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Equação de Kutzbach- Calculo GDL
M = Graus de Liberdade 
L = Número de elos
J1=Número de Juntas com 1 graus de liberdade (completa)
J2=Número de Juntas com 2 graus de liberdade (meia junta)
Se GDL > 0 Mecanismo 
Se GDL = 0 Estrutura
Se GDL < 0 Estrutura pré-carregada
A Condição de Grashof, é uma relação simples, que prevê a
condição de rotação ou rotatividade de inversões do mecanismo
de quatro barras com base apenas no comprimento dos elos.
S + L ≤ P + Q
S= comprimento do elo menor
L= comprimento do elo maior
P= comprimento do elo remanescente
Q= comprimento do outro elo remanescente
MECANISMO 4 BARRAS
Podemos reescrever a equação vetorial na
Forma de numero complexo:
Agora devemos encontrar equações para θ3 e θ4 que sejam funções das variáveis conhecidas, assim queremos:
Então podemos substituir a entidade de
Euller na equação 4.5c:
Podemos separar a equação em parte real e imaginária, e aplicarmos θ1=0, obteremos:
Agora podemos isolar θ3 nas equações 4.6a,b:
Elevando as duas equações ao quadrado e somando:
Pela identidade trigonométrica:
Expandindo os termos:
Para futuramente simplificar essa expressão, as constantes k1, k2 e k3 foram definidas em termos do comprimento constante dos elos na
Equação 4.7c:
Então:
Substituindo a identidade:
Teremos:
Para reduzir a equação 4.8b a uma solução de forma mais amigável, será útil substituir a meia identidade dos ângulos que serão convertidos em termos de sen θ4 e cos θ4 para termos de tan θ4:
Isso resulta, na próxima forma simplificada, em que os comprimentos dos elos e a entrada conhecida (θ2) foram agrupadas como as constantes a, b e c.
Onde:
A solução da equação quadrática 4.10a pode ser dada por:
SOLUÇÃO POSIÇÃO PARA BIELA MANIVELA
Usando a notação por numero complexo:
Pela identidade de euller:
Separando as partes reais e imaginárias e aplicado o valor de θ1 como sendo zero:
• real:
• imaginário:
• substituindo o valor de θ4, encontramos então:
SOLUÇÃO BIELA MANIVELA INVERTIDO
Utilizando o mesmo método do laço vetorial,
Temos uma relação fixa entre θ3 e θ4:
O sinal - é usado para configuração aberta e + para configuração cruzada.
Aplicando o mesmo procedimento, chegamos então:
É possível notar que temos 3 incógnitas (b, θ3 e θ4). Isolando b na eq. 4.19b e substituindo na eq. 4.19a, temos:
Após manipulações algébricas, a eq. 4.20b é reduzida a:
Em que:
Podemos substituir os termos senθ4 e cosθ4 pela identidade da tangente do ângulo-metade e chegar a uma equação quadrática:
A solução é então dada por:
Temos duas soluções, uma para circuito aberto e outra para fechado, conforme o de 4 barras.
SOLUÇÃO PARA MECANISMO DE 5
BARRAS ENGRENADO:
Temos uma relação fixa entre θ2 e θ5 devido ao engrenamento, que depende do ângulo de fase, e a relação de engrenamento é dada por:
Onde φ é o ângulo de fase, θ2 é o ângulo inicial do elo 5 em relação ao elo 2 e λ a relação de transmissão. Desta forma:
Substituindo a equivalência de euller:
Separando as partes reais e imaginárias:
Isolando θ3:
Elevando ao quadrado e somando:
Substituindo a identidade da tangente e
Resolvendo a equação quadrática:
Para θ3:
Para os dois ângulos temos a solução para sistema aberto e cruzado, idêntico ao mecanismo de 4 barras.
Ângulo de transmissão
É o ângulo entre o elo de saída e o acoplador, ele indica a qualidade da transmissão de força e velocidade de um mecanismo. É normalmente tomado como o valor absoluto do ângulo agudo do par de ângulos na intersecção dos dois elos e varia continuamente de um mínimo à um máximo,
Assim que o mecanismo alcança valores
Extremos de seu movimento.
O ângulo de transmissão é dado pela diferença entre θ3 e θ4. Sempre é tomado o valor agudo (menor que 90) e absoluto:
Para mecanismo manivela-seguidor de grashof, ocorre o ângulo mínimo quando a manivela está colinear com o elo terra. Temos duas situações: quando está sobreposto ao elo terra, lei dos cosseno:
• quando não está sobreposto:
O valor mínimo será o menor entre os dois
Valores calculados.
Para duplo seguidor de grashof, o ângulo
Variará de 0 a 90 graus.
Para o triplo seguidor de não-grashof, teremos o valor de 0 para colinearidade das barras b-c.
E valores mínimos para colinearidade nas
Barras a-b. Neste pontos pode ser calculado pela lei dos cossenos:
Singularidades ou pontos mortos
Aplicando a lei dos cossenos:
Que nos dá:
Aplicando o teorema de máximo e mínimo de uma função, temos:
Para satisfazer esta igualdade, senμ=0, ocorre quando μ=0 ou μ=180º, que resulta cosμ=+-1,
Assim:
Podemos, então, encontrar os ângulos
Referentes às singularidades:
O ângulo da singularidade que se encontra no primeiro ou segundo quadrante, pode ser encontrado pelo sinais + ou -. Os outros ângulos de singularidade serão o negativo do ângulo
Encontrado devido à simetria.
Análise de velocidades
Relembrando: a velocidade é taxa de variação da posição em relação ao tempo, pode ser angular, ω, e linear, v.
A figura a seguir mostra um elo pivotado em a no plano xy, com posição definida pelo vetor posição rpa.
Nos interessa a velocidade no ponto p. Se o elo giracom velocidade angular ω, tendo o vetor posição como numero complexo:
A velocidade será então:
Temos que o vetor velocidade vpa sempre estará defasado 90 graus em relação ao ângulo vetor posição rpa e o sentido será de acordo com o sinal da velocidade angular, ou seja, a velocidade é sempre perpendicular ao raio de rotação e tangente à trajetória.
Para um movimento complexo, conforme representado na figura:
A velocidade absoluta do ponto p,vp, será dada pela soma da velocidade relativa vpa e a velocidade do ponto a, va, assim:
SOLUÇÃO ANALÍTICA PARA ANÁLISE
DE VELOCIDADE para 4 barras
Na forma complexa:
Derivando a equação da posição:
Onde:
Como a barra 1 é estacionária, o ângulo θ1 não varia, então:
O objetivo é determinar as velocidades angulares ω3 e ω4, assim temos que encontrar funções da forma:
Para isso, substituímos a identidade de euller na equação:
 multiplicando por j:
Separando a parte real e imaginária,
Real:
Imaginária:
Assim, podemos encontrar diretamente as
Velocidades angulares, uma vez que a posição angular já é conhecida:
As velocidades lineares podem, então,
Ser encontradas:
Biela manivela deslocado
 A SOMA VETORIAL FICA:
USANDO A NOTAÇÃO POR NUMERO COMPLEXO:
DERIVANDO A EQUAÇÃO:
O TERMO D AGORA É ENTENDIDO COMO A VELOCIDADE DE DESLIZAMENTO DO BLOCO.
SUBSTITUINDO A IDENTIDADE DE EULLER:
SIMPLIFICANDO;
• SEPARANDO PARTE REAL E IMAGINÁRIA,
• REAL: 
• IMAGINÁRIA: 
• ASSIM TEMOS:
MECANISMO BIELA MANIVELA INVERTIDO
A velocidade de deslizamento é dada pelo termo:
A relação entre os ângulos é:
O que nos leva, utilizando a diferenciação, à:
Queremos obter funções para nossas variáveis da seguinte forma:
Substituindo a identidade de euller:
Multiplicando por j e substituindo ω3 por ω4:
Assim, separando a parte real e imaginária,
Real:
Imaginária:
Nos leva a:
Chegando ao resultado esperado:
A velocidade linear absoluta dos
Pontos a e b é dada por:
Mecanismo de 5 barras engrenado:
Utilizando a mesma metodologia, escrevemos a equação da posição:
Derivando:
Substituindo a identidade de euller:
A relação entre os ângulos de entrada e saída:
 
Separando as partes real e imaginária,
Real:
Imaginária:
Assim chegamos aos seguintes resultados:
ANÁLISE DE ACELERAÇÃO
A aceleração é a taxa de variação da velocidade no tempo, é uma grandeza vetorial podendo ser linear ou angular. É dada por:
Elo sob rotação pura
Conhecendo os vetores posição e
Velocidade:
Podemos derivar e encontrar a
Aceleração
Movimento complexo
A aceleração absoluta do ponto p será a
Aceleração absoluta de a mais a relativa de p em relação à a, assim temos:SOLUÇÃO DE MECANISMO 4 BARRAS ACELERAÇAO
Como já foi feito anteriormente,
Podemos escrever a equação para
A posição e velocidade, assim:
• posição
• velocidade
• aceleração
Reescrevendo em termos das acelerações
Lineares em cada ponto a eq. 7.7b, temos:
De forma similar à análise de posição e velocidade, temos que encontrar a aceleração angular das barras 3 e 4 em função das variáveis conhecidas, assim:
Utilizando a mesma metodologia dos casos anteriores (posição e velocidade), obtemos as expressões para a aceleração angular das barras 3 e 4:
•as acelerações lineares serão:
SOLUÇÃO BIELA-MANIVELA DESLOCADO:
Escrevendo a equação da posição para o
Mecanismo:
• para a velocidade:
• e para a aceleração:
• que nos leva à:
• onde:
• temos agora que determinar a aceleração angular da barra 3 e a aceleração linear da barra 4. Sua determinação segue a mesma metodologia para posição e velocidade, assim:
ACELERAÇÃO DE CORIOLIS
Quando existem juntas deslizantes em um elo de rotação, estará presente uma componente na aceleração denominada componente de coriolis.
Considerando o sistema anterior, teremos a velocidade no ponto p dada pela velocidade de deslizamento e velocidade de transmissão que é a velocidade resultante da velocidade angular e o vetor posição rp, assim:
Diferenciando a eq. 7.18 em relação ao tempo para obter a aceleração, onde a componente da transmissão tem 3 funções
De tempo: p, w e θ, temos:
• separando os termos:
• portanto, para ocorrer aceleração de Coriolis, o mecanismo terá que apresentar uma velocidade de deslizamento associada à qualquer membro que também tenha velocidade angular.
SOLUÇÃO BIELA MANIVELA INVERTIDO
Escrevendo a equação de posição
Para o mecanismo:
• para a velocidade:
• e para a aceleração:
• que nos leva à:
Sendo
Para conhecer os valores das acelerações, é preciso definir a aceleração da barra 4 e a componente de deslizamento da aceleração, para
Isso relembraremos as seguintes relações:
• então encontramos duas expressões da forma:
• usando a entidade de euller e a mesma
Metodologia para posição e velocidade, temos:
Para encontrar as acelerações lineares, basta apenas substituiros valores encontrados e a identidade de euller na eq. 7.21b,c.
SOLUÇÃO DE 5 BARRAS ENGRENADO
Entao,
ACELERAÇÃO DE QUALQUER PONTO
Uma vez que a aceleração angular de todos os elos foi encontrada, fica fácil determinar e calcular a aceleração em qualquer ponto de qualquer elo do mecanismo para uma posição de entrada.
• basta encontrar o vetor posição e o incremento do ângulo. Considere o sistema:
Para o sistema da figura anterior, conhecendo os valores da aceleração nos pontos a e b, podemos encontrar as acelerações para os pontos s, p e u que poderiam ser os centros de gravidade, por ex. Procedimento:
• encontre os vetores posição do ponto de interesse;
• encontre o módulo do vetor posição;
• encontre o ângulo de incremento entre o vetor posição do ponto desejado e o vetor posição do ponto que foi calculada a aceleração;
• substitua estes valores nas equações de aceleração.
Análise dinâmica
• para a análise de mecanismo de barras, será necessário definir 3 sistemas de coordenadas, são eles:
• scg – sistema de coordenada global, é o sistema geral.
• scnr – sistema de coordenada não rotacionável, será definido no centro de gravidade de cada elo e paralelo ao scg. Neste sistema serão definidos os
Vetores posição.
• sclr – sistema de coordenada local rotacionável, é definido na linha de centro que liga as duas conexões do elo, tendo seu eixo x coincidente com esta linha. Normalmente o cg é definido através deste sistema.
ANÁLISE DO MECANISMO DE 3 BARRAS - BIELA-MANIVELA
Considere umaforça externa atuando no ponto p.
O diagrama de corpo livre de cada elo:
• as forças em cada elo e torque de entrada serão as nossas variáveis desconhecidas.
Elo 2:
• as forças e o torque são desconhecidos,
Mas os vetores posição e aceleração do cg são conhecidos e determinados pelos
Scnr e sclr.
Elo 3
• note que a força fp é conhecida e que podemos utilizar a lei da ação e reação para determinar as força dos elos atuantes, ou seja:
Elo 1:
• pela definição de atrito, podemos escrever para junta deslizante:
Escrevendo as equações para o elo 2:
Escrevendo para o elo 3:
Assim podemos estabelecer o sistema
De matriz do tipo:
A* x = c
Para resolver:
A* x = c
X = c+a^-1
E
A^(-1 )* a = i
Análise de mecanismo de 4 barras
Elo 2
Elo 3
Elo 4
Elo 1
• escrevendo as equações para o elo 2:
Escrevendo para o elo 3:
• escrevendo as equações para o elo 4:
O que nos leva a