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BRUNI Bibliografia auxiliar Livro Matemática Financeira com HP12C e Excel Editora Atlas BRUNI Programação didática Objetivo Apresentar os principais conceitos e aplicações da Matemática Financeira, com uso da HP 12C. BRUNI Ementa Diagramas de fluxo de caixa Juros simples Desconto Juros compostos Taxas Séries uniformes Séries não uniformes BRUNI Conceitos iniciais e diagramas de fluxo de caixa 1 BRUNI Três objetivos do capítulo Entender os propósitos da Matemática Financeira Saber construir diagramas de fluxo de caixa Compreender a evolução do dinheiro no tempo BRUNI Uma pergunta inicial … O que é Matemática Financeira? BRUNI Uma resposta simples … RETORNO = BRUNI Constatação importante … Dinheiro tem custo no tempo!!! BRUNI Primeiro passo … Entendendo o dinheiro no tempo!!! BRUNI Diagramas de fluxo de caixa Uma imagem que vale por mil palavras! BRUNI Diagramas de fluxo de caixa Representação gráfica da evolução do dinheiro no tempo Símbolos Tempo Movimentações de $ (+) Entradas (-) Saídas BRUNI Ilustrando o uso do DFC Um investidor aplicou hoje $100,00 por um mês, planejando resgatar $108,00. Desenhe o diagrama de fluxo de caixa da operação. -100,00 +108,00 1 taxa = 8/100 = 8% juros = $8,00 ao período 0 meses BRUNI Pensando sobre os ... Componentes do DFC BRUNI Componentes do DFC Valor presente (VP) Valor futuro (VF) Tempo (n) Taxa de juros (i) -400,00 +480,00 4 taxa = 80/400 = 20% VF - VP juros = $80,00 ao período 0 VP VF n i BRUNI Tome cuidado com alguns ... Sinônimos BRUNI Para ficar esperto!!! Classifique as definições em Valor presente (P) ou Valor futuro (F): Montante Capital inicial Valor por dentro Valor por fora Valor nominal Valor líquido Valor atual F P P F F P P BRUNI Outras expressões ... Principal Valor de face P F BRUNI Pensando sobre ... DFC em séries BRUNI Ampliando horizontes … E se a operação for uma série? Série = mais que dois capitais analisados … Exemplo: BRUNI DFC do televisor +1.000,00 1 -300,00 2 -300,00 3 -300,00 4 -300,00 BRUNI Componentes de séries Valor presente (VP) Valor futuro (VF) Taxa de juros (i) Tempo (n) Pagamento (PMT) BRUNI Um DFC genérico BRUNI Pensando sobre ... Séries antecipadas BRUNI A simbologia do … 1 + n Com entrada!!! BRUNI Para ilustrar … A vista: 15% desc 1 + 9 ou +85 … 0 1 9 -10 Preço = $100,00 BRUNI Para sempre lembrar!!! Exercícios de Fixação Resolva os exercícios do livro!!!! BRUNI Capítulo A HP 12C e o Excel 2 BRUNI Três objetivos do capítulo Entender os mecanimos de funcionamento da HP Saber usar a notação RPN e as função da HP Compreender os recursos disponíveis no Excel BRUNI Entendendo a HP 12C Modelo tradicional Dourado BRUNI Um modelo novo Modelo novo, prateado BRUNI Teste a sua platina!!! Alguns exemplares foram produzidos com erro! Teste o seu: 218720 CHS g CFo; 0 g CFj; 16 g Nj; 28000 g CFj; 0 g CFj; 10 g Nj; 65000 g CFj; 0 g CFj; 5 g Nj; 47000 g CFj; 0 g CFj; 18 g Nj; 88000 g CFj; f IRR Resultado correto: 0,11104985 Resultado incorreto de 1,191000 -10 (pela HP-12C Platinum) BRUNI Emuladores para Palm BRUNI Emuladores para PC HP 12C++ BRUNI Algumas características … RPN Pilhas de registradores BRUNI Jan Lukasiewicz Uma idéia genial! Simplificar a notação matemática para facilitar as contas em máquinas! BRUNI Uma lógica reversa … R P N eversa olonesa otação BRUNI Alguns exemplos … Álgebra convencional … 235 Soma de 235 e 121 121 + = Operandos Operador Instrução 356 Notação polonesa … 235 121 + Operandos Operador Instrução 356 ENTER BRUNI Observação importante A HP 12C não tem a tecla = A notação polonesa dispensa seu uso BRUNI A pilha de registradores Registradores que processam as operações Visor: Registrador X Clear X Limpa o registrador X BRUNI O funcionamento da pilha 8 Enter 8 8 4 4 + 12 BRUNI Operações com a pilha Limpa o registrador X Troca X por Y Rola a pilha para baixo Limpa a memória CLEAR BRUNI Funções especiais Azuis Amarelas BRUNI Funções especiais amarelas Apenas teclas amarelas BRUNI O primeiro passo de sempre Limpa a memória da calculadora CLEAR BRUNI Funções especiais azuis Apenas teclas azuis BRUNI Usando funções algébricas Calcula o logaritmo neperiano BRUNI Funções essenciais Funções financeiras Serão discutidas com maior profundidade a partir de Juros Compostos BRUNI Funções financeiras da HP 12C [n]: calcula o número de períodos [i]: calcula a taxa de juros [PV]: calcula o valor presente [PMT]: calcula a prestação [FV]: calcula o valor futuro [CHS]: troca o sinal BRUNI Matemática financeira no … Excel BRUNI Funções variadas =VP() =VF() =NPER() =TAXA() =PGTO() BRUNI Três resultados do capítulo Entendemos os mecanimos de funcionamento da HP Sabemos usar a notação RPN e as função da HP Compreendemos os recursos disponíveis no Excel BRUNI Para sempre lembrar!!! Exercícios de Fixação Resolva os exercícios do livro!!!! BRUNI Capítulo Juros Simples 3 BRUNI Seis objetivos do capítulo Entender operações com juros simples Entender o significado do desconto racional e comercial Saber distingüir taxas de desconto por fora e por dentro Calcular taxas efetivas Compreender as operações com equivalência de capitais Saber usar a proporcionalidade de taxas BRUNI Conceito de juros simples Juros sempre incidem sobre o VALOR PRESENTE BRUNI Preste atenção!!! Empréstimo Valor atual na data zero igual a $100,00 Taxa igual a 10% a.p. Considere juros simples BRUNI Juros simples 0 - 100,00 VF=VP 1 10,00 110,00 VF=VP + i.VP 10% x $100 2 10,00 120,00 VF=VP + i.VP + i.VP 10% x $100 n i.VP VF VF=VP (1+ i.n) Juros simples sempre incidem sobre valor presente BRUNI Fórmula dos juros simples VF=VP (1+ i.n) Devem estar em uma mesma base!!! Como a taxa é sagrada, ajusta-se o valor de n BRUNI Demais fórmulas do SCS BRUNI Abreviaturas nas taxas BRUNI Cuidado com os anos ano civil ou exato formado por 365 dias; ano comercial formado por 360 dias. BRUNI Exemplo A Uma aplicação de $500,00 foi feita por oito meses a uma taxa simples igual a 5% am. Qual o valor do resgate? VF -500 8 meses 0 i = 5% a.m. VF = VP (1+in) VF = 500 (1+0,05 x 8) VF = 700 BRUNI Características dos juros simples Valor uniforme dos juros períodicos Valor futuro cresce linearmente Capitalização Linear BRUNI Exercícios de … Sala! BRUNI Exemplo B Sabina precisará de $1.200,00 em dez meses. Quanto deverá aplicar hoje para ter a quantia desejada? Considere uma taxa simples igual a 5% am 1.200,00 -VP 10 meses 0 i = 5% a.m. VF = VP (1+in) 1200 = VP (1+0,05 x 10) VP = 800 BRUNI Exemplo C Neco aplicou $8.000,00 por seis meses e recebeu $2.400,00 de juros simples. Qual a taxa mensal vigente na operação? 10.400,00 -8000 6 meses 0 i = ? VF = VP (1+in) 10400 = 8000 (1+i x 6) i = 5% BRUNI Exemplo D A aplicação de $9.000,00 a uma taxa simples igual a 6% a.m. resulta em um valor futuro igual a $11.700,00. Qual o prazo em meses dessa operação? 11.700,00 -9000 n=? 0 i = 6% a.m. VF = VP (1+in) 11700 = 9000 (1+0,06 x n) n = 5 BRUNI Importante!!! Taxas são sagradas!!! BRUNI Exemplo E Calcule o valor futuro de uma aplicação de $500,00 por 24 meses a 8% a.a. Taxa anual !!! n em anos X 24 meses = 2 anos 2 anos BRUNI Alterando o prazo … VF=VP (1+ i.n) VF=500 (1+ 0,08.2) VF=$580,00 BRUNI Descontando em … Juros simples por dentro BRUNI O que é descontar Obter valor presente Retirando os juros do valor futuro Desconto = Juros BRUNI Desconto Racional Simples Aplicar a fórmula dos juros simples para calcular o valor presente Descontar significa extrair os juros do valor futuro para obter o valor presente Cuidado!!! Depois veremos o desconto COMERCIAL BRUNI Da fórmula dos juros simples VF = VP (1 + i.n) Como se deseja obter VP (1+in) BRUNI Exemplo F Uma empresa precisa descontar racionalmente ou por dentro uma duplicata com valor nominal de $4.400,00, 2 meses antes do vencimento, a 5% a.m. Qual o valor líquido e qual o desconto? VP 0 2 -$4.400,00 Valor Presente Juros VP = VF/ (1+i.n) VP = 4400/(1+0,05.2) VP = 4000 D = 4400-4000 D = 400 Valor Futuro BRUNI Taxa efetiva É aquela que incide sobre o valor presente no processo de capitalização. BRUNI Exemplo G Ao antecipar em 30 dias o recebimento de uma conta a receber no valor de $15.000,00, a Cia Cava Cava S. A. sofreu um desconto igual a 1/3 (33,3333%) do valor nominal. Calcule a taxa efetiva mensal da operação. Taxa por fora = 33,3333% BRUNI Taxa efetiva no DFC! $10.000,00 0 1 -$15.000,00 Desconto = 1/3 de $15.000,00 Desconto = $5.000,00 Por fora =33,3333% Por dentro =50% VF = VP (1+i.n) 15000 = 10000 (1+i.1) i = 50% a.m. BRUNI Descontando em … Juros simples por fora BRUNI Exemplo genérico ... Pagar no futuro, receber a vista 0 n Descontar Retirar os juros Valor nominal Valor líquido (-) Desconto Preciso do dinheiro hoje!!! Sinônimos Valor nominal Valor futuro Valor líquido Valor presente Desconto Juros BRUNI Um exemplo usual … Uma empresa possui uma duplicata a receber no valor de $4.000,00 em três meses Porém, precisa do dinheiro hoje Resolve descontar (trazer a valor presente) o título O banco cobra uma taxa de desconto igual a 6% a.m. Qual o desconto sofrido? $4.000,00 0 3 Situação original -$4.000,00 VP Nova situação Usando o desconto racional … BRUNI Diferentes tipos de desconto Racional simples ou por dentro Aplicação da fórmula dos juros simples VF = VP.(1 + i.n) Assim … VP = VF / (1 + i.n) Ou … D = VF - VP BRUNI Desconto racional D = VF – VP VP = VF / (1+in) D = VF – VF / (1+in) D = VF{1 – [1 / (1+in)]} Do enunciado: VF = 4000 id = 6% a.m. n = 3 meses Desconto: D = 4000{1 – [1 / (1+0,06.3)]} = $610,17 Comentário: Que trabalho!!! Existe alguma forma mais fácil? Desconto Comercial BRUNI Desconto comercial Comercial ou por fora Juros são calculados sobre Valor Futuro É preciso ajustar a fórmula! BRUNI Desconto comercial Nas operações de desconto comercial, com o objetivo de tornar mais fácil os cálculos, a instituição financeira costuma fazer incidir a taxa sobre o valor futuro D = id.n.VF id = taxa de desconto por fora Cuidado! O banco apenas simplifica contra o bolso do cliente!!! BRUNI Segunda fórmula … D = id.n.VF VP = VF – D VP = VF – id.n.VF VP = VF (1– id.n) BRUNI Fórmulas de desconto comercial BRUNI Desconto comercial D = id.n.VF Cuidado: id = taxa de desc comercial Do enunciado: VF = 4000 id = 6% a.m. n = 3 meses Desconto: D = id.n.VF D = 0,06.3.4000 = $720,00 Obs: anterior (racional simples) foi igual a $610,17 $4.000,00 0 3 -$4.000,00 0 3 VF = VP (1+in) 4000 = 3280 (1+i.3) i = [(4000/3280)-1]/3 i = 7,32% a.m. Situação original Nova situação Taxa efetiva VP ou Líquido 4000 – 720 = $3.280,00 E a taxa efetiva simples? BRUNI Importantíssimo!!! A taxa de desconto comercial incide sobre o valor futuro! O valor futuro é sempre maior que o valor presente! Cuidado!!! A taxa efetiva (que incide sobre o valor presente) será sempre maior! BRUNI Alguns sinônimos importantes Valor futuro Montante Valor de face Valor do título Valor nominal Valor presente Capital inicial Valor líquido BRUNI Fórmula do desconto comercial VP=VF (1- id.n) Devem estar em uma mesma base!!! Como a taxa é sagrada, ajusta-se o valor de n id = taxa de desconto comercial D=VF.id.n BRUNI Descontando comercialmente Uma empresa quer descontar um título a receber no valor de $10.000,00 em 5 meses mediante desconto comercial a 4% a.m. Calcule: a) desconto; b) valor líquido; c) taxa efetiva mensal simples. -10.000,00 +VP 5 taxa = 2000/8000 = 25% ao período D = VF.id.n 0 meses D = 10000 x 0,04 x 5 a) D = 2000 b) VP = 8000 c) taxa = 5% ao mês BRUNI O desconto bancário As operações de desconto bancário são similares às operações de desconto comercial, porém, no caso do desconto bancário, existe a cobrança de uma taxa na operação, que comumente inclui o IOF (Imposto sobre Operações Financeiras). BRUNI Fórmula do desconto bancário VP = VF - D = VF - VF.id.n – t.VF = VF (1 - id.n - t) O valor presente ou líquido da operação de desconto bancário pode ser calculado mediante a aplicação da seguinte fórmula: Desconto Valor presente ou líquido Valor futuro ou nominal BRUNI Uma análise simplificada por… Prazos médios BRUNI Analisando prazos médios É comum representar os fluxos por seus prazos médios e valor total BRUNI Para sempre lembrar … A Cia Melhor da Praça deseja descontar um borderô, com id = 5% a.m. Calcule o valor líquido recebido por ela. BRUNI O borderô … Borderô = conjunto de títulos Título Valor Prazo 203A $500,00 30 dias 305F $600,00 45 dias 440E $400,00 60 dias Soma $1.500,00 n BRUNI Desconto de Borderô Título Valor Prazo 203A $500,00 30 dias 305F $600,00 45 dias 440E $400,00 60 dias Soma $1.500,00 Prazo médio = 500 x 30 + 600 x 45 + 400 x 60 = 500 + 600 + 400 = 44 dias 44 dias BRUNI Simplificando … Simplificando … VP = VF (1-id.n) VP = 1500 (1-0,05.44/30) VP = $1.390,00 BRUNI Equivalência de Capitais “Dois ou mais capitais nominais, supostos com datas de vencimento determinadas, dizem-se equivalentes quando, descontados para uma data focal, à mesma taxa de juros, e em idênticas condições, produzem valores iguais”. BRUNI Constatação importante … Dinheiro tem custo no tempo!!! Deve ser somado apenas em mesma data! BRUNI A operação de equivalência -4.000,00 1.000,00 1.000,00 2.000,00 X? BRUNI Exemplo H Pedro pensa em comprar um carro novo, com preço a vista igual a $30.000,00. Pagará uma entrada de $8.000,00 Pagará $14.000,00 em 30 dias Pagará X em 60 dias Taxa simples igual a 3% a.m. Calcule o valor de X $30.000,00 -$8.000,00 -$14.000,00 -X Use a data focal 60 dias 0 30 60 dias BRUNI Taxa simples igual a 3% a.m. $30.000,00 -$8.000,00 -$14.000,00 -X $22.000,00 $23.320,00 $14.420,00 $8.900,00 Capitalizando $22.000,00 VF = VP (1+in) VF = 22000 (1+0,03.2) VF = $23.320,00 Capitalizando $14.000,00 VF = VP (1+in) VF = 14000 (1+0,03.1) VF = $14.420,00 0 1 2 meses BRUNI Exemplo I Uma loja anuncia um microondas a vista por $500,00 ou em duas parcelas mensais, sem entrada, iguais a X. Sabendo que a loja cobra juros simples, iguais a 4%, calcule o valor de X. Use a data focal zero BRUNI Resolução … -X -X $500,00 0 1 2 i = 4% a.m. (JS) Descapitalizando X1 VF = VP (1+in) VP = VF / (1+in) VP = X / (1+0,04.1) VP = 0,9615.X Descapitalizando X2 VF = VP (1+in) VP = VF / (1+in) VP = X / (1+0,04.2) VP = 0,9259.X Como a soma a valor presente é igual a $500,00, 500 = 0,9615.X + 0,9259.X = 1,8874.X X = 500/1,8874 = $264,91 $264,91 $264,91 BRUNI Exemplo J Um refrigerador é vendido à vista por $ 1.800,00 ou então a prazo mediante $800,00 de entrada e mais uma parcela de $ 1.150,00 após 90 dias. Qual a taxa mensal de juros simples do financiamento? BRUNI Solução do Exemplo J $1.800,00 0 3 -$800,00 -$1.150,00 $1.000,00 0 3 -$1.150,00 VF = VP (1+in) 1150 = 1000 (1+i.3) i = [(1150/1000) – 1] / 3) i = 5% BRUNI Proporcionalidade de taxas Duas taxas de juros i1 e i2, referidas a períodos diferentes no regime de capitalização ou dos juros simples são proporcionais quando resultam no mesmo montante, ou juro, no fim do prazo da operação, tendo incidido sobre o mesmo principal. BRUNI Fórmula da equivalência ia = ib.(nb/na) Em juros simples, vale usar regra de três!!! Em juros simples!!! BRUNI Exemplo L I. Determinar as taxas semestral e anual proporcionais à taxa de juros simples de 3% ao mês. II. Calcular a taxa mensal proporcional de juros de : a) 90% ao semestre; b) 220,8% ao ano; c) 96% ao biênio. BRUNI Solução do Exemplo L I. 3% a.m. = [__] % a.s. 1 semestre = 6 meses 3% x 6 = 18% a.s. 3% a.m. = [__] % a.a. 1 ano = 12 meses 3% x 12 = 36% a.a. BRUNI Solução do Exemplo L II. Cálculo de taxas mensais a) 1 semestre = 6 meses 90% a.s. ÷ 6 = 15% a.m. b) 1 ano = 12 meses 220,8% a.a. ÷ 12 = 18,4% a.m. c) 1 biênio = 24 meses 96% ÷ 24 = 4% a.m. BRUNI Seis resultados do capítulo Entendemos operações com juros simples Entendemos o significado do desconto racional e comercial Aprendemos distingüir taxas de desconto por fora e por dentro Calculamos taxas efetivas Compreendemos as operações com equivalência de capitais Aprendemos usar a proporcionalidade de taxas BRUNI Para sempre lembrar!!! Exercícios de Fixação Resolva os exercícios do livro!!!! BRUNI Capítulo Juros compostos 4 BRUNI Para pensar ... "O juro composto é a maior invenção da humanidade, porque permite uma confiável e sistemática acumulação de riqueza”. Albert Einstein BRUNI Três objetivos do capítulo Entender operações com juros compostos Saber usar a equivalência de taxas Compreender as operações com equivalência de capitais BRUNI Conceito de juros compostos Juros sempre sobre o MONTANTE ANTERIOR BRUNI Preste atenção!!! Empréstimo Valor atual na data zero igual a $100,00 Taxa igual a 10% a.p. Considere juros compostos BRUNI Juros compostos 0 - 100,00 VF=VP 1 10,00 110,00 VF=VP (1+i) 10% x $100 2 11,00 121,00 VF=VP (1+i) (1+i) 10% x $110 n i.VFant VF VF=VP (1+ i)n Juros compostos sempre incidem sobre montante BRUNI Uma constatação Juros sobre montante Montante inclui juros Juros sobre juros BRUNI Fórmula dos juros compostos VF=VP (1+ i)n BRUNI Fórmula dos juros compostos BRUNI Calculando no braço Um investidor aplicou $4.000,00 por seis meses a uma taxa composta igual a 8% a.m. Calcule o valor do resgate. VF -4000 6 meses 0 i = 8% a.m. VF = VP (1+i)n VF = 4000 (1+0,08)6 VF = $6.347,50 BRUNI As tabelas padronizadas Para facilitar as contas … VF=VP (1+ i)n (1+ i)n linha coluna Tabelas padronizadas BRUNI Para o exemplo n=6 i=8% =1,5869 VF -4000 6 meses 0 i = 8% a.m. BRUNI Substituindo an,i VF = VP (1+i)n VF = $6.347,50 VF = 4000. (1,5869) BRUNI Para facilitar as contas … Recursos auxiliares de cálculos podem ser empregados … Calculadora HP12C Planilha Excel BRUNI Juros compostos na HP 12C BRUNI Funções financeiras da HP 12C [n]: calcula o número de períodos [i]: calcula a taxa de juros [PV]: calcula o valor presente [PMT]: calcula a prestação [FV]: calcula o valor futuro [CHS]: troca o sinal BRUNI Emuladores para PC HP 12C++ BRUNI Na HP 12C VF -4000 6 meses 0 i = 8% a.m. f Reg 4000 CHS PV 6 n 8 I [FV] $6.347,50 BRUNI Importantíssimo!!! Ajuste a HP 12C para a convenção exponencial!!! Sempre trabalhar com juros compostos, mesmo nas partes fracionárias de n! BRUNI Configurando a HP 12C C Ative o flag “C”!!! BRUNI Para ativar … BRUNI HP 12C configurada!!! C BRUNI Exemplo A Pedro aplicou $400,00 por três meses a 5% a. m. (juros compostos). Qual o valor de resgate? -400,00 VF? n=3 i=5% a.m. [f] [Reg] 400 [CHS] [PV] 3 [n] 5 [i] [FV] 463,05 BRUNI Exemplo B Qual o valor presente obtido para um valor futuro igual a $800,00 no ano 4 a uma taxa igual a 8% a. a.? [f] [Reg] 800 [FV] 4 [n] 8 [i] [PV] BRUNI Exemplo C [f] [Reg] 500 [CHS] [PV] 3 [n] 600 [FV] [i] -500,00 +600,00 3 i = ? BRUNI Exemplo D [f] [Reg] 1200 [FV] 4 [n] 2 [i] [PV] -VP +1.200,00 4 i = 2% BRUNI Exemplo E [f] [Reg] 800 [CHS] [PV] 6 [n] 3 [i] [FV] -800,00 +VF 6 i = 3% BRUNI Exemplo F [f] [Reg] 580 [CHS] [PV] 750 [FV] 8 [n] [i] -580,00 +750,00 8 i = ? BRUNI Características dos compostos Juros incidem sobre juros Valor futuro cresce exponencialmente Capitalização Exponencial BRUNI Compostos superam simples? VP N = 1 BRUNI Para valor de n … N < 1 Juros simples são maiores que juros compostos N = 1 Juros simples são iguais a juros compostos N>1 Juros compostos são maiores que juros simples BRUNI Equivalência de Capitais “Dois ou mais capitais nominais, supostos com datas de vencimento determinadas, dizem-se equivalentes quando, descontados para uma data focal, à mesma taxa de juros, e em idênticas condições, produzem valores iguais”. (mesmo conceito em juros simples) BRUNI Exemplo G Pedro pensa em comprar um carro novo, com preço a vista igual a $30.000,00. Pagará uma entrada de $8.000,00 Pagará $14.000,00 em 30 dias Pagará X em 60 dias Taxa composta igual a 3% a.m. Calcule o valor de X $30.000,00 -$8.000,00 -$14.000,00 -X BRUNI Taxa composta igual a 3% a.m. $30.000,00 -$8.000,00 -$14.000,00 -X $22.000,00 $23.339,80 $14.420,00 $8.919,80 Capitalizando $22.000,00 VF = VP (1+i)n VF = 22000 (1+0,03)2 VF = $23.339,80 Capitalizando $14.000,00 VF = VP (1+i)n VF = 14000 (1+0,03)1 VF = $14.420,00 0 1 2 BRUNI Exemplo H Uma loja anuncia um produto a vista por $500,00 ou em duas parcelas mensais, sem entrada, iguais a X. Sabendo que a loja cobra juros composta, iguais a 4%, calcule o valor de X. BRUNI Resolução … -X -X $500,00 0 1 2 i = 4% a.m. (JC) Descapitalizando X1 VF = VP (1+i)n VP = VF / (1+i)n VP = X / (1+0,04)1 VP = 0,9615.X Descapitalizando X2 VF = VP (1+i)n VP = VF / (1+i)n VP = X / (1+0,04)2 VP = 0,9246.X Como a soma a valor presente é igual a $500,00, 500 = 0,9615.X + 0,9246.X = 1,8861.X X = 500/1,8861 = $265,10 $264,91 $264,91 BRUNI Exemplo I Uma empresa comercial, para efetuar o pagamento de suas encomendas, deve dispor de $15.000,00 daqui a 3 meses e $20.000,00 daqui a 8 meses. Para tanto, deseja aplicar hoje uma quantia X que lhe permita retirar as quantias necessárias nas datas devidas, ficando sem saldo no final. Se a aplicação for feita a juros compostos, à taxa de 4% ao mês, qual deverá ser o valor de X? BRUNI Equivalência de taxas Duas taxas de juros i1 e i2, referidas a períodos diferentes no regime de capitalização ou dos juros compostos são equivalentes quando resultam no mesmo montante, ou juro, no fim do prazo da operação, tendo incidido sobre o mesmo principal. BRUNI Fórmula da equivalência ia = [(1+ib)(nb/na)]-1 BRUNI É mais fácil … Usar a HP12C BRUNI Enganando a HP 12C Calculando a equivalência de taxas na HP 12C -100,00 VF? 12 i = 79,59% a.a. i = 5% a. m. = ____ % a. a.? 0 [f] [Reg] 100 [CHS] [PV] 12 [n] 5 [i] [FV] 179,59 179,59 Suponha VP = 100 BRUNI Enganando a HP 12C (2!!!) Calculando a equivalência de taxas na HP 12C -100,00 180,00 12 i = 5,02% a. m. i = 80% a. a. = ____ % a. m.? 0 [f] [Reg] 100 [CHS] [PV] 180 [FV] 12 [n] [i] 5,02 BRUNI Enganando a HP 12C (2!!!) Calculando a equivalência de taxas na HP 12C -100,00 160,00 12 i = 3,99% a. m. i = 60% a. a. = ____ % a. m.? 0 [f] [Reg] 100 [CHS] [PV] 160 [FV] 12 [n] [i] 3,99 BRUNI Para sempre lembrar!!! Exercícios de Fixação Resolva os exercícios do livro!!!! BRUNI Usando as antigas e funcionais Tabelas BRUNI Tabela de fatores (1+i)n BRUNI Tabela de fatores (1+i)n BRUNI Capítulo Operações com Taxas de Juros 5 BRUNI Três objetivos do capítulo Entender a álgebra das taxas de juros Saber operar taxas nominais e unificadas Compreender as operações com diferentes taxas de juros BRUNI Novo assunto … A álgebra das taxas de juros BRUNI A álgebra das taxas de juros Um produto custava R$ 40,00 e sofre dois aumentos sucessivos de 20% e 30%, respectivamente. Qual o preço final do produto e qual a taxa de variação percentual do produto? BRUNI A álgebra das taxas de juros Solução: se o preço inicial é R$ 40,00, o preço final será 40 x (1 + 0,20) x (1 + 0,30) = R$ 62,40. O multiplicador para a taxa total da operação será igual a (1 + 0,20) x (1 + 0,30) = 1,56. Logo, a taxa total da operação será: 0,56 ou 56%. Generalizando… Ou: BRUNI Novo assunto … Taxas unificadas (ou aparentes) BRUNI Taxas unificadas Resultam da incorporação sucessiva de Juros reais Inflação Fórmula: (1 + iu) = (1 + ir).(1+ii) unificada real inflação BRUNI Taxas unificadas Quado períodos múltiplos são analisados, é preciso considerar o multiplicatório das taxas. Fórmula: BRUNI Para fixar Um investidor aplicou $450,00, recebendo $580,00 após um determinado período. Sabendo que a inflação no período foi igual a 8%, calcule a taxa real. BRUNI Novo assunto … Taxas nominais BRUNI Taxas nominais Taxas de juros apresentadas em uma unidade, porém capitalizadas em outra No Brasil, caderneta de poupança 6% a. a., capitalizada mensalmente 0,5% a. m. BRUNI Calcule as taxas anuais 24% a.a., capitalizada mensalmente 18% a.s., capitalizada mensalmente 36% a.a., capitalizada semestralmente 8% a.a., capitalizada quadrimestralmente BRUNI Três resultados do capítulo Entendemos a álgebra das taxas de juros Aprendemos operar taxas nominais e unificadas Compreendemos as operações com diferentes taxas de juros BRUNI Para sempre lembrar!!! Exercícios de Fixação Resolva os exercícios do livro!!!! BRUNI Capítulo Anuidades ou séries 6 BRUNI Três objetivos do capítulo Entender o DFC em séries Saber diferenciar séries postecipadas e antecipadas Compreender os cálculos envolvendo séries uniformes BRUNI Conceito de Séries Seqüencia de pagamentos ou recebimentos em datas futuras, como contrapartida de recebimento ou aplicação a valor presente BRUNI Tipos de séries Uniformes Valores nominais iguais Não uniformes Valores nominais diferentes Este capítulo: Séries Uniformes BRUNI Classificação das séries Antecipadas Com entrada Exemplos … 1 + 2, 1 + 5, 1 + … Postecipadas Sem entrada Exemplos … 2x, 5x, 6x … BRUNI A geladeira nova de Pedro Pedro quer comprar uma geladeira Na loja, $1.000,00 a vista Ou … em quatro iguais mensais, sem entrada Valores nominais iguais Séries UNIFORMES +$1.000,00 -PMT Taxa da loja? i= 4% a.m. Como obter PMT? Álgebra Tabelas HP 12C Excel BRUNI Usando o bom senso Pagamentos em 1, 2, 3 e 4 Prazo médio igual a 2,5 +$1.000,00 -PMT i= 4% a.m. n = 2,5 Supondo JS VF VF = VP (1+in) VF = 1000 (1+0,04.2,5) VF = 1100 Como são feitos quatro pagamentos Pagamento = 1100/4 = $275,00 Cuidado! Valor aproximado por juros simples Valor exato com juros compostos BRUNI Usando a álgebra VP = an,i.PMT BRUNI Usando a tabela an,i=3,6299 Pagamento = 1000/3,6299 = $275,49 BRUNI Usando a HP 12C [n]: calcula o número de períodos [i]: calcula a taxa de juros [PV]: calcula o valor presente [PMT]: calcula a prestação [FV]: calcula o valor futuro [CHS]: troca o sinal g Beg g End ou BRUNI Na HP 12C 7 BEG 8 END Begin = Começo Antecipado Com entrada Flag no visor End = Final Postecipado Sem entrada Sem Flag BRUNI Exemplo na HP 12C [f] [Reg] 1000 [PV] 4 [n] 4 [i] +$1.000,00 -PMT i= 4% a.m. Sem entrada ou POSTECIPADA em inglês END [g] [END] $275,49 [PMT] Com JS, $275,00 BRUNI Usando o Excel Pode usar a função … =PGTO() Tipo 0 Tipo 1 ou BRUNI E se os pagamentos fossem … Com entrada … BRUNI Usando o bom senso Pagamentos em 0, 1, 2 e 3 Prazo médio igual a 1,5 +$1.000,00 -PMT i= 4% a.m. n = 1,5 Supondo JS VF VF = VP (1+in) VF = 1000 (1+0,04.1,5) VF = 1060 Como são feitos quatro pagamentos Pagamento = 1060/4 = $265,00 Cuidado! Valor aproximado por juros simples Valor exato com juros compostos BRUNI A geladeira nova de Pedro Pedro quer comprar uma geladeira Na loja, $1.000,00 a vista Ou … em quatro iguais mensais, com entrada +$1.000,00 -PMT i= 4% a.m. Com entrada ANTECIPADA em inglês BEGIN [f] [Reg] 1000 [PV] 4 [n] 4 [i] [g] [BEG] [PMT] $264,89 JC = $265,00, diferença de $0,11!!! BRUNI Exemplo A Um televisor é anunciado por $600,00 a vista. A loja aceita parcelar a compra, cobrando 2% a. m. Calcule o valor das prestações supondo um plano do tipo: 4 x sem entrada BRUNI Analisando o DFC: 4x +600,00 -PMT Taxa igual a 2% a.m. Sem entrada Na HP 12C: g END [f] [Reg] 600 [PV] 4 [n] g [END] 2 [i] [PMT] -157,5743 BRUNI Exemplo B Um televisor é anunciado por $600,00 a vista. A loja aceita parcelar a compra, cobrando 2% a. m. Calcule o valor das prestações supondo um plano do tipo: 1 + 3 x BRUNI Analisando o DFC: 4x +600,00 -PMT Taxa igual a 2% a.m. Com entrada Na HP 12C: g BEG [f] [Reg] 600 [PV] 4 [n] g [BEG] 2 [i] [PMT] -154,4846 BRUNI Exemplo C A Mercantil Precinho e Descontão Ltda. pensa em financiar suas vendas, cobrando uma taxa composta mensal sempre igual a 3% a. m. Calcule o valor das prestações nas operações de venda financiada apresentadas a seguir. BRUNI Rádio Somzão Valor a vista igual a $400,00, em três iguais, sem entrada. BRUNI Analisando o DFC do Somzão +400,00 -PMT Taxa igual a 3% a.m. Sem entrada Na HP 12C: g END [f] [Reg] 400 [PV] 3 [n] g [END] 3 [i] [PMT] -141,4121 BRUNI b) Tocador de CD Musical Valor a vista igual a $240,00, entrada de $80,00 mais cinco mensais iguais. BRUNI Analisando o DFC do Musical +240,00 2 0 1 4 3 -PMT Taxa igual a 3% a.m. Entrada igual a 80 Na HP 12C: g END [f] [Reg] 160 [PV] 5 [n] g [END] 3 [i] [PMT] 5 -80,00 +160,00 -34,9367 BRUNI c) Televisor Veja Mais Valor a vista igual a $1.200,00, em 1 + 7. BRUNI Analisando o DFC do Veja Mais +1.200,00 2 0 1 4 3 -PMT Taxa igual a 3% a.m. 1 + 7 Na HP 12C: g BEG [f] [Reg] 1200 [PV] 8 [n] g [BEG] 3 [i] [PMT] 5 6 7 -165,97 BRUNI d) Refrigerador Esquimó Valor a vista igual a $2.100,00, em 1 + 3. BRUNI Analisando o DFC do Esquimó +2.100,00 2 0 1 3 -PMT Taxa igual a 3% a.m. 1 + 3 Na HP 12C: g BEG [f] [Reg] 2100 [PV] 4 [n] g [BEG] 3 [i] [PMT] -548,5017 BRUNI Exemplo D Um amplificador tem preço a vista igual a $1.200,00. A loja cobra 4% a. m. Calcule o valor das prestações mensais nos seguintes casos: Prestação = [PMT] 5 x sem entrada 1 + 3 Entrada de $300,00 + 4 x BRUNI a) 5 x sem entrada [f] Reg 1200 [PV] 4 [i] 5 [n] g [END] (sem entrada) [PMT] – 269,55 BRUNI b) 1 + 3x [f] Reg 1200 [PV] 4 [i] 4 [n] g [BEG] (com entrada) [PMT] -317,87 BRUNI c) $300,00 + 4 x [f] Reg 900 [PV] (abatendo a entrada) 4 [i] 4 [n] g [END] (sem entrada) [PMT] -247,94 BRUNI Para sempre lembrar!!! Exercícios de Fixação Resolva os exercícios do livro!!!! BRUNI Capítulo Sistemas de amortização 7 BRUNI Três objetivos do capítulo Entender os príncípios básicos associados aos sistemas de amortização Saber diferenciar os sistemas SAC, Price e Americano Compreender a composição das tabelas de amortização e juros BRUNI Conceito Forma de incidência e cálculo de juros e amortização do valor principal devido BRUNI Sistemas de amortização Sistema de amortizações constantes (SAC) Sistema de prestações constantes (Price) Sistema americano BRUNI Amortizações constantes Amortizações iguais Juros diferentes BRUNI Um exemplo simples … Financiamento de $3.000,00 Taxa igual a 10% a. m. Três pagamentos mensais 1a forma SAC BRUNI Amortização e juros SAC: $3.000,00 / 3 = $1.000,00 BRUNI Para nunca esquecer Componha a planilha de pagamento referente a um empréstimo de $8.000,00, a 5% a.m., considerando quatro prestações. Use o sistema SAC. BRUNI Planilha SAC BRUNI Prestações constantes Amortizações diferentes Juros diferentes Prestações iguais BRUNI Um exemplo simples … Financiamento de $3.000,00 Taxa igual a 10% a. m. Três pagamentos mensais 2a forma Price BRUNI Amortização e juros Price: f Reg 3000 PV 3 n 10 i g End PMT -1.206,34 Diferença BRUNI Para nunca esquecer Componha a planilha de pagamento referente a um empréstimo de $8.000,00, a 5% a.m., considerando quatro prestações. Use o sistema Price. BRUNI Planilha Price BRUNI Americano Amortizações no final Juros periódicos BRUNI Exemplo típico DEBÊNTURES BRUNI Características OBRIGAÇÃO DATA DE VENCIMENTO PAGAMENTO DE JUROS PERIÓDICOS BRUNI A presença de coupons periódicos BRUNI VALOR NOMINAL $200.000,00 VENCIMENTO 2 ANOS Componentes das Debêntures BRUNI Tempo Risco Preço Unitário PU Componentes e fluxo de caixa BRUNI 0 1 2 3 400 ... cupons semestrais a 18% a. a. ... … periodiciade semestral … Taxa de remuneração = 9% a.s. Taxa de cupom = NOMINAL! 9% de 400 = $36 mil 36 36 36 Taxa de desconto = 16% a.a. Fluxos semestrais = 7,7033% a.s. PU ou Preço Unitário YTM Taxa de remuneração > Taxa de desconto -> Ágio! BRUNI Taxa de desconto = 7,7033% a.s. PU BRUNI Três resultados do capítulo Entendemos os príncípios básicos associados aos sistemas de amortização Sabemos diferenciar os sistemas SAC, Price e Americano Compreendemos a composição das tabelas de amortização e juros BRUNI Para sempre lembrar!!! Exercícios de Fixação Resolva os exercícios do livro!!!! BRUNI Capítulo Séries não uniformes 8 BRUNI Três objetivos do capítulo Entender os princípios empregados na avaliação de séries não uniformes Saber aplicar o método do VPL Compreender o uso do método da TIR BRUNI Análise a … Valor Presente BRUNI Descrição Considera a soma de TODOS os fluxos de caixa na DATA ZERO BRUNI Trazendo a valor presente -500,00 200,00 250,00 400,00 Considerando CMPC igual a 10% a. a. 181,82 206,61 300,53 688,96 188,96 Valor Presente Líquido BRUNI VPL e HP 12C Funções financeiras [g] [CF0] – Abastece o Fluxo de Caixa do ano 0 [g] [CFj] – Abastece o Fluxo de Caixa do ano j Cuidado!! j <= 20 !!! [g] [Nj] – Abastece o número de repetições [i] – Abastece o custo de capital [f] [NPV] – Calcula o VPL NPV = Net Present Value BRUNI Calculando VPL na HP12C [f] [Reg] 500 [CHS] [g] [CF0] 200 [g] [CFj] 250 [g] [CFj] 400 [g] [CFj] 10 [i] [f] [NPV] 188,96 BRUNI Uso do VPL VPL Zero > < Aceito!!! Rejeito!!! BRUNI Uma das taxas … Taxa Interna de Retorno BRUNI Perfil do VPL Relação inversa entre CMPC e VPL Taxa Interna de Retorno TIR = 27,95% Gráf1 188.9556724267 125.9554532753 71.7592592593 24.8 -16.1583978152 -52.1007976426 VPL Plan1 10% Ano FC Operação VP (FC) Saldo 0 -500 -500.00 -500.00 1 200 181.82 -318.18 688.96 2 250 206.61 -111.57 3 400 300.53 188.96 $(665.50) $242.00 $275.00 $400.00 28% 0.37125 188.96 CMPC VPL 10% $188.96 10% $188.96 15% $125.96 15% $125.96 20% $71.76 20% $71.76 25% $24.80 25% $24.80 30% $(16.16) 30% $(16.16) 35% $(52.10) 35% $(52.10) 40% $(83.82) 45% $(111.96) Plan1 VPL Plan2 Plan3 Plan1 10% Ano FC Operação VP (FC) Saldo 0 -500 -500.00 -500.00 1 200 181.82 -318.18 688.96 2 250 206.61 -111.57 3 400 300.53 188.96 $(665.50) $242.00 $275.00 $400.00 28% 0.37125 188.96 CMPC VPL 10% $188.96 10% $188.96 15% $125.96 15% $125.96 20% $71.76 20% $71.76 25% $24.80 25% $24.80 30% $(16.16) 30% $(16.16) 35% $(52.10) 35% $(52.10) 40% $(83.82) 45% $(111.96) CMPC 10% 15% 20% 25% 30% 35% VPL 188.96 125.96 71.76 24.80 -16.16 -52.10 Plan1 VPL Plan2 Plan3 BRUNI Cálculo matemático da TIR Solução polinomial … VPL = 0, K = TIR TIR é raiz do polinômio … BRUNI Na prática … HP 12C: [f] [IRR] Excel: =TIR(Fluxos) BRUNI TIR e HP 12C Funções financeiras [g] [CF0] – Abastece o Fluxo de Caixa do ano 0 [g] [CFj] – Abastece o Fluxo de Caixa do ano j Cuidado!! j <= 20 !!! [g] [Nj] – Abastece o número de repetições [f] [IRR] – Calcula a TIR IRR = Internal Rate of Return BRUNI Calculando TIR na HP12C [f] [Reg] 500 [CHS] [g] [CF0] 200 [g] [CFj] 250 [g] [CFj] 400 [g] [CFj] [f] [IRR] 27,95 BRUNI Uso da TIR TIR CMPC > < Aceito!!! Rejeito!!! BRUNI Para sempre lembrar !!! Exercícios Resolva os exercícios do livro!!!! BRUNI Tópicos importantes e … Extras! BRUNI Fonte das figuras utilizadas Quase todas as figuras utilizadas neste conjunto de slides foram obtidas das seguintes fontes: 100.000 MultImídia Pack. Revista Expert Premium, São Paulo: CD Expert Editora e Distribuidora Ltda, 2000. 30.000 Multimídia Pack. Revista Expert Premium, São Paulo: CD Expert Editora e Distribuidora Ltda, 2000. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
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