ALGEBRA LINEAR

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ALUNO: 
CURSO: 
PERÍODO: ANO: 
FAEX – EXTREMA – MG 
ESTRADA MUNICIPAL PEDRO ROSA DA SILVA S/N – FONE 35 3433 3988 
Álgebra linear 
Professor: Benedito Roberto Rodrigues 
x 
y 
 b 
 f(x) = ax + b 
 y 
 x 
 
a = 
∆𝑦
∆𝑥
 
Email da sala: 
ÁLGEBRA LINEAR: EQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU DITINHO 2016 
 
1 
 
CAPÍTULO I: EQUAÇÃO DO 10 GRAU 
 
I.1) DEFINIÇÃO: 
 
 
I.2) DISCUSSÃO DAS RAÍZES DE UMA EQUAÇÃO DO 10 GRAU: 
 
 Na equação do 10 grau ax + b = 0, temos três casos a considerar: 
 
 
 
 
 
 
 
 
I.3) EXERCÍCIOS: Resolva as equações: 
a) 5x – ( 10 – x ) = 20 b) 10 x + 10 = 20 c) 4x – 30 = 50 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) 10x – 8 = 16 – ( 24 – 10x) e) 10x – 8 = 20 – ( 12 – 10x) f) 12 – 4x = 24 – ( 12 + 4x) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ÁLGEBRA LINEAR: EQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU DITINHO 2016 
 
2 
 
 
g) 
𝑥+12
3 
+ 
2𝑥+15
7
= 
7𝑥+3
8
 h) 
2𝑥+6
2
− 
4𝑥+1 
3
= 
𝑥 +5
10
 i) 
3𝑥−20
4
+ 
2𝑥+4 
2
− 
𝑥
4
=
2𝑥+11
3
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
I.4) LAZER PARA CASA: 
 
01) Resolva as equações: 
 
a) 4x - 2( x - 1 ) = 8 b) 3(2x + 1) - ( x - 1) = -1 c) 
3(𝑥−1)
2
− 
1
3
= 0 
 
d) - 
2𝑥+1
4
+ 2 = 
1
3
 e) 
𝑥+1 
3
+ 
2𝑥−1 
4
= 0 f) 
𝑥
2
− 
𝑥−1
5
= 
1
3
 
 
 g) 2x + 1 = x + 4 h) ( x - 1).( x - 3) = 0 i) ( x - 1)(2x + 1) = ( x - 1). (x + 4) 
 
j) 
𝑥−1
3
− 
2𝑥+1
4
= 1 l) (x - 4)(x - 1)(x + 5) = 0 m) (x - 
1
2
)(x + 
1
3
 )( x + 
1
4
 ) = 0 
 
n) (x - 5)(2x + 3) = (x - 5)(x - 4) o) (x + 7)(3x - 6) = (x + 7)(2x - 4) p) (x + 1)(3x + 6) = ( x + 1)(x - 2) 
 
02) Resolva as equações: 
 
a) 4x - 50 = 2 (2x - 3) b) 2( x - 4) + 2 = 5x - 3( x + 2) c) x - 5(10 - x) = 3(2x - 10) - 20 
 
 d) 3 ( x - 3) + 2 ( 5 - x) = x + 4 e ) 
𝑥+1
3
+ 
2𝑥−1
4
= 
10𝑥+1
12
 
RESPOSTAS: 
1) 
a) V = { 3 } b) V = { -1 } c) V = { 
11
9
 } d) V = { 
17
6
 } e) V = { - 
1
10
 } 
f) V = { 
4
9
 } g) V = { 3 } h) V = { 1, 3 } i) V = {1, 3 } j) V = { - 
19
2
 }
 
l) V = { -5, 1, 4 } m) V = { - 
1
4
, − 
1
3
,
1
2
} n) V = { -7, 5 } o) V = { -7, 2 } p) V = { -4, -1 } 
 
02) 
 a) V = { } b) V = IR c) V = IR d) V = { } e) V = IR 
 
ÁLGEBRA LINEAR: EQUAÇÕES DO SEGUNDO GRAU DITINHO 2016 
 
3 
 
CAPÍTULO II: EQUAÇÃO DO 20 GRAU 
 
II.1) DEFINIÇÃO: 
 
 
 
II.2) DISCUSSÃO DAS RAÍZES DE UMA EQUAÇÃO DO SEGUNDO GRAU: 
 
 Na equação do 20 grau ax2 + bx + c, podemos ter: 
 
 
 
 
 
 
II.3) EXERCÍCIOS: 
 
 
01) Escreva as equações cujas raízes são: 
 
a) 3 e 5 b) -3 e -5 c) 4 e 7 d) -7 e 2 e) 10 e - 3 
 
 
 
 
 
 
 
02) Resolva as equações em IR: 
 
a) x2 – 10x + 16 = 0 b) x2 + 13x + 36 = 0 c) x2 – 5x – 6 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ÁLGEBRA LINEAR: EQUAÇÕES DO SEGUNDO GRAU DITINHO 2016 
 
4 
 
 
d) x2 – 10x + 25 = 0 e) x2 – 6x + 25 = 0 f) x2 – 12x + 36 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
03) Resolva em IR as equações: 
 
a) x2 – 16x = 0 b) x2 - 16 = 0 c) x2 –36x = 0 d) x2 - 36 = 0 e) 3x2 - 27 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f) x2 – 25 = 0 g) x2 + 25 = 0 h) x2 – 64 = 0 i) 5x2 - 80 = 0 j) 4x2 -20x=0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ÁLGEBRA LINEAR: EQUAÇÕES DO SEGUNDO GRAU DITINHO 2016 
 
5 
 
 
 
II.4) LAZER PARA CASA: 
 
01) Determine o conjunto verdade das equações : 
 
a) 9x2 - 16 = 0 b) 3x2 = 27 c) x2 + 4 = 0 d)(x - 3)(x + 3) = 0 
 
e)(x -2)(x + 2) = 0 f) 
𝑥2
2
= 8 g) 4x2 - 
9
25
 = 0 h) 2x2 + 50 = 0 
 
02) Determine o conjunto verdade das equações : 
 
a) x2 - 10x = 0 b) 3x2 = 27x c) 10x2 + 40x = 0 d) 5x2 + 20x = 0 e) 9x2 - 45x = 0 
f) 3x2 - 5x = 0 g) 4x2 - 50x = 0 h) 2x2 + 3x = 0 i)) 3x2 + 10x = 0 j) 2x2 - 5x = 0 
 
03) Determine o conjunto verdade das equações : 
 
a) x2 - 5x + 6 = 0 b) 2x2 - 5x - 3 = 0 c) 4x2 - 3x - 1 = 0 d)6x2 - 13x + 6 = 0 e) 3x2 - 20x= 7x 
 
f) 
1
7
 x2 - 2x = -7 g) x2 - x = 
3
4
 h) x2 - 3 = 
𝑥−3
6
 i) x2 - 1 = x - 
1
4
 j) 4x2 - 4x + 3 = 0 
RESPOSTAS: 
01) 
a) V = {  
4
3
 } b) V = {  3 } c) V = { } d) V = {  3 } e) V = {  2 } 
f) V = {  4 } g) V = {  
3
10
 } h) V = { } 
 
02) 
 
a) V = { 0, 10 } b) V = { 0, 9 } c) V = { 0, -4 } d) V = { 0, -4 } e) V = { 0, 5 } 
f) V = { 0, 
5
3
 } g) V = { 0, 
25
2
 } h) V = { 0,- 
3
2
 } i) V = { 0,- 
10
3
 } j) V = { 0, 
5
2
 } 
 
03) 
 
a) V = { 2, 3} b) V = { - 
1
2
 , 3} c) V = { - 
1
4
 , 1} d) V = { 
2
3
 , 
3
2
} e) V = { 0, 9 } 
f) V = { 7 } g) V = { - 
1
2
 , 
3
2
} h) V = { - 
3
2
 , 
5
3
 } i) V = { - 
1
2
 , 
3
2
} j) V = { } 
 
 
ÁLGEBRA LINEAR: ESTUDO DE FUNÇÕES DITINHO 2016 
 
6 
 
CAPÍTULO III: FUNÇÕES 
III.1) DEFINIÇÃO: 
 
 
 
 
 
 
 
III.2) RECONHECIMENTO DE FUNÇÃO: 
 
R1. Através de diagramas: 
 
 
Assinale com um x os diagramas que podem definir uma função: 
 
a) b) c) d) e ) 
 2   1 2   1 2   1 2 1 2   1 
 4   3 4   3 4   3  3 4  
 6   5 6   5 6   5 6 5 
 
 
 
 
Justifique suas respostas: 
a 
b 
c 
d 
e 
 
R2. Através de gráficos: 
 
 
 
 
 
Assinale com um x os gráficos que podem definir uma função: 
 
 
 
 
 
 
filhos pais 
A B A B A B A B A B 
( ) sim 
( ) não 
( ) sim 
( ) não 
( ) sim 
( ) não 
( ) sim 
( ) não 
( ) sim 
( ) não 
y 
x 
y 
x 
y 
x 
y 
x 
y 
x 
y 
x 
( ) sim 
( ) não 
( ) sim 
( ) não 
( ) sim 
( ) não 
( ) sim 
( ) não 
( ) sim 
( ) não 
( ) sim 
( ) não 
a) b) c) d) e) f) 
ÁLGEBRA LINEAR: ESTUDO DE FUNÇÕES DITINHO 2016 
 
7 
 
 
 
 
 
 
 
 
III.3) DOMÍNIO, CONTRADOMÍNIO E IMAGEM DE UMA FUNÇÃO: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
III.4) DETERMINAÇÃO DO DOMÍNIO, CONTRADOMÍNIO E IMAGEM DE UMA FUNÇÃO: 
 
D1. ATRAVÉS DE DIAGRAMAS: 
Exemplos: Determine o domínio(D), o contradomínio (CD) e a imagem das funções dadas pelos diagramas a seguir: 
 
1) 2) 
 
 
 
 
 
 
D2. ATRAVÉS DE GRÁFICOS: 
Determine o domínio e a imagem das funções dadas a seguir: 
 
01) 02) 
 
 
 
 
 
03) 04) 
 
 
 
 
 
 
y 
x 
y 
x 
y 
x 
y 
x 
y 
x 
y 
x 
( ) sim 
( ) não 
( ) sim 
( ) não 
( ) sim 
( ) não 
( ) sim 
( ) não 
( ) sim 
( ) não 
( ) sim 
( ) não 
g) h) i) j) k) l) 
Domínio:______________________________________________________________
_____________________________________________________________________ 
Contradomínio:_________________________________________________________
_____________________________________________________________________ 
Imagem:______________________________________________________________
______________________________________________________________________ 
2 ● 
3 ● 
4 ● 
5 ● 
 ● 3 
 ● 4 
 ● 5 
 ● 6 
 A B D = { } 
 
CD = { } 
 
Im = { } 
 
0 ● 
2 ● 
4 ● 
 ● 0 
 ● 1 
 ● 2 
 ● 6 
 A B D = { } 
 
CD = { } 
 
Im = { } 
 ● 8 
-5 
 4 
-2 
 3 
-1 1 
 
 
 y 
 x 
D = { } 
 
Im = { } 
 
-6 1 
-4 
D = { } 
 
Im = { } 
 
 1 
-4 
-6 
 
 
y 
 5 
x 
D = { } 
 
Im = { } 
 
-5 
 4 
-2 
 3 
-1 1 
 
 
 y 
 x 
D = { } 
 
Im = { } 
 
 3 
 2 0 0 
 0 0 
ÁLGEBRA LINEAR: ESTUDO DE FUNÇÕES DITINHO 2016 
 
8 
 
D3. ATRAVÉS DE EXPRESSÕES: 
 
Se a expressão for: Devemos fazer: 
 
 
 
 
01) Qual é o domínio das funções dadas a seguir? 
 
a) 
12 -4x 
10 -3x 
 f(x) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
25x
10 -3x 
 f(x)
2 

 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
24 x 10x
x104x
 f(x)
2
3



 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) 
16x
5x
 f(x)
2 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
02) Qual é o domínio das funções dadas a seguir: 
a) 
20 -4x f(x) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
3 20-4x f(x) 
 
 
 
 
 
 
 
ÁLGEBRA LINEAR: ESTUDO DE FUNÇÕES DITINHO 2016 
 
9 
 
c)
0510x
27 5x 
 f(x)



 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) 
28x 2
10x
 f(x)


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
III.5) VALOR DE UMA FUNÇÃO: 
 
 
01) Dada a função f: IR → IR, definida por f(x) = 3x2 - x. 
Calcule o valor de f(10) 
 
 
 
 
 
02) Sejam as funções f : IR+ → IR e g : IR - {3} → IR, de-
finidas por f(x) = √𝑥 e g(x) = 
3𝑥+6
𝑥−3
. Pede-se calcular: 
 
a) f(16) + g(4) = 
 
 
 
 
 
b) f( 
9
16
 ) - g( 6 ) = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) f(18) . g( 9 )= 
 
 
 
 
 
 
 
 
d)f ( 25) : g(5) = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
03) Considere a função f(x) = 3x - 4 . Calcule o valor de 
x, sabendo que f(x) = 17 
 
 
 
 
 
ÁLGEBRA LINEAR: ESTUDO DE FUNÇÕES DITINHO 2016 
 
10 
 
04) Um móvel se desloca segundo a função horária 
S = 30 - 10t + t2, sendo S dado em metros e t em 
segundos. Calcule o espaço percorrido pelo móvel 
quando t = 4 s. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
05) A velocidade de um corpo é expressa pela função 
V = 10 + 2t, sendo V dado em m/s e t dado em segun-
dos. Calcule a velocidade do móvel no instante t = 9 s 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
06) Dadas as funções f(x) = 2x - k e g(x) = 
𝑥2
2
 - 3k 
Determine o valor de k, sabendo que f(2) = g(3) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
III.6) LAZER PARA CASA: 
 
 
5
2
, se x é racional 
01) Considere a função f : |R|R definida por f(x) = O valor de 
 
4
3
, se x é irracional 
 
a) 
5
2
 b) 
27
20
 c) 
12
5
 d) 
80
69
 e) 
15
23
 
 
02) Considere as funções :f(x) = 5x - 8 e g(x) = 4x - 18. O valor de f(2).g(5) é: 
 
 a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 
)f(
)
5
3
f()2f(

 é 
ÁLGEBRA LINEAR: ESTUDO DE FUNÇÕES DITINHO 2016 
 
11 
 
03) Se f(2x –5 ) = 4x + 3, então f(-1) é : 
 a) 11 b) -1 c) 6 d) – 7 e) – 25 
04)O gráfico da função f(x) = mx + n passa pelos pontos ( -1, 3) e ( 2, 7). Calcule o valor de m. 
 
05) Dada a função f(x) = ax + b e sendo f(1) = 3 e f(2) = 9, calcule o valor de f(0) 
06) Determine o domínio das funções: 
a) f(x) = 
8 -2x 
1 3x 
 b) f(x) = 
x2
 c) f(x) = 2x + 5 
07) As funções f e g são dadas por f(x) = 
3𝑥
5
 - 1 e g(x) = 
4𝑥
3
 + a. Sabe-se que f(0) - g(0) = 
1
3
 . Então f(3) - 3g(
1
5
 ) é 
a) 1 b) 2 c)3 d) 4 e) n.r.a. 
 
08) Uma função f de variável real satisfaz a condição f(x + 1) = f(x) + f(1), qualquer que seja o valor da variável x. Sa-
bendo que f(2) = 1, pode-se concluir que f(3) é igual a: 
 
a) 0,25 b) 0,5 c) 1,5 d) 2 e) n.r.a. 
 
09) A função f:IR → IR é tal que f(3x) = 3f(x), x  IR. Se f(9) = 45, então f(1) + f(3) é igual a: 
 
a) 15 b) 5 c) 20 d) 10 e) n.r.a. 
10) Se f(x) = 
1-x
2
, x , x  1, então 
f[f(2)].8
vale: 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 
RESPOSTAS:01) E 02) E 03) A 04) 
3
4
 05) – 3 
06) a) |R – { 4 } b) { x  |R / x  2 } c) |R 
07) D 08) C 09) C 10) D 
 
III.7) TIPOS DE FUNÇÃO I : 
 
→ FUNÇÃO INJETORA: 
 
 
 
 
 
 
 em diagramas: no gráfico: 
 
 
 
 
 
 
A B 
B 
A 
y 
x 
ÁLGEBRA LINEAR: ESTUDO DE FUNÇÕES DITINHO 2016 
 
12 
 
→ FUNÇÃO SOBREJETORA: 
 
 
 
 
 
 
 em diagramas: no gráfico: 
 
 
 
 
 
 
→ FUNÇÃO BIJETORA: 
 
 
 
 
 
 
 em diagramas: no gráfico: 
 
 
 
 
 
 
01) Seja D = { 1, 2, 3, 4, 5} e f: D |R a função definida 
por f(x) = ( x – 2)(x – 4). Então: 
a) f é sobrejetora 
b) f é injetora 
c) f é bijetora 
d) O conjunto imagem de f possui 3 elementos 
somente 
e) Im(f) = { -1, 0, 1} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
02) Construa o gráfico das funções dadas a seguir e 
classifique-as em injetora, sobrejetora ou bijetora. 
 
a) f : |R|R+ definida por f(x) = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x y 
 
 
x y 
 
 
A B 
B 
A 
y 
x 
A B 
B 
A 
y 
x 
- x + 1 se x  1 
 x + 1 se x > 1 
y 
x 
ÁLGEBRA LINEAR: ESTUDO DE FUNÇÕES DITINHO 2016 
 
13 
 
 
b) f:[-1, 4]→[0, 3] definida por f(x) = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) f : IRIR- definida por f(x) = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
III.8) TIPOS DE FUNÇÃO II : FUNÇÃO PAR E FUNÇÃO ÍMPAR: 
 
→ FUNÇÃO PAR: 
 
 
 
 
 
 
→ GRAFICAMENTE: → EXEMPLOS: 
 
 
 
 
 
 
 
→ FUNÇÃO ÍMPAR: 
 
 
 
 
 
x y 
 
 
x y 
 
 
x y 
 
 
x y 
 
 
 x + 1 se x > 1 
- x + 1 se x  1 
 
y 
x 
- x se x > 0 
 x se x  0 
 
y 
x 
y 
x 
y 
x 
ÁLGEBRA LINEAR: ESTUDO DE FUNÇÕES DITINHO 2016 
 
14 
 
→ GRAFICAMENTE: → EXEMPLOS: 
 
 
 
 
 
 
III.9) EXERCÍCIOS 
 
01) Considere as funções dadas a seguir, de IR em IR . Coloque P para as pares, I para as ímpares e NPI par as nem 
pares e nem ímpares: 
a) ( ) f(x) = x4 + 3x2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) ( ) f(x) = 5x3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) ( ) f(x) = x2 + 3x 
 
 
 
 
 
 
 
 
02) Sabe-se que a f(x) é par e que f(3) = 10. Conside-
rando esses dados, calcule o valor de f(3) + 5f(-3) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
03) A respeito da função g(x) é sabido que ela é ímpar 
e que g(-5) = 3a. Calcule o valor de 2g(5) - g(-5) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y 
x 
y 
x 
ÁLGEBRA LINEAR: ESTUDO DE FUNÇÕES DITINHO 2016 
 
15 
 
III.9) LAZER PARA CASA: 
 
01) Classifique as funções dadas a seguir em injetora(I), sobrejetora(S), bijetora(B) ou nenhuma delas(N):
a) y 
 
 
 
 
 x 
 
b) y 
 
 
 
 
 x 
 
c) y 
 
 
 
 
 x 
 
d) y 
 
 
 
 
 x 
 
 
 
e) y 
 
 
 
 
 x 
 
f) y 
 
 
 
 
 x 
 
 
02) Considere as funções dadas a seguir, de IR em IR . 
Coloque P para as pares, I para as ímpares e NPI par as 
nem pares e nem ímpares: 
a) ( ) f(x) = 
2x
2
 ( x  0) 
b)( ) f(x) = 5x 
 
c) ( ) f(x) = 5x + 6 
 
d) ( ) f(x) = 
x
1
( x  0 ) 
 
03) Seja dada a função f : IR  IR definida por f(x) = 3. 
Então a função g : IR  IR definida por 
 g(x) = f(x). f(x). f(x). ... . f(x) será: 
 
 
a) ímpar, para todo n 
b) ímpar, só para n ímpar 
c) par, para todo n 
d) par, só para n par 
e) n.r.a 
 
 
 
 
 
 
RESPOSTAS: 
 
01) 
a) I b) B c) N d)S e) b f) S 
02)a) P b) I c) NPI d) I 
03) C 
 
 
 
B 
B 
B 
B 
B 
B 
A 
A 
A 
A 
A 
A 
 n fatores 
ÁLGEBRA LINEAR: ESTUDO DE FUNÇÕES DITINHO 2016 
 
16 
 
III.10) COMPOSIÇÃO DE FUNÇÕES: 
 
 
 A C 
 
 
 
 
 
 
 
 
 B 
01) Dadas as funções f(x) = 2x – 2 e g(x) = x + 1. 
Determine: 
a) f [ g (5) ] 
 
 
 
 
 
 
b) g [ f (5) ] 
 
 
 
 
 
 
c) f [ f ( 5) ] 
 
 
 
 
 
d) g [ g (5) ] 
 
 
 
 
 
 
e) f { f [ f (5) ] } 
 
 
02) Considere as funções de |R em |R, definidas por 
f(x) = 3x + 6 e g(x) = 4x + 10. Pede-se determinar as 
expressões que definem: 
a) fog(x) 
 
 
 
 
b) gof(x) 
 
 
 
d) fof(x) 
 
 
 
 
d) gog(x) 
 
 
 
fog(x) = 
 
gof(x) = 
 
fof(x) = 
 
gog(x) = 
 
 
ÁLGEBRA LINEAR: ESTUDO DE FUNÇÕES DITINHO 2016 
 
17 
 
03) Sejam f e g duas funções de |R em |R definidas 
por 
 
 f(x) = e g(x) = 2x – 7,  x  |R 
 
Determine fog(x) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
04) Sejam f : |R  |R e g : |R  |R duas funções tais 
que g(x) = 4x – 1 e gof(x) = 12x + 7. Obter f(x). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
05) Sejam f : |R  |R e g : |R  |R duas funções tais 
que f(x) = 5x – 1 e gof(x) = 10x + 2. Obter g(x). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
III.11) LAZER PARA CASA: 
 
01) Dadas as funções reais f e g tais que : f(x) = x3 + 1 
e g(x) = x – 2 . Determine: 
a) fog(0) b) gof(0) c) fof(1) d) gog(1) 
 
02)Sejam as funções reais f e g tais que f(x) = 2x + 1 e 
g(x) = 4x + 5 . Determine: 
a) gof(x) b) fog(x) c) fof(x) d) gog(x) 
 
03) Sejam f e g duas funções definidas em |R, com va-
lores em |R, tais que f(x) = 3x – 1 e g(x) = x2. A expres-
são que define gof(x) é: 
a) 9x2 – 6x + 1 b) 3x2 – 1 c) 9x2 – 3x – 1 
d) 3x2 – 6x + 1 e) 9x2 – 6x – 1 
 
04) O ponto (1, 3) pertence ao gráfico da função f(x) = 
2x + b. Sabendo que g(x) = x2 – 1, o valor de f[g(0)] é: 
a) – 2 b) – 1 c) 0 d) 1 e) 2 
 
05) Sejam as funções de números reais f(x) = 5x + 10 e 
g(x) = 4x2 - 20. Então o valor de fog(0) + gof(0) é: 
a) 290 b) 100 c) 920 d) 0 e) n.r.a. 
 
RESPOSTAS: 
01) 
 a) – 7 b) – 1 c) 9 d) – 3 
 
02) 
 a) 8x + 9 b) 8x + 11 c) 4x + 3 d) 16x + 25 
03) A 04) B 05) A 
 
 x + 3, se x  3 
 
x - 4, se x > 3 
 
 
ÁLGEBRA LINEAR: ESTUDO DE FUNÇÕES DITINHO 2016 
 
18 
 
III.12) FUNÇÃO INVERSA: 
 
→ DEFINIÇÃO: Seja f uma função de A em B. A função f -1(x): B  A é a inversa de f se, e somente se: 
 fof -1 (x) = x,  x  B e f -1of (x) = x,  x  A 
 
→ OBSERVAÇÃO : A função f é inversível somente quando f é bijetora. 
 
 f(x) = f -1(x) = 
 A B B A 
 
 
 
 
 
 
 D(f) = D(f -1) = 
 
 Im (f) = Im (f -1) = 
 
PROPRIEDADES: 
 
 
 
 
 
 
GRÁFICOS DE f(x) e f -1(x) 
 
 
 
 
REGRA PRÁTICA PARA OBTER A FUNÇÃO INVERSA: 
////////////////////////////////////////////////////////////////////////// f(x) = 
1) 
 
 
2) 
 
 
 
 
 
 
3) 
 
 
4) 
 
 
y 
x 
x y 
 
 
 
 
x y 
 
 
 
 
f(x)= f -1 (x)= 
ÁLGEBRA LINEAR: ESTUDO DE FUNÇÕES DITINHO 2016 
 
19 
 
III.13 EXERCÍCIOS: 
01) Determine a função inversa de f(x) = 4x – 3 
 
 
 
 
 
 
 
02)Qual é a função inversa de f(x) = 
2-x
x
 (x  2)? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
03) Determine a função inversa de: 
a) f(x) = 2x + 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) f(x) = x – 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
04) A função f(x)= 
x-2
x2 
 definida em IR – {2} é inver-
sível. O seu contradomínio é IR-{a}. O valor de a é: 
 
a) 2 b) – 2 c) 1 d) – 1 e) 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
III.14) LAZER PARA CASA: 
01) Determine a função inversa de f(x) = 2x + 3 
02) Qual é a função inversa de f(x) = 3x – 5 ? 
03) Qual é a função inversa de f(x) = 
1x
1

para todo 
x> 0? 
04)Obter a inversa da função f(x) = 4x – 1 
 
RESPOSTAS: 
01) f -1(x)= 
2
3-x
 02) f -1(x)= 
3
5x 
 
03) f -1(x)= 
x
x-1
 04) f -1(x)= 
 
 
 
 
 
 
4
1x 
ÁLGEBRA LINEAR: ESTUDO DA FUNÇÃO DE PRIMEIRO GRAU DITINHO 2016 
 
20 
 
CAPÍTULO IV: FUNÇÃO DO 10 GRAU 
 
IV.1) DEFINIÇÃO: 
 
 
 
 
 
→ GRAFICAMENTE: 
 
 
 
 
 
 
 
→ TERMO DE b RAIZ DA FUNÇÃO 
 
 
 
 
 
IV.2) EXERCÍCIOS 
 
Problema 1: Dada a função construir seu gráfico 
 
01) Construa o gráfico de f(x) = 2x - 4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
→ Calcule a raiz de f(x) = 2x - 4 
 
 
 
Conclusão: 
 
 
 
02) Construa o gráfico de f(x) = -2x + 4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
→ Calcule a raiz de f(x) = - 2x + 4 
 
 
 
Conclusão:y 
x 
y 
x 
y 
x 
x y 
 
 
 
y 
x 
x y 
 
 
 
ÁLGEBRA LINEAR: ESTUDO DA FUNÇÃO DE PRIMEIRO GRAU DITINHO 2016 
 
21 
 
Problema 2: Dado o gráfico descobrir a função: 
 
03) Qual é a função cujos gráficos são apresentados 
abaixo? 
 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problema 3: Dado dois pares ordenados, descobrir a 
função: 
04) Uma função do primeiro grau passa pelos pontos 
A(1, 5) e B(6, 9). Determine a expressão que define 
essa função. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
05) Determine a expressão que define uma função do 
10 grau, sabendo que a reta correspondente a essa 
função passa pelos pontos A(3, -2) e B(1, 2) 
 
 
 
 
06) A função f, do primeiro grau, é definida por f(x) = 
3x + k. O valor de k para que o gráfico de f corte o eixo 
dos y no ponto de ordenada 5 é: 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 
 
 
 
 
 
 
 
y 
3 2 
1 
-2 
x 
y 
x 
21 
11 
4 9 
x 
 20 
y 
-5 
ÁLGEBRA LINEAR: ESTUDO DA FUNÇÃO DE PRIMEIRO GRAU DITINHO 2015 
 
22 
 
IV.3) LAZER PARA CASA: 
 
01) Construa o gráfico da função f(x) = -3x + 1 02) Construa o gráfico da função f(x) = 3x + 1 
03) O gráfico de uma função é uma reta. Determine a expressão que define essa função, sabendo que essa reta 
passa pelos pontos A( 5, -14) e B( -1, 4) 
04) A reta correspondente a uma função f passa pelos pontos A(2, 7) e B(-1, -2). Determine o valor de f(5). 
05) Seja f uma função real, definida por f(x) = ax + b. Calcule o valor de a + b, sabendo que f(2) = 11 e que f(10) = 43. 
 
RESPOSTAS: 
 
01) 02) 
 
 
 
 
 
 
IV.4) ESTUDO DO SINAL DA FUNÇÃO DE 10 GRAU: 
 Já sabemos que na função f(x) = ax + b : 
 
 
 
 
 
 
 
 
IV.5) EXERCÍCIOS: 
01) Resolva as inequações do 10 grau: 02) Resolva as inequações do 10 grau: 
a) 10x – 20 > 0 
 
 
 
 b) – 10x + 30  0 
 
 
 
c) 5x – 40 < 0 
 
 
 
d) 6x – 4  0 
 
 
 
 
 
a) 3(4 – x ) – 7(x – 4 ) > 12 – x 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
3−2𝑥
4
− 
𝑥−2
3
 ≤ 6 
 
 
 
 
 
03) f(x) = -3x + 1 04) 16 
 
05) 7 
y y 
x 
x 
y 
x 
y 
x 
se a > o se a < o Conclusão: 
ÁLGEBRA LINEAR: ESTUDO DA FUNÇÃO DE PRIMEIRO GRAU DITINHO 2015 
 
23 
 
c) 4 ( 3 – 2x) – 5( 7 – x ) > 15 – 4x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 d) 
5𝑥−4
2
− 
2−𝑥
3
 > 16x - 10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
IV.6) LAZER PARA CASA: 
 
01) Resolva as inequações do 10 grau dadas abaixo: 
a) 2x – 10 < 4 b) – 3x + 5  2 c) – ( x – 2 )  2 – x d) x – 3  3 + x 
02) O menor inteiro positivo n tal que 3n  
2
1
( n + 31 ) é: 
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 
 
03) Em |N o produto das soluções da inequação 2x – 3  3 é: 
a) maior que 8 b) 6 c) 2 d) 1 e) 0 
 
04) Resolva as inequações: 
 
a) 
3 − 𝑥
2
− 
9 + 2𝑥
6
 > 
𝑥−3
4
 b) 
𝑥 − 4
3
+ 
2𝑥 − 1
2
< 
𝑥 − 3
6
− 
4 − 𝑥 
3
 c) 
3𝑥−2
5
− 
3−2𝑥
2
 ≤ 
𝑥−4
10
 
 
 
RESPOSTAS: 
 
01) a) V = { x  |R / x < 7 } b) V = { x  |R / x  1} c) V = |R d) V = { } 
02) C 03) E 
 
04) a) S = { x  IR | x < 
9
13
 } b) S = { x  IR | x < 0 } c) S = { x  IR | x ≤ 1 } 
 
 
 
ÁLGEBRA LINEAR: ESTUDO DA FUNÇÃO DE PRIMEIRO GRAU DITINHO 2015 
 
23 
 
 
 ÁLGEBRA LINEAR: ESTUDO DA FUNÇÃO DE SEGUNDO GRAU DITINHO 2016 
 
24 
 
CAPÍTULO V: ESTUDO DA FUNÇÃO DO 20 GRAU 
 
V.1) DEFINIÇÃO: 
 
 
 
 
→ GRAFICAMENTE: 
 
 
 
 
 
 
 
→ TERMO DE c 
 
 
 
 
→ EIXO DE SIMETRIA 
 
 
 
 
→RAÍZES DA FUNÇÃO 
 
 
 
 
→VÉRTICE DA PARÁBOLA 
 
 
 
V.2) EXERCÍCIOS: 
01) Em uma industria, o custo de fabricação de x uni-
dades de um determinado produto é dado por C(x) = 
x2 + 2x + 400 reais. Em um dia de trabalho, o número 
de unidades produzidas é x(t) = 12t unidades , em que 
t é o número de horas trabalhadas no ia. Determine o 
custo de fabricação quando são decorridas 3 horas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y 
x x 
y 
x x 
y 
x x 
y y y 
x 
y 
x1 xV x2 
xV 
c 
 ÁLGEBRA LINEAR: ESTUDO DA FUNÇÃO DE SEGUNDO GRAU DITINHO 2016 
 
25 
 
02) Um arquiteto, ao projetar um painel quadrado 
decorativo de 5m de lado, inseriu uma janela 
triangular de acordo com este desenho: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
03)Uma praça retangular será reformada e passará 
por um novo projeto de paisagismo. A figura 
representa o projeto da reforma da praça, e as áreas 
destacadas serão destinadas aos jardins. Os lados são 
de 50 m e 32 m. Escreva a expressão que representa a 
área dos jardins e determine essa área para x = 8m. Os 
quadrados dos cantos tem lado medindo x metros. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
04) Construa o gráfico das funções dadas abaixo: 
a) f(x) = x2 – 6x + 8 
cálculo das raízes Cálculo do vértice 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) f(x) = -x2 + 10x - 24 
cálculo das raízes Cálculo do vértice 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d 
d 
a) Determine a área dessa 
janela em função da medi-
da d. 
b)Calcule a área da janela 
quando d = 4m 
1 2 3 4 5 6 
5 
4 
3 
2 
1 
-5 -4 -3 -2 -1 -1 
-2 
-3 
-4 
-5 
-6 
y 
x 
1 2 3 4 5 6 
5 
4 
3 
2 
1 
-5 -4 -3 -2 -1 -1 
-2 
-3 
-4 
-5 
-6 
y 
x 
 ÁLGEBRA LINEAR: ESTUDO DA FUNÇÃO DE SEGUNDO GRAU DITINHO 2016 
 
26 
 
c) f(x) = x2 - 4x + 9 
cálculo das raízes Cálculo do vértice 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) f(x) = - x2 + 8x - 16 
cálculo das raízes Cálculo do vértice02) Determine o valor de m, para que a função f(x) = - 
5 + (m – 16)x2 tenha a parábola com concavidade 
voltada para cima. 
 
 
 
 
03)Seja f a função real de variável real, definida por 
f(x) = x2 + px + q, em que p e q são números reais 
constantes. Se o gráfico de f passa pelos pontos (5, 0) 
e ( 0, 5), o valor de f(1) é: 
a) – 1 
b) 0 
c) 1 
d) 2 
e) n.r.a. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
04) A parábola da figura tem vértice no ponto A(-1, 3) 
e representa a função quadrática f(x) = ax2 + bx + c: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto a + b vale: 
a) – 3 
b) – 2 
c) – 1 
d) 0 
e) n.r.a. 
 
1 2 3 4 5 6 
5 
4 
3 
2 
1 
-5 -4 -3 -2 -1 -1 
-2 
-3 
-4 
-5 
-6 
y 
x 
1 2 3 4 5 6 
5 
4 
3 
2 
1 
-5 -4 -3 -2 -1 -1 
-2 
-3 
-4 
-5 
-6 
y 
x 
y 
x 
 2 
 ÁLGEBRA LINEAR: ESTUDO DA FUNÇÃO DE SEGUNDO GRAU DITINHO 2016 
 
27 
 
V .3) IMAGEM DA FUNÇÃO f(x) = ax2 + bx + c: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Determine o conjunto imagem das funções de 20 grau, 
dadas a seguir: 
 
a)f(x) = x2 - 10x + 21 
 
 
 
 
 
 
 
b) f(x) =- x2 - 9x + 8 
 
 
 
 
 
 
 
c) f(x) = x2 - 36 
 
 
 
 
 
 
 
 
f(x) =- x2 + 10x 
 
 
 
 
 
 
 
V.4) MÁXIMO E MÍNIMO DE f(x) = ax2 + bx + c: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Nas funções quadráticas a seguir, verifique se elas 
admitem um valor máximo ou um valor mínimo e, cal-
cule esse valor: 
 
a) f(x) = - x2 + 16x - 48 
Essa função admite um valor ___________porque ___ 
 
 
 
 
 
 
b) f(x) = x2 - 9x + 18 
Essa função admite um valor ___________porque ___ 
 
 
 
 
 
 
c) f(x) = - 6x2 - 5x + 1 
Essa função admite um valor ___________porque ___ 
 
 
 
 
 
d) f(x) = 5x2 - 10x - 9 
Essa função admite um valor ___________porque ___ 
 
 
 
 
 
 
 
y 
x x 
y 
yv 
 
y 
x x 
y 
yv 
 
 ÁLGEBRA LINEAR: ESTUDO DA FUNÇÃO DE SEGUNDO GRAU DITINHO 2016 
 
28 
 
V.5) SINAIS DA FUNÇÃO DO 20 GRAUS: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
V.6) EXERCÍCIOS: 
 
01) Resolva as inequações: 
a) a) x2 – 10x + 21 > 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) –x2 + 11x - 30  0 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) x2 – 2x + 10 < 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) x2 –10x + 25  0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y 
x 
y 
x 
y 
x 
y 
x 
y 
x 
y 
x 
 ÁLGEBRA LINEAR: ESTUDO DA FUNÇÃO DE SEGUNDO GRAU DITINHO 2016 
 
29 
 
 
 e) x 2 – 16x + 64 < 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) x 2 – 12x + 32 > 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
IX.8) LAZER PARA CASA . 
01) Resolva as inequações do 10 grau dadas abaixo: 
a) 2x – 10 < 4 b) – 3x + 5  2 
c) – ( x – 2 )  2 – x d) x – 3  3 + x 
 
02) O menor inteiro positivo n tal que 
 3n  
2
1
( n + 31 ) é: 
a) 5 b) 6 c) 7 
d) 8 e) 9 
 
03) Em |N o produto das soluções da inequação 
 2x – 3  3 é: 
a) maior que 8 b) 6 c) 2 
d) 1 e) 0 
 
04) Resolva, em |R, as inequações: 
a) x2 – 5x + 4 > 0 b) x2 – 4x + 4 > 0 
c) x2 – 4x + 4 < 0 d) – x2 + 3x – 4 > 0 
e) – x2 + 3x – 4  0 f) x2 < 3 
g) (x – 3 )(x – 5) > 0 h) x2 < 4x 
 
05) O produto dos elementos do conjunto A = { x  
|N / ( x – 2 )( 7 – x ) > 0 } é: 
a) 60 b) 90 c) 120 
d) 180 e) 360 
 
RESPOSTAS: 
01) a) V = { x  |R / x < 7 } b) V = { x  |R / x  1} 
c) V = |R d) V = { } 
 
02) C 03) E 
 
04) a) V = { x  |R / x < 1 ou x > 4 } 
 b) |R – { 2 } c) { } d) { } e) |R 
 f) V = { x  |R /-
3
< x <
3
} 
 g) V = {x  |R / x < 3 ou x > 5} 
 h) V = {x  |R / 0 < x < 4} 
 
05)E 
ÁLGEBRA LINEAR: ESTUDO DA FUNÇÃO EXPONENCIAL DITINHO 2016 
 
30 
 
CAPÍTULO VI: FUNÇÃO EXPONENCIAL 
 
X.1) DEFINIÇÃO: 
 
 
 
X.2) REPRESENTAÇÃO GRÁFICA: 
 
01) Construa o gráfico de f(x) = 2x 
 y 
x y 
-2 
-1 
0 
1 
2 
 
02) Construa o gráfico de f(x) = (
1
2
)
𝑥
 
 y 
x y 
-2 
-1 
0 
1 
2 
 
 
 
 
01) Resolva as equações expo-
nenciais: 
 
a) 2x = 32 
 
 
 
 
 
 
b) 3x = 729 
 
 
 
 
 
 
c) 2x = 
1
32
 
 
 
 
 
 
d) 3x = 
1
729
 
 
 
 
 
 
f) 7x = 
1
343
 
 
 
 
 
g) 10x = 100 
 
 
 
 
 
h) 10x = 0, 001 
 
 
 
 
02) Determine o conjunto verda-
de das equações dadas a seguir: 
 
a) 2x = 4. √32
7
 
 
 
 
 
 
 b) 32x = 128. √16
5
 
 
 
 
 
 
 
-1 -2 -3 1 2 3 
7 
6 
5 
4 
3 
2 
1 
x 
-1 -2 -3 1 2 3 
7 
6 
5 
4 
3 
2 
1 
Conclusão: 
ÁLGEBRA LINEAR: ESTUDO DA FUNÇÃO EXPONENCIAL DITINHO 2016 
 
31 
 
 
c) 2x – 1 + 2x – 2 + 2x – 3 = 14 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) 2x – 1 + 2x – 3 + 2x – 5 = 21 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
03) Resolva as equações: 
a) 52x – 30. 5x + 125 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 4x – 24.2x + 128 = 0 
 
c) 72x - 8.7x + 7 = 0 
 
d) 9x – 30.3x = - 81 
 
ÁLGEBRA LINEAR: ESTUDO DA FUNÇÃO EXPONENCIAL DITINHO 2016 
 
32 
 
VI.3) LAZER PARA CASA: 
 
Resolva as equações exponenciais: 
 
01) 12X = 1 03) 3x = 27 04) 2x = 4096 05) 4x = 32 
 
06) 49x = 7 07) 27x = 9 08) 10x = 1 000 09) 100x = 1000 
 
10)1000x = 100 11) 3x = 
1
81
 12) 13x= 
1
169
 13) 
3
4𝑥
= 48 
 
 14) 2x = √4
3
 15) 9x = 3√3
 
16) 10x + 10x+1 + 10x+2 = 111 
 
17)2x+2 + 2x+4 + 2x+1 = 176 
 
 18) 5x+1 + 5x+2 = 150 
 
19)3x-2 + 3x-3 + 3x-4 + 3x-5 = 40 
 
20) 10x-1 + 10x-2 + 10x-3 = 111 
 
21) 72x – 8.7x + 7 = 0 
 
 22) 22x + 9.2x + 18 = 0 
 
23) 32x – 28.3x + 27 = 0 
 
24) 2x + 
4
2𝑥
 = 5 25) 2x + 2-x = 2 
 
26) 100. 102 = 10
4
𝑥 
 
 27) 95x-1: 812x-3 = 275x-3: 32x-5 
 
28)
252𝑥+1
5
: √25𝑥. 52𝑥+1 = 125 
 
29) 3x + 3x+1 + 
12
3𝑥−1
 = 40 
 
 30) 
25𝑥+125
6
 = 5x+1 
 
31) 33-x + 31 + x = 18 
 
32) 3x – 3.31-x = 8 
 
 
 
 
 
 
RESPOSTAS: 
 
01) V = { 0 } 03) V = { 3 } 04) V = { 12 } 
05) V = { 
2
5
 } 06) V = { 
1
2
 } 07) V = { 
2
3
 } 
08) V = { 3 } 09) V = { 
3
2
 } 10) V = { 
2
3
 } 
11) V = { -4 } 12) V = { -2 } 13) V = { -2 } 
14) V = { 
2
3
 } 15) V = { 
3
4
 } 16) V = { 0 } 
17) V = { 3 } 18) V = { 1 } 19) V = { 5 } 
20) V = { 3 } 21) V = { 0, 1 } 22) V = { } 
23) V= {0, 3} 24)V ={0, 2} 25) V ={0} 
26) V ={1} 27) V ={
14
11
} 28) V ={
5
4
} 
29) V ={0, 2} 
30) V ={1, 2} 31) V ={ 1 } 32) V ={ 2 } 
 
ÁLGEBRA LINEAR: ESTUDO DA FUNÇÃO LOGARITMICA DITINHO 2016 
 
33 
 
CAPÍTULO VII: FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 
VII.1) DEFINIÇÃO: 
 
 
 
 
 
 
 
VII.2) CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA: 
 
 
VII.3) EXERCÍCIOS: Calcule o valor de x: 
 
a) 𝑙𝑜𝑔2
64 = 𝑥 
 
 
 
 
 
 
 
b) 𝑙𝑜𝑔3
243 = 𝑥 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 𝑙𝑜𝑔2
√16
7
= 𝑥 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) 𝑙𝑜𝑔5
5√5 = 𝑥 
 
 
 
 
 
 
 
e) 𝑙𝑜𝑔𝑥
64 = 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f) 𝑙𝑜𝑔𝑥
81 = 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
g) 𝑙𝑜𝑔𝑥
5 =
1
2
 
 
 
 
 
 
 
 
h) 𝑙𝑜𝑔2
𝑥 = 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
i) 𝑙𝑜𝑔7
𝑥 = 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ÁLGEBRA LINEAR: ESTUDO DA FUNÇÃO LOGARITMICA DITINHO 2016 
 
34 
 
VII.4) PROPRIEDADES DECORRENTES DA DEFINIÇÃO: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
XI.5) EXERCÍCIOS : 
 
01) Calcule o valor da soma S a seguir: 
a) S = 𝑙𝑜𝑔2
16 + 𝑙𝑜𝑔3
27 - 𝑙𝑜𝑔5
25 + log 100 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 b) S = log 0,01 + log 100 - 𝑙𝑜𝑔2
64 - log 10-6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 c) S = log5 √5 – log3 27 + log3 729 
 
 
 
 
 
 
 
02) Calcule o domínio das funções: 
a) f(x) = log2 (4x – 20) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) f(x) = log ( - 5x + 8) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 c)f(x) = log ( 13 x – 40) 
 
 
 
 
 
 
 
 
ÁLGEBRA LINEAR: ESTUDO DA FUNÇÃO LOGARITMICA DITINHO 2016 
 
35 
 
03) Calcule o valor de x em: 
a) log3 27 = x 
 
 
 
 
 
 
b) log2 16 = x 
 
 
 
 
 
 
c) log 5 625 = x 
 
 
 
 
 
 
d) log 100 = x 
 
 
 
 
 
 
e)log 0,00001 = x 
 
 
 
 
 
 
f) log 1 000 = x 
 
 
 
 
g) log 0, 000 001 = x 
 
 
 
 
 
h) log 2 √2 = x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 i) log3 9√3 = x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 j) log5 25 √25
3
 = x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
l)log 2 
1
32
 = x 
 
 
 
 
 
 
 
ÁLGEBRA LINEAR: ESTUDO DA FUNÇÃO LOGARITMICA DITINHO 2016 
 
36 
 
m) log3 
1
729
 = x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 n) log9 3 = x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
o) log162 = x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 p)log102416 = x 
 
 
 
 
 
 
 
 
04) Determine o valor da base dos logaritmos: 
a) logx 81 = 4 
 
 
 
 
 
b) logx 5 = 0,5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) log x2 = 
3
5
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) logx 3 = 
3
4
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 e)logx 27 = 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ÁLGEBRA LINEAR: ESTUDO DA FUNÇÃO LOGARITMICA DITINHO 2016 
 
37 
 
05) Calcule o logaritmando de: 
 
a) log3 x = 2 
 
 
 
 
b) log7x = 3 
 
 
 
 
 
c) log81 x = 0,5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d)log81x = 
3
4
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) log3 x = 
5
6
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
06) Resolva as equações: 
a) log (3x – 5 ) = log(2x + 10) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) log (3x – 6 ) = log 12 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) log2 ( 5x + 10 ) = log2 ( -3x + 34) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ÁLGEBRA LINEAR: ESTUDO DA FUNÇÃO LOGARITMICA DITINHO 2016 
 
38 
 
XI.6) LAZER PARA CASA : 
 
01) Calcule o domínio das funções: a) f(x) = log5 (4x + 10 ) b) f(x) = log3 ( 9x + 45) c) f(x) = log ( -3x + 9 ) 
 
02) Calcule o valor de x: a) log7 49 = x b) log 3 729 = x c) log  3 = x 
 
03) Calcule o valor de x: a) log 0,001 = x b) log 0,01 = x c) log 0, 000 001 = x 
 
04) Calcule o valor de x: a) log9 3 = x b) log 16 2= x c) log 125 5 = x 
 
05) Calcule o valor da base dos logaritmos: a) logx 32 = 3 b) logx 16 = 4 c) logx 2 = 
3
5
 
 
06) Calcule o logaritmando de: a) log9 x = 0,5 b) log8 x = 
2
3
 c) log16 x = 
3
5
 
 
07) Calcule a soma S : a) S = log 0,01 + log 0, 001 + log 0, 0001 b) S = log 5 25 + log 3 243 - 𝑙𝑜𝑔2
128 - log 0,1 
 
c) S = log 3 + log556 + log2 210 – log3 37 
 
08) Resolva as equações: 
 a) log3 (x2 + 21) = log3 10x 
 
 b) log2 ( x2 – 16 ) = log2 9 
 
 c) log x2 = log 5x 
 
09) Obtenha o valor de x que verificam as equações 
a) 
10−log 𝑥
3 log 𝑥
= 3 b) 
4+ 𝑙𝑜𝑔2
𝑥
2+ 𝑙𝑜𝑔2
𝑥 = 2 
 
RESPOSTAS: 
 
01) a) D = { x  IR / x > - 
5
2
 } b) D = { x  IR / x > - 5} c) D = { x  IR / x < 3 } 
 
02) a) x = 2 b) x = 6 c) x = 3 03)a) x = - 3 b) x = - 2 c) x = - 6 
 
04) a)x = 
1
2
 b) x = 
1
4
 c) x = 
13
 
 
05) a) x = 2√4
3
 b) x = 2 c) x = 2√4
3
 06) a) 3 b) 4 c) 4 √4
5
 
 
07) a) S = -9 b) s = 1 c) S = 12 08) a) V= { 3, 7} b) V = { ± 5 } c) V = { 5 } 
 
09) a) 10 b) 1 
 
 
 
ÁLGEBRA LINEAR: ESTUDO DA FUNÇÃO LOGARITMICA DITINHO 2016 
 
39 
 
VII.7) PROPRIEDADES OPERATÓRIAS : 
 
 
P1. 
 
P2. 
 
P3. 
 
VII.8) MUDANÇA DA BASE DE UM LOGARITMO : CONSEQUÊNCIA DA MUDANÇA DE BASE: 
 
 
 
 
 
VII.9) EXERCÍCIOS: 
 
01) Dado que log 2 = 0, 30 e log 3 = 0,47, calcule: 
 
a) log 32 
 
 
 
 
 
b) log 27 
 
 
 
 
 
c) log 6 
 
 
 
 
 
 
 
d) log 72 
 
 
 
 
 
 
 
e) log 15 
 
 
 
 
 
 
f) log 150 
 
 
 
 
 
 
g) log 120 
 
 
 
 
 
 
 
h) log 144 
 
 
 
 
 
 
 
ÁLGEBRA LINEAR: ESTUDO DA FUNÇÃO LOGARITMICA DITINHO 2016 
 
40 
 
02) Resolva as equações: 
a) log2 (x + 4 ) + log2 ( x – 4 ) = log2 9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) log x + log (x – 2 ) = log 48 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) log x + log ( x + 7) = log 30 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) log (x – 4 ) + log ( x – 6 ) = log 24 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ÁLGEBRA LINEAR: ESTUDO DA FUNÇÃO LOGARITMICA DITINHO 2016 
 
41 
 
e) log ( x – 2 ) – log ( x – 4 ) = log 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f) log ( 3x – 5 ) – log ( 4x – 2 ) = log 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
g) 2 log ( x – 2 ) = log 25 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
h) log6 ( x – 4 ) + log6 ( x + 4 ) = 1 + log 6 x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ÁLGEBRA LINEAR: ESTUDO DA FUNÇÃO LOGARITMICA DITINHO 2016 
 
42 
 
03)Uma peça metálica foi aquecida até atingir a tem-
peratura de 500 C. a partir daí, a peça resfriará de 
forma que, após t minutos sua temperatura( em graus 
Celsius) será igual a 30 + 20.e-0,2t. Usando a aproxima-
ção ln 2 = 0,7, determine em quantos minutos a peça 
atingirá a temperatura de 350 C 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
04) A expressão M = C ( 1 + i)n permite o cálculo do 
montante produzido por um capital C, aplicados a ju-
ros compostos e à taxa unitária i, ao final de n perío-
dos. Assim, se o capital de R$ 1 370, 00 for aplicado à 
taxa anual de 25%, final de quantos anos ele produzirá 
um motante de R$ 5 480, 00 ( Use log 2 = 0,30) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
05) O PH de uma solução aquosa é definido 
pela expressão:PH = - log [ H+ ],em que [ H+ ] 
indica a concentração, em mol/L, de íons de 
hidrogênio na solução. Ao analisar uma 
determinada solução, um pesquisador 
verificou que, nela, a concentração de íons 
de hidrogênio era [ H+ ] = 5, 4 . 10-8 
mol/L.Para calcular o PH dessa solução, ele 
usou os valores aproximados de 0,30, para 
log 2, e de 0,48, para log 3. Então, o valor 
que o pesquisador obteve para o PH dessa 
solução foi: 
a) 7, 26 
b) 7, 32 
c) 7, 58 
d) 7, 74 
e) n.r.a. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ÁLGEBRA LINEAR: ESTUDO DA FUNÇÃO LOGARITMICA DITINHO 2016 
 
43 
 
06) Os átomos de um elemento químico 
radioativo possuem uma tendência natural a 
se desintegrar( emitindo partículas e se 
transformando em outro elemento). Assim 
sendo, com o passar do tempo, a quantidade 
original desse elemento diminui. 
Suponhamos que certa quantidade de um 
elemento radioativo com inicialmente m0 
gramas de massa se decomponha segundo a 
equação matemática m(t) = m0 . 10
−
𝑡
70 , 
onde m(t) é a quantidade de massa 
radioativa no tempo t ( em anos). Usando a 
aproximação log 2= 0,3, determine quantos 
anos demorará para que esse elemento se 
decomponha até atingir um oitavo da massa 
inicial. 
a) 58 anos 
b) 60 anos 
c) 63 anos 
d) 70 anos 
e) n.r.a. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
07) Investindo-se um capital a uma taxa de 
juros mensal de 7%, em regime de 
capitalização composta, em quanto tempo o 
capital dobrará? 
Considere log 2 = 0,3 e log 1, 07 = 0, 03 
 
a) 10 meses 
b) 11 meses 
c) 12 meses 
d) 13 meses 
e) n.r.a. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ÁLGEBRA LINEAR: ESTUDO DA FUNÇÃO LOGARITMICA DITINHO 2016 
 
44 
 
 
VII.12) LAZER PARA CASA: 
 
01) Investindo-se um capital a uma taxa mensal, sob regime de juros compostos, de 7%, em quanto tempo o capital 
inicial dobrará? Considere log 2 = 0,3 e que log 1,07 = 0,03 
 
a) 10 meses b) 11 meses 
c) 12 meses d) 13 meses e) n.r.a. 
 
02) O pH de uma solução aquosa é definido pela expressão pH = - log[ H+ ], em que [H+ ] indica a concentração, em 
mol/L, de íons de hidrogênio na solução. Ao analisar uma determinada solução, um pesquisador verificou que, nela, 
a concentração de íons de hidrogênio era [H+ ] = 5,4 . 10-8 mol/L. Para calcular o pH dessa solução, ele usou os 
valores aproximados de log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48. Então o pH dessa solução foi de: 
 
a) 7,26 b) 7,32 c) 7,58 
d) 7,74 e) n.r.a. 
03) Os átomos do elemento radioativo possuem uma tendência natural a se desintegrar ( emitindo partículas e se 
transformando em outro elemento). Assim sendo, com o passar do tempo, a quantidade original desse elemento 
diminui. suponhamos que uma certa quantidade de um elemento radioativo com inicialmente m0 gramas de massa 
se decomponha segundo a equação matemática m(t) = m0 . 10
−
𝑡
70 , onde m(t) é a quantidade de massa radioativa 
no tempo t (em anos). Usando log 2 = 0,3, determine: 
a) log 8 
b) quantos anos demorará para esse elemento se decompor até atingir um oitavo da massa inicial. 
04) O gráfico abaixo, representa a função f:IR-]1, +[, definida por f(x) = a + b.2k x, sendo a, b e k constantes reais. A 
partir dessas informações, determine f-1(x). 
 
 
 
 
 
5 - 
4 - 
3 - 
2 - 
1 - 
-1 0 x 
y 
ÁLGEBRA LINEAR: ESTUDO DAFUNÇÃO LOGARITMICA DITINHO 2016 
 
45 
 
RESPOSTAS: 
 
01) A 02) A 
 
03) a) 0,9 b) 63 anos 
 
04) f-1(x) = 1 - log2 (x - 1) 
 
 
 
ÁLGEBRA LINEAR:TRIGONOMÉTRICA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO DITINHO 2016 
 
46 
 
CAPÍTULO VIII: TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 
 
 
 
 
 
 
 
 
VIII.1) DEFINIÇÕES: 
 
 
Função 
 
 
Do ângulo B 
 
Do ângulo C 
 
 seno = 
 
 
 
 cosseno = 
 
 
 
tangente = 
 
 
 
cossecante 
 
 
 
secante 
 
 
 
cotangente 
 
 
 
 
VIII.2) TABELA DE ALGUNS ÂNGULOS FUNDAMENTAIS: 
 
 
 
VIII.3) EXERCÍCIOS: 
01) Calcule o valor das expressões dadas abaixo: 
a) 2 sen 300 + √2cos 450 + √3tg300 
 
 
b) sen 300 + cós 600 + 2cos 300.tg 600 
 
 
 
 
A 
C 
B 
a 
b 
c 
a é a 
b e c são os 
b é o cateto oposto ao ângulo 
c é o cateto oposto ao ângulo 
 
//////////// 300 450 600 
seno 
cosseno 
tangente 
 
ÁLGEBRA LINEAR:TRIGONOMÉTRICA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO DITINHO 2016 
 
47 
 
02) Calcule o valor de x nas figuras dadas a seguir: 
 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f) 
 
 
 
 
 
 
 
x 
300 
3√3 cm 
600 
6 cm 
x 
300 
20 cm 
x 
x 
450 
8cm 
x 
600 
4√3 cm 
x 
600 
√3 cm 
ÁLGEBRA LINEAR:TRIGONOMÉTRICA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO DITINHO 2016 
 
48 
 
03) Calcule o valor de x em: 
a) b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
 6 
 20 
 
 
 
 
 
 
04) Uma das extremidade de uma escada, encontra-se 
apoiada num chão plano e horizontal, a uma distância 
de 6 m de um muro e a outra extremidade apoiada no 
mesmo muro a uma altura h do chão. Sabendo que a 
escada faz um ângulo de 600 com o chão, determine a 
altura h. ( Use √3 = 1,7) 
 
 
 
 
 
 
05) Uma pessoa de 1,8 metros de altura, observa um 
prédio conforme a figura abaixo. Qual é altura do 
prédio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
06)Na figura dada abaixo, calcular o valor de AB 
 
 
 50 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x 
10 
300 
x 
10 
300 
x 
A 
300 60
0 
® 
B 
300 
600 
300 
100 m 
10 
ÁLGEBRA LINEAR:TRIGONOMÉTRICA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO DITINHO 2016 
 
49 
 
07)Calcule o valor de x indicado na figura 
 
 
 
 100 m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
08)Um agrimensor vê um morro sob um ângulo de 
elevação de 300. Andando 50 m em direção do morro, 
observa-o agora sob um ângulo de 600. Calcule a altu-
ra do moro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
09) Numa determinada hora do dia, a sombra de um 
poste é vista, conforme a figura. 
 
 
 
 
Calcule a altura desse poste. 
 
 
 
 
 
 
 
10) Um garoto de 1,5 m de altura empina uma pipa 
com um carretel de 150 m de fio. Calcule aproxima-
damente a altura em que a pipa se encontra, no 
momento em que ele usa 100m do fio, conforme 
mostra a figura a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
300 600 
A B C 
D
 B 
x
 B 
300 
50 m 
300 
ÁLGEBRA LINEAR:TRIGONOMÉTRICA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO DITINHO 2016 
 
50 
 
VIII.4) LAZER PARA CASA: 
01) Um cateto e a hipotenusa de um triângulo 
retângulo medem a e 3a. Determine o cosseno do 
ângulo oposto ao menor lado. 
02) Duas rodovias A e B encontram-se num ponto 0, 
formando um ângulo de 300 . Na rodovia A existe um 
posto de gasolina que dista 5 km de 0. Calcule a 
distância do posto a rodovia B. 
03) Um homem deseja calcular a altura de um 
paredão de pedra. Para obter tal altura ele procedeu 
da seguinte forma : mediu uma distância de 60 m do 
paredão até uma estaca e em seguida o ângulo, com 
vértice na estaca, e a reta que liga a estaca ao topo do 
paredão obtendo assim um ângulo de 600. Determine 
a altura que ele encontrou. ( use √3 = 1,7) 
04) ) ( USF ) Um terreno possui forma triangular, em 
que o maior lado mede 100 m; se o maior ângulo 
desse triângulo mede 900 e um dos outros dois 
ângulos é a metade do outro, Determine a medida do 
menor lado do terreno. 
05) Os vértices de um triângulo ABC, no plano 
cartesiano, são A( 1 , 0 ),B ( 0 , 1 ) e C ( 0 , √3 ). 
Determine a medida do ângulo BÂC. 
06) Dois pontos A e B , estão situados na mesma 
margem de um rio e distantes 40 m um do outro. Um 
ponto C, na outra margem do rio, está situado de tal 
modo que o ângulo CÂB mede 750 e o ângulo ACB 
mede 750. Determine a largura do rio. 
TESTES: 
T1) Na figura o valor de cos x é: 
 
 
 
 
 
a) 
1
2
 b) 
1
3
 c) 
√3
2
 
d) 
2√2
3
 e) n.r.a. 
T2) Determine o valor de x na figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
a) 10 b) 12 c) 14 
d) 16 e) n.r.a. 
T3) Na figura BD = DC = 3 e AD = 1. Determine tg . 
 
 
 
 
 
 
a) 
√2
2
 b) 
2√3
5
 c) 
3√2
2
 
d) 
√3
2
 e) n.r.a. 
T4) Observe a figura. Nela B = 300, C = 450 e AB = 2 m. 
O lado a do triângulo ABC é: 
 
 
 
 
 
 
a) ( 1 - √3 )m b) √3 m c) ( 1 + √3 )m 
d) ( 1 + 2√3 )m e) n.r.a. 
 
T5) Durante um vendaval, um poste de iluminação 
quebrou-se em um ponto à certa altura do solo. A 
porte do poste acima da fratura inclinou-se e sua 
extremidade superior encostou no solo a uma distân-
cia de 4 m da base dele e formando um ângulo de 500 
com o solo. A altura do poste é: ( Dados: sen 500 = 
0,77, cos 500 = 0, 64 e tg 500 = 1,20) 
 
a) 9, 00 m b) 10, 06 m c) 11, 05 m 
d) 12, 40 m e) n.r.a. 
RESPOSTAS: 
01) 
2√2
3
 02) 2, 5km 03) 102m 
04) 50 m 05) 150 06) 20 m 
T1) D T2) B T3) A 
T4) C T5) C 
 
x 
2 4 
300 600 
A B C 
D
 B 
x
 B 
6
 B 
 
B D A 
C
 B 
B C 
A
 B 
h
 B 
a
 B