Inf. estatistica

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Inferência Estatística 
Profa Alcione Miranda dos Santos
Departamento de Saúde Pública – UFMA
Núcleo de Estatística e Informática – HUUFMA
email: alcione.miranda@terra.com.br
Inferência Estatística
… Inferências a respeito de uma população são feitas, 
baseadas em uma amostra.
… Inferências a respeito de uma parâmetro (por ex. a 
média populacional) são feitas, examinando
estatísticas amostrais (por ex. , a média amostral) .
Inferência Estatística
„ Dois princípios Básicos:
ƒ Testes de Hipóteses
ƒ Estimação
… Estimação Pontual
ƒ A média amostral é uma estimativa pontual da média
populacional
… Estimação por Intervalos
ƒ Intervalos de Confiança
Teoria da Estimação
„ Em estatística, muitas vezes desejamos estimar 
a proporção com que determinado evento 
ocorre. Por exemplo:
… Prevalência de diabéticos no munícipio de São Luís-
MA
… Prevalência de fumo entre os estudantes de Medicina 
da UFMA. 
„ Se desejarmos saber tais prevalências, sem 
erro aleatório, teremos que estudar toda a 
população dos estudantes. 
Teoria da Estimação
„ Através da teoria de estimação podemos tomar 
uma amostra aleatória da população de 
interesse e estimarmos, com uma probabilidade 
de erro conhecida, a verdadeira prevalência 
nesta população.
„ Estimação é o processo pelo qual, usando-se 
um valor amostral (estatística) inferimos o valor 
populacional (parâmetro). 
Teoria da Estimação
„ Estimador- é uma estatística destinada a 
estimar um parâmetro.
„ Existem dois tipos de estimação: 
…Estimação Pontual
…Estimação por Intervalo
Estimativa Pontual
„ Quando a partir de uma amostra representativa da 
população, o pesquisador procura obter um único valor 
para o parâmetro.
Exemplo: Prevalência de fumo entre os estudantes de 
Medicina da UFMA.
onde f é a freqüência do evento na amostra e n é o 
tamanho da amostra
n
fp =ˆ
Estimativa por Intervalo
„ Neste caso, calculamos a margem de erro aleatório de 
uma estimativa e construímos um intervalo.
„ O intervalo contém o parâmetro com uma probabilidade 
pré- definida.
„ Um intervalo de confiança está associado a um grau de 
confiança que é a uma medida da nossa certeza que o 
intervalo contém o parâmetro. 
„ Esta maneira de estimar o parâmetro é mais 
interessante, pois fornece elementos para se discutir a 
precisão da estimativa.
Estimativa por Intervalo
„ O grau de confiança é a probabilidade (1-α)
do intervalo de confiança conter o verdadeiro 
valor do parâmetro. 
„ Geralmente, adota-se α = 1%, 5% ou 10%.
„ α é chamado de nível de significância.
„ A escolha do nível de confiança depende da 
precisão que desejamos estimar o parâmetro.
Intervalo de Confiança para a 
Proporção Populacional
O IC para a proporção populacional é dado por
n
ppzpIC )
ˆ1.(ˆˆ)%]1(;[ 2/
−±=− ααπ
Nota: O intervalo só poderá ser construído quando f ≥ 5 
e n ≥ f + 5
EXEMPLO: Uma droga foi testada em 25 pacientes e apresentou 
efeitos colaterais em 8 casos. Qual a proporção de ocorrência de 
efeitos colaterais? 
„ Estimativa pontual: 8/25 = 0,32 ou 32%.
„ Estimativa por intervalo: Adotando-se um nível 
de significância de 5%, tem-se:
]53,0;15,0[
25
)68,0)(32,0(96,132,0%]95;[ =±=πIC
COMANDO STATA
O comando usado para construir IC para proporção é 
cii n f
com 
n = tamanho da amostra
f = freqüência do evento na amostra 
Para o exemplo anterior, temos:
cii 25 8 
-- Binomial Exact --
Variable | Obs Mean Std. Err. [95% Conf. Interval]
-------------+---------------------------------------------------------------
| 25 .32 .0932952 .1494954 .5350007
pˆ
IC
Intervalo de Confiança para a Média 
Populacional
„ Caso 1: Grandes Amostras (n ≥ 30)
„ Caso 2: Pequenas Amostras (n < 30)
n
szxIC 2/)%]1(;[ ααµ ±=−
n
stxIC n )2/;1()%]1(;[ ααµ −±=−
Distribuição t Student
„ A distribuição de t student tem um tem um 
formato semelhante ao da distribuição normal, 
mas a curva é mais larga.
„ Uma característica importante da distribuição t 
student é o número de graus de liberdade.
Tabela t Student
Se uma distribuição t student
tem 11 graus de liberdade, 
encontre o valor de t que faz 
o a área sombreada ser de 
0,025
]45,15;55,10[15,1.1315,213%]95;[
16
6,413%]95;[ )025,0;15(
=±=
±=
µ
µ
IC
tIC
EXEMPLO: Com o intuito de estudar o conteúdo de ácido láctico no 
sangue de indivíduos com demência precoce, uma amostra de 16 
pacientes foi tomada e os resultados foram os seguintes: média = 13 
mg/100 ml e desvio padrão = 4,6 mg/100 ml. Estime através de 
intervalo de confiança a média do teor de ácido láctico no sangue de 
indivíduos com demência precoce.
COMANDO STATA
O comando usado para construir IC para média populacional é 
cii n me sd
com 
n = tamanho da amostra
me = média amostral
sd = desvio padrão 
Para o exemplo anterior temos:
x IC
. cii 16 13 4.6
Variable | Obs Mean Std. Err. [95% Conf. Interval]
-------------+---------------------------------------------------------------
| 16 13 1.15 10.54883 15.45117
n
S
Testes de Hipóteses 
Profa Alcione Miranda dos Santos
Departamento de Saúde Pública – UFMA
Núcleo de Estatística e Informática – HUUFMA
email: alcione.miranda@terra.com.br
Testes de Hipóteses
„ Algumas vezes existe um particular interesse 
em decidir sobre a verdade ou não de uma 
hipótese específica.
Por exemplo: Se dois grupos têm a mesma média ou 
se o parâmetro populacional tem um valor em 
particular.
„ Teste de hipóteses fornece-nos a estrutura para 
que façamos isto.
„ Quando falamos em hipóteses estamos nos referindo à 
perguntas sobre a relação entre variáveis, por exemplo:
A variável "doença" está associada à variável "fator de risco"?
„ Repare que as hipóteses são apenas fundamentais em 
estudos analíticos ou experimentais.
„ Estudos descritivos não necessitam de hipóteses, basta 
descrever as características da amostra em estudo.
Testes de Hipóteses
„ Hipótese científica: existe um efeito E.
„ Hipóteses estatísticas: diferenças, associação, 
estimação pontual
„ Hipótese nula (H0): ausência de diferença
„ Hipótese alternativa (HA): contrária à H0
„ Testes de hipóteses: fornecem subsídios para 
se rejeitar ou não uma hipótese estatística.
Tipos de Erros
„ Ao tomar uma decisão a favor ou contra uma 
hipótese, existem dois tipos de erros que 
podemos cometer: Erro Tipo I e Erro Tipo II
„ Erro Tipo I: Rejeitar a hipótese nula quando de 
fato ela é verdadeira.
„ Erro Tipo II: Aceitar a hipótese nula quando de 
fato ela é falsa.
Tipos de Erros
Decisão Hoverdadeira Ho falsa
Aceitar a 
hipótese
Decisão correta
(1- α)
Erro de tipo II
β
Rejeitar a 
hipótese
Erro de tipo I
α
nível de significância
Decisão correta 
(1-β)
Poder do teste
Testes Bilaterais e Unilaterais
„ Teste bilateral: há interesse em identificar diferença 
para qualquer direção. 
Exemplo: droga altera a PAS
„ Teste unilateral: apenas tem sentido diferença em 
uma direção.
Exemplo: dieta para redução do nível sérico de 
colesterol.
Testes de Hipóteses
„ Todos os testes de hipóteses têm 
suposições;
„ As suposições devem ser verificadas;
„ Se alguma suposição é violada, então os 
testes estatísticos podem ser inválidos.
Testes de Hipóteses
„ Paramétricos: são baseados nas 
características das distribuições teóricas que a 
distribuição dos dados segue.
„ Não-paramétricos: não fazem suposições 
sobre a distribuição dos dados. Têm menos 
poder.
Passos para realizar um Teste de Hipóteses
„ Passo 1 : Definição da Hipótese
„O primeiro passo é o estabelecimento das hipóteses:„ Hipótese Nula (H0): É um valor suposto para um 
parâmetro.Se os resultados da amostra não forem muito 
diferentes de H0, ela não poderá ser rejeitada.
„ Hipótese Alternativa (HA): É uma hipótese que contraria 
a hipótese nula, complementar de Ho, Essa hipótese 
somente será aceita se os resultados forem muito 
diferentes de Ho. 
Passos para realizar um Teste de Hipóteses
„Passo 2: Calcular a estatística do Teste
„ É o valor calculado a partir da amostra, que será usado na tomada 
de decisão. Uma maneira de tomar-se uma decisão é comparar o 
valor tabelado com a estatística do teste.
„ Para o caso de testes de médias, a estatística do teste é a variável 
padronizada Z:
)n(
)X(Zcal σ
µ−=
Estatística 
do teste
Variabilidade 
das médias
Passos para realizar um Teste de Hipóteses
„ Passo 3: Região Crítica
„ A região crítica é a região onde Ho é rejeitada. A área 
da região crítica é igual ao nível de significância (α), que 
estabelece a probabilidade de rejeitar Ho quando ela é 
verdadeira.
„ Por exemplo, se utilizarmos o nível de significância de 
5%, a probabilidade de rejeitar Ho quando ela é 
verdadeira é igual a 5%. Na prática, os valores usuais 
são: α = 0,01 ou 0,05 ou 0,10.
Passos para realizar um Teste de Hipóteses
„ Unilateral à esquerda:
Ho: µ = 50
HA: µ > 50
„ Unilateral à direita: 
Ho: µ = 50
HA: µ <50
„ Bilateral:
Ho: µ = 50
HA: µ ≠ 50
Passos para realizar um Teste de Hipóteses
„ Passo 4. Regra de Decisão:
‰ Se o valor da estatística do teste cair na região crítica, rejeita-se Ho. 
Ao rejeitar a hipótese nula existe uma forte evidência de sua falsidade.
‰ Ao contrário, quando aceitamos, dizemos que não houve evidência 
amostral significativa no sentido de permitir a rejeição de Ho. 
p-valor
„ Definição: probabilidade de obter o resultado que 
obtivemos ou mais estremo, sendo a hipótese nula é 
verdadeira.
„ O p- valor é comparado ao nível de significância α pré-
determinado.
„ Se o p- valor for menor ou igual ao nível de significância, 
rejeitamos H0.
„ Note as seguintes interpretações de p-valores:
‰ p > 0,10 Não existe evidência contra H0
‰ p < 0,10 Fraca evidência contra H0
‰ p < 0,05 Evidência significativa contra H0
‰ p < 0,01 Evidência altamente significativa contra H0
Testes de Hipóteses
„ Estudaremos testes de hipóteses 
considerando:
(a) Uma única amostra 
(b) Comparação de duas ou mais amostras
„ Primeiramente, vamos estudar teste de 
hipótese para uma amostra.
Uma amostra - Variável quantitativa
Com uma amostra de indivíduos 
queremos saber se a média da 
respectiva população é um 
determinado valor.
Teste de Hipótese para Média Populacional
„ PASSO 1: H0: µM=128 versus HA: µM≠128
„ PASSO 2: Nível de significância: 5%
„ PASSO 3: Estatística do teste:
.,
n
xZ cal 2821,3
7
60
24
1281350 ==−=−= σ
µ
„PASSO 4: Construir a Região de Rejeição (RR)
TESTE BILATERAL
RA
RR RR
„ Portanto, a amostra aleatória sugere que 
medicamento M aumenta a PAS. 
„ Agora, vamos calcular o p- valor para o teste de 
hipótese em questão:
„ Temos que calcular a probabilidade de observarmos 
um valor igual ou superior a 2,28, isto é,
p-valor: P(Z>2,28) =0,013 (distribuição normal)
Como o teste é bilateral, temos que multiplicar por dois 
esta probabilidade. Assim, 0,013 x 2 = 0,026
„ Desde que o p- valor é menor que o nível de 
significância do teste (α = 5%), rejeita- se a hipótese 
nula.
„ Quando o desvio padrão populacional é 
desconhecido, porém n≥30, podemos usar a 
distribuição Normal, mas você deve substituir o desvio 
padrão populacional pelo desvio padrão amostral.
„ Quando o n<30 e o desvio padrão populacional é 
desconhecido, temos que aplicar o teste t de Student
com a fórmula abaixo:
)1(
0 ~ −
−= ncal tns
xt µ
Suposição do teste: A variável quantitativa é normalmente distribuída 
na população.
Exemplo: Teste t
A altura média dos estudantes da UFMA é de 1,70 m. Em 
uma amostra casual de tamanho 25 foi estimada a média 
de 1,72 m e desvio padrão da amostra de 0,08 m. Pode-
se considerar que a média amostral não difere da média 
da população? 
Solução:
mHa 70,1:) 0 =µ mHA 70,1: ≠µ
064,2;05,0) ..24;025,0; == lgcrittb α
25,1
25
08,0
70,172,1) =−=−=
n
s
xtc µ
d) Decisão: Não há evidência para rejeitar H0.
Solução no STATA:
ttesti 25 1.72 0.08 1.70
One-sample t test
------------------------------------------------------------------------------
| Obs Mean Std. Err. Std. Dev. [95% Conf. Interval]
---------+--------------------------------------------------------------------
x | 25 1.72 .016 .08 1.686978 1.753022
------------------------------------------------------------------------------
mean = mean(x) t = 1.2500
Ho: mean = 1.70 degrees of freedom = 24
Ha: mean < 1.70 Ha: mean != 1.70 Ha: mean > 1.70
Pr(T < t) = 0.8883 Pr(|T| > |t|) = 0.2234 Pr(T > t) = 0.1117
mH 70,1: 00 =µ
25,1=calt
contém 1,70m
p valor> 0,05
Teste de Hipótese para Proporção Populacional
„ Vejamos agora teste de hipótese para variáveis 
qualitativas. 
Por exemplo: prevalência de uma doença.
„ Para construção de um teste de hipóteses, para esta 
situação, devemos seguir o mesmo raciocínio 
anteriormente aplicado para variáveis quantitativas.
Teste de Hipótese para Proporção Populacional
„ Estabeleça a hipótese nula e a hipótese alternativa 
Exemplo: H0: π = π 0 versus HA: π ≠ π 0
„ Calcule a proporção amostral
„ Calcule a estatística do teste
n
p
zcal )1(
ˆ
00
0
ππ
π
−
−=
Teste de Hipótese para Proporção Populacional
„ Utilizar a tabela da Distribuição Normal para
determinar o p-valor.
„ Comparar o p-valor do teste com o nível de 
significância do teste.
„ Nota: Uma regra geral é que o teste anterior é 
válido quando temos ambos e 
maiores do que 10.
pnˆ )ˆ1( pn −
Exemplo: Teste de Hipótese para Proporção 
Populacional
Em um região afetada por um surto epidêmico, 
observou- se uma amostra de 2500 indivíduos, tendo-
se encontrado 625 contaminados. Teste, ao nível de 
significância 5%, se a proporção de indivíduos 
contaminados é significativamente superior a 20%.
Solução:
20,0:) 0 =πHa 20,0: >πAH
65,1;05,0) 05,0 == zb α
25,6
2500
)75,01(25,0
2,025,0
)1(
ˆ
)
00
0 =−
−=−
−=
n
p
Zc cal ππ
π
d) Região crítica:
d) Decisão: Há evidência para rejeitar H0.
Solução no STATA:
Não contém 0,2
200 ,:πH =
prtesti 2500 0.25 0.2v
One-sample test of proportion x: Number of obs = 2500
------------------------------------------------------------------------------
Variable | Mean Std. Err. [95% Conf. Interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
x | .25 .0086603 .2330262 .2669738
------------------------------------------------------------------------------
p = proportion(x) z = 6.2500
Ho: p = 0.2
Ha: p < 0.2 Ha: p != 0.2 Ha: p > 0.2
Pr(Z < z) = 1.0000 Pr(|Z| > |z|) = 0.0000 Pr(Z > z) = 0.0000
25,6=calz
p-valor <0,05
Comparação de Dois grupos
„ Na pesquisa médica, é muito freqüente 
necessitarmos comparar médias ou proporções 
de amostras diferentes (por ex. caso x 
controle).
„ Se estamos estudando duas amostras, então 
amostras pareadas ou independentes?
Amostras Independentes
„ Neste tipo de estudo, temos duas amostras, mas cada 
indivíduo participa apenasde uma das amostras.
Amostras Pareadas
„ Num estudo pareado, novamente se tem duas 
amostras, mas cada observação da primeira amostra é 
pareada com uma observação da segunda amostra. 
Dois grupos independentes (uma observação em cada Dois grupos independentes (uma observação em cada 
unidade unidade amostralamostral).).
Exemplos
1. Dois produtos
2. Duas drogas terapêuticas
3. Duas marcas comerciais
4. Dois procedimentos cirúrgicos
5. Dois gêneros
Dois grupos pareados (duas observações em cada unidade Dois grupos pareados (duas observações em cada unidade 
amostralamostral).).
Exemplos
1. Antes e depois de uma intervenção cirúrgica
2. Lados direito e esquerdo
3. Dois períodos diferentes
Teste t para duas amostras independentes
„ A variável de interesse é uma variável 
quantitativa e normalmente distribuída.
„ Exemplo: Comparar produtos alimentícios 
(um novo, outro tradicional) no ganho de peso 
de ratos de laboratório.
„ Você que saber se na população:
¾ As médias são diferentes?
¾ A média do novo produto é maior?
ƒ Você também precisa saber se, na população:
¾ A variabilidade é a mesma nos dois grupos?
¾ A variabilidade é diferente?
ƒ Para verificar se a variabilidade é a mesma 
nos dois grupos, utiliza-se o Teste F.
σσ 2221: ≠AHσσ 22210 : =H versus
„ 1o Caso: Considere a situação em que as duas variâncias 
populacionais são desconhecidas, mas é razoável assumir 
que elas sejam iguais.
„ Neste caso, utiliza- se o teste t- Student para amostras 
independentes.
Estatística do teste: )2(
21
21
21
~
11 −++
−= nn
p
cal t
xxt
nns
com
2
)1()1(
21
2
22
2
112
−+
−+−=
nn
snsnsp
Exemplo: Duas amostras independentes 
com variâncias iguais
„ Um pesquisador gostaria de testar a hipótese que os 
homens são mais pesados que as mulheres à idade 
adulta. Tomou ao acaso uma amostra de 35 alunos, 
sendo 17 do sexo feminino e 18 do masculino.
Média n Variância
Masculino 76,8 18 334,18
Feminino 72,9 17 303,11
Solução:
FMHa µµ =:) 0
FMHb µµ >:) 1
69,1;05,0) .33;05,0 == lgtc α
645,0
04,6
9,3
338,086,17
9,3
17
1
18
186,17
9,728,76
11
)
21
21 ===
+
−=
+
−=
nns p
cal
xxtd
e) Decisão: Não há evidência para rejeitar H0.
Solução no STATA:
Teste F
Comando: stesti n1 . sd1. n2. sd2
Para o exemplo anterior, temos:
sdtesti 18 . 18.28 17 . 17.41
Variance ratio test
------------------------------------------------------------------------------
| Obs Mean Std. Err. Std. Dev. [95% Conf. Interval]
---------+--------------------------------------------------------------------
x | 18 . 4.308637 18.28 . .
y | 17 . 4.222545 17.41 . .
---------+--------------------------------------------------------------------
combined | 35 . . . . .
------------------------------------------------------------------------------
ratio = sd(x) / sd(y) f = 1.1024
Ho: ratio = 1 degrees of freedom = 17, 16
Ha: ratio < 1 Ha: ratio != 1 Ha: ratio > 1
Pr(F < f) = 0.5753 2*Pr(F > f) = 0.8494 Pr(F > f) = 0.4247
Podemos concluir que as variâncias populacionais são iguais (p-valor=0,8494)
Solução no STATA:
Teste t-student para variâncias iguais
Comando: ttesti n1 me1 sd1 n2 me2 sd2
ttesti 18 76.8 18.28 17 72.9 17.41
Two-sample t test with equal variances
------------------------------------------------------------------------------
| Obs Mean Std. Err. Std. Dev. [95% Conf. Interval]
---------+--------------------------------------------------------------------
x | 18 76.8 4.308637 18.28 67.70957 85.89043
y | 17 72.9 4.222545 17.41 63.9486 81.8514
---------+--------------------------------------------------------------------
combined | 35 74.90571 2.993466 17.70959 68.82226 80.98917
---------+--------------------------------------------------------------------
diff | 3.9 6.041423 -8.391367 16.19137
------------------------------------------------------------------------------
diff = mean(x) - mean(y) t = 0.6455
Ho: diff = 0 degrees of freedom = 33
Ha: diff < 0 Ha: diff != 0 Ha: diff > 0
Pr(T < t) = 0.7385 Pr(|T| > |t|) = 0.5230 Pr(T > t) = 0.2615
Podemos concluir que as médias populacionais são iguais (p-valor=0,5230)
„ 2o Caso: Agora, considere a situação em que as duas 
variâncias populacionais são desconhecidas e 
desiguais.
„ Neste caso, deve- se utilizar o teste t student com 
variâncias desiguais.
„ A estatística do teste é dada por
vcal t
n
s
n
s
xxt ~
2
2
2
1
2
1
21
+
−=
2
11 2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
1
2
1
−
+
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
++
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +
=
n
n
S
n
n
S
n
S
n
S
νcom
Comando no STATA: ttesti n1 me1 sd1 n2 me2 sd2, unequal
Teste de Hipóteses para Duas Médias Populacionais
„ Agora, vamos considerar amostras pareadas.
„ A variável de interesse é quantitativa e normalmente 
distribuída. 
„ Novamente, o interesse é testar a hipótese nula de que 
as duas médias das populações são iguais.
„ As hipóteses a serem testadas são
H0: µ1 = µ2 versus HA: µ1 ≠ µ2
„ Em vez de considerarmos os dois conjuntos de 
observações como amostras distintas, focalizamos a 
diferença de medições dentro de cada par. 
Amostra 1 Amostra 2 
x11
x21
x31
x41
.
xn1
x12
x22
x32
x42
.
xn2
„ Usamos esses dados para criar novo conjunto de 
observações que representam as diferenças dentro de 
cada par:
d1=x11-x12
d2=x21-x22
d3=x31-x32
dn=xn1-xn2
„ A partir dessas diferenças calculamos a média
e o desvio padrão 
„ Estatística do teste:
n
d
d
n
i
i∑
== 1
1
)(
1
−
−
=
∑
=
n
dd
s
n
i
i
d
)1(~ −= n
d
cal t
n
s
dt
Teste de Hipóteses para Duas Proporções 
Populacionais
„ Primeiramente, vamos considerar amostras independentes.
„ O interesse é comparar dois grupos através do resultado 
observado em uma variável dicotômica.
„ O problema de comparação das proporções populacionais 
nos dois grupos é formulado através das hipóteses: 
H0: π1 = π 2 versus HA: π1 ≠ π 2
Teste Qui Quadrado
„ É um teste muito usado na área médica que se 
destina a comparar proporções. 
„ Utiliza-se o teste qui-quadrado quando deseja-se 
verificar se a freqüência com que um determinado 
acontecimento observado em uma amostra se 
desvia significativamente ou não da freqüência 
com que ele é esperado.
Teste Qui Quadrado
Grupo Ocorrência
SIM
do Evento
NÃO
Total
I a b a + b = n1
II c d c + d = n2
Total a + c = m1 b + d = m2 n1+ n2 = n
Exemplo
„ Os dados a seguir são referentes ao sexo e condição 
de sobrevivência de uma amostra de recém- nascidos 
com síndrome de desconforto idiopático grave.
Sexo sobrevivente Não 
sobrevivente
Total
Feminino
Masculino
Total
10
17
27
7
16
23
17
33
50
Você diria que meninos sobrevivem mais do que meninas?
Exemplo
Cálculos necessários para a construção do teste qui-quadrado:
i Oi Ei Oi- Ei (Oi- Ei)2 (Oi- Ei)2
Ei
1
2
3
4
Total
10
17
7
16
50
9,18
17,82
7,82
15,18
50
0,82
-0,82
-0,82
0,82
0
0,6724
0,6724
0,6724
0,6724
2,6896
0,07
0,04
0,08
0,04
0,23
O valor da estatísticado teste é 0,23. Como este valor é maior do que 3,84, 
valor obtido da distribuição qui-quadrado, para um nível de de significância 
de 5%, não rejeitamos a hipótese nula, ou seja, os meninos não sobrevivem 
mais do que as meninas. 
Restrições ao Uso do Teste Qui-Quadrado
„ Quando 20 ≤ n ≤ 40, utilizar o teste qui-quadrado se nenhuma 
freqüência esperada seja inferior a 5. Em caso contrário, utilizar 
o Teste Exato de Fisher.
„ Quando n < 20, utilizar o Teste Exato de Fisher.
„ Quando n > 40, utilizar o teste qui-quadrado.
„ Quando o número de categorias for maior do que 2, não mais 
que 20% das categorias devem ter freqüências menores que 5 
e nenhuma categoria deve ter freqüência menor que 1.