fluidos6 nm

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Sabendo que P 1, P 2 e P 3 são os pesos aparentes de um mesmo corpo quanto 
totalmente imerso em três líquidos diferentes de pesos específicos ρ 1, ρ 2 e ρ 3 respectivamente, 
demonstrar que
 ρ 2−ρ 3 P 1 ρ 3−ρ 1 P 2 ρ 1−ρ 2 P 3= 0
Dados do problema
• pesos aparentes do corpo: P 1, P 2, P 3;
• pesos específicos do corpo: ρ 1, ρ 2, ρ 3.
Solução
O peso específico é dado por
ρ= P
V
onde V é o volume do corpo que permanece constante.
Escrevendo esta expressão para as três situações, temos
ρ 1 =
P 1
V
V ρ 1 =P 1 (I)
ρ 2 =
P 2
V
V ρ 2 =P 2 (II)
ρ 3 =
P 3
V
V ρ 3 =P 3 (III)
subtraindo a expressão (II) de (I), temos
V ρ 1 = P 1
V ρ 2 = P 2
V ρ 1−V ρ 2 = P 1−P 2
colocando o volume V em evidência do lado esquerdo da igualdade, obtemos
V  ρ 1−ρ 2 =P 1−P 2 (IV)
da expressão (III) isolando o volume V, temos
V =
P 3
ρ 3
(V)
substituindo (V) em (IV), fica
P 3
ρ 3
 ρ 1−ρ 2 = P 1−P 2
P 3  ρ 1−ρ 2 = ρ 3  P 1−P 2 
P 3  ρ 1−ρ 2 = ρ 3 P 1−ρ 3 P 2
somado e subtraindo ρ 2 P 1 e ρ 1 P 2 do lado direito da igualdade, temos
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P 3  ρ 1−ρ 2 = ρ 3 P 1−ρ 3 P 2ρ 2 P 1−ρ 2 P 1ρ 1 P 2−ρ 1 P 2
Observação: somando e subtraindo esses termos estamos, na verdade, somando zero, o que 
não altera a expressão inicial.
P 3  ρ 1−ρ 2 = ρ 3 P 1−ρ 3 P 2ρ 2 P 1−ρ 2 P 1
0
ρ 1 P 2−ρ 1 P 2
0
coletando o 1.º e o 4.º termos do lado direito da igualdade e colocando P 1 em evidência, e 
coletando o 2.º e o 5.º termos e colocando P 2 em evidência ,obtemos
P 3  ρ 1−ρ 2 =  ρ 3−ρ 2  P 1− ρ 3−ρ 1  P 2ρ 2 P 1−ρ 1 P 2 (VI)
Re-escrevendo as expressões (I) e (II) como
V =
P 1
ρ 1
 e V =
P 2
ρ 2
igualando estas duas expressões, temos
P 1
ρ 1
=
P 2
ρ 2
ρ 2 P 1 = ρ 1 P 2 (VII)
substituindo IVII) em (VI), obtemos
P 3  ρ 1−ρ 2 =  ρ 3−ρ 2  P 1− ρ 3−ρ 1  P 2ρ 2 P 1−ρ 2 P 1
P 3  ρ 1−ρ 2 =  ρ 3−ρ 2  P 1− ρ 3−ρ 1  P 20
− ρ 3−ρ 2  P 1 ρ 3−ρ 1  P 2 ρ 1−ρ 2  P 3 = 0
−ρ 3ρ 2  P 1 ρ 3−ρ 1  P 2 ρ 1−ρ 2  P 3 = 0
 ρ 2−ρ 3 P 1 ρ 3−ρ 1 P 2 ρ 1−ρ 2 P 3= 0 Q.E.D
Observação: Q.E.D. é a abreviação da expressão em latim “quod erat demosntrandum” que 
significa “como queríamos demonstrar”.
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