Resolucao da Lista Exercicios 2 - Probabilidade

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© T.F.Bogutchi – PUC-MG / 2014-1 
1 Medicina / 2º. Período / Betim 
Introdução à Pesquisa Médica II 
 
Resolução da Lista de Exercícios 2 – Probabilidade 
 
1) Suponha que a probabilidade de que um embrião seja fixado na parede do útero seja de 5%. 
Se forem implantados três embriões, qual a probabilidade de que todos os três tenham êxito? 
 
Solução: 
 
Sejam os eventos: Ei : embrião i se fixar na parede do útero, i = 1, 2, 3. 
P(E1) = P(E2) = P(E3) = 5% = 0,05 
Todos os três terem êxito significa ocorrer o evento: (E1 e E2 e E3) 
Como os eventos Ei´s são independentes, então 
P(E1 e E2 e E3) = P(E1 ∩ E2 ∩ E3) = P(E1)P(E2)P(E3) = (0,05)(0,05)(0,05) = 0,053 = 0,000125 
 
 
2) Um critério bastante aceito para definir hipertensão arterial na população é considerar um 
indivíduo como hipertenso se ele apresentar: pressão arterial sistólica (PAS) maior que 140 
mm Hg, pressão arterial diastólica (PAD) maior que 90 mm Hg ou ambas. Sejam definidos os 
eventos: A = PAS > 140 mm Hg e B = PAD > 90 mm Hg. Se a P(A) = 0,15; P(B) = 0,1 e P(A e 
B) = 0,08, qual a probabilidade de um indivíduo, selecionado aleatoriamente, ser hipertenso? 
 
Solução: 
 
Foram definidos os eventos:. 
A = PAS > 140 mm Hg e B = PAD > 90 mm Hg. 
Foram dados: P(A) = 0,14; P(B) = 0,10 ; P(A e B) = 0,08 
Ser hipertenso equivale ao evento: A ou B 
P(A ou B) = P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A	∩ B) = 0,15 + 0,10 – 0,08 = 0,17 
 
3) Considere que a probabilidade de um indivíduo apresentar diabetes seja de 18%, a 
probabilidade de ser hipertenso seja de 25% e a probabilidade de ser simultaneamente 
diabético e hipertenso de 10%. Determine a probabilidade de um indivíduo: 
a) Ser hipertenso e diabético; 
b) Não ser hipertenso e nem diabético; 
c) Ser diabético, mas não ser hipertenso; 
d) Ser hipertenso, mas não ser diabético. 
 
Solução: 
 
A resolução fica simplificada por meio da construção da tabela das probabilidades, em que são 
considerados os eventos: D : apresentar diabetes e H: ser hipertenso. 
Foram dadas: P(D) = 18%; P(H) = 25% e P(D e H) = 10% 
A tabela fica então completada pelos seguintes percentuais (em vermelho) 
 
 
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Respostas serão leituras diretas: 
 
a) Ser hipertenso e diabético; 
 
P(D e H) = 10% 
 
b) Não ser hipertenso e nem diabético; 
 
P(�� e ��) = 67% 
 
c) Ser diabético, mas não ser hipertenso; 
 
P(D e ��) = 15% 
 
d) Ser hipertenso, mas não ser diabético. 
 
P(�� e H) = 8% 
 
 
4) A tabela a seguir mostra a distribuição de uma amostra de 6.800 pessoas de certa população 
considerando a cor dos olhos e a cor dos cabelos. 
 
Cor dos olhos 
Cor dos cabelos 
Total 
Loiro Castanho Preto Ruivo 
Azul 1.768 807 189 47 2.811 
Verde 946 1.387 746 53 3.132 
Castanho 115 438 288 16 857 
Total 2.829 2.632 1.223 116 6.800 
 
Faça o que se pede: 
1) Qual a probabilidade de uma pessoa sorteada aleatoriamente dessa amostra: 
a) Ter os olhos azuis? ��		
���
≅ 0,413 
 
b) Ter cabelos castanhos? �
�
���
≅0,387 
 
 
c) Ter cabelos castanhos e olhos castanhos? �
�
���
≅ 0,064 
 
 D �� Total 
H 10% 8% 18% 
�� 15% 67% 82% 
Total 25% 75% 100% 
 
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d) Ter olhos verdes ou cabelos ruivos? 
	
��		
��
���
=
	��
���
≅ 0,47 
 
 
e) Ter os olhos verdes, se a pessoa sorteada tiver os cabelos pretos? ��
	��
≅ 0,61 
 
 
f) Não ter cabelos loiros sabendo-se que tem olhos castanhos? 
 
 
�
������	
���
=
����		�
���
≅ 0,866 
 
 
2) Verifique se a cor dos olhos e a cor dos cabelos são eventos independentes. 
 
P(olho azul e cabelo loiro) = 	�
�
���
≅0,26 (*) 
 
P(olho azul) = ��		
���
≅0,4134 
 
P(cabelo loiro) = ��		
���
≅0,416 
 
Tem-se que P(olho azul) P(cabelo loiro) = (0,4134)(0,416) ≅ 0,172 (**) 
 
Considerando os resultados em (*) e (**) verifica-se que 
 P(olho azul e cabelo loiro) ≠ P(olho azul) P(cabelo loiro) 
 
Donde se conclui que a cor dos olhos e a cor dos cabelos NÃO são eventos 
independentes. 
 
 
 
 
5) A tabela abaixo apresenta os resultados do eletrocardiograma de esforço como um indicador 
de estenose das coronárias quando a doença está presente em metade dos homens 
examinados. O diagnóstico foi obtido por arterioscopia, “padrão ouro”. 
 
 
 
 
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Calcule o que pede: 
a) A prevalência da estenose nesse grupo; 
b) A especificidade do eletrocardiograma de esforço; 
c) A sensibilidade do teste; 
d) O valor de predição positiva e o negativo; 
e) A proporção de falso positivo e a de falso negativo; 
 
Solução: 
 
Essas medidas são obtidas pelo cálculo direto das probabilidades. 
 
a) Prevalência é a P(D+) = ���
���
≅ 0,533 
b) Especificidade é a P(T- | D-) = ��
��
≅ 0,923 
c) Sensibilidade é a P(T+ | D+) = ��
���
≅ 0,539 
d) Valor de Predição Positiva (VPP) é a P(D+ | T+) = ��
��
≅ 0,887 e o 
 Valor de Predição Negativa (VPN) é a P(D- | T-) = ��
���
≅ 0,632 
e) Proporção de Falso Positivo (PFP) é a P(D- | T+) = �
��
≅ 0,113 , também obtido pelo 
complementar de VPP, ou seja, PFP = 1 – VPP = 1 – 0,887 ≅ 0,113 
Analogamente, 
Proporção de Falso Negativo (PFN) é a P(D+ | T-) = ��
���
≅ 0,368 , também obtido 
pelo complementar de VPN, ou seja, PFN = 1 – VPN = 1 – 0,632 ≅ 0,368 
 
 
T: Eletrocardiograma de 
Esforço 
Mais de 79% de 
Estenose Total 
D+ D- 
T+ 55 7 62 
T- 49 84 133 
Total 104 91 195 
 
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6) A tabela abaixo mostra os resultados de um ensaio com 154 pacientes que apresentavam dor 
abdominal. Ao grupo Tratamento (T) foi administrado Brometo de Pinavério (dois 
comprimidos/dia) e ao grupo Controle foi administrado um placebo. Faça os cálculos 
necessários para testar a eficiência do uso do sal no tratamento da dor abdominal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Passo 1 : Verificando se as variáveis em análise são independentes ou se estão associadas, por 
meio da estatística qui-quadrado . 
 
Valores Observados (O) 
 
Valores Esperados (E) 
Grupo 
Permanência da 
dor abdominal Total 
 
Grupo 
Permanência da 
dor abdominal Total 
Sim Não Sim Não 
Tratamento 6 57 63 Tratamento 
14,7 48,3 
63 
Controle 30 61 91 Controle 21,3 69,7 91 
Total 36 118 154 Total 36 118 154 
 
 
O cálculo da estatística X2 pode ser resumido em uma tabela: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A tabela é 2x2, logo o valor de X2 será comparado com o valor teórico da qui-quadrado com 1 
grau de liberdade, considerando = 5%, ou seja, P(X2 > x) = 0,05. 
O valor tabelado corresponde ao valor 3,84. 
Grupo 
Permanência da Dor 
abdominal Total 
Sim Não 
Tratamento 6 57 63 
Controle 30 61 91 
Total 36 118 154 
Componentes do Teste 
O E (" − $)
�
$
 
6 14,7 5,1490 
57 48,3 1,5671 
30 21,3 3,5535 
61 69,7 1,0859 
Estatística X2 = 11,36 
 
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Como a estatística observada X2 = 11,36 > 2 05,0;1χ = 3,84, o teste indica a existência de 
associação entre as variáveis em estudo. 
 
 
Passo 2 : A verificação da eficiência do uso do sal é feita por meio do cálculo da razão das 
chances. 
 
Em relação à permanência da dor abdominal: 
 
Chancedo Grupo Tratamento: Chtratamento = 
�
��
≅0,1053 
 
Chance do Grupo Controle: Chcontrole = 
��
��
≅0,4918 
 
Razão das Chances: RCtratamento/controle = = 0,4918≅0,214 
 
Conclusão: o tratamento, o sal, é protetor para a dor abdominal, pois a chance do tratamento em 
relação ao controle é menor que 1, ou seja, a dor abdominal no grupo controle é 
aproximadamente 4,67 (1/0,214) vezes mais frequente que a do grupo tratamento 
 
 
 
7) No trabalho “Pesquisa sobre parassuicídio entre jovens da cidade de Itajubá”, apresentado na 
XIV Semana Médica da FMIt (1994) por Guimarães, A.L.G., os autores apresentaram os 
 
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resultados referentes À relação entre incidência de parassuicídio e o uso de tranquilizantes. 
Faça o teste e verifique se existe associação entre uso de tranquilizantes ou não e sua medida 
de efeito. 
Uso de 
tranquilizantes 
Parassuicídio 
Total 
Sim Não 
Sim 12 17 29 
Não 20 102 122 
Total 32 119 151 
 
Passo 1 : Verificando se as variáveis em análise são independentes ou se estão associadas, por 
meio da estatística qui-quadrado . 
 
Valores Observados 
 
Valores Esperados 
Uso de 
tranquilizantes 
Parassuicídio 
Total Uso de tranquilizantes 
Parassuicídio 
Total 
Sim Não 
 
Sim Não 
Sim 12 17 29 
 
Sim 6,1 22,9 29 
Não 20 102 122 Não 25,9 96,1 122 
Total 32 119 151 
 
Total 32 119 151 
 
O cálculo da estatística X2 pode ser resumido em uma tabela: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como a estatística observada X2 = 8,76 > 2 05,0;1χ = 3,84, o teste indica a existência de 
associação entre as variáveis em estudo. 
 
Passo 2 : A verificação do parassuicídio em relação ao uso do tranquilizante é feita por meio do 
cálculo da razão das chances. 
 
Componentes do Teste 
O E (" − $)
�
$
 
12 6,1 5,5767 
17 22,9 1,4996 
20 25,9 1,3256 
102 96,1 0,3565 
Estatística X2 = 8,76 
 
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Em relação ao parassuicidio: 
 
Chance do Grupo que usou tranquilizante: Chsim = 
��
��
≅0,7059 
 
Chance do Grupo que não usou tranquilizante: Chnão = 
��
���
≅0,1961 
 
Razão das Chances: RCsim/não ≅ 3,6 
 
Conclusão: o parassuícidio no grupo que fazia uso do tranquilizante é aproximadamente 3,6 
vezes mais frequente que a do grupo que não fazia uso do tranquilizante 
 
 
 
8) Foi feito um estudo em certa escola pública para investigar uma crise de gastroenterite – 
inflamação das membranas do estômago e do intestino - nas crianças, depois de um lanche 
servido num evento comemorativo de homenagens aos pais. Os resultados coletados 
encontram-se na tabela a seguir: 
 
Crise de 
gastroenterite 
Comeram Sanduíche 
Total 
Sim Não 
Sim 109 4 113 
Não 116 34 150 
Total 225 38 263 
 
Faça o teste e verifique se existe associação crise de gastroenterite e a ingestão do sanduíche 
e sua medida de efeito. 
 
Passo 1 : Verificando se as variáveis em análise são independentes ou se estão associadas, por 
meio da estatística qui-quadrado . 
Valores Observados 
 
Valores Esperados 
Crise de 
Gastroenterite 
Comeram 
Sanduíche 
 
Crise de 
Gastroenterite 
Comeram 
Sanduíche Total 
Sim Não Total 
 
Sim Não 
Sim 109 4 113 
 
Sim 96,7 16,3 113 
Não 116 34 150 
 
Não 128,3 21,7 150 
Total 225 38 263 
 
Total 225 38 263 
 
 
O cálculo da estatística X2 pode ser resumido em uma tabela: 
 
 
 
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Como a estatística observada X2 = 19,07 > 2 05,0;1χ = 3,84, o teste indica a existência de 
associação entre as variáveis em estudo. 
 
Passo 2 : Verificação da crise de gastroenterite em relação à ingestão do sanduiche 
 
Em relação a crise de gastroenterite: 
 
Chance do Grupo que comeu o sanduíche: Chsim = 
���
���
≅0,9397 
 
Chance do Grupo que não comeu o sanduíche: Chnão = 
�
��
≅0,1176 
 
Razão das Chances: RCsim/não ≅ 7,99 
 
Conclusão: a crise de gastroenterite no grupo que comeu o sanduíche é aproximadamente 8 
vezes mais frequente que a do grupo que não comeu o sanduíche 
 
 
9) Admitindo que os tempos de duração dos efeitos de uma determinada concentração de 
xilocaína, aplicada localmente, são distribuídos normalmente com média de 20 minutos e 
desvio-padrão de 3 minutos, determine: 
a) As probabilidades de o anestésico causar o efeito: 
i. Por mais do que 23 min. 
ii. Por mais de 18,5 min 
iii. Entre 21,5 e 23 min. 
b) Admitindo que se queira trabalhar com 90% de certeza de que o anestésico esteja 
funcionando, em quanto tempo deveria ser efetuada uma intervenção cirúrgica no local? 
 
Solução: 
 
Seja a variável aleatória, 
X: tempo de duração do efeito de uma determinada concentração de xilocaína, em minutos 
Componentes do Teste 
O E (" − $)
�
$
 
109 96,7 1,5718 
4 16,3 9,3070 
116 128,3 1,1841 
34 21,7 7,0112 
Estatística X2 = 19,07 
 
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10Medicina / 2º. Período / Betim 
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X ~N(20; 3) 
 
a) i) P( X > 23) = 
 
 
 
a) i) P( X > 23) = 




 −
>
3
2023
.ZP = P(Z > 1 ) = 0,1587 (pela tabela 3.2) 
 
ou pela tabela 3.1: P(Z > 1) = 0,5 – P() < Z < 1) = 0,5 – 0,3413 = 0,1587 
 
 
a) ii) P(X > 18,5) = 




 −
>
3
205,18
.ZP = P(Z > -0,5 ) = 0,6915 
Pela tabela 3.1: P(Z > -0,5) = P(Z > 0) + P() < Z < 0,5) = 0,5 + 0,1915 
 
Pela tabela 3.2: P(Z < -0,5) = P(Z > 0,5) = 0,3085 
Então P(Z > -0,5) = 1 – P(Z < -0,5) = 1 – 0,3085 = 0,6915 
 
 
X
2320
0,14
0,12
0,10
0,08
0,06
0,04
0,02
0,00
X
D
e
n
s
it
y
18,5
0,6915
20
Distribution Plot
Normal; Mean=20; StDev=3
 
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11Medicina / 2º. Período / Betim 
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ii) 
 
P ( 21,5 < X < 23) = 




 −
<<
−
3
2023
.
3
205,21 ZP = P(0,5 < Z < 1) 
 
Pela tabela 3.1: P(0,5 < Z < 1) = P(0 < Z < 1) – P(0 < Z < 0,5) = 0,3413 – 0,1915 = 0,1498 
 
Pela tabela 3.2: P(0,5 < Z < 1) = P( Z > 0,5) – P( Z > 1) = 0,3085 – 0,1587 = 0,1498 
 
 
b) P(X > x) = 0,90 → P(Z > z) = 0,90 que equivale a P(Z < z) = 0,10 
 
 
Pela tabela 3.1: P( Z < z) = 0,10 = P(Z > z) equivale a P(0 < Z < z) = 0,40 → z	≅ 1,28, logo, por 
simetria tem-se z = -1,28 
 
 
Pela tabela 3.2: P(Z < z) = P( Z > z) = 0,10 o qual corresponde a z = 1,28 
 
Dessa maneira, tem-se que ⇒
−
=−⇒
−
=
3
2028,1 xxz
σ
µ
x = (-1,28)(3) + 20 ≅ 16,16 
minutos. 
 
X
21,5 2320
 
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10) Suponha que, para certa população, os níveis de ácido úrico sejam normalmente distribuídos 
com média 0,75 (g/24 horas) e desvio-padrão igual a 0,2 (g/24 horas). Estime: 
a) A probabilidade de um indivíduo apresentar uma taxa de ácido úrico: 
i. Maior do que 1 (g/24 horas) 
ii. Menor do que 0,8 (g/24 horas) 
iii. Entre 0,85 e 1,15 (g/24 horas) 
b) Qual é o nível de ácido úrico que delimita as 10% das maiores taxas? 
Respostas: 
a) i) 0,1056 
ii) 0,5987 
iii) 0,2858 
b) 1,006 g/24 h 
 
 
11) Para se identificar infecção bacteriana (Pseudomonas sp) no trato respiratório, foram 
coletadas amostras de pessoas sabidamente sadias e determinadas o número de colônias 
encontradas em cada uma dessas culturas. Os dadosencontram-se apresentados a seguir: 
 
17 22 23 23 23 23 24 24 24 24 24 24 25 25 25 
25 25 25 25 26 28 28 29 30 30 31 31 35 35 35 
36 40 41 41 41 42 51 54 56 56 56 58 60 68 79 
 
Construa faixas de referencia de 95% pelo método: 
a) Normal (curva de Gauss) 
b) Percentis – calculado pela ordem de posição dos dados; 
c) Percentis – estimado pelo percentual acumulado. 
 
 
Resolvido em sala de aula. 
 
0,14
0,12
0,10
0,08
0,06
0,04
0,02
0,00
X
D
e
n
s
it
y
16,16
0,9
20
Distribution Plot
Normal; Mean=20; StDev=3