Artigo Sinais e Sistemas

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UNIVERSIDADE FERAL RURAL DO SEMI-ÁRIDO
CENTRO MULTIDISCIPLINAR DE PAU DOS FERROS
ENGENHARIA DE COMPUTAÇÃO
SINAIS E SISTEMAS
SINAIS E SISTEMAS 
EMANOEL LUCAS RODRIGUES COSTA
JOÃO VITOR GOUVEIA RICARTE
JORGIANIA VANERICA ALVES DIAS
 
 
PAU DOS FERROS – RN
2017
RESUMO
Neste trabalho será utilizar de sinais e sistemas para a partir deles obtermos as respostas aos impulsos, as transformadas de Fourier, Laplace e Diagramas de pólos e zeros, de forma analítica e computacional. Assim, é possível aplicar todos os conhecimentos adquiridos durante a disciplina, de modo, a perceber o conteúdo visto é aplicado cotidianamente das mais diversas formas, como sinais de voz até sinais de investimento do mercado financeiro. Da mesma, os sistemas também são aplicados cotidianamente, desde um simples sistema de controle até um sistema de processamento de sinais. A ferramenta matemática computacional escolhida para este trabalho foi o MATLAB. 
1 INTRODUÇÃO
Podemos definir um sinal como sendo “uma função de uma ou mais variáveis, na qual a mesma veicula informação sobre a natureza de um fenômeno físico”. Essa função pode ser encontrada de forma unidimensional, quando depende somente de uma única variável ou de forma multidimensional, quando depende de duas ou mais variáveis. Os sinais eles podem ser classificados como discreto e continuo, onde no sinal discreto a função que os descreve é definida para todos os valores de suas variáveis. Já no sinal continuo, a função que os descreve é definida apenas para alguns valores de suas variáveis (HAYKIN, 2001); (LATHI, 2007).
 Temos como exemplos de sinais, sinais de voz (unidimensional), sinais de imagens (multidimensional), diagnósticos de saúde de pacientes e investimentos do mercado financeiro, onde esses sinais são aplicados cotidianamente (HAYKIN, S.; VAN VEEN, 2001); (LATHI, 2007); (BERTOGNA, 201-?). 
Da mesma forma, definimos sistema como uma entidade que manipula um ou mais sinais para realizar uma função, produzindo novos sinais. Essa produz uma transformação em um sinal, onde a saída poderá ser a modificação da entrada ou extração de informações desta entrada. O sinal pode ser do tipo contínuo ou discreto. Podemos citar como exemplos de sistemas, os sistemas de comunicações, sistemas de controle, sistemas de processamento de sinais (HAYKIN, S.; VAN VEEN, 2001); (LATHI, 2007); ; (BERTOGNA, 201-?).
São classificados também como sistema causal e não-causal, um sistema é causal se a saída depender somente de valores presentes e/ou passados do sinal de entrada. Um sistema será não-causal se depender de valores futuros do sinal de entrada (HAYKIN, S.; VAN VEEN, 2001); (LATHI, 2007) ; (BERTOGNA, 201-?).
Para obter resultados, como a resposta ao impulso de um sistema, podemos utilizar diferentes formas de resolução. Neste trabalho iremos utilizar sinais e sistemas para a partir deles obtermos as respostas aos impulsos, as transformadas de Fourier e Laplace, de forma analítica e computacional. 
2 RESPOSTA AO IMPULSO PARA SISTEMA LINEARES E INVARIANTES NO TEMPO (LTI)
A resposta ao impulso é um método utilizado para caracterizar completamente o comportamento de um sistema LTI. Pode-se determinar a resposta para uma entrada qualquer arbitrária conhecendo a resposta ao impulso (HAYKIN, S.; VAN VEEN, 2001); (LATHI, 2007) ; (BERTOGNA, 201-?). Ela é baseada na aplicação de um impulso na entrada do sistema no instante ou , sendo a resposta ao impulso, como podemos observar na formula abaixo:
onde o H é o operador do sistema.
 No sistema de tempo discreto uma sequência de impulso é obtida facilmente. Já no sistema de tempo contínuo, ele é considerado como um pulso de grande amplitude e largura fina.
3 CONVOLUÇÃO 
A convolução é uma operação na qual ela toma dois sinais como base para gerar um terceiro sinal. Assim como nos sistemas, a convolução tem sua solução para o tempo discreto e para o tempo contínuo. No sistema de tempo discreto é utilizado a soma de convoluções, no sistema de tempo contínuo é usado a integral de convolução (HAYKIN, S.; VAN VEEN, 2001); (LATHI, 2007). 
A soma ponderada a um impulso deslocado no tempo é expressa na equação abaixo:
essa expressão é conhecida como soma de convolução para o tempo discreto.
A integral da Convolução, em que a somatória de todas as respostas ao impulso ponderadas e deslocadas no tempo para k, agora se converte em uma integral em , de - a + , como pode ser a seguir:
Onde: 
 representa a entrada arbitrária
 a resposta ao impulso do sistema no tempo contínuo 
 Considerando um sistema de tempo contínuo, onde o operador do sistema é H, apresentando uma saída quando uma entrada é aplicada, logo o resultado acima pode ser comprovado. Sabendo que qualquer sinal de tempo contínuo pode ser representado por: 
Logo, pode ser escrito como: 
4 TRANSFORMADA DE FOURIER
 Seja um sinal não-periódico de duração finita, ou seja, , para e seja agora um sinal periódico formado pela repetição de com um período fundamental de (HAYKIN, S.; VAN VEEN, 2001); (LATHI, 2007).
 Se , teremos: 
E a serie exponencial de Fourier de será:
Sendo: 
 os coeficientes de Fourier complexos, dados por:
Definindo como sendo:
Fazendo algumas considerações nas expressões mostradas acima, podemos chegar ao resultado da representação de Fourier de um sinal não periódico: 
 A função é chamada de Transformada de Fourier de , e a expressão é chamada de Transformada Inversa de Fourier, onde elas formam o par de transformadas que podem ser denotadas por (HAYKIN, S.; VAN VEEN, 2001); (LATHI, 2007):
Transformada de Fourier de :
Transformada Inversa de Fourier de :
 4.1 Espectro de Amplitude
 Assumindo que os coeficientes de Fourier de um sinal seja:
 Fazendo o versus a frequência angular (), o gráfico gerado é chamado de Espectro de amplitude do sinal , já a frequência angular ( versus , é chamado de Espectro de Fase do sinal (HAYKIN, S.; VAN VEEN, 2001); (LATHI, 2007).
 Os valores de são inteiros, então os gráficos de Amplitude e Fase não são curvas contínuas, mas só ocorrem nas frequências discretas (), sendo assim, por essa razão são chamados de Espectros Discretos de Frequência (HAYKIN, S.; VAN VEEN, 2001); (LATHI, 2007). 
 
5 TRANSFORMA DE LAPLACE 
	A definição da Transformada de Laplace Bidirecional de um sinal de tempo contínuo é expressa da seguinte forma: 
a variável tem um valor complexo e pode ser expressa como: 
Em contrapartida à Transformada de Laplace Unidirecional é definida como:
E as duas transformadas serão equivalentes somente se para .
	 A partir disso, resulta que será a Transformada de Laplace Inversa de que pode ser expressa por: 
Essa integral é calculada ao longo de com o variando de a . O sinal e sua transformada de Laplace formam um par de transformadas que é simbolizada por :
5.1 Diagramas de Pólos e Zeros
	Os pólos e zeros de uma função de transferência pode ser representado por um diagrama de pólos e zeros. O diagrama é um gráfico bidimensional conhecido como plano s.
Pólos ou zeros no semiplano esquerdo, são todos negativos;
Polos ou zeros no semiplano direito, são todos positivos; 
Polos ou zeros são reais ou em pares complexos conjilgado como 
6 EXEMPLOS DE SINAIS E SISTEMAS DE FORMA ANALITICA E COMPUTACIONAL 
Exemplo 1: Iremos a partir do sinal e sistema mostrado abaixo, encontrar a resposta ao impulso e aplica-los em um método computacional para gerar os gráficos e respostas para as transformadas de Fourier, Laplace, espectro de amplitude e Diagrama de pólos e zeros. O mesmo será feito no Exemplo 2. 
Forma analítica 
Definição do sistema:
	
	
	(1)
Definição do Sinal 
	
	
	(2)
Resposta ao impulso unitário para o sistema (1):
Para as condições iniciais 
Logo
Resposta a entrada definida pelo sinal (2):
Método computacional aplicando a resposta ao impulso do sinal em Fouriere Laplace.
A ferramenta matemática computacional escolhida para o método computacional foi o MATLAB, porém, o Scilab consegue fazer as mesmas funções. 
O código utilizado para a geração da transformada de Fourier e espectros, Laplace e polos de zeros está mostrado abaixo. Os gráficos e os resultados gerados pela ferramenta poderão ser visualizados nas Figuras 1, 2, 3, 4 e 5 abaixo. 
function X = FourierT (funcao,lim1,lim2)
syms t j w;
X = int(funcao*(exp(-j*w*t)),t,lim1,lim2);
 
w = -20:.01:20;
inline(X);
ans (-20:.01:20);
fprintf('TRANSFORMADA DE FOURIER X(w):\n');
fprintf('\n');
pretty(X)
figure();
plot (w,real(ans),'g', 'linewidth',2.5);
title ('Espectro de Amplitude |X(\omega)|' );
xlabel ('Frequencia (\omega)');
grid on;
figure();
plot (w,imag(ans),'r','linewidth',2.5);
title ('Espectro de Fase |<X(\omega)|');
xlabel('Frequencia (\omega)');
grid on;
 
end
%%%%%%%%%%%%%%TRANSFORMADA DE FOURIER E ESPECTROS%%%%%%%%%%%%%%%%%
clear;
clc;
 
syms t
funcao = exp(-10*t);
funcao2 = (exp(-1*t)-exp(-2*t));
fprintf('RESPOSTA DO SINAL\n');
fprintf('SINAL APLICADO:\n');
pretty(funcao);
%%%%%%%%CHAMADA DA FUNÇÃO%%%%%%%%%%%%%%
FourierT (funcao,0,10);%FourierT(funcao, limite inferior, limite Superior)
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
fprintf('\n');
fprintf('ESPECTRO DE AMPLITUDE: FIGURA 1\n');
fprintf('ESPECTRO DE FASE: FIGURA 2');
 
fprintf('\n--------------------------------------------------');
fprintf('\n\n\nRESPOSTA DO SISTEMA\n');
fprintf('\nSISTEMA:\n');
pretty(funcao2);
FourierT (funcao2,0,10);
fprintf('\n');
fprintf('ESPECTRO DE AMPLITUDE: FIGURA 3\n');
fprintf('ESPECTRO DE FASE: FIGURA 4');
%%%%LAPLACE%%SISTEMA%%SINAL%%%DIAGRAMA%%DE%%POLOS%%E%%ZEROS
clear;
clc;
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%FUNÇÕES%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
syms t s
funcao = exp(-10*t);
sistema = ('D2y+3*Dy+2*y=0, Dy(0)=1, y(0)=3');
ft1 = (3*s+10); ft2 = (s^2+3*s+2);
ft = ft1/ft2;
zeros =roots([3 10]); polos = roots([1 3 2]);
tl = laplace(funcao);
til = ilaplace(ft);
 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
----------------------RESPOSTA DO SINAL FOURIER ---------------------
RESPOSTA DO SINAL
SINAL APLICADO:
exp(-10 t)
TRANSFORMADA DE FOURIER X(w):
(exp(-w 10i) exp(-100) - 1) 1i
------------------------------
 w - 10i
Figura 1: Espectro de amplitude do sinal
Figura 2: Espectro de fase do sinal
------------------------RESPOSTA DO SISTEMA-----------------------
RESPOSTA DO SISTEMA SISTEMA:
exp(-t) - exp(-2 t)
TRANSFORMADA DE FOURIER X(w):
 1i 1i exp(-w 10i) exp(-10) 1i exp(-w 10i) exp(-20) 1i
- ----- + --------- + ------------------------------ - ------------------------------
 w - i w - 2i w – i w - 2i
Figura 3: Espectro de amplitude do sistema
Figura 4:Espectro de fase do sistema
	LAPLACE
SINAL:
exp(-10 t)
SISTEMA
D2y +3 *Dy + 2*y = 0, Dy(0) = 1, y(0) = 3
TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA O SINAL:
 1
------
s + 10
FUNÇAO DE TRANFERENCIA:
 3 s + 10
------------
 2
s + 3 s + 2
zeros = 
 -3.3333
polos =
 -2
 -1
RESPOSTA DO SISTEMA (TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE):
7 exp(-t) - exp(-2 t) 4
DIAGRAMA DE POLOS E ZEROS
Figura 5: Diagrama de polos e zeros
Exemplo 2: Foi utilizado o mesmo código para esse exemplo, onde, foi substituído o intervalo, o sinal, o sistema e a resposta ao impulso de um para o outro. Os resultados podem ser observados nas Figuras 6,7,8,9 e 10 abaixo. 
Forma analítica 
Definição do sistema:
	
	
	(3)
Definição do Sinal 
	
	
	(4)
Resposta ao impulso unitário para o sistema (1):
Para as condições iniciais obtemos:
Logo
Resposta a entrada definida pelo sinal (2):
 
Substituindo os valores: 
Pela propriedade do intervalo de , temos:
Pela propriedade da distributiva e pela propriedade de convolução:
Resolvendo a integral, obtemos a resposta a entrada definida pelo sinal:
Método computacional aplicando a resposta ao impulso do sinal em Fourier e Laplace.FOURIER
----------------------RESPOSTA DO SINAL---------------------
RESPOSTA DO SINAL
SINAL APLICADO:
u(t) - u(t-1)
TRANSFORMADA DE FOURIER X(w):
Figura 6:Espectro de amplitude do sinal
Figura 7:Espectro de fase do sinal
---------------------RESPOSTA DO SISTEMA-----------------------
RESPOSTA DO SISTEMA
SISTEMA:
exp(-2 t) exp(t)
--------- - ------
 3 3
TRANSFORMADA DE FOURIER X(w):
 1i 1 exp(-w 10i) exp(-20) 1i exp(-w 10i) exp(10)
- ---------- - --------------------- + --------------------------------- + ---------------------------
 3 (w - 2i) 3 (- 1 + w 1i) 3 (w - 2i) (- 1 + w 1i) 3
Figura 8: Espectro de amplitude do sistema
Figura 9:Espectro de fase do sistema
LAPLACE
SINAL:
u(t) - u(t-1)
SISTEMA
1*D2y-1*Dy-2*y=0, Dy(0)=1, y(0)=0
TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA O SINAL:
FUNÇAO DE TRANFERENCIA:
 1
- ------------
 2
 - s + s + 2
zeros =
 ZEROS INEXISTENTES
polos =
 2
 -1
RESPOSTA DO SISTEMA (TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE):
exp(2 t) exp(-t)
-------- - -------
 3 3
DIAGRAMA DE POLOS E ZEROS
Figura 10: Diagrama de polos e zeros
REFERÊNCIAS 
Sinais e Sistemas Lineares. LATHI, B.P. 2ªEd. Bookman, 2007.
Sinais e Sistemas. HAYKIN, S.; VAN VEEN, B. 1ªEd., Bookman, 2001.
Apostilha de Sinais e Sistemas. Bertogna, Eduardo G. UTPR, 201-?