Relatório do Experimento Pêndulo de Torção

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ENGENHOCAS 
Pêndulo de torção 
 
 
 
 
 
Ana Carolina Malatesta 132270404 
Beatriz Barcellos Mattos 132270412 
Eduarda Mihara 132270382 
Sabrini Oliveira 132270668 
 
Profª. Drª. Maria Lúcia Pereira Antunes 
Laboratório de Física II 
 
 
Sorocaba, maio de 2014. 
1. OBJETIVOS 
O objetivo do experimento é estudar o movimento de um pendulo de torção, 
bem como através de medida do período calcular a constante K do fio. 
 
2. INTRODUÇÃO 
O pêndulo de torção (figura 1) é um sistema físico que realiza oscilações 
harmônicas quando deslocado (angularmente) da sua posição de equilíbrio. O 
pêndulo de torção é um pouco diferente dos demais pêndulos, pois oscila de 
forma giratória. [1 e 2]. 
O período desse tipo de pêndulo é determinado pelo “momento de inércia” 
(grau de dificuldade de um corpo para girar) do sistema, que depende do raio 
entre as massas e o centro de rotação. Ao aumentar a distancia da massa ao 
centro de rotação, o período do pêndulo aumenta, da mesma forma, ao se 
diminuir essa distancia, o período diminuirá. [1, 2 e 4] 
 
Figura 1 – Pêndulo de torção [5] 
 
O período de oscilação de um sistema qualquer, depende do material 
deformado, e do corpo ao qual este material está preso, assim a o período 
dependerá do fio e do corpo suspenso. Desta forma a grandeza física utilizada 
como elemento restaurador é o torque. (Equação 1). 
 (1) 
O k é uma constante própria do fio, ela é denominada de coeficiente de 
restituição ou coeficiente de torção do fio. 
O torque restaurador causa na massa uma aceleração angular: (Equação 2). 
 (2) 
Isolando-se a derivada, podemos obter a equação do oscilador: (Equação 3) 
 (3) 
A solução da equação será: (Equação 4) 
 (4) 
Onde é dado pela equação 5: 
 (5) 
Lembrando que o período se relaciona com segundo a equação 6. 
 
 
 
 (6) 
Podemos escrever o período do pendulo de torção pela equação 7: 
 (7) 
Como exemplo da aplicação do pêndulo de torção, existem alguns relógios de 
torção (figura 2) que são, geralmente, cobertos com uma cápsula de vidro para 
que não sofra influência do meio externo. Devido ao fio apresentar um diâmetro 
muito pequeno essas influências podem causar deformações e alterar os 
períodos de rotação, prejudicando, assim, o funcionamento do equipamento. 
 
Figura 2 – Relógio de torção [6]. 
 
3. MATERIAIS E MÉTODOS 
3.1 Materiais: 
 2 Sarrafos de madeira 49,5 x 9,5 
 2 Sarrafos de madeira 50 x 14,7 
 Um martelo; 
 8 Pregos; 
 Um cilindro plástico oco; 
 Cimento; 
 Lixa para madeira (200); 
 Tesoura; 
 Gancho metálico; 
 Cabo de aço; 
 Fio de cobre; 
 Pequeno pedaço de arame 
 Pincel 
 Verniz 
 
3.2 Métodos: 
 
Como construir o pêndulo de torção: 
Inicialmente, lixou-se a madeira para deixa-la mais lisa. Em seguida, 
realizou-se a montagem do suporte de madeira, pregando-se os pedaços de 
madeira, deixando um deles na horizontal, e outros dois na vertical. O quarto 
pedaço foi pregado do outro lado, na horizontal (como na figura 3). 
 
Figura 3 – Estrutura que dará sustentação ao pêndulo 
 
O corpo que será pendurado no fio para formar o pêndulo foi feito 
utilizando-se um cilindro oco de plástico, revestido com cimento (figura 4), no 
qual foi acoplado um gancho que servirá de base para o cabo de aço que 
sustentará o peso. 
 
Figura 4 – Cilindro preenchido com cimento com um gancho acoplado. 
 
O corpo que será pendurado no fio para formar o pêndulo foi feito 
utilizando-se um cilindro oco de plástico, revestido com cimento (figura 4), no 
qual foi acoplado um gancho que servirá de base para o cabo de aço que 
sustentará o peso. 
Para o preparo do cimento, juntou-se uma medida de cimento para três 
medidas de areia, misturando os materiais. Em seguida adicionou-se água, 
mexendo a mistura até que esta ficasse com uma textura plástica. O tempo de 
cura é de no mínimo 24h. 
Em seguida amarrou-se o fio de aço/cobre de modo que estes ficassem 
bem presos tanto ao gancho do cilindro quanto ao suporte de madeira. O corpo 
de prova e a estrutura de suporte para o pêndulo estão representados na figura 
5. 
 
 
Figura 5 – Pêndulo pronto sem o fio. 
 
Como utilizar o pêndulo de torção: 
Cálculo do momento de inércia 
Para calcular o momento de inércia do corpo, deve-se medir o raio do cilindro 
utilizando uma régua ou trena. A sua massa deve ser obtida com a utilização 
de uma balança. 
Cálculo do período 
Para realizar as medições do período, primeiramente deve-se fazer uma 
marcação no corpo de prova, que será referencia para a sua medida. A partir 
dessa marca de referência, rotacione o corpo por 180º e solte-o. O tempo deve 
ser cronometrado durante dez oscilações. O período será obtido dividindo-se o 
tempo dessas oscilações por 10. 
 
4. RESULTADOS 
Cálculo do momento de inércia 
Foi usado como pêndulo, um cilindro maciço, consultado da literatura [3] temos 
que o seu momento de inércia (I) é dado pela equação (8): 
I=
 
 
 (8) 
Como a massa do pêndulo cilíndrico é 1,4 (±0,001) kg e o raio do pêndulo 
cilíndrico é 4 cm ou 4. (±0,005) m, temos que : 
I= 
 
 
 
 = 1,12. kg. 
A propagação de erro do momento de inércia (I) é feita da seguinte forma: 
 = 
 
 
 
 
 + 
 
 
 
 
 
 = 
 
 
 
 
 + 
(equação da propagação de erro para o momento de inércia) 
 
Cálculo da constante k utilizando a medida do periodo 
A partir da equação do período (equação 6) e da equação do momento de 
inércia (equação 8), isolando a constante de torção do fio, temos: 
K=
 
 
 
Sendo a unidade de k: 
 
 
 
A propagação de erro para a constante de torção do fio pode ser feita da 
seguinte forma: 
 
 
Fio de cobre: 
Foram medidos os tempos de 10 oscilações do pêndulo sustentado pelo fio de 
cobre, o valor do período é o valor obtido dividido por 10. Estes valores estão 
apresentados na tabela 1. 
Tabela 1 – Valores de período para o pêndulo sustentado com fio de cobre 
Tempo de 10 oscilações (s) T(s) 
9,750 0,975 
9,360 0,936 
9,380 0,938 
9,310 0,931 
9,630 0,963 
9,520 0,952 
2
0
2
02 












TI
k
TI
k

9,530 0,953 
9,760 0,976 
9,480 0,948 
9,500 0,950 
Tempo = (9,520±0,150)s Ṫ=(0,952±0,015)s 
 
Cálculo da constante de torção do fio de cobre (k) 
K=
 
 
 
Substituindo os valores, temos: 
K=
 
 
 
Temos portanto, 
K=0,048
 
 
 
Propagação de erro para a constante de torção do fio de cobre: 
 Cálculo do erro do momento de inércia (I) utilizando a equação de 
propagação de erro do momento de inércia 
 = 
 
 
 
 
 + 
 = 
 
 
 
 
 
 + 
σI= ± kg 
 Cálculo do erro da constante de torção do fio: 
 
 
σk= 0,048. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
σk= ± 0,003 
 
 
 
Portanto, 
k = (0,048 ± 0,003) 
 
 
 
2
0
2
02 












TI
k
TI
k

Para o fio de aço, temos: 
Foram medidos os tempos de 5 oscilações do pêndulo sustentado pelo fio de 
aço, o valor do período é obtido dividindo os dados por 5. Os resultados estão 
na tabela 2. 
Tabela 2 – Valores do período para o pêndulo sustentado pelo fio de aço 
 T(s) 
1,788 
1,736 
1,750 
1,738 
1,764 
1,708 
1,740 
1,7301,736 
1,708 
Ṫ=(1,74±0,02)s 
 
Cálculo da constante de torção do fio de aço (k2) 
K2=
 
 
 
Substituindo os valores, temos: 
K2=
 
 
 
Temos portanto, 
K2=0,0146
 
 
 
Propagação de erro para a constante de torção do fio de aço: 
 Cálculo do erro do momento de inércia (I) utilizando a equação de 
propagação de erro do momento de inércia 
 = 
 
 
 
 
 + 
 = 
 
 
 
 
 
 + 
σI= ± kg 
 Cálculo do erro da constante de torção do fio: 
 
 
σk2= 0,0146. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
σk2= ± 0,0008 
 
 
 
Portanto, K2 = (0,0146 ± 0,0008) 
 
 
 
 
5. DISCUSSÃO 
Pode-se observar que o aço apresenta constante de torção do fio menor que 
do que o a do fio de cobre. Isso significa que o fio de cobre diminui a amplitude 
do movimento harmônico e faz o mesmo parar mais rapidamente em relação 
ao fio de aço. 
 
6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
1- PÊNDULO de Torção – UnB – Universidade de Brasília. 2014. 
Disponível em 
<http://www.fis.unb.br/gefis/index.php?option=com_content&view=article
&id=126&Itemid=239&lang=pt> Data de acesso: 10 de abril de 2014. 
2- TIPLER, Paul. Physics for Scientists and Engineers: Mechanics, 
Oscillations and Waves, Thermodynamics. 5ª ed. W. H. Freeman, 2004. 
3- Halliday D; Resnick R.; Kenneth S. Krane. Fundamentos de Física v1. 
Nova Iorque: John Wiley & Sons, 2001. 
4- Halliday D., Resnick R., Walker J., Fundamentos de Física V.2, ed 7, 
editora LTC H. 
5 – Hern. Emanuel. 2012. Disponível em: 
<scienceblogs.com.br/caderno/2012/11/super-quantico2/> Data de acesso: 
11 de junho de 2014. 
6 – Relógios Mecânicos. Disponível em 
<forum.relogiosmecanicos.com.br/índex.php?topic=7827.0> Data de 
acesso: 11 de junho de 2014. 
2
0
2
02 












TI
k
TI
k
