Sistemas de numeração

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Sistemas de numeração
Sistemas de numeração
• Decimal (base 10) 
– 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
• Binário (base 2)
– 0,1
• Octal (base 8)
– 0,1,2,3,4,5,6,7
• Hexadecimal (base 16)
– 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F
Tabela comparativa
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Decimal
0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
Binário
0
1
2
3
4
5
6
7
10
11
12
13
14
15
16
17
Octal
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
Hexa
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
Decimal
10000
10001
10010
10011
10100
10101
10110
10111
11000
11001
11010
11011
11100
11101
11110
11111
Binário
20
21
22
23
24
25
26
27
30
31
32
33
34
35
36
37
Octal
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
1A
1B
1C
1D
1E
1F
Hexa
Exemplos comparativos
5(10)
101(2) 
20(10)
10100(2) 
24(8)
14(16)
Conversão Base N para Decimal
Σ Algarismo • basecasa
• 123 (10) = 1 • 102 + 2 • 101 + 3 • 100 = 123
• 1010 (2) = 1 • 23 + 0 • 22 + 1 • 21 + 0 • 20 = 10
• 714 (8) = 7 • 82 + 1 • 81 + 4 • 80 = 460
• 4B6 (16) = 4 • 162 + B • 161 + 6 • 160 =
4 • 162 + 11 • 161 + 6 • 160 = 1206
Casa 2 1 0
Algarismo 1 2 3 (10)
Facilidade do Binário para Decimal
• Soma-se os pesos das casas com algarismos em “1”
• 100110 (2) = 32 + 4 + 2 = 38
Casa 5 4 3
Algarismo 1 0 0
Peso 32 16 8
2 1 0
1 1 0 (2)
4 2 1
Conversão Decimal para Base N
Divide-se 0 número decimal pela base até resultado = 0.
Compõe-se o número com os valores dos restos.
Ex: 14(10)= ?? (2)
14 2
70 2
31 2
11 2
01
14(10)= 1110 (2)
Ex: 26(10)= ?? (16)
26 16
110 16
01
26(10)= 1A (16)
A
1
Facilidade do Decimal para Binário
• Subtrai-se os pesos das casas sucessivamente
• Assume-se algarismos em “1” quando a subtração for 
possível
43 - 64 → 0
43 - 32 → 1
11 - 16 → 0
11 - 8 → 1
3 - 4 → 0
3 - 2 → 1
1 - 1 → 1
0
43(10)= 0101011 (2)
Conversão Base 2 para Base 2N
• Bin → Hexa
2 → 16
2 → 24
N = 4
• Converter grupos de 4 
algarismos binários em 1 
algarismo Hexadecimal
1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0
4 2 1 8 4 2 1 8 4 2 1
5 C 6
10111000110(2) = 5C6 (16)
• Bin → Octal
2 → 8
2 → 23
N = 3
• Converter grupos de 3 
algarismos binários em 1 
algarismo Octal
1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0
2 1 4 2 1 4 2 1 4 2 1
2 7 0 6
10111000110(2) = 2706 (8)
Conversão Base 2N para Base 2 
• Hexa → Bin 
16 → 2
24 → 2
N = 4
• Converter 1 algarismo 
Hexadecimal em grupos de 4 
algarismos binarios
9 B 6
1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0
8 4 2 1 8 4 2 1 8 4 2 1 
9B6 (16) = 100110110110 (2)
• Octal → Bin
8 → 2
23 → 2
N = 3
• Converter 1 algarismo Octal em 
grupos de 3 algarismos binarios
3 6 1 5
0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1
4 2 1 4 2 1 4 2 1 4 2 1 
3615 (8) = 011110001101(2)
Conversão Base 2N para Base 2M
• Converter para binário (base 2) e em seguida para base final
• Hexa → Bin → Octal 
• Octal → Bin → Hexa 
8 B 2
1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0
1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0
4 2 6 2
8B2 (16) = 100010110010 (2) = 4262(8)
Códigos binários
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Decimal
0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001
BCD 8421
1100
1011
1010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001
Excesso 3
1111
1110
1101
0000
0001
0010
0011
0100
1011
1100
Aiken
1101
1100
0100
0000
0001
0011
0010
0110
0111
0101
Gray
1010
1110
1111
1000
1001
1011
10
11
12
13
14
15
0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001
Binário
1010
1011
1100
1101
1110
1111
----
----
----
----
----
----
----
----
----
----
----
----
----
----
----
----
----
----
Operações lógicas
NOT
Tabela Verdade
Álgebra
Símbolo Digital Equações
S = A
S = ! A
S = / A
Circuito Elétrico
S= Inverso do valor da entrada
IF NOT taxa<5 THEN divida=7
Software
r
A
1
0 = 1
1 = 0
A = A
A S
0 1
1 0
AND
Tabela Verdade
B A S
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1Álgebra
A•0 = 0
A•1 = A
A•A = A
A•A = 0
Símbolo Digital
&
Equações
S = A • B
S = A & B
S = A * B * C
Circuito Elétrico
A B
S=1 só quando TODAS as entradas =1
Se alguma entrada = 0 então S=0
IF valor>10 AND taxa<5 THEN divida=7
Software
OR
Tabela Verdade
B A S
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1Álgebra
Símbolo Digital Equações
S = A + B
S = A # B
S = A # B # C
Circuito Elétrico
S=0 só quando TODAS as entradas =0
Se alguma entrada = 1 então S=1
IF valor>10 OR taxa<5 THEN divida=7
Software
≥1
A+0 = A
A+1 = 1
A+A = A
A+A = 1
A
B
NAND
Tabela Verdade
B A S
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0
Símbolo Digital
&
Equações
S = A • B
S = !(A & B)
S = /(A * B)
S=0 só quando TODAS as entradas =1
Se alguma entrada = 0 então S=0
IF NOT ( valor>10 AND taxa<5) THEN 
divida=7
Software
Equivalência
NOR
Tabela Verdade
B A S
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 0
Símbolo Digital Equações
S = A + B
S = !(A # B)
S=1 só quando TODAS as entradas =0
Se alguma entrada = 1 então S=1
IF NOT (valor>10 OR taxa<5) THEN 
divida=7
Software
≥1
Equivalência
Mapas de Karnaugh
Conjunto
A
Diagrama de Venn
Estudam
Não
Estudam
A
Mapa de Karnaugh
2 variáveis
A
A
Estudam
B
B Fumam
A
B
Diagrama de Venn
A
Mapa de KarnaughB
4 possibidades
3 variáveis
A - EstudamA AB B
B - Fumam
C C
C - Correm
A B
C
Diagrama de Venn
A
Mapa de Karnaugh
B
C
8 possibilidades
A
A - Estudam
B
B - Fumam
C
C - Correm
D
D - Jogam bola
Mapa de Karnaugh
4 variáveis
A B
C
D
16 possibilidades
Nomenclatura
• Para elementos que pertencem ao conjunto 
usamos:
– A, A=1
• Para elementos que não pertencem ao conjunto 
usamos:
– A, A=0 ,!A
Mapas de Karnaugh
A A
1 Variável
A A
B
B
2 Variáveis
B B B B
C
C
A A A A
3 Variáveis
B B B B
A A A A
C
C
C
C
D
D
D
D
4 Variáveis
Mapas de Karnaugh
A 0 1 A 0 1
1
0
B
1
0
C
BA 00 01 11 10
10
11
00
01
BA
DC 00 01 11 10
Células
A 0 1
1
0
B
00 01 11 10
1
0
BA
C
10
11
00
01
BA
DC 00 01 11 10
• Cada divisão do mapa é
chamanda de célula.
• Quando ocorre variação de 
apenas um bit entre uma célula 
e outra, dizemos que estas 
células são vizinhas.
Funções lógicas
A
A - TEM MOTO
Função de 2 variáveis
B
B - TEM CARRO
Quem tem carro e moto ?
A A
B
B
1 - VERDADE
0 - FALSO
B A S
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
A
0
0 1
1
0
B
0 1
0
Função de 3 variáveis
A - TEM MOTO
A
B - TEM CARRO
B
C - FUMA
C
Quem tem carro ou moto
e não fuma ?
C B A S
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 0
1 - VERDADE
0 - FALSO
C 00 01 11 10
1
0 0
BA
0
1
0
1
0
1
0
Simplificação de funções
lógicas utlizando
Mapas de Karnaugh
Método de simplificação 
Por mintermo (Soma de produtos)
1º Passo
• Construir o mapa de
Karnaugh de acordo com o 
número de variáveis
• Deve-se fazer um mapa 
para cada saída do circuito.
Exemplo 4 variáveis
10
11
00
01
BA
DC 00 01 11 10
Método de simplificação 
Por mintermo (Soma de produtos)
2º Passo
• Transferir os valores 
de saída da tabela 
verdade para o mapa, 
respeitando as 
posições das 
combinações entre a 
tabela verdadee o 
Mapa.
10
11
00
01
BA
DC 00 01 11 10
D C B A S
0 0 0 0 0
0 0 0 1 1
0 0 1 0 0
0 0 1 1 0
0 1 0 0 0
0 1 0 1 1
0 1 1 0 0
0 1 1 1 1
1 0 0 0 0
1 0 0 1 1
1 0 1 0 1
1 0 1 1 0
1 1 0 0 0
1 1 0 1 1
1 1 1 0 1
1 1 1 1 1
0
0
1
1
0
1
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
Método de simplificação 
Por mintermo (Soma de produtos)
3º Passo
• Agrupar as células vizinhas que 
contiverem o estado lógico 1, em 
grupos de 2N células.
• Os grupos devem ser os maiores 
possíveis para uma maior 
simplificação.
• Uma célula pode ser agrupada 
várias vezes se necessário.
• Todas as células contendo “1” 
devem ser agrupadas.
10
11
00
01
BA
DC 00 01 11 10
0
0
1
1
0
1
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
Método de simplificação 
Por mintermo (Soma de produtos)
4º Passo
• Para cada grupo, associar em 
operação “AND” as variáveis que 
são constantes em todas as células 
do grupo, ou seja, não ocorreu 
variação de entrada.
• Pegar as variáveis de modo direto, 
A para entrada em 1 e !A para 
entrada em 0.
• Cada associação denomina-se 
“TERMO”. 10
11
00
01
BA
DC 00 01 11 10
0
0
1
1
0
1
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
!B.A
C.A
D.B.!A
Método de simplificação 
Por mintermo (Soma de produtos)
5º Passo
• A expressão simplificada é a 
associação de todos os TERMOS 
em uma operação “OR”
S = C.A + D.B.!A + !B.AS = C.A + D.B.!A + !B.A
10
11
00
01
BA
DC 00 01 11 10
0
0
1
1
0
1
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
C.A
D.B.!A
!B.A
Mapa para 5 ou mais variáveis
Deve-se construir vários mapas de 4 
variáveis dentro de outros mapas
10
11
00
01
BA
DC 00 01 11 10
10
11
00
01
BA
DC 00 01 11 10
E = 0 E = 1
Células vizinhas
Mapas de Karnaugh
em circuitos lógicos
Circuito lógico
CircuitoA
B
SSensores
Atuadores
Tabela Verdade
B A S
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
1 - Ativo
0 - Não ativo
A
0
0 1
1
0
B
0 1
0
S = A . B
Sinais de entrada
• Os sinais de entrada variam seu valor com o 
tempo.
• A tabela verdade diz qual será o valor de saída 
para uma determinada combinação de entrada.
• A sequência de combinações de entrada não 
obedecem a TV mas sim o comportamento do 
sistema.
• Certas combinações podem nunca ocorrer ou 
ocorrer várias vezes.
Exemplo 3 entradas
C B A S
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 0
C
B
A
S
0
0
1
1
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1
0
1
Cíclico
OcorremOcorrem
Não ocorremNão ocorrem
Saída Don’t Care (X)
• Para as combinações que não vão ocorrer, 
não é necessário pré definirmos um valor 
de saída.
• Podemos deixa-las primeiramente com um 
valor “X” indeterminado.
• Valor de “X” pode ser 1 ou 0 que não 
afetará o comportamento do circuito.
C B A S
0 0 0 X
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 1 X
1 0 0 X
1 0 1 X
1 1 0 1
1 1 1 0 OcorremOcorrem
Não ocorremNão ocorrem
Mapa com Don’t Care
C 00 01 11 10
1
0 X
BA
X
1
X
X
0
0
1
C B A S
0 0 0 X
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 1 X
1 0 0 X
1 0 1 X
1 1 0 1
1 1 1 0
• Ao se formar grupos o valor de X poderá 
ser 1 ou 0 para possibilitar um maior 
numero de células agrupadas.
• O valor de X é válido por célula.
C.!A!B
S = !B + C.!AS = !B + C.!A