Falhas em elementos mecânicos

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Falhas em elementos mecânicos
Prof. Carlos Frederico de Matos Chagas
Descrição
Conceitos de tensão devido ao carregamento sobre um elemento mecânico, a relação entre o carregamento
externo atuante e a tensão gerada no material. Conceitos de falha em virtude de carregamento estático e
falha por fadiga devido a carregamento dinâmico.
Propósito
Apresentar a relação entre o carregamento externo e a tensão induzida no material, bem como a relação entre
a tensão e a deflexão correspondente, aplicando essas relações para o cálculo de tensões e deformações
devido aos diferentes carregamentos é fundamental para evitar falhas e acidentes.
Objetivos
Módulo 1
Análise de cargas e tensões
Reconhecer os tipos de carregamento e a relação com as tensões causadas no material.
Módulo 2
Tensão de�exão e rigidez do material
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Tensão, de�exão e rigidez do material
Identificar a relação entre a tensão, a deflexão correspondente e a rigidez do material.
Módulo 3
Carregamento estático, tensão e deformação
Aplicar as relações entre carregamento estático, tensão e deformação para análise de falha devido a
carregamento estático.
Módulo 4
Falha por fadiga em carregamento dinâmico
Aplicar a relação entre o carregamento dinâmico e as tensões induzidas no material para analisar a
ocorrência ou não de falha por fadiga devido ao carregamento dinâmico.
Introdução
Assista ao vídeo e identifique os principais conceitos que serão trabalhados ao longo deste material.

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1 - Análise de cargas e tensões
Ao �nal deste módulo, você será capaz de reconhecer os tipos de carregamento e a relação
com as tensões causadas no material.
Vamos começar!
Relação entre o carregamento externo e a tensão em um
elemento mecânico
Conheça melhor a relação existente entre o carregamento externo e a tensão em um elemento mecânico.

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Diferentes tipos de cargas
Análise de cargas e tensões
Todos os elementos de uma máquina ou sistema mecânico estão sujeitos a diferentes tipos de
carregamentos que podem estar atuando devido à transmissão de energia, torque ou de potência, por seu
próprio peso, por forças de atrito, inércia, forças centrífugas ou devido ao gradiente de temperatura. Esses
carregamentos externos, de acordo com a geometria do sistema, com o movimento realizado pelas peças e
pelo tipo de junção entre os elementos de máquinas poderão originar diferentes formas de tensão no
material:

Tensões normais
Tração ou compressão devido ao carregamento nessas direções ou devido à flexão.

Tensões de crisalhamento

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Essas tensões estão diretamente relacionadas aos esforços cortantes ou de torção.
Além disso, de acordo com o comportamento do carregamento ou como consequência do movimento do
sistema mecânico, o carregamento poderá ser estático ou dinâmico.
Carga estática
Este tipo de carga não muda em magnitude ou direção e aumenta gradualmente para um valor
estável, por exemplo, pelo próprio peso dos elementos da máquina.
Carga dinâmica
Muda em magnitude e/ou direção em relação ao tempo. Um exemplo é a carga atuando na biela de
um motor de combustão interna que varia conforme a posição do pistão e do tempo do motor.
As cargas de impacto (carga aplicada com certa velocidade) e as cargas de choque (carga aplicada
repentinamente) também são tipos de cargas dinâmicas, mas recebem essa denominação diferenciada
porque são aplicadas em elevadas taxas, ou seja, atingem rapidamente o valor máximo e descarregam o
material também rapidamente.
A determinação precisa das cargas atuando em um elemento de máquina é uma tarefa crítica e desafiadora.
Inicialmente, deve-se calcular adequadamente os carregamentos externos a que o elemento de máquina ou
peça estará submetido, pois todas as análises de tensões e deflexões, para serem satisfatórias, dependem do
cálculo adequado desses carregamentos.
Há casos em que as cargas sob as condições de operação são facilmente determináveis, como, por exemplo,
a carga em um eixo funcionando a uma velocidade conhecida e transmitindo um valor conhecido de torque.
No entanto, muitas vezes as cargas são difíceis de se determinar, como é o caso da carga sobre o chassi de
um veículo, que depende das condições da estrada e das práticas de direção. As cargas atuando em uma
peça ou elemento de máquina podem ser conhecidas diretamente ou podem demandar a realização de
cálculos usando conceitos básicos de engenharia mecânica.
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Exemplo de chassis de veículo.
Há casos em que é necessário utilizar métodos experimentais para se obter uma definição estatística da
carga. Além disso, as cargas de serviço podem ser estimadas com a ajuda de registro de falhas de serviço e
análise de resistência. Após a determinação ou estimativa da carga externa aplicada, as cargas que atuam
sobre os diferentes membros da máquina são determinadas com o auxílio de diagramas de corpo livre e
equações básicas de equilíbrio de forças e momentos.
Uma vez conhecidos os esforços aplicados sobre os elementos de máquinas ou peças, bem como o ponto de
aplicação, podemos calcular as tensões internas no material. Assim sendo, podemos concluir que as tensões
provocadas no material estão intimamente ligadas ao carregamento aplicado sobre ele. Além disso, de
acordo com o material do elemento de máquina e suas respectivas propriedades, poderemos determinar as
deflexões do material.
Análise de cargas
A fim de se iniciar o projeto da estrutura de um sistema mecânico é preciso determinar os carregamentos
atuando sobre cada elemento que o compõe, para, em seguida, calcular as tensões no material. Para isso,
conforme a mecânica clássica, é necessário entender as cargas aplicadas, os pontos de aplicação dos
esforços e as restrições aos movimentos impostas pelas juntas entre as peças do sistema.
Podemos simplificar bastante a análise de uma estrutura ou máquina muito
complexa isolando sucessivamente cada elemento e analisando-o pelo uso de
diagrama de corpo livre (DCL).
Após a análise de todas as peças dessa maneira, o conhecimento obtido sobre cada uma pode ser
superposto para produzir informações sobre o comportamento do sistema como um todo. Assim, o diagrama
de corpo livre é essencialmente um meio de dividir um problema complexo em problemas menores
segmentados e gerenciáveis.
Cada peça analisada configura um problema mais simples cuja solução servirá como entrada para outro
problema simples, de maneira que, ao final do procedimento, seja possível reunir todas as soluções, como se
estivéssemos remontando o sistema que foi dividido e juntando as informações obtidas.
O uso de diagramas de corpo livre para determinação de esforços ou carregamentos serve aos seguintes
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propósitos (BUDYNAS; NISBETT, 2015):
1. Inicialmente, no diagrama se estabelecem as direções dos eixos de referência (referencial), proporcionando
ainda um meio para esquematizar o sistema e suas peças, registrando as dimensões dos elementos e as
magnitudes e direções dos carregamentos conhecidos, além de auxiliar o projetista ou sua equipe a arbitrar
as direções e sentidos dosesforços desconhecidos.
2. O diagrama de corpo livre proporciona uma ferramenta de comunicação visual importante para a
sistematizaçãoda solução de problemas de projeto, sendo de grande valia para a organização do projetista
e para a comunicação clara inequívoca dos cálculos realizados para outros interessados no projeto.
3. A construção cuidadosa e completa do diagrama de corpo livre evidencia pontos que nem sempre são
aparentes na definição do problema ou na geometria do sistema como um todo. Assim, o diagrama ajuda a
compreender todas as faces do problema.
4. O diagrama de corpo livre, ao fornecer uma ferramenta de comunicação visual, auxilia na obtenção do
equacionamento do problema e, consequentemente, na sua solução.
5. O diagrama de corpo livre permite que outros sigam o raciocínio do projetista ou sua equipe, ilustrando
todos os esforços considerados, suas direções, sentidos e pontos de aplicação.
A seguir, ilustraremos a utilização de um diagrama de corpo livre para análise dos esforções sobre uma
estrutura. Considere o sistema da imagem seguinte:
Considere que o sistema apresentado foi projetado para suportar uma carga de 30kN. O sistema é composto
por uma lança AB com seção reta retangular de 30mm x 50mm e de uma barra com seção reta circular BC
com diâmetro de 20mm. A lança e a barra são conectadas por um pino em e são suportadas por pinos e
suportes em e , respectivamente.
Inicialmente, desenharemos um diagrama de corpo livre da estrutura, destacando-a de seus apoios em e 
, e substituindo os apoios pelos esforços que exercem sobre a estrutura (reações) conforme a figura a seguir.
B
A C
A C
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Observe que o esboço da estrutura foi simplificado omitindo todos os detalhes desnecessários. Vamos
prosseguir a análise, assumindo que as direções das reações em e são desconhecidas. Cada uma
dessas reações, portanto, será representada por suas componentes nas direções e componentes, e 
 em , e e em . Assim, considerando que a estrutura está em equilíbrio, teremos:
Rotacione a tela. 
Ainda resta determinar os valores de duas das quatro reações: e , o que não pode ser feito a partir da
última equação. Como temos duas incógnitas, precisamos de mais uma equação. Para determiná-la,
"desmontaremos" a estrutura, em outras palavras, vamos analisar a lança isoladamente. Substituindo as
forças nos pinos pelos respectivos esforços, o diagrama de corpo livre considerado é o seguinte:
Aplicando as equações de equilíbrio e fazendo o somatório dos momentos em torno de igual a zero:
Mas,
Portanto, as forças externas agindo sobre a lança AB e a barra BC podem ser determinadas pois conhecemos
A C
x y Ax
Ay A Cx Cy C
∑Mc = 0 → Ax ⋅ 0, 6 − 30.0, 8 = 0
 Ax = 40kN
∑Fx = 0 → Ax + Cx = 0
Cx = −Ax → Cx = −40kN
∑Fy = 0 → Ay + Cy − 30 = 0
Ay Cy
AB
B
∑MB = 0 → Ay ⋅ 0, 8 = 0 → Ay = 0
Ay + Cy − 30 = 0 → Cy = 30kN
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os carregamentos em , e .
 e , logo 
, assim 
 e , portanto 
Para a lança AB, a reação em induz a compressão da lança, pois tem a mesma intensidade, mas o sentido
oposto da componente horizontal da reação em , conforme a imagem.
Onde , ou seja, 
Já a reação em e a força de aplicada em , submetem a haste a um esforço de tração,
conforme ilustrado a seguir.
Onde , ou seja, .
Conhecendo as forças externas nas barras, podemos calcular a tensão resultante no material.
Análise de tensões
Tensão no material
Uma vez que podemos calcular os esforços sobre um sistema mecânico e suas peças ou elementos,
podemos calcular a tensão no material. Essa tensão é uma consequência direta do tipo de carregamento e
das restrições aos movimentos do sistema ou peça. A tensão pode ser normal, representada pela letra grega 
 ou tensão de cisalhamento (ou cisalhantes), representadas pela letra .
A B C
Ax = 40kN → Ay = 0 A = 50kN →
Bx = −40kN ← eBy = 30kN ↑ B = 50kN
Cx = −40kN ← Cy = 30kN ↑ C = 50kN
A
B
FAB = 40kN FAB = Ax = A
C 30kN B BC
FBC = 50kN FBC = C
σ τ
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Os dois tipos de tensão podem ocorrer isoladamente (tração ou compressão pura,
no caso da tensão normal, ou cisalhamento puro) ou de forma combinada, ou seja,
tensões normais e de cisalhamento atuando ao mesmo tempo.
As unidades de tensão mais comuns são libras por polegada quadrada (PSI), caso se utilize o sistema inglês.
Para unidades Sistema Internacional (SI), a unidade de medida das tensões é newtons por metro quadrado 
 ou diferentes tipos de tensão que podemos encontrar em um sistema ou estrutura. A seguir,
estudaremos os diferentes tipos de tensão que podemos encontrar em um sistema ou estrutura.
Tensão de tração
Tensão normal
Como já indicamos, a haste do exemplo analisado na seção anterior está sujeita à ação das forças força
 e agindo em suas extremidades e na direção a ao longo do eixo da haste, que, conforme já
dito, caracteriza que a haste está sendo tracionada por uma carga axial. Um exemplo real de elementos
estruturais sob carregamento axial são os elementos da treliça da ponte mostrada na imagem a seguir.
Ponte levadiça em Antuérpia, Bélgica.
Um elemento submetido a um carregamento axial pode estar sob tração (tendência de aumentar a dimensão
na direção do carregamento) ou sob compressão (tendência de reduzir a dimensão na direção do
carregamento), conforme observado na imagem seguinte.
O valor da tensão devido à tração e a tensão devido à compressão podem ser calculadas pela
(N/m2 Pa)
BC
FBC F
′
BC B C
(σt)
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expressão:
Rotacione a tela. 
Onde:
 - tensão tratativa ou compressiva, conforme o caso;
 - carregamento externo sobre o elemento;
 - área da seção reta do elemento (seção normal à direção do carregamento externo, daí o nome tensão
normal).
A tensão tratativa tem valor positivo e, a compressiva, valor negativo. Há ainda a tensão normal induzida pela
flexão de um elemento mecânico. Na imagem a seguir, um elemento mecânico é submetido a um momento
fletor que provoca a sua flexão.
Em tal condição, a porção do elemento acima do eixo neutro está submetida à compressão e, a porção
abaixo do eixo neutro, submetida à tração. O valor absoluto da tensão varia linearmente de 0, sobre o eixo
neutro, até o valor máximo a uma distância c do eixo neutro, conforme ilustrado a seguir:
O valor máximo da tensão devido à flexão pode ser calculado por meio da equação a seguir:
σ =
P
A
σ
P
A
M
σ = −
Mc
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Rotacione a tela. 
Onde:
 - tensão normal devido à flexão;
 - maior distância até o eixo neutro da seção reta;
 - momento de inércia de área da seção reta em relação ao eixo neutro.
Para compreendermos como calcular a tensão normal em diferentes condições de carregamento
apresentaremos alguns exemplos de cálculo na sequência. Primeiramente, considere a imagem a seguir. A
barra da imagem tem seção reta circular com diâmetro de 2,5cm.
Como a tensão normal nesse caso é calculada pela fórmula e , calculamos 
, onde .
Assim,
O segundo exemplo trata de uma barra com seção reta retangular e submetida à
flexão pura conforme a imagem seguinte:
No caso de tensão normal devido à flexão, , onde c é a distância do eixo neutro à extremidade
σ =
I
σ
c
I
σ =
P
A
P = 250 N
A =
πd2
4
d = 2, 5cm(0, 025m)
σ =
250
π(0,025)2
4
σ = 509, 3MPa
(b = 3, 5cm h = 4cm)
(M = 300 Nm)
σ = −
Mc
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No caso de tensão normal devido à flexão, , onde c é a distância do eixo neutro à extremidade
da barra. Nesse caso, como a seção reta é simétrica, , . Alémdisso, dado que o
elemento estrutural considerado tem seção reta retangular:
Rotacione a tela. 
Finalmente, vamos analisar o último exemplo, que é mais completo e complexo. É importante salientar que
calcularemos somente a tensão normal devido à flexão e não consideraremos outras tensões envolvidas. A
imagem a seguir ilustra a situação que analisaremos. A viga AB da figura tem seção reta circular com 2,5cm
de diâmetro.
Utilizaremos o diagrama de corpo livre (DCL) para determinar os esforços nos apoios. A próxima imagem
ilustra o DCL em questão.
Com base nas informações sobre o carregamento e a geometria da estrutura, temos:
σ
I
c =
h
2
, log c = 2cm
I =
bh3
12
= 5, 6 ⋅ 10−5m4
σ = −
300.0, 02
5, 6 ⋅ 10−5
′
σ = 107, 1MPa
∑MA = 0
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Rotacione a tela. 
Agora, construiremos um diagrama de momento fletores para a situação. Para isso, consideramos o apoio 
como referência e calculamos o momento fletor em função da distância da seção considerada em relação ao
ponto .
Ao analisarmos o diagrama de momento fletor, observamos que a seção em que o momento possui o maior
valor absoluto é a seção central da viga. Como a seção reta da viga é circular com diâmetro de ,
dado que , e :
Tensão tangencial
Tensão de cisalhamento
Quando forças transversais V e V’ são aplicadas a um elemento estrutural AB, como na figura a seguir, ao
contrário do que ocorre com a tensão normal (quando há tendência de alteração do comprimento do
elemento sob carregamento), ocorre, em vez disso, a tendência de distorcer o elemento. Passando uma
seção em entre os pontos de aplicação das duas forças (b), obtemos o diagrama da porção AC mostrada
na figura em c. Logo, a resultante das forças internas na face da seção em deve ser igual a V.
∑
 5 ⋅ R2 − 2, 5 ⋅ 100 = 0
R2 = 50 N
∑Fy = 0
R1 + R2 − 100 = 0
R1 + 50 − 100 = 0
R1 = 50 N
A
A
d 2, 5cm
σ = −
Mc
I
I =
πd4
64
c = 1, 25cm
σ = 81, 5MPa
C
C
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Essas forças internas elementares são chamadas de tensão de cisalhamento ou cisalhantes e são
representadas pela letra . Dividindo o esforço cortante pela área da seção transversal, obtemos o valor
médio da tensão cisalhante.
Rotacione a tela. 
Deve-se ressaltar que o valor obtido por essa equação é um valor médio da tensão de cisalhamento em toda
a seção. Ao contrário das tensões normais, a distribuição da tensão de cisalhamento ao longo da seção não
pode ser considerada uniforme. O valor real da tensão de cisalhamento varia de zero na superfície externa do
elemento até um valor máximo , que pode ser muito maior do que o valor médio .
Cisalhamento transversal devido à �exão
Quando uma viga, eixo ou barra sofre um carregamento transversal, além do momento fletor, há uma força
cortante que causa uma tensão de cisalhamento no elemento estrutural. A imagem seguinte, baseada na que
foi utilizada no último exemplo que estudamos sobre a tensão normal em um elemento sob flexão, mostra o
diagrama de esforço cortante para aquele tipo de carregamento.
Carregamento
τ V A
τav =
V
A
τmax τav 
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Diagrama de esforço cortante
O cisalhamento devido a um carregamento transversal ou cortante não é fácil de se visualizar. Considere uma
viga em balanço composta por três pranchas de madeira. Se não estiverem unidas por algum meio, a
aplicação de uma carga na extremidade livre das pranchas fará com que se dobrem (flexionem) e deslizem
uma sobre a outra, conforme mostrado na imagem a seguir. Se, ao invés disso, as pranchas forem coladas,
por exemplo, a cola impedirá que as pranchas deslizem em relação às outras. Essa resistência ao
deslizamento, ou resistência a forças paralelas à superfície da viga, gera uma tensão de cisalhamento no
material.
Considere o carregamento representado na imagem a seguir:
A fórmula para cálculo da tensão cisalhante (ou de cisalhamento), simbolizada pela letra grega τ gerada por
um esforço cortante (carregamento transversal) V é a seguinte:
Rotacione a tela. 
τ =
VQ
Ib
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Onde:
 - tensão de cisalhamento;
 - esforço cortante;
 - primeiro momento de área ou momento estático;
 - primeiro momento de inércia de área;
 - espessura da viga.
Cisalhamento devido à torção
Torque é um momento que tende a torcer um elemento em torno de seu eixo longitudinal. Se a aplicação
desse torque gera uma torção pequena, ou seja, o ângulo de rotação resultante da aplicação desse torque é
reduzido, o comprimento do elemento e as dimensões de sua seção reta permanecem inalterados. Observe a
imagem seguinte:
Se fizermos o mesmo tipo de análise que fizemos quando apresentamos o conceito de cisalhamento, temos
a condição da imagem seguinte:
O conjunto das tensões de cisalhamento internas resulta em um torque interno, igual e oposto ao torque
aplicado. A tensão de cisalhamento máxima é calculada pela expressão:
Rotacione a tela. 
τ
V
Q
I
b
τmax =
T ⋅ r
J
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Onde:
 – torque aplicado sobre o elemento;
 – raio da seção reta;
 – momento polar de inércia da seção reta.
Na continuação, apresentaremos alguns exemplos para esclarecer os cálculos da tensão cisalhante em
diferentes condições de carregamentos. Inicialmente, retornaremos a uma viga sob flexão, conforme as
condições em seguida:
A viga AB da figura tem seção reta circular com 2,5cm de diâmetro. Inicialmente, utilizamos o DCL a seguir
para cálculo das reações nos apoios:
Com base nas informações sobre o carregamento e a geometria da estrutura, temos:
Rotacione a tela. 
T
r
J
∑MA = 0
5 ⋅ R2 − 2, 5 ⋅ 100 = 0
R2 = 50 N
∑Fy = 0
R1 + R2 − 100 = 0
R1 + 50 − 100 = 0
R1 = 50 N
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Agora, construiremos um diagrama de esforço cortante:
O maior valor do esforço cortante ocorre no centro da viga (valor absoluto ). Assim, a tensão de
cisalhamento máxima será:
Mas,
Logo,
Cabe ressaltar que o valor máximo da tensão cisalhante é bem inferior ao valor máximo da tensão normal
devido à flexão anteriormente calculado e . Finalmente,
analisaremos o caso de um eixo submetido à torção, conforme a seguinte imagem:
O torque aplicado é kN.m e o diâmetro do eixo é de . Nessas condições, a tensão de
cisalhamento máxima será:
Rotacione a tela. 
= 100 N
τmax =
100Q
Ib
I =
π0, 0254
64
 e Q =
π0, 0258
8
τmax = 1, 3MPa
(τmax = 1, 3MPa σmax = 81, 5MPa)
T = 10 10cm
τmax =
Tr
J
=
10000 ⋅ 0, 05
π0,14
32
τmax = 51MPa
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Vem que eu te explico!
Os vídeos a seguir abordam os assuntos mais relevantes do conteúdo que você acabou de estudar.
Módulo 1 - Vem que eu te explico!
Diagrama de corpo livre
Módulo 1 - Vem que eu te explico!
Diagrama de esforço cortante e diagrama de momento �etor


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
Vamos praticar alguns conceitos?
Falta pouco para atingir seus
objetivos.
Questão 1
Assinale a alternativa com o valor correto da tensão normal devido à flexão na situação ilustrada na
imagem.
A σ = 32kPa
B σ = 133, 3kPa
C σ = 32MPa
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D σ = 133, 3MPa
E σ = 320kPa
Responder
Questão 2
A tensão de cisalhamento máxima atuandosobre um eixo submetido a um torque de 25kN.m e com a
seção reta circular de diâmetro interno de 2,5cm e diâmetro externo de 7,5cm é de:
A τmax = 244, 5MPa
B τmax = 2, 3MPa
C τmax = 2, 5MPa
20GP
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2 - Tensão, de�exão e rigidez do material
Ao �nal deste módulo, você será capaz de identi�car a relação entre a tensão, a de�exão
correspondente e a rigidez do material.
Vamos começar!
D τmax = 20GPa
E τmax = 80, 5MPa
Responder


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A relação entre rigidez e deformação
Assista ao vídeo a seguir e compreenda melhor a relação existente entre rigidez e deformação.
Tensão X deformação
Rigidez e deformação
Todos os elementos mecânicos reais se deformam plástica ou elasticamente, quando submetidos a um
carregamento. Um corpo pode ser considerado rígido se é suficientemente insensível ao carregamento, ou
seja, quando carregado, apresenta uma deformação que pode ser desprezada.

Exemplo
Um cabo de aço é flexível, mas, quando tracionado, pode ser considerado rígido. Por outro lado, o
mesmo cabo de aço submetido à compressão, distorce enormemente. Logo, o mesmo elemento
mecânico pode ser considerado rígido ou não rígido (flexível) dependendo das condições de

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A análise de deflexão sofrida por um elemento mecânico deve ser considerada no projeto de várias maneiras.
Por exemplo, em uma transmissão, as engrenagens devem ser apoiadas por um eixo rígido. Se o eixo se
flexiona demais, ou seja, se o eixo for muito flexível, os dentes não se encaixarão corretamente, o que
resultará em impacto excessivo, alto ruído, desgaste acelerado e falha prematura (BUDYNAS; NISBETT, 2015).
Às vezes, os elementos mecânicos devem ser projetados para terem uma característica particular de força-
deformação. Por exemplo, o sistema de suspensão de um automóvel deve ser projetado dentro de certos
limites, a fim de garantir que as frequências de vibração alcançadas para todas as condições de
carregamento do veículo sejam confortáveis para os passageiros e motorista, pois o corpo humano se sente
confortável apenas dentro de uma faixa limitada de frequências (BUDYNAS; NISBETT, 2015).
Exemplo de suspensão de um automóvel.
Ao projetar um elemento mecânico de um sistema, muitas vezes a deflexão sofrida por esse elemento nas
condições de carregamento pode ser o fator limitador em lugar do nível de tensão no elemento. O diagrama a
seguir representa um gráfico tensão x deformação de um material dúctil submetido a ensaio de tração.
Na região elástica, a equação que relaciona a tensão e a deformação é a seguinte:
Rotacione a tela. 
carregamento impostas (BUDYNAS; NISBETT, 2015).
σ ε
σ = Eε,
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Onde, é o módulo de elasticidade ou módulo de Young do material. Neste módulo, estudaremos a
deformação dos corpos devido à sua geometria (forma) e ao carregamento a que o elemento está
submetido.
Coe�ciente de elasticidade
A elasticidade é a propriedade de um material que permite que ele recupere sua configuração original após
ter sido deformado. Uma mola é um elemento mecânico que exerce uma força quando deformado. A imagem
a seguir mostra uma viga reta de comprimento simplesmente apoiada nas extremidades e carregada pela
força transversal . A deflexão está linearmente relacionada com a força , desde que o limite elástico do
material não seja ultrapassado, conforme indicado pelo gráfico na imagem, caracterizando uma mola linear.
Na próxima imagem, uma viga reta é apoiada em dois cilindros de modo que o comprimento entre os apoios
diminui à medida que a viga é defletida pela força , devido à mudança do ponto de apoio sobre o cilindro
em função da deformação da viga. Quanto menor o comprimento entre apoios de uma viga, maior será a
força necessária para provocar o mesmo deslocamento .
Portanto, quanto maior a deformação da viga, menor a distância entre os apoios e maior a força requerida
para deformá-la, caracterizando uma viga que se torna mais rígida conforme é deformada. Além disso, a
força não está linearmente relacionada à deflexão e, portanto, essa viga pode ser descrita como uma mola
que se torna mais rígida de forma não linear.
A imagem seguinte é uma vista lateral de uma calota circular. A força necessária para achatar a calota
aumenta no início e depois diminui à medida que a calota se aproxima de uma configuração plana, conforme
mostrado pelo gráfico. Qualquer elemento mecânico com essa característica se torna mais macio (menos
rígido) de forma não linear.
E
l
F y F
F
y
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Se designarmos que a força exercida sobre um elemento mecânico elástico é função do deslocamento
causado pela força, de outra forma:
Rotacione a tela. 
O coeficiente de elasticidade ou coeficiente elástico é dado por (BUDYNAS; NISBETT, 2015):
Rotacione a tela. 
Onde:
 – deslocamento;
 – Força que causa o deslocamento.
Importante salientar que deve ser medido na direção de e a partir do ponto de aplicação de . Além
disso, a equação tem um caráter geral e pode ser igualmente aplicada para torques e momentos (entrando
em lugar de ) e os respectivos deslocamentos angulares (em lugar de ). Para problemas em que a relação
entre o carregamento e o deslocamento é linear, é denominado constante de mola ou constante de
elasticidade e pode ser obtido por (BUDYNAS; NISBETT, 2015):
Rotacione a tela. 
As unidades mais comuns da constante de elasticidade são libra por polegada ou newtons por metro e,
para deslocamentos angulares, libra-polegada por radiano ou newton-metro por radiano.
F = F(y)
k = lim
Δy→0
ΔF
Δy
=
dF
dy
y
F
y F F
F y
k
k =
F
y
k
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A seguir, estudaremos a relação entre o carregamento aplicado sobre um elemento mecânico, suas
propriedades mecânicas e geometria e o deslocamento resultante.
Elemento axialmente carregado
Para um elemento axialmente carregado, isto é, sob tração ou compressão, podemos relacionar tensão no
material , com seu módulo de Young (módulo de elasticidade ) e a deformação pela equação:
Rotacione a tela. 
Mas a deformação é a razão entre a variação do comprimento do elemento do elemento cuja área da
seção reta é e seu comprimento inicial (l). Assim:
Rotacione a tela. 
Importante notar que é o deslocamento provocado pelo carregamento, isto é, equivale à deflexão . Além
disso:
Rotacione a tela. 
Assim:
Rotacione a tela. 
Se, como vimos, 
Elemento sob torção
Para um elemento sob torção, a equação que relaciona o torque ou o momento aplicado , o módulo de
(σ) E (ε)
σ = Eε
(Δl)
A
σ = E
Δl
l
Δl y
σ =
F
A
F
A
= E
Δl
l
k = F/y = F/Δl′
(T )
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torção ou cisalhamento , o comprimento do elemento mecânico , seu momento polar de inércia e
o deslocamento angular resultante é a seguinte:
Rotacione a tela. 
Assim, fazendo a razão entre o carregamento e o deslocamento , temos:
Rotacione a tela. 
De�exão de materiais carregados
Cálculo das de�exões
O cálculo das deflexões pode ser feito de maneira direta para elementos mecânicos elasticamente
carregados, ou seja, que não tenham sofrido deformação plástica, e considerando que o material apresente
relação entre tensão e deformação linear, tal como em , como veremos para o caso de
vigas axialmente carregadas (tração oucompressão puras) ou submetidas a torques ou momentos que
provoquem torção (cisalhamento puro).
Para vigas sob flexão, o cálculo da deflexão é um pouco mais complexo e envolve algumas etapas, desde a
determinação da função que representa o esforço cortante, seguida pela função que representa o momento
fletor, a inclinação da viga e, finalmente, a deflexão, em um processo que se inicia com o desenho do
diagrama de corpo livre, passando pela determinação das reações nos apoios e alguns passos de integração
para determinação das funções mencionadas segundo as condições de contorno.
Finalmente, estudaremos casos mais complexos de carregamento onde utilizaremos o método da
superposição (de maneira simples, soma dos efeitos) para a determinação das deflexões. Convém ressaltar
que existem outros métodos, como o das funções de singularidade, ou o método de energia ou de
Castigliano, que não serão aprofundados aqui, mas podem ser encontrados na bibliografia sobre o assunto.
Elemento sob tração ou compressão
Para elementos mecânicos sob tensão axial, o cálculo da deformação e da deflexão pode ser realizado por
meio da equação:
(G) (l) (J)
(θ)
θ =
Tl
GJ
k T θ
T
θ
= k =
GJ
l
σ ε(Δl/1) σ = Eε
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Rotacione a tela. 
Assim:
Rotacione a tela. 
Onde:
 – carregamento axial;
 – comprimento da viga;
 – módulo de elasticidade;
 – área da seção reta da viga.
Elemento sob torção
Como visto para a determinação do coeficiente de elasticidade , tal que , para um elemento sob
torção, o deslocamento angular resultante pode ser calculado pela equação a seguir:
Rotacione a tela. 
Onde:
 – torque ou o momento aplicado;
 – comprimento do elemento mecânico;
 – módulo de torção ou cisalhamento;
 – momento polar de inércia.
Elemento sob �exão
Estudaremos agora o caso de elementos mecânicos submetidos à flexão. A flexão de um elemento mecânico
F
A
= E
Δl
l
y = Δl =
Fl
EA
F
l
E
A
(k T = kθ)
θ
θ =
Tl
GJ
T
l
G
J
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ocorre quando ele é submetido a um carregamento transversal, como o carregamento uniformemente
distribuído na imagem seguinte:
O diagrama de corpo livre correspondente a esse carregamento é o apresentado na imagem a seguir:
Note que pela simetria do problema as reações em cada um dos apoios e devem ser iguais e,
somadas, devem possuir o mesmo valor da força resultante da aplicação da carga distribuída:
Rotacione a tela. 
Logo:
Rotacione a tela. 
Neste ponto é importante recordarmos algumas equações relativas à flexão. Inicialmente, a equação que
fornece o raio de curvatura de uma viga submetida a um momento é:
(R1 R2)
(F)
R1 + R2 = F
F = wl e R1 = R2
R1 = R2 =
wl
2
(ρ) M
1
=
M
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Rotacione a tela. 
Onde:
 – módulo de elasticidade do material da viga;
 – momento de inércia da viga.
Da definição matemática de curvatura e considerando que a deformação da viga é pequena, obtemosa
equação:
Rotacione a tela. 
Consequentemente:
Rotacione a tela. 
Onde:
 – carregamento transversal (esforço cortante);
 – carregamento transversal distribuído.
A partir dessas equações e com base no carregamento uniformemente distribuído , o diagrama de esforço
cortante (DEC) e o diagrama de momento fletor (DMF) são os ilustrados a seguir:
ρ EI
E
I
M
EI
=
d2y
dx2
V
EI
=
d3y
d3
q
EI
=
d4y
dx4
V
q
w
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Os diagramas de inclinação da viga e de deflexão são, respectivamente, os seguintes:
A nomenclatura e as convenções são ilustradas nas imagens. O eixo é positivo para a direita e o eixo 
positivo para cima. Todas as quantidades – carregamento, cisalhamento, momento, inclinação e deflexão –
têm o mesmo sinal que ; eles são positivos para cima e negativos para baixo.
As reações e e os carregamentos transversais em e são respectivamente 
 e . O momento fletor em e são nulos porque a viga é
simplesmente apoiada. Para uma viga simplesmente apoiada, as deflexões também são nulas em cada
extremidade (BUDYNAS e NISBETT, 2015).
Podemos calcular a deflexão no centro da viga, isto é, para o problema proposto, a maior deflexão
provocada pelo carregamento. Utilizando a equação:
(θ = dy/dx) (y)
x y
y
R1 R2 = 7, 5kN x = 0 x = l
V0 = 7, 5kN V1 = −7, 5kN x = 0 x = l
y
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Rotacione a tela. 
Para o carregamento em questão:
Rotacione a tela. 
Então:
Rotacione a tela. 
Ao analisarmos a imagem a seguir, observamos que a viga é simplesmente apoiada em e , isto
é, o deslocamento da viga é nulo nessas posições.
Assim sendo, para 
E, para 
d2y
dx2
=
M
EI
M = R1x −
wx2
2
=
wl
2
x −
wx2
2
EI
dy
dx
= ∫ Mdx,
EI
dy
dx
= ∫ (
wl
2
x −
wx2
2
)dx =
wl
4
x2 −
wx3
6
+ C1
EIy = ∫ (
wl
4
x2 −
wx3
6
+ C1)dx
EIy =
wl
12
x3 −
wx4
24
+ C1x + C2
x = 0 x = l
y = 0 x = 0
 EIy  = C2,C2 = 0
y = 0 x = l
EIy =
wl4
−
wl4
+ C1l
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Pela simetria do problema, esperamos que as inclinações nas extremidades sejam idênticas, porém, com
sinais opostos:
Rotacione a tela. 
Para .
Rotacione a tela. 
Para .
Rotacione a tela. 
Ainda pela simetria do problema, observa-se que a deflexão máxima ocorre para l/2. Assim:
Rotacione a tela. 
Esse valor pode ser calculado caso conheçamos o material e a geometria da viga, visto que os valores de e
 já são conhecidos. É importante destacar que para muitos casos de carregamento os livros de resistência
EIy
12 24
+ C1l
0 =
wl4
24
+ C1l
C1 = −
wl3
24
dy
dx x=0
= −
dy
dx x=1∣ ∣x = 0 dydx = − wl324EIx = l dydx = 1EI ( wl34 − wl36 − wl324 )dydx = wl324EI x =ymax = 1EI [ wl12 ( l2 )3 − w24 ( l2 )4 − wl448 ]ymax = − 5wl384EI
w
l
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dos materiais apresentam tabelas com as fórmulas para os cálculos do momento fletor, esforço cortante,
deflexão e inclinação da viga. Confira a seguir alguns exemplos de carregamentos e condições de contorno,
bem como suas respectivas equações:
Carregamento e condição de contorno.
Carregamento e condição de contorno.
R1 = R2 = F/2
 V AB = R1eVBC = −R2
MAB = Fx/2eMBC =
F
2
(l − x)
yAB =
Fx
48EI
(4x2 − 3l2)
ymax = −
Fl3
48EI
R1 =
Fb
l
;R2 =
Fa
l
VAB = R1eVBC = −R2
MAB =
Fbx
l
eMBC =
Fa
l
(l − x)
yAB =
Fbx
6EIl
(x2 + b2 − l2)
yBC =
Fa(l − x)
6EIl
(x2 + a2 − 2 lx)
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Carregamento e condição de contorno.
Carregamento e condição de contorno.
Carregamento e condição de contorno.
R1 =
11 F
16
;R2 =
5 F
16
;M1 =
3Fl
16
 V AB = R1eVBC = −R2
MAB =
F
16
(11x − 3l)eMBC =
5 F
16
(l − x)
yAB =
Fx
96EI
(11x − 9l)
yBC =
F(l − x)
96EI
(5x2 + 2l2 − 1 − 10x)
R1 = R2 =
wl
2
V =
wl
2
− wx
M =
wx
2
(l − x)
y =
wx
24EI
(2l2 − x3 − l3)
ymax = −
5wl4
384EI
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Carregamento e condição de contorno.
Carregamento e condição de contorno.
R1 =
Fb
2l3
(3l2 − b2);R2 =
Fa2
2l3
(3l − a)
M1 =
Fb
2l2
(l2 − b2)
VAB = R1eVBC = −R2
MAB =
Fb
2l3
[b2l − l3 + x (3l2 − b2)]eMBC =
Fa2
2l3
(3l2 − 3lx − al + ax)
yAB =
Fbx2
12EIl3
[3l (b2 − l2) + x (3l2 − b2)]
yBC = yAB −
F(x − a)3
6EI
R1 =
5wl
8
;R2 =
3wl
8
;M1 =
wl2
8
 V =
5wl
8
− wxM = −
w
8
(4x2 − 5 lx + l2)
y =
wx
48EI
(l − x)(2x − 3l)
R1 =
Fa
;R2 =
F
(l + a)
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De�exão por superposição
A deflexão resultante de carregamento combinado em uma estrutura pode ser calculada utilizando-se a
superposição. Nesse método, o efeito de cada carga é calculado como se aquele carregamento atuasse
isoladamente. O efeito combinado será, então, a soma dos efeitos de cada carregamento. O método da
superposição pode ser aplicado desde que as seguintes condições sejam atendidas (BUDYNAS; NISBETT,
2015):
Condição I
A primeira condição para a aplicação da superposição é que cada deslocamento seja linearmente
relacionado à carga que a produz.
Condição II
O segundo ponto é que o carregamento não cria uma condição que afeta o resultado da aplicação
do outro carregamento.
Condição III
As deformações resultantes de qualquer carga específica não são grandes o suficiente para alterar
as relações geométricas do sistema estrutural.
Utilizaremos um exemplo da aplicação do método da superposição para melhor compreendê-lo. Confira a
R1
l
;R2
l
(l + a)
VAB = R1 e VBC = F
MAB = −
Fax
l
;MBC = F(x − l − a)
yAB =
Fax
6EIl
(l2 − x2)
yBC =
F(x − l)
6EI
[(x − l)2 − a(3x − l)]
yc = −
Fa2
3EI
(l + a)
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seguir.
Exemplo
Considere a viga carregada simultaneamente com o carregamento uniformemente e com uma força
concentrada como mostrado na figura a seguir. Usando o método da superposição, determine as reações nos
apoios e a deflexão da viga em função de (BUDYNAS; NISBETT, 2015).
Inicialmente, consideraremos apenas o carregamento distribuído .
Da tabela:
Rotacione a tela. 
Para a carga concentrada .
x
w
R1 = R2 =
wl
2
y =
wx
24EI
(2 lx2 − x3 − l3)
F
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Da tabela:
Rotacione a tela. 
Pelo método da superposição, somamos os efeitos dos carregamentos:
Rotacione a tela. 
Os métodos de integração e da superposição fornecem mecanismos eficazes para determinar a inclinação e
a deflexão em qualquer ponto de uma viga prismática, desde que o momento fletor possa ser
representado por uma única função analítica. No entanto, quando devido à presença de diversos
carregamentos ao longo de um elemento mecânico várias funções são necessárias para representar 
sobre o comprimento da viga, esse método pode se tornar bastante trabalhoso, uma vez que requer a
compatibilização de inclinações e deflexões correspondentes em cada ponto de aplicação de carga ou de
mudança de geometria.
O uso de funções de singularidade simplifica consideravelmente a determinação das
inclinações e deflexões em qualquer ponto do elemento.
Confira a seguir as funções de singularidade mais utilizadas e os respectivos carregamentos que representa.
R1 =
Fb
l
;R2 =
Fa
l
yAB =
Fbx
6EEIl
(x2 + b2 − l2)eyBC =
Fa(1 − x)
6EIl
(x2 + a2 − 2lx)
R1 =
Fb
l
+
wl
2
R2 =
Fa
l
+
wl
2
yAB =
Fbx
6EIl
(x2 + b2 − l2) +
wx
24EI
(2 lxx2 − x3 − l3)
yBC =
Fa(l − x)
6EIl
(x2 + a2 − 2 lx) +
wx
24EI
(2 lx2 − x3 − l3)
M
M
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Momento concentrado
Força concentrada
⟨x − a⟩−2 = 0 x ≠ a
⟨x − a⟩−2 = ±∞ x = a
∫ ⟨x − a⟩−2dx = ⟨x − a⟩−1
⟨x − a⟩−1 = 0 x ≠ a
⟨x − a⟩−1 = +∞ x = a
∫ ⟨x − a⟩−1dx = ⟨x − a⟩0
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Carga uniformemente distribuída
Carga distribuída linearmente variável
Podemos resolver o problema que solucionamos por suposição utilizando as funções de singularidade como
ilustração. A situação analisada é a da imagem a seguir:
Considerando o diagrama de corpo livre, o carregamento pode ser representado pela função:
Rotacione a tela. 
⟨x − a⟩0 = {
∫ ⟨x − a⟩0dx = ⟨x − a⟩1
0 x < a
1 x ≥ a
⟨x − a⟩1 = {
∫ ⟨x − a⟩1dx =
⟨x − a⟩2
2
0 x < a
x − a x ≥ a
q = R1 < x >
−1 −w < x >0 −F < x − a >−1 +R2 < x − l >
−1
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Então, a função que representa o esforço cortante será dada por:
Rotacione a tela. 
Para o momento fletor, teremos:
Rotacione a tela. 
Integrando mais duas vezes para a inclinação e deflexão:
Rotacione a tela. 
 e podem ser determinados utilizando as condições de contorno em e em 
que resulta em:
Rotacione a tela. 
Assim:
Rotacione a tela. 
Observamos que quando usamos funções de singularidade para representar o carregamento, aquelas com
V = ∫ qdx = R1 < x >0 −w < x >1 −F < x − a >0 +R2 < x − l >0
M = ∫ V dx = R1 < x >1 −w
< x >2
2
− F < x − a >1 +R2 < x − 1 >
1
EI
dy
dx
= ∫ Mdx = R1
⟨x⟩2
2
− w
⟨x⟩3
6
− F
⟨x − a⟩2
2
+ C1
EIy = R1
⟨x⟩3
6
− w
⟨x⟩4
24
− F
⟨x − a⟩3
6
+ C1x + C2
C1 C1 (y = 0 x = 0 x = 1), 0
C1 = F
< l − a >3
6
= F
b3
6l
,  já que l − a = b;C2 = 0
 EIy  = R1
x3
6
− w
x4
24
− F
⟨x − a >3
6
+ F
b3
6l
x
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expoente maior ou igual a zero começando em podem ser substituídas por funções polinomiais
normais. Além disso, uma vez que as reações são determinadas, funções de singularidade representando
reações na extremidade direita do feixe podem ser omitidas da função de carregamento (BUDYNAS; NISBETT,
2015).
Outra observação que devemos ressaltar é que o termo que multiplica a deflexão é chamado de rigidez
estrutural, em uma analogia com a constante elástica ou rigidez de uma mola. Portanto, quanto maior o
produto , maior a rigidez de um elemento mecânico. A rigidez de uma estrutura pode ser alterada por
meio do material ou por meio da geometria .
Vem que eu te explico!
Os vídeos a seguir abordam os assuntos mais relevantes do conteúdo que você acabou de estudar.
Módulo 2 - Vem que eu te explico!
Relação deformação e módulo de elasticidade
Módulo 2 - Vem que eu te explico!
De�exão por superposição
x = 0
EI y
EI
(E) (I)

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
Vamos praticar alguns conceitos?
Falta pouco para atingir seus
objetivos.
Questão 1
Uma barra prismática de aço de de comprimento é tracionada axialmente. Se a área da seção
reta é de e o módulo de elasticidade do aço 207GPa $$, considerando
as afirmativas abaixo, assinale a alternativa correta
I. O módulo de elasticidade ou rigidez equivalente da viga é .
II. A tensão de tração, a forma da peça ou o elemento de máquina não limitam as opções de materiais a
serem selecionados.
III. A deflexão da viga sob o carregamento considerado é de .
1, 5m
12, 50cm2,F = 15kN E =
k = 1, 7kN/mm
0, 09mm
A Somente I está correta.
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B Somente II está correta.
C Somente III está correta.
D I e II estão corretas.
E I e III estão corretas.
Responder
Questão 2
Considerando que uma viga de aço com seção reta quadrada de lado 12cm é submetida ao
carregamento combinado apresentado na imagem abaixo, sua deflexão máxima é de:
A 4mm
B 1,7mm
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3 - Carregamento estático, tensão e deformação
Ao �nal deste módulo, você será capaz de aplicar as relações entre carregamento estático,
C 2,3mm
D 4cm
E 2,3cm
Responder

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p p ç g
tensão e deformação para análise de falhadevido a carregamento estático.
Vamos começar!
Falhas resultantes de carregamento estático
Assista ao vídeo e compreenda melhor as falhas resultantes de carregamento estático.
Por que as peças falham?
Falhas em elementos mecânicos
Por que as peças falham? Inicialmente e de maneira superficial, responderíamos que “peças falham porque
as tensões desenvolvidas sob as condições de carregamento excederam sua resistência”. Essa resposta não
está errada, mas não esgota completamente a questão. A fim de aperfeiçoar e particularizar a explicação
devemos ainda responder as seguintes perguntas:
Que tipo de tensão causa a falha? Tração? Compressão? Cisalhamento?

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Q p ç p
A partir de então temos que analisar mais profundamente a questão, pois a resposta dependerá do material,
da sua resistência à compressão, à tração e ao cisalhamento. Além disso, o tipo de carregamento (estático
ou dinâmico, axial ou transversal), as condições de contorno (apoio simples, rótula, engastamento) e a
presença ou não de trincas no material devem ser considerados para uma análise completa.
Em geral, materiais dúcteis e isotrópicos submetidos a carregamentos estáticos falham devido às tensões de
cisalhamento, enquanto materiais frágeis são limitados pela tensão normal (embora existam exceções a essa
regra quando materiais dúcteis se comportam como frágeis). Essa situação requer que tenhamos diferentes
teorias de falha para as duas classes de materiais. Sendo assim, é importante diferenciar objetivamente os
materiais dúcteis dos frágeis.
Materiais dúcteis
Aqueles cujo percentual de elongação até a ruptura seja > 5%. A maioria dos metais dúcteis tem
elongação até a ruptura > 10%.
Materiais frágeis
Aqueles materiais cuja ruptura ocorre em valores iguais ou inferiores a 5% de elongação são
considerados materiais frágeis.
Entretanto, como podemos definir falha sob o ponto de vista do projeto mecânico? De maneira clara,
podemos considerar que há falha de uma peça se ela sofre ruptura. Além disso, caso um elemento mecânico
apresente deformações e distorções suficientemente grandes para impedir o funcionamento adequado do
sistema, também consideramos que houve falha. Materiais dúcteis apresentam deformação significativa
antes de romperem.
Por sua vez, os materiais frágeis rompem sem que haja deformação significativa, isto é, rompem com a sua
forma relativamente conservada. O tipo de carregamento – estático ou dinâmico – é outro importante fator
para análise da falha e determina a utilização de diferentes critérios. Logo, assim como diferenciamos os
materiais dúcteis dos frágeis, devemos fazê-lo para carregamento estático ou dinâmico.


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Os mecanismos de falha são totalmente diferentes em cada caso. Por exemplo, para carregamento dinâmico,
materiais dúcteis e frágeis apresentam comportamento similar, e os materiais dúcteis falham de maneira
“frágil”. Neste módulo apresentaremos os diferentes critérios de falha para materiais dúcteis e frágeis sob
carregamento estático.
Falhas e deformação plástica
Falha estática em materiais dúcteis
Uma carga estática é uma força, torque ou momento aplicado a um elemento mecânico sem que haja
mudança em sua intensidade, ponto ou pontos de aplicação, direção e sentido. Logo, para ser considerada
estática, a carga não pode mudar de nenhuma maneira. Como consequência da aplicação de um
carregamento estático o material pode responder produzindo tensão axial – tração ou compressão –, tensão
de cisalhamento, tensão de flexão, ou qualquer combinação dessas tensões.
Normalmente, considera-se como a resistência desses materiais o limite de escoamento, ou seja, o maior
valor de tensão a que um material pode ser submetido sem sofrer deformação plástica. Nos materiais
dúcteis o limite de resistência ao escoamento , na maioria das vezes, é o mesmo em tração e em
compressão .
As teorias geralmente aceitas para critério de falha de materiais dúcteis são as seguintes:
Máxima tensão de cisalhamento (MSS);
Energia de distorção (DE);
Coulomb-Mohr para materiais dúcteis (DCM).
Critério da máxima tensão de cisalhamento
O critério da máxima tensão de cisalhamento (MSS), também conhecido como critério de Tresca, afirma que
qualquer componente mecânico sujeito a uma carga ou a uma combinação de cargas falhará sempre que a
tensão de cisalhamento máxima exceder a resistência de cisalhamento do material (isto é, a tensão de
Atenção!
Em linhas gerais, cargas estáticas são aplicadas lentamente e permanecem essencialmente
constantes no tempo. Cargas dinâmicas podem ser tanto aplicadas subitamente (carga de impacto)
como variadas repetidamente ao longo do tempo (carga de fadiga), ou podem ser aplicadas
simultaneamente.
(σy) (σyt)
(σyc)
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cisalhamento no momento do escoamento na amostra padrão de ensaio de tração). A imagem seguinte
mostra o Círculo de Mohr para um estado de tensão triaxial com e como tensões principais tais
que .
As três tensões de cisalhamento principais são dadas por:
Rotacione a tela. 
Observando a imagem e considerando que , fica evidente que a maior tensão de
cisalhamento é . Assim:
Rotacione a tela. 
Considerando um ensaio de tração, e , resultando em:
Rotacione a tela. 
Além disso, o escoamento no ensaio de tração começa quando a tensão de tração é igual ao limite de
escoamento do material . Portanto, a tensão de cisalhamento máxima no momento do escoamento no
ensaio de tração é:
Rotacione a tela. 
σ1,σ2 σ3
σ1 ≥ σ2 ≥ σ3
τ12 =
σ1 − σ2
2
; τ13 =
σ1 − σ3
2
; τ23 =
σ2 − σ3
2
σ1 ≥ σ2 ≥ σ3
τ13
τ13 = τmax =
σ1 − σ3
2
σ1 = σx σ2 = σ3 = 0
τmax =
σ1
2
(σ1)
(Sy)
τmax =
Sy
2
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
Assim, a equação de projeto baseada na teoria da tensão de cisalhamento máxima, para um fator de projeto 
 pode ser escrita como:
Rotacione a tela. 
Observe que, para estado plano de tensão, e . A representação gráfica da teoria
da máxima tensão de cisalhamento, fornecendo o envelope de falha para o estado plano de tensão 
, é mostrada a seguir:
De acordo com essa teoria, para o estado de tensão plana, o escoamento começa quando .
Mas no primeiro e terceiro quadrantes do gráfico e são da mesma natureza (tensões
tratativas no primeiro quadrante e compressivas no terceiro). Nesses quadrantes, o escoamento pode
começar quando atinge qualquer das tensões ou atinge o limite de escoamento, .
Portanto, no primeiro e no terceiro quadrantes, a área de segurança é limitada pelas linhas e 
 No segundo e quarto quadrantes, a área é limitada por linhas, que representam a condição em
que a tensão de cisalhamento máxima atinge a resistência ao cisalhamento do material , ou seja, 
 .
Essa teoria serve para a previsão de falhas de materiais dúcteis, mas é um pouco conservadora como
veremos mais à frente.
Falha e energia
Critério da energia de distorção
A teoria da energia de distorção prevê que o escoamento ocorre quando a energia de distorção por unidade
nd
τmax =
Sy
2 ⋅ nd
;σ1 − σ3 =
Sy
2 ⋅ nd
σ3 = 0 τmax =
σ1 − σ2
2
(σ3 = 0)
σ1 − σ2 = Sy
(σ1 × σ2),σ1 σ2
(σ1) (σ2) Sy
σ1 = ±Sy
σ2 = ±Sy.
(SSy)
τmax = SSy = Sy/2
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de volume atinge ou excede a energia de distorção por unidade de volume para escoamento do material sob
tração ou compressão simples. A teoria da energia de distorção (DE) originou-se da observação de que
materiais dúcteis submetidos a estados de tensão hidrostáticos apresentaram
escoamento para valores detensão muito acima dos valores dados do previsto no ensaio de tração simples.
A partir dessa observação, postulou-se que o escoamento não é um fenômeno
simples de tração ou compressão, mas que, na verdade, está de alguma forma
relacionado à distorção angular do material sob carregamento.
Para desenvolver a teoria, observaremos um elemento de volume unitário submetido a qualquer estado de
tensão tridimensional designado pelas tensões e (figura a). Esse estado pode ser representado
como o resultado da soma de dois componentes: um componente hidrostático (figura b), que causa
variações apenas no volume do elemento, mas sem alterar sua forma; e um componente de distorção (figura
c) que contribui para alterar os ângulos do elemento, resultando em sua distorção com mudança de forma.
A tensão média é assim calculada:
Rotacione a tela. 
Considerando que a energia de deformação por unidade de volume para o estado de tensão triaxial é dada
por:
Rotacione a tela. 
Que também pode ser escrita como:
(σ1 = σ2 = σ3)
σ1,σ2 σ3
σav =
σ1 + σ2 + σ3
3
u =
1
2
(ε1σ1 − ε2σ2 − ε3σ3)
1
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Rotacione a tela. 
A energia de deformação provocada pela componente hidrostática da tensão pode ser calculada
usando:
Rotacione a tela. 
Se considerarmos que a energia de deformação (u) é o resultado da soma da componente hidrostática 
com a componente de energia de distorção , teremos para a energia de distorção:
Rotacione a tela. 
Observe que a energia de distorção é nula quando . Para o ensaio de tração simples, no
escoamento, e , a energia de distorção é:
Rotacione a tela. 
Portanto, para o estado de tensão triaxial, por analogia, o escoamento ocorrerá se:
Rotacione a tela. 
Se tivéssemos um caso de tração simples, o escoamento ocorreria quando . Por isso, o termo à
esquerda pode ser considerado como uma tensão equivalente correspondente ao estado triaxial de tensão.
Essa tensão equivalente é conhecida como tensão de Von Mises , onde:
u =
1
2E
(σ21 + σ
2
2 + σ
2
3 − 2v (σ1σ2 + σ1σ3 + σ2σ3)
(uav)
uav =
3σ2av
2E
(1 − 2v)
(uav)
(ud)
ud = u − uav =
1 + v
3E
[
(σ1 − σ2)
2 + (σ1 − σ3)
2 + (σ2 − σ3)
2
2
]
σ1 = σ2 = σ3
σ1 = Sy σ2 = σ3 = 0
ud =
1 + v
3E
S 2y
[ (σ1 − σ2)
2 + (σ1 − σ3)
2 + (σ2 − σ3)
2
2
]
1/2
≥ Sy
σ ≥ Sy
(σ′)
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Rotacione a tela. 
Caso, em lugar das tensões principais, conheçamos as componentes , e das tensões, podemos usar:
Rotacione a tela. 
Finalmente, se considerarmos um caso de cisalhamento puro onde apenas a tensão cisalhante ,
temos:
Rotacione a tela. 
Para que haja escoamento,
Rotacione a tela. 
Ou seja,
Rotacione a tela. 
Esse resultado mostra que o critério da máxima tensão de cisalhamento é mais conservativo que o critério da
energia de distorção, já que, para o primeiro critério, , enquanto, para o segundo, 
. Em outras palavras, o projetista aceita um nível de tensão maior no material ao utilizar o
critério da energia de distorção quando comparado ao nível de tensão que aceitaria se utilizasse o critério de
σ′ = [
(σ1 − σ2)
2 + (σ1 − σ3)
2 + (σ2 − σ3)
2
2
]
1/2
x y z
σ′ =
1
√2
[(σx − σy)2 + (σx − σz)2 + (σy − σz)2 + 6 (τ 2xy + τ 2zx + τ 2yz)]
1/2
τxy ≠ 0
σ′ = √3τxy
σ′ ≥ Sy
τmax =
Sy
√3
= 0, 577Sy
τmax = 0, 5 Sy
τmax = 0, 577 Sy
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Tresca para um mesmo material.
O exemplo a seguir (BUDYNAS; NISBETT, 2015) ajudará na compreensão da utilização dos critérios de falhas.
Exemplo
Um aço laminado a quente tem um limite de escoamento de e apresenta deformação real
na fratura de . Estimar o fator de segurança para os seguintes estados de estresse principais:
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
Como , o material é dúctil e podemos aplicar as teorias da energia de distorção (DE) e da máxima
tensão de cisalhamento (MSS). Utilizaremos as duas abordagens para comparação. Observe que os casos 1
e 4 retratam estados planos de tensão. Veja adiante o desdobramento dos casos expostos, respectivamente,
na lista anterior.
Caso 1
Uma vez que não há tensão de cisalhamento, as tensões normais são iguais às tensões principais. As
tensões principais são e . Utilizando inicialmente
o critério DE:
Rotacione a tela. 
O fator segurança é:
Rotacione a tela. 
Utilizando o critério MSS:
Sy = 700MPa
εf = 0, 55
σx = 500MPa,σy = 500MPa, τxy = 0
σx = 420MPa,σy = 280MPa, τxy = −105MPa
σx = 0MPa,σy = 280MPa, τxy = 315MPa
σx = −280MPa,σy = −420MPa, τxy = 105MPa
σ1 = 150MPa,σ2 = 150MPa,σ3 = 150MPa
εf > 0, 05
σ1 = σx = 500MPa,σ2 = σy = 500MPa σ3 = 0
σ′ = √
(500 − 0)2 + (500 − 500)2 + (500 − 0)2
2
= 500
ns =
Sy
σ′
=
700
500
= 1, 4
σ1 − σ3 500 − 0 250
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Rotacione a tela. 
Nesse caso, ambos os critérios apresentam o mesmo nível de segurança.
Caso 2
Pelo critério DE:
Rotacione a tela. 
Pelo critério MSS, utilizando o círculo de Mohr para cálculo das tensões principais:
Rotacione a tela. 
Como 
E o fator de segurança será:
Rotacione a tela. 
Caso 3
τmax =
1 3
2
=
2
= 250
 Ssy =
Sy
2
=
700
2
= 350
ns =
Ssy
τmax
=
350
250
= 1, 4
σ′ =
1
√2
[(420 − 280)2 + (420 − 0)2 + (280 − 0)2 + 6 (−1052)]1/2 = 412, 64
ns =
Sy
σ′
=
700
412, 64
= 1, 70
σ1;σ2 =
σx + σy
2
±√(
σx − σy
2
)
2
+ τ 2xy = 476, 19; 223, 81
σ3 = 0
τmax =
476, 19 − 0
2
= 238, 10
ns =
Ssy
τmax
=
350
238, 10
= 1, 47
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Pelo critério DE:
Rotacione a tela. 
Pelo critério MSS, como uma das tensões, no caso , pelo círculo de Mohr obtemos:
Rotacione a tela. 
O fator de segurança será:
Rotacione a tela. 
Caso 4
Pelo método DE:
Rotacione a tela. 
E o fator de segurança será:
Rotacione a tela. 
σ′ =
1
√2
[(0 − 280)2 + (280 − 0)2 + 6 (−3152)]1/2 = 613, 25
ns =
Sy
σ′
=
700
613, 25
= 1, 14
σx = 0
τmax =√(
σx − σy
2
)
2
+ τ 2xy = 344, 71
ns =
Ssy
τmax
=
350
344, 71
= 1, 01
σ′ = 412, 64
ns =
Sy
σ′
=
700
412, 64
= 1, 70
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Pelo critério MSS, inicialmente obtemos as tensões principais:
Rotacione a tela. 
E o fator de segurança será:
Rotacione a tela. 
Caso 5
Pelo critério DE:
Rotacione a tela. 
Para esse caso:
Rotacione a tela. 
Para o critério MSS:
Rotacione a tela. 
σ2;σ3 =
σx + σy
2
±√(
σx − σy
2
)
2
+ τ 2
xy
= −223, 91; −476, 19
τmax =
0 − (−476, 19)
2
= 238, 10
ns =
Ssy
τmax
=
350
238, 10
= 1, 47
σ′ = [
(σ1 − σ2)
2 + (σ1 − σ3)
2 + (σ2 − σ3)
2
2
]
1/2
= 0
ns =
Sy
σ′
=
700
0
→ ∞
τmax =
150 − (150)
2
= 0
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
Assim, também para esse critério, . Uma vez que a teoria MSS coincide ou está dentro dos limites
da teoria DE, ela sempre prevê um fator de segurança igual ou menor que a teoria DE. Para cada caso, exceto
o caso 5 que não retrata um estado plano de tensões, as linhas de carga são mostradas na imagem a seguir.
Observe que o caso 1 é o único em que as duas teorias concordam, dando assim o mesmo fator de
segurança.
Para melhor compreensão da imagem: caso 1 (a), caso 2 (b), caso 3 (c), caso 4 (d), caso 5 (e).
O que são materiais frágeis?
Materiais frágeis são aqueles cuja deformação na fratura não supera . Esses materiais não
apresentam escoamento, em outras palavras, apresentam pouca ou nenhuma deformação plástica na
ruptura. Devido a essa característica, o critério de falha desses materiais está ligado ao limite de resistênciaà
tração ou o limite de resistência à compressão , dependendo do carregamento.
As teorias mais aceitas para análise de falha de materiais frágeis (critérios de falha) são:
Máxima tensão normal máxima (MNS);
Coulomb-Mohr para materiais frágeis (CMB);
Mohr modificado (MM).
Máxima tensão normal (MNS)
Pela teoria da máxima tensão normal (MNS), a falha ocorre sempre que uma das três tensões principais
igualam ou excedem o limite de resistência à tração ou o limite de resistência à compressão .
Assim como procedemos para os materiais dúcteis, organizamos as tensões principais para um estado de
tensão triaxial em ordem decrescente . Essa teoria então prevê que a falha ocorre sempre
que ou , pois (tensão compressiva).
As equações do critério de falha podem ser escritas como equações de projeto:
ns → ∞
5%(ε ≤ 0, 05)
(Sut) (Suc)
(Sut) (Sut)
(σ1 ≥ σ2 ≥ σ3)
σ1 ≥ Sut σ3 ≤ Suc Suc < 0
σ1 =
sut ou σ3 =
suc
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Rotacione a tela. 
A teoria da máxima tensão normal não é adequada para previsão de falhas no quarto quadrante e 
.
Coulomb-Mohr para materiais frágeis
O critério de Mohr estabelece um envelope de segurança baseado no limite de resistência à tração, no limite
de resistência à compressão e no limite de resistência ao cisalhamento obtidos experimentalmente para um
dado material, considerando que o material apresenta limite de resistência à tração e à compressão
diferentes.
Portanto, esse critério pode ser usado para materiais dúcteis que possuam resistência ao escoamento sob
tração diferente da resistência ao escoamento sob compressão ( . O envelope está mostrado na
imagem a seguir:
Uma variação da teoria de Mohr, chamada de teoria de Coulomb-Mohr ou teoria do atrito interno, assume que
o limite BCD da figura é uma linha reta (tangente comum externa aos círculos representando compressão
pura e tração pura). Com isso, apenas as resistências à tração e à compressão são necessárias
para o equacionamento.
As equações da teoria de Coulomb-Mohr são as equações de projeto para estado plano de tensões a seguir:
Rotacione a tela. 
Mohr modi�cada
σ1
nd
ou σ3
nd
(σ1 > 0
σ2 < 0)
Syt ≠ Syc)
(Sut) (Suc)
σ1 =
Sut
nd
, σ1 ≥ σ2 ≥ 0
σ1
 Sut
+
σ2
 Suc
=
1
nd
, σ1 ≥ 0 ≥ σ2
σ2 =
Suc
nd
, 0 ≥ σ1 ≥ σ2
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Mohr modi�cada
As equações do critério de Mohr modificado para análise de falhas, também na forma de equações de projeto
considerando estado plano de tensões são:
Rotacione a tela. 
O exemplo a seguir (BUDYNAS; NISBETT, 2015) nos ajudará a compreender a utilização dos critérios.
Exemplo
Consideremos que o material utilizado na estrutura da imagem é um ferro fundido cujos limites de resistência
à tração e à compressão são respectivamente e . Determine a força 
utilizando (a) o critério de Coulomb-Mohr; (b) O critério de Mohr modificado.
Assumimos que a alavanca DC é suficientemente robusta e não faz parte do problema. O elemento em A no
topo da superfície será submetido a uma tensão de flexão de tração e uma tensão de torção. Esse local, na
região de 1 polegada de diâmetro, é o local mais sensível ao carregamento e limita o valor da força. A tensão
normal e a tensão de cisalhamento em são dadas por (considerando os fatores de concentração
de tensão ):
Rotacione a tela. 
σ1 =
Sut
nd
, σ1 ≥ σ2 ≥ 0  ou  σ1 ≥ 0 ≥ σ2  e 
σ2
σ1
≤ 1
−
(Sut + Suc)σ1
 SutSuc
+
σ2
 Suc
=
1
nd
, σ1 ≥ 0 ≥ σ2  e 
σ2
σ1
> 1
σ2 =
Suc
nd
0 ≥ σ1 ≥ σ2 ∣ ∣∣ ∣Sut  = 31kpsi Suc = −109kpsi Fσx (τxy) A= 1
σx =
Mc
I
=
12 F ⋅ 0, 5
π⋅14
64
= 142, 6 F
τxy =
Tr
J
=
15 F ⋅ 0, 5
π⋅14
32
= 76, 4 F
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Calculamos as tensões principais:
Rotacione a tela. 
Expressão A
Considerando que , usaremos a equação considerando 
Rotacione a tela. 
Expressão B
Pelo critério de Mohr modificado, com e 
Rotacione a tela. 
Observamos que a força admissível para o critério de Coulomb-Mohr é menor do que a prevista para o critério
de Mohr modificado, o que era esperado, pois o primeiro critério é mais conservativo que o segundo.
Vem que eu te explico!
Os vídeos a seguir abordam os assuntos mais relevantes do conteúdo que você acabou de estudar.
σ1;σ2 =
σx + σy
2
±√(
σx − σy
2
)
2
+ τ 2xy = 175, 8 F ; −33, 2 F
σ1 ≥ 0 ≥ σ2 nd = 1
σ1
Sut
+
σ2
 Suc
=
1
nd
175, 8 F
31000
+
−33, 2 F
−109000
= 1
 F = 167, 3lbf
σ1 ≥ 0 ≥ σ2
σ2
σ1
=
33, 2
175, 8
< 1∣ ∣σ1 = Sutnd → 175, 8 F = 31000 F = 176, 3lbf
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Módulo 3 - Vem que eu te explico!
Materiais dúcteis
Módulo 3 - Vem que eu te explico!
Materiais frágeis

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Vamos praticar alguns conceitos?
Falta pouco para atingir seus
objetivos.
Questão 1
Uma barra de aço laminado a quente possui resistência ao escoamento sob tração e compressão iguais
a . Assinale a alternativa que apresenta os fatores de segurança corretos segundo os critérios
da máxima tensão de cisalhamento e da energia de distorção, respectivamente, para o carregamento a
seguir:
 
350MPa
σx = 84MPa;σy = 28MPaτxy = 7MPa
A MSS: ns = 8, 2;DE : ns = 4, 6
B MSS: ns = 4, 6;DE : ns = 9, 2
C MSS: DE: ns = 4, 1; ns = 2, 3
D MSS: ns = 4, 1;DE : ns = 4, 6
E MSS: ns = 8, 2;DE : ns = 9, 2
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Responder
Questão 2
Um ferro fundido ASTM possui resistência ao escoamento sob tração e 
. Assinale a alternativa que apresenta os fatores de segurança para o critério da
máxima tensão normal (MNS) e de Mohr modificado (MM), respectivamente, para o carregamento 
.
Syt = 210MPa
Syc = 700MPa
σx = 140MPa;σy = 42MPa
A MNS: MM: ns = 1, 2; ns = 1, 5
B MNS: MM: ns = 2, 1; ns = 1, 1
C MNS: MM: ns = 8, 3; ns = 2, 1
D MNS: MM: ns = 3, 0; ns = 1, 1
E MNS: MM: ns = 1, 5; ns = 1, 5
Responder

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4 - Falha por fadiga em carregamento dinâmico
Ao �nal deste módulo, você será capaz de aplicar a relação entre o carregamento dinâmico e
as tensões induzidas no material para analisar a ocorrência ou não de falha por fadiga devido
ao carregamento dinâmico.
Vamos começar!
Carregamento dinâmico e a falha por fadiga
Assista ao vídeo e compreenda melhor os conceitos que estão relacionados ao carregamento dinâmico e à
falha por fadiga.

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Fadiga
Carregamento dinâmico e a falha por fadiga
A carga que muda de magnitude, direção ou sentido em relação ao tempo é conhecida como carga
dinâmica. A carga cíclica e a carga devido a um impacto são tipos de cargas dinâmicas. Para vários sistemas
mecânicos, particularmente os que possuem peças em movimento, pode haver um ou mais elementos da
máquina sujeitos a cargas cíclicas, resultando em tensões variáveis que flutuam entre diferentes valores de
acordo com a variação do carregamento.
Os elementos de máquinas sujeitos a tensões cíclicas ou flutuantes frequentemente falham sob um valor
máximo de tensão induzida muito abaixo do limite de escoamento ou de resistência à tração ou
compressão . Tal falha verificada em materiais sujeitos a carregamentos dinâmicos é conhecida como
falha por fadiga, uma vez que ocorre após um mgrande número de ciclos de tensão.
Ao contrário da falha estática, uma falha por fadiga não dá nenhum aviso! Ela é repentina
e total, portanto,muito perigosa.
Uma falha por fadiga tem uma aparência semelhante a uma fratura frágil. As superfícies são planas e
Exemplo
Um elemento na superfície de um eixo rotativo e sujeito a carga de flexão sofre tanto tração como
compressão para cada rotação do eixo.

(Sy) (Sut)
(Suc)
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perpendiculares ao eixo de tensão com a ausência de empescoçamento (deformação plástica). O processo
que leva a uma falha por fadiga, no entanto, é bastante diferente daquele da fratura frágil estática e resulta de
três estágios de desenvolvimento, que podem ser vistos detalhadamente a seguir.
Estágio I
O estágio I é o início de uma ou mais microtrincas devido à deformação plástica cíclica, que é seguida da
propagação segundo o plano cristalográfico até encontrar o contorno de grão, por onde que se estende por
dois a cinco grãos. As trincas do estágio I geralmente não são detectáveis a olho nu.
Estágio II
No estágio II, a trinca progride, passando do tamanho micro para o macro e formando superfícies de fratura
em forma de platô, paralelas e separadas por sulcos. Esses platôs costumam ser lisos e normais à direção da
máxima tensão de tração. Essas superfícies podem ser onduladas com bandas escuras e claras
denominadas marcas de praia, conforme as observadas na imagem a seguir.
Marcas de praia.
Durante o carregamento cíclico, essas trincas abrem e fecham conforme a variação do carregamento. O
aspecto das marcas da praia depende de como o carregamento varia em magnitude ou frequência além da
natureza corrosiva do ambiente.
Estágio III
O estágio III ocorre durante o ciclo de tensão final, quando o material que ainda não foi atingido pela trinca
não pode suportar os esforços, resultando numa fratura súbita e rápida. Essa fratura de fase III pode ser frágil
ou dúctil, ou, até mesmo, uma combinação de ambos os modos. Frequentemente, quando as marcas de praia
estão presentes, os padrões das marcas da fase III apontam para a das trincas iniciais. A imagem a seguir
traz representações de superfícies de falha por fadiga sob diferentes condições de carga e níveis de
concentração de tensão.
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A falha por fadiga é devida à formação e propagação de trincas. Uma trinca por fadiga se inicia, geralmente,
em uma descontinuidade no material onde a tensão cíclica é máxima. Essas descontinuidades podem ter
diferentes origens:
mudanças rápidas na secção transversal, rasgos de chaveta, orifícios de lubrificação etc. onde ocorrem
concentrações de tensão;
elementos que rolam e/ou deslizam uns contra os outros (rolamentos, engrenagens etc.) sob alta pressão
de contato;
locais de marcação de peças, marcas de ferramentas, arranhões e rebarbas; projeto inadequado de juntas;
montagem incorreta; e outras falhas de fabricação;
processamento do material (laminação, forjamento, fundição, extrusão, estampagem, tratamento térmico)
que pode gerar descontinuidades, tais como inclusões de material, segregação de elementos de liga, vazios,
precipitação de partículas endurecidas e descontinuidades cristalinas.
Uma vez iniciada uma trinca, sua propagação pode ser acelerada por tensões residuais, temperaturas
elevadas, ciclo de temperatura, ambiente corrosivo, e pela frequência.
Movimentos cíclicos e projetos
Análise e projeto considerando a falha por fadiga
Tal como fizemos para o estudo e projeto considerando a falha estática, tentaremos apresentar critérios para
análise e projeto de sistemas sob carregamento dinâmico que podem falhar devido a fadiga.
Curva de fadiga (Curva S-N) e limite de fadiga
As propriedades de fadiga dos materiais são obtidas com a ajuda do teste padrão de eixo rotativo, no qual
uma amostra de seção circular altamente polida é submetida a cargas cíclicas. A amostra é sujeita a um
momento de flexão constante e gira em torno de seu eixo a uma velocidade muito elevada. Em consequência,
pontos do corpo de provas fora do eixo neutro sofrem repetidas inversões de tensão (tração e compressão).
O gráfico tensão-vida para um aço UNS G41 300 normalizado com limite de resistência à tração de 810MPa é
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apresentado na imagem seguinte:
O teste é repetido para diversas amostras, sujeitando-as a diferentes valores de tensão. O número de ciclos
(um ciclo corresponde a uma volta completa do eixo, isto é, um ponto do material fora do eixo neutro será
submetido a um ciclo de tração e compressão) que o corpo de provas resiste antes da fratura é chamado
vida em fadiga do material. O primeiro teste é realizado submetendo a amostra a uma tensão ligeiramente
abaixo da resistência à tração do material, e os testes subsequentes são realizados com níveis de tensão
menores.
A ordenada da curva é denominada resistência à fadiga , e pode ser definida como a tensão
máxima que o material pode suportar para um número específico de ciclos (inversões de tensão). Para os
metais ferrosos e suas ligas, a curva S-N torna-se horizontal após a ciclos, o que significa que o
material pode resistir a um número infinito de ciclos se a tensão induzida for inferior a esse nível.
A tensão correspondente a essa linha horizontal é chamada limite de fadiga.
O limite de fadiga pode ser definido como a amplitude máxima de tensão completamente invertida
que o espécime padrão pode suportar durante um número ilimitado de ciclos sem falha por fadiga. estudo
da fadiga em que a falha ocorre antes de 1000 ciclos chama-se fadiga de baixo ciclo. Já a fadiga de alto ciclo
diz respeito à falha que ocorre após os 1000 ciclos.
Na ausência de dados experimentais de fadiga sobre um material, podemos utilizar as seguintes relações:
Para aços, 
Para ferro fundido, 
Fatores modi�cadores do limite de resistência à fadiga
O corpo de provas utilizado nos testes para a determinação da resistência à fadiga é preparado
cuidadosamente e testado em condições controladas. O limite de resistência de qualquer elemento de
máquina pode não corresponder exatamente aos valores obtidos nos testes devido à variação do material,
qualidade da fabricação, condições ambientais e geometria. Portanto, o limite de resistência obtido
experimentalmente deve ser modificado utilizando alguns fatores (fatores de Marin) para obter resultados
S − N (Sf)
106 107
(S ′e)
O
S ′e = 0, 5Sut
S ′e = 0, 4Sut
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mais próximos da realidade.
O limite de resistência de uma determinada peça pode então ser estimado utilizando a seguinte relação:
Rotacione a tela. 
Onde:
 - limite de resistência à fadiga obtido experimentalmente;
 - fator de acabamento superficial;
 - fator de tamanho;
 - fator de carga;
 - fator de temperatura;
 - fator de confiabilidade; e
 - fatores diversos.
Fator de acabamento super�cial ( 
A superfície do corpo de provas do teste tensão-vida é altamente polida, mas a maioria dos elementos de
máquinas não tem o mesmo acabamento superficial, demandando uma modificação no limite de resistência
obtido experimentalmente. O fator de acabamento superficial depende do processo de fabricação utilizado e
da resistência à tração do material . O seu valor pode ser obtido por meio da fórmula a seguir
(BUDYNAS; NISBETT, 2015):
Rotacione a tela. 
Onde, a e b podem ser obtidos na tabela seguinte:
Acabamento superficial Coeficiente  (Para Sut em Mpa)
Coeficiente
b
Se = kakbkckdkekfS ′e
S ′e
ka
kb
kc
kd
ke
kf
ka)
(Sut )
ka = aSbut
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Acabamento superficial Coeficiente  (Para Sut em Mpa)
Coeficiente
b
Retificado 1,58 -0,085
Usinado