
. 
 ( )F N 
 
 
 
 
 W W 
 
 
 0 1x 2x 3x x 0 1x 2x x 
 
Figura 4.3- (a) Força variável crescente em função do deslocamento. (b) Forças 
constante e decrescente em função do deslocamento. 
 
 
EXEMPLO 4.3. Determine o trabalho realizado por uma força [(3 ) (4) ]F x i j N
→ → →= + , com x em 
metros, a qual age sobre um corpo enquanto ele se desloca das coordenadas (2 ,3 )m m para as 
coordenadas (3 ,0 )m m . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.2.2.1- TRABALHO REALIZADO PORUMA MOLA. 
 
 
 O trabalho realizado por uma mola é um exemplo de trabalho realizado por uma força 
variável. Na expressão definida para obter o trabalho, conforme mostra a equação 4.6, a força 
F(x) é dada pela lei de Hooke, F k d
→ →= − . 
 Substituindo a força, dada pela lei de Hooke, na equação 4.6, obtemos a equação 4.10. 
 
 
 ( )f
i
x
x
W kx dx= −∫ (4.10) 
 
 
Prof.: Altamiro Quevedo Schervenski 127
 A integral (Equação 4.10) pode ser resolvida, considerando que k é a constante elástica 
da mola e x, a deformação sofrida pela mesma, o trabalho realizado pela força elástica é dado 
pela equação 4.11. 
 
 2 21 1
2 2i f
W kx kx⎡ ⎤ ⎡ ⎤= −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (4.11) 
 
 
EXEMPLO 4.4- Uma força de 6 N é aplicada a um bloco ligado a uma mola (sistema massa-
mola), distendendo-a de 15 mm em relação a sua posição de equilíbrio, conforme mostra a 
figura abaixo. 
 
 ELF
→
 EXTF
→
 
 
 
 
 
 0 X 
 
 (posição de equilíbrio) 
 
a) Qual o valor da constante elástica da mola? 
 
 
b) Qual o trabalho realizado pela mola sobre o bloco considerando que a mesma foi 
deslocada desde o equilíbrio até 15 mm? 
 
 
c) Qual o trabalho realizado pela mola sobre o bloco considerando que a mesma foi 
deslocada desde 15 mm até 18 mm? 
 
 
 
 
4.3- POTÊNCIA. 
 
 A grandeza potência foi definida em Física a partir da necessidade de relacionarmos o 
trabalho e tempo gasto na realização do mesmo, isto é, para medir a rapidez com que o 
trabalho é realizado. 
 Em 1783, James Watt (1736-1819-Engenheiro escocês) introduziu o conceito de potência 
ao definir a unidade horse-power (hp) para comparar o trabalho realizado por uma máquina a 
vapor com o trabalho realizado por um cavalo na mesma unidade de tempo. Hoje, em sua 
homenagem, a unidade de potência, no S.I. é denominada watt (W). 
 A potência média de um sistema (homem ou máquina) pode ser definida como sendo a 
razão entre o trabalho (W) realizado e o tempo (∆t) gasto na sua realização, ou seja, conforme a 
equação 4.12. 
 
 WP
t
= ∆ (4.12) 
Prof.: Altamiro Quevedo Schervenski 128
onde: W é o trabalho realizado; (Atenção: Não confundir com a unidade de potência) 
 t∆ é o intervalo de tempo em que o trabalho é realizado. 
 
 As unidades de potência são: 1. 1. 1.J watt W
s
= = , no S.I. 
 Outras unidades de potência são muito usadas: 
 horsepower (hp): 1. 746.hp W= 
 cavalo-vapor (cv):1. 735,5.cv W= 
 
 
 A potência média (Equação 4.12) pode ser reescrita conforme a relação .dW F dxP
dt dt
= = , e 
reescrita como .P F v= , a qual representa a potência instantânea dada pela equação 36.. 
 
 P F
→= . v→ (4.13) 
 
 
EXEMPLO 4.5- Na construção de um edifício, um elevador cuja massa é 1000 kg, transporta 
uma carga máxima de 800 kg. Uma força de atrito de atrito constante de 4000 N (aplicada nas 
laterais do elevador para garantir a sustentação do mesmo) retarda o movimento para cima, 
conforme mostra a figura abaixo. 
 
 Motor 
 
 v
→
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Qual é a potência máxima fornecida pelo motor para o elevador subir com velocidade 
escalar constante de 3,00 m/s? 
 
 
 
b) Qual é a potência que o motor tem que fornecer em qualquer instante se ele está projetado 
para fornecer uma aceleração para cima de 21,00 /m s ? 
 
 
 
 
 
 
Prof.: Altamiro Quevedo Schervenski 129
4.4- ENERGIA CINÉTICA. 
 
 Para entendermos o conceito de energia, vamos inicialmente considerar alguns 
exemplos de nosso cotidiano. Uma bola em movimento atinge os pinos num jogo de boliche, 
derrubando-os. Uma aeronave pode colidir com uma edificação e derrubá-la também. Uma 
pedra que se encontra em repouso, no cume de uma elevação pode rolar encosta abaixo e 
derrubar uma casa, assim como a água que é liberada de uma represa é capaz de mover as pás 
da turbina de uma usina hidrelétrica. 
 Em todas essas situações houve uma realização de trabalho e, por isso, consideramos 
que a bola, a aeronave, a pedra e a água no alto da represa possuíam energia. 
 Podemos dizer, então, que um corpo possuí energia quando tem capacidade de realizar 
trabalho. 
 A bola do jogo de boliche e a aeronave em pleno vôo podem realizar trabalho devido ao 
seu movimento, por isso dizemos que eles possuem energia cinética. Por outro lado, a pedra 
no cume da elevação e a água no alto da represa têm uma capacidade latente de realizar 
trabalho em função da posição que ocupam. Esses corpos têm uma energia potencialmente 
disponível e, por isso, a denominamos de energia potencial, a qual será abordada 
posteriormente. 
 O movimento de um corpo ou partícula está relacionado quantitativamente ao trabalho 
de uma força ou resultante das forças que agem sobre esse corpo ou partícula. A quantidade 
de trabalho realizado sobre o corpo é igual à energia transferida ao corpo, e denomina-se 
energia cinética. É uma grandeza escalar e sempre será positiva, pois depende do quadrado da 
velocidade, dada pela equação 4.14. 
 
 21
2C
E mv= (4.14) 
 
onde: m é a massa do corpo; 
 v é o módulo da velocidade. 
 
 A unidade de energia cinética, no S.I. é igual a unidade de trabalho, ou seja, o Joule, 
conforme mostra a relação a seguir: 
2 2
2 2 . .
m m mkg kg kg m N m J
s s s
⎛ ⎞ = = = =⎜ ⎟⎝ ⎠ 
 
 Se uma força ou a resultante de forças realizar trabalho sobre um corpo fazendo-o variar 
sua velocidade, logo a energia cinética desse corpo também varia desde um valor inicial até 
outro valor final. Essa variação de energia cinética é numericamente igual ao valor do trabalho 
realizado sobre o corpo, ou seja, CW E= ∆ , a qual é conhecida como o teorema do trabalho-
energia cinética, o qual é dado pela equação 4.15. 
 
 
 CF CIW E E= − (4.15) 
 
 
ou 2 21 1
2 2F I
W mv mv= − (4.16) 
 
Prof.: Altamiro Quevedo Schervenski 130
 A seguir, demonstraremos esse teorema, considerando unidimensional o deslocamento 
do corpo. 
 Inicialmente, resgatamos as equações de Torricelli (Equação.4.17) e segunda lei de 
Newton (Equação 4.18). 
 
 2 2 2. .F Iv v a d= + (4.17)Fa
m
= (4.18) 
 
 Substituindo a equação 4.17 na 4.18 temos: 
 
( )
( ) ( )
2 2
2 2
2 2
2
.
2
.
2 2
F I
F I
F I
Fv v d
m
m v v F d
mv mv
F d
⎛ ⎞− = ⎜ ⎟⎝ ⎠
− =
− =
 
 
 Como F.d = trabalho realizado pela força F, chagamos a forma final do teorema 
trabalho-energia cinética, conforme mostra a equação 4.19. 
 
 
 
( ) ( )2 2
2 2
F Imv mvW = − (4.19) 
 
 
 
EXEMPLO 4.6- Um carro com massa m = 1000 kg, passa por um ponto A de uma estrada 
plana horizontal, com velocidade de 82,8. /km h . 
a) Se a velocidade do carro, ao passar por um outro ponto B da estrada for 93,6 /km h , qual foi 
o trabalho total realizado sobre o carro? 
 
 
 
 
 
b) Se a força resultante atuasse sobre o carro, em sentido contrário ao movimento, realizando 
um trabalho negativo de 73500J− , qual seria a energia cinética do carro ao chegar em B? 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof.: Altamiro Quevedo Schervenski 131
4.5-ENERGIA POTENCIAL 
 
Na seção anterior, vimos que a energia cinética, CE , de um corpo está associada a seu 
movimento. Agora, veremos que a energia potencial do corpo está associada à sua 
configuração ou posição, em relação a um referencial. A energia potencial, PU , pode ser: 
- Energia Potencial Gravitacional, PGU . 
- Energia Potencial Elástica, PEU . 
 
 Se uma única força atue sobre o sistema, alterando suas posições relativas, ocorrerá uma 
variação da energia potencial do mesmo. Podemos considerar que a variação da energia 
potencial do sistema é numericamente igual ao trabalho realizado pela força, porém com o 
sinal negativo. 
 Podemos, então representar essa variação de energia potencial de acordo com a equação 
4.20. 
 
 
 PU W∆ = − (4.20) 
 
 
 Conforme a relação estabelecida pela equação 4.20, podemos representar as variações 
nas duas formas de energias potencial gravitacional e potencial elástica. 
 
 
4.5.1-ENERGIA POTENCIAL GRAVITACIONAL 
 
 A energia potencial gravitacional está associada ao estado de separação entre dois 
corpos os se atraem devido à ação da força gravitacional. Nessa forma de energia, a força que 
realiza trabalho sobre o corpo é a sua força peso, que desloca-o desde uma posição inicial, Iy 
até uma posição final, Fy , conforme mostra a equação 4.21. 
 
 
 PF PI F IU U mgy mgy− = − (4.21) 
 
 
 Adotando 0Iy = , tem-se que 0IE = nesse ponto. Assim, a energia potencial 
gravitacional de um corpo a uma determinada altura (coordenada vertical) é dada pela 
equação 4.22. 
 
 PGU mgy= (4.22) 
 
 
onde: m é a massa do corpo; 
 g é a aceleração da gravidade local; 
 y é a posição ocupada pelo corpo em relação a um nível de referência. 
 
 
Prof.: Altamiro Quevedo Schervenski 132
EXEMPLO 4.7- Um menino, situado no alto de uma casa cuja altura é 8,0m, deixa cair um 
tijolo cuja massa é 1,5 kg. Determine: 
 
 A 
 
 P
→
 
 h A 
 B 
 h B 
 
 
 
a) A energia potencial gravitacional do tijolo no alto da casa. 
 
 
 
b) A energia potencial gravitacional do tijolo ao passar por um ponto B, situado a uma altura 
2By m= acima do solo. 
 
 
 
c) O trabalho realizado pelo peso do corpo no deslocamento de A para B? 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.5.2-ENERGIA POTENCIAL ELÁSTICA 
 
 A energia potencial elástica de um corpo está associada à deformação sofrida por esse 
corpo. Essa deformação consiste num deslocamento, a partir da posição de equilíbrio 
(deformação nula), que pode ser uma compressão ou alongamento (ou distensão). 
 A força associada a deformação sofrida pela mola(ou corpo com propriedade elástica) é 
dada pela lei de Hooke, F kX= − , onde k é a constante elástica da mola e X, a deformação 
sofrida pela mesma. 
 Resgatando o conceito de trabalho, o qual é definido pela equação W F
→= . d→ , podemos 
representar a relação entre o trabalho realizado pela força elástica e a variação de energia 
potencial elástica através da equação 4.23, e representado pela figura 4.4. 
 
 
 2 21 1
2 2F I
W kX kX⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (4.23) 
 
Prof.: Altamiro Quevedo Schervenski 133
 Considerando que PU W∆ = − , a variação de energia potencial elástica para a mola é 
dada pela equação 4.24. 
 
 2 21 1
2 2PE F I
U kX kX⎛ ⎞ ⎛ ⎞∆ = − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (4.24) 
 
ou 2 21 1
2 2PE I F
U kX kX⎛ ⎞ ⎛ ⎞∆ = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (4.25) 
 
 
 
 
 F 
 
 
 
 
 
 
 
 0 X A X 
 x B 
 
 0 B A 
 
Figura 4.4- Sistema massa-mola. 
 
 
 Se a deformação inicial da mola for nula, 0IX = , a energia potencial elástica nessa 
posição também é nula, 0PEU = , e a equação 4.25 define a energia potencial elástica da mola 
dada pela equação 4.26. 
 
 21
2PE
U kX= (4.26) 
 
 
EXEMPLO 4.8- Suponha que, para provocar uma deformação de 30 cm em uma mola, fosse 
necessário exercer sobre ela uma força de módulo F = 15N. 
a) Qual a constante elástica da mola. 
 
 
 
b) Determine, com base na figura acima, em que 20.AX cm= e 10.BX cm= , os valores da 
energia potencial elástica para as deformações em A e B. 
 
 
 
c) Qual o trabalho que a mola realizou ao empurrar o corpo de A para B?