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IMPACTOS (ARQUIMEDES)
Arquimedes escreveu importantes trabalhos sobre a geometria plana e sólida, aritmética e mecânica. Sem dúvida, o maior gênio da Antigüidade clássica e um dos maiores até os tempos atuais, Arquimedes reúne todas as características que o imaginário popular atribui a um verdadeiro sábio. Contribuindo, assim, para a evolução dos cálculos matemáticos, usados até hoje.
Seus métodos anteciparam o cálculo integral, 2000 anos antes de ter sido inventado por Newton e Leibniz. Arquimedes também provou que o volume de uma esfera corresponde a 2/3 do volume do cilindro circunscrito.
Em Geometria, o sábio teve o mérito de conceber métodos gerais para calcular as áreas de figuras planas curvilíneas e os volumes de sólidos delimitados por superfícies curvas. Aplicou tais sistemas a vários casos particulares: à esfera, ao círculo, ao segmento de parábola, à área compreendida entre dois raios e dois passos sucessivos de uma espiral, aos segmentos esféricos, às superfícies geradas pelas revoluções em torno dos eixos principais dos cilindros, às entidades geométricas produzidas pela revolução dos os cones, das parábolas (parabolóides), das hipérboles (hiperbolóides) e das elipses (elipsóides). Arquimedes tinha, portanto, um sistema de cálculo integral dois mil anos antes de Newton e Leibniz.
Arquimedes não antecipa apenas o cálculo integral. Ele pode ser também  considerado como  precursor do cálculo diferencial. Na verdade, uma das suas mais conhecidas e importantes descobertas matemáticas é a construção da famosa espiral de Arquimedes, a qual tem uma miríade de aplicações no mundo real, um exemplo: para comprimir líquidos e gases.
Além disso, fez surgir a ideia de infinitamente grande ao querer contar os grãos de areia da praia de Siracusa. Esta abordagem da ideia de infinito surge também numa das suas obras, na qual se propõe avaliar o número de grãos de areia que seria preciso para encher uma esfera grande como o Universo. Para resolver este problema, teve de ultrapassar duas dificuldades: a primeira, dar as dimensões do universo; a segunda, criar um modo de escrever o número colossal dos grãos de areia. Tarefa tanto mais difícil quanto à escrita grega dos números só permitia escrever números inferiores à miríade das miríades (100.000.000). A primeira dificuldade foi ultrapassada com base nos conhecimentos astronômicos da sua época, em particular, no sistema heliocêntrico de Aristarco de Samos. Neste sistema, a Terra roda em torno de si mesma descrevendo uma órbita circular à volta do Sol. Aristarco de Samos (primeiro grande astrônomo da escola de Alexandria), com dezessete séculos de avanço, é o precursor de Copérnico. A segunda dificuldade foi ultrapassada idealizando um novo sistema de numeração que permite escrever ou enumerar números tão grandes quanto se quiser.  Esse sistema consistia em escrever os números em óctuplos ou potências de oito na base dez, que constituem uma das leis de operação com logaritmos. Desta forma Arquimedes supera os evidentes obstáculos inerentes ao modo como os gregos representavam os números, que eram pelas letras do alfabeto.
Arquimedes, também já tinha dado exemplos de como se pode caminhar para o infinitamente pequeno por meio de uma série geométrica decrescente como um, 1/4, 1/16, 1/64, etc. Surpreendendo todos os seus contemporâneos com a ideia de infinito e também pela facilidade de cálculo que revelou ao resolver estes problemas.
A esfera e o cone: sem dúvida alguma, a esfera é considerada um dos sólidos mais curiosos que existem, e sua forma tem sido extremamente útil para a humanidade nos tempos atuais. É possível que os homens tenham criado a forma esférica a partir da observação e do estudo dos corpos celestes, como o Sol e a Lua ou da verificação de fenômenos como a sombra da Terra projetada sobre a Lua. Matematicamente, a esfera é o conjunto de todos os pontos do espaço cuja distância a um ponto 0 é igual a uma distância R dada. 
 Ele demonstrou também a fórmula que dá o volume da esfera em seu livro sobre a esfera e o cilindro. Usando o método de exaustão, inventado por outro matemático grego chamado Eudoxo, Arquimedes provou que o volume de uma esfera é igual a quatro vezes o volume do cone, cujo raio é o raio da esfera e cuja altura é também o raio da esfera.
Elas têm a mesma boca e a mesma altura, isto é, o raio da semi-esfera é igual ao raio da circunferência do cone e a altura do cone é igual ao raio da semi-esfera. Despejando duas vezes o conteúdo da vasilha cônica no interior da vasilha semi-esférica, conseguimos enchê-la completamente. Isso significa que a capacidade da semi-esfera é o dobro da capacidade do cone. Portanto, a capacidade da esfera será quatro vezes a capacidade do cone. Como dissemos, o grande matemático grego demonstrou, por dedução, que o volume da esfera é quatro vezes o volume do cone, que tem o raio da esfera e cuja altura é o raio da esfera. Posteriormente, outros matemáticos criaram novos raciocínios para calcular o volume da esfera. Em alguns livros de ensino médio, você pode encontrar uma dedução para a fórmula do volume da esfera.
Seja A a área da base do cone, seu volume é:
	Volume do cone =
	Ah
	=
	pR2. R
	=
	pR3
	 
	
	3
	
	3
	
	3
	 
respectivamente, o volume da esfera é:
	 
	Volume da esfera =
	4pR3
	 
	 
	
	3
	 
A esfera e o cilindro, Arquimedes procedeu do seguinte modo:
"Temos uma esfera de raio r, com um vaso cilíndrico com altura igual a dois raios (o diâmetro da esfera) e base de raio igual ao da esfera, enche-se o vaso de água, coloca-se a esfera dentro do vaso, e recolhe-se a água que transborda, mede-se a água que transbordou com o cilindro, concluímos que água que transbordou ocupa 1/3 do cilindro."
Geometricamente, sabemos que o volume da esfera é 2/3 do volume de um cilindro de raio de base igual ao da esfera e a altura igual ao diâmetro da esfera.
 Vesfera = (2/3) x Vcilindro
      Vesfera = (2/3) r2 2r
 Simplificando, tem-se que:
Vesfera = (4/3) r3
        	 Arquimedes também calculou a área da superfície esférica, como sendo:  
Asuperfície esférica = 4 r2
As espirais: Primeira espiral: Considera-se como uma curva gerada por um ponto que se desloca sobre uma semi-recta, ao mesmo tempo que esta gira em torno da origem. A origem da semi-recta é o pólo da espiral; a distância de um ponto da espiral ao pólo é o raio vetor desse ponto. Os ângulos de rotação são os ângulos polares; contam-se a partir de uma posição inicial da semi-recta, designada por eixo polar, de 0 para infinito no sentido positivo, e de 0 para menos infinito no sentido negativo.
A cada valor do ângulo polar corresponde um valor para o raio vetor. As espirais apresentam-se com a forma de asas enroladas, com inúmeras voltas em torno do pólo. Uma volta da curva compreendida entre duas passagens consecutivas pelo eixo polar é uma espira. As espirais distinguem-se segundo a relação que liga o raio vetor com o ângulo polar. Entre as espirais mais importantes destaque-se a de Arquimedes: é aquela em que o raio vetor varia proporcionalmente ao ângulo polar. É a curva descrita por um ponto que se desloca com comprimento uniforme sobre uma semi-recta, a partir da origem, ao mesmo tempo que a semi-recta gira, em torno da origem, com movimento uniforme. A curva parte do pólo, no sentido positivo, tangencialmente ao eixo polar, descrevendo uma infinidade de espiras em torno daquele ponto, do qual se afasta contínua e indefinidamente; a parte da curva descrita é simétrica da anterior em relação à perpendicular no pólo ao eixo polar. Esta espiral foi estudada pela primeira vez por Arquimedes num tratado especial. É também por vezes designada por espiral de Conon.
	
	
	
Segunda espiral:  sem ter, obviamente, qualquer conhecimento da expressão da função que descreve essa curva, Arquimedes conseguiu  resolver o problema do traçado da tangente num ponto dessa espiral.
Seja E a Espiral de Arquimedes e seja t a reta tangente a E no ponto P. Seja a o ângulo formado entre a reta t e oeixo ordenado das abscissas, a que se chama inclinação da reta t. Então, tga é o declive da reta t e simultaneamente a derivada da função que define E no ponto P.
Note-se que só muito mais tarde surgiu a noção de derivada. Mesmo assim, Arquimedes resolveu  problema da tangente num ponto da sua espiral e, ao fazê-lo, aproximou-se bastante da noção de derivada. É, pois legítimo considerá-lo como o precursor do cálculo diferencial.
A medida do círculo, Segundo Arquimedes:
"A circunferência de um círculo é igual ao diâmetro que é mais uma certa porção do diâmetro que é mais pequena do que 1/7 do diâmetro e maior que os 10/71 do próprio diâmetro."
              Querendo isto significar que o perímetro de uma circunferência mede mais que 1/7 e menos que 10/71 do seu próprio diâmetro, ou seja, a medida do perímetro encontra-se compreendida entre 1/7 e 10/71 do diâmetro da mesma.
Cálculo do , ao longo dos tempos os matemáticos têm tentado calcular o  com um número cada vez maior de casas decimais. Os antigos Egípcios, Hebreus e os Chineses usavam o valor 3.  Arquimedes descobriu um método para calcular o pigrego -   - o prodigioso número que estabelece a ligação entre a circunferência e o seu diâmetro, fixando o seu valor entre três e dez septuagésimos mais um septuagésimo (=3,1408...) e três e um sétimo (=3,1428...), valores estes aproximados por defeito e por excesso, respectivamente, do número que hoje representamos pela letra grega   (=3,14159...). Para a obtenção daqueles valores utilizou o método dos polígonos regulares inscritos e circunscritos à circunferência partindo dos de 6 lados e, por duplicação reiterada, chegou até aos de 96 lados.
Esta descoberta foi posta em poema.  O número de letras de cada palavra do poema seguinte corresponde, sucessivamente, aos algarismos da escrita decimal do número  (bom = 3, e = 1, belo = 4, é = 1, poder = 5, etc.).
Por outro lado, Arquimedes determinou que o número  seria delimitado pela equação 223/71 <  < 220/70. Para isto ele se baseou no fato da largura da circunferência ter obrigatoriamente que estar compreendida entre o perímetro de um polígono regular que o circunscrevesse e outro que estivesse inscrito no mesma. O problema deste método é que ele converge muito lentamente ao .
Quadratura da parábola, muito antes de Cristo, os gregos interessaram-se por três problemas geométricos que se tornaram célebres. Trata-se de realizar, com o auxílio da régua e do compasso, as operações:
I – A duplicação do cubo: construir um cubo de volume duplo de um cubo dado;
II – A trisseção de um ângulo: construir um ângulo igual ao terço de um ângulo dado;
III – A quadratura do círculo: construir um quadrado da mesma área que um círculo dado. 
Em particular Arquimedes dedicou-se profundamente  à terceira questão e um dos seus principais livros sobre Matemática intitulou-se justamente "Tratado da quadratura da parábola".
A transformação do curvilíneo em retilíneo é feita por Arquimedes através do chamado “Método de Exaustão”.
Segundo Arquimedes, a área de um triângulo inscrito num círculo é menor que a área do círculo quanto o triângulo circunscrito é maior. Multiplicando-se o número de lados dessas figuras, as áreas dos polígonos formados, inscritos e circunscritos, já se aproximam mais da área do círculo. Com o multiplicar sucessivo dos lados, os polígonos assim formados apresentam áreas que crescem para os inscritos e diminuem para os circunscritos, aproximando-se do círculo, embora nunca coincidam com ela. 
A área do círculo era um “limite” a ser atingido, uma “justa medida” que só permitia abordagens aproximadas.
A invenção de um dos mais antigos quebra-cabeças geométrico que se conhece é atribuída a Arquimedes é um jogo geométrico, espécie de puzzle,  formado por uma série de peças poligonais que completam um retângulo.
O Stomachion: é constituído por um conjunto de 14 peças planas (originalmente em marfim) de várias formas poligonais com duas características fundamentais: - podem unir-se de modo a formar um quadrado; - a área de cada peça é comensurável com a área do quadrado anterior.
A construção do quebra-cabeças torna-se muito fácil se partirmos de um quadrado de lado 12, tomando como unidade uma quadrícula de qualquer papel quadriculado. Em seguida, marcamos os pontos indicados na figura e unimos esses pontos obtendo, assim, 14 peças planas que constituem o Stomachion. Para provarmos que a área de cada peça é comensurável com a área do quadrado total, é necessário recorrer ao Teorema de Pick para determinarmos, em primeiro lugar, a área de cada peça.
Assim, o Teorema de Pick resume-se à seguinte fórmula:
	 
	
	 
Onde f é o número de vértices da quadrícula na fronteira, isto é, na linha que delimita a peça e, i o número de vértices da quadrícula no interior da peça.
É importante salientar que o Teorema de Pick é válido apenas para figuras simples, ou seja, para figuras em que os lados não se intersectem a não ser, eventualmente, nos vértices.
Fontes:
http://www2.uol.com.br/historiaviva/artigos/o_retorno__triunfal__de_arquimedes_imprimir.html
http://www.ghtc.usp.br/server/Sites-HF/Sergio/arq2.htm
http://www.ifi.unicamp.br/~assis/tese-Ceno.pdf