LISTA I CALCULO I 20171

Prévia do material em texto

1 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE SALVADOR 
Disciplina: Cálculo Diferencial 
Semestre: 2017.1 
 
LISTA I 
Revisão de Funções, Limites e Continuidade 
 
 
Revisão de função 
 
1. Em cada caso a seguir, identifique se o gráfico representa uma relação de função. Para o caso positivo, 
identifique o domínio e a imagem da função. 
 
a) 
 
b) 
 
 
c) 
 
d) 
 
2. Esboce o gráfico de cada função a seguir. 
 
a) ���� = 2 
 
b) ���� = � 
 
c) ���� = 2� 
 
d) ���� = −2� − 3 
 
e) ���� = �� − 5� + 6 
f) ���� = √� 
 
g) ���� = �� 
 
h) ���� = ln � 
 
i) ���� = ����,��� 
 
j) ���� = 3� 
EAETI 
Escola de Engenharia, 
Arquitetura e 
Tecnologia da Informação 
2 
 
k) ���� = ��� 
 
l) ���� = 2 ��� � 
 
m) ���� = | cos � | 
 
n) ���� = − cos � 
 
o) ���� = |#� �| 
3. Esboce o gráfico de cada função a seguir. 
 
a) ���� = $ � + 1 , �� � ≤ −1 2 , �� − 1 < � < 2 2� , �� � > 2 
b) ���� =
$ 0 , �� � < −3 �* 2 < � < 3 |�� − 4| , �� − 2 < � ≤ 2 ���� � , �� � > 3 
 
4. Usando movimentação gráfica, esboce o gráfico de cada função dada a seguir. 
 
a) ���� = √� − 3 
 
b) ���� = √� + 2 
 
c) ���� = √� + 1 − 3 
 
d) ���� = 4� + 2 
 
e) ���� = ln�� − 2� 
 
f) ���� = �� + 2�� + 1 
 
g) ���� = ��� �� − �� 
 
h) ���� = cos � + 3 
 
i) ���� = �� − 1 
Noção Intuitiva de Limites e Continuidade 
 
5. Considere os gráficos das funções f, g, h abaixo. 
 
 
 Função y=f(x) 
 
 Função y=g(x) 
 
 Função y=h(x) 
 
 
a) Determine: 
 
i.os limites laterais de f, g, h no ponto xo=1 
ii.os valores f(1), g(1) e h(1) 
 
b) Com os dados obtidos acima, diga se essas 
funções f, g, h têm limite no ponto xo=1. 
 
c) Essas funções são contínuas no ponto xo=1? 
Justifique suas respostas. 
 
6. Considere o gráfico da função f abaixo. Determine o que se pede, justificando suas respostas. 
 
−1 1 2
1
2
3
x
y
−1 1 2
1
2
3
x
y
−2 −1 1 2
1
2
3
x
y
−3 −2 −1 1 2
−1
1
2
3
x
y
3 
 
a) 







=−
=
=
+
−
−→
−→
)1(
)( 
)( 
1 
1 
f
xfmil
xfmil
x
x
 
f tem limite em xo=-1? f é contínua nesse ponto? 
 
b) 







=
=
=
+
−
→
→
)1(
)( 
)( 
1 
1 
f
xfmil
xfmil
x
x
 
f tem limite em xo=-1? f é contínua nesse ponto? 
7. Esboce o gráfico da função 
1 xse 1; 
x
1
1 xse ;1
1 x 0 se ; 2x
02 se ; x
2 x se ; 2
)(
2











>+
=
<≤
<≤−
−<
=
x
xf e determine, caso existam, os limites e 
limites laterais nos pontos em que a função muda de sentença. Verifique se a função é contínua em cada um 
desses pontos. 
 
8. Esboce o gráfico das funções abaixo. Calcule os limites laterais em cada um dos casos, nos pontos onde 
estas funções mudam de sentenças. 
 
 
a) 



>+
≤
=
1 xse ; 1x
1 xse ;x
 f(x)
2
 
 
 
b) 




≥+
<+−
=
 0 xse ;1x
0 xse ;1x
 f(x)
2
 
 
 
c) 





>−
=
<+
=
1 xse ; 1x
 1 xse ;1
1 x se ;1x-
 f(x)
2
 
 
d) 







≤<−
=
<≤−+−
−<+
=
5 x 1 se ;1x
1 x se ;2
1 x1 se ; 1x
1 x se ; 1x
 )f(x 
2
 
 
e) 





≥
<
=
1 x se ;
x
1
1 xse ; 2
 f(x)
x
 
 
f) 





>
=
<−
=
 0 x se ;)ln(x
0 xse ;2
0 xse ;
 f(x)
x
 
9. Esboce o gráfico das funções abaixo e verifique se elas são contínuas no ponto xo = 0. 
a) 





>
=
<
=
− 0 x se ; 2
0 xse ; 2
0 xse ; 2
 f(x)
x
x
 b) 





>+
=
<
=
0 xse ; 1x-
0 xse ; 2
0 xse ;e
 f(x)
2
x 
 
c) 



>
≤
=
+
0 xse ;x log
0 xse ;e
 f(x)
2
1x 
 
10. Determine as constantes a e b de modo que ( ) 
2 se ;3
2 se ;4
2 se ;
4-2x
42








>+
=−
<
−
=
xax
xbx
x
x
xf seja contínua no ponto 
x=2. 
 
4 
 
 
11. Considere a função 





−>−
−=−
−<+
=
 3 xse ;33
3 x se ;3n 
3 x se ; 1
)(
2
x
mx
xf . Determine as constantes m, n de modo que: 
 
 
a) Exista ( )xf
x
 lim
3−→
 b) � seja contínua em � = −3. 
 
 
12. Determine as constantes reais a e b de modo que f seja contínua no ponto xo, em cada caso a seguir. 
 
 
a) ( ) ( )1 
1 se ;2
1 se ;23 2
=



≥−
<+
= ox
xx
xax
xf 
b) ( ) ( )2 
2 se ;
2 se ;
2 se ;33
2
=





<+
=
>−
= ox
xbx
xax
xx
xf 
 
Cálculo de Limites 0/0 
 
13. Calcule os seguintes limites. 
 
 
a) 
3x4x
2x3x
 lim 2
2
1x +−
+−
→
 
 
b) 
x2x
8x2
 lim 2
2
2x
−
−
→
 
 
c) 
4x
8x
 lim 2
3
2x
−
−
→
 
 
d) 
18x3x
27x
 lim 2
3
3x
−+
−
→
 
 
e) 
3x
18x2lim
9x −
−
→
 
 
f) 
 
2x
16xlim
2
4x −
−
→
 
 
g) 
 
1x
25xlim
1x +
−+
−→
 
 
h) 
4x
31x4lim 22x
−
−+
→
 
 
i) 
22x
31x5lim
2x −+
−−
→
 
 
j) 
x2x
4x
 lim
2
2
2x
−
−
→
 
 
k) 
1
12
 lim 3
2
1
−
+−
→ x
xx
x
 
 
l) 
4t4t3
4t
 lim
2
2
2t
−−
−
→
 
 
m) 
1
lim
→x
 
1x3x2
2xx4x3
23
23
+−
+−−
 
 
n) 
x
16)x4(
lim
2
0x
−+
→
 
 
o) 
3x8x
9x6x
lim
3
3
3x
−−
−−
→
 
 
p) 
1x8
2x3x2
 lim
3
2
21x
−
−+
→
 
 
q) 
2x
8x
 lim
3
2x
−
−
→
 
 
r) 3
2
2
2x 2x5x3
4x
 lim
−+
−
−→
 
 
s) 
2x
16x
lim
2
4x
−
−
→
 
 
t) 
x
2 2x
lim
0x
−+
→
 
 
u) 
1x
1x
 lim
1x
−
−
→
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
 
Cálculo de Limites no Infinito 
 
14. Analisando cada gráfico abaixo, determine o valor de (x) lim f
x −∞→ 
e (x) lim f
x +∞→
. 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
 
15. Calcule os seguintes limites. 
 
 
a) 
x
1x2
 m i l
 x
+
∞+→
 
 
b) 
x2
3x
 m i l
- x
+
∞→
 
 
c) 
2 x x
4x3
 m i l
−
∞+→
 
 
d) 
3
3
- x x2
1x2x4
 m i l
−
+−
∞→
 
 
e) 
4
3
- x x2
1x2x4
 m i l
+−
∞→
 
f) 
1x3x4
4x5x3
 m i l
2
2
 x ++
+−
∞+→
 
 
g) 
2xx3x9
25x2x4
m i l
32
2
x +++
−−
+∞→
 
 
h) 
1x3x2
4x5x4
 m i l
2
2
 x
−+
−−
∞+→
 
 
i) 
5x3x8
3x2
 m i l
2 x ++
+
∞+→
 
 
j) )x x6x(lim 2
x
−+
+∞→
 
 
k) )x2xcos(lim
x
−+
+∞→
 
 
l) 3xx
1x2x2
 x
23
23
 e m i l +−
++
∞+→
 
 
 
−10 10 20
−2
−1
1
2
3
x
y
y = 2
x x
y
−6
−3
3
x
y
y=3
−3
−2
−1
1
2
3
x
y
6 
 
Cálculo de Limites Infinitos 
 
16. A função cujo gráfico é mostrado abaixo tem domínio D(f)=IR-{-2, 2,4}. Determine, caso existam: 
 
 
a) (x) lim
2
f
x −−→
 
b) (x) lim
2
f
x +−→
 
c) (x) lim
2
f
x −→
 
d) (x) lim
2
f
x −→
 
e) (x) lim2
f
x +→
 
f) (x) lim
2
f
x→
 
g) (x) lim
4
f
x −→
 
h) (x) lim
4
f
x +→
 
i) (x) lim
4
f
x→
 
 
 
17. Calcule os seguintes limites. 
 
a) 
2x
1x
 
0x
lim
−
+→
 
 
b) ( )25x
32x2
 
5x
lim
−
+
→
 
 
c) 
senx
12x
 
0x
lim
+
→
 
 
d) 
4x
4x5
 lim
22x
−
−
→
 
 
e) 
4x52x
5x
 
1x
lim
+−
+
→
 
 
f) 
x
x3cos
 
0x
lim
→
 
 
g) 
x
x3cos
 
0x
lim
→
 
 
h) 
3x
11x3
 
3x
lim
−
−
+→
 
Questões Objetivas 
 
18. O gráfico a seguir representa a produtividade de uma máquina no segundo semestre de 2015. Tendo 
em vista as informações do gráfico, a expressão f(x) que representa produtividade em função do número de 
meses é: 
 
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
−6
−3
3
6
9
x
y
x=-2
x=4x=2
7 
 
 
 
a) 







≤≤+
<≤
<≤+
<≤−
=
6 x 4 se ; 6x-
4 x3 se ; 2
3x 1 se ; x2x
1x0 se;1x3
)x(f
2
 
 
b) 







≤≤+
=
<≤
<≤
=
6x4 se ; 5x-
1 x se ; 2
3x 1- se ; x
1x0 se;x2
)x(f
2
 
 
 
c) 







≤≤+
<<
<≤+
≤≤
=
6x4 se ; 6x-
4x3 se ; 2
3x 1 se ; 1x
1x0 se;x2
)x(f
2
 
 
d) 







≤≤+−
<<
≤<+−
≤≤
=
6x4se;6x
4x3se;2
3x1se;5x4x
1x0se;x2
)x(f
2
 
 
 
e) 







≤≤+
=
<≤+
<≤−
=
6x4 se ; 6x-
1 x se ; 2
3x 1 se ; 1x
1x0 se;1x3
)x(f
2
 
 
 
 
 
19. Considere a seguinte função e seu gráfico. 
 
 
 
 

>


− ≤ ≤
= 
− − ≤ <

< −

2
1
, 2(x-2)
1 , 1 2
 ( )
1 , 2 1
1
, 2(x+2)
se x
x se xf x
x se x
se x
 
 
Assinale a Alternativa correta. 
 
a) 
−→−
=
2
lim ( ) 0
x
f x 
b) A função é descontínua em três pontos do seu domínio. 
c) 
+→
= +∞
2
lim ( )
x
f x 
d) 
−→
=
2
lim ( ) 5
x
f x 
e) 
+→−
= −∞
2
lim ( )
x
f x 
 
 
−3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
8 
 
20. O número de bactérias numa cultura em placa de Petri após t horas é dada pela função exponencial 
=
2/310 tB e , cujo gráfico é dado ao lado. Julgue os itens a seguir: 
 
 
 
I. A função é contínua em t=0. 
II. O limites no infinito são infinitos. 
III. O limite t
x
e2/3lim 10
→−∞
, é igual a zero e portanto y=0 é assíntota horizontal. 
IV. A reta � = 0 é uma assíntota vertical. 
É correto o que se afirma apenas nas alternativas: 
 
a) I, II e III b) I, III e IV c) II d) I e III e) II, III e IV 
 
21. Existem vários modelos para estudo do crescimento populacional. Um dos mais utilizados pelos 
cientistas que trabalham com essa temática é o CRESCIMENTO LOGÍSTICO. 
 
“Elas inicialmente possuem sim um crescimento exponencial, mas, com o adensamento dos indivíduos na 
área em que ocupam, eles começam a competir mais e, conseqüentemente ao invés da população continuar 
aumentando, ela tende a seguir uma linha reta. Essa linha reta, após o crescimento exponencial inicial, se dá 
por conta da competição intraespecífica, de tal forma que o número de indivíduos que nascem e morrem se 
tornam praticamente iguais. Se o número de indivíduos que nascem fosse maior do que o número de 
indivíduos que morrem, a curva continuaria a aumentar, e, se o número de indivíduos que morrem fosse 
maior que o número de indivíduos que nascem, a linha iria declinar. Assim sendo, uma linha reta revela que 
a população chegou no seu limite, na sua capacidade suporte (k) e se elas estão nesse limite é porque as 
condições e recursos no ambiente em que vivem são poucos e não suportam um grande número de 
indivíduos (aumento populacional demasiado). E assim, os indivíduos competem para obter o conjunto de 
condições e recursos que lhes permitem sobreviver. “ 
FONTE: http://www.euquerobiologia.com.br/ 
 
A curva que representa o crescimento logístico é chamada de Sigmóide e esboçada no gráfico abaixo cujo 
eixo vertical, x, representa a população num determinado instante t. 
 
 
9 
 
Com relação ao modelo de crescimento populacional logístico, julgue as afirmações ao lado. 
 
I. A interseção do sigmoide com o eixo X acima, representa o número da população no início do estudo. 
 
II. Ao passar do tempo, para valores arbitrariamente grandes de t, a população tende a se estabilizar, o que 
pode ser representado matematicamente por 
 lim.→01 ��#� = 2, 
 
em que � = 2 é a assíntota horizontal do sigmoide. 
 
III. Se o crescimento fosse exponencial em todo o domínio de tempo, uma conclusão desse estudo seria que 
a população cresceria indefinidamente ao longo do tempo, já que lim.→01 �. = +∞. 
 
 
São verdadeiras apenas: 
 
a) I b) II c) III d) I e II e) I, II e III 
 
 
Gabaritos 
 
1. 
a) 4�5��� = 6∗ e 85��� = 60 
b) Não é função 
c) Não é função 
d) 4�5��� = [−3, −1[ ∪ [0,3[ e 85��� = [0,3[ 
 
2. 
 
a) 
 
 
b) 
 
 
c) 
 
 
d) 
 
 
e) 
 
 
f) 
 
 
g) 
10 
 
 
 
h) 
 
 
i) 
 
 
j) 
 
 
k) 
 
 
l) 
 
 
m) 
 
 
n) 
 
 
o) 
3. 
 
a) 
 
b) 
 
4. 
 
a) 
 
d) 
 
g) 
 
11 
 
b) 
 
e) 
 
h) 
 
c) 
 
f) 
 
i) 
 
 
 
5. 
a) i. 1(x) lim
1
=
−→
f
x
 
 
2(x) lim
1
=
+→
f
x 
 
2(x) lim
1
=
−→
g
x
 
 
2(x) lim
1
=
+→
g
x 
 
1(x) lim
1
=
−→
h
x
 
 
2(x) lim
1
=
+→
h
x
 
ii. ��1� = 2, ��1� = 1 e ℎ�1� = 1. 
 
b) Apenas a função � possui limite no ponto 1. Tal limite é igual a 2. 
 
c) Nenhuma das três funções é contínua no ponto 1, pois os limites laterais não coincidem com a imagem 
da função no ponto 1. 
 
6. 
 
a) 







=−
=
=
+
−
−→
−→
3)1(
2)( 
2)( 
1 
1 
f
xfmil
xfmil
x
x
 
 
2)( 
1 
=
−→
xfmil
x
 
 
f não é contínua no ponto -1, pois os limites 
laterais não coincidem com a imagem da função 
no ponto -1. 
b) 







=
=
=
+
−
→
→
2)1(
1)( 
2)( 
1 
1 
f
xfmil
xfmil
x
x
 
 
Não existe o limite de )(xf quando x tende a 1, 
pois os limites laterais não são iguais. 
 
f não é contínua no ponto 1, pois a função nem 
possui limite neste ponto. 
 
7. 
 
x
y
-3 -2 -1 1 2 3 4
-1
1
2
3
4
12 
 
4)x(f lim e 2)x(f lim
2 x2 x
==
+−
−→−→
 e f(-2)=4 ⟹ o limite não existe nesse ponto 
0)x(f lim)x(f lim
0 x0 x
==
+−
−→−→
 e f(0)=0 ⟹ o limite existe nesse ponto e além disso a função é contínua (nesse 
ponto) 
2)x(f lim)x(f lim
1 x1 x
==
+−
−→−→
, f(1)=1 ⟹ o limite existe nesse ponto mas a função não é contínua (nesse ponto) 
8. 
a) 
 
1)x(flim
1x
=
−→ 
 
2)x(flim
1x
=
+→
 
b) 
 
1)x(flim
0x
=
−→ 
 
1)x(flim
0x
=
+→
 
c) 
 
0)x(flim
1x
=
−→ 
 
0)x(flim
1x
=
+→
 
d) 
 
)x(flim2)x(flim
1x1x +− −→−→
==
 
 
)x(flim0)x(flim
1x1x +− →→
== 
e) 
 
2)x(flim
1x
=
−→ 
 
1)x(flim
1x
=
+→
 
x
y
-2 -1 1 2
-1
1
2
3
x
y
-2 2
2
x
y
-1 1 2
1
2
-1
x
y
-4 -3 -2 -1 1 2 3
2
13 
 
f) 
 
0)x(flim
0x
=
−→ 
 
−∞=
+→
)x(flim
0x 
 
 
9. 
 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
a) 1)(lim0
=
−→
xf
x
, 1)(lim
0
=
+→
xf
x
, 1)(lim
0
=
→
xf
x
 e f(0) = 2 (f é descontínua em x = 0) 
b) 0)(lim
0
=
−→
xf
x
, +∞=
+→
)(lim
0
xf
x
, não existe )(lim
0
xf
x→
 e f(0) = 2 (f é descontínua em x = 0) 
c) exf
x
=
−→
)(lim
0
, −∞=
+→
)(lim
0
xf
x
, não existe )(lim
0
xf
x→
 e f(0) = e (f é descontínua em x = 0) 
10. = = −4 e > � 3. 
 
11. 
a) 5 � 	 ��? e � qualquer b) 5 � 	 ��? e � � 4
 
12. 
 
a) = � 	1 
 
b) = � �� e > � 	1 
 
13. 
 
a) 
�
� 
 
b) 4 
 
c) 3 
 
d) 3 
 
e) 12 
 
f) 32 
 
g) 
�
@ 
 
h) 
�
A 
 
i) 
��
� 
 
j) 2 
 
k) 0 
 
l) 
�
� 
 
m) 
B
� 
 
n) 8 
 
o) 
��
�? 
 
p) 
B
A 
 
q) 12 
 
r) D@�
E
 
 
s) 32 
 
t) 
√�
@ 
 
u) 
�
� 
14. 
a) 2(x) lim =
−∞→
f
x
 
 
2(x) lim =
+∞→
f
x
 b) 3(x) lim =
−∞→
f
x
 
x
y
-3 -2 -1 1 2 3
-1
1
2
x
y
-3 -2 -1 1 2
2
1
14 
 
 
3(x) lim =
+∞→
f
x
 c) 2(x) lim −=
−∞→
f
x
 
 
3(x) lim =
+∞→
f
x
 
 
15. 
a) 2 
 
b) 
�
� 
 
c) 0 
 
d) −2 
 
e) 0 
 
f) 
�
@ 
 
g) 0 
 
h) √2 
 
i) 
√�� 
 
j) 3 
 
k) 1 
 
l) �� 
16. 
a) −∞ 
 
b) +∞ 
 
c) Não existe 
 
d) −∞ 
 
e) +∞ 
 
f) Não existe 
 
g) +∞ 
 
h) −∞ 
 
i) Não existe 
17. 
 
a) – ∞ 
 
b) + ∞ 
 
c) Os limites laterais não coincidem, logo, o limite 
não existe: o lateral à esquerda é – ∞ e à direita é 
+ ∞ 
 
d) O limite não existe: o lateral à esquerda é - ∞ e 
à direita é + ∞ 
 
e) O limite não existe: o lateral à esquerda é + ∞ e 
à direita é - ∞ 
 
f) O limite não existe: o lateral à esquerda é – ∞ e 
à direita é + ∞ 
 
g) + ∞ 
 
h) – ∞
18. d) 
19. c) 
 
20. d) 
21. e)