MATEMATICA FINANCEIRA - AULA 10

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Matemática Financeira
Aula 10: Taxa de Retorno – Valor Presente Líquido
INTRODUÇÃO
Nesta aula, você irá aprender os princípios de avaliação de investimentos - conceitos e instrumentais. Teremos ainda a oportunidade de aprender
os critérios de avaliação do investimento: taxa de retorno contábil, payback simples, payback descontado, valor presente líquido e taxa interna de
retorno.
Bons estudos!
OBJETIVOS
Identi�car os princípios de avaliação de investimentos - conceitos e instrumentais.
Compreender critérios de avaliação do investimento: taxa de retorno contábil, payback simples, payback descontado, valor presente líquido e taxa
interna de retorno.
Payback
Ao emprestar um bem, o proprietário estará se privando dele durante o tempo que durar o empréstimo.
Retomar a posse do bem signi�ca tê-lo de novo, nas mesmas condições que o bem apresentava antes do empréstimo. O bem retornará à posse de
seu proprietário após decorrido determinado prazo, o qual, preferencialmente, será acertado entre as partes (emprestador e tomador do
empréstimo).
O acordo entre as partes (emprestador e tomador do empréstimo)
Seja pela privação da posse, seja pelo risco que o emprestador corre de perder em de�nitivo a posse do bem, é usual que se devolva o que foi
emprestado mais um valor denominado juro, que seria como um “aluguel” daquele capital. O emprestador estará repondo seu capital em
determinado prazo.
Fonte:
Esse prazo ou período é referido como tempo em que o projeto de investimento se paga, ou em inglês, payback period, ou simplesmente payback.
Payback simples (série uniforme)
Também referido como “tempo de recuperação do investimento”, o payback pode ser calculado de forma simples, pela razão entre investimentos e
receitas.
Vejamos algumas situações que demonstram a aplicação desse conceito.
Situação 1
Considerando um investimento IA de R$20 milhões que gere retornos líquidos anuais de R$5 milhões, a partir do �nal do
primeiro ano, durante 10 anos. Vamos elaborar o diagrama de �uxo de caixa dessa alternativa de investimento.
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
SOLUÇÃO
O diagrama de �uxo de caixa dessa alternativa de investimento é:
O período de repagamento (payback) será calculado pela razão entre investimento e receitas anuais:
Payback = 20 milhões / 5 milhões = 4 anos.
Portanto, o payback será de 4 anos.
Situação 2
Um investimento de 18 milhões que gere resultados líquidos de R$6 milhões por ano, durante 4 anos. Vamos elaborar
diagrama de �uxo de caixa.
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
SOLUÇÃO
O diagrama de �uxo de caixa seria:
Payback = 18 milhões / 6 milhões = 3 anos.
Conforme vimos no exemplo, se dependesse apenas do payback, o investimento B seria o melhor, pois o seu prazo para retorno do investimento é
menor:
PaybackB → 3 anos < 4 anos → PaybackA
Prefere-se IB em detrimento de IA
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Como se pode constatar, independentemente de taxa de juros, a alternativa A possui as seguintes características:
IA = R$20 milhões
RJ = R$5 milhões
Rtotal = R$5 milhões/ano x 10 anos = R$50 milhões
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Uma vez o investimento sendo reposto, o que acontece no �nal do quarto ano, o Excedente Líquido Gerado (ELG), também chamado de juros ou
remuneração do capital investido, é de:
ELG = R$50 milhões - R$20 milhões = R$30 milhões
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
Vejamos, agora, como esse processo acontece em casos de investimentos IA, IB e em um comparativo entre A e B.
O INVESTIMENTO IA
Dividindo-se o ELG pelo investimento IA, temos:
ELG/ = R$30 milhões / R$20 milhões = 1,5 = 150% (é a taxa de juros simples total do prazo, de 10 anos, sobre o
investimento).
Dividindo-se a taxa de juros total do prazo pelo número de períodos (n = 10 anos), tem-se:
 = taxa de juros simples = 150% / 10 anos = 15% a.a.
Fazendo-se o mesmo raciocínio com o investimento B, temos:
 = R$18 milhões
 = R$6 milhões
 = R$6 milhões/ano x 4 anos = R$24 milhões
O payback dá-se no terceiro ano, mas os resultados líquidos positivos só se mantêm por mais um ano (até o quarto
ano).
INVESTIMENTO IB
Dividindo-se o ELG pelo investimento IB, temos:
ELG/ = R$6 milhões / R$18 milhões = 0,33 = 33% (é a taxa de juros simples total do prazo, de 4 anos, sobre o
investimento).
IA
IA
IB
RJ
Rtotal
IB
Dividindo-se a taxa de juros total do prazo pelo número de períodos (n = 4 anos), tem-se:
 = taxa de juros simples = 33% / 4 anos = 7,75% a.a. (juros simples)
Parece que rende mais que , pois IA = 15% a.a. > 7,75% a.a. = IB!!!!
Prefere-se em detrimento de (contradizendo a decisão pelo payback).
COMPARATIVO ENTRE OS INVESTIMENTO A E B
Logicamente, há um complicador adicional: os prazos de aplicação são diferentes (IA tem um prazo de 10 anos, IB, de
4 anos). Deve ser encontrado um horizonte comum de planejamento, um mínimo múltiplo comum para os prazos de
investimento que, no caso, é de 20 anos (2 x 10 anos; 5 x 4 anos). Ou, então, simplesmente, considerar que as
alternativas de investimento A e B podem ser repetidas inde�nidamente. De qualquer modo, esse simples exemplo, que
considera juros simples, ilustra a mecânica de seleção entre alternativas de investimentos.
Decisão:
Critério de payback: Seleciona-se .
Critério de Rentabilidade (juros simples): Seleciona-se .
Payback e taxa de retorno
Fonte:
Note-se que, no caso de um �uxo de caixa regular, se é o número de anos até o investimento ser recuperado, então 1/ é o inverso do payback
period, que nos dá uma indicação da rentabilidade do investimento.
Exemplo
Por exemplo, para = 4 anos, RP = 1 / = 1 / 4 = 25% por ano. Então, RP é a medida de rentabilidade do payback ou a taxa de retorno do payback.
Vejamos uma aplicação desse conceito.
Vamos analisar o �uxo de caixa e calcular o payback (considerando que
não há incidência de juros).
Ano 0 Ano 1 Ano 2 Ano 3 Ano 4 Ano 5
-250.000 62.500 62.500 62.500 62.500 62.500
Valores em reais
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Solução
Payback = 250000 / 62500 = 4 anos
IB
IA IB
IA IB
IB
IA
np np
np np
Exercício!
Imagine que uma empresa opta por realizar um investimento de R$290.000,00 com receitas anuais de R$58.000,00 durante 7 anos, sem
incidência e juros.
a) Calcule o payback;
b) Calcule o excedente líquido gerado.
Resposta Correta
Payback Descontado
No payback do �uxo de caixa descontado, o período de tempo necessário ao repagamento do investimento vai depender da taxa de desconto
considerada.
Fonte:
A diferença entre o valor de mercado de um investimento e seu custo é denominada VPL (Valor Presente Líquido) do investimento. O VPL
representa quanto de valor foi adicionado, realizando-se determinado investimento.
Vejamos uma aplicação desse conceito.
Michele pretende abrir uma Softwarehouse para desenvolver e vender um novo software. Para isso, ela deve:
• Inicialmente, estimar os �uxos de caixa futuros que se esperam do empreendimento. Em seguida, aplicar o procedimento de �uxo de caixa
descontado para se estimar o valor presente desses �uxos de caixa.
• Após esse processo, será possível calcular o VPL como diferença entre o valor presente dos �uxos de caixa futuros e o custo do investimento
inicial.
A princípio, estima-se que o recebimento gerado pelo empreendimento seria de R$20.000 por ano, os custos envolvidos, incluindo imposto, serão
de R$14.000 por ano.
Encerrando-se o negócio após 8 anos, entende-se que a Softwarehouse, as instalações e os equipamentos valerão R$2.000. O projeto inicial custa
R$30.000, usando-se uma taxa de desconto de 15%.
ABRIR UMA SOFTWAREHOUSE SERIA UM BOM INVESTIMENTO?
Fluxos de Caixa projetados em R$Mil
Tempo
(anos)
0 1 2 3 4 5 6 7
Custo
inicial
R$30
Entradas R$20 R$20 R$20 R$20 R$20 R$20 R$20
Saídas R$14 R$14 R$14 R$14 R$14 R$14 R$14
Entradalíquida
R$6 R$6 R$6 R$6 R$6 R$6 R$6
Valor
residual
Fuxo
líquido
R$30 R$6 R$6 R$6 R$6 R$6 R$6 R$6
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Calcula-se o valor presente dos �uxos de caixa futuros a uma taxa de 15%. Temos uma anuidade de: R$20.000 -
R$14.000 = R$6.000 por oito anos, somando-se a isso o valor de R$2.000 daqui a oito anos. Assim, o valor presente
total é de:
Onde:
FC → �uxo de caixa em cada período
i → taxa
T0 = - 30.000 / (1,15) = -30000
T1 = (20.000 - 14.000) / (1,15) = 6000 / 1,15 = 5.217
T2 = (20.000 - 14.000) / (1,15) = 6000 / 1,3225 = 4.537
T3 = (20.000 - 14.000) / (1,15) = 6000 / 1,5209 = 3.945
T4 = (20.000 - 14.000) / (1,15) = 6000 / 1,7490 = 3.430
T5 = (20.000 - 14.000) / (1,15) = 6000 / 2,0114 = 2.980
T6 = (20.000 - 14.000) / (1,15) = 6000 / 2,3131 = 2.594
T7 = (20.000 - 14.000) / (1,15) = 6000 / 2,6600 = 2.256
T8 = (20.000 - $14.000 + 2.000) / (1,15) = 8000 / 3,0590 = 2.615
Logo, teremos:
VPL = -30000 + 5217 + 4537 + 3945 + 3430 + 2980 + 2594 + 2256 + 2615
VPL = -30.000 + 27.574
Valor Presente Líquido VPL = - R$2.426
Conclusão:
Obteve-se um VPL negativo, portanto esse não seria um bom investimento, pois UM INVESTIMENTO DEVE SER
0
1
2
3
4
5
6
7
8
ACEITO SE O VPL FOR POSITIVO, E REJEITADO, SE NEGATIVO.
O Payback Descontado existe quando o VPL é zero. → O VPL é uma ferramenta bastante usada pelas empresas.
Atividade
1 - Calcule o VPL - Valor Presente Líquido na compra de um determinado equipamento para uma empresa, cujo valor de aquisição é de
R$10.000,00 e seu valor no �nal de um período de 5 anos é de R$7.000,00. Considere ainda as seguintes informações:
• Estimativa de recursos gerados por ano: R$8.000,00
• Estimativa de Custos anuais totais: R$6.000,00 - Taxa de desconto: 12% a.a.
Fluxo de Caixa projetado em R$ Mil
Tempo (anos) 0 1 2 3 4 5
Custo inicial R$10
Entradas R$8 R$8 R$8 R$8 R$8
Saídas R$(6) R$(6) R$(6) R$(6) R$(6)
Entrada líquida R$2 R$2 R$2 R$2 R$2
Valor residual R$7
Fuxo líquido R$(10) R$2 R$2 R$2 R$2 R$2
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
Resposta Correta
2 - Para um investimento de R$ 36 milhões, que gere resultados líquidos de R$12 milhões por ano, durante 4 anos, qual será o payback?
5 anos.
3 anos.
4 anos.
2 anos.
6 anos.
Justi�cativa
Glossário