Fisica 1C Aula 28: Rolamento

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AULA 28
ROLAMENTO
Só estudaremos casos onde os objetos rolam sem deslizar,
ou seja, não há movimento relativo entre as superfícies em
contato, no ponto de contato.
AULA 28 – ROLAMENTO
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Condição de não-deslizamento:
Quando um objeto rola sem deslizar sobre uma superfície, o
movimento é chamado de rolamento suave.
∆𝒙𝑪𝑴
Sempre que um
objeto rola sem
deslizar, a distância
linear percorrida pelo
seu centro de massa
deve ser igual ao
comprimento do arco
de círculo descrito
por um ponto na
periferia do objeto.
∆𝒔
𝑹
∆𝜽
∆𝒙𝑪𝑴 = ∆𝒔
∆𝒙𝑪𝑴 = 𝑹 ∙ ∆𝜽
𝑨
𝑨
AULA 28 – ROLAMENTO
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𝒙𝑪𝑴 = 𝑹 ∙ 𝜽Condição de não-deslizamento para aposição:
Derivando em relação ao tempo:
𝒗𝑪𝑴 = 𝑹 ∙ 𝝎
Condição de não-deslizamento para a
velocidade:
Derivando em relação ao tempo:
𝒂𝑪𝑴 = 𝑹 ∙ 𝜶
Condição de não-deslizamento para a
aceleração:
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Pontos a diferentes distâncias do eixo de rotação descreverão
trajetórias diferentes
Ciclóide
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Rolamento como uma combinação de translação e rotação:
O movimento de rolamento pode ser representado como uma
combinação do movimento de translação pura do centro de
massa mais o movimento de rotação pura de todos os outros
pontos do objeto em torno do centro de massa.
translação pura rotação pura rolamento
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E se o corpo rolar com 
uma aceleração..... CM
aa

2
0v
0a

CMaa


O ponto do objeto que está em contato com a superfície precisa
ter velocidade instantânea nula pois caso contrário haveria
deslizamento do objeto em relação à superfície. Nunca há
atrito cinético atuando no rolamento suave, apenas atrito
estático (supondo apenas um ponto de contato entre as
superfícies).
AULA 28 – ROLAMENTO
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Rolamento como uma rotação pura:
O movimento de rolamento também pode ser representado
como uma rotação pura em torno do ponto de contato com a
superfície (correspondendo ao eixo de rotação, onde v = 0).
𝑷 𝑷 𝑷
𝝎
𝝎
𝝎
𝑪𝑴
𝑹
𝒗 = 𝝎 ∙ 𝒓
rotação pura:
𝑻
𝟐𝑹
𝒗𝑪𝑴 = 𝝎 ∙ 𝑹
𝒗𝑻 = 𝝎 ∙ 𝟐 ∙ 𝑹
𝒗𝑻 = 𝟐 ∙ 𝒗𝑪𝑴
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Energia cinética de rolamento:
Considerando o movimento de rolamento como uma rotação
pura em torno do ponto de contato com a superfície
𝑷
𝝎𝝎
𝑪𝑴
𝑹
𝑲 =
𝟏
𝟐
∙ 𝑰𝒑 ∙ 𝝎
𝟐
Mas como o ponto P não é o centro de
massa do objeto, precisamos calcular
IP pelo teorema dos eixos paralelos:
𝑰𝑷 = 𝑰𝑪𝑴 +𝑴 ∙ 𝒉
𝟐
AULA 28 – ROLAMENTO
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𝑰𝑷 = 𝑰𝑪𝑴 +𝑴 ∙ 𝑹
𝟐
𝑲 =
𝟏
𝟐
∙ 𝑰𝑪𝑴 +𝑴 ∙ 𝑹
𝟐 ∙ 𝝎𝟐
𝑲 =
𝟏
𝟐
∙ 𝑰𝑪𝑴 ∙ 𝝎
𝟐 +
𝟏
𝟐
∙ 𝑴 ∙ 𝑹𝟐 ∙ 𝝎𝟐
Pela condição de não-deslizamento, temos: 𝒗𝑪𝑴 = 𝑹 ∙ 𝝎
AULA 28 – ROLAMENTO
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𝑲 =
𝟏
𝟐
∙ 𝑰𝑪𝑴 ∙ 𝝎
𝟐 +
𝟏
𝟐
∙ 𝑴 ∙ 𝒗𝑪𝑴
𝟐
A energia cinética de rolamento é composta de um termo
puramente rotacional e outro termo puramente translacional
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O papel do atrito no rolamento:
Quando liberado na posição mostrada abaixo do alto de um
plano inclinado real, um disco de hóquei desce rolando
suavemente.
𝑪𝑴
𝑹
- Quem faz o disco girar?
- Para onde age a força de atrito?
- Por que ele rola e não desliza?
AULA 28 – ROLAMENTO
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- Quem faz o disco girar?
Os suspeitos usuais seriam o peso 𝑷 e a normal 𝑵 ...
𝑷
𝑪𝑴
𝑵
Mas como o disco gira em torno do seu CM, os torques são:
𝝉𝑷 = 𝒓𝑷 ∙ 𝑷 ∙ 𝐬𝐞𝐧𝝋𝑷
Como P age no centro de massa,
𝝉𝑷 = 𝟎 ∙ 𝒎 ∙ 𝒈 ∙ 𝐬𝐞𝐧𝝋𝑷 = 𝟎
𝝉𝑵 = 𝒓𝑵 ∙ 𝑵 ∙ 𝐬𝐞𝐧𝝋𝑵
Como N age na direção radial,
𝝉𝑵 = 𝑹 ∙ 𝑵 ∙ 𝐬𝐞𝐧𝟏𝟖𝟎° = 𝟎
𝒓𝑵
𝑹
AULA 28 – ROLAMENTO
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Então nem o 𝑷 nem a 𝑵 causam torque! Consequentemente, a
força que faz o disco girar tem que ser a força de atrito
estático!
𝑷
𝑪𝑴
𝑵
Como a força de atrito sempre
tem sentido oposto à tendência de
deslizamento, nesse caso ela está
no sentido contrário ao de Px.
𝒓𝑵
𝒇𝒆
𝝉𝒇𝒆 = 𝒓𝒇𝒆 ∙ 𝒇𝒆 ∙ 𝐬𝐞𝐧𝝋𝒇𝒆
𝝉𝒇𝒆 = −𝑹 ∙ 𝒇𝒆 ∙ 𝐬𝐞𝐧𝟗𝟎°
𝝉𝒇𝒆 = −𝑹 ∙ 𝒇𝒆 (giro horário)
- Para onde age a força de atrito?
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Porque num plano real sempre há possibilidade de uma força
de atrito atuar. O atrito surge sempre que há tendência ao
deslizamento, aparecendo no sentido contrário à essa
tendência. Quando o disco é colocado com um só ponto em
contato com a superfície (aproximadamente), surge
inicialmente o atrito ESTÁTICO. Como essa força de atrito
estático já é capaz de causar torque, ela inicia o movimento
de rolamento e não aumenta em valor máximo até virar atrito
cinético.
- Por que ele rola e não desliza?
AULA 28 – ROLAMENTO
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𝑪𝑴
𝑹
𝑪𝑴
𝑹
𝑪𝑴
𝑹
Exemplo:
Um disco de hóquei está inicialmente em repouso sobre uma
superfície horizontal áspera. Um agente externo então realiza
uma ação sobre o disco. Indique qual a direção da força de atrito
agindo sobre o disco e qual o torque resultante em cada caso:
𝑭
a) Uma força externa é
aplicada sobre o CM do
disco, na direção
ilustrada.
b) Uma força externa é
aplicada na borda
superior do disco, na
direção ilustrada.
c) Um torque externo é
aplicado ao disco,
gerando uma a no
sentido ilustrado abaixo.
𝜶
𝑭
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𝑪𝑴
𝑹
a) Uma força externa é aplicada sobre o CM do disco, na direção
ilustrada.
Como a força F age no centro do disco,
em torno do qual ele pode girar, o torque
de F será nulo pois a distância do eixo ao
ponto de aplicação de F é zero. Mas F
causa uma tendência ao deslizamento
para a direita. Contrária à essa tendência,
surge uma força de atrito estático (não
chega a haver deslizamento) para a
esquerda. Essa força de atrito estático
causa um torque, pois age no ponto de
contato com a superfície, a uma distância
R do eixo. E esse torque produz um giro
no sentido horário, para este caso.
𝑭
tendência ao
deslizamento
𝒇𝒆
𝝉𝒇𝒆 = 𝒓 ∙ 𝒇𝒆 ∙ 𝐬𝐞𝐧𝝋
𝝉𝒓𝒆𝒔 = −𝑹 ∙ 𝒇𝒆
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𝑪𝑴
𝑹
𝑭
b) Uma força externa é aplicada na borda superior do disco, na
direção ilustrada.
tendência a
derrapagem
(deslizar)
𝒇𝒆
Como a força F age na borda do disco,
ela agora gera uma tendência ao giro,
pois está a uma distância R do eixo
central. O torque de F induz um giro no
sentido horário, de forma que, no ponto
de contato com o solo, o disco tende a
derrapar, empurrando o solo para a
esquerda da figura. Contrária à essa
tendência, surge uma força de atrito
estático para a direita. Essa força de atrito
estático também causa um torque, que no
caso é oposto ao de F, portanto no
sentido anti-horário.
𝝉𝒇𝒆 = 𝑹 ∙ 𝒇𝒆
𝝉𝒓𝒆𝒔 = −𝑹 ∙ 𝑭 + 𝑹 ∙ 𝒇𝒆
𝝉𝑭 = −𝑹 ∙ 𝑭
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𝑪𝑴
𝑹
c) Um torque externo é aplicado ao disco, gerando uma a no
sentido ilustrado abaixo.
Se há um torque externo agindo, há
tendência à derrapagem no ponto de
contato com a superfície. Essa tendência
sempre aparece no sentido em que o
disco varia sua velocidade angular. Logo,
uma força de atrito surge no sentido
contrário ao da tendência à derrapagem,
gerando um torque que se soma
vetorialmente ao torque externo.
tendência a
derrapagem
𝒇𝒆
𝜶
𝝉𝒓𝒆𝒔 = 𝝉𝒆𝒙𝒕 − 𝑹 ∙ 𝒇𝒆
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Por exemplo, quando começa a pedalar
uma bicicleta, você imprime uma
aceleração angular à roda traseira.
Essa aceleração angular gera uma
tendência à derrapagem no ponto de
contato entre a roda traseira e o chão.
Como resultado, uma forçade atrito
estático aparece, no sentido oposto ao
da tendência à derrapagem.
Assim, o atrito estático é o responsável
pelo translado da bicicleta!
𝜶
tendência à
derrapagem
𝒇𝒆
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