APOSTILA LPA 2017

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Prof. Vinícius Costa 
Prof. Matheus Cascardo 
Linguagem de Programação Aplicada 
APOSTILA DE MATLAB 2017 
Com Aplicações em Engenharia 
 
 
 MATLAB com Aplicações em Engenharia  Apostila 
Prof. Vinícius Costa 1 Prof. Matheus Cascardo 
 
Sumário 
1.1 Iniciação do Ambiente MATLAB®..................................................................................... 2 
1.2 Operações Aritméticas com Escalares ................................................................................. 3 
1.2.1 Ordem de Precedência ................................................................................................ 3 
1.2.2 Formato de Exibição dos Dados Numéricos ............................................................. 4 
1.2.3 Funções Matemáticas Elementares Nativas do MATLAB® .................................... 4 
1.3 Declarando Variáveis Escalares ........................................................................................... 6 
1.3.1 Operador de Atribuição .............................................................................................. 6 
1.3.2 Regras quanto ao Uso de Nomes de Variáveis .......................................................... 8 
1.3.3 Variáveis Predefinidas e Palavras-chave .................................................................. 8 
1.4 Comando Úteis no Manuseio de Variáveis .......................................................................... 9 
1.5 Script Files ............................................................................................................................ 9 
1.5.1 Informações sobre os Scripts Files ............................................................................. 9 
1.6 Exercícios Propostos .......................................................................................................... 10 
2 Criando Arranjos ................................................................................................................... 15 
2.1 Criando um Arranjo Unidimensional (Vetor) .................................................................... 15 
2.2 Exercícios Propostos .......................................................................................................... 19 
2.2 Exercícios Propostos .......................................................................................................... 20 
3 Operações Matemáticas com Arranjos .................................................................................. 21 
3.1 Adição e Subtração ............................................................................................................. 21 
3.2 Multiplicação de arranjos ................................................................................................... 23 
3.3 Divisão de Arranjos ............................................................................................................ 26 
3.4 Operações escalares envolvendo elementos de matrizes (operações elemento por 
elemento) .................................................................................................................................. 30 
3.5 Usando Arranjos em Funções Nativas do MATLAB ........................................................ 32 
3.6 Funções Nativas para avaliação de arranjos ....................................................................... 33 
3.7 Exercícios Propostos .......................................................................................................... 35 
 
 
 
 
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1.1 Iniciação do Ambiente MATLAB® 
O ambiente MATLAB® é composto por quatro janelas principais: 
 
 Tabela 1-1 Janelas do MATLAB® 
Janela Propósito 
Command Window Janela principal, inicialização de variáveis e 
execução de programas. 
Figure Window Apresenta o(s) resultado(s) do(s) comando(s) 
gráficos. 
Editor Window Permite a edição e a depuração de programas 
(script files) e funções. 
Help Window Ajuda na utilização do programa. 
Command History 
Window 
Apresenta o histórico dos comandos mais 
recentes digitados na janela do Command 
Window. 
Workspace Window Disponibiliza as informações sobre as variáveis 
que estão em uso. 
Current Folder Window Exibe os arquivos presentes no diretório ou 
pasta atual. 
 
Observações: 
 Para digitar um comando, o cursor deve estar posicionado junto ao prompt de 
comando (>>). 
 Uma vez digitado o comando e pressionado a tecla Enter, o comando é executado. 
Contudo, somente o último comando é executado. Qualquer comando digitado 
anteriormente (que pode inclusive estar presente na tela) torna-se inacessível (a 
menos que seja reescrito novamente). 
 Muitos comandos podem ser digitados na mesma linha. Isto pode ser feito separando-
os por vírgulas. Quando a tecla Enter é pressionada, os comandos são executados na 
ordem em que foram digitados, sucessivamente da esquerda para a direita. 
 Não é possível retornar à última linha exibida, fazer uma correção (edição) e, então, 
executar o comando novamente, produzindo um resultado na mesma linha. 
 Um comando anteriormente digitado pode ser chamado utilizando-se as teclas de 
navegação () e (). Assim que o comando desejado for exibido no prompt de 
comando, é possível modifica-lo (se necessário) e, então, executá-lo. 
 Se um comando for grande demais para uma linha, basta digita reticências (...) e 
pressionar a tecla Enter para continuar na próxima linha. 
 
 
 
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Dicas: 
 Ponto e vírgula (;): se um comando é executado e a tecla ponto e vírgula (;) é 
pressionada, o resultado é ocultado. 
 Porcentagem (%): esse símbolo representa um comentário e o MATLAB® não executa 
aquela linha (ou naquele trecho) que está após o símbolo de porcentagem (%). 
 Comando clc: limpa os últimos resultados e comandos exibidos na tela Command 
Window. Uma vez executado esse comando, uma janela em branco é exibida. Este 
comando não altera o que foi exibido anteriormente. 
 A janela Command History: lista os comandos que foram digitados no Command 
Window. Isto inclui os comandos das sessões anteriores. Um comando presente na 
tela do Command History pode ser executado novamente, bastante copiá-lo e 
colá-lo. A lista de comandos podem ser apagadas clicando na opção Delete Selection. 
 
 
1.2 Operações Aritméticas com Escalares 
Os números podem ser usados diretamente em cálculos aritméticos (como em uma 
calculadora) ou podem ser atribuídos a variáveis a serem utilizadas em cálculos subsequentes. 
Os símbolos de operações aritméticas são: 
 
 Tabela 1-2 Tabela com os Operadores Aritméticos 
Operação Símbolo Exemplo 
Adição + 5 + 3 
Subtração - 5 – 3 
Multiplicação * 5 * 3 
Divisão à direita / 5 / 3 
Divisão à Esquerda \ 5 \ 3 = 3 / 5 
Exponenciação ^ 5^3 (ou seja, 5³=125) 
 
1.2.1 Ordem de Precedência 
O MATLAB® executa os cálculos de acordo com a ordem de precedência mostrada a seguir. 
 
Tabela 1-3 Tabela com a Ordem de Precedência 
Operação Símbolo Exemplo 
Primeira ( ) 
Parênteses. Quando ocorrem parênteses aninhados (consecutivos), 
os parênteses mais interno são executados primeiramente. 
Segunda ^ Exponenciação 
Terceira * / \ Multiplicação e Divisão 
Quarta + - Adição e Subtração 
 
 
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1.2.2 Formato de Exibição dos Dados Numéricos 
O usuário pode controlar o formato segundo o qual o MATLAB® exibe os dados de saída da 
tela. O formato padrão é o ponto fixo com 4 dígitos decimais, chamado short. 
O MATLAB® possui diversos outros formatos para dados numéricos apresentadosna tabela 
abaixo: 
 
Tabela 1-4 Tabela com os Formatos de Dados Numéricos 
Comando Descrição Visualização 
format 04 Casas Decimais 1.2340 
format short 04 Casas Decimais 1.2340 
format long 14 Casas Decimais 1.23400000000000 
format short g 04 Casas Decimais sem Zeros 1.2340 
format long g 14 Casas Decimais sem Zeros 1.2340 
format hex Hexadecimal 3ff3be76c8b43958 
format bank 02 Casas Decimais 1.23 
format rat Fração 617/500 
 
1.2.3 Funções Matemáticas Elementares Nativas do MATLAB® 
Adicionalmente às operações matemáticas básicas, as expressões no MATLAB® podem incluir 
funções matemáticas. O MATLAB® possui uma extensa biblioteca de funções já 
implementadas, também chamadas de funções nativas. Uma função é caracterizada por um 
nome e um argumento entre parênteses. 
 
Tabela 1-5 Tabela com as Funções Matemáticas Elementares 
Função Descrição Exemplo 
sqrt(x) Raiz Quadrada >> sqrt(81) 
ans = 
 9 
 
exp(x) Exponencial >> exp(5) 
ans = 
 148.4132 
 
abs(x) Valor Absoluto (Módulo) >> abs(-30) 
ans = 
 30 
 
log(x) Logaritmo Natural (ln) ou 
Logaritmo na Base e 
>> log(1000) 
ans = 
 6.9078 
 
log10(x) Logaritmo na Base 10 >> log10(1000) 
ans = 
 3 
 
factorial(x) Fatorial de x(x!) 
(x deve ser um inteiro pos.) 
>> factorial(5) 
ans = 
 120 
 
 
 
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Tabela 1-6 Tabela com as Funções Trigonométricas 
Função Descrição Exemplo 
sin(x) 
sind(x) 
Seno do ângulo x (x em radianos) 
Seno do ângulo x (x em graus) 
>> sin(pi/6) 
ans = 
 0.5000 
 
cos(x) 
cosd(x) 
Cosseno do ângulo x (x em radianos) 
Cosseno do ângulo x (x em graus) 
>> cos(pi/6) 
ans = 
 0.8660 
 
tan(x) 
tand(x) 
Tangente do ângulo x (x em radianos) 
Tangente do ângulo x (x em graus) 
>> tan(pi/6) 
ans = 
 0.5774 
 
cot(x) 
cotd(x) 
Cotangente do ângulo x (x em radianos) 
Cotangente do ângulo x (x em graus) 
>> cotd(30) 
ans = 
 1.7321 
 
 
Importante: 
 As funções trigonométricas inversas são: asin(x), acos(x), atan(x) e 
acot(x) para os ângulos em radianos; asind(x), acosd(x), atand(x) e 
acotd(x) para os ângulos em graus. As funções trigonométricas hiperbólicas são: 
sinh(x), cosh(x), tanh(x) e coth(x). 
 
Tabela 1-7 Tabela de arredondamento 
Função Descrição Exemplo 
round(x) Arredonda para o inteiro mais 
próximo. 
>> round(17/5) 
ans = 
 3 
 
fix(x) Arredonda para o inteiro na direção 
do zero. 
>> fix(13/5) 
ans = 
 2 
 
ceil(x) Arredonda para o inteiro na de +∞. >> ceil(11/5) 
ans = 
 3 
 
floor(x) Arredonda para o inteiro na de -∞. >> floor(-9/4) 
ans = 
 -3 
 
rem(x,y) Retorna o resta da divisão de x por y >> rem(13,5) 
ans = 
 3 
 
sign(x) Função sinal. Retorna 1 (se x > 0); 
1 (se x < 0) e 0 (se x = 0). 
>> sign(-5) 
ans = 
 -1 
 
 
 
 
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1.3 Declarando Variáveis Escalares 
Uma variável escalar no MATLAB® é um nome formado por uma letra ou uma cadeira de letras 
(e números) a qual é atribuído um valor. Uma vez atribuído um valor numérico à variável, 
podemos usá-las em expressões matemáticas, em funções e em qualquer sentença ou 
comando MATLAB®. Tecnicamente uma variável é um espaço de memória reservado para 
armazenar certo tipo de dado e tendo um nome para referenciar seu conteúdo. Quando uma 
variável é declarada, o MATLAB® aloca um espaço de memória onde o conteúdo daquela 
variável é armazenado. Quando a variável é utilizada, seu conteúdo (dado armazenado) é 
automaticamente passado ao comando ou à sentença que fará uso dela. Se um novo valor é 
atribuído à variável, o conteúdo da posição de memória é substituído. 
 
 
1.3.1 Operador de Atribuição 
No MATLAB®, o sinal de igualdade (=) é denominado operador de atribuição. O operador de 
atribuição inicializa ou modifica o valor de uma variável. 
 
 
 
Importante: 
 O lado esquerdo do operador de atribuição pode conter apenas um nome de variável. 
O lado direito pode ser um número ou uma expressão numérica, possuindo números 
e/ou variáveis previamente inicializadas. Quando a tecla Enter é pressionada, o valor 
numérico à direita do operador é atribuído à variável no lado esquerdo e o MATLAB® 
exibe a variável com seu respectivo valor nas duas próximas linhas. 
 
Os exemplos a seguir mostram como o operador de atribuição é utilizado: 
 
>> x = 15 
 
x = 
 
 15 
 
 
>> x = 3 * x - 12 
 
x = 
 
 33 
>> 
 
 
Nome_variável = Valor numérico ou uma expressão numérica 
O número 15 foi atribuído à variável x. 
O MATLAB® exibe a variável e 
o valor atribuído. 
Um novo valor é atribuído à 
variável x. O novo valor é 3 vezes 
o valor anterior de x menos 12. 
 
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A utilização de variáveis previamente declaradas para definir uma nova variável é 
demonstrada a seguir: 
 
>> a = 12 
 
a = 
 
 12 
 
>> B = 4 
 
B = 
 
 4 
 
>> C = (a - B) + 40 - a / B * 10; 
 
>> C 
 
C = 
 
 18 
 
>> 
 
 
Uma variável pode ter o seu conteúdo modificado. Por exemplo: 
 
>> ABB = 72; 
>> ABB = 9; 
>> ABB 
 
B = 
 
 9 
>> 
 
Uma vez declarada uma variável, ela pode ser utilizada como argumento de funções. Por 
exemplo: 
 
>> x = 0.75; 
>> E = sin(x)^2 + cos(x)^2 
 
E = 
 
 1 
>> 
 
 
O valor numérico 12 é 
atribuído à variável a. 
O valor numérico 4 é 
atribuído à variável B. 
O valor da expressão numérica à 
direita do sinal = é atribuído à 
variável C. 
O valor da variável C é exibido quando o 
nome da variável é digitado (e 
pressionado a tecla Enter. 
O valor numérico 72 é atribuído à variável ABB. 
O valor atual da variável é exibido quando o nome da 
variável é digitado e a tecla Enter é pressionada. 
O novo valor numérico (no caso 9) é atribuído à variável ABB. 
 
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1.3.2 Regras quanto ao Uso de Nomes de Variáveis 
Uma variável no MATLAB® pode ser nomeada de acordo com as seguintes regras: 
 
 Deve iniciar com uma letra. 
 Pode conter até 63 caracteres. 
 Pode conter letras, dígitos e o caractere traço abaixo ou underline (_). 
 Não pode conter caracteres de pontuação (por exemplo, ponto, vírgula, ponto e 
vírgula). 
 O MATLAB® é case sensitive, ou seja, faz distinção entre nomes de variáveis maiúsculas 
e minúsculas. Por exemplo, AA, Aa, e aa são nomes de quatro variáveis diferentes. 
 Não são permitidos espaços entre os caracteres (utilize underline quando o espaço é 
necessário). 
 Evite usar nome de funções nativas do MATLAB® como variáveis. Se isso ocorrer, a 
função não poderá mais ser usada. 
 
1.3.3 Variáveis Predefinidas e Palavras-chave 
Há 20 (vinte) palavras, chamadas de palavras-chave, reservadas pelo MATLAB® para vários 
propósitos e que não podem ser usadas como nome de variáveis. Essas palavras são: 
 
break case catch classdef continue else elseif 
end for function global if otherwise parfor 
persistent return spmd switch try while 
 
Quando digitadas, essas palavras aparecem em azul. Uma mensagem de erro é exibida se o 
usuário tentar utilizar como variável. Você pode digitar iskeyword e pressionar Enter para 
visualizar na tela do Command Window. 
 
Existem também certas variáveis que, ao inicializar o MATLAB®,são automaticamente 
carregadas na memória. Algumas dessas variáveis predefinidas são: 
 
ans Variável que assume o valor da última expressão não atribuída a uma variável 
específica. Se o usuário não atribui o valor de uma expressão a uma variável, o 
MATLAB® armazena, automaticamente esse resultado em ans. 
pi O número de . 
eps A menor diferença entre dois números. 
inf Infinito 
i Definido como √−1, que é: 0 + 1,0000i. 
j O mesmo que i. 
NaN Abreviação de Not-a-Number. Usado quando o MATLAB não pode determinar um 
valor numérico válido. Por exemplo: 0/0. 
 
 
 
 
 
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1.4 Comando Úteis no Manuseio de Variáveis 
A seguir são mostrados alguns comandos usados para eliminar variáveis ou para ter 
informação a respeito das variáveis declaradas dentro de uma sessão do MATLAB®. 
 
Tabela 1-8 Tabela de Comandos Úteis 
Função Descrição 
Clear Apaga todas as variáveis da memória. 
clear x y z Apaga somente as variáveis x, y e z da 
memória. 
Who Exibe uma lista de variáveis declaradas/ativas 
na memória. 
Whos Exibe uma lista de variáveis declaradas/ativas 
na memória, com o respectivo tamanho e 
informação sobre seus bytes e classe. 
 
1.5 Script Files 
No script (roteiro) é criado uma lista de comandos (programas), onde são salvos e em seguida 
podem ser executados. 
 
1.5.1 Informações sobre os Scripts Files 
 Um script é uma sequência de comandos do MATLAB®, sendo também chamado de 
programa. 
 Quando um programa é executado, o MATLAB® executa os comandos na ordem em 
que eles foram escritos, de modo similar a se cada comando fosse digitado no 
Command Window. 
 Quando um programa tem um comando que gera uma saída (por exemplo, a 
atribuição de um valor para uma variável sem um ponto e vírgula no fim), a saída é 
exibida no Command Window. 
 A utilização de scripts é bastante conveniente, pois eles podem ser editados (corrigidos 
e/ou modificados) e executados inúmeras vezes. 
 Os scripts podem ser digitados e editados em qualquer editor de texto e, após, colados 
no editor do MATLAB®. 
 Os scripts files são chamados de M-files devido à extensão .m usada quando eles são 
salvos. 
 
 
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1.6 Exercícios Propostos 
Problema Exemplo 1-6-1: Identidade Trigonométrica 
 
Uma identidade trigonométrica é dada por: 
 
cos2
𝑥
2
=
tan 𝑥 + sen 𝑥 
2 tan 𝑥
 
 
Substituindo 𝑥 =
𝜋
5
, verifique a identidade calculando cada lado da equação. 
 
Solução 
O problema é solucionado digitando os seguintes comandos na Command Window. 
>> 
>> x = pi / 5; % Declara e inicializa a variável x 
>> LE = cos(x/2)^2 % Calcula o lado esquerdo (LE) da identidade 
 
LE = 
 
 0.9045 
 
>> 
>> LD = (tan(x)+sin(x))/(2*tan(x)) % Calcula o lado esquerdo (LD) 
 % da identidade 
 
LD = 
 
 0.9045 
 
>> 
 
 
 
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Exercícios Propostos 1-6-1: Identidade Trigonométricas 
 
1.) Duas identidades trigonométricas são dadas por: 
 
a. sin 4𝑥 = 4 sin 𝑥 cos 𝑥 − 8 sin³ 𝑥 cos 𝑥 
 
b. cos 2𝑥 =
1−tan² 𝑥
1+tan² 𝑥
 
 
Para os dois itens acima, verifique a identidade calculando os lados direito e esquerdo da 
equação, substituindo 𝑥 =
𝜋
9
. 
 
2.) Duas identidades trigonométricas são dadas por: 
 
a. tan 4𝑥 =
4 tan 𝑥−4 tan³ 𝑥
1−6 tan2 𝑥+tan4 𝑥
 
 
b. sin³ 𝑥 = 
1
4
(3 sin 𝑥 − sin 3𝑥) 
 
Para os dois itens acima, verifique a identidade calculando os lados direito e esquerdo da 
equação, substituindo 𝑥 = 12°. 
 
3.) Defina duas variáveis: 𝑎𝑙𝑝ℎ𝑎 =
5𝜋
8
 e 𝑏𝑒𝑡𝑎 =
𝜋
8
. Utilizando essas variáveis, verifique a 
identidade trigonométrica a seguir calculando os lados direito e esquerdo da equação: 
sin 𝛼 cos 𝛽 =
1
2
[sin(𝛼 − 𝛽) + sin(𝛼 + 𝛽)] 
 
 
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Exercícios Propostos 1-6-2: Lista Complementar 
 
1.) O perímetro P de uma elipse com semieixos a = 9 cm e b = 3 é 
dado aproximadamente por: 
𝑃 = 2𝜋√
1
2
(𝑎2 + 𝑏2) 
 
2.) Defina as variáveis a, b, c e d como: 
𝑎 = 13; 𝑏 = 4.2; 𝑐 =
4𝑏
𝑎
; 𝑑 =
𝑎𝑏𝑐
𝑎+𝑏+𝑐
. Em seguida, determine: 
 
a. 𝑎
𝑏
𝑐+𝑑
+
𝑑
𝑐
∗
𝑎
𝑏
− (𝑎 − 𝑏2) ∗ (𝑐 + 𝑑) 
 
b. 
√𝑎2+𝑏2
(𝑑−𝑐)
+ (𝑏2 − 𝑎−3 + 𝑐−4 − 𝑑−5) 
 
 
3.) O comprimento s do arco do segmento parabólico BOC é 
dado por: 
 
𝑠 =
1
2
√𝑏2 + 16 ∗ 𝑎2 +
𝑏2
8𝑎
∗ log (
4𝑎 + √𝑏2 + 16𝑎2
𝑏
) 
 
Calcule o comprimento do arco de parábola com a = 12 cm e b = 8 cm. 
 
 
 
 
 
 
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Problema Exemplo 1-6-3: Geometria e Trigonometria 
 
Relembrando a equação da lei dos cossenos: 𝑏2 = 𝑎2 + 𝑐2 − 2 . 𝑎 . 𝑐 . cos 𝛽 
 
Quatro círculos estão dispostos como mostra a figura. Os 
círculos tangenciam-se dois a dois num determinado ponto. 
Sabendo disto, determine a distância entre os centros C2 e C4. 
 
Os raios dos círculos são: 
 𝑅1 = 16𝑚𝑚, 𝑅2 = 6,5𝑚𝑚, 𝑅3 = 12𝑚𝑚 e 𝑅4 = 9,5𝑚𝑚. 
 
Solução 
As retas que ligam os centros geram quatro triângulos. Em dois 
triângulos, ∆𝐶1𝐶2𝐶3 e ∆𝐶1𝐶2𝐶4, os comprimentos de todos os 
lados são conhecidos. Essa informação é usada para calcular os 
ângulos 𝛾1 e 𝛾2, através da lei dos cossenos. Por exemplo, 𝛾1 é 
calculado a partir de: 
 
(𝐶2𝐶3)
2 = (𝐶1𝐶2)
2 + (𝐶1𝐶3)
2 − 2(𝐶1𝐶2)(𝐶1𝐶3) cos 𝛾1 
 
Em seguida o comprimento do lado 𝐶2𝐶4 é calculado tomando-
se como base o triângulo ∆𝐶1𝐶2𝐶4. Para tanto, basta usar 
novamente a lei dos cossenos (os comprimentos dos lados 𝐶1𝐶2 
e 𝐶1𝐶4 são conhecidos e o ângulo 𝛾3 é a soma dos ângulos 𝛾1 e 
𝛾2). 
 
O problema é solucionado escrevendo o seguinte programa: 
 
% Solução do Problema Exemplo 1-6-2. 
r1 = 16; r2=6.5; 
r3=12; r4=9.5; % Declara e inicializa as variáveis R's. 
 
c1c2 = r1+r2; c1c3= r1+r3; 
c1c4=r1+r4; c2c3=r2+r3; c3c4=r3+r4; 
 % Calcula os comprimentos dos lados. 
 
Gama1 = acos((c1c2^2+c1c3^2-c2c3^2)/(2*c1c2*c1c3)); 
Gama2 = acos((c1c3^2+c1c4^2-c3c4^2)/(2*c1c3*c1c4)); 
Gama3 = Gama1 + Gama2; 
 % Calcula os ângulos. 
 
c2c4 = sqrt(c1c2^2+c1c4^2-2*c1c2*c1c4*cos(Gama3)) 
 % Calcula o comprimento do lado C2C4 
 
Quando o programa é executado, o resultado a seguir (o valor da variável c2c4) é exibido no Command 
Window: 
 
c2c4 = 
 
 33.5051 
 
 
 
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Exercícios Propostos 1-6-2: Geometria e Trigonometria 
 
1.) Para o triângulo ilustrado na figura 𝑎 = 5𝑐𝑚, 𝑏 = 7𝑐𝑚 e 𝛾 = 25°. 
Defina 𝑎, 𝑏 e 𝛾 como variáveis e então: 
a. Calcule o comprimento de 𝑐 substituindo as variáveis na Lei dos 
Cossenos. 
(Lei dos Cossenos: 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2 𝑎 𝑏 cos 𝛾) 
b. Calcule os ângulos 𝛼 e β (em graus) utilizando a Lei dos Senos. 
c. Verifique se a Lei das Tangentes substituindo os resultados do item 
anterior (b) dos lados direito e esquerdo da equação a seguir: 
𝑎 − 𝑏
𝑎 + 𝑏
=
tan [
1
2 (𝛼 − 𝛽)]
tan [
1
2 (𝛼 + 𝛽)]
 
 
2.) No triângulo retângulo ilustrado na figura 𝑎 = 16𝑐𝑚 e 
𝑐 = 50𝑐𝑚. Defina 𝑎 e 𝑐 como variáveis e então: 
a. Usando o Teorema de Pitágoras, calcule 𝑏. 
b. Usando o valor de𝑏 calculado no item anterior (a) e a 
função acosd, calcule o ângulo 𝛼 em graus. 
 
3.) Para o triângulo ilustrado na figura 𝑎 = 200𝑚𝑚, 𝑏 = 250𝑚𝑚 e 𝑐 = 300𝑚𝑚. Defina 
𝑎, 𝑏 e 𝑐 como variáveis e então: 
a. Calcule o ângulo 𝛾 (em graus) substituindo as 
variáveis na Lei dos Cossenos. 
(Lei dos Cossenos: 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2 𝑎 𝑏 cos 𝛾) 
b. Calcule o raio 𝑟 do círculo inscrito ao triângulo 
utilizando a fórmula: 
𝑟 =
1
2
(𝑎 + 𝑏 − 𝑐) tan(
1
2
𝛾) 
c. Calcule o raio 𝑟 do círculo inscrito ao triângulo 
utilizando a fórmula: 
𝑟 =
√𝑠(𝑠 − 𝑎)(𝑠 − 𝑏)(𝑠 − 𝑐)
𝑠
 
Onde 𝑠 = 
1
2
(𝑎 + 𝑏 + 𝑐). 
 
 
A 
B 
C 
b 
c 
a 
𝛾 
𝛼 
𝛽 
c 
b 
a 
𝛼 
𝛼 
a 
c 
b 
𝛽 
𝛾 
 
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2 Criando Arranjos 
Um arranjo é uma lista de números organizados em linhas e/ou colunas. O arranjo mais 
simples (unidimensional) é formado por uma linha ou por uma coluna de números, ao passo 
que um arranjo mais complexo (por exemplo, bidimensional) é uma coleção de números 
organizados em linhas e colunas. Na engenharia arranjos unidimensionais geralmente 
representam os vetores, e os arranjos bidimensionais representam as matrizes. 
 
2.1 Criando um Arranjo Unidimensional (Vetor) 
Um arranjo unidimensional é uma lista de números 
dispostos em uma linha ou coluna. Um exemplo de arranjo 
unidimensional é a representação da posição de um ponto 
no espaço tridimensional no sistema de coordenadas 
cartesianas. De acordo com a Figura 2.1, a posição do ponto 
A é definida por uma lista de três números 2, 4 e 5, que são 
essencialmente, as coordenadas do ponto no espaço em 
relação à origem do sistema de coordenadas. 
A posição do ponto A pode ser expressa em termos de um 
vetor posição: 
𝑟𝐴 = 2𝒊 + 4𝒋 + 5𝒌 
Onde i, j e k são valores unitários nas dimensões x, y e z, respectivamente. Os números podem 
ser utilizados para definir um vetor linha ou um vetor coluna. 
 
Qualquer lista de números pode ser tratada como um vetor. Por exemplo, a Tabela 2.1 
representa dados sobre o crescimento populacional que podem ser utilizadas para criar duas 
listas de números; uma de anos e outra de população em si. Cada lista pode ser visualizada 
como elementos em um vetor com os números colocados em uma linha ou em uma coluna. 
 
Ano 1984 1986 1988 1990 1992 1994 1996 
População (milhões) 127 130 136 145 158 178 211 
 
Criando um vetor a partir de uma lista de números conhecidos 
O vetor é criado digitando os elementos (números) dentro de colchetes []. 
 
 
 
Vetor linha: Para criar um vetor linha, digite os elementos dentro dos colchetes separando-os 
com um espaço ou uma vírgula. 
 
Vetor coluna: Para criar um vetor coluna, digite os elementos dento dos colchetes a partir do 
colchete esquerdo [. Então, digite os elementos separando-os por ponto e vírgula (;) ou 
pressionando Enter após cada elemento. Por fim, digite o colchete direito ] para terminar a 
criação do vetor coluna. 
 
 
Nome_variavel = [Digite o número de elementos] 
 
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Veja abaixo os comandos usados para criar a Tabela 2.1 e o exemplo das coordenadas 
cartesianas: 
 
>> ano = [1984 1986 1988 1990 1992 1994 1996] 
 
ano = 
 
1984 1986 1988 1990 1992 1994 1996 
 
>> pop = [127; 130; 136; 145; 158; 178; 211] 
 
pop = 
 
 127 
 130 
 136 
 145 
 158 
 178 
 211 
 
>> pntAH = [2, 4, 5] 
 
pntAH = 
 
 2 4 5 
 
>> pntAV = [2 
4 
5] 
 
pntAV = 
 
 2 
 4 
 5 
 
Criando um vetor com elementos espaçados de um fator constante 
Neste tipo de vetor, os elementos possuem a mesma separação entre si. Por exemplo, no 
vetor v = 2 4 6 8 10, o espaçamento (incremento) entre os elementos é 2. Um vetor cujo o 
primeiro elemento é m, o espaçamento é q e o último termo é n, pode ser criado digitando-
se: 
 
ou 
 
 
 
A lista de anos é atribuída ao vetor linha nomeado ano 
Os dados populacionais são 
atribuídos ao vetor coluna 
nomeado pop 
As coordenadas do ponto A são 
atribuídas ao vetor linha 
chamado pntAH 
As coordenadas do ponto A são atribuídas ao 
vetor coluna chamado pntAV . (a tecla Enter é 
pressionada após a digitação de cada elemento). 
Nome_variavel = [m:q:n] Nome_variavel = m:q:n 
Os colchetes são 
opcionais neste caso 
 
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Alguns Exemplos: 
 
%Primeiro elemento 1, espaçamento 2, último termo 13 
%Primeiro elemento 1.5, espaçamento 0.1, último elemento 2.1 
% Primeiro elemento -3, último termo 7. No caso de omissão, 
considera-se 1 o valor do espaçamento 
 
>> x = [1:2:13] 
%Primeiro elemento 1, espaçamento 2, último termo 13 
 
x = 
 
 
 1 3 5 7 9 11 13 
 
>> y = [1.5:0.1:2.1] 
%Primeiro elemento 1.5, espaçamento 0.1, último elemento 
2.1 
 
y = 
 
 1.50 1.60 1.70 1.80 1.90 2.00 2.10 
 
>> z = [-3:7] 
% Primeiro elemento -3, último termo 7. No caso de 
omissão, considera-se 1 o valor do espaçamento 
 
z = 
 
 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 
 
Criando um vetor com espaçamento linear especificando o primeiro e o último termos e o 
número de termos: 
Um vetor com n elementos que são linearmente (igualmente) espaçados no qual o primeiro 
elemento xi e o último elemento xf pode ser criado através do comando linspace (O 
MATLAB determina o espaçamento correto): 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nome_variavel = linspace(xi, xf, n) 
Primeiro 
elemento 
Último 
elemento 
Número de 
elementos 
 
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Quando o número de elementos é omitido, assume-se como default 100. Alguns exemplos: 
% 6 elementos, sendo o primeiro 0 e o último 8 
% 11 elementos, sendo o primeiro 30 e o último 10 
% Primeiro elemento 49.5 e o último 0.5 
 
va = linspace(0,8,6) % 6 elementos, sendo o primeiro 0 e o último 8 
 
va = 
 
 0 1.6000 3.2000 4.8000 6.4000 8.0000 
 
vb = linspace(30,10,11) % 11 elementos, sendo o primeiro 30 e o último 10 
 
vb = 
 
 30 28 26 24 22 20 18 16 14 12 10 
u = linspace(49.5,0.5) % Primeiro elemento 49.5 e o último 0.5 
 
u = 
 
 Columns 1 through 10 
 
 49.5000 49.0051 48.5101 48.0152 47.5202 47.0253 46.5303 
46.0354 45.5404 45.0455 
 
... 
 
 Columns 91 through 100 
 
 4.9545 4.4596 3.9646 3.4697 2.9747 2.4798 1.9848 
1.4899 0.9949 0.5000 
 
 
 
 
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2.2 Exercícios Propostos 
Exercícios Propostos 2.2.1: Arranjos Unidimensionais (Vetores) 
 
1. Crie um vetor linha (x) contendo os seguintes elementos: 
3; 4 ∙ 2,55; 
68
16
; 45 ; √110; 𝑐𝑜𝑠25º ; 0,05 
2. Crie um vetor linha (x) contendo os seguintes elementos: 
54
3 + 4,22
; 32; 6,32 − 7,22; 54; 𝑒3,7; 𝑠𝑒𝑛66° + 𝑐𝑜𝑠
3𝜋
8
 
3. Crie um vetor linha (x) contendo os seguintes elementos: 
32
3,22
; 𝑠𝑒𝑛235°; 6,1; 𝑙𝑛292; 0,00552; 𝑙𝑛229; 133 
4. Defina as variáveis 𝑥 = 0,85 e 𝑦 = 12,5 e então as use para criar um vetor coluna (a) 
que tem os seguintes termos: 
𝑦, 𝑦2, ln (
𝑦
𝑥
) , 𝑦 ∙ 𝑥, 𝑥 + 𝑦 
5. Defina as variáveis 𝑎 = 3,5 e 𝑏 = −6,4 e então as use para criarum vetor coluna (x) 
que tem os seguintes termos: 
𝑎, 𝑎2,
𝑎
𝑏
, 𝑎 ∙ 𝑏, √𝑎 
 
6. Crie um vetor linha (x) no qual o primeiro elemento é 2 e o último elemento é 37, 
com um incremento de 5 entre os elementos (2, 7, 12, ..., 37). 
 
7. Crie um vetor (x) com 9 elementos igualmente espaçados no qual o primeiro 
elemento é 81 e o último elemento é 12. 
 
8. Duas identidades trigonométricas são dadas por: 
 
a. sin 4𝑥 = 4 sin 𝑥 cos 𝑥 − 8 sin³ 𝑥 cos 𝑥 
 
b. cos 2𝑥 =
1−tan² 𝑥
1+tan² 𝑥
 
 
Para os dois itens acima, verifique a identidade calculando os lados direito e esquerdo da 
equação, substituindo 𝑥 =
𝜋
9
. 
 
Dê a resposta em um vetor linha, sendo o primeiro elemento o lado esquerdo e o 
segundo elemento o lado direito da equação. 
 
 
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2.2 Exercícios Propostos 
Exercícios Propostos 2.2.2: Lista Complementar 
 
1. Calcule as equações abaixo: 
a) 
(𝟏𝟒,𝟖𝟐+𝟔,𝟓𝟐)
𝟑,𝟖𝟐+𝟓.𝟐
+
𝟓𝟓
√𝟐+𝟏𝟒
 b) (−𝟑, 𝟓)𝟐 +
𝒆𝟔
𝒍𝒏𝟓𝟐𝟒
+ 𝟐𝟎𝟔
𝟏
𝟑 c) 
𝟏𝟔,𝟓𝟐(𝟖,𝟒−√𝟕𝟎)
𝟒,𝟑𝟐−𝟏𝟕,𝟑
 
 
d) 
𝟓,𝟐𝟑−𝟔,𝟒𝟐+𝟑
𝟏,𝟔𝟖−𝟐+𝟏
+ (
𝟏𝟑
𝟓
)
𝟏,𝟓
 e) 
𝒕𝒂𝒏𝟔𝟒°
𝒄𝒐𝒔𝟐𝟏𝟒°
−
𝟑𝒔𝒆𝒏𝟖𝟎°
√𝟎,𝟗
+
𝒄𝒐𝒔𝟓𝟓°
𝒔𝒆𝒏𝟏𝟏°
 f) 
𝒔𝒆𝒏(
𝟕𝝅
𝟗
)
𝒄𝒐𝒔𝟐(
𝟓
𝟕
𝝅)
+
𝟏
𝟕
𝒕𝒂𝒏(
𝟓
𝟏𝟐
𝝅) 
 
Utilizando os resultados do exercício anterior, crie os vetores abaixo: 
 
2. Crie um vetor linha (x) contendo os seguintes elementos: 
3𝑎 − 𝑏; 4𝑐2; 
𝑓
𝑐
; cos(𝑐) ; √𝑏2 + 𝑎2 + 𝑑2; 𝑎 − 𝑏 − 𝑐 + 𝑑 ; 𝑓 
3. Crie um vetor coluna (x) contendo os seguintes elementos: 
𝑑2
𝑎 + 𝑐2
; sin(𝑎) ; 𝑓2 − 𝑐2; 𝑏 
 
4. Defina a variável x como x = 2,34 e então determine: 
a) 𝟐𝒙𝟒 − 𝟔𝒙𝟑 + 𝟏𝟒, 𝟖𝒙𝟐 + 𝟗, 𝟖 b) 
𝒆𝟐𝒙
√𝟏𝟒+𝒙𝟐−𝒙
 
5. Defina as variáveis x e y como x = 8,3 e y = 2,4 e então determine: 
a) 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 −
𝒙𝟐
𝒚𝟐
 b) √𝒙𝒚 − √𝒙 + 𝒚 + (
𝒙−𝒚
𝒙−𝟐𝒚
)
𝟐
− √
𝒙
𝒚
 
 
6. Duas identidades trigonométricas são dadas por: 
a. cot 𝑥 =
cos 𝑥
sin 𝑥
, 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑥 =
𝜋
7
 
b. cos(𝑎 − 𝑏) = cos(𝑎) ∗ cos(𝑏) + sin(𝑎) ∗ sin(𝑏) , 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎 =
𝜋
3
; 𝑏 =
𝜋
6
 
Para os dois itens acima, informe a resposta por vetor. 
 
7. Duas identidades trigonométricas são dadas por: 
a. tan
𝑥
2
=
1−cos 𝑥
sin 𝑥
=
sin 𝑥
1+cos 𝑥
, 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑥 =
𝜋
5
 
b. sin 𝑥 − sin 𝑦 = 2 sin (
𝑥−𝑦
2
) ∗ sin (
𝑥+𝑦
2
) , 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑥 = 3𝜋 𝑒 𝑦 =
4
3
𝜋 
Para os dois itens acima, informe a resposta por vetor. 
 
8. 
 
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3 Operações Matemáticas com Arranjos 
O MATLAB foi desenvolvido para realizar operações matemáticas avançadas com 
arranjos, e isto inclui arranjos bastante genéricos, que aparecem frequentemente em muitas 
aplicações nas engenharias e em outros campos das ciências exatas. Este capítulo apresenta 
as operações matemáticas básicas que o MATLAB realiza manipulando arranjos. 
 As operações de adição e subtração são relativamente simples. As demais operações 
básicas (multiplicação, divisão e Exponenciação) podem ser realizadas no MATLAB de dois 
modos diferentes. O modo mais elementar de realizar essas operações utiliza os símbolos 
padronizados (*, / e ^) e segue as regras operacionais da álgebra linear. O Segundo modo se 
refere às operações escalares entre os elementos de dois ou mais arranjos (também chamadas 
de operações elemento por elemento), onde neste tipo de operação utilizamos os símbolos 
.*, ./ e .^ (um ponto deve ser digitado antes do símbolo padrão da operação). Para ambos os 
modos o MATLAB possui os operadores de à esquerda (.\ ou \). 
 
3.1 Adição e Subtração 
As operações de adição (+) e subtração (–) são realizadas apenas com matrizes de 
mesmo tamanho ou mesma dimensão. A soma ou a diferença entre duas matrizes é obtida 
adicionando-se ou subtraindo-se, respectivamente, os elementos nas posições 
correspondentes nas matrizes. 
Em geral, se A e B são duas matrizes, por exemplo, matrizes 2x3, 
 
𝐴 = [
𝐴11 𝐴12 𝐴13
𝐴21 𝐴22 𝐴23
] 𝑒 𝐵 = [
𝐵11 𝐵12 𝐵13
𝐵21 𝐵22 𝐵23
] 
 
Segue que a matriz resultante da adição de A + B é: 
 
[
(𝐴11 + 𝐵11) (𝐴12 + 𝐵12) (𝐴13 + 𝐵13)
(𝐴21 + 𝐵21) (𝐴22 + 𝐵22) (𝐴23 + 𝐵23)
] 
 
 
 
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Exemplos: 
 
VectA=[8 5 4]; VectB=[10 2 7]; % Define dois vetores 
VectC = VectA + VectB % Define um vetor VectC que é igual 
 % soma dos dois vetores 
 
VectC = 
 18 7 11 
 
A=[5 -3 8; 9 2 10],B=[10 7 4;-11 15 1] % Define duas matrizes A e B de 2x3 
 
A = 
 
 5 -3 8 
 9 2 10 
 
 
B = 
 
 10 7 4 
 -11 15 1 
 
A-B % Subtrai a matriz B da matriz A 
 
ans = 
 
 -5 -10 4 
 20 -13 9 
 
C = A + B % Define uma matriz C que é igual a A + B 
 
C = 
 
 15 4 12 
 -2 17 11 
 
VectA+A % Tentando adicionar matrizes de dimensões diferentes 
Error using + 
Matrix dimensions must agree. % Uma mensagem de erro é exibida 
 
 
 Quando um escalar (número) é adicionado ou subtraído a uma matriz, cada elemento 
da matriz é adicionado ou subtraído desse número. Exemplos: 
 
VectA = [ 1 5 8 -10 2] % Define um vetor linha nomeado de VectA 
 
VectA = 
 
 1 5 8 -10 2 
 
VectA + 4 % Adiciona o escalar 4 ao vetor VectA 
 
ans = 
 
 5 9 12 -6 6 % O valor 4 é adicionado ao VectA 
 
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3.2 Multiplicação de arranjos 
A operação de multiplicação (*) é executada pelo MATLAB de acordo com as regras de 
álgebra linear. Significa que, se A e B são duas matrizes, a operação A*B tem sentido se, 
somente se, o número de colunas da matriz A for igual ao número de linhas da matriz B. O 
resultado é uma matriz que possui o mesmo número de linhas de A e o mesmo número de 
colunas de B. Por exemplo, se A for uma matriz 4x3 e B uma matriz 3x2: 
 
𝐴 = [
𝐴11 𝐴12 𝐴13
𝐴21 𝐴22 𝐴23
𝐴31 𝐴32 𝐴33
𝐴41 𝐴42 𝐴43
] 𝑒 𝐵 = [
𝐵11 𝐵12
𝐵21 𝐵22
𝐵31 𝐵32
] 
 
Então, a matriz obtida da operação A*B possui dimensão 4x2 e os elementos são: 
 
[
(𝐴11𝐵11 + 𝐴12𝐵21 + 𝐴13𝐵31) (𝐴11𝐵12 + 𝐴12𝐵22 + 𝐴13𝐵32)
(𝐴21𝐵11 + 𝐴22𝐵21 + 𝐴23𝐵31) (𝐴21𝐵12 + 𝐴22𝐵22 + 𝐴23𝐵32)
(𝐴31𝐵11 + 𝐴32𝐵21 + 𝐴33𝐵31) (𝐴31𝐵12 + 𝐴32𝐵22 + 𝐴33𝐵32)
(𝐴41𝐵11 + 𝐴42𝐵21 + 𝐴43𝐵31) (𝐴41𝐵12 + 𝐴42𝐵22 + 𝐴43𝐵32)
] 
 
Um exemplo numérico é: 
 
[
1 4 3
2 6 1
5 2 8
] [
5 4
1 3
2 6
] = [
(1𝑥5 + 4𝑥1 + 3𝑥2) (1𝑥4 + 4𝑥3 + 3𝑥6)
(2𝑥5 + 6𝑥1 + 1𝑥2) (2𝑥4 + 6𝑥3 + 1𝑥6)
(5𝑥5 + 2𝑥1 + 8𝑥2) (5𝑥4 + 2𝑥3 + 8𝑥6)
] = [
15 34
18 32
43 74
] 
 
O resultado da multiplicação de duas matrizes quadradas é outra matriz quadrada do 
mesmo tamanho (dimensão) das matrizes originais. Contudo, a multiplicação das matrizes não 
obedece à propriedade comutativa. Significa que, se A e B são matrizes n x n, em geral, 
𝐴 ∗ 𝐵 ≠ 𝐵 ∗ 𝐴. Além disto, a operação de potenciação somente pode ser executada com 
matrizes quadradas (linha x coluna). 
 Dois vetores podem ser multiplicados um pelo outro somente se possuírem o mesmo 
número de elementos e se um vetor é linha e o outro um vetor coluna. O resultado da 
multiplicação de um vetor linha por um vetor colunaé um arranjo 1 x 1, ou seja, um escalar. 
Esse é o produto escalar usual de dois vetores. [O MATLAB possui uma função nativa para isso, 
dot(a,b), que calcula o produto escalar de dois vetores]. 
 
 
 
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A multiplicação é demonstrada abaixo: 
> A = [1 4 2; 5 7 3; 9 1 6; 4 2 8] % Define uma matriz A 4x3 
 
A = 
 
 1 4 2 
 5 7 3 
 9 1 6 
 4 2 8 
 
B = [6 1; 2 5; 7 3] % Define uma matriz B 3x2 
 
B = 
 
 6 1 
 2 5 
 7 3 
 
C = A * B 
 
C = 
 
 28 27 
 65 49 
 98 32 
 84 38 
 
D = B * A % Erro por conta das dimensões das matrizes 
Error using * 
Inner matrix dimensions must agree. 
 
F=[1 3; 5 7], G=[4 2; 1 6] % Define duas matrizes 2x2, F e G 
 
F = 
 
 1 3 
 5 7 
 
 
G = 
 
 4 2 
 1 6 
 
F * G % Executa a multiplicado F*G 
 
ans = 
 
 7 20 
 27 52 
 
G * F % Executa a multiplicação G * F 
 
ans = 
 
 14 26 
 31 45 
 
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% Observe que o resultado de F * G é diferente de G * F 
AV = [2 5 1] % Define um vetor linha com três elementos 
 
AV = 
 
 2 5 1 
 
BV = [3; 1; 4] % Define um vetor coluna com três elementos 
 
BV = 
 
 3 
 1 
 4 
 
AV * BV % O resultado da multiplicação é escalar. (Produto escalar de dois 
vetores) 
 
ans = 
 
 15 
 
BV * AV % O resultado é uma matriz 3x3 
 
ans = 
 
 6 15 3 
 2 5 1 
 8 20 4 
 
 
 Quando um arranjo é multiplicado por um número, cada elemento do arranjo é 
multiplicado pelo número (lembre-se que um número é um arranjo 1X1). 
 As regras para a multiplicação de arranjos da álgebra linear fornecem um modo 
bastante conveniente de escrever um sistema de equações lineares. Por exemplo, o sistema 
de três equações a três incógnitas: 
𝐴11𝑥1+𝐴12𝑥2+𝐴13𝑥3 = 𝐵1 
𝐴21𝑥1+𝐴22𝑥2+𝐴23𝑥3 = 𝐵2 
𝐴31𝑥1+𝐴32𝑥2+𝐴33𝑥3 = 𝐵3 
 
Pode ser escrito na forma matricial como: 
 
[
𝐴11 𝐴12 𝐴13
𝐴21 𝐴22 𝐴23
𝐴31 𝐴32 𝐴33
] [
𝑥1
𝑥2
𝑥3
] = [
𝐵1
𝐵2
𝐵3
] 
 
E na notação matricial como: 
AX = B onde A = [
𝐴11 𝐴12 𝐴13
𝐴21 𝐴22 𝐴23
𝐴31 𝐴32 𝐴33
], X = [
𝑥1
𝑥2
𝑥3
] e B = [
𝐵1
𝐵2
𝐵3
] 
 
 
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3.3 Divisão de Arranjos 
 
A divisão de arranjos também está condicionada às regras da álgebra linear. Esta é uma 
operação ainda mais complexa e, por isso, será dada uma breve explanação sobre o assunto 
a seguir. Explicações mais completas podem ser encontradas em livros específicos sobre 
álgebra linear. 
 A operação de divisão pode ser explicada como auxílio da matriz identidade e da matriz 
inversa. 
 
Matriz Identidade 
A Matriz Identidade é uma matriz quadrada cujos elementos da diagonal principal são 
unitários (1’s) e os demais elementos são nulos (0’s). Uma matriz identidade pode ser criada 
no MATLAB através do comando eye. Quando uma matriz ou um vetor e multiplicado pela 
matriz identidade, o resultado é a própria matriz ou o próprio vetor (a multiplicação deve ser 
feita de acordo com as regras da álgebra linear). Isto é o equivalente matricial à multiplicação 
de um escalar por 1. Exemplos: 
 
[
7 3 8
4 11 5
] [
1 0 0
0 1 0
0 0 1
] = [
7 3 8
4 11 5
] ou [
1 0 0
0 1 0
0 0 1
] [
8
2
15
] = [
8
2
15
] 
 
 ou [
6 2 9
1 8 3
7 4 5
] [
1 0 0
0 1 0
0 0 1
] = [
6 2 9
1 8 3
7 4 5
] 
 
 
Se a matriz A for quadrada, não importa a ordem de multiplicação pela matriz 
identidade I, isto é, à esquerda ou à direita de A: 
AI = IA = A 
 
Inversa de uma matriz 
A matriz B é a inversa da matriz A se o produto dessas duas matrizes é a matriz 
identidade (isso supondo que podemos multiplicar as duas matrizes). Ambas as matrizes 
devem ser quadradas e a multiplicação deve comutar, isto é, a ordem BA ou AB não é 
importante. 
BA = AB = I 
Obviamente, se B é inversa de A, naturalmente A será a inversa de B. Por exemplo: 
 
[
2 1 4
4 1 8
2 −1 3
] [
5,5 −3,5 2
2 −1 0
−3 2 1
] = [
5,5 −3,5 2
2 −1 0
−3 2 1
] [
2 1 4
4 1 8
2 −1 3
] = [
1 0 0
0 1 0
0 0 1
] 
 
Tipicamente, a inversa da matriz A é simbolizada por 𝐴−1. No MATLAB, a inversa de A 
pode ser obtida elevando A à potência -1 ou utilizando a função nativa inv(A). 
 
 
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 Por exemplo, a multiplicação das matrizes A e B anteriores é mostrada na Comand 
Windows do MATLAB a seguir: 
 
A = [2 1 4;4 1 8; 2 -1 3]; 
B = inv(A) % Obter o inverso da matriz A 
 
B = 
 
 5.5000 -3.5000 2.0000 
 2.0000 -1.0000 0 
 -3.0000 2.0000 -1.0000 
 
A * B % O resultado será uma matriz identidade 
 
ans = 
 
 1 0 0 
 0 1 0 
 0 0 1 
 
A * A^-1 % Usa a potência para obter a inversa de A. O resultado será uma 
matriz identidade 
 
ans = 
 
 1 0 0 
 0 1 0 
 0 0 1 
 
 
Nem toda matriz possui uma matriz inversa. Uma matriz tem inversa se ela é quadrada 
e possui determinante diferente de zero. 
 
Determinantes: 
Determinante é uma função associada às matrizes quadradas. Uma rápida revisão de 
determinantes é dada a seguir. Mais detalhes sobre os determinantes podem ser encontrados 
em livros específicos sobre álgebra linear. 
O determinante é uma função que associa uma mátria quadrada A à um número, chamado 
determinante da matriz. Simbolicamente, o determinante de uma matriz A é escrito como 
det(A) ou |A|. O cálculo do determinante é feito segundo regras especificas. Para uma matriz 
2X2, a regra é: 
 
|A| = |
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
| = 𝑎11𝑎22-𝑎12𝑎21, por exemplo, |
6 5
3 9
| = 6 . 9 – 5 . 3 = 39 
 
O MATLAB possui uma função nativa, chamada det, que calcula o determinante das 
matrizes quadradas. 
 
Divisão de Arranjos 
O MATLAB possui dois tipos de operadores de divisão: operador de divisão à direita (/) 
e o operador de divisão à esquerda (\). 
 
 
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Operador de divisão à esquerda (\): 
O operador de divisão à esquerda é usado, dentre outras coisas, para resolver a 
equação matricial AX=B. Nessa equação, X e B são vetores coluna. Ela pode ser resolvida 
multiplicando-se (à esquerda) ambos os lados da equação pela inversa de A: 
 
𝐴−1 AX = 𝐴−1B 
 
O lado esquerdo dessa equação é X uma vez que: 
 
𝐴−1AX = IX = X 
 
Então a solução de AX=B é: 
 
X = 𝐴−1B 
 
No MATLAB, a última equação pode ser escrita utilizando o operador de divisão à 
esquerda: 
X = A\B 
 
Deve ser que, embora as duas últimas equações produzam o mesmo resultado, o 
método segundo o qual o MATLAB determina X é diferente do apresentado. Na primeira 
equação, o MATLAB calcula a inversa de A (isto é 𝐴−1) e a utiliza na multiplicação por B. Na 
segunda (divisão à esquerda), a solução para X é obtida numericamente através do método 
de eliminação de Gauss. O método de eliminação de Gauss é mais recomendado na solução 
de um conjunto de equações lineares, porque o cálculo da inversa pode ser menos preciso 
que o método de Gauss, quando o sistema de equações é formado por matrizes de dimensão 
muito elevada.Operador de divisão à direita, /: 
 O operador de divisão à direita é usado para resolver a equação matricial XC=D. Nessa 
equação, X e D são vetores linha. A equação pode ser resolvida multiplicando ambos os lados 
da igualdade pela inversa de C: 
 
X . C𝐶−1 = D . 𝐶−1 
 
Que fornece: 
 
X = D . 𝐶−1 
 
No MATLAB, a última equação pode ser escrita utilizando o operador de divisão à 
direita: 
 
X = D/C 
 
O exemplo a seguir ilustra o modo de utilização dos operadores de divisão à esquerda 
e à direita, além de mostrar como a função nativa inv pode ser utilizada para resolver um 
sistema de equações lineares. 
 
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Exemplo 1: 
Solucionando um sistema linear com três equações (divisão de arranjos): 
Use operações matriciais para resolver o seguinte sistema de equações lineares: 
 
4x – 2y + 6z = 8 
2x + 8y + 2z = 4 
6x + 10y +3z = 0 
 
Solução 
Utilizando as regras de álgebra linear mostradas anteriormente, o sistema de equações acima 
pode ser escrito na forma matricial AX=B ou na forma XC=D 
 
[
4 −2 6
2 8 2
6 10 3
] [
𝑥
𝑦
𝑧
] = [
8
4
0
] ou [x y z] [
4 −2 6
2 8 2
6 10 3
] = [8 4 0] 
 
As soluções para ambas as formas são mostradas a seguir: 
 
A = [ 4 -2 6; 2 8 2; 6 10 3]; B = [8; 4; 0]; %Resolvendo a forma AX = B 
X = A \ B % Resolvendo utilizando a divisão à esquerda 
 
X = 
 -1.8049 
 0.2927 
 2.6341 
 
Xb = inv(A)*B % Resolvendo utilizando a inversa A: X = A^-1*B 
 
Xb = 
 -1.8049 
 0.2927 
 2.6341 
 
C = [ 4 2 6; -2 8 10; 6 2 3]; % Resolvendo na forma XC = D 
D = [8 4 0]; 
Xc = D/C % Resolvendo a divisão à direita 
 
Xc = 
 
 -1.8049 0.2927 2.6341 
 
Xd = D * inv(C) % Resolvendo pelo inverso 
 
Xd = 
 
 -1.8049 0.2927 2.6341 
 
Xe = D * C^-1 
 
Xe = 
 
 -1.8049 0.2927 2.6341 
 
 
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3.4 Operações escalares envolvendo elementos de matrizes (operações 
elemento por elemento) 
 
Há muitas situações que requerem operações escalares envolvendo elementos 
correspondentes em dois ou mais arranjos (vetores ou matrizes). Essas operações são 
realizadas em cada elemento dos arranjos. A adição e subtração são, por definição, operações 
elemento por elemento, visto que quando dois arranjos são somados ou subtraídos, a 
operação é executada com os elementos que ocupam a mesma posição nos arranjos. Estas 
operações só podem ser realizadas com arranjos de mesma dimensão. 
 
As operações escalares de multiplicação, divisão e Exponenciação de matrizes, 
envolvendo elemento por elemento dos arranjos, são sinalizadas no MATLAB digitando um 
ponto antes do operador aritmético. 
 
Se dois vetores a e b são da forma a= [𝑎1𝑎2𝑎3𝑎4] e b= [𝑏1𝑏2𝑏3𝑏4], então a 
multiplicação, divisão e exponenciação escalares, envolvendo elementos correspondentes 
dos dois vetores, resultam: 
a . *b = [𝑎1𝑏1 𝑎2𝑏2 𝑎3𝑏3 𝑎4𝑏4] 
a . /b = [𝑎1/𝑏1 𝑎2/𝑏2 𝑎3/𝑏3 𝑎4/𝑏4] 
a . ^b = [ (𝑎1
𝑏1) (𝑎2
𝑏2) (𝑎3
𝑏3) (𝑎4
𝑏4)] 
 
Se duas matrizes A e B são: 
 
A = [
𝐴11 𝐴12 𝐴13
𝐴21 𝐴22 𝐴23
𝐴31 𝐴32 𝐴33
] e B = [
𝐵11 𝐵12 𝐵13
𝐵21 𝐵22 𝐵23
𝐵31 𝐵32 𝐵33
] 
Então a divisão e multiplicação escalares, elemento por elemento, das duas matrizes 
fornece: 
A = [
𝐴11𝐵11 𝐴12𝐵12 𝐴13𝐵13
𝐴21𝐵21 𝐴22𝐵22 𝐴23𝐵23
𝐴31𝐵31 𝐴32𝐵32 𝐴33𝐵33
] e A ./ B = [
𝐴11/𝐵11 𝐴12/𝐵12 𝐴13/𝐵13
𝐴21/𝐵21 𝐴22/𝐵22 𝐴23/𝐵23
𝐴31/𝐵31 𝐴32/𝐵32 𝐴33/𝐵33
] 
 
 
A exponenciação elemento por elemento da matriz A fornece: 
 
A .^n = [
(𝐴11)
𝑛 (𝐴21)
𝑛 (𝐴13)
𝑛
(𝐴21)
𝑛 (𝐴22)
𝑛 (𝐴23)
𝑛
(𝐴31)
𝑛 (𝐴32)
𝑛 (𝐴33)
𝑛
] 
 
 
 
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A figura abaixo demonstra o uso das operações de multiplicação, divisão e 
exponenciação escalares (elemento por elemento). 
 
A = [2 6 3; 5 8 4]; 
B = [1 4 10; 3 2 7]; 
 
A.*B % Multiplicação escalar elemento por elemento 
 
ans = 
 
 2 24 30 
 15 16 28 
 
C = A./B % Divisão escalar elemento por elemento 
 
C = 
 
 2.0000 1.5000 0.3000 
 1.6667 4.0000 0.5714 
 
B .^ 3 % Exponenciação. Todos os elementos da serão elevados ao cubo 
 
ans = 
 
 1 64 1000 
 27 8 343 
 
A * B % Erro de dimensão 
Error using * 
Inner matrix dimensions must agree. 
 
Cálculo envolvendo elementos correspondentes em arranjos (operações elemento por 
elemento) são bastante úteis quando se quer testar múltiplos valores no argumento de uma 
função ao mesmo tempo. Primeiro é declarado um vetor contendo os possíveis valores da 
variável independente e, então, esse vetor é usado para gerar um outro vetor contendo os 
vetores correspondentes da função a ser calculada. Exemplo: 
 
x = [1:8] % Cria um vetor linha com 8 elementos 
 
x = 
 
 1 2 3 4 5 6 7 8 
 
y = x.^2-4*x % O vetor x é usado em uma operação do tipo elemento por 
elemento para gerar o vetor y 
 
y = 
 
 -3 -4 -3 0 5 12 21 32 
 
No exemplo acima, y=𝑥2-4x. A operação envolvendo elemento por elemento do vetor 
x é necessária quando é calculado o quadrado de x. Cada elemento no vetor y possui um valor 
tal que seria obtido substituindo-se o elemento correspondente do vetor x na equação de y. 
 
 
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Outro exemplo: 
z = [1:2:11] 
 
z = 
 
 1 3 5 7 9 11 
 
z = [1:2:11] % Cria um vetor z com 6 elementos 
 
z = 
 
 1 3 5 7 9 11 
 
y = (z.^3+5*z)./(4*z.^2-10) % % O vetor z é usado em uma operação do tipo 
elemento por elemento para gerar o vetor y 
 
y = 
 
 -1.0000 1.6154 1.6667 2.0323 2.4650 2.9241 
 
Neste exemplo, 𝑦 =
𝑧3+5𝑧
4𝑧2−10
. As operações escalares (elemento por elemento) são 
usadas três vezes: para encontrar z³, z² e para dividir o numerador pelo denominador. 
 
3.5 Usando Arranjos em Funções Nativas do MATLAB 
 
As funções nativas do MATLAB são escritas de tal forma que, sendo o argumento 
(entrada) um arranjo, a operação é executada em cada elemento desse arranjo. Por exemplo, 
se um vetor x com sete elementos é o argumento da função cos(x), o resultado da operação 
é um vetor com sete elementos, em que cada elemento é o cosseno do elemento 
correspondente em x. Exemplo: 
 
x = [0:pi/6:pi] 
 
x = 
 
 0 0.5236 1.0472 1.5708 2.0944 2.6180 3.1416 
 
y = cos(x) 
 
y = 
 
 1.0000 0.8660 0.5000 0.0000 -0.5000 -0.8660 -1.0000 
 
 
 
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3.6 Funções Nativas para avaliação de arranjos 
 
O MATLAB está repleto de funções nativas para cálculos envolvendo arranjos. A tabela 
a seguir mostra algumas delas: 
 
Função Descrição Exemplo 
mean(A) Se A é um vetor, retorna o valor 
médio dos elementos do vetor. 
>> A=[5 9 2 4] 
>> mean(A) 
ans = 
 5 
 
C=max(A) Se A é um vetor, C receberá o maior 
elemento de A. Se A é uma matriz, C 
é um vetor linha contendo o maior 
elemento em cada coluna A. 
>> A=[5 9 3 4 11 6 11 1] 
>> C = max(A) 
ans = 
 11 
 
[d,n]=max(A) Se A é um vetor, d recebe o maior 
elemento de A e n indica a posição 
desseelemento no vetor. 
>> [d,n]=max(A) 
d = 
 11 
n = 
 5 
 
min(A) Semelhante a função max, retorna o 
menor elemento de A. 
>> A=[5 9 2 4] 
>> min(A) 
ans = 
 2 
 
[d,n]=min(A) Se A é um vetor, d recebe o menor 
elemento de A e n indica a posição 
desse elemento no vetor. 
>> [d,n]=min(A) 
d = 
 11 
n = 
 5 
 
sum(A) Se A é um vetor, retorna a soma 
médio dos elementos do vetor. 
>> A=[5 9 2 4] 
>> sum(A) 
ans = 
 20 
 
 
sort(A) Se A é um vetor, ordena os 
elementos em ordem crescente. 
>> A=[5 9 2 4] 
>> sort(A) 
ans = 
 
 2 4 5 9 
median(A) Se A é um vetor, retorna o valor 
mediano dos elementos do vetor. 
>> A=[5 9 2 4] 
>> median(A) 
ans = 
 
 4.5000 
std(A) Se A é um vetor, retorna o desvio 
padrão dos elementos do vetor. 
>> A=[5 9 2 4] 
>> std(A) 
ans = 
 2.9439 
 
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det(A) Retorna o determinante da matriz 
quadrada A. 
>> A=[2 4; 3 5] 
>> det(A) 
ans = 
 -2 
dot(a,b) Determina o produto escalar de dois 
vetores a e b. Os vetores podem ser 
tanto linhas quanto colunas. 
>> a=[1 2 3] 
>> b=[3 4 5] 
>> dot(a,b) 
ans = 
 26 
cross(a,b) Determina o produto vetorial de dois 
vetores a e b (axb). Os dois vetores 
devem possuir três elementos. 
>> a=[1 3 2] 
>> b=[2 4 1] 
>> cross(a,b) 
ans = 
 -5 3 -2 
inv(A) Retorna a inversa da matriz 
quadrada A 
>> A=[2 -21;32 -1] 
>> inv(A) 
ans = 
 -0.0015 0.0313 
 -0.0478 0.0030 
 
 
 
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3.7 Exercícios Propostos 
Exercícios Propostos: Operações com arranjos 
 
1. Para a função 𝑦 = 𝑥3 − 2𝑥2 + 𝑥, calcule o vetor y para os seguintes valores de x 
utilizando operações elemento por elemento: -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4. 
2. Para a função 𝑦 = 
𝑥2−2
𝑥+4
, calcule o vetor y para os seguintes valores de x utilizando 
operações elemento por elemento: -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4. 
3. Para a função 𝑦 = 
(𝑥−3)(𝑥2+3)
𝑥2
, calcule o vetor y para os seguintes valores de x 
utilizando operações elemento por elemento: 1, 2, 3, 5, 6, 7.. 
4. Defina o vetor v=[2 4 6 8 10]. Após, utilize esse vetor em operações matemáticas 
para os seguintes vetores: 
(a) 𝑎 = [
1
2
 
1
4
 
1
6
 
1
8
 
1
10
] 
(b) 𝑏 = [1 2 3 4 5] 
(c) 𝑐 = [
1
22
 
1
42
 
1
62
 
1
82
 
1
102
] 
(d) 𝑏 = [1 1 1 1 1] 
 
5. Defina o vetor v=[5 4 3 2 1]. Após, utilize esse vetor em operações matemáticas para 
criar os seguintes vetores: 
(a) 𝑎 = [52 42 32 22 12] 
(b) 𝑏 = [25 20 15 10 5] 
(c) 𝑐 = [55 44 33 22 11] 
(d) 𝑑 = [4 3 2 1 0] 
 
6. Defina x e y como vetores x=[1, 3, 5, 7, 9] e y=[2, 5, 8, 11, 14]. Após, utilizando as 
operações elemento por elemento, calcule z de acordo com as seguintes expressões: 
(a) 𝑧 =
𝑥𝑧2
𝑥+𝑦
 (b) 𝑧 = 𝑥(𝑥
2 − 𝑦) − (𝑥 − 𝑦)2 
7. Defina p e w como escalares p = 2.3 e w = 5.67, t=[1,2,3,4,5], x=[2.8, 2.5, 2.2, 1.9, 1.6] 
e y=[4, 7, 10,13,17] como vetores linha Após, utilizando as operações elemento por 
elemento, calcule z de acordo com as seguintes expressões:
(a) 𝑇 =
𝑝(𝑥+𝑦)2
𝑦
𝑤 (b) 𝑆 =
𝑝(𝑥+𝑦)2
𝑦𝑤
+
𝑤𝑥𝑝
𝑝𝑦
8. O crescimento de uma população de peixes pode ser estimada utilizando a lei de von 
Bertalanffy: 
𝐿 = 𝐿𝑚𝑎𝑥(1 − 𝑒
−𝐾(𝑡+𝜏)) 
Onde 𝐿𝑚𝑎𝑥 é o tamanho máximo, K é uma taxa constante e 𝜏 é uma constante de 
tempo. Essas constantes variam de acordo com as espécies de peixe. Assumindo que 
𝐿𝑚𝑎𝑥 = 58 𝑐𝑚, 𝐾 = 0,45 𝑎𝑛𝑜𝑠
−1 e 𝜏 = 0,65 𝑎𝑛𝑜𝑠, calcule o tamanho de um peixe de 0, 1, 
2, 3, 4 e 5 anos de idade. 
9. Crie as três matrizes a seguir no MATLAB: 
𝐴 = [
2 4 −1
3 1 −5
0 1 4
] 𝐵 = [
−2 5 0
−3 2 7
1 6 9
] 𝐶 = [
0 3 5
2 1 0
4 6 −3
] 
(a) Calcule A+B e B+A para mostrar que a adição de matrizes é comutativa; 
(b) Calcule A+(B+C) e (A+B)+C para mostrar que a adição das matrizes é associativa; 
(c) Calcule 5(A+C) e 5A+5C para mostrar que, quando matrizes são multiplicadas por 
um escalar, a multiplicação é distributiva; 
(d) Calcule A*(B+C) e A*B*+A*C para mostrar que a multiplicação matricial é 
distributiva. 
 
 
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10. Utilize as matrizes A, B e C do exercício anterior para verificar os itens a seguir: 
(a) A*B=B*A? 
(b) A*(B*C)=(A*B)*C? 
(c) (A*B)t=Bt*At? 
(d) (A+B) t = A t+B t? 
(e) Determine de cada matriz: a soma, a média(mean), o valor médio(median), o 
valor mínimo e máximo, ordene os elementos em ordem crescente, calcule os 
determinantes e o inverso das matrizes. 
Resolva o seguinte sistema de três equações lineares: 
3𝑥 − 2𝑦 + 5𝑧 = 7,5
−4,5𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 5,5
5𝑥 + 𝑦 − 2,5𝑧 = 4,
 
11. Resolva o seguinte sistema de cinco equações lineares: 
3𝑢 + 1,5𝑣 + 𝑤 + 0,5𝑥 + 4𝑦 = −11,75 
−2𝑢 + 𝑣 + 4𝑤 − 3,5𝑥 + 2𝑦 = 19 
6𝑢 − 3𝑣 + 2𝑤 + 2,5𝑥 + 𝑦 = −23 
𝑢 + 4𝑣 − 3𝑤 + 0,5𝑥 − 2𝑦 = −1,5 
3𝑢 + 2𝑣 − 𝑤 + 1,5𝑥 − 3𝑦 = −3,5