Apostila Elementos de Máquinas

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ELEMENTOS DE MÁQUINASELEMENTOS DE MÁQUINASELEMENTOS DE MÁQUINASELEMENTOS DE MÁQUINAS 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Dra. Katia Lucchesi Cavalca 
 
Revisores: Prof. Dra. Kátia Lucchesi Cavalca 
Gregory Bregion Daniel (PED) 
Ana Flávia Nascimento (Monitora) 
 
 
 
 
 
Agosto/2008 
 
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS 
FACULDADE DE ENGENHARIA MECÂNICA 
DEPARTAMENTO DE PROJETO MECÂNICO 
ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO I 
 1 
 
CAPÍTULO I 
 
 
INTRODUÇÃO AO PROJETO DE COMPONENTES MECÂNICOS 
 
 
 
 
1.1. INTRODUÇÃO 
 
 O texto aqui apresentado é essencialmente dirigido ao projeto de componentes de 
máquinas, ou sistemas mecânicos específicos. A competência e o bom entendimento nesta 
disciplina são básicos para futuras considerações e sínteses em máquinas e sistemas 
completos, a serem desenvolvidos em disciplinas subseqüentes, ou mesmo durante a prática 
profissional. É fato comprovado que, mesmo para o projeto de um simples parafuso ou de 
uma mola, o engenheiro deve aplicar os melhores conhecimentos científicos disponível, 
aliados às informações empíricas, ao bom senso, e até mesmo a um certo grau de 
engenhosidade e criatividade, que permitam a este criar e desenvolver melhores produtos, 
mais adequados à demanda da sociedade atual. 
 As considerações técnicas envolvidas no projeto de componentes mecânicos são 
fundamentalmente centradas em torno de duas áreas principais de conhecimento: as relações 
tensão-deformação-resistência dos materiais, envolvendo o rompimento de elementos sólidos; 
e os fenômenos de superfície (compreendendo atrito, lubrificação, desgaste e deterioração 
ambiental). Dentro deste escopo, disciplinas que desenvolvem temas associados às 
propriedades metalúrgicas dos materiais, resistência dos materiais, cinemática e dinâmica de 
mecanismos, teoria de falhas, fadiga, e danos de superfície, tem seus conceitos fortemente 
aplicados no projeto de componentes e sistemas mecânicos. 
 
1.2. O PROJETO DE MÁQUINAS 
 
 1.2.1 Design e Projeto 
 O que significa design? O termo design pode assumir uma enorme variedade de 
significados, como, por exemplo, referir-se a aparência estética de um objeto: design de 
móveis, de roupas, de automóveis, etc. Neste último caso, o termo design refere-se não só a 
aparência externa, mas a todos os demais aspectos de projeto envolvidos, como toda mecânica 
interna do automóvel (motores, freios, suspensões...), cujo design deve ser melhor executado 
por engenheiros que por artistas, embora, em alguns casos, sejam necessárias ao engenheiro 
ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO I 
 2 
algumas aptidões artísticas, enquanto desenvolvendo o design de máquinas e componentes. O 
design em engenharia pode ser definido como "O processo de aplicar várias técnicas e 
princípios científicos, com o propósito de definir um dispositivo, um processo ou um sistema, 
suficientemente detalhado de maneira a permitir sua realização”. 
 Dentro desta filosofia, o enfoque principal deste texto será o design de máquinas e 
componentes, estendendo-se à criação de maquinário que trabalhe bem, de maneira segura e 
confiável. Seguindo esta linha de pensamento, as noções e os conceitos de design, vão 
diretamente de encontro ao projeto mecânico de máquinas e componentes. 
 
 1.2.2 Considerações Relativas à Segurança 
 Naturalmente, no passado, as primeiras considerações de projeto eram de caráter 
funcional e econômico, pois, a não ser que os dispositivos fossem produzidos para atender a 
uma aplicação funcional, estes não apresentavam interesse do ponto de vista da engenharia. 
Além disso, se a produção de um ítem não visasse um custo acessível à sociedade 
contemporânea, representava um desperdício de tempo e esforços em engenharia. Neste 
sentido, as gerações anteriores de engenheiros tiveram pleno sucesso em desenvolver uma 
infinidade de produtos que funcionam e podem ser produzidos economicamente. 
 Em parte por este motivo, houve um redirecionamento dos esforços em engenharia, no 
sentido de incrementar cada vez mais, considerações de projeto relativas à influência dos 
produtos e dos processos, sobre as pessoas e o meio ambiente. A segurança pessoal vem 
sendo uma das considerações de projeto do ponto de vista da engenharia, sendo que, 
atualmente, adquiriu uma ênfase crescente, como resultado das demandas e necessidades 
contemporâneas. 
 O primeiro passo, no sentido de desenvolver a competência do engenheiro atual em 
segurança de projeto, é cultivar uma consciência de sua importância. Numa primeira instância, 
a segurança de um produto ou processo seria de responsabilidade de legisladores e juizes, ou 
mesmo de executivos de empresas seguradoras, os quais, porém, nada podem acrescentar 
diretamente na melhoria deste quesito dentro de seu projeto, sendo capacitados apenas para 
acrescentar ou evidenciar determinados ítens a serem mais ou menos enfatizados dentro deste 
escopo. 
 Uma vez que o engenheiro é suficientemente consciente da relevância das 
considerações em segurança, incorporando este conceito ao seu raciocínio geral, existem 
algumas técnicas que auxiliam no desenvolvimento de um projeto seguro: 
 
1) Revisão de todas as fases da realização do produto, desde o início de sua produção 
até sua disposição final para consumo, observando, em cada etapa, possíveis falhas 
descobertas e que tipos de situações podem ocorrer durante a manufatura, o 
transporte, a estocagem, a instalação, o uso e a reciclagem do produto em questão. 
ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO I 
 3 
2) Certificar-se que as medidas de segurança representam uma aproximação 
balanceada, ou seja, o critério não é resolver os riscos de maior custos, mas sim 
priorizar os riscos mais significativos para segurança pessoal, que envolvam estes 
maiores ou menores custos. 
3) Desenvolver a segurança como parte integral do projeto básico, sempre que 
possível, ao invés de somar dispositivos de segurança ao projeto definitivo. 
4) Aplicação do "fail-safe design" quando possível em fase de projeto. A filosofia 
aqui proposta é tomar precauções no projeto para evitar a ocorrência de falhas. 
Porém, se esta ocorrer, que suas conseqüências não sejam catastróficas, ou ainda, 
que o projeto permita a continuidade de operação do produto apesar da falha. 
5) Verificação das normas governamentais de segurança para assegurar-se dos 
requisitos legais do projeto. 
6) Providenciar avisos sobre todos os danos ou falhas significantes, que porventura 
permaneçam após a conclusão do projeto. Ninguém melhor que o engenheiro, que 
desenvolveu e projetou o produto, para evidenciar estes pontos de maior atenção e 
cautela. 
 
 Finalizando, nota-se que o grupo de pessoas envolvidas no aspecto da segurança em 
projeto, deve considerar algumas características pessoais não técnicas das pessoas 
possivelmente envolvidas com a produção ou com a utilização do produto, tais como: 
capacidade fisiológica e psicológica de alguns indivíduos técnicos ou da comunidade de 
consumo, comunicação entre o produto e o usuário, tanto do ponto de vista da segurança 
como de sua utilização, cooperação entre engenheiros de projeto e membros de outras 
disciplinas de aspectos governamentais, de gerenciamento, de vendas, etc. 
 
 1.2.3 Considerações de Caráter Ambiental 
 Existe uma dependência inerente entre o ser humano e o seu meio-ambiente (ar, água, 
alimento, e materiais para roupas e abrigos). Na sociedade primitiva, os detritos gerados pela 
população eram naturalmente reciclados pela natureza. Com a introdução de materiais 
sintéticos, a natureza tornou-se incapaz de compensar e reciclar os detritos produzidos pelo 
homem, dentro de períodos de tempo aceitáveis e compatíveis com o equilíbrio ambiental. Os 
ciclos ecológicos foram, então, interrompidos, dando início a uma série de danos permanentes 
a médio e longo prazo.Os principais objetivos do projeto em Engenharia Mecânica, dentro do 
enfoque ecológico, podem ser compreendidos em dois tópicos bem simples: 
 
1) Utilizar materiais que possam ser reciclados de maneira econômica, dentro de 
períodos de tempo razoáveis, sem provocar contaminações excessivas do ar ou da 
água, principalmente. 
ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO I 
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2) Minimizar a taxa de consumo de fontes de energia não-recicláveis, como os 
combustíveis fossilizados, tanto no sentido de conservar estas fontes, como para 
minimizar a poluição térmica. 
 
Entretanto, a consideração de fatores ecológicos é bem mais complexa, em termos de 
projeto mecânico, se comparada aos fatores de segurança em projeto, por exemplo. 
 
 1.2.4 Considerações de Caráter Social. 
 O objetivo básico de qualquer projeto em engenharia é conceber máquinas ou 
dispositivos que possam beneficiar a humanidade, ou ainda, aumentar a qualidade de vida 
dentro de nossa sociedade. Entretanto, os principais ítens a serem considerados como parte da 
definição da qualidade de vida de uma população, podem variar significativamente dentro dos 
muitos segmentos da sociedade e, também, com o passar do tempo. Alguns dos fatores mais 
importantes, dentro da sociedade atual, são os seguintes: 
 
1) Saúde física. 
2) Bens materiais. 
3) Segurança com relação à criminalidade e acidentes. 
4) Preservação do meio-ambiente, sobretudo no gerenciamento dos recursos naturais. 
5) Desenvolvimento cultural e educacional. 
6) Tratamento e infra-estrutura para pessoas portadoras de deficiências. 
7) Igualdade de oportunidades. 
8) Liberdade pessoal. 
9) Controle populacional. 
 
 A maior parte do pessoal envolvido com produtos de engenharia desenvolve uma ou 
mais das seguintes funções: pesquisa, projeto, desenvolvimento, manufatura e produção, 
vendas, e prestação de serviços, associados a estes produtos. O esforço conjunto deste grupo 
de pessoas, associado aos recursos naturais apropriados, conduz a sistemas de produção que 
enfatizam produtos utilizáveis, materiais descartáveis e experiência. Esta última pode ser 
adquirida de duas maneiras, basicamente: 
 
1) Experiência direta de trabalho, construtiva e satisfatória, de alguns indivíduos; 
2) Conhecimento empírico obtido através da eficiência de todo sistema, com as 
devidas implicações em seu futuro melhoramento. 
 
 Apesar das enormes diferenças de caráter individual, existem algumas características 
básicas, inerentes ao ser humano, que são permanentes, inclusive ao longo do tempo. Tais 
ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO I 
 5 
características foram sintetizadas por Abraham Maslow, psicólogo da Universidade de 
Brandeis, em cinco palavras-chave: 
 
1) SOBREVIVÊNCIA (survival); 
2) SEGURANÇA (security); 
3) ACEITAÇÃO SOCIAL (social aceptance); 
4) RECONHECIMENTO (status); 
5) AUTONOMIA PESSOAL (self-fulfillment). 
 
 O ingrediente básico da sociedade humana é a mudança. O engenheiro deve procurar 
entender, não apenas as necessidades atuais da sociedade, mas também a direção e a rapidez 
com que as mudanças sociais estão ocorrendo. Para o engenheiro de projeto, o objetivo mais 
importante seja, talvez, o de incrementar a tecnologia, de forma que esta possa promover 
mudanças no sentido de incrementar a qualidade de vida da sociedade contemporânea. 
 
 1.2.5 Considerações Gerais 
 Os projetos em engenharia envolvem uma infinidade de considerações, e o desafio do 
engenheiro é justamente reconhecer a proporção adequada de cada uma delas. Algumas das 
principais categorias de informações e considerações envolvidas em projeto são descritas a 
seguir: 
 
a) Considerações Tradicionais: 
i) Para o corpo do componente: resistência, deflexão, peso, tamanho e forma. 
ii) Para as superfícies do componente: desgaste, lubrificação, corrosão, forças de 
atrito, aquecimento por atrito. 
iii) Custo. 
b) Considerações Modernas: 
iv) Segurança. 
v) Ecologia (poluição do solo, do ar, da água, térmica, sonora; conservação dos 
recursos naturais). 
vi) Qualidade de vida. 
c) Considerações Gerais: 
vii) Confiabilidade e Mantenabilidade. 
viii) Estética de projeto ou design. 
 
 A difícil tarefa do engenheiro será a de satisfazer, dentro de algumas tolerâncias, todas 
as categorias de considerações, muitas vezes, incompatíveis entre si. 
 
ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO I 
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1.3. O PROJETO DE COMPONENTES MECÂNICOS NO CURSO DE 
ENGENHARIA 
 
 Uma máquina pode ser definida de duas maneiras básicas: 
 
1) Um aparato composto por unidades interrelacionadas. 
2) Um dispositivo que modifica força ou movimento. 
 
As unidades interrelacionadas, citadas na primeira definição, podem ser denominadas, 
dentro deste contexto, de elementos de máquinas. O conceito de trabalho útil é fundamental 
para o funcionamento da máquina, que normalmente envolve uma transferência de energia. 
Quando projetando uma unidade de uma máquina, o engenheiro facilmente percebe que este 
projeto é, direto ou indiretamente, dependente de muitas outras partes interrelacionadas dentro 
da mesma máquina. Portanto, o enfoque aqui proposto, é o de projetar os componentes dentro 
da máquina como um todo. Para tanto, é necessária uma bagagem razoável de conhecimentos 
em engenharia, como estática, dinâmica, análise de tensões e deformações, propriedade dos 
materiais, etc. 
 O objetivo final em projeto de componentes será, portanto, dimensionar e modelar as 
unidades, selecionando materiais e processos de fabricação adequados, de modo que a 
máquina resultante possa desempenhar sua função na ausência de falhas, durante um certo 
tempo. Assim sendo, uma análise completa de tensões e deformações de cada unidade é de 
fundamental importância. Como as tensões ocorrem em função de cargas aplicadas ou 
inerciais, bem como da geometria de cada unidade, estas devem ser precedidas por uma 
análise de esforços, envolvendo forças, momentos, torques existentes, além da dinâmica do 
sistema completo. 
 Uma derivação desta análise ocorre se a máquina a ser projetada não possui partes 
móveis. Neste caso, trata-se de um caso particular de projeto de estruturas. Existem diferenças 
básicas no enfoque do projeto de máquinas e no de estruturas estáticas, como o piso de uma 
construção, dimensionado para suportar um determinado peso. Neste último caso, quanto 
maior a quantidade de material distribuído nas unidades estruturais, maior o fator de 
segurança da estrutura. Apesar de maior peso próprio (ou peso morto), a estrutura apresentará 
uma maior capacidade de suportar peso vivo (compensação de carga). Numa máquina 
dinâmica, o aumento de massa de partes móveis acarreta um efeito oposto, reduzindo não só o 
fator de segurança do sistema, mas sua velocidade de operação e sua capacidade de 
compensação de carga. 
 Geralmente, antes de entrar em fase de dimensionamento das unidades dos 
componentes de uma máquina, é esperado que as características cinemáticas do sistema 
estejam bem definidas, bem como devem ser conhecidas as eventuais forças externas atuantes 
ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO I 
 7 
sobre o sistema. Portanto, o que resta a definir são as forças inerciais, geradas pelas 
conhecidas acelerações cinemáticas que, por sua vez, atuam sobre as indefinidas massas das 
unidades móveis do sistema. Tal problema admite soluções razoáveis apenas por iteração, ou 
seja, após estimar áreas de um determinado material, através da análise de tensões e 
deformações, é necessário proceder com uma simulação cinemática e dinâmica do sistema e, 
de acordo com as respostas obtidas, retornar ao cálculo inicial da fase precedente. Somente 
após compatibilizar todas as análises, retoma-se o projeto no sentido de dimensionamento das 
unidades interrelacionadas da máquina completa. 
 
 1.3.1 Metodologia de Projeto 
 O processo de projeto é essencialmenteum exercício de aplicação da criatividade. 
Algumas metodologias foram desenvolvidas no sentido de auxiliar na organização das várias 
etapas a serem cumpridas no projeto global. Uma das versões mais simples, porém não menos 
elucidativa, divide a metodologia de projeto em dez etapas principais: 
 
1) Identificação das Necessidades. 
2) Pesquisa Bibliográfica e Estado da Arte. 
3) Definição dos Objetivos. 
4) Especificações de Projeto. 
5) Síntese ou Procura de Soluções (fase de criação). 
6) Análise de Soluções (cálculos e estimativas). 
7) Seleção da Melhor Solução. 
8) Projeto Detalhado. 
9) Prototipagem e Testes. 
10) Produção. 
 
 É importante destacar que, a partir do passo nº 5, todas as etapas estão sujeitas à 
iteração. Os passos de 1 a 4 compõem o Estágio de Definição do processo de projeto, ou 
ainda, o Estudo de Viabilidade do Projeto. Os passos de 5 a 7 fazem parte do Estágio de 
Projeto Preliminar. Os passos 8 e 9 são o próprio Estágio de Projeto Detalhado. 
 Cada estágio do projeto global deve ser adequadamente documentado, de modo a 
conter determinadas informações numa ordem cronológica pré-definida: 
 
 
 
 
 
 
ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO I 
 8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.1 - Expansão dos Principais Estágios de Projeto. 
 
 No estudo de viabilidade, é fundamental identificar o problema, definindo claramente 
os dados de entrada, bem como as principais considerações e limitações impostas ao projeto. 
 No projeto preliminar, todos os cálculos e dimensionamentos devem ser realizados, 
concluindo-se com um esboço ou croquis do projeto em sua forma geral. O estágio final de 
projeto detalhado envolve uma simulação numérica e, eventualmente, uma reavaliação do 
projeto, ou de determinadas fases de projeto, concluindo-se com o conjunto de desenhos 
completos e relatório final. A documentação do projeto deve conter uma descrição clara e 
abrangente de todas as etapas envolvidas, desde o processo criativo, seleção das soluções, 
dimensionamentos e especificações (catálogos ou normas), croquis iniciais, modelagem 
matemática, simulação numérica, e desenhos completos. 
 
1.4. SISTEMAS E COMPONENTES - PRINCIPAIS FUNÇÕES 
 
 Vê-se como o estudo dos detalhes construtivos em projeto mecânico, não só a análise 
dos parâmetros de projeto de um componente de uma máquina, mas também sua 
representação em um modelo analítico que possibilite, através de uma simulação numérica 
adequada, o estudo de seu comportamento dinâmico, e conseqüentes efeitos causados pelo 
mesmo no sistema completo. Assim sendo, alguns componentes de máquinas serão 
enfatizados segundo sua aplicabilidade e importância na resposta final do sistema: 
 
• Eixos; 
• Mancais; 
• Acoplamentos; 
• Elementos de união ou junções; 
• Elementos de suporte flexíveis ou rígidos. 
 
1) DEFINIÇÃO DO PROBLEMA 
2) DEFINIÇÃO DOS DADOS 
3) CONSIDERAÇÕES APROPRIADAS 
4) DECISÕES DE PROJETO PRELIMINAR 
5) CROQUIS DO PROJETO 
6) MODELO MATEMÁTICO 
7) ANÁLISE DO PROJETO 
8) AVALIAÇÃO 
9) DOCUMENTAÇÃO DOS RESULTADOS 
 
ESTUDO DE VIABILIDADE 
PROJETO PRELIMINAR 
PROJETO DETALHADO 
ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO I 
 9 
 O entendimento deste tipo de análise é importante para o engenheiro atual, pois sua 
aplicação em projeto por similaridade, bem como em técnicas de monitoramento e diagnose é 
imediata. 
 Um sistema mecânico é um agrupamento de componentes conectados de tal forma a 
possibilitar a execução de um trabalho ou de uma seqüência de eventos. Muitas vezes, é 
desejável subdividir um sistema mecânico em uma série de componentes, a fim de facilitar a 
aplicação de um tipo específico de modelagem matemática. Uma das formas de subdividir um 
sistema é segundo as particularidades do movimento executado por cada componente, no 
exercer de sua função útil. Um sistema pode ser, normalmente, subdividido em componentes 
do tipo: 
 
• Rotativos; 
• De fixação ou de posicionamento; 
• De conexão. 
 
 Os elementos rotativos são aqueles aos quais é imposto unicamente um movimento de 
rotação no exercício de seu trabalho útil. A modelagem destes elementos deve contemplar os 
efeitos da dinâmica da rotação, efeitos de inércia e quantidade de movimento angular, etc. 
Eixos, acoplamentos, discos e pás de turbinas, são exemplos deste tipo de componente. 
 Os elementos de fixação são aqueles que servem de sustentação à máquina e demais 
componentes. A função destes elementos pode ser estática, ou pode admitir um tipo de 
movimento não rotativo puro. São incluídos nesta classificação: caixas, carcaças e estatores de 
motores e geradores; carcaças, pás fixas e dutos de turbinas; todos os tipos de estruturas de 
suporte e fundação, molas, etc. 
 Os elementos de conexão são aqueles que fazem a interface entre os dois grupos 
anteriores. Estes elementos têm parte de sua estrutura sujeita à rotação, e parte ligada à 
estrutura da máquina. Mancais de rolamento, mancais hidrostáticos e hidrodinâmicos, e selos 
mecânicos de fluxo, são os mais comuns representantes deste tipo de componentes. 
 Em cada uma das três famílias citadas, estão considerados os elementos de união, ou 
as junções, cuja função é ligar rigidamente partes distintas de um conjunto, de modo que 
atuem como uma parte única. Nesta categoria encontram-se as uniões por roscas, rebites e 
soldas. 
 
 
 
 
 
 
ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO I 
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1.5. DEFINIÇÕES FUNDAMENTAIS 
 
 1.5.1 Fatores de Segurança 
O fator de segurança pode ser interpretado como a medida de incerteza do projeto 
dentro do modelo analítico, das teorias de falha e dos dados de propriedades de materiais 
utilizados, sendo tipicamente expresso como a razão entre duas quantidades de mesma 
natureza e, portanto, de mesma unidade: Tensão de Escoamento por Tensão Admissível, 
Carregamento Crítico por Carregamento Aplicado, Velocidade Máxima de Segurança por 
Velocidade de Operação, etc. 
 A forma de expressar o fator de segurança pode ser escolhida com base no tipo de 
carregamento que atua sobre a unidade a ser projetada. Em unidades sujeitas a um 
carregamento cíclico, pode ocorrer falha por fadiga. A resistência à fadiga dos materiais é 
representada em um diagrama que relaciona um dado nível de tensão com o número máximo 
de ciclos de tensão alternada, atuando sobre a unidade. Nestes casos, o fator de segurança 
pode ser adequadamente expresso como a razão entre o número de ciclos esperados até a falha 
do material, e o número de ciclos aplicados para uma determinada vida do material da unidade 
projetada. O fator de segurança para uma unidade, como uma polia ou um volante, pode ser 
expresso como a relação entre a rotação máxima de segurança e a mais elevada rotação 
esperada em serviço. 
Normalmente, se a tensão é uma função linear da carga aplicada em serviço, o fator de 
segurança será praticamente o mesmo nos vários casos analisados. Porém, se esta relação é 
não linear, como no caso de colunas, então o carregamento crítico de falha, para cada coluna 
em particular, deve ser estimado para comparação com o carregamento aplicado. Em casos de 
operação em sobrecarga, este carregamento excessivo deve ser considerado no fator de 
segurança. Portanto, quando o fator de segurança é igual à unidade, significa que a tensão 
aplicada é igual à resistência do material, e portanto, a falha ocorre. 
 A escolha do fator de segurança pode representar, muitas vezes, uma grande 
dificuldade inicial para o engenheiro projetista principiante. O valor de N (fator de segurança) 
depende de várias condições de projeto, inclusive o nível de confiança do modelo sobre o qual 
foram realizados os cálculos, o conhecimento prévio da faixa de possíveis condições de 
carregamento em serviço, bem como a confiança nas informações de resistência do material 
disponíveis. Portanto, a realização de testesextensivos, sobre protótipos funcionais do 
projeto, permite a utilização de um menor valor de N. Na eventual ausência de códigos de 
projeto, que especifiquem o valor de N para casos particulares, a escolha do fator de segurança 
envolve uma avaliação do engenheiro. Uma aproximação razoável é estimar os carregamentos 
máximos esperados em serviço, incluindo sobrecargas, bem como a mínima resistência dos 
materiais envolvidos. 
 
ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO I 
 11 
Ndúctil = MAX (F1, F2, F3) 
 
Tabela 1.1 - Fatores de Segurança para Materiais Dúcteis. 
 
Informação Qualidade da Informação Fator 
 F1 
Dados de O material realmente utilizado foi testado 1.3 
Propriedades de Dados representativos de teste de material 2.0 
Materiais Dados satisfatórios de teste de material 3.0 
Disponíveis de 
testes. 
Dados escassos de teste de material 5.0 + 
 F2 
Condições Idênticas às condições de teste 1.3 
Ambientais de uso Ambiente essencialmente controlado 2.0 
Real e efetivo. Ambiente com alterações moderadas 3.0 
 Ambiente com alterações extremas 5.0 + 
 F3 
Modelo analítico Modelos testados por experimentos 1.3 
Para carregamento Modelos representativos precisos 2.0 
e tensões. Modelos representativos aproximados 3.0 
 Modelos grosseiramente aproximados 5.0 + 
 
 Algumas diretrizes podem ser definidas para a escolha do fator de segurança no 
projeto de máquinas, baseadas na qualidade e apropriação dos dados disponíveis de 
propriedades dos materiais, das condições ambientais reais esperadas, da precisão dos 
modelos de carregamento e análise de tensões desenvolvidas. A Tabela 1.1 apresenta alguns 
fatores de segurança para materiais dúcteis, que podem ser obtidos a partir de três categorias 
diversas. O fator N total será considerado como o maior valor obtido das três categorias de 
análise. 
 Materiais frágeis, por sua vez, são projetados por resistência à fratura, enquanto que 
materiais dúcteis, para carregamento estático, são projetados por resistência elástica, onde se 
espera uma indicação de falha antes da ocorrência da fratura. Portanto, o fator de segurança 
para materiais frágeis é, comumente, o dobro utilizado para materiais dúcteis. 
 
Nfrágil = 2*MAX (F1, F2, F3) 
 
 
 
ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO I 
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 1.5.2 Códigos de Projeto 
 Muitas associações em engenharia e agências governamentais desenvolveram códigos 
de projeto aplicados a áreas específicas da engenharia. Alguns destes códigos são apenas 
recomendações, enquanto outros representam verdadeiras normas legislativas. As principais 
associações em engenharia, bem como organizações governamentais e industriais, 
relacionadas a seguir, possuem suas publicações sobre padronização de componentes e 
normas técnicas de projeto de grande interesse para o engenheiro mecânico. 
 
 American Gear Manufacturers Association (AGMA) 
 American Institute of Steal Construction (AISC) 
 American Iron and Steal Institute (AISI) 
 American National Standards Institute (ANSI) 
 American Society for Metals (ASM) 
 American Society for Mechanical Engineers (ASME) 
 American Society of Testing and Materials (ASTM) 
 American Welding Society (AWS) 
 Anti-friction Bearing Manufacturers Association (AFBMA) 
 International Standards Organization (ISO) 
 National Institute for Standards and Technology (NIST) 
 Society of Automotive Engineers (SAE) 
 Society of Plastics Engineers (SPE) 
 Norma Alemã (DIN) e Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT). 
 
 1.5.3 Conceitos Fundamentais: Trabalho e Energia 
 Todo sistema mecânico envolve os conceitos de carga aplicada e movimento relativo 
que, associados, podem representar trabalho ou energia. Define-se trabalho W, realizado pela 
força F, atuando num determinado ponto de um componente, o qual, por sua vez, move-se da 
posição p1 a posição p2, como sendo o produto escalar dos vetores força e deslocamento, 
dentro do intervalo percorrido ds: 
 
W F ds
p
p
= ∫ .
1
2
 (1.1) 
 
 Portanto, para estimar corretamente o valor da integral acima, é necessário o 
conhecimento prévio da variação da força em função do deslocamento. O trabalho realizado 
por uma força é sempre uma grandeza relativa a um intervalo percorrido, sendo expresso pelo 
produto da unidade de força e da unidade de deslocamento, por exemplo [N.m]. Em uma 
ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO I 
 13 
máquina rotativa, o trabalho W realizado pelo ponto de aplicação de uma força F, após n 
revoluções, a uma distância R do centro de rotação, é dado por: 
 
( )W F R n F S= =2pi .∆ (1.2) 
 
 Na qual: ∆S = espaço percorrido pelo ponto de aplicação da força F. 
 Se a mesma máquina gira de um ângulo θ sob ação de um torque T, temos a expressão 
para o trabalho realizado como: 
 
( )W F R T= =θ θ (1.3) 
 
 Muitas análises em projeto de máquinas são realizadas com base na taxa de energia 
transferida por tempo. Neste aspecto, a taxa de energia transferida pelo trabalho realizado 
denomina-se POTÊNCIA, sendo equivalente ao produto da força aplicada pela velocidade do 
ponto de aplicação da força. 
 
Pot dW
dt
W F V= = =ɺ . (1.4) 
 
 Partindo-se da equação (1.4), pode-se facilmente obter a expressão do trabalho 
realizado pela força F, em função num intervalo de tempo dt: 
 
W Wdt F Vdt
t
t
t
t
= =∫ ∫ɺ .
1
2
1
2
 (1.5) 
 
 Como a potência representa a taxa de trabalho realizado num intervalo de tempo, então 
a mesma é expressa pela razão entre qualquer unidade de energia e tempo. Por exemplo, 
[N.m] representa um joule [J], e portanto, [J/s] é unidade de potência, conhecida por Watt 
[W]. 
 Da mesma forma descrita anteriormente, para o componente de uma máquina rotativa, 
a expressão da potência transmitida (Pot) pelo eixo de raio R, sujeito a um torque T e com 
uma velocidade de rotação ω, é dada por: 
 
( ) ( )ɺ . .W F V T R R T= = =ω ω (1.6) 
 
 Para um sistema onde não ocorre transferência de massa em seus limites de contorno, 
aplica-se o princípio da conservação de energia, conforme expressão (1.7): 
 
ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO I 
 14 
∆ ∆ ∆ ∆E KE PE U Q W= + + = + (1.7) 
 
sistema pelo realizado trabalho=
sistema o para da transferi térmicaenergia=
sistema do interna energia da variação
sistema do nalgravitacio potencial energia da variação
sistema do cinética energia da variação
sistema do energia de totalvariação
:qual No
W
Q
U
PE
KE
E
=∆
=∆
=∆
=∆
 
 
 O balanço energético pode ser expresso através de sua taxa de variação instantânea 
temporal: 
 
( ) ( )dE
dt
d KE
dt
d PE
dt
dU
dt
Q W= + + = +ɺ ɺ
 (1.8) 
 
1.6. SISTEMAS DE UNIDADES 
 
 Diversos sistemas de unidades são utilizados em engenharia. Os mais comuns, na 
prática, são três: Sistema Americano fps (foot/pé-pound/libra-second/segundo), Sistema 
Americano ips (inch/polegada-pound/libra-second/segundo), Sistema Internacional SI (metro-
kilograma-segundo). A diferença básica entre os sistemas americanos e o sistema 
internacional é que ambos os sistemas americanos definem as grandezas de comprimento-
força-tempo, sendo conhecidos como sistemas gravitacionais, enquanto o sistema 
internacional define as grandezas de comprimento-massa-tempo. A Tabela 1.2 relaciona as 
principais variáveis às suas unidades nos três sistemas apresentados, enquanto que a Tabela 
1.3 seleciona alguns fatores de conversão de unidades. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO I 
 15 
Tabela 1.2 - Variáveis e Unidades. 
 
VARIÁVEL símbolo Sistema ips Sistema fps Sistema SI 
força F libra (lb) libra (lb) newton (N) 
comprimento l polegada (in) pés (ft) metro (m) 
tempo t segundo (sec) segundo (sec) segundo(s) 
massa m 
blobs (bl) 
lb.sec2 / in 
slug (sl) 
lb.sec2 / ft 
kilograma 
(kg) 
peso W libra (lb) libra (lb) newton (N) 
pressão p psi (lb / in2) pfs (lb / ft2) pascal (Pa) 
velocidade v in / sec ft / sec m / s 
aceleração a in / sec2 ft / sec2 m / s2 
tensão σσσσ,ττττ psi (lb / in2) pfs (lb / ft2) Pa = N/m2 
ângulo θθθθ graus (deg) graus (deg) graus (deg) 
velocidade angular ωωωω rad / sec rad / sec rad / sec 
aceleração angular αααα rad / sec2 rad / sec2 rad / sec2 
torque T lb-in lb-ft N-m 
momento de inércia 
de massa I lb-in-sec
2
 lb-ft-sec2 kg-m2 
momento de inércia 
de área I in
4
 ft4 m4 
energia E in-lb ft-lb joule (N-m) 
potência P in-lb / sec ft-lb / sec watt (N-m/s) 
volume V in3 ft3 m3 
peso específico νννν lb / in3 lb / ft3 N / m3 
densidade de massa ρρρρ bl / in3 sl / ft3 kg / m3 
 
 
 
 
 
 
ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO I 
 16 
Tabela 1.3 - Fatores de Conversão de Unidades. 
 
Grandeza 
inicial 
Fator de 
Conversão 
Grandeza 
final 
Grandeza 
inicial 
Fator de 
Conversão 
Grandeza 
final 
aceleração momento de inércia de massa 
in / sec2 0.0254 m / sec2 lb-in-sec2 0.1138 N-m-s2 
ft / sec2 12 in / sec2 
 momentos e energia 
ângulos in-lb 0.1138 N-m 
radianos 57.2958 graus ft-lb 12 in-lb 
 N-m 8.7873 in-lb 
área N-m 0.7323 ft-lb 
in2 645.16 mm2 
ft2 144 in2 potência 
 HP 550 ft-lb/ sec 
momento de inércia de área HP 33000 ft-lb/min 
in4 416231 mm4 HP 6600 in-lb/sec 
in4 4.162E-7 m4 HP 745.7 watts 
m4 1.0E12 mm4 N-m / s 8.7873 in-lb/sec 
m4 1.0E8 cm4 
ft4 20736 in4 pressão e tensão 
 psi 6894.8 Pa 
densidade psi 6.895E-3 MPa 
lb / in3 27.6805 g / cc psi 144 pfs 
g / cc 0.001 g / mm3 kpsi 1000 psi 
lb / ft3 1728 lb / in3 N / m2 1 Pa 
kg / m3 1.0E-6 g / mm3 N / mm2 1 MPa 
 
força constante de mola 
lb 4.448 N lb / in 175.126 N / m 
N 1.0E5 dyne lb / ft 0.08333 lb / in 
ton (short) 2000 lb 
 velocidade 
comprimento in / sec 0.0254 m / s 
in 25.4 mm ft / sec 12 in / sec 
ft 12 in rad / sec 9.5493 rpm 
 
ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO I 
 17 
Grandeza 
inicial 
Fator de 
Conversão 
Grandeza 
final 
Grandeza 
inicial 
Fator de 
Conversão 
Grandeza 
final 
massa volume 
blob 386.4 lb in3 16387.2 mm3 
slug 32.2 lb ft3 1728 in3 
blob 12 slug cm3 0.061023 in3 
kg 2.205 Lb m3 1.0E9 mm3 
kg 9.8083 N 
kg 1000 g 
 
ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO II 
 
18 
 
CAPÍTULO II 
 
 
TEORIAS DE FALHA ESTÁTICA E DINÂMICA 
 
 
 
 
2.1. TEORIA DE FALHA ESTÁTICA 
 
 2.1.1 Introdução 
 O motivo pelo qual elementos ou unidades mecânicas falham é uma questão na qual 
cientistas e engenheiros têm se ocupado constantemente. Uma resposta, provavelmente 
correta, seria que tais elementos falham por estarem submetidos a tensões que superam sua 
resistência. 
 Porém, existe uma questão muito mais complexa, que se refere ao tipo de tensão ou 
solicitação que causou a falha (tensão de tração, de compressão, de cisalhamento, etc). A 
resposta a esta questão depende do material utilizado e suas respectivas resistências à tração, 
compressão ou cisalhamento. Além disso, depende também do tipo de carregamento (estático 
ou dinâmico) e da presença ou ausência de trincas no material. 
 Geralmente, materiais dúcteis sujeitos à tração estática, têm seu limite de resistência 
dado pelo cisalhamento, enquanto que materiais frágeis são limitados por sua resistência à 
tração, sendo exceções algumas situações em que os materiais dúcteis se comportam como 
frágeis. Portanto, frente a esta situação, são necessárias diferentes teorias de falhas para as 
duas classes de materiais existentes, dúcteis e frágeis. 
 A definição cuidadosa do que se entende por falha, também é de significativa 
importância dentro deste contexto. Falha pode significar escoamento e distorção suficientes 
para impedir o funcionamento de um elemento, ou ainda, falha pode significar simplesmente 
fratura ou quebra. Ambas definições são válidas, porém geradas por mecanismos 
completamente diversos. Um escoamento significativo precedendo a falha, somente é possível 
para materiais dúcteis. Materiais frágeis sofrem fratura, praticamente sem mudanças 
significativas de sua forma externa. Tais diferenças de comportamento são perfeitamente 
visíveis em diagramas tensão-deformação para cada tipo de material. Além disso, a presença 
de trincas em materiais dúcteis pode provocar fraturas repentinas, quando sujeitos a tensão 
nominal, logo abaixo de sua resistência ao escoamento, mesmo sob carregamento estático. 
 A Tabela 2.1 relaciona a nomenclatura e a simbologia a serem utilizadas neste 
capítulo. 
ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO II 
 
19 
Tabela 2.1 Nomenclatura e Simbologia. 
 
Símbolos Variáveis Unidades ips Unidades SI 
A comprimento característico da trinca in m 
B 
largura característica da superfície da 
trinca 
in m 
E módulo de Young ou de elasticidade psi Pa 
N fator de segurança adimensional adimensional 
Nfm 
fator de segurança para falha mecânica 
por fratura 
adimensional adimensional 
Suc 
limite máximo de resistência à 
compressão 
psi Pa 
Sut limite máximo de resistência à tração psi Pa 
Sy 
limite de escoamento ou deformação 
plástica de tração 
psi Pa 
Sys 
limite de escoamento ou deformação 
plástica por cisalhamento 
psi Pa 
U energia total de deformação in-lb Joules 
Ud energia de deformação por distorção in-lb Joules 
Uh energia de deformação hidrostática in-lb Joules 
β fator de geometria tensão-intensidade adimensional adimensional 
ε deformação relativa adimensional adimensional 
ν coeficiente de Poisson adimensional adimensional 
σ1 tensão principal psi Pa 
σ2 tensão principal psi Pa 
σ3 tensão principal psi Pa 
~σ tensão efetiva de Mohr modificada psi Pa 
σ tensão efetiva de Von Mises psi Pa 
K fator de intensidade de tensão psi - in0.5 Pa – m0.5 
Kc resistência à fratura psi - in
0.5
 Pa – m0.5 
Kt 
fator de concentração de tensão para 
tração 
adimensional adimensional 
Kts 
fator de concentração de tensão para 
cisalhamento 
adimensional adimensional 
 
 Outro fator fundamental em falhas é a característica do carregamento, se estático ou 
dinâmico. Carregamentos estáticos são aplicados lentamente, permanecendo constantes com o 
ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO II 
 
20 
tempo. Carregamentos dinâmicos podem ser aplicados de duas maneiras básicas: 
repentinamente, como no caso do impacto; ou variando repetidamente com o tempo, como no 
caso de cargas por fadiga. Ambas solicitações também podem ocorrer simultaneamente. 
 A Tabela 2.2 apresenta quatro classes de carregamentos, baseados no movimento das 
partes solicitadas, e na sua dependência no tempo. 
 
Tabela 2.2 Classes de Carregamentos. 
 
 Cargas Constantes Cargas Variáveis no Tempo 
Sistemas 
Estacionários 
Classe 1 - carga estática - 
estrutura de uma base do tipo 
plataforma fixa. 
Classe 2 - carga dinâmica - 
estrutura de uma ponte, sujeita a 
variação de carga dos veículos e 
da intensidade do vento. 
Sistemas 
Móveis 
Classe 3 - carga dinâmica - 
cortador de grama motorizado, 
sujeito a carga externa constante 
de cortar grama e às acelerações 
das pás, devido ao movimento 
rotativo. 
Classe 4 - carga dinâmica -
motor de um automóvel, sujeito 
a cargas variáveis devidos às 
explosões de combustível e às 
variações de aceleração de suas 
massas inerciais. 
 
2.2. TEORIA DE FALHA ESTÁTICA 
 
 2.2.1 Falha de Materiais Dúcteis sujeitos à Carregamento Estático 
 Sabe-se que os materiais dúcteis sofrem fratura quando estaticamente tensionados 
além de sua máxima resistência à tração, ou tensão de ruptura. Porém, a falha dos 
componentes de máquinas para este tipo de materialé, geralmente, considerada quando este 
sofre escoamento sob carregamento estático. Sua resistência ao escoamento é 
consideravelmente inferior à sua resistência máxima. 
 Algumas teorias foram formuladas e desenvolvidas para este tipo de falha: 
 a) Teoria da Máxima Tensão Normal. 
 b) Teoria da Máxima Deformação Normal. 
 c) Teoria da Energia de Deformação Total. 
 d) Teoria da Energia de Distorção ou Critério de Von Mises-Hencky. 
 e) Teoria da Máxima Tensão de Cisalhamento. 
 Porém, os critérios que melhor se ajustam aos resultados de dados experimentais são o 
da Teoria da Energia de Distorção ou Critério de Von Mises-Hencky e o da Teoria da Máxima 
Tensão de Cisalhamento. Destes dois critérios, o de Von Mises-Hencky ainda é o mais 
preciso. 
ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO II 
 
21 
 Teoria da Energia de Distorção ou Critério de Von Mises-Hencky 
 
 O mecanismo microscópico de escoamento ocorre devido ao deslizamento relativo das 
partículas de material dentro dos limites de sua estrutura. Tal deslizamento é provocado por 
tensões de cisalhamento, sendo acompanhado por uma distorção na forma do elemento em 
questão. A energia armazenada neste elemento devido à distorção é um indicador das tensões 
de cisalhamento presentes no material. 
 
 Energia Total de Deformação 
 Define-se por energia de deformação U a área sob a curva tensão-deformação, contida 
até o ponto correspondente à tensão aplicada σi, para um estado de tensão unidirecional. 
Considerando a curva tensão-deformação essencialmente linear, até o ponto de escoamento do 
material, a energia total de deformação, considerando um estado tridimensional de tensões, é 
dada por: 
 
( )3322112
1
2
1
εσεσεσσε ++==U (2.1) 
 
 Onde: σ1, σ2, σ3 são as tensões principais presentes no material. 
 A expressão que relaciona as tensões reais aplicadas às tensões principais é dada pela 
expressão associada às figuras 2.1 (a) e 2.1 (b), abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.1 - Estado de Tensões Aplicadas (a) e Principais (b). 
 
 Obtêm-se três raízes para o determinante do Tensor abaixo: σ1, σ2, σ3 
 
σ σ τ τ
τ σ σ τ
τ τ σ σ
x xy xz
yx y yz
zx zy z
−
−
−




















=
n
n
n
x
y
z
0 
 
σ1 
σ2 σyy 
σxx σxx 
σyy 
τyx 
τyx 
τxy 
τxy 
σ1 
σ2 
(a) (b) 
ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO II 
 
22 
 Substituindo as deformações principais relativas em função das tensões principais, 
atuantes nos planos de tensão de cisalhamento nula, obtém-se: 
 
( )
( )
( )
ε σ νσ νσ
ε σ νσ νσ
ε σ νσ νσ
1 1 2 3
2 2 1 3
3 3 1 2
1
1
1
= − −
= − −
= − −
E
E
E
 (2.2) 
 
 
 
 
Figura 2.2 - Círculo de Mohr para Estado de Tensões Tridimensional. 
 
 
 A tensão de cisalhamento máxima é sempre o maior valor resultante das expressões: 
 
τ
σ σ
τ
σ σ
τ
σ σ
13
1 3
21
1 2
32
2 3
2
2
2
=
−
=
−
=
−
 
 
 
 Portanto, substituindo (2.2) em (2.1), obtem-se: 
 
( )[ ]U E= + + − + +12 212 22 32 1 2 2 3 1 3σ σ σ ν σ σ σ σ σ σ (2.3) 
 
ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO II 
 
23 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.3 - Diagrama Tensão-Deformação. 
 
 Componentes da Energia de Deformação 
 A energia total de deformação, em um elemento sujeito a carregamento estático, é 
composta, basicamente, por duas componentes: uma devido ao carregamento hidrostático, o 
qual altera seu volume; e outra devido à distorção, que altera sua forma. 
 Entende-se por carregamento hidrostático, por exemplo, quando um material é 
submetido à compressão muito lento, muito além de sua resistência máxima, sem falha, 
gerando tensões uniformes em todas as direções. Desta forma, o elemento sofre uma redução 
de volume, sem alterar sua forma. 
 Assim, separando as duas componentes da energia de deformação e isolando a 
componente da energia de distorção, esta será um indicador da tensão de cisalhamento 
presente no elemento. Se Ud é a energia de deformação por distorção e Uh representa a energia 
de deformação hidrostática, então: 
 
U = Ud + Uh (2.4) 
 
 As tensões principais, por sua vez, também podem ser expressas em termos de 
componente hidrostático (ou volumétrico), que é a mesma para todas as faces do material; e 
da componente de distorção, que varia de acordo com a face considerada. 
 
σσσσ σσσσ σσσσ
σσσσ σσσσ σσσσ
σσσσ σσσσ σσσσ
1 1
2 2
3 3
= +
= +
= +
h d
h d
h d
 
 
(2.5) 
 
 
E 
U 
Energia de 
Deformação 
σ 
σi 
εi ε
 
ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO II 
 
24 
 Somando as tensões principais, temos: 
 
( )
( )dddh
dddh
321321
321321
3
3
σσσσσσσ
σσσσσσσ
++−++=
+++=++
 (2.6) 
 
 Para uma redução volumétrica, sem distorção, a tensão hidrostática se reduz a uma 
média aritmética das tensões principais: 
 
3
321 σσσσ
++
=h (2.7) 
 
 Substituindo Uh na expressão (2.3): 
 
( )U
Eh h
=
−3
2
1 2 2ν σ (2.8) 
 
 Substituindo (2.7) em (2.8): 
 
( ) ( ) ( )[ ]313221232221
2
321 2
6
21
3
21
2
3
σσσσσσσσσ
νσσσν
++−++
−
=




 ++−
=
EE
Uh (2.9) 
 
 A energia de distorção é, então, obtida, subtraindo a expressão (2.9) da expressão 
(2.3): 
 
( ) [ ]
U U U
U
E
d h
d
= −
=
+
+ + − − −
1
3 1
2
2
2
3
2
1 2 2 3 1 3
ν
σ σ σ σ σ σ σ σ σ
 (2.10) 
 
 Para se obter um critério de falha, compara a energia de distorção, por volume unitário, 
dada pela expressão (2.10), com a energia de distorção, por volume unitário, presente num 
teste de falha por tração, por ser esta a principal fonte de dados de resistência dos materiais. 
 Trata-se, portanto, da resistência ao escoamento Sy. O teste de tração é um estado de 
tensão uniaxial onde, no escoamento, tem-se σ1 = Sy e σ2 = σ3 = 0. Portanto, da expressão 
(2.10), obtem-se a energia de distorção para o teste de tração: 
 
( ) 2
yS3
1
E
Ud
ν+
= (2.11) 
 
 
ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO II 
 
25 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.4 - Círculo de Mohr para Tensão de Tração Unidirecional. 
 
 O critério de falha por energia de distorção, para um estado tridimensional de tensões, 
iguala as expressões (2.10) e (2.11). 
 
[ ]S
S
y
y
2
1
2
2
2
3
2
1 2 2 3 1 3
1
2
2
2
3
2
1 2 2 3 1 3
= + + − − −
= + + − − −
σ σ σ σ σ σ σ σ σ
σ σ σ σ σ σ σ σ σ
 (2.12) 
 
 Para um estado bidimensional de tensões, σ2 = 0: 
 
Sy = − +σσσσ σσσσ σσσσ σσσσ1
2
1 3 3
2
 (2.13) 
 
A equação (2.13) descreve uma elipse nos respectivos eixos σ1 e σ3 . O interior da 
elipse define a região das tensões biaxiais combinadas, dentro dos limites de segurança quanto 
ao escoamento, sob carga estática. A equação (2.12) descreve um cilindro de seção circular, 
inclinado em relação aos eixos σ1, σ2 e σ3 , de modo que sua interseção com qualquer dos 
três planos principais, seja uma elipse como a da figura 2.5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.5 - Elipse da Energia de Distorção em 2-D para Resistência ao Escoamento. 
 
σ 
σ1 
σ2 = σ3 = 0 
τ13 , τ12 
Sy
σ σ σ σ1
2
1 3 3
2
1
− +
=
1.5 
1.0 
0.5 
0.0 
-0.5 
-1.0 
-1.5 
0.0 -1.0 1.0 1.5 0.5 
-0.5 
σσσσ3 
σσσσ1 
 
 
A 
B 
Para torção pura 
 
Sys = 0,577Sy 
ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO II 
 
26 
 Tensão Efetiva de Von Mises 
 Para materiais dúcteis sujeitos as tensões combinadas de tração e cisalhamento, 
atuando sobre um mesmo ponto, é possível e conveniente definir uma tensão efetivaque 
represente esta combinação de tensões. 
 Define-se como tensão efetiva de Von Mises (σ’) uma tensão de tração uniaxial, capaz 
de gerar a mesma energia de distorção, como aquela resultante da combinação das tensões 
reais aplicadas. 
 
313221
2
3
2
2
2
1' σσσσσσσσσσ −−−++= (2.14) 
 
 A tensão efetiva de Von Mises também pode ser representada em termos das tensões 
aplicadas: 
 
( ) ( ) ( ) ( )222222 6' zxyzxyxzzyyx τττσσσσσσσ +++−+−+−= (2.15) 
 
 Para o caso bidimensional: 
 
222 3' xyyxyx τσσσσσ +−+= (2.16) 
 
 Fator de Segurança 
 De acordo com a definição de fator de segurança, as equações (2.12) e (2.13) definem 
as condições de falha. 
 Dentro do escopo de projeto, é interessante incluir uma estimativa do fator de 
segurança N, de modo que o estado de tensões esteja dentro dos limites de segurança da elipse 
de tensões. 
 
'σ
ySN = (2.17) 
 
 Para o estado tridimensional de tensões: 
 
S
N
y
= + + − − −σ σ σ σ σ σ σ σ σ1
2
2
2
3
2
1 2 2 3 1 3 (2.18) 
 
 O fator de segurança para o estado bidimensional é dado por: 
 
S
N
y
= + −σ σ σ σ1
2
3
2
1 3 (2.19) 
ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO II 
 
27 
 Cisalhamento Puro 
 Para o caso de cisalhamento puro, como ocorrem para carregamentos torcionais puros, 
as tensões principais tornam-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.6 - Círculo de Mohr para Tensão de Cisalhamento Puro. 
 
 Na figura 2.5, o estado de tensão torcional puro está representado pela reta que corta a 
elipse a – 45o, interceptando-a em dois pontos, A e B. 
 O critério de falha aplicado corresponde à equação (2.13): 
 
ysy
y
max
maxy
SS
S
S
===
=+−=
577,0
3
3 22331
2
1
τ
τσσσσ
 (2.20) 
 
 Esta relação define a resistência ao escoamento por cisalhamento para materiais 
dúcteis (Sys), como uma fração da resistência ao escoamento por tração (Sy). 
 
 Teoria da Máxima Tensão de Cisalhamento 
 
 A teoria da máxima tensão de cisalhamento estabelece que a falha ocorre quando a 
tensão de cisalhamento máxima em uma região supera a tensão de cisalhamento resultante de 
um teste de falha por tração. Neste caso, a resistência ao cisalhamento é a metade da 
resistência ao escoamento por tração, para materiais dúcteis. 
 
Sys = 0,50 Sy (2.21) 
 
 Portanto, este critério estabelece um limite mais conservativo que o critério de Von 
Mises-Hencky. 
τ 
σ 
σ1 
σ2 σ3 
τmax 
σ1 = −σ3 = τmax e σ2 = 0 
ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO II 
 
28 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.7 - Círculo de Mohr para Solicitação por Tração. 
 
 A figura 2.8 ilustra a envoltória de falha hexagonal para o critério do máximo 
cisalhamento bidimensional. O hexágono está contido dentro da elipse do critério de Von 
Mises-Hencky, correspondendo, portanto, a um critério de falha mais rígido. 
 São consideradas dentro dos limites de segurança, as tensões combinadas que se 
localizarem na área interna ao hexágono, estando o elemento sujeito à falha quando estas se 
posicionarem sobre o contorno que delimita o hexágono. Os pontos C e D definem o critério 
para cisalhamento puro torcional. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.8 - Elipse da Energia de Distorção e Hexágono da Máxima Tensão de Cisalhamento, 
em 2-D para Resistência ao Escoamento. 
 
 2.2.2 Falha de Materiais Frágeis sujeitos à Carregamento Estático 
Materiais frágeis estão mais sujeitos à fratura que ao escoamento. A fratura frágil em 
tração ocorre devido à tensão de tração normal apenas e, portanto, a teoria da máxima tensão 
normal é amplamente aplicada nestes casos. A fratura frágil em compressão ocorre quando 
τ 
σ 
τmax 
σ3 = σ2 = 0 σ1 
1.5 
1.0 
0.5 
0.0 
-0.5 
-1.0 
-1.5 
0.0 -1.0 1.0 1.5 0.5 -0.5 
σσσσ3 
σσσσ1 
tensão/Sy 
C 
D 
Para torção pura 
Sys = 0,5 Sy 
ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO II 
 
29 
existe uma combinação das tensões de compressão normal e de cisalhamento e, portanto, 
requer teorias de falha particulares. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.9 - Diagrama Tensão-Deformação para Materiais Frágeis. 
 
 
 Materiais regulares e irregulares 
 Materiais regulares são aqueles que tendem a apresentar uma resistência a compressão 
igual a resistência a tração. Muitos materiais fundidos, como o ferro fundido cinza, 
apresentam uma resistência à compressão muito superior à sua resistência à tração, sendo 
denominados materiais irregulares. A baixa resistência à tração ocorre devido à presença ou 
formação de imperfeições microscópicas na fundição, as quais atuam, quando sujeitas à 
tração, como nucleadores para formação de trincas. Em compressão, estas imperfeições são 
prensadas e preenchidas, elevando a resistência ao escorregamento devido às tensões de 
cisalhamento. Outra característica importante dos materiais frágeis é a ocorrência de uma 
resistência ao cisalhamento superior à resistência à tração: σt < τ < σc. 
 As figuras 2.10 (a) e (b) ilustram o Círculo de Mohr para materiais frágeis regulares e 
irregulares. A área contida entre os círculos e as linhas tangentes de falha, representa a região 
de segurança de projeto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Su 
Sy 
E 
ε 
σ 
ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO II 
 
30 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(b) 
Figura 2.10 - Círculo de Mohr para Testes de Tração e Compressão, para materiais frágeis 
regulares (a) e irregulares (b). 
 
Para materiais regulares, figura 2.10(a), as linhas de falha são constantes e independem 
do valor da tensão normal, sendo, portanto, definidas pelo critério da máxima resistência ao 
cisalhamento do material. 
Por sua vez, os materiais irregulares apresentam as linhas de falha como uma função 
de ambas as tensões, normal (σ) e de cisalhamento (τ). À medida que aumenta a tensão 
normal de compressão, a resistência ao cisalhamento do material torna-se mais elevada. 
 
 Teoria de Coulomb - Mohr 
 
 A teoria de falha de Coulomb-Mohr é uma adaptação da teoria da máxima tensão 
normal que, para materiais dúcteis, estabelece a ocorrência da falha quando a tensão normal 
supera algum limite de resistência do material, no caso dúctil, Sy. 
 
linhas de falha 
 τ 
 τi 
σ θ 
φ φ 
compressão 
 τ 
tração 
µ = tgθ = ∆τ / σ 
 
∆τ = µσ 
 
τmax = µσ + τi 
 τmax 
σ 
Linhas de falha 
compressão tração 
ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO II 
 
31 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.11 - Critério da Máxima Tensão Normal para Materiais Dúcteis. 
 
A figura 2.12 ilustra o critério de Coulomb-Mohr para materiais frágeis, considerando 
a máxima resistência à tração Sut. 
 Para materiais regulares temos: Sut = - Suc. Ou seja, a máxima resistência à tração é 
igual à máxima resistência à compressão, conforme o quadrado simétrico da figura 2.12. 
Os materiais frágeis irregulares apresentam uma resistência à compressão Suc muito 
superior a resistência à tração Sut, caracterizando o quadrado maior assimétrico no diagrama 
da figura 2.12. 
 Porém, a envoltória de falha para materiais irregulares é válida somente nos 1º. e 3º. 
quadrantes, por não considerar a relação de variação existente entre as tensões normal e de 
cisalhamento (figura 2.10 (b)). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Na figura 2.13, a relação de dependência entre σ e τ é contemplada através da união 
dos vértices destes dois quadrantes. Este critério para materiais frágeis irregulares difere do 
critério da máxima tensão de cisalhamento para materiais dúcteis, apenas por dois pontos: a 
σ1 
σ3 
 Sy 
 Syσ3 
Figura 2.12 - Critério de Coulomb - Mohr para Materiais Frágeis. 
Sut , -Suc 
Sut , Sut 
Sut , -Sut 
-Suc , -Suc 
-Suc , Sut 
-Sut , -Sut 
-Sut , Sut 
Material Regular ou Estavel 
Material Irregular ou 
Instável 
σ1 
ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO II 
 
32 
assimetria típica de materiais irregulares e a utilização do limite de resistência máxima de 
ruptura Su (e não do limite de escoamento Sy). Porém, testes experimentais superpostos aos 
diagramas revelaram que as falhas coincidem com os limites do 1º quadrante da figura 2.13. 
Para os 2º e 4º quadrantes, os pontos de falha permanecem dentro do critério da máxima 
tensão normal, estando, porém, fora dos limites do critério de Coulomb-Mohr. 
 
 
 
 
Figura 2.13 - Critério de Coulomb - Mohr para Materiais Inteligentes. 
 
 
 Teoria de Mohr Modificada 
 
 Os dados de falha reais seguem o critério da máxima tensão normal para materiais 
irregulares no primeiro quadrante da figura 2.13. Prosseguindo, então, para os vértices do 
quarto quadrante, a teoria de falha de Mohr Modificada é ajustada experimentalmente (figura 
2.14). 
 
ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO II 
 
33 
 
Figura 2.14 - Critério de Mohr Modificado. 
 
 Fator de Segurança 
 Analisando os primeiro e segundo quadrantes da figura 2.14, para o critério de Mohr 
Modificado, definem-se claramente três planos de condições de tensão: plano A, onde σ1 e σ3 
são sempre positivos; plano B, onde σ1 e σ3 tem sinais opostos e o limite de resistência em Sut; 
plano C, onde σ1 e σ3 tem sinais opostos e os limites de resistência em Sut e Suc. 
 O fator de segurança para os planos A e B, é, portanto: 
 
N Sut=
σ1
 (2.22) 
 
 Pois a falha ocorre quando as linhas de carga ultrapassam os pontos A’ e B’, 
respectivamente, para os planos A e B. Para o plano C, a interseção da linha de carga com a 
envoltória de falha em C’, define o fator de segurança N. 
 Para equação da reta entre (0 , -Suc) e (Sut , -Sut), obtem-se: 
 
( ) ucutucut
utuc
ut
ut
ut
SSSS
SS
S
S
S
=++−
+−
−
=
+
−
131
3
1
σσσ
σ
σ
 
 
( )
S S
S S
ut uc
ut uc− + +
=
σ σ σ1 3 1
1 
(2.23) 
ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO II 
 
34 
 A expressão (2.23) estabelece uma relação entre os limites máximos de resistência à 
tração (Sut), à compressão (Suc) e as tensões principais σ1 e σ3, igual à unidade, o que significa 
justamente a reta que contorna o critério de falha para o quarto quadrante. 
 Para valores superiores à unidade, o estado de tensões se encontra no interior do 
hexágono deformado pelo critério de Mohr Modificado, estando, portanto, a favor da 
segurança. 
 
( )
S S
S S
Nut uc
ut uc− + +
=
σ σ σ1 3 1
 
 
 
( )( )S S N S Sut uc ut uc= − + +σ σ σ1 3 1 (2.24) 
 
( )
( ) NSS
NS
NS
NS
SS
S
SN
SN
SSSNNS
utuc
ut
ut
ut
utuc
ut
ut
ut
ucutucut
+−
−
=
+
−
+−
−
=
+
−
=++−
3
1
3
1
131
σ
σ
σ
σ
σσσ
 
 
 
 Na aplicação desta teoria, pode ser conveniente a definição de uma tensão efetiva 
(expressão de Dowling): 
 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
C S S
S
C S S
S
C S S
S
uc ut
uc
uc ut
uc
uc ut
uc
1 1 2 1 2
2 2 3 2 3
3 3 1 3 1
1
2
2
1
2
2
1
2
2
= − +
+
+






= − +
+
+






= − +
+
+






σ σ σ σ
σ σ σ σ
σ σ σ σ
 (2.25) 
 
 
 O maior valor estimado entre C1, C2, C3, σ1, σ2 e σ3, será assumido como tensão 
efetiva para materiais frágeis. 
 
( )~ , , , , ,σ σ σ σ= MAX C C C1 2 3 1 2 3 
 
 Se ( )MAX C C C1 2 3 1 2 3 0 0, , , , , ~σ σ σ σ≤ ⇒ = 
 
ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO II 
 
35 
 A tensão efetiva de Mohr Modificada pode, então, ser comparada à máxima resistência 
à tração, para o fator de segurança N: 
 
N Sut=
~σ
 (2.26) 
 
 2.2.3 Mecânica da fratura e Concentração de Tensões 
 As teorias de falha vistas até então, assumem materiais cujas superfícies são 
perfeitamente homogêneas, isotrópicas e contínuas, sendo, portanto, livres de defeitos como 
trincas, entalhes e inclusões que, por sua vez, atuam como incremento de tensões. Porém, este 
fato não ocorre na realidade, sendo considerado que todos os materiais possuem microtrincas, 
não mesmo visíveis macroscopicamente. 
 Contornos de geometria funcionais, projetados juntamente com o elemento em 
questão, podem elevar as tensões locais de forma previsível, de modo a serem levadas em 
consideração na análise de tensões, para posterior aplicação dos critérios de falha. 
 A grandeza associada à concentração de tensões, para uma determinada geometria, é 
definida por um fator de concentração de tensões geométrico Kt, para tensões normais, ou Kts, 
para tensões de cisalhamento. 
 A tensão máxima no local de incremento de tensões é dada por: 
 
σ σmax t nomK= e nomtsmax K ττ = (2.27) 
 
 Onde σnom e τnom são as tensões nominais estimadas para um determinado 
carregamento, sem considerar a concentração de tensões. 
 Para cargas estáticas, os materiais dúcteis escoam localmente na região de incremento 
de tensões, enquanto o material tensionado, imediatamente próximo à descontinuidade 
geométrica, permanecer abaixo de seu ponto de escoamento. 
 Os materiais frágeis não escoam por não apresentarem uma região plástica de 
deformação. Portanto, quando as tensões na região de incremento excedem a resistência à 
fratura, inicia-se a formação da trinca, que reduz a resistência à carga, e aumenta a 
concentração de tensões nas suas vizinhanças. 
 Não só para carregamento dinâmico, a presença de uma trinca aguda em um campo de 
tensões gera concentrações de tensões que, teoricamente, tendem ao infinito: 
 
K a
c
t = +





1 2 (2.28) 
 
 
ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO II 
 
36 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.15 - Variação do Fator de Concentração de Tensões devido a uma Trinca Elíptica. 
 
 Quanto menor a espessura da trinca (c → 0), a concentração de tensões Kt tende a 
infinito. Como nenhum material pode suportar níveis tão elevados de tensões, ocorrem 
escoamento local (materiais dúcteis) ou microtrinca local (materiais frágeis), na raiz da trinca. 
 
 Teoria da Mecânica da Fratura 
 
 Fratura Mecânica pressupõe a existência de uma trinca. Se a região de escoamento, nas 
vizinhanças da trinca é pequena, então a teoria da fratura mecânica elástica linear é aplicada 
(LEFM). Dependendo da orientação do carregamento em relação à trinca, a carga aplicada 
pode abrir a trinca em tração (modo I), pode cisalhar a trinca no plano (modo II), ou pode 
cisalhar a trinca fora do plano (modo III). Limitar-se-á neste texto, a análise ao modo I. 
 
 Fator de Intensidade de Tensão 
 Considera-se, para efeito de análise, que a trinca é aguda em suas extremidades, tendo 
sempre sua largura (2a) superior a sua espessura (2c). Conforme a figura (2.16), a trinca pode 
ser interna, como na figura 2.16(a), ou de borda (entalhe na superfície), conforme figura 
2.16(b). 
 
 
 
 
 
Kt 
c/a 
0 
5 
10 
2 4 6 8 10 
a 
c 
P 
P 
ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO II 
 
37 
 
Figura 2.16 - Trinca interna (a) e Entalhe (b) em tração. 
 
 Um sistema de coordenadas polares permite a representação das tensões nas 
proximidades da trinca, de acordo com a teoria da elasticidade linear, para b>>a, no plano de 
tensões: 
 
0 e ...
2
3
sen
2
sen
2
cos
2
...
2
3
sen
2
sen1
2
cos
2
...
2
3
sen
2
sen1
2
cos
2
=+=
+





+=
+





−=
zxy
y
xr
K
r
K
r
K
σ
θθθ
pi
τ
θθθ
pi
σ
θθθ
pi
σ
 (2.29) 
 
 Para o plano de deformações: 
 ( )
0==
+=
zxyz
yxz
ττ
σσνσ
 (2.30) 
 
ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO II 
 
38 
 Portanto, o ângulo θ define o perfil de distribuição de tensões para qualquer raio r, a 
partir da extremidade da trinca. Assim, se r tende a zero, então σx , σy e τxy tendem ao 
infinito. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.17 - Variação da Tensão de Von Mises na Região Plástica. 
 
 As tensões mais elevadas, próximas à extremidade final da trinca, causam escoamento 
local, gerando uma região plástica de raio ry (correspondente a uma tensão efetiva igual ao 
limite de escoamento). Para qualquer distância da extremidade final da trinca, o estado de 
tensão na região plástica é proporcional ao fator de intensidade de tensão K. Para a figura 
2.17(a), tem-se: 
 
b.a aK nom << parapiσ= (2.31) 
 
 A precisão da equação (2.31) será inferior a 10% de erro se a/b for inferior a 0.4. 
 Se o comprimento característico da trinca (a) é considerável em relação à meia largura 
do plano (b) adiciona-se o fator geométrico β: 
 
aK nom piβσ= (2.32) 
 
 
 
a 
b 
P 
P 
x 
y 
r 
θ 
 
 Região Plástica 
σ’ 
σ’ 
θ 
r 
0 180 360 
Sy 
ry 
ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO II 
 
39 
 
 Tenacidade à fratura 
 Quanto mais abaixo estiver o valor de K do valor crítico, denominado tenacidade à 
fratura (KIC), maior a possibilidade de se considerar a trinca em modo estável, para carga 
estática e meio não corrosivo; ou ainda, em modo de progressão lenta para carga dinâmica e 
meio não corrosivo. Se o meio é corrosivo, a trinca encontra-se em modo de progressão 
rápida. 
 Se, pelo incremento da tensão nominal, ou crescimento da trinca, o fator K atingir KIC, 
a trinca propagar-se-á repentinamente até a falha. Nestes casos, portanto, o fator de segurança 
é dado por: 
 
K
KN ICFM = (2.33) 
 
 Pela própria definição, nota-se que o fator de segurança pode ser variável no tempo, se 
a trinca se encontrar em modo de progressão, pois K é função do comprimento característico 
(2a) da trinca. Assim sendo, conhecidos a largura da trinca e a resistência a fratura (KIC) para 
o material, a tensão nominal máxima permissível pode ser determinada para qualquer valor do 
fator de segurança NFM. 
 
 Procedimento Geral. 
 A seguir, estão organizadas, num diagrama de blocos, as principais etapas para o 
cálculo do fator de segurança e análise de fratura de um elemento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO II 
 
40 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANÁLISE DE FALHA PARA 
CARGA ESTÁTICA 
Forças, 
Torques e 
Momentos 
Seções mais 
Solicitadas 
Geometria do 
Elemento 
Diagrama de 
Corpo Livre 
Distribuição 
de Tensões 
Tensões 
Principais 
Máxima 
Tensão de 
Cisalhamento 
Níveis mais 
elevados e tensões 
combinadas 
ESTADO DE TENSÕES 
Materiais 
Dúcteis 
Tensão efetiva de 
Von Mises 
Fator de segurança 
N = Sy / σ 
Características 
Metalúrgicas 
Fator de segurança 
N = Sut / σ’ 
Características 
Metalúrgicas 
Tensão efetiva de 
Coulomb-Mohr 
Materiais 
Frágeis 
FIM 
Fator de Intensidade de 
Tensão K 
Resistência a Fratura KIC FRATURA 
TRINCA 
NÃO SIM 
ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO II 
 
41 
 
2.3. TEORIA DE FALHA POR FADIGA 
 
 2.3.1 Introdução 
 Carregamentos variáveis no tempo são causa muito mais freqüente de falhas do que os 
carregamentos estáticos. As falhas por carregamento dinâmico ocorrem, tipicamente, a níveis 
de tensões significativamente inferiores ao da resistência ao escoamento dos materiais. 
 A Tabela 2.3 relaciona a nomenclatura e a simbologia a serem utilizadas nesta seção. 
 
Tabela 2.3 - Nomenclatura e Simbologia. 
 
Símbolos Variável Unidades ips Unidades SI 
a meia largura da trinca in m 
b meia largura da superfície trincada in m 
A razão de amplitudes adimensional adimensional 
A95 área tencionada acima de 95% de σmax in2 m2 
Ccarga fator de carregamento adimensional adimensional 
Cconf fator de confiabilidade adimensional adimensional 
Ctam fator de tamanho ou dimensões adimensional adimensional 
Csup fator de acabamento superficial adimensional adimensional 
Ctemp fator de temperatura adimensional adimensional 
dequiv 
diâmetro equivalente para A95 de seções 
não circulares 
in m 
N número de ciclos adimensional adimensional 
Nf fator de segurança em fadiga adimensional adimensional 
q sensibilidade ao entalhe do material adimensional adimensional 
R razão de tensões adimensional adimensional 
Se limite de resistência à fadiga corrigido psi Pa 
Se’ limite de resistência à fadiga (testes) psi Pa 
Sf resistência à fadiga corrigido psi Pa 
Sf’ resistência à fadiga (testes) psi Pa 
Sn resistência média para qualquer N psi Pa 
Sus máxima resistência ao cisalhamento psi Pa 
β fator de geometria tensão-intensidade adimensional adimensional 
σa, σm componentes normais alternada e média psi Pa 
σa’, σm’ 
componentes efetivas alternada e média 
de Von Mises 
psi Pa 
ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO II 
 
42 
σmax máxima tensão normal aplicada psi Pa 
σmin mínima tensão normal aplicada psi Pa 
σ1 σ2 σ3 tensões principais psi Pa 
σ tensão normal psi Pa 
σ’ tensão efetiva de Von Mises psi Pa 
Kf 
fator de concentração de tensões em 
fadiga 
adimensional adimensional 
K fator de intensidade de tensão psi- in0.5 Pa – m0.5 
Kc resistência à fratura psi- in0.5 Pa – m0.5 
∆K faixa do fator de intensidade de tensão psi- in0.5 Pa – m0.5 
∆Kth 
limite inferior da variação do fator de 
intensidade de tensão abaixo do qual 
não há a propagação da trinca 
psi- in0.5 Pa – m0.5 
 
 2.3.2 Mecanismo de Falha por Fadiga 
 Falhas por fadiga também se iniciam a partir de uma trinca. Esta, por sua vez, pode 
estar presente no material desde a fabricação do elemento, ou pode se desenvolver com o 
tempo, devido a deformações cíclicas em torno da região de concentração de tensão. 
 Em fadiga, a trinca geralmente se inicia em uma imperfeição ou descontinuidade do 
material, que atuam como pontos de concentração de tensões. Existem três estágios básicos e 
fundamentais na falha por fadiga: a nucleação da trinca, a propagação da trinca e a fratura 
súbita, devido ao crescimento instável da trinca. 
 
 Estágio de Nucleação da Trinca 
 Assumindo um material dúctil, onde não ocorrem trincas inicialmente, mas sim 
inclusões ou imperfeições metalúrgicas, existem regiões de concentração de tensão 
geométrica, situadas em posições de significativas tensões variáveis no tempo. Tais tensões 
apresentam uma componente positiva de tração, conforme a figura 2.18. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.18 - Tensões Variáveis no tempo. 
t t 
t 
alternada simétrica pulsante flutuante 
tensão tensão 
tensão 
ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO II 
 
43 
 Como as tensões são variáveis, um escoamento local pode ocorrer, mesmo estando, 
neste caso, a tensão nominal abaixo da resistência ao escoamento do material. O escoamento 
plástico localizado causa distorção, criando bandas de deslizamento devido ao movimento de 
cisalhamento (ondulações microscópicas) a cada ciclo. Assim sendo, com os ciclos de tensão, 
bandas adicionais ocorrem em torno do núcleo da trinca (figura 2.19). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.19 - Mecanismo de Falha por Fadiga em materiais dúcteis.Estágio de Propagação da Trinca 
 Uma vez iniciada a microtrinca, forma-se o campo de tensão, já descrito no ítem 2.3. 
A trinca aguda gera concentrações de tensões, mais elevadas que as já existentes na 
imperfeição inicial. Assim, uma região plástica se desenvolve na extremidade da trinca, cada 
vez que a tensão de tração tende a abri-la, atenuando a geometria aguda da extremidade e, 
consequentemente, reduzindo a concentração de tensão efetiva nesta região. A trinca, então, 
aumenta levemente. Quando a tensão de tração diminui, ou se alterna para um valor nulo ou 
negativo (figura 2.18), ocorre o fechamento da trinca e, momentaneamente, o escoamento 
cessa, assumindo a extremidade da trinca, uma forma aguda novamente, sendo, porém, de 
maior extensão. Este processo permanece o tempo necessário para que a tensão local passe a 
oscilar de valores inferiores a valores superiores ao limite de escoamento, na extremidade da 
trinca. Portanto, o crescimento da trinca ocorre devido à tensão de tração, e sempre na direção 
normal à máxima tensão de tração aplicada. 
 A taxa de propagação da trinca é muito pequena, sendo de uma ordem de grandeza 
entre 10-8 e 10-4 in por ciclo, que corresponde às distâncias entre as ondulações. Esta taxa 
aumenta à medida que o número de ciclos aumenta. Não se devem confundir as ondulações 
NUCLEAÇÃO DA 
TRINCA 
MARCAS DE PRAIA 
REGIÃO DE 
RUPTURA 
ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO II 
 
44 
com marcas de praia. As ondulações são marcas microscópicas na superfie de fratura e 
mostram o quanto à trinca avança em um ciclo de carregamento. Já as marcas de praia são 
macroscópicas e se devem a variações na amplitude ou na freqüência do carregamento cíclico. 
Ao contrário das ondulações que estão sempre presentes nas peças que falham por fadiga, as 
marcas de praia não estão presentes nos corpos de provas que são ensaiados a uma rotação 
constante e sem variação na amplitude de carregamento. Entretanto, em peças que falham por 
fadiga, as marcas de praia “contam a história da peça”, pois registram na superfície da trinca 
as partidas e paradas da máquina e as sobrecargas devido a imprevistos durante a operação. 
 
 Fratura 
 A trinca continua a crescer, enquanto estiver presente a ação da tensão de tração 
alternada, e/ou se atuarem fatores agravantes, como um meio corrosivo, por exemplo. 
 Em algum ponto, as dimensões da trinca tornam-se suficientemente elevadas, de modo 
que o fator de intensidade de tensão K, associado à extremidade da trinca, possa atingir o 
limite de resistência à fratura do material (KC), desencadeando a falha repentina e instantânea 
no próximo ciclo de tensões. 
 Este efeito é semelhante ao descrito para carga estática, onde por crescimento da trinca 
ou por incremento da tensão nominal, a condição K = KC é atingida. O resultado é sempre o 
mesmo: fratura súbita e catastrófica, sem aviso. 
 
 2.3.3 Cargas Alternadas em Fadiga 
 Qualquer carregamento variável com o tempo pode causar fadiga. 
 O caráter destas cargas, porém, pode variar substancialmente. Em máquinas rotativas, 
tais cargas tendem a manter sua amplitude no tempo, repetindo-se segundo uma determinada 
freqüência. As funções típicas que descrevem a variação da tensão no tempo, para estas 
máquinas, podem ser modeladas como funções senoidais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.20 Tensões Variáveis no Tempo e as Principais Grandezas associadas. 
 
 
t t 
t 
alternada simétrica pulsante flutuante 
σ σ 
σ 
σmax σmax 
σmax 
σmin 
σmin 
σmin = 0 
σm 
σm 
σm= 0 σa 
σa 
σa 
∆σ 
∆σ 
∆σ 
ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO II 
 
45 
 A faixa de variação de tensões ∆σ é dada por: 
 
minmax σσ∆σ −= (2.34) 
 
 A componente alternada (ou variável da tensão) é: 
 
2
minmax σσσa
−
= (2.35) 
 
 A componente média, em torno da qual oscila a tensão: 
 
2
minmax σσσm
+
= (2.36) 
 
 Tem-se, ainda, a razão de tensões R e a razão de amplitudes A: 
 
max
min
σ
σR = e 
m
a
σ
σA = (2.37) 
 
 Para tensão alternada, tem-se R = -1 e A tende a infinito. 
 Se a tensão é pulsante, então R = 0 e A = 1. 
 Para tensão flutuante, R e A são positivos e .10 ≤≤ R 
 A presença da componente média da tensão σm pode influir de maneira significante na 
vida em fadiga de um componente. 
 
 2.3.4 Principais Diagramas 
 Curva S-N: relaciona o nível de tensão com o número de ciclos aplicado até a falha. O 
nível de tensão pode ser dado por Sf (resistência à fadiga) ou pela relação Sf / Sut, ou seja, entre 
a resistência à fadiga e a máxima resistência à tração. N representa o número de ciclos até a 
falha. 
 Por exemplo, para 105 ciclos, o limite de resistência à fadiga é de, aproximadamente, 
220 MPa . Note que a escala para a curva S-N é representada em coordenadas log-log. 
 
 Aço Se’ ≅ 0,5 Sut para Sut < 200 ksi (1400MPa) 
 Se’ ≅ 100 ksi (700MPa) para Sut ≥ 200 ksi (1400MPa) 
 
 Ferro Se’ ≅ 0,4 Sut para Sut < 60 ksi (400MPa) 
 Fundido Se’ ≅ 24 ksi (160MPa) para Sut ≥ 200 ksi (400MPa) 
 
ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO II 
 
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Figura 2.21 - Curva S-N para carga axial alternada e flexão alternada (eixos rotativos). 
 
 A resistência à fadiga diminui estacionária e linearmente com o aumento do número de 
ciclos, até atingir um ponto onde ocorre a formação de um cotovelo entre, aproximadamente, 
106 e 107 ciclos. Este ponto define o limite de resistência para o material, ou seja, o nível de 
tensão abaixo do qual o material pode ser submetido a um número infinito de ciclos, sem 
ocorrência de falha. Porém, nem todos os materiais apresentam este ponto nas curvas S-N. 
Para alguns, a curva S-N cai continuamente com o acréscimo do número de ciclos N. Para 
fadiga torcional, os pontos de falha, para flexão e torção alternadas, são plotados num gráfico, 
cujos eixos relacionam σ1 e σ3 (figura 2.22). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.22 - Pontos de falha por fadiga sobre o critério da energia de distorção para carga 
estática. 
N 
150 
200 
250 
300 
Sf [ ]MPa 
Axial Alternada 
Flexional Alternada 
104 105 106 107 
σ3 / Sn 
σ1 / Sn 
Torção Alternada 
Reversa 
Teoria da Energia 
de Distorção 
Flexão 
Reversa 
ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO II 
 
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 Nota-se a semelhança com a elipse da teoria de falha por energia de distorção, para 
carga estática. Portanto, a relação entre a resistência à fadiga torcional e a resistência à fadiga 
flexional mantém-se a mesma, tanto para carregamento cíclico, como para estático. A 
resistência à fadiga torcional (ou limite de fadiga torcional) para um material dúctil, será 58% 
da resistência à fadiga flexional (ou limite de fadiga flexional). 
 
ffs SS 577,0= (2.38) 
 
 A presença da componente média da tensão variável no tempo tem um efeito 
significativo sobre falhas em fadiga. Quando a componente média de tração é adicionada à 
componente alternada da tensão (figura 2.20 para tensões pulsante e flutuante), o material 
falha a níveis de tensões alternadas inferiores ao caso de tensão alternada simétrica. 
 A figura 2.23 representa os resultados de testes para aços, em aproximadamente 107 
ciclos, para vários níveis de combinação das componentes média e alternada da tensão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.23 - Efeito da Tensão Média sobre a Resistência à Fadiga, para um elevado número 
de ciclos. 
 
 Os eixos são normalizados, sendo que, para as ordenadas, tem-se a relação da 
componente alternada da tensão pela resistência