Física 3/ Mozart PUC Minas

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PUC Minas BH – Notas 2 para: Ensino de Física – Elétrica e Metalúrgica.
Fazer todas as questões e apresentar as soluções ao professor. Atualizado em 12/11/2013
1) (a) Defina corrente elétrica através da taxa de variação da carga elétrica e (b), em seguida, através da densidade de corrente. Como estas duas definições se juntam para formar a equação da continuidade?
 	
2) A equação da continuidade 
 diz que a corrente que atravessa a fronteira de uma 
superfície fechada S é igual à taxa de variação da carga elétrica dentro da superfície. Em módulo, é claro. (a) Calcule a corrente 
 que flui através de uma superfície esférica. Considere o raio da esfera igual a 
 e que a densidade de corrente que sai da esfera seja igual a 
. (b) Use a equação da continuidade para calcular a carga elétrica 
 que atravessa a superfície da esfera em 1 minuto? (c) Dê uma interpretação para o sinal negativo obtido no cálculo do item anterior. 
 Resp. (a) 
 (b)
 (c) a carga é perdida pela esfera.
3) Considere um condutor cilíndrico de raio 
 percorrido por uma corrente elétrica. Como é comum, considere uma variável r, ou eixo 
, perpendicular ao eixo do cilindro e com origem no centro do cilindro. Para pontos dentro do condutor, isto é para 
, a densidade de corrente é 
, espacialmente constante. Fora desta região, ou seja, para 
 a densidade é 
 Calcule (a) a corrente que percorre o condutor, (b) a parcela de corrente que percorre apenas o miolo do condutor, ou seja, que atravessa a seção 
 e (c) a parcela de corrente que atravessa a região 
 . 
 Resp. (a) 
 (b) 
 (c) zero 
 
 Pista: escolha 
 e 
 paralelos. Isto, em geral, pode ser feito. 
 
4) Considere um condutor cilíndrico de raio 
 percorrido por uma corrente elétrica. Para 
, isto é para pontos internos ao condutor, a densidade de corrente é 
; portanto espacialmente constante e temporalmente variável. Calcule (a) a corrente 
 que percorre o condutor, (b) a parcela de corrente 
 que atravessa a região 
 e (c) o elemento de corrente 
 que atravessa uma coroa circular muito estreita, de raio interno 
e externo 
. Neste item (c) inicie com a equação na forma diferencial 
 e aí integre os dois membros da equação diferencial. 
 Resp. (a) 
 (b) 
 (c) 
 Pista: ao integrar 
 você está integrando no tempo ou no espaço? Veja o seu integrando. 
 
Conceito a ser empregado no próximo problema: Na equação diferencial 
 os elementos di e 
são infini-tesimais. Portanto
é constante na região diferencial 
. Este é o conceito matemático básico de uma equação escrita na sua forma diferencial. Evidentemente que ao se visitar diferentes regiões infinitesimais 
 da superfície S, o parâmetro j ligando os elementos di e 
 poderá mudar. Isto tem algo a ver com o conceito de integral?
 5) Considere um condutor cilíndrico de raio 
 percorrido por uma corrente elétrica. A densidade de corrente no condutor é 
, para 
; portanto variável espacialmente. (a) Determine o valor da densidade de corrente para 
; 
 e 
. (b) Analisando a equação 
 o que acontece com o valor da densidade de corrente j se r for mantido constante e for dada uma volta completa no círculo de raio r? (c) Represente na área de seção reta do condutor uma tira circular de espessura dr na posição r. Note que o comprimento da tira é 
 sendo, portanto, o elemento de superfície 
. (d) Partindo de 
 e mantendo a suposição de 
 paralelo à 
, mostre que esta tira estreita é percorrida pelo elemento de corrente 
. (e) Integrando esta equação diferencial entre limites adequados, deduza que a corrente total 
que percorre o condutor vale 
. (f) Finalmente mostre que o valor médio 
 da densidade de corrente neste condutor vale 
. 
(A densidade média 
 pode ser definida através de 
 onde podemos tirar 
 da integral)
 Resp. (a) 
 (b) a densidade é constante sobre esta linha circular. 
 Sugestão: faça, agora, os problemas 29 e 30.
6) Seguindo o caderno, e partindo das leis de Kirchhoff, deduza a equação para a corrente 
num circuito RC para o processo de carga. Lembrando que 
 e que 
 encontre 
 e 
 a partir de 
. Retire a bateria do circuito e faça o mesmo para o processo de descarga, achando primeiro 
, e desta, encontrando 
 e 
. Defina as condições iniciais para a carga e, depois, para a descarga. 
7) Considere associados em série: 
. Calcule a corrente no circuito, a taxa de transferência de energia debitada ao circuito pela bateria, a taxa de variação de energia que está sendo dissipada no resistor e a potência que está sendo entregue ao capacitor no início da carga e também no início da descarga. Recalcule tudo de novo para 
, isto é para uma constante de tempo. Use 
=0,37. A carga no capacitor é zero no início da carga e a tensão nele, no início da descarga, tem o valor 
 Resposta: início da carga: 
 
 após RC na carga: 
 início da descarga: 
 após RC na descarga: 
 
 
8) Deduza a expressão 
 que dá a energia acumulada em um capacitor. Parta de 
 e lembre que a taxa de variação da energia, ou seja, a potência, é sempre
 para qualquer elemento de circuito. Use também o fato que 
 e integre a equação diferencial resultante. É claro que se agora você diferenciar a equação obtida 
, em qualquer uma das três formas, você recuperará a fórmula da potência 
. Faça-o.
9) Retorne ao problema 7 desta lista e calcule a energia entregue pela bateria até o instante RC na carga, a energia dissipada pelo resistor e a energia acumulada no capacitor até este instante. Para a descarga mostre que a energia dissipada pelo resistor, até o instante RC, é igual à energia perdida pelo capacitor, até este instante. (Talvez você prefira fazer o próximo problema, o 10, antes deste. Dê uma olhada nele).
 Resp. carga: 
 descarga: 
10) Mostre que a equação para a energia, até um instante t qualquer considerado, tem para cada um dos diferentes elementos do circuito RC, as expressões que se seguem. É importante você deduzi-las. Você pode aplicá-las para encontrar os resultados numéricos do problema anterior.
 Respostas: carga: 
 descarga: 
 
11) E o livro texto? Vamos arrumar um? Refaça todas as passagens das aulas, através de seu caderno de anotações. Refaça, pelo menos, os problemas que já estão resolvidos, como exemplos, em seu livro texto.
 12) Considere um fluxo elétrico 
. (a) Este fluxo varia no espaço? Justifique. Considere uma densidade de corrente 
. (b) Esta densidade de corrente varia no espaço? (c) Dê exemplo de uma grandeza que varia tanto no tempo quanto no espaço e escreva sua equação. Reveja problema 7 das notas de aula 1. Resp. (a) não. (b) sim.
13) Uma carga elétrica 
, animada de uma velocidade 
 m/s, penetra em um campo magnético 
 tesla. (a) O campo e a velocidade apresentam variáveis espaciais ou temporais? Justifique. (b) Calcule a força magnética sobre a carga e (c) o módulo desta força. (d) Calcule o seno do ângulo formado entre o campo e a velocidade. ( Nos problemas 2, 14 e 15, em: Notas 3 de Ensino, você trabalhará com grandezasvariáveis no tempo e no espaço. Vá se acostumando a, pelo menos, reconhece-las). 
 
 Resp. (a) Não. Nenhuma variável. Só constantes. (b) 
N (c)
 (d) 
14) Uma agulha magnética, de momento de dipolo 
 SI está imersa num campo magnético 
 tesla. Calcule a energia potencial magnética da agulha, o torque sobre ela e o módulo do torque. Calcule também a tangente do ângulo entre os vetores 
 e 
.
 Resp. 
; 
 
; 
.
15) Com 100 metros de fio constrói-se uma bobina quadrada, de lado igual a 0,5 m. A bobina é colocada dentro de um campo magnético horizontal de 
. A bobina está no plano vertical, forma um ângulo de 30º com o campo e é percorrida por uma corrente de 200 mA Calcule; (a) o número N de espiras que formam a bobina, (b) o ângulo entre o momento de dipolo 
 e o vetor indução magnética 
, (c) o módulo do vetor momento magnético 
 da bobina , (d) o módulo do torque sobre a bobina e a força magnética total sobre a bobina. (e) A força magnética sobre a bobina se sua forma fosse triangular e não quadrada. 
 Resp. 
; 
; zero; zero também.
16) Uma espira circular de 8,0 cm de raio é percorrida por uma corrente de 0,20 A. Um vetor unitário, paralelo ao momento de dipolo 
 da espira, é dado por 
 Se a espira está num campo magnético 
, dado em tesla, determine (a) o momento magnético 
 da espira, (b) o torque sobre a espira e (c) a energia potencial magnética associada à espira. Pista: 
 e 
 
 Resp. 
; 
; 
.
17) O que significa a corrente 
que aparece na equação correspondente à lei de Ampère?
 Resp. é a corrente total que atravessa a superfície aberta 
 definida pelo caminho fechado 
.
 Obs: Para fazer os próximos problemas, principalmente do 18 ao 22, você deve refazer os problemas 3, 4 e 5 desta lista, em detalhes. É necessário também saber, compreender ou decorar, o problema 17. Sem isto. ...
18) Usando linhas de indução represente (e com palavras descreva) a configuração do campo magnético criado por um: (a) fio condutor longo, reto, muito fino e percorrido por corrente constante 
. (b) Fio grosso, de raio 
, reto e longo, percorrido por uma determinada corrente ou uma dada densidade de corrente. Para o fio grosso, representar o campo fora e também dentro do condutor. (c) Solenóide longo percorrido por deter-minada corrente. (d) Toróide de seção reta circular (ou quadrada ) percorrido por uma corrente definida.
 19) Escolha um caminho de integração adequado e, usando a lei de Ampère, calcule o valor do campo magnético criado pelo condutor de corrente do item (a) do problema anterior (18). Resp. 
Importante: Qualquer caminho ampèriano 
, desde que seja fechado, é correto. No entanto se ele não for adequado pode tornar os cálculos muito difíceis de serem realizados; ou conduzir a um valor nulo para o campo. Isto certamente não é interessante. Um procedimento feliz é escolher um caminho fechado que acompanha as linhas de indução, se não no caminho inteiro, pelo menos na região onde se deseja avaliar o campo magnético. No caso de caminho por trechos, os trechos de menor interesse, que ajudam a fechar o caminho, devem ser perpendiculares ao campo, se possível. É também imperativo que a superfície aberta 
, definida pelo caminho fechado 
, seja atravessada por corrente. Caso contrário seu resultado será zero como se infere do problema 17.
 
20) Escolha caminhos de integração adequados, use a lei de Ampère, e calcule o valor do campo magnético tanto dentro quanto fora do condutor do item (b) do problema 18 . (a) Num primeiro caso suponha que o condutor seja percorrido por uma corrente 
. (b) Num segundo caso suponha que o condutor seja percorrido por uma densidade de corrente constante 
 e, (c) num terceiro caso, suponha que a densidade de corrente seja 
 
 Resp. (a) 
; 
 (b) 
; 
 (c) 
; 
21) Calcule o valor do campo magnético tanto (a) dentro quanto (b) fora de um solenóide longo. O solenóide é composto por n espiras por unidade de comprimento, onde 
. Nesta definição N é o número total de espiras do solenóide e 
 seu comprimento total. O solenóide é percorrido por uma corrente 
.
 Resp. (a) 
 ou 
; (b) zero. 
22) Calcule o valor do campo magnético criado por um toróide composto de N espiras circulares, percorrido por uma corrente 
. Resp. 
(dentro do toróide). Nulo fora do toróide.
 23) Calcule o fluxo magnético 
 através do interior de um solenóide longo de raio R, quando alimentado por uma corrente 
. Encontre o fluxo magnético que “flui” no interior de um toróide, de seção reta retangular de lado 
 e altura 
, quando percorrido por uma corrente 
. Veja Halliday p.165 e principalmente p. 213 (4ª edição). Resp. 
�� EMBED Equation.3 .
Exercícios um pouco mais avançados
24) Considere um capacitor sendo carregado, alimentado por uma corrente 
 Envolva a placa positiva do capacitor por uma superfície fechada 
 Usando a equação da continuidade mostre que depois de um tempo 
 uma carga 
 terá se acumulada nesta placa. Agora envolva a placa negativa por uma superfície fechada 
 Do mesmo modo mostre que depois do mesmo tempo 
 acumula-se uma carga 
 nesta outra placa. Você pode mostrar, seguindo raciocínio similar, que a carga total acumulada nas duas placas do capacitor é zero. Carregado ou não a carga total nas duas placas do capacitor é nula. Geralmente é uma bateria a responsável pelo acúmulo de energia no capacitor. O que a bateria efetivamente faz quando entrega energia ao capacitor, uma vez que não entrega carga a ele ?
25) Mostre que enquanto um capacitor é carregado ou se descarrega, existe uma corrente 
 entre suas placas, ou seja, no dielétrico que separa as placas, de valor igual à corrente real 
externa às placas.
26) Retorne ao problema 23. Vimos que o fluxo magnético 
 que atravessa uma seção reta do solenóide longo é dado por 
(a) Quanto vale o fluxo total 
 criado pelo solenóide longo? (b) Justifique o item anterior através da lei de Gauss para o magnetismo. 
 Resp. (a) zero. (b) A lei de Gauss para o magnetismo é 
 Ela nos diz que não existe monopolo magnético isolado. Envolvendo o solenóide por uma superfície gaussiana (ou parte dele) abraçaremos sempre o mesmo número de monopolos norte e sul. O resultado é nulo em qualquer dos casos.
27) Considere um tubo reto cilíndrico (casca cilíndrica), de espessura, 
, com 
 alimentado por uma corrente de densidade de corrente constante 
 na região da casca. Como anteriormente, considere uma variável r, ou eixo 
, perpendicular ao eixo do cilindro e com origem no centro do cilindro. (a) Use a lei de Ampère para mostrar que o campo magnético, para 
 é nulo. (b) Encontre o valor do campo magnético na massa da casca , ou seja para 
. (c) Finalmente calcule o valor do campo magnético fora do tubo. Resp. (b) 
 (c) 
Obs. Note, por este problema, que corrente externa ao caminho de integração não contribui para o valor do campo criado sobre pontos que constituem a superfície de integração. Daí a lei de Ampère só levar em conta a parcela de corrente que atravessa a superfície aberta 
 definida pelo caminho fechado 
; conforme enfatizado no problema 17.
28) Refaça o problema anterior supondo a densidade de corrente 
; agora variável espacialmente.
 Resp. (a) zero (b) 
 (c) 
29) Considere uma região retangular, de lados a e b, com origem no sistema deeixos xoy. Admita uma corrente elétrica atravessando perpendicularmente este retângulo. A densidade de corrente nesta região é dada por 
. (a) Desenhe uma configuração para a distribuição de corrente sobre a superfície retangular. (b) Calcule a densidade de corrente na origem. (c) Como muda a densidade de corrente se for seguida uma linha vertical na região retangular? Como isto lhe ajudará na escolha do elemento 
? (d) Calcule a corrente total que atravessa a superfície retangular. 
 Resp. (b) 
 (c) Não muda; é constante. Por isto será feito 
, onde b 
 é a medida vertical do retângulo. (d) 
 para a sobre o eixo ox.
Sugestão: escolha 
 e 
 paralelos e também rele-ia observação antes do enunciado do problema 5. Neste caso 
.
30) Invente uma densidade de corrente e calcule a corrente associada a esta densidade. Defina antes a região a qual esta corrente atravessará. Escreva o enunciado do problema por você inventado. 
31) Considere uma canaleta (ou calha) vista de cima, côncava e aberta, constituída de três superfícies planas, retangulares, de mesmo comprimento 
 e com larguras a, b e c cada parte. A superfície 
 forma um ângulo de 
com o plano horizontal a 
 um ângulo de 
 e a 
 é horizontal. (a) Mostre que o perímetro da canaleta vale 
. (b) Calcule o fluxo magnético que atravessa a canaleta supondo um campo magnético 
,vertical e uniforme, na região da calha. 
 Resp. 
32) Projete a superfície da canaleta do problema anterior sobre o plano horizontal e (a) mostre que a superfície projetada tem área igual à 
. (b) Calcule o fluxo magnético que atravessa esta área projetada e mostre que seu valor é o mesmo que aquele que atravessa a canaleta original, aquela com dois planos inclinados e um horizontal.
33) Admita um campo elétrico 
 vertical atravessando uma semi-esfera de raio R. A meia-esfera (ou hemisfério) está apoiada sobre um plano horizontal. Calcule o fluxo elétrico que atravessa a superfície curva do hemisfério. Pista: use seu conhecimento adquirido problema anterior; o 32. Resp. 
 
34) O campo magnético criado pela corrente elétrica, dada pelo problema 29, como você pode perceber é variável no espaço, uma vez que a densidade de corrente o é. Assim sendo calcule o valor médio 
do vetor campo magnético criado (a) nas bordas do retângulo e, em seguida, (b) criado nas bordas do primeiro terço do retângulo.
 Resp. (a) 
 (b) 
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 Prof. Mozart
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