Aula Webconferência II Estatística

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WEBCONFERÊNCIA II
PROFESSOR(A): Antonio C. M. Afonso
UNIDADE 2
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
• As medidas de tendência central que iremos estudar serão:
• Média
• Mediana
• Moda
• Os exemplos abordarão situações com dados agrupados e não agrupados
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
• Média: É uma medida que funciona como o ponto central de um conjunto
de dados
• É a medida de tendência central mais popular e pelas suas propriedades
matemáticas é bastante usada na Estatística Inferencial
• Vamos tratar de 2 tipos de média:
• Aritmética Simples
• Aritmética Ponderada
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
• Média Aritmética Simples: É obtida quando somamos todos os elementos
de um conjunto e dividimos este resultado pelo número de elementos do
próprio conjunto (n), como está representado na equação abaixo:
• Exemplo: Qual a média aritmética de 5, 6, 7 e 8?
�̅ �
5 � 6 � 7 � 8
4
� 6,5
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
• Média Aritmética Ponderada: Fazemos o produto entre o valor do
elemento e o “peso” ou “frequência” desse valor, somam-se os resultados
dessas multiplicações e divide-se pelo somatório dos pesos
• Exemplo: Utilizando a tabela ao lado,
determine a média ponderada.
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
• A média ponderada será calculada assim
• Se os dados estiverem organizados em uma distribuição de frequências
com intervalo de classe, a média ponderada será calculada com os pontos
médios de cada classe (utilizando a mesma equação)
�̅ �
59 ∗ 2 � 68 ∗ 10 � 75 ∗ 7 � 80 ∗ 9 � 84 ∗ 2
30
� 73,36
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
• Exemplo: Considere que um treinador de futebol de uma pequena equipe
tenha à disposição 40 jovens com a distribuição de altura, expressa em
centímetro, a seguir:
• Qual deverá ser a altura média, expressa em centímetros, desse plantel?
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
• Antes de calcular a média temos que identificar os pontos médios de cada
classe. Vamos utilizar para isso a equação
• O ponto médio da primeira classe será:
• Seguindo o mesmo raciocínio, os pontos médios das classes seguintes são:
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
• Feito isto, podemos substituir todas as
informações disponíveis na equação
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
• Mediana: Em um rol de dados ordenados (em ordem crescente ou
decrescente), a mediana é o valor que separa os dados na metade dos
elementos.
• rol com quantitativo par de dados: O valor da mediana será calculado pela média
aritmética dos valores centrais.
• Exemplo: Determine a mediana do rol abaixo.
• A mediana desses 14 elementos será a média aritmética entre o 7º e 8º elementos
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
• Para identificar a posição da mediana, utilizamos a relação
• O valor calculado não é um número, mas uma posição. Ou seja, a mediana está
entre o 7° e 8° elementos
• Aplicando a regra entre esses valores obtemos
• Obs: Não necessariamente o valor obtido deva estar no conjunto de elementos, ele
apenas indica que metade dos elementos são menores que este valor e a outra
metade são maiores.
�� �
7 � 9
2
� 8
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
• rol com quantitativo ímpar de dados: O valor da mediana corresponde ao
termo central.
• Exemplo: Determine a mediana do rol a seguir.
• A mediana desses 11 elementos será o valor que está na metade da lista, ou seja, o
6° valor da sequência
• Para nosso exemplo, o valor 9 (que é o 6º na sequência) é o valor da mediana dos
dados.
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
• Mediana em dados agrupados: Quando lidamos com dados agrupados em
classes, a mediana é obtida utilizando esta expressão:
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
• Exemplo: Qual a mediana para as estaturas representadas na tabela?
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
• Calcular EMd:
• Marcar a classe que correspondente àquela que possui frequência
acumulada imediatamente superior ao valor obtido no passo anterior. No
nosso exemplo, a 3ª classe, 158 – 162 (faa = 24);
• De posse desses resultados vamos completar a equação:
��� �
40
2
� 20
Md � 158 � 4 ∗
20 − 13
11
� 160,55
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
• Moda: É o valor que mais se repete em um rol de elementos. Observe os
seguintes exemplos:
• A = {1, 1, 2, 3, 5, 5, 5, 6, 8, 9, 11}
Unimodal: Mo = 5 (três repetições)
• B = {2, 2, 2, 2, 3, 3, 5, 5, 6, 7, 8, 8, 8, 8, 9, 12}
Bimodal: Mo = 2 e Mo = 8 (cada um deles com quatro repetições)
• C = {2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2}
Amodal (sem repetições, apenas um valor aparece)
• D = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Amodal (são valores distintos, mas sem repetições).
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
• Se os dados forem agrupados? Quando se trata de dados agrupados (com
intervalo de classe) temos algumas fórmulas que podem ser usadas para
descobrir o valor da moda. As mais usadas são:
• Fórmula de Czuber:
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
• Fórmula de King:
• Vamos comparar os valores obtidos para nosso exemplo das estaturas utilizando as
duas fórmulas
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
• Moda utilizando Czuber
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
• Moda utilizando King
MEDIDAS DE DISPERSÃO
• As principais medidas de dispersão são:
• Amplitude
• Variância
• Desvio padrão
• Coeficiente de variação
MEDIDAS DE DISPERSÃO
• AMPLITUDE ou RANGE (R): diferença entre o maior e o menor valor de um
conjunto de dados.
• Tem a desvantagem de levar em consideração apenas os dois valores
extremos, desprezando todos os outros.
• É uma medida absoluta, ou seja, carrega consigo a unidade da variável.
MEDIDAS DE DISPERSÃO
• VARIÂNCIA: é a média aritmética calculada a partir dos quadrados dos
desvios (ou diferenças) entre os valores dos elementos do conjunto
estudados e sua média
• Extremamente importante na inferência estatística e em combinações de amostras,
porém a variância tem a desvantagem de ser expressa em unidades da variável ao
quadrado
• Quando a série de dados representa uma amostra, a variância é denotada por s2, e
quando provém de uma população, é denotada por σ2.
MEDIDAS DE DISPERSÃO
• DESVIO-PADRÃO: por definição o desvio-padrão será a raiz quadrada da
variância.
• Ao extrairmos a raiz quadrada da variância corrigimos o problema da unidade ao
quadrado, isto é, a unidade retorna a sua medida original e ainda mantemos a ideia
das distâncias dos elementos de um conjunto estudado com sua média aritmética.
• Mantendo a notação letras gregas e latinas para expressar a população e a amostra,
teremos como fórmula para o desvio-padrão
MEDIDAS DE DISPERSÃO
• COEFICIENTE DE VARIAÇÃO (CV): o Coeficiente de Variação é a razão entre
o Desvio Padrão e a Média Aritmética, e é geralmente expresso em
porcentagem.
• Trata-se de um número puro (sem unidade de medida), sendo, portanto, uma
medida relativa. A grande utilidade do COEFICIENTE DE VARIAÇÃO é permitir a
comparação de variabilidade de diferentes conjuntos de dados.
MEDIDAS DE DISPERSÃO
• Exemplo: Uma pessoa recebeu três propostas de emprego e quer escolher
estatisticamente a empresa que irá trabalhar. Para tanto conseguiu
conversar com alguns dos empregados de cada uma das empresas e,
aleatoriamente, coletou os dados sobre o salário, pagos em reais, de alguns
desses empregados. O resultado da sua pesquisa foi:
• De posse desses dados, você escolheria qual dessas empresas?
MEDIDAS DE DISPERSÃO
• As médias são:
• Observando somente a média, não teria diferença entre as empresas.
Então vamos observar outras medidas.
MEDIDAS DE DISPERSÃO
• As amplitudes são:
• Se fossemos escolher olhando para a amplitude talvez a empresa C não fosse a mais
indicada já que a diferença entre os maiores e menores salários de seus empregados
é muito alta. Lembre-se que a amplitude não enxerga os valores intermediários e,
portanto, não seria um valor confiávelpara sua escolha. Já que os valores entre
esses limites parecem ter uma importância na escolha da empresa vamos calcular
sua variância.
MEDIDAS DE DISPERSÃO
• As variâncias são:
MEDIDAS DE DISPERSÃO
• Ela não será um bom parâmetro já que seus valores, em unidade, estão em
“reais ao quadrado” o que do ponto de vista econômico não faz nenhum
sentido.
• Devemos, portanto, extrair a raiz quadrada desses valores e obtermos o desvio
padrão de cada amostra.
MEDIDAS DE DISPERSÃO
• Conclusão:
• Se você for do tipo conservador sua escolha deve ser a Empresa A, já que
não há nenhuma variabilidade nos seus resultados.
• Mas, se você tiver um perfil mais arrojado, sua escolha seria a Empresa C.
Pois você pode ascender salarialmente nela.
PROBABILIDADE
• Experimento aleatório: todas as vezes que se ao repetir um experimento,
mantendo-se constante suas condições, e os valores obtidos puderem
variar, estamos diante de um experimento aleatório
• Vamos pensar nos exemplos mais simples:
• Lançar uma moeda ou um dado qualquer
• ou escolher uma carta de baralho
• Sempre que você realizar esse experimento o resultado é imprevisível,
mesmo que os valores se repitam (o que é bastante improvável) ao longo
dos experimentos
PROBABILIDADE
• Espaço amostral: denotado por S ou Ω, espaço amostral é o conjunto de
todos os resultados possíveis de um experimento aleatório.
• Exemplos:
• O lançamento de um dado simples (6 faces), o espaço amostral deste experimento é
Ω = (1, 2, 3, 4, 5, 6}
• Uma moeda Ω = {cara, coroa}
• Para o baralho (coringas não contam) Ω = {52 cartas}.
PROBABILIDADE
• Vamos aplicar alguns exemplos muito comuns de espaço amostral da teoria
das probabilidades
• O espaço amostral do lançamento de dois dados:
• O espaço amostral de cada família entrevistada numa pesquisa, onde foram
anotadas: A classe social a que pertence (A, B, C, D) e o estado civil, Casado (C) ou
Solteiro (S) do chefe da família.
PROBABILIDADE
• Com a ideia do espaço amostral podemos evoluir para o conceito de
probabilidade:
• Se em um fenômeno aleatório as possibilidades são igualmente prováveis, então a
probabilidade de ocorrer um evento A, aqui denotado por P(A), será expressa pela
razão
• Exemplo: Determine a probabilidade de, em um lançamento de dois dados
honestos, a sua soma seja igual a 7.
PROBABILIDADE
• Observando a matriz dos resultados, aparece em destaque os elementos cuja soma
é EXATAMENTE sete. Contando esses elementos teremos seis resultados possíveis
• Se considerarmos como A = {a soma dos dados ser sete} como sendo nosso evento
desejável e aplicando a fórmula de probabilidade, teremos:
PROBABILIDADE
• Exemplo: De acordo com a tabela a seguir, determine as probabilidades.
• a) Uma pessoa do sexo masculino e que prefira consumir a marca C?
PROBABILIDADE
• b) Uma pessoa do sexo feminino que prefira consumir a marca A?
• c) Dentre os entrevistados do interior, um que prefira consumir a marca A?
OPERAÇÕES COM EVENTOS
• Também podemos realizar algumas operações com os conjuntos e o melhor
é que isso tem uma grande aplicação no conceito de probabilidade
• Vamos aplicar um exemplo para entender melhor estas operações
• Exemplo: Uma pesquisa encomendada por uma loja de departamentos esportivos
entrevistou, 2000 “atletas de fim de semana” que foram classificados de acordo com
o tipo de esporte que praticam. Futebol é praticado por 260 dos entrevistados, vôlei
por 185 entrevistados e musculação por 210 entrevistados, sendo que alguns dos
entrevistados praticam mais de um desses esportes. Desse modo tem-se 42 dos que
responderam a pesquisa disseram que praticam vôlei e musculação, 12 futebol e
musculação, 18 futebol e vôlei e 3 praticam as três modalidades. Se um desses
entrevistados é sorteado ao acaso, qual é a probabilidade de:
OPERAÇÕES COM EVENTOS
• a) Praticar somente vôlei ou futebol
• b) Praticar Futebol e Musculação
• c) Não praticar nenhum destes esportes
OPERAÇÕES COM EVENTOS
• a) Praticar somente vôlei ou futebol
• Vemos aqui o conectivo “OU”, vamos então aplicar a operação de união
• A = {o entrevistado pratica vôlei} e B = {o entrevistado pratica Futebol}
OPERAÇÕES COM EVENTOS
• b) Pratica Futebol e Musculação
• Vemos aqui o conectivo “E”, vamos então aplicar a operação de intersecção
• A = {o entrevistado pratica Musculação} e B = {o entrevistado pratica Futebol}
OPERAÇÕES COM EVENTOS
• c) Não praticar nenhum destes esportes
• Para responder a essa questão vamos usar a ideia de complementar
• Considere o evento A = {o entrevistado pratica algum dos esporte}