01 Sistemas de numeração, álgebra booleana e simplificação de circuitos lógicos

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DESCRIÇÃO
Conceitos e princípios básicos de Eletrônica Digital: sistemas de numeração, álgebra Booleana, portas lógicas e simplificação de circuitos.
PROPÓSITO
Compreender a representação dos números em diferentes bases, sobretudo na base binária e hexadecimal. Identificar as portas lógicas e a
sua utilização para obtenção de circuitos complexos. Representar circuitos lógicos por funções booleanas e simplificá-las empregando o
mapa de Karnaugh.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Calcular a representação de números em diferentes bases e as operações com base binária e hexadecimal
MÓDULO 2
Identificar as portas lógicas e a notação de funções booleanas
MÓDULO 3
Aplicar a álgebra de Boole para a simplificação de funções booleanas
MÓDULO 4
Aplicar o mapa de Karnaugh para a simplificação de funções booleanas
INTRODUÇÃO
Os primeiros dispositivos eletrônicos eram integralmente analógicos, mas com o passar dos anos surgiram os digitais. Atualmente, a
Eletrônica Digital está presente em praticamente todos os dispositivos que utilizamos: celulares, carros, TVs, computadores, aviões etc. Entre
as vantagens dos circuitos digitais em relação aos eletrônicos que explicam essa substituição, destacam-se:
Confiabilidade, possibilidade de utilização de protocolos de verificação de erros.
Capacidade de armazenamento. Por exemplo, CDs, DVDs e Blu-rays, armazenam muito mais informação do que discos de vinil ou fitas
cassete.
Maior resistência a ruídos. Este fenômeno pode ser observado comparando a transmissão de sinal de TV digital e o analógico.
Possibilidade de fazer dispositivos que podem ser programados para diversas tarefas. Por exemplo, seu computador pode
desempenhar diversas funções apenas alterando os programas instalados, sem modificações no hardware (parte física do dispositivo).
MÓDULO 1
 Calcular a representação de números em diferentes bases e as operações com base binária e hexadecimal
BASES NUMÉRICAS
O sistema numérico, que utilizamos rotineiramente, utiliza 10 símbolos (também chamados de algarismos) para representar os números: 0, 1,
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Combinando esses símbolos, podemos representar qualquer valor.
 VOCÊ SABIA
A utilização da base 10, ou decimal, é uma herança de nossos antepassados, que costumavam usar os dedos das mãos para contar objetos.
Não há nada de especial em relação ao número 10, podemos representar os números em diferentes bases. Por exemplo, na base 8 teremos
os dígitos: 0, 1, 2, 3, .... e 7, assim a representação dos números de 0 a 12 na base 8 é:
Base 10 Base 8
0 08
1 18
2 28
3 38
4 48
5 58
6 68
7 78
Base 10 Base 8
8 108
9 118
10 128
11 138
12 148
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
Note que a identificação da base é realizada com o número da base subscrito à direita do número, por exemplo, 108.
 ATENÇÃO
Perceba que essa notação não é utilizada para base 10, isso porque é convencionado que todo número esteja na base 10, a menos que seja
explícito o contrário.
Também podemos utilizar bases de ordem superior a dez. Nesse caso, usamos as letras do alfabeto para representar os algarismos com
valor superior a 9.
 ATENÇÃO
Na base 16 (ou hexadecimal) são utilizados os algarismos: 0, 1, 2, 3, ..., 9, A, B, C, D, E e F.
A base 2, ou binária, e a base hexadecimal são muito utilizadas em eletrônica digital e, por isso, recebem uma identificação simplificada.
 DICA
Os números binários são identificados utilizando a letra “b” em seu final e os hexadecimais a letra “h”.
Na tabela, a seguir, podemos ver como são representados os números de 0 a 20 em diferentes bases.
Base 10 Base 2 Base 4 Base 7 Base 8 Base 16
0 0b 04 07 08 0h
1 1b 14 17 18 1h
2 10b 24 27 28 2h
Base 10 Base 2 Base 4 Base 7 Base 8 Base 16
3 11b 34 37 38 3h
4 100b 104 47 48 4h
5 101b 114 57 58 5h
6 110b 124 67 68 6h
7 111b 134 107 78 7h
8 1000b 204 117 108 8h
9 1001b 214 127 118 9h
10 1010b 224 137 128 Ah
11 1011b 234 147 138 Bh
Base 10 Base 2 Base 4 Base 7 Base 8 Base 16
12 1100b 304 157 148 Ch
13 1101b 314 167 158 Dh
14 1110b 324 207 168 Eh
15 1111b 334 217 178 Fh
16 1 0000b 1004 227 208 10h
17 1 0001b 1014 237 218 11h
18 1 0010b 1024 247 228 12h
19 1 0011b 1034 257 238 13h
20 1 0100b 1104 267 248 14h
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
Repare que quando os números são representados na base 2, normalmente, haverá muitos algarismos, aumentando a probabilidade de
cometermos erros ao transcrever ou operar com esses valores.
 DICA
Para facilitar o manuseio, a leitura e a escrita costumamos separar os números binários em sequências de 4 dígitos, da direita para a
esquerda. Assim ao invés de escrever 2020 = 11111100100b, escreve-se 2020 = 111 1110 0100b.
CONVERSÃO DE QUALQUER BASE PARA A DECIMAL
Note que a formação dos números decimais segue uma regra de acordo com a posição dos algarismos. Iniciando pelo algarismo menos
significativo, cada digito é multiplicado por 10 elevado à sua posição, considerando a primeira posição valendo zero.
 EXEMPLO
1528 = 8 x 100 + 2 x 101 + 5 x 102 + 1 x 103
Dizemos que o algarismo mais à esquerda é o mais significativo (MSB – Most Significant Bit), pois está na posição de maior valor.
Igualmente, dizemos que o dígito mais à direita é o menos significativo (LSB – xLeast Significant Bit), pois ocupa a posição de menor valor.
No caso do 1528 “1” é o algarismo mais significativo e “8” é o algarismo menos significativo.
A formação dos números na base decimal é apenas um caso particular. O caso geral, que vale para qualquer base, pode ser usado para
converter os números de suas bases de origem para a decimal.
Para converter um número de qualquer base para a decimal, devemos calcular o somatório de cada algarismo multiplicado pelo valor da base
elevado ao valor correspondente à posição do algarismo, iniciando pelo menos significativo, cuja posição corresponde ao expoente 0.
Apesar de a descrição parecer complicada, o processo é bem simples, veja nos exemplos abaixo:
EXEMPLO 1
EXEMPLO 2
1) CONVERTA 1A4H PARA O SISTEMA DECIMAL:
1A4h = 4 x 160 + 10 x 161 + 1 x 162 = 4 + 160 + 256 = 420
2) CONVERTA 1101B PARA O SISTEMA DECIMAL:
1101b = 1 x 20 + 0 x 21 + 1 x 22 + 1 x 23 = 19 + 0 + 4 + 8 = 13
CONVERSÃO DA BASE DECIMAL PARA QUALQUER BASE
Para converter um número da base 10 para qualquer base, utilizaremos o método das divisões sucessivas. Nesse método, dividimos o
número sucessivamente pelo valor da base de destino. O processo é repetido até que o quociente seja menor que o valor da base, então, o
número é formado pelo último quociente e os restos, sendo o último quociente o dígito mais significativo e os restos colocados na ordem
inversa de que apareceram na divisão.
Pode parecer um processo complicado, mas no passo a passo, a seguir, veremos que é bem simples.
PASSO 1
Converta 420 para a base hexadecimal:
 
Fonte: Produção interna.
PASSO 2
 
Fonte: Produção interna.
PASSO 3
Como o quociente do passo anterior é menor que o valor da base, paramos a divisão e formamos o número na base hexadecimal:
Último quociente Segundo resto Primeiro resto
1 A 4
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
Destacando que 10 na base decimal corresponde ao algarismo A da base hexadecimal.
Assim, 420 = 1A4h.
Para agilizar o processo manual, podemos compactar a notação, como realizado nos exemplos abaixo:
EXEMPLO 1
EXEMPLO 2
1) Converta 21582 para a base hexadecimal:
 
Fonte: Produção interna.
21852 = 544Eh
2) Converta 102 para a base binária:
 
Fonte: Produção interna.
102 = 110 0110b
A BASE BINÁRIA
O sistema binário é extremamente importante para eletrônica digital, pois é o utilizado nas máquinas digitais até hoje.
 VOCÊ SABIA
Seu computador funciona assim, processando enormes quantidades de 0s e 1s!
Dessa forma, o dígito binário, também chamado de bit, é a menor quantidade de informação capaz de ser representada nos sistemas digitais.
Écomum na área de computação trabalhar com agrupamentos de bits, o conjunto de 4 bits é chamado de nibble e o de 8 bits é chamado de
byte.
CONVERTENDO ENTRE A BASE BINÁRIA E A HEXADECIMAL
Como realizar a conversão entre as bases binária e hexadecimal de maneira inteligente
Veja como deve ser feita a conversão entre as bases binária e hexadecimal no vídeo a seguir:
OPERAÇÕES COM A BASE BINÁRIA
SOMA ARITMÉTICA
A operação de soma com binários e hexadecimais pode ser realizada da mesma forma com decimais. Sempre que a soma de dois
algarismos excede a capacidade de representação da base com apenas um algarismo, aparece o carry, como pode ser visto abaixo.
Exemplo:
A soma 47 + 26 em decimal é realizada da seguinte forma:
RESPOSTA
 
Fonte: Produção interna.
Em binário, a mesma soma pode ser realizada como:
 
Fonte: Produção interna.
Já em hexadecimal:
 
Fonte: Produção interna.
Note que o sistema hexadecimal pode representar, com apenas 1 algarismo, até o número 15, que corresponde ao dígito hexadecimal “F”.
No exemplo acima, F + A corresponde à seguinte soma no sistema decimal, 15 + 10 = 25. Convertendo 25 para hexadecimal obtém-se 19h,
o “1” aparece na operação de soma como carry.
SUBTRAÇÃO
A subtração com binários e hexadecimais, assim como a adição, é realizada de forma semelhante ao que é feito com os decimais. Ou seja, a
operação é realizada dígito a dígito. Deve se tomar cuidado especial quando for preciso “pedir um”.
 RELEMBRANDO
É preciso lembrar que uma unidade do algarismo, à esquerda, equivale ao valor da base para o algarismo que está à direta.
Veja o exemplo a seguir:
Exemplo:
A subtração 41 - 28 em decimal é realizada da seguinte forma:
 
Fonte: Produção interna.
Em binário, a mesma operação pode ser realizada como:
Começamos normalmente pelos algarismos menos significativos
 
Fonte: Produção interna.
Para poder realizar a operação no 3° algarismo menos significativo precisamos “pedir um” emprestado ao 4°:
 
Fonte: Produção interna.
Nesse ponto da subtração, o 4° algarismo precisa “pedir um” emprestado, mas o 5° vale zero. Então, primeiro o 5° dígito deverá “pedir
um” para o sexto algarismo:
 
Fonte: Produção interna.
Finalmente o 3° algarismo pode pegar o valor que necessita para a substração e podemos finalizar a operação:
 
Fonte: Produção interna.
Realizando a mesma operação utilizando a notação em hexadecimal:
 
Fonte: Produção interna.
Repare que quando o digito 9h “pede um” ele se transforma em 19h, ou seja, é somado 16 ao seu valor inicial.
 ATENÇÃO
É fortemente recomendado fazer a subtração dos dígitos hexadecimais utilizando o sistema decimal, conforme mostrado no exemplo, para
evitar erros.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. QUAL A REPRESENTAÇÃO DO NÚMERO 3415 NA BASE BINÁRIA?
A) 1100 0000b
B) 0000 0110b
C) 0110 0000b
D) 0000 0011b
2. QUAL O RESULTADO DA EXPRESSÃO 1101 0010 0011B + 3A0H – 1011B?
A) 0001 0000 1011 1000b
B) 1011 1000b
C) 0001 1101 0000 1000b
D) 1000 0000 1101 0001b
GABARITO
1. Qual a representação do número 3415 na base binária?
A alternativa "C " está correta.
 
Para converter entre duas bases quaisquer, utilizamos a base decimal como intermediária. Dessa forma, temos 3415 = 96, seguindo o
apresentado em Conversão de qualquer base para a decimal. Em seguida, convertemos para a base binária utilizando o método das
divisões sucessivas, 96 = 0110 0000b, conforme apresentado em Conversão da base decimal para qualquer base.
2. Qual o resultado da expressão 1101 0010 0011b + 3A0h – 1011b?
A alternativa "A " está correta.
 
Apesar das alternativas estarem em binário, é preferível realizar a operação na base hexadecimal, evitando erros devido à quantidade de
dígitos utilizados pela representação binária. Convertendo a expressão para a base 16 de acordo com o visto em Convertendo entre a base
binária e a hexadecimal:
D23h + 3A0h – Bh
 
Fonte: Produção interna.
Finalmente, convertendo o valor para binário temos: 10B8h = 0001 0000 1011 1000b
MÓDULO 2
 Identificar as portas lógicas e a notação de funções booleanas
PORTAS LÓGICAS
As portas lógicas são circuitos digitais capazes de implementar funções simples de variáveis binárias, também conhecidas por variáveis
booleanas. As portas lógicas são os elementos básicos de construção dos circuitos lógicos mais complexos.
A variável booleana pode assumir apenas dois níveis lógicos:
Nível lógico 0 (zero)
Representa a ideia de não, falso.

Nível lógico 1 (um)
Representa ideia de sim, verdade.
 ATENÇÃO
O importante é que cada variável booleana pode assumir somente um valor por vez, e que o nível lógico 0 e o 1 devem sempre ser opostos.
Logo, se em um sistema o 0 representa chave aberta, o 1 representará a chave fechada, se o 0 representa aparelho desligado, então o 1
representará o aparelho ligado etc.
A nomenclatura das portas lógicas é bastante indicativa da função que executam, facilitando a memorização.
Saber identificar uma porta lógica pela sua nomenclatura, em português ou inglês, ou por quaisquer de seus símbolos e reconhecer suas
funções lógicas é fundamental para avançar nos estudos de Eletrônica Digital.
PORTA NÃO (NOT) OU INVERSORA
A porta NÃO é uma porta com apenas uma entrada, cuja saída é o estado oposto ao da entrada.
 DICA
Para mostrar o funcionamento das portas lógicas, utilizamos a tabela verdade, a qual é um mapa que possui todas as possíveis combinações
das entradas com os seus respectivos resultados.
A tabela verdade da Porta NÃO e seu símbolo são apresentados abaixo:
A S
0 1
1 0
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
 
Fonte: Produção interna.
Figura 1 - Porta lógica NÃO | Fonte: Capuano, Francisco Gabriel - adaptada.
A função NÃO é representada como , e se lê como “A barra” ou “não A”.
PORTA E (AND)
A porta E necessita que todas as entradas sejam verdade (estado lógico 1) para que a saída seja verdade. Caso contrário, a saída é falsa
(estado lógico 0). Essa porta realiza o que chamamos de produto lógico das variáveis booleanas.
A tabela verdade e o símbolo de uma porta E de duas entradas são:
A B S
S = ¯̄̄A
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
 
Fonte: Produção interna.
Figura 2 - Porta lógica E | Fonte: Capuano, Francisco Gabriel - adaptada.
A função E é representada como ou , e se lê como “A e B” ou “A multiplica B”.
 ATENÇÃO
Note que a porta lógica E pode ter tantas entradas quanto se queira.
S  =  A  ⋅ B S  =   AB
Por exemplo, para uma porta E de três entradas.
A B C S
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 0
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 1
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
 
Fonte: Produção interna.
Figura 3 - Porta Lógica E de 3 entradas| Fonte: Capuano, Francisco Gabriel - adaptada.
, e se lê como “A e B e C”.
PORTA OU (OR)
A porta OU realiza a soma lógica das variáveis booleanas. Sua saída é verdade (1) desde que pelo menos umas das entradas seja verdade
(1). Assim como a porta E, a OU pode ter tantas entradas quanto se queira. A simbologia e a tabela verdade de uma porta OU de duas
entradas são apresentadas a seguir:
A B S
0 0 0
0 1 1
1 0 1
S  =  A ⋅ B ⋅ C = ABC
1 1 1
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
 
Fonte: Produção interna.
Figura 4 - Porta Lógica OU | Fonte: Capuano, Francisco Gabriel - adaptada.
S = A+B, e se lê como “A ou B” ou “A mais B”.
 ATENÇÃO
É importante diferenciar a operação lógica OU que realiza a soma lógica, da soma aritmética vista no Módulo 1. Perceba que, por exemplo,
na função lógica não existe o carry.
A simbologia e a tabela verdade para uma função OU de quatro variáveis de entrada são:
A B C D S
0 0 0 0 0
0 0 0 1 1
0 0 1 0 1
0 0 1 1 1
1 0 0 0 1
1 0 0 1 1
1 0 1 0 1
1 0 1 1 1
1 1 0 0 1
1 1 0 1 1
1 1 1 0 1
1 1 1 1 1
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontalFonte: Produção interna.
Figura 5 - Porta Lógica OU de 4 entradas | Fonte: Capuano, Francisco Gabriel - adaptada.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Note que a função lógica OU, com mais do que duas entradas, é totalmente diferente do que seria a soma aritmética dos mesmos bits.
Perceba também que como cada entrada pode assumir 2 valores (0 ou 1), a quantidade de combinações possíveis para as entradas é 2^N,
com N sendo a quantidade de entradas. Então, no caso da porta OU com 4 entradas, há 2^4=16 combinações possíveis de entrada, como
pode ser visto na sua tabela verdade.
PORTA NÃO E (NAND)
Como sugerido pelo nome, essa porta é a negação da porta E. Ou seja, ela pode ser composta por uma porta E seguida pela porta NÃO.
Simbologia da Porta NÃO E:
S  =  A + B + C + D
 
Fonte: Produção interna.
Figura 6 - Porta Lógica NÃO E | Fonte: Capuano, Francisco Gabriel - adaptada.
A porta NÃO E opera como uma porta E seguida pela porta NÃO:
 
Fonte: Produção interna.
Figura 7 - Esquema da porta lógica NÃO E | Fonte: Capuano, Francisco Gabriel - adaptada.
Assim, a sua tabela verdade é dada por:
A B S
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
E a expressão lógica da porta NAND é 
Assim, como as portas E e OU, a porta NAND pode possuir múltiplas entradas.
PORTA NÃO OU (NOR)
Análoga a porta NÃO E, a NÃO OU é a composição da OU com a NÃO. Assim como as demais, ela pode ter duas entradas ou mais. A
simbologia, tabela verdade e expressão da porta NÃO OU são dadas a seguir:
A B S
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 0
S =  ̄ ¯̄¯̄¯̄¯A ⋅ B = ¯̄¯̄̄ ¯AB
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
 
Fonte: Produção interna.
Figura 8 - Porta lógica NÃO OU | Fonte: Capuano, Francisco Gabriel - adaptada.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
PORTA OU EXCLUSIVO (EXCLUSIVE OR), XOR
A porta OU EXCLUSIVO, assim como as outras portas, pode ter mais do que duas entradas, porém esse caso é incomum e seu
funcionamento é ligeiramente diferente. Estudaremos apenas a porta OU EXCLUSIVO de duas entradas.
Como o seu nome sugere, a saída da porta OU EXCLUSIVO é verdade (1), se, e somente se, uma entrada for verdade (1) e a outra for falsa
(0). Ou seja, se as entradas forem diferentes.
A representação da porta XOR e sua tabela verdade são:
A B S
S =  ̄ ¯̄¯̄¯̄¯̄¯A + B
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
 
Fonte: Produção interna.
Figura 9 - Porta lógica OU Exclusivo | Fonte: Capuano, Francisco Gabriel - adaptada.
A expressão da porta lógica XOR é lê-se “A ou exclusivo B”, ou “A XOR B”.
A expressão da XOR pode ser escrita em função das portas E, OU e NÃO: 
A seguir, mostramos a implementação da expressão obtida para a porta XOR:
S = A ⊕ B
S = A ⊕ B = ¯̄̄A ⋅ B + A ⋅ ¯̄̄B
 
Fonte: Produção interna.
Figura 10 - Implementação da porta XOR utilizando portas E, OU e NÃO | Fonte: Dachi, Édison Pereira - adaptada.
PORTA NÃO OU EXCLUSIVO (NOT EXCLUSIVE OR), XNOR
É a negação da porta OU EXCLUSIVO. Dessa forma, a porta XNOR possui saída verdade (1) se, e somente se, as entradas forem iguais.
 lê-se A não ou exclusivo B, ou A XNOR B.
A B S
0 0 1
0 1 0
 S = ¯̄¯̄¯̄¯̄¯̄A ⊕ B = A ⋅ B + ¯̄¯̄¯̄¯̄A ⋅ B 
1 0 0
1 1 1
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
 
Fonte: Produção interna.
Figura 11 - Porta lógica NXOR | Fonte: Capuano, Francisco Gabriel - adaptada.
OBTENÇÃO DA FUNÇÃO BOOLEANA A PARTIR DOS CIRCUITOS
LÓGICOS
Obtenção da função booleana a partir dos circuitos lógicos
Veja como obter a função booleana a partir dos circuitos lógicos no vídeo a seguir:
OBTENÇÃO DOS CIRCUITOS LÓGICOS A PARTIR DA FUNÇÃO
BOOLEANA
Para obter o circuito lógico a partir da expressão booleana, basta identificar as funções lógicas e as desenhar de acordo com a precedência
das operações.
Exemplo:
Desenhe o circuito lógico que implementa a seguinte expressão: 
RESPOSTA
RESPOSTA
S (A + B) ⋅ ¯̄̄C ⋅ D + C ⋅ D 
Identificamos que as primeiras operações são o OU (A + B) e o E (C .D)
 
Fonte: Produção interna.
Em seguida, fazemos o E entre 
 
Fonte: Produção interna.
Finalmente, fazemos a operação de OU entre 
(A + B),  ̄ ¯̄C e D
(A + B) ⋅ ¯̄̄C ⋅ D  e C ⋅ D
 
Fonte: Produção interna.
OBTENÇÃO DA TABELA VERDADE A PARTIR DA FUNÇÃO
BOOLEANA
Conforme a complexidade da expressão booleana aumenta, obter a tabela verdade por simples inspeção se torna cada vez mais difícil.
Nesses casos, pode-se utilizar os seguintes passos para obtê-la a partir da expressão booleana:
Montar a tabela com todas entradas possíveis.

Criar colunas para os produtos intermediários e as preencher de acordo (repetir este passo tantas vezes quanto o necessário).

Criar a coluna da saída e a preencher de acordo.
EXEMPLO:
Montar a tabela verdade da expressão: 
1° PASSO
2° PASSO
3° PASSO
4° PASSO
1° PASSO
A B C
0 0 0
S = A ⋅ (B + C) + ¯̄̄C
A B C
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
2° PASSO
A B C B+C C
A B C B+C
0 0 0 0 1
0 0 1 1 0
0 1 0 1 1
0 1 1 1 0
1 0 0 0 1
1 0 1 1 0
1 1 0 1 1
1 1 1 1 0
3° PASSO
C
A B C B+C A.(B+C)A B C B+C A.(B+C)
0 0 0 0 1 0
0 0 1 1 0 0
0 1 0 1 1 0
0 1 1 1 0 0
1 0 0 0 1 0
1 0 1 1 0 1
1 1 0 1 1 1
1 1 1 1 0 1
4° PASSO
CC
A B C B+C A.(B+C) SA B C B+C A.(B+C) S
0 0 0 0 1 0 1
0 0 1 1 0 0 0
0 1 0 1 1 0 1
0 1 1 1 0 0 0
1 0 0 0 1 0 1
1 0 1 1 0 1 1
1 1 0 1 1 1 1
1 1 1 1 0 1 1
CC
OBTENÇÃO DA FUNÇÃO BOOLEANA A PARTIR DA TABELA
VERDADE
Obter uma função booleana a partir da tabela verdade é simples, basta seguir dois passos:
Identificar as combinações de entrada que geram saída “1” e as reproduzir usando as funções lógicas E e NÃO.

Utilizar a função lógica OU para combinar as expressões obtidas no passo anterior.
No exemplo, a seguir, está ilustrado o método junto à explicação de como ele funciona.
EXEMPLO:
Obter uma função booleana que gere a tabela verdade abaixo:
A B C S
0 0 0 1
0 0 1 0
A B C S
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 1
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
Primeiro, suponha uma porta OU com entradas X e Y. Note que pela tabela verdade da porta OU se X = 1 então S = 1, como pode ser visto
nas linhas em destaque da tabela verdade abaixo:
X Y S = X + Y
0 0 0
0 1 1
X Y S = X + Y
1 0 1
1 1 1
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
Ou seja, 1 + Y = 1, independente do estado lógico de Y!
Retomando a tabela verdade do exemplo, para que a primeira linha (A = 0, B = 0 e C = 0) possua saída S = 1, deve-se incluir o termo 
, note que esse termo produz saída 1 se, e somente se, A = B = C = 0. Ou seja:
A B C
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 0
A ⋅ B ⋅ C
A ⋅ B ⋅ C
A B C
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 0
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
Para que a linha A = 0 e B = C = 1 possua saída 1, utiliza-se o termo 
Da mesma maneira, temos que para a linha A = B = C = 1 tenha S = 1, utiliza-se o termo A .B .C
Assim, temos a seguinte tabela verdade:
A B C
0 0 0 1 0 0
0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 1 1 0 1 0
A ⋅ B ⋅ C
A ⋅ B ⋅ C
A ⋅ B ⋅ C A ⋅ B ⋅ C A ⋅ B ⋅ C
A B C
1 0 0 0 0 0
1 0 1 0 0 0
1 1 0 0 0 0
1 1 1 0 0 1
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
Fazendo :
A B C S
0 0 0 1 0 0 1
0 0 1 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0
0 1 1 0 1 0 1
A ⋅ B ⋅ C A ⋅ B ⋅ C A ⋅ B ⋅ C
S = A ⋅ B ⋅ C + A ⋅ B ⋅ C + A ⋅ B ⋅ C
A ⋅ B ⋅ C A ⋅ B ⋅ C A ⋅ B ⋅ C
A B C S
1 0 0 0 0 0 0
1 0 1 0 0 0 0
1 1 0 0 0 0 0
1 1 1 0 0 1 1
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
Esse é o resultado desejado! Logo 
 DICA
Analisando o exemplo anterior, fica claro que qualquer tabela verdade pode ser expressa como uma soma de produtos.
VERIFICANDO O APRENDIZADOA ⋅ B ⋅ C A ⋅ B ⋅ C A ⋅ B ⋅ C
S = A ⋅ B ⋅ C + A ⋅ B ⋅ C + A ⋅ B ⋅ C
1. QUAL É A EXPRESSÃO BOOLEANA DO CIRCUITO ABAIXO? 
 
 
FONTE: PRODUÇÃO INTERNA.
A) 
B) 
C) 
D) 
2. QUAL É A EXPRESSÃO BOOLEANA QUE GERA A SEGUINTE TABELA VERDADE: 
A B C S
0 0 0 0
S = (A ⋅ B) ⋅ (A + ¯̄̄B)
S = ¯̄¯̄¯̄¯̄¯̄¯̄¯̄¯̄¯̄¯̄¯̄¯̄¯̄¯̄¯̄(A + B) + (A ⋅ ¯̄̄B)
S = (A ⋅ B) ⋅ ¯̄¯̄¯̄¯̄¯̄¯̄¯(A + B)
S = (A ⋅ B) ⋅ (A + ¯̄̄B)
A B C S
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 0
1 1 0 1
1 1 1 1
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA TABELA UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
A)
A) S =  ̄ ¯̄A ⋅ ¯̄̄B ⋅ C  +  ̄ ¯̄A ⋅ B ⋅ ¯̄̄C  +  ̄ ¯̄A ⋅ B ⋅ C  +  A ⋅ B ⋅ ¯̄̄C +  A ⋅ B ⋅ C
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A)
B)
B) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B)
C)
C) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C)
D)
D) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D)
GABARITO
1. Qual é a expressão booleana do circuito abaixo? 
 
S =  ̄ ¯̄A ⋅ ¯̄̄B ⋅ ¯̄̄C  +  ̄ ¯̄A ⋅ B ⋅ ¯̄̄C  +  A ⋅ ¯̄̄B ⋅ C 
S =  ̄ ¯̄A ⋅ ¯̄̄B ⋅ C  +  ̄ ¯̄A ⋅ B ⋅ ¯̄̄C  +  A ⋅ ¯̄̄B ⋅ ¯̄̄C  +  A ⋅ ¯̄̄B ⋅ C +  A ⋅ B ⋅ C
S =  ̄ ¯̄A ⋅ ¯̄̄B ⋅ ¯̄̄C  +  A ⋅ ¯̄̄B ⋅ ¯̄̄C  +  A ⋅ ¯̄̄B ⋅ C  +  A ⋅ B ⋅ ¯̄̄C +  A ⋅ B ⋅ C
 
Fonte: Produção interna.
A alternativa "D " está correta.
 
Apesar de aparentemente simples, nesse tipo de questão é muito fácil cometer enganos esquecendo um símbolo de inversão, trocando
portas, como uma NAND por uma AND, ou alguma variável
 
Fonte: Produção interna.
2. Qual é a expressão booleana que gera a seguinte tabela verdade: 
A B C S
A B C S
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 0
1 1 0 1
1 1 1 1
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
A alternativa "A " está correta.
 
Obter a expressão booleana a partir da tabela verdade é o caso mais comum na prática, pois geralmente usamos a tabela verdade para
descrever um comportamento desejado e em seguida queremos o circuito lógico capaz de reproduzir esse comportamento.
MÓDULO 3
 Aplicar a álgebra de Boole para a simplificação de funções booleanas
Neste módulo, estudaremos os teoremas e propriedades da Álgebra Booleana e veremos como eles podem ser utilizados para simplificar as
funções booleanas.
TEOREMAS ELEMENTARES
Os primeiros 9 teoremas são bastante simples de se verificar.
1) 
2) 
3) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
=
A = A
Se  
⎧
⎨⎩
A = 1 →  ̄ ¯̄A = 0 e  dado   que  ̄ ¯̄A = 0  →  
=
A = 1
A = 0 →  ̄ ¯̄A = 1 e  dado   que  ̄ ¯̄A = 1  →  
=
A = 1
,   logo  
=
A = A
A  +  0  =  A
A  +  1  =  1
Para verificar os teoremas 2) e 3) basta analisar a tabela verdade da porta OU:
 
Fonte: Produção interna.
4) 
5) 
Para verificar os teoremas 4) e 5) basta analisar a tabela verdade da porta E:
 
Fonte: Produção interna.
6) 
7) 
Para verificar os teoremas 6) e 7), será analisado a tabela verdade da porta OU, com uma mudança conveniente na ordem em que as
combinações das entradas aparecem:
A  ⋅ 1  =  A
A  ⋅ 0  =  0
A  +  A  =  A
A + ¯̄̄A = 1
 
Fonte: Produção interna.
8) 
9) 
Para verificar os teoremas 8) e 9), será analisado a tabela verdade da porta E, com uma mudança conveniente na ordem em que as
combinações das entradas aparecem:
 
Fonte: Produção interna.
PROPRIEDADES
As propriedades da álgebra booleana são muito fáceis de se lembrar, pois seguem as mesmas regras da álgebra matemática usual.
PROPRIEDADE 
COMUTATIVA
A  ⋅  A  =  A
A ⋅ ¯̄̄A = 0
A propriedade comutativa é válida para a adição e para a multiplicação:
A + B = B + A
A . B = B . A
PROPRIEDADE 
ASSOCIATIVA
Assim como a propriedade comutativa, a propriedade associativa é válida para a adição e para a multiplicação:
(A + B) + C = A + (B + C)
(A. B) . C = A . (B . C)
PROPRIEDADE 
DISTRIBUTIVA
A propriedade distributiva é mais abrangente na álgebra booleana do que na álgebra usual, pois além de ser aplicada ao produto:
A . (B + C) = A . B + A . C
Também podem ser aplicadas a soma:
A + (B . C) = (A + B) . (A + C)
Para verificar os dois casos da propriedade distributiva, analisaremos a tabela verdade:
A B C A.(B+C) A.B+A.C
A B C A.(B+C) A.B+A.C
0 0 0 0 0
0 0 1 0 0
0 1 0 0 0
0 1 1 0 0
1 0 0 0 0
1 0 1 1 1
1 1 0 1 1
1 1 1 1 1
A B C A.(B+C) (A+B).(A+C)
0 0 0 0 0
A B C A.(B+C) (A+B).(A+C)
0 0 1 0 0
0 1 0 0 0
0 1 1 0 0
1 0 0 0 0
1 0 1 1 1
1 1 0 1 1
1 1 1 1 1
Para demonstrar como as propriedades e teoremas vistos até agora podem ser utilizados na simplificação das expressões booleanas,
faremos uma série de exemplos com expressões simples.
EXEMPLOS
Prove as simplificações:
1) 
 
2) 
 
3) 
 
4) 
 
5) 
 
6) 
 
 
7) 
 
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
TEOREMAS DE DE MORGAN
A + A ⋅ B = A
A + A ⋅ B = A ⋅ 1 + A ⋅ B = A ⋅ (1 + B) = A ⋅ 1 = A
A ⋅ (A + B) = A
A ⋅ (A + B) = A ⋅ A + A ⋅ B = A + A ⋅ B = A ⋅ (1 + B) = A ⋅ 1 = A   
A + ¯̄̄A ⋅ B = A + B
A + ¯̄̄A ⋅ B = (A + ¯̄̄A) ⋅ (A + B) = 1 ⋅ (A + B) = A + B
A ⋅ (¯̄̄A + B) = A ⋅ B
A ⋅ (¯̄̄A + B) = A ⋅ ¯̄̄A + A ⋅ B = 0 + A ⋅ B = A ⋅ B
A ⋅ B + A ⋅ ¯̄̄B = A 
A ⋅ B + A ⋅ ¯̄̄B = A ⋅ (B + ¯̄̄B) = A ⋅ 1 = A
(A + B)  ⋅ (A + ¯̄̄B) = A
(A + B) ⋅ (A + ¯̄̄B) = A ⋅ A + A ⋅ ¯̄̄B + B ⋅ A + B ⋅ ¯̄̄B = A + A . ¯̄̄B + A ⋅ B + 0 =  
= A + A ⋅ (¯̄̄B +  B) = A + A ⋅ 1 = A ⋅ A = A
(A + B) ⋅ (A + C) = A + B ⋅ C
(A + B) ⋅ (A + C) = A ⋅ A + A ⋅ C + B ⋅ A + B ⋅ C = A + A ⋅ C + A ⋅ B + B ⋅ C =
= A ⋅ (1 + C + B) + B ⋅ C = A ⋅ 1 + B ⋅ C = A + B ⋅ C
Os teoremas de De Morgan são de grande importância para a simplificação de expressões booleanas. São eles:
1) O complemento do produto de variáveis booleanas é igual à soma dos complementos das variáveis individuais.
2) O complemento da soma de variáveis booleanas é igual ao produto dos complementos das variáveis individuais.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 DICA
Note que os teoremas de De Morgan se aplicam para uma quantidade arbitrária de variáveis. E foram utilizadas 4 variáveis apenas para
garantir a clareza da notação utilizada.
EXEMPLO:
Simplifique a expressão 
RESPOSTA
RESPOSTA
¯̄¯̄¯̄¯̄¯̄¯̄¯̄¯̄¯̄¯̄¯̄¯(A ⋅ B ⋅ C ⋅ D) = ¯̄̄A + ¯̄̄B + ¯̄̄C + ¯̄D̄
¯̄¯̄¯̄¯̄¯̄¯̄¯̄¯̄¯̄¯̄¯̄¯̄¯A + B + C + D = ¯̄̄A ⋅ ¯̄̄B ⋅ ¯̄̄C ⋅ ¯̄D̄
S = A ⋅ B ⋅ C + ¯̄¯̄¯̄¯̄B ⋅ C + ¯̄¯̄¯̄¯̄¯̄¯̄̄A + C
Aplicando De Morgan nos termos :
Colocando em evidência:
Renomeando , podemos escrever:
Aplicando a propriedade distributiva:
Fazendo a substituição :
Aplicando De Morgan no termo :
Note que , pois se , temos que , assim:
Finalmente:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Simplificação de funções booleanas utilizando a álgebra booleana
¯̄¯̄¯̄¯̄B ⋅ C  e  ̄ ¯̄¯̄¯̄¯̄¯¯̄̄A + C
S = A ⋅ B ⋅ C + ¯̄̄B + ¯̄̄C + A ⋅ ¯̄̄C
¯̄̄C
S = A ⋅ B ⋅ C +  ̄ ¯̄B +  ̄ ¯̄C ⋅ (A + 1) = A ⋅ B ⋅ C +  ̄ ¯̄B + ¯̄̄C
¯̄̄B + ¯̄̄C = X
S = A ⋅ B ⋅ C + X
S = (A + X) ⋅ (B ⋅ C + X)
X = ¯̄̄B + ¯̄̄C
S = (A + ¯̄̄B + ¯̄̄C) ⋅ (B ⋅ C + ¯̄̄B + ¯̄̄C)
¯̄̄B + ¯̄̄C
S = (A + ¯̄̄B +  ̄ ¯̄C) ⋅ (B ⋅ C +  ̄ ¯̄¯̄¯̄¯B ⋅ C)
B ⋅ C + ¯̄¯̄¯̄¯̄B ⋅ C = 1 B ⋅ C = Y B ⋅ C +  ̄ ¯̄¯̄¯̄¯B ⋅ C = Y + ¯̄̄Y = 1
S = (A + ¯̄̄B +  ̄ ¯̄C) ⋅ 1
S = A + ¯̄̄B + ¯̄̄C
Para melhor compreender o processo visto, assista ao vídeo a seguir:
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. SIMPLIFIQUE A EXPRESSÃO 
A) S = C . B
B) S = A + B . C
C) S = A
D) S = A + C + B
S = A ⋅ B ⋅ C + ¯̄̄A ⋅ B ⋅ C
2. SIMPLIFIQUE A EXPRESSÃO :
A) 
B) 
C) 
D) 
GABARITO
1. Simplifique a expressão 
A alternativa "A " está correta.
 
Colocando B . C em evidência:
Como :
Pela propriedade da comutatividade:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Simplifique a expressão :
S = ¯̄¯̄¯̄¯̄¯̄¯̄¯̄¯¯̄̄A + ¯̄¯̄¯̄¯̄B ⋅ C
S = A + B + C
S = A ⋅ ¯̄¯̄¯̄¯̄¯̄¯̄¯(B + C) 
S = A ⋅ (B + C)
S= A ⋅ B ⋅ C
S = A ⋅ B ⋅ C + ¯̄̄A ⋅ B ⋅ C
S = A ⋅ B ⋅ C + ¯̄̄A ⋅ B ⋅ C = (A + ¯̄̄A)  ⋅ B ⋅ C
A + ¯̄̄A = 1
S = 1 ⋅ B ⋅ C = B ⋅ C
S = B ⋅ C = C ⋅ B
S = ¯̄¯̄¯̄¯̄¯̄¯̄¯̄¯¯̄̄A + ¯̄¯̄¯̄¯̄B ⋅ C
A alternativa "D " está correta.
 
Nesse tipo de exercício, é preciso muito cuidado ao se aplicar os teoremas de De Morgan para não cometer erros. Lembre-se de que os
teoremas de De Morgan podem ser aplicados na soma ou no produto, mas não em ambos simultaneamente.
Aplicando De Morgan em 
, assim:
Aplicando De Morgan em :
, logo:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÓDULO 4
 Aplicar o mapa de Karnaugh para a simplificação de funções booleanas
No módulo anterior, vimos como simplificar expressões booleanas utilizando a álgebra boolena. Apesar desse método ser muito prático para
expressões simples, pudemos perceber que esse processo pode ser bastante trabalhoso e complicado dependendo da complexidade da
função booleana.
¯̄¯̄¯̄¯̄B ⋅ C
¯̄¯̄¯̄¯̄B ⋅ C = ¯̄̄B + ¯̄̄C
S = ¯̄¯̄¯̄¯̄¯̄¯̄¯̄¯̄¯̄̄A + ¯̄̄B + ¯̄̄C
¯̄¯̄¯̄¯̄¯̄¯̄¯̄¯̄¯̄̄A + ¯̄̄B + ¯̄̄C
¯̄¯̄¯̄¯̄¯̄¯̄¯̄¯̄¯̄̄A + ¯̄̄B + ¯̄̄C = A ⋅ B ⋅ C
S = A ⋅ B ⋅ C
Além disso, ao realizar a simplificação pela álgebra de boole, nem sempre temos certeza de que obtivemos a expressão mais simples
possível.
 EXEMPLO
Por exemplo, ao simplificar a expressão
,
seria razoável parar ao obter a expressão
,
acreditando ter obtido a expressão mais simples de S, porém a expressão mais simples de S nesse caso é
A utilização do Mapa de Karnaugh permite, a partir da tabela verdade, a obtenção da função booleana mais simples que representa um
circuito de maneira sistemática, rápida e prática. Estudaremos os mapas de Karnaugh para circuitos com 2, 3 ou 4 entradas.
FORMATO DO MAPA DE KARNAUGH
Primeiro, definimos que cada combinação possível de entradas de uma função Boolena é um mintermo. Então, para uma função de três
variáveis, por exemplo, temos que o mintermo 3 é 
mintermo A B C
S = A ⋅ B ⋅ C + ¯̄¯̄¯̄¯̄B ⋅ C + ¯̄¯̄¯̄¯̄¯̄¯̄̄A + C
S = A ⋅ B ⋅ C +  ̄ ¯̄B + ¯̄̄C
S = A + ¯̄̄B + C
¯̄̄A ⋅ B ⋅ C
0 0 0 0
1 0 0 1
2 0 1 0
3 0 1 1
4 1 0 0
5 1 0 1
6 1 1 0
7 1 1 1
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
No mapa de Karnaugh, cada quadrado ou célula, corresponderá a um mintermo, ou seja, a uma possível combinação possível das variáveis
de entrada. A seguir, podemos observar o formato dos mapas de Karnaugh para 2, 3 ou 4 variáveis.
 
Fonte: Produção interna.
Figura 12 - Mapa de Karnaugh para 2, 3 e 4 variáveis. | Fonte: O autor
Um conceito muito importante no Mapa de Karnaugh é o de vizinhança entre células. Duas células são vizinhas quando a variação entre seus
mintermos é de apenas 1 bit.
 EXEMPLO
No mapa de 4 variáveis, as células 7 e 15 são vizinhas, pois apenas o bit A varia entre elas. As células 4 e 6 também são vizinhas, com
apenas o bit C variando entre elas.
A vizinhança pode ser identificada graficamente. Duas células são vizinhas se fazem fronteira entre si, ou seja, compartilham uma aresta,
sendo que as arestas externas opostas do mapa de Karnaugh são consideradas a mesma aresta. Na Figura 13, as arestas externas de
mesma cor são consideradas uma só para fins de verificação de vizinhança.
 
Fonte: Produção interna.
Figura 13 – Mapas de Karnaugh com indicação das arestas externas. | Fonte: O autor
Assim, se uma célula está em uma borda do mapa, ela é vizinha da célula na borda oposta. Por exemplo, no mapa de 4 variáveis, as vizinhas
da célula 0 são as células 1, 2, 4 e 8.
PREENCHIMENTO DO MAPA DE KARNAUGH
O preenchimento do Mapa de Karnaugh é feito copiando o valor da função para cada célula correspondente do mapa.
EXEMPLO:
Dada a tabela verdade da função S, abaixo, preencha o mapa de Karnaugh correspondente:
mintermo A B C D S
0 0 0 0 0 1
1 0 0 0 1 0
2 0 0 1 0 0
3 0 0 1 1 1
4 0 1 0 0 1
5 0 1 0 1 0
6 0 1 1 0 0
7 0 1 1 1 1
8 1 0 0 0 1
9 1 0 0 1 1
10 1 0 1 0 1
11 1 0 1 1 0
12 1 1 0 0 1
13 1 1 0 1 1
14 1 1 1 0 0
15 1 1 1 1 1
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
RESPOSTA
RESPOSTA
 
Fonte: Produção interna.
 ATENÇÃO
Apesar de ser um procedimento muito simples, é preciso tomar muito cuidado nesta etapa, pois ela é muito suscetível a erros devido à falta
de atenção. Note que as células do mapa de Karnaugh não seguem uma ordem crescente!
MINIMIZAÇÃO UTILIZANDO MAPA DE KARNAUGH
A minimização baseada no mapa de Karnaugh se baseia em agrupar células vizinhas nas quais o valor da função é 1. Os agrupamentos
podem ser:
Óctuplas, agrupamentos de 8 células.
Quadras, agrupamentos de 4 células.
Duplas, agrupamentos de 2 células.
Ilhas, células isoladas.
Em seguida, devemos identificar a expressão booleana que corresponde a cada agrupamento. Para tal, observamos quais variáveis
booleanas possuem mesmo valor em todas as células do grupo. A expressão do agrupamento é o mintermo das variáveis que não alteram
seu valor.
 DICA
Observe nas figuras dos agrupamentos o termo correspondente a cada um deles.
Ao realizar os agrupamentos, devemos seguir as seguintes regras:
Todos os “1” devem pertencer a pelo menos um agrupamento, podendo se fazer parte de diversos agrupamentos.
Os “0”s não podem participar de nenhum agrupamento.
Devem ser priorizados agrupamentos com a maior quantidade de células possíveis.
Todos os agrupamentos devem incluir pelo menos um “1” que só pertença a ele, caso contrário, ele deve ser descartado.
Baseando-se nessas regras, a minimização por mapa de Karnaugh deve seguir o seguinte passo a passo:
Montar a tabela verdade, caso ela não tenha sido fornecida. Por exemplo, se for dado a expressão booleana ao invés da tabela
verdade.
Montar o mapa de Karnaugh.
Preencher o mapa de Karnaugh.
Agrupar as óctuplas de “1”.
Agrupar as quadras de “1”, em que nem todos os “1” pertençam as óctuplas já formadas.
Agrupar todas as duplas de “1”, em que nem todos os “1” pertençam aos agrupamentos já formados.
Agrupar os “1” que não participam de nenhum agrupamento em ilhas.
Verificar se todos os agrupamentos incluem pelo menos um “1” único, descartando os que não.
Seguindo esses passos corretamente, o resultado, em geral, será a soma mais simples de mintermos que implementa a função pretendida.
EXEMPLO:
Calcule a função booleana que implementa a seguinte tabela verdade:
A B C D S
0 0 0 0 1
0 0 0 1 1
0 0 1 0 1
0 0 1 1 1
0 1 0 0 1
0 1 0 1 1
0 1 1 0 0
0 1 1 1 0
1 0 0 0 1
1 0 0 1 1
1 0 1 0 0
1 0 1 1 0
1 1 0 0 1
1 1 0 1 1
1 1 1 0 1
1 1 1 1 0
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
RESPOSTA
RESPOSTA
Inicialmente, montamos e preenchemos o mapa de Karnaugh:
 
Fonte: Produção interna.
Note que não é necessário colocar os zeros, podendo deixar seu espaço “em branco”.
Em seguida, buscamos as óctuplas:
 
Fonte: Produção interna.
Na sequência, buscamos as quadras:
 
Fonte: Produção interna.
A seguir, verificamos as duplas:
 
Fonte: Produção interna.
Como não há nenhum “1” sobrando, não precisamos utilizar as ilhas. Verificamos também que os três grupos incluem pelo menos uma célula
de valor “1” que só eles possuem.
Por último, identificamos os mintermos de cada grupo e realizamos sua soma:
S  = ¯̄̄C + ¯̄̄A ⋅ ¯̄̄B + A ⋅ B ⋅ ¯̄D̄
EXEMPLO:
Simplifique a expressão: 
RESPOSTA
RESPOSTA
Inicialmente, montamos a tabela verdade:
 
Fonte: Produção interna.
Na sequência, montamos e preenchemos o mapa de Karnaugh:
S = A ⋅ B ⋅ C + ¯̄¯̄¯̄¯̄B ⋅ C + ¯̄¯̄¯̄¯̄¯̄¯̄̄A + C
 
Fonte: Produção interna.
Em seguida, fazemos os agrupamentos:
 
Fonte: Produção interna.
Por fim, identificamos os mintermos de cada grupo e realizamos a soma deles:
Simplificação de funções booleanas utilizando o Mapa de Karnaugh
Entenda melhor a resolução do exemplo acima assistindo à explicação do professor:
S = A + ¯̄̄B + ¯̄̄C
CONDIÇÕES IRRELEVANTES (DON’T CARES)
Condições irrelevantes ("X") são combinações deentradas em que, para o projetista do circuito, não importa a saída. Essa situação ocorre,
principalmente, porque nos sistemas reais, muitas vezes, há combinações impossíveis de ocorrer.
O passo a passo para a simplificação, utilizando o mapa de Karnaugh, se mantém inalterado, porém haverá no mapa de Karnaugh, além de
“0”s e “1”, “X”s.
 ATENÇÃO
As condições irrelevantes podem ser incluídas nos agrupamentos, mas a sua inclusão não é obrigatória.
A inclusão ou não deve ser realizada de forma que gere os melhores agrupamentos e, assim, a expressão mais simplificada possível.
EXEMPLO:
Ache a expressão simplificada do mapa abaixo:
 
Fonte: Produção interna.
RESPOSTA
RESPOSTA
 
Fonte: Produção interna.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. UTILIZE A ABORDAGEM POR MAPA DE KARNAUGH PARA SIMPLIFICAR A SEGUINTE EXPRESSÃO: 
 
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
A)
S = ¯̄̄B ⋅ ¯̄̄C +  ̄ ¯̄A ⋅ ¯̄̄C + ¯̄̄B ⋅ ¯̄D̄ + A ⋅ B ⋅ C ⋅ D
S = ¯̄̄A ⋅ ¯̄̄C ⋅ ¯̄D̄ + ¯̄̄A ⋅ B ⋅ ¯̄̄C + B ⋅ ¯̄̄C ⋅ ¯̄D̄  + A ⋅ ¯̄D̄ + B ⋅ C + ¯̄̄A ⋅ ¯̄̄B ⋅ C ⋅ ¯̄D̄
A) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A)
B)
B) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B)
C)
C) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C)
D)
D) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D)
2. CALCULE A EXPRESSÃO SIMPLIFICADA DO MAPA DE KARNAUGH ABAIXO: 
 
S = A ⋅ B ⋅ C + C ⋅ ¯̄D̄ + ¯̄̄C ⋅ ¯̄D̄ 
S = ¯̄̄A ⋅ B + B ⋅ C + ¯̄D̄
S = ¯̄̄A ⋅ B ⋅ C + A ⋅ B ⋅ C ⋅ D + B ⋅ C + ¯̄D̄
S = A ⋅ ¯̄̄B + ¯̄̄B ⋅ ¯̄̄C + D
 
FONTE: PRODUÇÃO INTERNA.
A)
A) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A)
B)
B) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B)
C)
C) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C)
D)
Error parsing MathML: error on line 1 at column 54: xmlns: 'http://www.w3.orgQual /1998/Math/MathML' is not a valid URI
S = A ⋅ ¯̄̄C + A ⋅ ¯̄D̄ + ¯̄̄C ⋅ ¯̄D̄ + ¯̄̄B ⋅ ¯̄D̄ 
S = ¯̄̄A ⋅ B ⋅ C + A ⋅ B ⋅ C ⋅ D + B ⋅ C + B ⋅ ¯̄D̄
D) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D)
GABARITO
1. Utilize a abordagem por mapa de Karnaugh para simplificar a seguinte expressão: 
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "B " está correta.
 
A tabela verdade da função S é dada por:
A B C D S
0 0 0 0 1
0 0 0 1 0
0 0 1 0 1
S = A ⋅ ¯̄̄B + ¯̄̄B ⋅ ¯̄̄C + B ⋅ D
S = ¯̄̄A ⋅ ¯̄̄C ⋅ ¯̄D̄ + ¯̄̄A ⋅ B ⋅ ¯̄̄C + B ⋅ ¯̄̄C ⋅ ¯̄D̄  + A ⋅ ¯̄D̄ + B ⋅ C + ¯̄̄A ⋅ ¯̄̄B ⋅ C ⋅ ¯̄D̄
A B C D S
0 0 1 1 0
0 1 0 0 1
0 1 0 1 1
0 1 1 0 1
0 1 1 1 1
1 0 0 0 1
1 0 0 1 0
1 0 1 0 1
1 0 1 1 0
1 1 0 0 1
A B C D S
1 1 0 1 0
1 1 1 0 1
1 1 1 1 1
O mapa de Karnaugh correspondente, já com os agrupamentos, é:
 
Fonte: Produção interna.
E a expressão simplificada é: 
2. Calcule a expressão simplificada do mapa de Karnaugh abaixo: 
 
S = ¯̄̄A ⋅ B + B ⋅ C + ¯̄D̄
 
Fonte: Produção interna.
A alternativa "B " está correta.
 
Fazendo os agrupamentos:
 
Fonte: Produção interna.
A expressão simplificada é:
S = A ⋅ ¯̄̄C + A ⋅ ¯̄D̄ + ¯̄̄C ⋅ ¯̄D̄ + ¯̄̄B ⋅ ¯̄D̄ 
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Ao longo dos quatros módulos, apresentamos as ferramentas fundamentais da Eletrônica Digital que são utilizadas para construir circuitos
mais complexos.
Inicialmente, vimos como os números podem ser representados em outras bases que não a decimal e como transitar entre as diferentes
bases. Conferimos especial destaque às bases binária e hexadecimal, que são muito exploradas na Eletrônica Digital.
No segundo módulo, analisamos as funções lógicas que as portas lógicas executam e como um circuito lógico pode ser expresso como uma
função booleana, além de ser introduzido o conceito de tabela verdade.
Em seguida, abordamos os fundamentos da álgebra booleana com enfoque em suas propriedades e teoremas principais, e como aplicar
esses conhecimentos na minimização e circuitos.
Por fim, apreciamos a simplificação utilizando o mapa de Karnaugh, uma ferramenta incrivelmente poderosa para a obtenção de circuitos
lógicos simplificados.
AVALIAÇÃO DO TEMA:
REFERÊNCIAS
CAPUANO, F. G. Sistemas digitais circuitos combinacionais e sequenciais. In: Minha Biblioteca. 1 ed. Érica, 2014. Pág. 11-60.
DACHI, E. P; HAUPT, A. G. Eletrônica digital. In: Minha Biblioteca. 1 ed. Blucher, 2018. Pág. 25-58
IDOETA, I.V.; CAPUANO, F. G. Elementos de Eletrônica Digital. In: Minha Biblioteca. 41.ed. Érica, 2012. Pág. 18-165.
MENDONÇA, A.; ZELENOVSKY, R. Eletrônica Digital: Curso Prático e Exercícios, 2 ed. MZ Editora, 2007. Pág. 3-9 e 33-72.
EXPLORE+
Para saber mais sobre os assuntos tratados neste tema, leia:
O capítulo 9 do livro Elementos de Eletrônica Digital (indicado nas referências) para mais informações a respeito das famílias lógicas.
CONTEUDISTA
Felipe Gonçalves Serrenho
 CURRÍCULO LATTES
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