matematica financeira 1 aula

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14/08/2017
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Matemática Financeira
Ciências Contábeis
Profa Me. Merris Mozer
Juros e parcelamentos – conceitos básicos
TA 1
Resumo
:Unidade de Ensino Matemática Financeira
Competência da 
:Unidade de Ensino
Conhecer os métodos e técnicas de cálculo 
de valor do dinheiro no tempo.
:Resumo
Trabalharemos com juros simples e juros 
compostos, taxas equivalentes e as 
possibilidades de calcular com entrada e 
sem entrada para vermos a melhor opção.
Palavras- :chave
Juros simples; Taxa equivalente;
Matemática financeira
Tí :tulo da teleaula
Juros e 
parcelamentos –
conceitos básicos
Teleaula nº: 1
Você sabe por que devemos estudar Matemática 
Financeira? 
� A Matemática Financeira possui diversas aplicações 
no nosso sistema econômico. Você pode perceber 
isso facilmente se parar para observar as situações 
:que acontecem em nosso dia a dia. Por exemplo 
• ;Ao financiar um carro
• Realizar empré ;stimos
• Comprar no crediário ou no 
cartão de cré ;dito
Convite ao estudo
• ;Realizar aplicações financeiras
• ;Investir em bolsas de valores
• Entre outras situações.
� Você sabia que essas movimentações financeiras se 
baseiam na estipulação prévia de taxas de juros? 
Ou seja, ao realizar um empréstimo, você efetua o 
pagamento geralmente em prestações mensais 
acrescidas de juros, isto é, o 
valor da quitação de 
empréstimo é superior ao valor 
inicial que você recebeu.
Convite ao estudo
Essa diferença de valor recebe o nome de juros.
Este conhecimento não só auxiliará a sua vida 
profissional, mas também a pessoal. Com esses 
conhecimentos você terámais confiança para 
tomar suas decisões quanto a gastos e aplicações.
Convite ao estudo
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VA Caminho de Aprendizagem
Ler, interpretar e resolver situações-problemas 
aplicando conceitos básicos de Matemá ;tica
Fatoração.
Conhecimentos prévios
Pensando a aula:
situação geradora de aprendizagem
O Centro Comercial resolve ampliar suas formas 
de pagamento, oferecendo algumas condições 
que poderã :o ser calculadas, utilizando
� ;Juros simples
� ;Juros compostos
� ;Com ou sem entrada
� Em uma única parcela ou 
diversas parcelas.
Pensando a aula:
situação geradora de aprendizagem
IMPORTANTÍ :SSIMO
Temos que observar sempre o TEMPO, 
se é COM ou SEM ENTRADA e a 
TAXA DE JUROS, fornecidos no enunciado.
Cápsula 1 “Iniciando o estudo”
Situação-Problema 1
O sr. Alberto realizou uma compra de R$ 900,00 e ao 
chegar ao caixa solicitou a atendente que 
apresentasse o quanto ele pagaria no prazo de
10 dias em cada situação.
Opçã :o1 compras sem entrada com pagamentos até
10 dias sob taxa de juros simples de 3,0% 
a.m.
Opçã :o2 compras com entrada de 25% e 
pagamentos até 10 dias 
sob taxa de juros simples 
de 2,7% a.m.
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Problematizando a Situação-Problema 1
Você sabia que o conceito de juros surgiu no 
momento em que o homem percebeu a existência 
da afinidade entre o dinheiro e o tempo?
Termos importantes da Matemá :tica Financeira
� Capital (C): quantidade de recurso financeiro 
disponível ou exigido no ato de uma operação 
financeira, compra ou aplicação. 
O capital também é
denominado como, 
Valor Presente (VP) e 
Valor Atual (VA).
Problematizando a Situação-Problema 1
� Montante (M): também denominado como 
Valor Futuro (VF), que é o resultado futuro de 
operações financeiras realizadas com o capital.
� Juros (J): são as compensações financeiras nas 
operações realizadas, representada por um 
acréscimo. 
� Pode ser o rendimento de uma aplicação financeira, 
ou o valor referente ao atraso 
no pagamento de uma 
prestação ou ainda uma 
quantia paga pelo empréstimo 
de um capital.
Problematizando a Situação-Problema 1
O JURO SIMPLES é aquele calculado 
unicamente sobre o capital inicial, 
emprestado ou aplicado.
FÓ :RMULA 1
=J C . I . n
Sendo: J = ;Juros simples
C = ;Capital 
i = ;Taxa de juros
n = Prazo da operação 
financeira.
Problematizando a Situação-Problema 1
O MONTANTE é igual ao capital inicial, somado 
com os juros calculados.
FÓ :RMULA 2
= +M C J
= +M (C ) Cin
= +M C (1 in)
:Sendo M = Montante
C = Capital
J = Juros simples
i = Taxa de juros
Problematizando a Situação-Problema 1
Há situações em que vamos negociar uma compra ou 
serviço que exige uma entrada financeira, nesse caso 
não há grande alteração no cálculo. :Veja
O capital passa a ser o valor à vista menos a 
entrada :, assim
FÓ :RMULA 3
C = AV – E 
:Sendo C = Capital
AV = Valor à vista
E = Entrada
Problematizando a Situação-Problema 1
Taxa Equivalente em Juros Simples( ieq)
� Perí :odo comercial
• 1 mês = 30 dias em qualquer mês do ;ano
• 1 =ano 360 dias.
A Taxa Equivalente (ieq) em Juros Simples é muito fá :cil
� Se a taxa for apresentada ao ano e solicita-se ao mês, 
basta dividir a taxa anual por 12.
� Se a taxa for apresentada ao mês 
e solicita-se ao ano, basta 
multiplicar a taxa mensal por 12.
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:PASSO 1 TRANSFORMAR A TAXA DE MÊS PARA DIA (TAXA 
=EQUIVALENTE ieq)
Usamos agora a taxa ao dia 
i = 0,1% a.d
Resolvendo a Situação-Problema 1
Ieq = �,���� = 0,001
Ieq = 0,001 ∙ 100 = 0,1% a.d
i = 3,0 % a.m = / = 3 100 0,03 a.m
n = 10 dias
Resolvendo a Situação-Problema 1
C = 900 i = 0,1% a.d n = 10 dias
PASSO 2: RESOLVEROMONTANTE
FÓ :RMULA 2
= +M C (1 in) 
M = C (1 + in)
M = 900 (1 + 0,001 ∙ 10)
=M R$ 909,00 (Opção 1)
:Resposta O valor a ser pago após 
10 dias, sem entrada, será de R$ 909,00 
em regime de juros simples.
:PASSO 1 TRANSFORMAR A TAXA DE MÊS PARA DIA (TAXA 
EQUIVALENTE = ieq)
Usamos agora a taxa ao dia
i = 0,09% a.d
Resolvendo a Situação-Problema 1
Ieq = �,��	�� = 0,0009
Ieq = 0,0009 ∙ 100 = 0,09% a.d
Opçã :o 2
Dados do enunciado
i = 2,7 % a.m n = 10 dias
Resolvendo a Situação-Problema 1
i = 0,09 % a.d n = = = = 10 dias E 25% 0,25 C 900
:PASSO 2 RESOLVER A ENTRADA (25% DO VALOR À VISTA) E O 
CAPITAL QUE SERÁ TRABALHADO
FÓ :RMULA 3
=C AV - E
E = 0,25 ∙ AV = 0,25∙900 = 225
=E R$ 225,00
C = AV - E = 900 – 225 = 675
=C R$ 675,00
Resolvendo a Situação-Problema 1
=C R$ 675,00 i = 0,09% a.d = 0,0009 n = 10 dias
:PASSO 3 RESOLVER O MONTANTE
FÓ :RMULA
= +M C (1 in)
M = C (1+ in)
M = 675 (1 + 0,0009 ∙ 10)
M = 675 (1,009)
M = R$ 681,075 (Opção 2)
:Resposta O valor a ser pago após 10 dias, 
com entrada de R$ 225,00, será de 
R$ 681,075 em regime de juros simples. 
Cápsula 2 “Participando da aula”
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Situação-Problema 2
O sr. Alberto realizou uma compra de R$ 900,00 
e ao chegar ao caixa solicitou à atendente que 
apresentasse o quanto ele pagaria nos prazos extremos de 
cada situação.
Opçã :o 1 compras sem entrada, com duas parcelas 
quinzenais e iguais, sob taxa de juros simples 
de 4,2% a.m.
Opçã :o 2 compras com entrada, com duas parcelas 
quinzenais e iguais, sob 
taxa de juros simples de 
3,6% a.m.
Problematizando a Situação-Problema 2
�� = 
�
�� � ����
Séries de juros simples, também sã :o denominadas
� Parcelamento em Juros Simples, ou ainda,
� Financiamento em Juros Simples.
M=C (1 + in) ⇒ Equação Geral do Montante de Juros Simples
FÓ :RMULA 2
:Que podemos escrever
Problematizando a Situação-Problema 2
C1 = 
�������
� = � 
� � ���
�
���
Assim, 
concluí :mos
C = c1 + c2+ ... + cj � Fórmula 4
� = 
��� � ���� � 
�
�� � ���� �
�
�� � ����
À vista = C M1 M2 M3...
n
0 1 2 3...
Problematizando a Situação-Problema 2
�� � � = � 
�� � ���
�
���
Assim, 
concluí :mos
AV - E = c1 +c2 + ... + cj � Fórmula 5
� = 
�� � ���� � 
�� � ���� �
�� � ����
Em uma situação que trabalhamos com pagamento 
:de entrada (E) C = AV – E (FÓRMULA 3)
AV – E = c1 + c2+ ... + cj
Resolvendo a Situação-Problema 2
Opçã :o 1 n = 2 i = 4,2 % a.m = =C AV 900
Sendo parcelas a cada 15 dias e taxa dada ao mês, 
podemos trabalhar, ao invés de 15 e 30 dias, com 0,5 e 1 
mês, porque 15 dias = 0,5 mês e 30 dias = 1 mês; assim 
não precisamos calcular a taxa equivalente em juros 
simples.
Como não há entrada
Capital = AVista = R$ 900,00.
Resolvendo a Situação-Problema 2
Sendo � Fórmula 4
� = 
��� � ���� � 
�
�� � ���� �
�
�� � ����
900 = ��1 � 0,042 ∗ 0,5� �
�
�1 � 0,042 ∗ 1�
Opçã :o 1 n = 2 i = = = = 4,2 % 0,042 a.m. C AV 900
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Resolvendo a Situação-Problema 2
900 = ��0,9794 � 0,9597�
900 = ��1,9391�
900
1,9391 = � 
� = 464,13
900 = ��1,021� �
�
�1,042�
900 = � � �1,021 �
�
1,042 �
Opção :1
Resolvendo a Situação-Problema 2
Opçã :o 2 i = 3,6% a.m = = =E 25% 0,25 C 900
:PASSO 1 RESOLVER A ENTRADA (25% DO VALOR À VISTA) E O 
CAPITAL QUE SERÁ TRABALHADO,
Aplicando a FÓRMULA 3: = C AV - E 
E = 0,25 ∙ AV = 0,25 ∙ 900 = 225
=E R$ 225,00
C = AV - E = 900 – 225 = 675
=C R$ 675,00
Resolvendo a Situação-Problema 2
� Fórmula 5
� = 
�� � ���� � 
�� � ���� �
�� � ����
:PASSO 2
'�� � ��( = 
�� � �, ��) ∗ �, (� � 
�� � �, ��) ∗ ��
67( = 
��,��*� � 
��,��)�
C = 900,00 i = 3,6% a.m = 0,036 a.m
À vista = C M M
0 0,5 1
mês
Resolvendo a Situação-Problema 2
675 = ��0,9823 � 0,9653�
675 = ��1,9476�
675
1,9476 = � 
� = 346,58
Opção2
67( = 
��,��*� � 
��,��)�
67( = 
 � ��,��* � 
�
�,��) �
:Resposta se for escolhido o pagamento em duas 
parcelas quinzenais sem entrada, cada parcela 
terá o valor de R$ 464,13;mas optando por duas 
parcelas quinzenais com entrada, o sr. Alberto 
deverá pagar uma entrada de R$ 225,00 e cada 
parcela terá o valor de R$ 346,58.
Resolvendo a Situação-Problema 2
ENTÃO,
JUROS produzidos apenas sobre capital inicial são 
considerados juros simples.
Resolvendo a Situação-Problema 2
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Cápsula 3 “Participando da aula”
Situação-Problema 3
O sr. Alberto realizou uma compra de R$ 900,00, 
e ao chegar ao caixa solicitou à atendente que 
apresentasse o quanto ele irá pagar no prazo de 60 dias
em cada situação.
Opçã :o 1 compras com pagamento entre 
30 e 60 dias, sem entrada, sob taxa de juros 
compostos de 42,58% a.a.
Opçã :o 2 compras com entrada de 25% do valor à vista e 
pagamento entre 30 e 60 
dias, sob taxa de juros 
compostos de 36,67% a.a.
Problematizando a Situação-Problema 3
JUROS COMPOSTOS – MONTANTE
� No regime de juros compostos, o montante deve ser 
calculado mês a mês.
Equação Geral dos Juros :Compostos
FÓRMULA 6
= +M C ( 1 i)n
:Sendo
M = Montante ;composto
C = Capital inicial ou ;principal 
i = Taxa ;de juros
n = Prazo da operação financeira.
TAXA EQUIVALENTE EM JUROS COMPOSTOS
� Equação da Taxa Equivalente com Juros Compostos
FÓRMULA :7 TAXAS EQUIVALENTES (ieq)
Sendo:
ieq = Taxa equivalente
i = Taxa do período
p = Período quero (dias)
a = Período tenho (dias)
Problematizando a Situação-Problema 3
Ieq = �� � �� /0 � �
Resolvendo a Situação-Problema 3
Opçã :o 1 O problema pede para calcular o valor a ser pago 
após 
2 meses e a taxa é apresentada ao ano, então devemos 
convertê-la para o mês.
i = 42,58% a.a = 0,4258 a.a p = 30 dias a = 360 dias
:PASSO 1 achando a taxa equivalente 
usando a FÓRMULA 7: ieq = + (1 i)p/a – 1
ieq = (1+0,4258)30/360 – 1
ieq = (1,4258)30/360 – 1
ieq = (1,4258)0,0833 – 1
ieq = 1,0300 – 1
ieq = 0,0300 a.m ( ∙ 100)
ieq= 3,00% a.m
Resolvendo a Situação-Problema 3
:PASSO 2 achando o Montante pela Equação Geral do Juros 
Compostos, apó :s 2 meses
=C 900 i = 3% a.m = 0,03 a.m n = 2 meses
Usando a FÓ :RMULA 6 = +M C(1 i)n
M = 900 (1 + 0,03)2
M = 900 ∙ 1,0609
=M R$ 954,81 (Opção 1)
:Resposta O valor a ser pago após 60 dias, ou 
2 meses, sem entrada, será de R$ 954,81 em 
regime de juros compostos.
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Resolvendo a Situação-Problema 3
O problema pede para calcular o valor a ser pago após 60 dias, 
2 meses, e a taxa é apresentada ao ano, então devemos 
convertê-la para o mê :s
i = 36,67% a.a = 0,3667 a.a p = = 30 dias a 360 dias
:PASSO 1 achar a taxa equivalente usando a FÓ :RMULA 7
ieq = + (1 i)p/a – 1
ieq = (1 + 0,3667)30/360 - 1
ieq = (1,3667)30/360 - 1
ieq = (1,3667)0,0833 - 1
ieq = 1,0264 - 1
ieq = 0,0264 a.m ∙ 100
ieq = 2,64% a.m
Resolvendo a Situação-Problema 3
=i 2,64% a.m = = =E 25% 0,25 C 900
:PASSO 2 RESOLVER A ENTRADA (25% DO VALOR À
VISTA) E CAPITAL QUE SERÁ TRABALHADO)
Aplicando a FÓRMULA 3: C = AV – E
E = 0,25 ∙ AV = 0,25 ∙ =900 225
=E R$ 225,00
C = AV - E = 900 – =225 675
=C R$ 675,00
Resolvendo a Situação-Problema 3
:PASSO 2 achando o Montante pela Equação Geral do Juros 
Compostos, após 2 meses.
=C 675 i = 2,64% a.m = 0,0264 a.m n = 2 meses
Usando a FÓ :RMULA 6
= +M C(1 i)n
M = 675(1 + 0,0264)2
M = 675 ∙ 1,0535
=M R$ 711,11
:Resposta o valor a ser pago após 
60 dias, ou 2 meses, com entrada 
de R$ 225,00, será de R$ 711,11 
em regime de juros compostos.
Cápsula 4 “Participando da aula”
Situação-Problema 4
Um Centro Comercial resolve ampliar suas formas de 
:pagamento, oferecendo as seguintes condições
� Opçã :o1 compras sem entrada, com duas parcelas 
mensais e iguais, sob a taxa de juros compostos de 
60,10% a.a.
� Opçã :o2 compras com entrada de 25% do valor à vista 
e duas parcelas mensais e iguais, sob taxa de juros 
compostos de 52,87% a.a.
O sr. Alberto realizou uma compra de 
R$ 900,00 e, ao chegar ao caixa, 
solicita à atendente que apresente o 
quanto ele irá pagar nos prazos 
extremos de cada situação.
M = C �1 � i�n � Equação Geral do Montante de Juros 
Compostos (FÓRMULA 6)
Que podemos escrever:
Séries de Juros Compostos também sã :o denominadas de 
� Parcelamento em Juros Compostos, ou ainda,
� Financiamento em Juros 
Compostos.
Problematizando a Situação-Problema 4
� = 
�� � ���
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Problematizando a Situação-Problema 4
Então � Fórmula 8
� = 
��� � ���� � 
�
�� � ���� �
�
�� � ����
C = ∑ =���� 
��������
À vista = C M1 M2 M3...
n
C = c1 + c2 + ... + cj
0 1 2 3...
Assim, 
concluímos:
C1 = M1....
(1 + i)n1...
Em uma situação que trabalhamos com pagamento de 
entrada (E) � C = AV – E (FÓRMULA 3)
AV – E = c1 + c2 + ... + cj
Então � Fórmula 9
=C M + M +... Mj (FÓRMULA)
+(1 i) n1 +(1 i) n2 +... (1 i) nj
Assim, concluí :mos
Problematizando a Situação-Problema 4
AV-E = ∑ =���� 
��������
Problematizando a Situação-Problema 4
TAXA EQUIVALENTE EM JUROS COMPOSTOS
Equação da Taxa Equivalente :com Juros Compostos
FÓ :RMULA 7 TAXAS EQUIVALENTES (ieq)
ieq = + (1 i) p/a - 1
:Sendo 
ieq = Taxa equivalente
i = Taxa do período
p = Período pedido ou desejado
a = Período apresentado
Resolvendo a Situação-Problema 4
Opçã :o 2 O problema pede para calcular um valor a ser pago 
com duas parcelas mensais e iguais e a taxa é apresentada ao 
ano, então devemos convertê-la para o mês.
:PASSO 1 achar a taxa equivalente usando a FÓ :RMULA 7
ieq = + (1 i)p/a – 1
ieq = (1 + i)p/a - 1 
ieq = (1 +0,6010)1/12 - 1 
ieq = (1,6010)0,0833 - 1 
ieq =1,04 - 1
ieq = 0,04 a.m ( ∙ 100)
ieq = 4,00% a.m
Resolvendo aSituação-Problema 4
� = 
��� � ���� � 
�
�� � ���� �
�
�� � ����
'�� = 
�� � �, �:�� � 
�� � �, �:��
'�� = 
�, �: � 
�, �*�)
=C 900,00 i = 4,0% a.m = 0,04 a.m
À vista = C M M
:PASSO 2 aplicando a FÓ :RMULA 8
mês
0 1 2
Resolvendo a Situação-Problema 4
'�� = 
�, �: � 
�, �*�)
'�� = 
 � ��,�: � 
�
�,�*�))
'�� = 
 ��, ')�( � �, '�:))
'�� = 
 ∗ �, **)�
'��
�, **)� = 
 = :;;, �*
Opção 1
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Resolvendo a Situação-Problema 4
Um Centro Comercial resolve ampliar suas formas de 
pagamento, oferecendo as seguintes condições:
� Opçã :o 2 compras com entrada de 25% do valor à vista e 
duas parcelas mensais e iguais, sob taxa de juros compostos 
de 52,87% a.a. O problema pede para calcular um valor a ser 
pago com duas parcelas mensais e iguais e a taxa é
apresentada ao ano, então devemos convertê-la para o mês.
O sr. Alberto realizou uma compra de 
R$ 900,00 e, ao chegar ao caixa, 
solicita à atendente que apresente o 
quanto ele irá pagar nos prazos 
extremos de cada situação.
Resolvendo a Situação-Problema 4
Ieq = �� � �� /0 � �
Ieq = �� � �, (�*;� ��� � �
Ieq = ��, (�*;� �,�*��� � �
Ieq = �, ��)� � �
Ieq = 0, ��)� ∗ ���
Ieq = �, )�% 0. >.
Opçã :o 2 O problema pede para calcular um valor a ser pago 
com duas parcelas mensais e iguais e a taxa é apresentada ao 
ano, então devemos convertê-la para o mês.
:PASSO 1 achar a taxa equivalente i = 52,87% a.a
usando a FÓRMULA 7:
Resolvendo a Situação-Problema 4
i = 3,6% a.m = = =E 25% 0,25 C 900
:PASSO 2 RESOLVER A ENTRADA (25% DO VALOR À VISTA) E O 
CAPITAL QUE SERÁ TRABALHADO
Aplicando a FÓRMULA 3: 
=C AV - E 
E = 0,25 ∙ AV = 0,25 ∙ 900 = 225
=E R$ 225,00
C = AV - E = 900 – 225 = 675
=C R$ 675,00
Resolvendo a Situação-Problema 4
À =vista C M M
mês
0 1 2
�� � � = 
��� � ���� � 
�
�� � ����
'�� � ��( = 
� � �, ��)� � � 
�� � �, ��)���
);( = 
�, ��)� � 
�, �;��
C = 900,00 i = 3,60% a.m = 0,036 a.m
:PASSO 2 aplicando a FÓRMULA :8
Resolvendo a Situação-Problema 4
);( = 
�, ��)� � 
�, �;��
);( = 
� ��, ��)� � 
�
�, �;���
);( = 
��, ')(� � �, '��;�
);( = 
 ∗ �, *';�
);(
�, *';� = 
 = �((, *�
Opção 2 :Resposta com duas parcelas mensais e entrada, o 
sr. Alberto deverá pagar uma entrada de R$ 
225,00 e cada parcela terá o valor de R$ 355,82.
Resolvendo a Situação-Problema 4
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Cápsula 5 “Participando da aula”
Agora você já se sente seguro em escolher a 
melhor opção a trabalhar com seu dinheiro?
Você consegue calcular todas as opções 
oferecidas no comércio em sua próxima compra?
Provocando novas situações
Orientações da Aula Atividade.
Diálogo do professor em alunos
VE Caminho de Aprendizagem