O modelo atômico de Bohr - quantização do momento orbital e linhas espectrais

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O modelo atômico de Bohr
Introdução
O átomo, segundo a definição proposta por Bohr, é definido como unidade básica da matéria, que consiste em um núcleo central de carga positiva e uma rede de elétrons ao seu redor. O núcleo é formado por prótons positivamente carregados e nêutrons com carga neutra, os elétrons ao redor do núcleo possuem carga negativa e a ligação entre o núcleo e a rede de elétrons é chamada de interação coulombiana. Átomos com mesmo número de elétrons e prótons apresentam carga neutra, porém, com o processo de ionização, podem ganhar ou perder elétrons, tornando o átomo carregado positivamente, quando o número de prótons é maior que o de elétrons, ou carregado negativamente, quando o número de elétrons é maior que o de prótons.
	 O experimento feito por Rutherford consistiu em emitir um feixe de partículas alfa (α) em uma placa fina de ouro, e com isso, esperava-se que as partículas fossem refletidas pela placa de ouro, por ser feita de átomos maciços, porém muitas partículas atravessaram a folha e algumas foram desviadas. Esse foi o ponto em que constataram que os átomos não são maciços e sim, constituído em um núcleo rodeado por uma nuvem de elétrons. Com essa descrição, foi possível observar o átomo como concepção planetária.
	 Para entendermos melhor, consideraremos o átomo mais simples de hidrogênio, o movimento em uma órbita circular é descrita com força centrípeta constante, mas como a força gravitacional do núcleo não é suficiente para o movimento circular, se faz necessário outra força para contribuir com o movimento, que é descrita pela força coulombiana:
(01)
Sendo que que é a constante dielétrica de Coulomb com valor igual a 8,98755.10^9 N m²/ C². Essa equação pode ser comparada com a segunda lei de Newton, sendo que a força resultante é dada pela força de Coulomb e a aceleração como aceleração centrípeta.
	 Para o átomo de hidrogênio, o elétron não se move ao redor do próton, mas ambos circundam o centro de massa em comum, observação que se faz necessária para incorporar o efeito introduzido a massa reduzida µ:
		
(02) 
m= 9,10938215(45) ⋅ 10^-31kg, massa do elétron
M= 1,672621637(83) ⋅ 10^-27kg, massa do próton
	 Observando a equação acima, onde m é a massa do elétron e M é a massa do próton, obtêm-se o valor de µ= 9,10442⋅10^-31. Uma vez que a massa do próton é cerca de 1.800 vezes maior que a do elétron, o termo M/(M+m) é praticamente 1 e consequentemente µ ≈ m. Apesar de m e µ representarem o mesmo valor por questões históricas, m é utilizado para massa do elétron de hidrogênio e µ representa a massa reduzida de um elétron qualquer.
Quantização do momento angular orbital
Em 1913, Bohr criou uma hipótese ad hoc em que o momento angular do elétron da sua trajetória circular em torno do núcleo só poderia assumir valores discretos múltiplos de ħ (constante de Planck dividida por 2):
, onde n= 1,2,3 ...				(03)
	Para obter uma expressão que determinasse quais valores os raios das órbitas eram admissíveis no átomo de hidrogênio, Bohr considerou o modelo atômico de Rutherford (sistema planetário em que um átomo é constituído por um núcleo de massa maior e um elétron com massa menor que circula esse núcleo). Supondo que a massa do núcleo era maior que a do elétron, ele considerou que esse núcleo estava parado. Aplicando a 2ª Lei de Newton para essa condição a força de interação (força coulombiana) é a responsável pelo efeito centrípeto: 
 						(04)
	. 
Juntando as equações (03) e (04), chegamos a equação que determina quais são os raios de órbitas possíveis. O momento para uma partícula de massa M e de velocidade V que esteja em uma trajetória circular de raio R é:
						 			(05)
	Isolando a velocidade na equação (05) temos que , substituindo na equação (04) e isolando o raio temos que:
0							(06)
	A equação (05) nos diz quais são os raios permitidos para o átomo de hidrogênio no modelo de Bohr, esses raios são proporcionais ao quadrado de n e 0 é o raio de Bohr.
Então 0=.
A energia total de um elétron em órbita é a soma das energias cinética e potencial:
 	(07)
Com a equação (07), podemos determinar os níveis de energia para o átomo de hidrogênio.
Linhas espectrais no modelo de Bohr
Por causa da quantização do momento angular, no modelo de Bohr os elétrons não irradiam pouca energia e assim não espiralam para o núcleo, mas eles podem transitar entre os estados. Segundo Bohr, um elétron com energia mais alta com número quântico n2 pode migrar para um estado mais baixo de energia, com número quântico n1. Através dessa mudança é liberado um fóton cuja energia é igual a diferença entre as energias dos estados (BAUER, 2013). 
Tal energia é ligada a frequência segundo a relação de Planck (), então:
				(08)
Como a frequência da luz é relacionada ao comprimento de onda e usando a velocidade da luz (c), , tem-se que:
				(09)
Assim, a partir da fórmula das energias, mostrada anteriormente, é gerada a relação: 
 					(10)
onde o valor de suas constantes multiplicadas, ou seja, , é igual a , o que representa o valor da constante de Rydberg determinada experimentalmente. Na sequência, utilizando o modelo de Bohr, é possível determinar tal constante através da fórmula: 
						(11)
O modelo de Bohr, possibilita a explicação da estrutura das linhas do espectro do hidrogênio e as transições entre níveis podem ser mostradas no diagrama de níveis de energia correspondente as séries de Balmer (infravermelho), Lyman (ultravioleta) e Paschen (infravermelho), todas do hidrogênio (figura 1). A série de Paschen tem o e o , já Balmer apresenta e e Lyman 
(TIPLER, 2014).
Figura 1 Níveis de energia (Tipler)
A figura apresenta o diagrama de níveis (a) mostrando os 7 primeiros níveis estacionários e as 4 primeiras transições de cada série, onde a linha tracejada é a energia irradiada pelo elétron em repouso em cada série e a distância horizontal entre as transições é a diferença entre os comprimentos de onda correspondentes. Na figura (b) estão representadas as linhas espectrais das transições das séries (TIPLER, 2014). 
Para esse modelo, o elétron é considerado como uma partícula puntiforme, gerando problemas conceituais e o estado fundamental do hidrogênio é igual a 1h mas os experimentos posteriores indicam que o momento angular orbital, ou estado fundamental, é nulo para esse átomo. Porém, a solução real para o átomo de hidrogênio deve ser próxima ao postulado por Bohr (BAUER, 2013).
Questões Para Fixação de Conteúdo 
1) Escolha, dentre as alternativas, aquela que fornece as palavras corretas para preencher as lacunas vazias do enunciado relacionado ao modelo atômico estabelecido por Böhr.
Quando um elétron absorve certa quantidade de ................., salta para uma órbita mais ....................... Quando ele retorna à sua órbita original, .................... a mesma quantidade de energia na forma de ........................
a) calor, energizada, libera, onda eletromagnética.
b) energia, energética, absorve, onda eletromagnética.
c) calor, energizada, absorve, luz.
d) energia, energética, libera, onda eletromagnética.
e) energia, externa, libera, luz.
R: d) energia, energética, libera, onda eletromagnética.
Quando um elétron absorve certa quantidade de energia, salta para uma órbita mais energética. Quando ele retorna à sua órbita original, libera a mesma quantidade de energia na forma de onda eletromagnética.
2) Assinale V (verdadeira) ou F (falsa) para as questões relacionadas ao átomo de Böhr:
I. Quando o elétron recebe energia, salta para um nível mais energético.
II. Quando o núcleo recebe energia, salta para um nível mais externo.
III. Se um elétron passa do estado A para o estado B, recebendo X unidades de energia, quando voltar de B para A devolverá X unidades de energia na forma de ondas eletromagnéticas.
IV. Quando um elétron passa de um estado menos energético para outro mais energético, devolve energia na forma de ondas eletromagnéticas. 
R: V,F,V,F.
3) Devido a qual condiçãoum elétron não pode irradiar pequenas quantidades de energia?
4) Calcule a energia do quinto estado excitado de um átomo de hidrogênio. 
R: –0,378 eV.
5) Átomos de hidrogênio são bombardeados com elétrons de 13,1 eV. Determine o comprimento de onda de linha espectral mais curta que os átomos emitem.
6) Um átomo excitado de hidrogênio emite um fóton com energia de 1,133 eV. Quais são os estados inicial e final desse átomo, antes e após a emissão? R: inicial: 6; final: 3. 
5. Referências Bibliográficas
[1] BAUER, Wolfgang, WESTFALL, Gary D., DIAS, Helio. Física para Universitários: Óptica e Física Moderna. Bookman, 01/2013.
[2] TIPLER, Paul A., LLEWELLYN, Ralph A. Física Moderna, 6ª edição. LTC, 08/2014. 
[3] MARTINS, Jorge Sá., Átomo de Bohr Níveis de energia., Universidade Federal Fluminense. IF., 07 de jun. 2011. Disponível em: << http://videoaulas.uff.br/category/professor/jorge-sim%C3%B5es-de-s%C3%A1-martins>> acessado em 08/11/2017 às 15:45 h.