Prática de colisões

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DO OESTE DO PARANÁ
CAMPUS TOLEDO
Centro de Engenharias e Ciências Exatas
Curso de Engenharia Química
COLISÃO ELÁSTICA BIDIMENSIONAL
Disciplina Física Geral e Experimental II
Prof. Dr. Fernando Rodolfo Espinoza Quiñones
Gabriel Londero
Matheus Bertoldi dos Santos
Sabrina Tomita da Silva
Vinicius Duarte Cauneto
ANO LETIVO 2016
02/06/2016
16/06/2016
SUMÁRIO 
RESUMO	3
1	INtrodução	4
2	Embasamento Prévio	5
2.1	Erros e medidas dentro do método científico	5
2.2	MOMENTO LINEAR E ENERGIA CINÉTICA	8
2.3	conservação de momento	9
2.4	colisões elásticas bidimensionais	10
2.4.1	Partículas de massas diferentes	10
2.4.2	Partículas de massas idênticas	11
3	materiais e métodos	13
3.1	maTERIAIS	13
3.1.1	Balança semianalítica	13
3.1.2	Moller	13
3.1.3	Esferas Metálicas	13
3.1.4	Papel Carbono	13
3.1.5	Papel milímetrado	14
3.1.6	Fita Adesiva	14
3.1.7	Lápis, Régua e Transferidor	14
3.2	métodos	14
4	resultados e discussão	15
4.1	lançamento horizontal e determinação da velocidade inicial	15
4.2	Colisão bidimensional e determinação do ângulo pós-colisão	16
4.3	Conservação da quantidade de energia cinética	17
4.4	Conservação do momento total	18
5	conclusão	19
6	referências bibliográficas	20
7	Anexos	21
RESUMO
O experimento realizado teve como objetivo principal, a verificação do vetor quantidade de movimento linear e do escalar energia cinética de duas partículas antes e após uma colisão bidimensional em que haja conservação dos valores totais dessas medidas. Na prática em questão, foram realizadas colisões com duas esferas metálicas de massa idêntica com alta repetitividade para demonstrar que, na colisão bidimensional de duas partículas de mesma massa, o ângulo formado pelas suas trajetórias finais é de 90°, caso não haja perda de momento ou energia cinética. Uma esfera era lançada de uma rampa de madeira a altura constante e colidia lateralmente com a segunda esfera, apoiada sobre um parafuso, no limiar da rampa. Após o encontro, ambas as esferas caiam livremente sobre uma folha de papel carbono apoiada sobre uma folha de papel milimetrado para que deixassem uma marcação no local de impacto. A partir da análise dos pontos e considerando a conservação do momento e da energia cinética, pode-se verificar se a afirmação descrita anteriormente aplicou-se aos experimentos.
Palavras-chave: CONSERVAÇÃO DE MOMENTO, CONSERVAÇÃO DE ENERGIA CINÉTICA, COLISÕES.
INtrodução
O campeonato mundial de bilhar de 2016 teve como vencedor o inglês Mark Selby. Os espectadores ali presentes se emocionavam com as jogadas dos competidores, uns chegavam a dizer que era mágica - mal sabiam os mesmos que o campeão dos jogos seria aquele que mais dominasse as leis físicas de colisões elásticas bidimensionais. 
Assim como no jogo de bilhar, a colisão elástica de partículas em um sistema isolado obedece às leis de conservação de momentum e de energia cinética. Contudo, para uma colisão 2D, ou seja, quando as partículas em estudo possuem direções discrepantes no início da colisão, tanto a velocidade quanto a posição agora devem ser descritas como vetores, uma vez que possuem coordenadas X e Y em um sistema de referência inercial.
Não só de manifestações macroscópicas é feita a colisão bidimensional, o principal efeito microscópico da mesma é o bombardeio de átomos por nêutrons, onde nêutrons superenergéticos emitidos de fissão de núcleos pesados colidem elasticamente com núcleos atômicos até então em repouso. Esse tipo de colisão é considerada extremamente perigosa, pois atinge somente organismos vivos, fazendo com que através da criação de um dispositivo relativamente pequeno chamado de “Bomba de Nêutron” possa destruir populações inteiras sem afetar as construções da cidade onde vive. 
Há também um caso específico entre a colisão entre partículas de massas iguais – o que acontece tanto no experimento proposto quanto na mesa de sinuca. Nele existe um fato curioso onde a soma do ângulo de escape de ambas as partículas deve ser 90º. Este conceito será amplamente discutido na seção 2.
De qualquer forma, no experimento aqui pautado tem-se por objetivo provar a ocorrência da conservação do movimento e observar a forma com este fenômeno impacta na colisão. Contudo, só o acaso dirá se esse conhecimento será usado em mesas de sinuca ou em bombas nucleares. 
Embasamento Prévio
Erros e medidas dentro do método científico
O processo experimental começa antes mesmo da análise propriamente dita. Todo experimento deve seguir os moldes e as regras do método científico, a fim de garantir aceitação e confiabilidade nos dados. Para que isso ocorra é necessária a condição de reprodutibilidade de resultados em um determinado intervalo de confiança.
Medir não consiste na busca de um valor exato, mas sim em encontrar um valor próximo ao ideal dentro de uma dada variabilidade para poder obter, tratar e avaliar os fenômenos governados por Leis Físicas. Para propor essa ideia e garantir a reprodutibilidade dos resultados, deve-se valer de diversos artifícios. Define-se assim, de forma superficial, o método científico como o conjunto de regras e estratégias adotas para garantir essa qualidade e confiabilidade em um experimento.
A primeira estratégia a ser tomada é considerar repetições nas medidas. Quanto mais vezes um procedimento for realizado, mais perceptível será a identificação de um erro no método, de paralaxe ou mesmo grosseiro, garantindo maior confiabilidade em um teste. E considerando uma análise com diversas medidas, em termos de cálculo deve ser utilizado um valor médio de todos os aferidos, a partir da Média Aritmética:
	
	1
Esse valor médio, porém, não diz nada sozinho. O valor estimado da medida deve sempre estar acompanhado do erro. Esse erro pode ser proveniente de diferentes variáveis, e essas variáveis unidas formam a variância e o desvio padrão, que definem o intervalo, a partir do valor médio, em qual está o valor exato da medida. E tais parâmetros podem ser calculados de duas formas: uma relativa ao método e outra relativa às medidas.
Quanto ao método, utiliza-se o termo estatístico de variância pela largura da distribuição de valores. Ou seja, olhando para uma população de valores ou repetições N, a variância é dada por:
	
	2
O desvio padrão é proposto como raiz quadrada dessa variância, e é o parâmetro mais comum para se analisar erros. Isso é consequência de uma simples questão de unidades: a variância se apresenta em unidades quadradas em relação a analisada, o desvio padrão não.
Por outro lado, o desvio relativo às medidas segue outra linha de raciocínio. Considera-se a medida como uma função dependendo de seus parâmetros. A variância global é a diferencial total dessa função, ou seja, a derivada parcial em relação a cada uma de suas variáveis. Seja a função representante da medida e suas variáveis dependentes, a variância pode ser expressa como:
	
	3
O desenvolvimento desses quadrados resulta em:
	
	4
Entretanto, os termos são chamados de covariâncias, e quando os parâmetros são independentes entre si, como ocorre em medidas, esse termo é nulo, logo, a variância é dada por:
	
	5
Como o desvio padrão é a raiz quadrada da variância, tem-se a incerteza global como:
	
	6
Desta forma, o peso da diferencial de cada um dos parâmetros (, e etc.) é relativo ao valor que essa medida tem na estimativa do parâmetro de interesse.
Não obstante apenas os cuidados para relatar e ajustar os erros das medidas e dos métodos é necessário sua propagação quando inserido em cálculos. Essa propagação também segue regras que são ditadas por parâmetros diversos da literatura baseados nas derivadas parciais, como descritos abaixo:
	
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Com todo o tratamento de dados realizado, a parte final consiste no cuidado com a apresentação dos resultados e seus algarismos significativos. A resposta da medida dos parâmetrosfísicos sempre deve ser dada com o valor medido e seu respectivo erro. Entretanto, é imprescindível que o valor medido sempre tenha pelo menos a mesma quantidade de algarismos significativos que a incerteza, onde a incerteza deve mostrar o quão preciso é o valor. Se a incerteza vai até a unidade dos inteiros, o valor médio deve ser arredondado até a casa dos inteiros também.
A união desses conceitos é o que permite que o experimento seja aceito, confiável e possa representar com precisão os fenômenos da natureza em uma escala experimental.
MOMENTO LINEAR E ENERGIA CINÉTICA
	
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Em um sistema de partículas em que são válidas as leis de Newton, pode-se afirmar que cada integrante desse sistema pode estar sujeito a forças e à influência do meio ao seu redor. Diante disso, é possível prever e descrever o comportamento dessas partículas em ordens matemáticas a partir de grandezas físicas. Por exemplo, a quantidade de movimento () - ou momento linear - e a energia cinética(k).
O momento linear de uma partícula é uma grandeza vetorial que relaciona linearmente a massa de uma partícula (m) com seu vetor velocidade (), a partir da equação 14, e é um conceito importante para descrever fisicamente um sistema. Sua forma vetorial garante simplicidade ao entender variações ou perturbações no movimento das partículas.
	
	15
A energia cinética é outra grandeza que também trabalha com o movimento das partículas. Por outro lado, ela relaciona a massa da partícula com sua velocidade de modo não linear, conforme a equação 15, e seu valor é definido por um escalar. Dessa forma, é possível introduzir maior complexidade na descrição do comportamento de uma partícula.
Ademais, isolando a velocidade na equação 14 e substituindo o resultado na equação 15 é possível relacionar essas duas grandezas de forma que seja possível obter uma a partir da outra, como demonstrado abaixo:
	
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Isolando a quantidade de movimento na equação 18, obtém-se:
	
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Dessa maneira, observa-se que essas grandezas podem variar uma conforme a outra. Trabalhando somente com a energia cinética, perdem-se informações de direção e sentido, visto que é uma grandeza escalar, dito isso, a quantidade de movimento complementa essa grandeza para dar coerência ao movimento observado.
conservação de momento
Muitas vezes, ao se trabalhar com um sistema de partículas, considera-se que este sistema esteja isolado do universo ao seu redor. Em outras palavras, ele não pode transmitir ou receber energia ou momento linear dos seus arredores. Quando um sistema se encontra nessas condições, diz-se que este sistema apresenta conservação da quantidade de movimento.
As únicas trocas de momento linear ocorrem no interior desse sistema, ao se aproximarem uma da outra, uma ou mais partículas perdem energia enquanto outra partícula recebe essa energia perdida. Dessa forma, a quantidade total de energia do sistema permanece invariável.
	
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Em que e são a quantidade de movimento e velocidade iniciais do sistema, e são a quantidade de movimento e velocidade finais do sistema e m é a massa total do sistema.
Por exemplo, toma-se o lançamento de um projétil de um canhão. Ao ser acionado, a bala de canhão é lançada em alta velocidade para frente, enquanto o canhão avança em sentido oposto, obedecendo a terceira lei de Newton. Inicialmente, a quantidade de movimento desse sistema é nula, visto que ele se encontra em repouso, mas a explosão do combustível do canhão faz com que a bala se projete para frente proporcionalmente ao recuo do canhão devido a sua massa, tanto que se forem calculados os momentos lineares dessas partículas, sua soma deverá ser nula para que haja conservação da quantidade de energia.
colisões elásticas bidimensionais
Colisões são interações isoladas nas quais uma força relativamente intensa age sobre um ou mais corpos fazendo com que esses interajam entre si por um período de tempo relativamente pequeno. Durante esse período podem ocorrer trocas de energia, momento linear, massa, entre outras grandezas desses corpos.
No caso das colisões elásticas, não ocorre transferência ou perda de massa entre as partículas envolvidas na colisão. Em outras palavras, não acontecem deformações permanentes em suas estruturas devido a suas forças internas restauradoras, que fazem com que a partícula retorne espontaneamente a sua condição de equilíbrio. Em sistemas isolados, essas colisões seguem a terceira lei de Newton, resultando que a soma de todas essas forças internas sobre o sistema seja nula. Nesse caso, pode-se dizer que há conservação de momento e de energia cinética, visto que não ocorre troca de energia com o meio externo.
Quando duas partículas colidem lateralmente ou com uma angulação diferente de 0° sobre um mesmo plano, ocorre a formação de um ângulo θ entre as trajetórias finais das partículas, resultando no que é chamado de uma colisão bidimensional. 
Partículas de massas diferentes
Ao observar-se uma colisão elástica bidimensional entre partículas de massas distintas em um sistema isolado, devem ser analisados os vetores posição e velocidade de cada partícula, antes e após a colisão. Seguindo as leis de conservação de momento e energia cinética, temos que:
	
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Nas quais, e , e são as quantidades de movimento iniciais e finais das partículas 1 e 2, respectivamente; e , e são os valores de energia cinética iniciais e finais de cada partícula, e e são as massas das partículas 1 e 2.
Para simplificar a análise de colisões bidimensionais, pode-se considerar o uso de um sistema de referência inercial acompanhando uma das partículas, que então, teria como sua condição inicial o repouso. 
	
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Dessa forma, reduz-se o número de variáveis das equações, pois tanto o momento linear inicial, quanto a energia cinética dessa partícula seriam nulos, como mostram as equações 24 e 25.
Quando as massas das partículas são diferentes, as suas trajetórias após a colisão podem formar ângulos distintos θ1 e θ2, medidos a partir de um eixo traçado a partir do ponto de ocorrência da colisão, dependendo da proporção de suas características antes da colisão. 
Partículas de massas idênticas
Um caso específico das colisões bidimensionais elásticas a ser considerado é quando as duas partículas participantes da colisão possuem mesmos valores de massa. Nessa situação, espera-se que o ângulo formado pelas trajetórias das partículas após a colisão seja de 90°, ou seja, perpendiculares.
Observando a partir de um referencial inercial que acompanha a partícula 2 pode-se atingir esse resultado ao comparar as equações de momento linear e de energia cinética, considerando as massas das partículas iguais ():
	
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Para realizar a comparação é necessário fazer a quadratura da equação da conservação da quantidade de movimento utilizando o produto escalar de dois vetores:
	
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Substituindo o termo na equação 27:
	
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A equação 31 representa que o produto escalar entre os vetores quantidade de movimento finais das duas partículas é igual a 0, em outras palavras, o único meio de que o produto de dois vetores seja escalar é se eles forem perpendiculares entre si.
materiais e métodos
maTERIAIS 
Com o objetivo de determinar o vetor quantidade de movimento linear e escalar de energia cinética, foi utilizada uma balança semianalítica, Moller, duas esferas idênticas metálicas, uma folha de papel carbono, uma folha de papel milimetrado A3, fita adesiva, lápis, régua e transferidor.
Balança semianalítica 
A balança semianalítica, muito comum em laboratórios, apresenta uma precisão superior comparado a balanças comuns e é utilizado para medir grandezas sob certas condições ambientais. Nesse experimento foi utilizada para analisar as massas das duas esferas metálicas idênticas.
Moller
O moller utilizado é composto por um tripé e três sapatas niveladoras e amortecedoras, rampade lançamentos com escala de posicionamento vertical, haste, suporte regulável de apoio a esfera e alvo e prumo removível. Foi utilizada para realizar o lançamento de uma das esferas e colidir com a segunda esfera no final da rampa de lançamento.
Esferas Metálicas
Duas Esferas de chumbo de tamanho e massas idênticas foram utilizadas como partículas as quais sofrem colisão.
Papel Carbono
É um papel de seda, muito impregnado de tinta numa das faces. Foi empregado nesse experimento para demarcar o alcance das esferas no papel milimetrado que havia logo abaixo.
Papel milimetrado
Tamanho A3, utilizado para analisar as marcas que as esferas junto com o papel carbono fizeram e fazer notações de distância e ângulos.
Fita Adesiva
Usada para fixar o papel milimetrado sobre a bancada para que não haja deslocamento e consequentemente alteração nos dados do experimento.
Lápis, Régua e Transferidor
Utilizados para traçar retas para a análise de distancias e angulação.
métodos
O primeiro passo realizado foi a análise da massa das duas esferas idênticas, em seguida foi feito o ajuste e nivelação do Moller. Ajustou-se também o papel milimetrado sobre a bancada e fixou-o com fita adesiva. O papel carbono foi colocado em cima do papel milimetrado. Uma das esferas foi inicialmente solta de uma altura H (diferente de zero) da rampa. A segunda esfera foi fixada em repouso no nível zero da rampa. A primeira esfera ao descer da rampa colidiu com a segunda na base e ambas foram lançadas no papel carbono ao qual deixou uma marca do papel milimetrado. Após realizar repetidamente esse mesmo processo foi traçado no papel milimetrado a propagação do aglomerado de pontos, e retas para auxiliar a análise da distância do aglomerado em relação a projeção da base da rampa. A angulação dos pontos demarcados pelas esferas deve fazer um ângulo de 90 graus em relação a projeção do final da rampa no papel milimetrado.
resultados e discussão
Antes das colisões foram avaliadas condições pré-experimento para garantir a correta montagem do sistema. Ambas as esferas foram pesadas e suas massas foram declaradas iguais: 
lançamento horizontal e determinação da velocidade inicial 
Para poder realizar a análise de colisão bidimensional era necessário conhecer a velocidade inicial da partícula imediatamente antes da colisão, e essa determinação foi realizada de forma indireta. É conhecida, da mecânica clássica, a equação da posição de uma partícula em queda livre:
	
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Entende-se, assim, que o tempo que um corpo leva para cair de uma altura H, partindo do repouso na direção é dado por:
	
	
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Também da mecânica clássica, é conhecido o deslocamento horizontal, dado por:
	
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Partindo do tempo descoberto na equação 33, a velocidade na direção é dada por:
	
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Para poder determinar esse parâmetro, mediu-se a altura da rampa até o ponto de saída da esfera, obtendo o valor de . Também foi realizado, com 20 repetições, o teste para definir o alcance horizontal (X) da esfera. Para isso, tomou-se como origem o ponto de saída da rampa, e foi considerado o ponto médio da “nuvem”, formada pela esfera ao cair no papel milimetrado, como referência. O erro foi definido como metade do tamanho dessa nuvem, encontrando assim o valor de alcance horizontal de . 
Com auxílio da equação 35, e propagando os erros, a velocidade horizontal encontrada foi de .
Colisão bidimensional e determinação do ângulo pós-colisão
Para poder avaliar a conservação do momento e de energia total, foram tomados cuidados na montagem do sistema. A fim de evitar algum ladrão de momento e não houver erros adicionais nas repetições do experimento, definiu-se a origem do sistema como sendo metade da distância entre a saída da rampa e a posição aonde estava a esfera em repouso, buscando ser o ponto exato de colisão entre as duas. Com essa condição definida e mantida, repetiu-se a colisão por 20 vezes, e foram observadas as marcas das esferas no papel, formando “nuvens”. Assim como na seção 4.1, o valor da posição de cada esfera foi definido como o centro da nuvem, e o erro, tanto na direção quanto na , como metade do comprimento dessa nuvem.
Assim foram obtidos os vetores posição de m1 e m2:
O ângulo entre ambos foi medido com auxílio de um transferidor, encontrando-se o valor de 900,5°, sendo que a partícula m1 fazia -570,5° com o eixo x, e a partícula m2 330,5°. Esse resultado respeita estritamente o conceito proposto pela equação 31, que afirma que os vetores posição devem ser perpendiculares após a colisão bidimensional de partículas com massas idênticas.
Conservação da quantidade de energia cinética
Como a velocidade horizontal do sistema é, pela mecânica clássica, dada como constante, é possível determinar os vetores velocidade de cada partícula a partir do tempo de vôo com auxílio da equação já deduzida em 4.1, obtendo o valor de segundos. Dividindo os vetores posição obtidos anteriormente, e por esse tempo e propagando os erros, obtém-se os vetores velocidade:
Assim, com o módulo de cada velocidade foi dado por:
A energia total inicial é dada pelo quadrado da velocidade horizontal () encontrada em 4.1, multiplicada pela massa da esfera:
As energias e foram, no mesmo raciocínio, determinadas:
A soma de e resulta em . O resultado está dentro do erro e é próximo ao valor de que se almejava encontrar pelo princípio de conservação de energia, e essa diferença pode ser atribuída a energia térmica e sonora dissipadas no momento da colisão. Entretanto, é importante analisar que esse erro observado é relativamente grande, ou seja, o resultado embora se aproxime bastante da exatidão, não é rigorosamente preciso, devido principalmente aos equipamentos utilizados.
Conservação do momento total
Para observar o princípio de conservação do momento, tratam-se inicialmente os dados do sistema em sua posição inicial, ou seja, para a partícula antes da colisão. Como definido em 4.1, sua velocidade inicial era , fazendo com que o momento inicial do sistema se dê somente na direção :
Da mesma forma, determinou-se os vetores de momento linear para e :
 e 
Fazendo a soma de ambos os vetores, buscando encontrar o vetor momento linear pós colisão, obteve-se:
Na direção o valor do momento resultante foi exatamente como esperado. Ainda que na direção houve uma pequena quantidade de momento, a qual não era esperada, esta é pequena e, dentro do erro, se enquadra no resultado ideal, respeitando o princípio de conservação.
conclusão
Os experimentos de colisões bidimensionais são ótimos artifícios para testar e comprovar as leis de conservação de energia e de momento linear. Essa avaliação pode ser feita analiticamente, ou de forma mais direta.
A primeira forma para observar essa condição é analisando o ângulo formado entre as duas partículas de massas iguais após a colisão. Como já demonstrado no relatório em questão, este deve ser 90°. Nesse aspecto, o experimento em questão se demonstrou muito eficaz, com altíssima exatidão e precisão.
De forma analítica, pode-se avaliar a conservação de energia e momento através de cálculos indiretos, mais propensos a erros, porém mais completos para analisar aspectos intermediários, como a velocidade das partículas em cada direção. Nesse aspecto o experimento demonstrou resultados dentro dos erros, confirmando o princípio de conservação, mas com exatidão e precisão menores.
É evidente que, quanto mais precisos forem os equipamentos e quanto mais cuidados forem tomados dentro de um experimento, menos inconvenientes experimentais existirão. Neste trabalho em laboratório as predições teóricas foram alcançadas satisfatoriamente, apesar das limitações naturais apresentadas.
referências bibliográficas
HALLIDAY, D.; RESNICK, R; WALKER, J.. Fundamentos de física. 9ª Edição. Rio de Janeiro: LTC. Vol 1.
QUIÑONES, F.R.E. Física Geral: Uma visão geral do mundo. Toledo, 163 p.
STOLF, S.F. Introdução ao laboratóriode Física. Toledo, 13 p.
Anexos
Figura 1 - Papel milimetrado e nuvens de colisão
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