Apostila Mat Fin

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MATEMÁTICA FINANCEIRA
Índice
DESCONTO BANCÁRIO	38
EXERCÍCIOS: DESCONTO BANCÁRIO	39
ANÁLISE DE PROJETOS DE INVESTIMENTO	40
VALOR PRESENTE LÍQUIDO	40
TAXA INTERNA DE RETORNO - TIR	42
TAXA INTERNA DE RETORNO MODIFICADA	42
EXERCÍCIOS	44
MATERIAL COMPLEMENTAR	49
Introdução
uando o controle acionário da Cervejaria Brahma foi comprado em 1989, os novos donos pagaram o equivalente a US$ 60 milhões de dólares pela maioria das ações ordinárias. Em 1997, oito anos depois, o valor de mercado desta participação era deQ
US$ 1 bilhão de dólares. É óbvio que esta operação resultou num bom negócio para os novos sócios, mas se quiséssemos saber exatamente qual a rentabilidade média anual que esses investidores obtiveram nesse período, como faríamos este cálculo? Ao comprar uma geladeira de R$ 1.000 numa loja de eletrodomésticos, o vendedor lhe dá a opção de pagar à vista ou em três parcelas de R$ 350. Considerando que você tem R$5.000 investidos em caderneta de poupança, qual a melhor opção para você?
Estas e outras questões que dizem respeito ao valor do dinheiro no tempo são o objeto de estudo da Matemática Financeira. Sabemos que o valor das ações de uma empresa depende em parte do “timing” dos fluxos de caixa que os investidores esperam receber no futuro, e dado que um dos principais objetivos do gerente financeiro é maximizar o valor da empresa para o acionista, é essencial que o gerente financeiro tenha o domínio dos conceitos de Matemática Financeira para que possa avaliar corretamente o valor destes e outros ativos da empresa.
O conceito básico da Matemática Financeira é que um real recebido hoje vale mais de que um real a ser recebido daqui a um ano. Dizemos então que o dinheiro tem valor no tempo. Mas como comparar um real hoje com R$1,20 reais a serem recebidos em um ano? Sabemos que não podemos comparar estes dois valores diretamente, pois eles ocorrem em épocas diferentes. É a Matemática Financeira que nos permite comparar fluxos de caixa distintos e indicar qual é mais vantajoso para o indivíduo ou a empresa, e isso é feito transformando cada fluxo de caixa no seu valor equivalente à vista, “descontando” esses valores de um tempo futuro até o momento atual. Uma vez que os valores então se encontram agora todos na mesma data, podemos então comparar esses valores entre si e tomar a nossa decisão.
O conceito de fluxo de caixa descontado tem inúmeras aplicações, desde a elaboração de planilhas de cálculo de amortização de empréstimos até a decisão de investimento em projetos industriais. De todos os conceitos básicos de finanças, podemos dizer que a análise do Fluxo de Caixa Descontado é um dos mais importantes.
Veremos também que a transformação desses fluxos só pode ser feita com a fixação dos juros, e pode-se ainda dizer que a existência da Matemática Financeira, com todas as suas fórmulas e fatores, se prende, exclusivamente, à existência dos mesmos. Dada essa importância dos juros dentro do contexto da Matemática Financeira, eles serão estudados em detalhe no decorrer do curso.
Matemática Financeira 3.1
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Fluxo de Caixa
Para representar as entradas e saídas de caixa de um fluxo, adotaremos a seguinte convenção: Dinheiro investido (saída de caixa), seta para baixo, ou valor negativo
(100)
Dinheiro recebido (entrada de caixa), seta para cima
100
Denomina-se fluxo de caixa (de uma firma, de um investimento, de um projeto, de um indivíduo etc...) ao conjunto das entradas e saídas de dinheiro (caixa) ao longo do tempo. Um fluxo de caixa pode apresentar diversas entradas e saídas de caixa, a fim de facilitar a visualização dos fluxos de caixa de um problema em particular, adotaremos o conceito da linha do tempo, conforme diagrama a seguir:
0	1	2	3	4	5
O instante zero representa a data de hoje: é o momento atual, o instante da decisão a ser tomada. O tempo 1 ocorre daqui a um ano, e representa o instante final do ano 1, ou seja, 31 de dezembro do ano 1. Da mesma forma, o tempo dois representa o instante final do ano 2, que começa em 01/01/02 e termina em 31/12/02, e os tempos 3, 4 e 5 também representam o instante final do ano 3, 4 e 5. Observe que os períodos de um fluxo podem representar não só anos, como também meses, semanas, dias, trimestres, ou qualquer período que se queira.
O total de juros devido pelo tomador ao aplicador depende de dois fatores básicos: A taxa pactuada e o prazo da operação. Como o tomador, em geral, dispõe de recursos em datas preestabelecidas, é comum estabelecer indiretamente a vigência das operações pelas respectivas datas de tomada e liquidação dos empréstimos.
Os comerciantes medievais adotaram algumas regras simplificadoras dos cálculos, criando o mês e o ano comercial. Segundo a convenção adotada, o mês comercial tem 30 dias e o ano, por ser decomposto em exatos 12 meses, tem 360 dias. assim o prazo de uma operação pode ser definido em termos exatos (mês e ano civil) e em termos comerciais (mês e ano comercial). Quando o prazo da operação é dado em termos comerciais, os juros são chamados de juros comerciais; quando o número de dias dos meses correspondem aqueles do ano civil, são chamados de juros exatos.
Ambiente
Para efeitos didáticos consideraremos o nosso ambiente como sendo um ambiente aonde não existem outros custos além dos especificamente mencionados. Ou seja custos como: reciprocidade exigida pelos bancos, custos devido à exigência de saldos médios a serem mantidos nos bancos, custos devido à compra “compulsória” de seguros empurradas pelos agentes financeiros, taxas de abertura de crédito, taxas de cadastro, imposto de renda, IOF, Imposto sobre diversos, emolumentos, custos de transação tais como comissões, inadimplências, falências, congelamentos, e assim sucessivamente somente serão considerados quando explicitamente mencionados nos exemplos e exercícios.
Definições
Um real na mão hoje vale mais do que um real a ser recebido daqui a um ano, pois se você tiver um real hoje você pode investi-lo e receber juros deste investimento, de forma que daqui a um ano você terá mais do que um real. Para exemplificar, suponha que você possua R$1.000 e tenha a oportunidade de investi-lo no banco a uma taxa de juros de 10% ao ano. Quanto você teria ao final do ano? Adotaremos a seguinte notação:
	VP
	(Valor Presente, Principal)
	€
	Valor que você dispõe hoje. No nosso exemplo é R$ 1.000.
	i
	(Taxa de Juros)
	€
	Taxa de juros que o banco paga por período. Assumimos que esse juros é pago no final do período.
	VF
	(Valor Futuro)
	€
	Valor de que você dispõe ao final do período, que inclui o valor que você tinha no inicio mais os juros recebidos no final do período.
	n
	(No de Períodos)
	€
	Número de Períodos envolvidos na análise. No caso,
n = 1.
	J
	Juros
	€
	Valor de Juros recebidos
No nosso exemplo, temos então:
VP = 1.000
i = 10% a.a.
n = 1
0	1
VP =1.000		J = ?
VF = ?
J = VP x i = 1.000 x 10% = 1.000 x 0,10 = 100 VF = VP + J = 1000 + 100 = 1.100
Podemos deduzir a fórmula do Valor Futuro (FV):
VF = VP + VP x i VF = VP (1+i)
Aplicando a fórmula ao exemplo: VF = 1000 (1+0,10) = 1.100
Juros
O conceito de juros pode ser introduzido através das expressões:
dinheiro pago pelo uso de dinheiro emprestado, ou seja, custo do capital de terceiros colocado à nossa disposição.
remuneração do capital empregado em atividades produtivas ou, ainda, remuneração paga pelas instituições financeiras sobre o capital nelas aplicado.
Os juros são fixados através de uma taxa percentual que sempre se refere a uma unidade de tempo: ano, semestre, trimestre, mês, dia.
	Ex 1:
	12% ao ano
	=
	12% a.a.
	
	10% ao mês
	=
	10% a.m.
Ex 2:	Um capital de $10.000, aplicado a uma taxa de juros de 8% a.a., proporcionará, no final de um ano, um total de juros. Qual é este total de juros?
Resp: 8% de 10.000 = (8 / 100) x 10.000 = 0,08 x 10.000 = 800
0	1
VP =10.000J = 800
Exercícios
Qual a importância da Matemática Financeira?
O que é juros?
Explique o que significa uma aplicação a juros simples.
Explique o que significa uma aplicação a juros compostos.
Se você aplicar hoje $1.000 a juros simples com uma taxa de 10% ao ano quanto terá em 2 anos?
Se você aplicar hoje $1.000 a juros compostos com uma taxa de 10% ao ano quanto terá em 2 anos?
Juros Simples
s juros que incidem sobre um empréstimo são chamados de juros com capitalização simples se a cada período que dura o empréstimo os juros são calculados sempre em cima do valor inicial do empréstimo. Sobre os juros não pagos não incide cobrançaO
de juros. Nessa categoria os juros de cada período são sempre calculados em função do capital inicial. Considere um poupador que investiu $1.000 numa aplicação de renda fixa que lhe renderá juros simples à taxa de 10% a.a. Qual será o saldo ao final de 4 anos?
	Ano
	Saldo no Início do ano
	Taxa de Juros
	Base de Cálculo
	Juros do período
	Saldo final do ano
	1
	$1.000
	10%
	$1.000
	$100
	$1.100
	2
	$1.100
	10%
	$1.000
	$100
	$1.200
	3
	$1.200
	10%
	$1.000
	$100
	$1.300
	4
	$1.300
	10%
	$1.000
	$100
	$1.400
Neste caso, é importante realçar que o banco sempre aplicou a taxa de juros de 10% a.a. sobre o capital inicial de $1.000, e nunca permitiu que o aplicador retirasse os juros de cada período. Assim, apesar de os juros estarem à disposição do banco, eles nunca foram remunerados. Caso o banco permitisse ao aplicador a retirada dos juros, ainda que continuasse a não remunerar os juros remanescentes, o poupador passaria a ter uma entrada nova de capital por conta da eventual aplicação que pudesse fazer com os juros recebidos. Neste caso o poupador estaria recebendo 10% mais a taxa de remuneração sobre a aplicação dos juros, e esta não mais seria uma situação de juros simples.
Exemplo: Suponha que você pegou emprestado $1.000 com 10% de juros ao ano. O cálculo do valor dos juros e principal a pagar serão os seguintes:
Valor dos Juros por ano = Valor da Dívida x Taxa de Juros Valor dos Juros no final do ano 1 = 1.000 x 0,10 = 100 Valor do Principal = 1.000
O Valor total a pagar para liquidar o empréstimo é o valor dos juros mais o valor do principal, ou seja: 100 + 1.000 = 1.100
0	1
VP =1.000	J = 100
VF = 1.100
Se você pegou este empréstimo por 2 anos o cálculo do valor dos juros e principal a pagar serão os seguintes:
Valor dos Juros por ano = Valor da Dívida x Taxa de Juros x Número de anos Valor dos Juros no final do ano 1 = 1.000 x 0,1 x 2 = 200
Valor do Principal = 1.000
O Valor total a o pagar para liquidar o empréstimo é o valor dos juros mais o valor do principal, ou seja: 200 + 1.000 = 1.200
0	1	2
VP =1.000	J = 100
VF = 1.100
J = 100
VF = 1.200
Se você pegou este empréstimo por 3 anos o cálculo do valor dos juros e principal a pagar serão os seguintes:
Valor dos Juros por ano = Valor da Dívida x Taxa de Juros x Número de anos Valor dos Juros no final do ano 1 = 1.000 x 0,1 x 3 = 300
Valor do Principal = 1.000
O Valor total a o pagar para liquidar o empréstimo é o valor dos juros mais o valor do principal, ou seja: 300 + 1.000 = 1.300
0	1	2	3
VP =1.000	J1 = 100
VF1 = 1.100
J2 = 100
VF2 = 1.200
J3 = 100
VF3 = 1.300
Fórmula Geral:
0	1	2	3	......	n
VP =1.000	J1 = 100
VF1 = 1.100
J2 = 100
VF2 = 1.200
J3 = 100
VF3 = 1.300
......	Jn = 100
VFn = 1.300
VF  VP  Juros  n VF  VP  VP i  n VF  VPb1 i  ng
A fórmula é somente esta, porém podemos através de manipulações algébricas utilizar a fórmula do valor futuro (FV) para calcular Valor Presente (VP), taxa de juros (i) ou valor dos juros a pagar (J).
VF  VPb1 i  ng	VP  VF 
1 i  n
i  VF  VP
VP  n
J  VF  VP  VP i  n
n  VF VP
i VP
Matemática Financeira 3.1
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Onde:	n:	é o número de períodos
VP: é o Valor Presente de principal aplicado i:	é a taxa de juros expressa em decimais
VF: é o Valor Futuro, é a soma de juros no período mais principal
J:	é o total de juros pagos sobre o principal durante o investimento
Observe que só existem 4 variáveis: Taxa de Juros, Valor Presente, Valor Futuro e Número de Períodos. Assim sendo só existem 4 tipos básicos de pergunta que podemos formular.
Ex: Qual é o montante acumulado em 24 meses (VF), a uma taxa de 2% a.m., no regime de juros simples, a partir de um principal (VP) igual a $2.000 ?
Solução:	P = $2.000	i = 2% a.m. 2/100 = 0.02 ao mês
n = 24 meses	VF = ?
VF = 2.000 ( 1 + 0,02 x 24) =	2.960
Exercícios: Juros Simples
Você tem hoje (t=0) $1.000 para aplicar a juros simples a uma taxa de 10% ao ano. Quanto você terá depois de 3 anos desta aplicação?	Resp: $1.300
Suponha que você tem $2.000 hoje e se investir em determinada instituição terá em 2 anos
$2.400. Qual é a taxa que esta instituição está pagando para sua aplicação?
Resp: 10%
Você tem hoje $10.000 e pretender ter um total (juros mais principal) de $19.000 em uma aplicação que paga 30% ao ano. Quanto tempo você deve deixar seu dinheiro aplicado?
Resp: 3 anos
Você precisa ter $17.760 daqui a quatro anos para fazer frente a um compromisso financeiro. Quanto você deve investir hoje, sabendo que a taxa de juros que essa aplicação paga é 12% ao ano?	Resp: $12.000
Qual é o Valor Futuro obtido quando você aplica $2.000 a juros simples pelo período de 4 anos a uma taxa de 20% ao ano?	Resp: $3.600
Qual é o valor que você deve investir hoje para ter ao final do 5 ano $1.500. Considere que a taxa de juros simples que você usou é de 10% ao ano.	Resp: $1.000
Qual é o valor dos juros que você obterá se aplicar $3.000 por 2 anos a uma taxa de juros simples de 20% ao ano?	Resp $1.200
Qual é a taxa de juros simples que faz uma aplicação de $180 em t=0 valer $360 em 10 anos?	Resp: 10% a.a.
Juros Compostos
s juros que incidem sobre um empréstimo são chamados de juros com capitalização composta se a cada período que dura o empréstimo os juros são calculados, a cada período do empréstimo, sobre o saldo devedor do empréstimo que inclui o principalO
e os juros ainda não pagos. Nessa categoria os juros de cada período são calculados sempre em função do saldo existente no inicio de cada respectivo período. Daqui para frente, consideraremos que todos os juros em questão são juros compostos.
Considere a mesma situação do exemplo anterior de juros simples, agora com a diferença da utilização de juros compostos para o cálculo da remuneração ao investidor.
	Ano
	Saldo no Início do ano
	Taxa de Juros
	Base de Cálculo
	Juros do período
	Saldo final do ano
	1
	$1.000
	10%
	$1.000
	$100
	$1.100
	2
	$1.100
	10%
	$1.100
	$110
	$1.210
	3
	$1.210
	10%
	$1.210
	$121
	$1.331
	4
	$1.331
	10%
	$1.331
	$133
	$1.464
Nesse caso o banco remunera os juros pagos, que são reinvestidos na aplicação. No gráfico a seguir, podemos observar a diferenças entre os juros simples e compostos mostrados nestas tabelas.
Juros Simples e Juros Compostos
2500
Juros Compostos
2000
Juros Simples
1500
1000
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Matemática Financeira 3.1
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Exemplo:
1) Suponha que você pegou emprestado $1.000 hoje, para pagar este empréstimo com juros de 10% ao ano capitalizados de forma composta. Desta forma se você pegou este empréstimo por apenas 1 ano o cálculo do valor dos juros e principal a pagar serão os seguintes:
Valor dos Juros por ano = Valor da Dívida x Taxa de Juros Valor dos Juros no final do ano 1 = 1.000 x 0,1 = 100 Valor do Principal = 1.000
O Valor total a o pagar para liquidar o empréstimo é o valor dos juros mais o valor do principal, ou seja: 100 + 1.000 = 1.100
0	1
VP =1.000	J = 100
VF = 1.100
Se você pegou este empréstimo por 2 anos o cálculo do valor dos juros e principal a pagar serão os seguintes:
Valor dos Juros no primeiro ano = Valor da Dívidax Taxa de Juros Valor dos Juros no final do ano 1 = 1.000 x 0,1 = 100
Se os juros não forem pagos o Saldo devedor para o inicio do segundo ano será: Principal + Juros = 1.000 + 100 = 1.100
Valor dos juros para o segundo ano = Saldo Devedor x Taxa de Juros
Valor do Juros do segundo ano = 1.100 x 0,1 = 110
O Valor total a o pagar para liquidar o empréstimo é o valor dos juros do ano 1 + os juros do ano 2 mais o principal, ou seja: 100 + 110 + 1.000 = 1.210
0	1	2
VP =1.000	J = 100
VF = 1.100
J = 110
VF = 1.210
Se você pegou este empréstimo por 3 anos o cálculo do valor dos juros e principal a pagar serão os seguintes:
Valor dos Juros no primeiro ano = Valor da Dívida x Taxa de Juros Valor dos Juros no final do ano 1 = 1.000 x 0,1 = 100
Se os juros não forem pagos o Saldo devedor para o inicio do segundo ano será: Principal + Juros = 1.000 + 100 = 1.100
Valor dos juros para o segundo ano = Saldo Devedor x Taxa de Juros
Valor do Juros do segundo ano = 1.100 x 0,1 = 110
Se os juros não forem pagos o Saldo devedor para o inicio do terceiro ano será: Principal + Juros (ano1) + Juros (ano2) = 1.000 + 100 110 = 1.210
Valor dos juros para o terceiro ano = Saldo Devedor x Taxa de Juros Valor do Juros do terceiro ano = 1.210 x 0,1 = 121
O Valor total a o pagar para liquidar o empréstimo é o valor dos juros do ano 1 + os juros do ano 2 + os juros do ano 2 + o principal, ou seja:
100 + 110 + 121 + 1.000 = 1.331
0	1	2	3
VP =1.000	J = 100
VF = 1.100
J = 110
VF = 1.210
J = 121
VF = 1.331
Fórmula Geral para Juros Compostos:
VF  VPb1 ign
A partir da fórmula acima podemos obter:
 1
lnG	J
VP	VF	
FVFI n
 HVP K
	n	i G	J  1	n FVFI
b1 ig
HVPK
lnb1  ig
Onde:	n:	é o número de períodos
VP: é o Valor Presente de principal aplicado i:	é a taxa de juros expressa em decimais
VF: é o Valor Futuro, é a soma de juros no período mais principal
OBS: Valor Presente, Valor Atual, Valor de hoje, agora ou tempo zero (t=0) são sinônimos.
Ex 1: Qual o montante acumulado em 6 anos, à uma taxa de 10% a.a., no regime de juros compostos, a partir de um principal inicial de $100,00 ?
Solução:	Utilizando a fórmula:	FV = VP (1 + i)n = 100,00 (1 + 0.1)6 = 177,16 Fazendo passo a passo:
Seja VP1 o principal no inicio do ano 1, VP2 no inicio do ano 2 e assim sucessivamente Seja VF1 o montante ao final do ano 1, VF2 ao final do ano 2 e assim sucessivamente Seja J1 o total de juros pagos ao final do ano 1, J2 ..... aonde J = i VP
Fazendo o reinvestimento período a período até o sexto período de todo o disponível ao final do período anterior, teremos:
0	1	2	3	4	5	6
VP0 =100	J1 = 10
VF1 = 110
J2 = 11
VF2 = 121
J3 = 12,1
VF3 = 133,1
J4 = 13,31
VF4 = 146,41
J5 = 14,461
VF5 = 161,051
J6 = 16,105
VF6 = 177,15
no inicio do ano 1 VP1 = 100,00
no final do ano 1 VP1 + J1 = VF1 =100 + 10 = 110
no inicio do ano 2 VP2 = 110
no final do ano 2 VP2 + J2 =VF2 = 110 + 11 = 121
no inicio do ano 3 VP3 = 121
no final do ano 3 VP3 + J3 = VF3 = 121 + 12,1 = 133,1
no inicio do ano 4 VP4 = 133,1
no final do ano 4 VP4 + J4 = VF4 =133,1 + 13.31 = 146,41
no inicio do ano 5 VP5 = 146,41
no final do ano 5 VP5 + J5 = VF5 = 146,41 + 14,641 = 161,051
no inicio do ano 6 VP6 = 161,051
no final do ano 6 VP6 + J6 = VF6 = 161,051 + 16,1051 = 177.15
Exercícios: Juros Compostos
Você tem hoje (t=0) $1.000,00 para aplicar a uma taxa de 10% ao ano. Quanto você terá depois de 3 anos desta aplicação?	Resp: $1.331,00
Suponha que você tem $2.000 hoje e se investir em determinada instituição terá em 2 anos $2.420. Qual é a taxa que esta instituição está pagando para sua aplicação?
Resp: 10%
Você precisa ter $12.000,00 daqui a quatro anos para fazer frente a um compromisso financeiro. Quanto você deve depositar hoje na poupança, sabendo que a taxa de juros que esta poupança paga é 12% ao ano?	Resp: $7.626,22
Qual é o Valor Futuro obtido quando você aplica $2.000,00 a juros compostos pelo período de 4 anos a uma taxa de 20% ao ano?	Resp: $4.147,20
Qual é o valor que você deve investir hoje para ter ao final do 5 ano $1.500,00. Considere que a taxa de juros compostos que você usou é de 10% ao ano. Resp: $931,38
Qual é o valor dos juros que você obterá se aplicar $3.000,00 por 2 meses a uma taxa de juros compostos de 20% ao mês?	Resp $1.320,00
Você tem hoje (t=0) $1.000.000,00 para aplicar a uma taxa de 15% ao ano. Quanto você terá depois de 4 anos desta aplicação?	Resp: $1.749.006,25
Utilizando Calculadoras Financeiras
As calculadoras financeiras facilitam o uso da Matemática Financeira, automatizando os cálculos mais tediosos e complexos. Embora cada modelo existente no mercado seja diferente na maneira de utilizá-lo, de um modo geral todos adotam as seguintes convenções:
0	1	2	3	n
PV	PMT	PMT	PMT	PMT
FV
n		-			Número de períodos do investimento ou empréstimo i	-		Taxa de juros que vai incidir sobre o VP, PMT e FV PV		-		Valor Presente (Present Value)
PMT	-	Pagamento Periódico (Payment) FV	-	Valor Futuro (Future Value)
Na HP 12c, estão funções estão na primeira linha de teclas, no lado esquerdo. Se você tem uma calculadora HP 12c observe que a maioria das teclas de sua calculadora tem 3 funções diferentes:
função escrita em letras ou números “BRANCOS”
função escrita em “AZUL” e
função escrita em “AMARELO”.
Quando você liga a máquina automaticamente está na função BRANCA das teclas. Você pode determinar qual a função desejada simplesmente apertando as teclas “ f ” ou “ g ” seguida então da tecla com a função da cor desejada.
A HP12c tem memória contínua, isto é, ela não perde os dados que estão em memória ao ser desligada. Por isso, antes de efetuar qualquer calculo é necessário limpar os dados que estão na memória da calculadora teclando a tecla e depois a tecla FIN em amarelo.
Convenciona-se em nosso país considerar que os fluxos ocorrem ao final de cada período. Assim, se um fluxo que ocorre ao longo de todo o ano 1 seja representado por um único fluxo no final deste ano, ou seja, no dia 31 de dezembro do ano 1. Para que sua calculadora também considere os fluxos ao final de cada período, é preciso ajustá-la para isso. Se sua calculadora possui a opção END mode ou BEGIN mode coloque em END mode. Na calculadora HP 12c realize esta operação teclando a tecla azul seguida da tecla que tem a letras azuis “END”.
Na calculadora HP12c você deve entrar com o valor da taxa de juros, tecla BRANCA “i” em base percentual. Isto é se a taxa for 20% digite 20 e em seguida tecle “ i ”. Lembre-se que quando você usa fórmulas, se a taxa for 20% você dever inserir na fórmula “0,2” que é base decimal. Para escolher o número de casas decimais que o seu visor deve mostrar, simplesmente tecle seguido do número de casas decimais que pretende utilizar. Sugere- se que adote duas casas decimais como padrão.
Exemplo: Calculando um Valor Futuro
Suponha que você irá investir $100 num banco a uma taxa de 10% a.a. por um período de 6 anos. Qual o montante a receber ao final dos 6 anos?
	Valor do investimento hoje:
	PV =
	100
	Taxa de juros que incide sobre o investimento:
	i =
	10%
	No de períodos que o investimento irá durar:
	n =
	6
	Valor Futuro deste investimento:
	FV =
	?
Você deverá obter: FV = -177,16 Procedimento passo a passo para HP 12c:
	Passo
	Ação
	Descrição
	1
	tecle	 FIN
	Limpa a memória financeira
	2
	100	e tecle	
	Informa que o Valor Presente é $1.000
	3
	10	e tecle	
	Informa que os juros são de 10% por período
	4
	6	e tecle	
	Informa que são 6 períodos
	5
	tecle	
	Calcula o Valor Futuro: -177,16
Para alterar o número de casas decimais no visor da calculadora para:
três casas decimais: tecle “ f ” “ 3 ” e obterá:				- 177,156 quatro casas decimais: tecle “ f ” “ 4 ” e obterá:			- 177,1561 cinco casas decimais: tecle “ f ” “ 5 ” e obterá:		- 177,15610 seiscasas decimais: tecle “ f ” “ 6 ” e obterá:	- 177,156100
Lembre-se que a calculadora trabalha internamente sempre com precisão de 16 casas decimais, independente de quantas casas você definiu para o visor da tela.
Note que o resultado apresenta um sinal negativo. Isto ocorre porque a calculadora considera que se você pegou um empréstimo (você recebeu $) deverá pagar com juros ao final do período “N” (você paga $). Assim, se você coloca o VP (ou PV em inglês) com valor positivo, significando que você recebeu, por exemplo, a resposta sairá com o sinal trocado (no exemplo, sinal negativo) significando que você pagou o FV. A recíproca também é verdadeira: se você colocar PV com sinal negativo sua resposta, o FV será dado com sinal positivo.
Exemplo: Calculando um Valor Presente
Qual o principal que deve ser aplicado hoje (Valor Presente) para se ter acumulado um total de $1.000 daqui a 12 meses, a uma taxa de 3% ao mês?
	Valor Futuro:
	FV =
	1.000
	Taxa de juros que incide sobre o investimento:
	i =
	3%
	No de períodos que o investimento irá durar:
	n =
	12
	Valor Presente deste investimento:
	PV =
	?
Você deverá obter: PV = - 701,38 Procedimento passo a passo para HP 12c:
	Passo
	Ação
	Descrição
	1
	tecle	 FIN
	Limpa a memória financeira
	2
	12	e tecle	
	Informa que são 12 períodos
	3
	3	e tecle	
	Informa que os juros são de 3% por período
	4
	1000	e tecle	
	Informa que o Valor Futuro será de $1.000
	5
	tecle	
	Calcula o Valor Presente: -701.37
Observação: O sinal do valor em FV será sempre diferente do sinal do valor em PV, posto que para a calculadora um valor é recebimento e o outro pagamento (ou vice-versa).
Exemplo: Calculando uma taxa de juros
Qual é a taxa de juros anual que faz uma aplicação hoje no valor de 1.000,00 valer $1.200,00 em 1 ano?
	Valor Presente:
	PV =
	1.000
	Valor Futuro:
	FV =
	- 1.200
	No de períodos:
	n =
	1
	Taxa de juros que incide sobre o investimento:
	i =
	?
Você deverá obter: i = 20% Procedimento passo a passo para HP 12c:
	Passo
	Ação
	Descrição
	1
	tecle	 FIN
	Limpa a memória financeira
	2
	1000	e tecle	
	Informa que o Valor Presente é $1.000
	3
	1200	e tecle	 
	Informa que o Valor Futuro será de - $1.200
	4
	1	e tecle	
	Informa que é 1 período
	5
	tecle	
	Calcula os juros: 20%
Obs: É necessário teclar	para trocar o sinal do Valor Futuro.
3.2.1 Exercícios: Usando a Calculadora
Você tem hoje $10.000,00 e pretende ter um total (juros mais principal) de $21.970,00 em uma aplicação que paga 30% ao ano. Quanto tempo você deve deixar seu dinheiro aplicado?	Resp: 3 anos
Qual é a taxa de juros compostos que faz uma aplicação de $180,00 em t=0 valer $360,00 em 10 anos? Dica: Não se esqueça de colocar PV e FV com sinais diferentes.
Resp: 7,177% ao ano
Suponha que você tem $2.000,00 hoje e se investir na poupança da CEF terá em 10 anos
$5.187,48. Qual é a taxa anual que a CEF está pagando para sua aplicação?	Resp: 10%
Pedro tem disponíveis hoje $50.000,00 e pretende ter um total (juros mais principal) de
$82.151,60 em uma aplicação que paga 18% ao ano. Quanto tempo você deve deixar seu dinheiro aplicado?	Resp: 3 anos
Você quer ter $100.000,00 daqui a seis anos para comprar uma casa. Quanto você deve depositar hoje na poupança, sabendo que a taxa de juros que a poupança paga é 12% ao ano?	Resp: $50.663,11
Qual é o Valor Futuro que você espera obter se aplicar $222.000,00 a juros compostos pelo período de 14 anos a uma taxa de 20% ao ano?	Resp: $2.850.298,99
Maria quer comprar um automóvel popular. O preço de automóveis populares tem se mantido estáveis no mercado há muitos anos. Suponha que Maria queira comprar o automóvel daqui a quatro anos, e que precise ter $15.000,00 para poder comprá-lo. Sabendo que ela tem uma aplicação que vai remunerar seus depósitos a uma taxa de juros anual de 18% ao ano durante os próximos quatro anos, que valor Maria deve depositar hoje nessa aplicação para que daqui a quatro anos ela possa comprar o seu automóvel?
Resp: $7.736,83
Qual é o valor dos juros que você vai receber por uma aplicação num fundo de renda fixa se aplicar $30.000,00 por 2 meses a uma taxa de juros compostos de 4% ao mês?
Resp $2.448,00
Qual é a taxa de juros que faz uma aplicação qualquer dobrar de valor em 5 anos?
Resp: 14,87% ao ano
Qual o principal que deve ser aplicado hoje para se ter acumulado um montante de
$1.000,00 daqui a 12 meses, no regime de juros compostos, a uma taxa de 3 % ao mês?
Resp: -701,38
Um principal foi investido em uma aplicação financeira. Suponha que a taxa de juros seja 3% ao mês no regime composto. No final do quarto mês o valor do montante é $100,00. Qual era o valor do montante ao final do primeiro mês e qual o valor do montante ao final do sétimo mês ?	Resp: a) $91,51 b) $109,27
Um indivíduo recebe uma proposta de investir hoje uma quantia de $1.000,00 para receber $ 1.343,92 daqui a 10 meses. Qual a taxa de rentabilidade mensal do investimento proposto no regime de juros compostos?	Resp: 3% a.m.
Em quantos meses um capital dobra, a juros compostos de 2% a.m.	Resp: 35 meses
Um cidadão aplicou, nesta data, a importância de $1.000 numa instituição financeira que remunera seus depósitos a uma taxa de 5% ao trimestre, no regime de juros compostos. Mostrar o crescimento desse capital no final dos próximos 6 trimestres e informar o montante que poderá ser retirado ao final do sexto trimestre.	Resp: $1.340,0956
Durante a época de alta inflação no Brasil, o comércio paulista popularizou a seguinte forma de venda: “20% de desconto para pagamento à vista ou em 30 dias sem juros”. Nessas condições, qual a taxa efetiva para o pagamento em 30 dias?
Resp: 25% ao mês
Um cidadão investiu $10.000 nesta data, para receber $14.257,60 daqui a um ano. Qual a taxa de rentabilidade mensal de seu investimento?	Resp: 3.00% ao mês
Um cidadão aplicou, nesta data, a importância de $1.000 numa instituição financeira que remunera seus depósitos a uma taxa de 5% ao trimestre, no regime de juros compostos. Mostrar o crescimento desse capital no final dos próximos 6 trimestres e informar o montante que poderá ser retirado ao final do sexto trimestre.	Resp: $1.340
3.3 Anuidades (PMT)
Uma anuidade consiste numa série de pagamentos (ou recebimentos) iguais e sucessivos feitos ao final de cada período de tempo. Suponha que você deposite $1.000 anualmente durante 3 anos em uma poupança que rende 10% ao ano. Quanto você terá ao final destes três anos? Nesse caso, o nosso interesse é calcular o Valor Futuro desta anuidade.
0	1	2	3
1000
1000
1000
1100
1210
3310
			
VF  PMT(1 i)2  PMT(1  i)  PMT VF  1000  1.12  1000  1.1 1000
VF  3310
A fórmula geral para o cálculo do Valor Futuro de uma anuidade (PMT) é dada por:
VF  PMTb1 ig	e também podemos ter	PMTn
nt	VF
n
Matemática Financeira 3.1
20
t 1
Estas fórmulas também podem ser expressas da seguinte forma:P
b1 ignt 
t 1
Lb1 ign  1OP
L 	i	O
VF  PMTMM	i	QPN
n
e	PMT  VFM
N 1
ig 
1QP
uma outra aplicação de anuidade é quando queremos calcular as vantagens ou desvantagens de se parcelar uma compra. Suponha que a sua companhia de seguro lhe deu a opção de parcelar a renovação do seguro do seu carro em três vezes. O valor do prêmio do seguro é deMb
2.000 reais à vista ou três parcelas de 730 reais. Se você tem dinheiro investido que rende 1% ao mês, qual a melhor opção para você? Nesse caso, queremos achar o Valor Presente desta anuidade.
0	1	2	3
730	730	730
723
716
708
2147
VP  PMT 
PMT 
PMT
Matemática Financeira 3.1
22
b1  ig	b1 ig2
b1  ig3
VP  730 
1.01
VP  2147
730
1.012
 730
1.013
O Valor Presente desta anuidade é maior do que o Valor para pagamento à vista, de modo que não é interessante este parcelamento. A fórmula geral do ValorPresente de uma anuidade é a seguinte:
VP  PMT	1n

i t
e também podemos ter	PMT 	VP
t 1 b1 g
1
1 i tn 	
Estas fórmulas também podem ser expressas da seguinte forma:b	g
t 1
Lb1 ign  1O	L ib1 ign OP
P
VP  PMTMM
Mb	g
N
ib1 ign QP
e	PMT  VPM	n
N 1 i
 1QP
A calculadora financeira simplifica os cálculos envolvendo anuidades, como podemos ver a seguir:
Exemplo: Calculando o Valor Futuro de uma Anuidade
Se você depositar $100 mensalmente numa aplicação que rende juros de 1% ao mês, quanto você terá ao final de dois anos?
	Valor da Anuidade:
	PMT =
	100
	No de períodos:
	n =
	24
	Taxa de juros por período:
	i =
	1
	Valor Futuro:
	FV =
	?
Você deverá obter: FV = - 2.697,35 Procedimento passo a passo para HP 12c:
	Passo
	Ação
	Descrição
	1
	tecle	 FIN
	Limpa a memória financeira
	2
	100	e tecle	
	Informa que a Anuidade é $100
	3
	1	e tecle	
	Informa que os juros são de 1% por período
	4
	24	e tecle	
	Informa que são 24 períodos
	5
	tecle	
	Calcula o Valor Futuro: - 2.697,35
Qualquer uma das variáveis de uma anuidade pode ser calculada se os valores das demais variáveis forem conhecidos. Dessa forma, dado o Valor Presente, a Anuidade e o número de períodos, podemos calcular a taxa de juros, ou dada a taxa de juros, podemos calcular o número de períodos.
3.4 Perpetuidades
Quando a anuidade não tem prazo para terminar, ou seja, o fluxo de pagamentos (ou recebimentos) é infinito, o que acontece com o seu Valor Presente? Vamos calcular os Valor Presente das seguintes anuidades que apresentam número de períodos distintos e crescentes. Suponha um PMT de $100 e uma taxa de desconto de 10% por ano:
	
	No de Períodos
	PMT
	Valor Presente
	a)
	10 anos
	100
	
	b)
	30 anos
	100
	
	c)
	100 anos
	100
	
	d)
	500 anos
	100
	
	e)
	Infinito
	100
	
Observe que o Valor Presente de uma Perpetuidade tende para um determinado valor, que é
dado pela seguinte fórmula: VP  PMT .	Isso pode ser deduzido a partir da fórmula da
i
anuidade, fazendo-se n tender para o infinito.
⎡ 1 i n 1⎤	⎡ 1 i n	1	⎤
VP  PMT ⎢	⎥  PMT ⎢		⎥
⎢ i 1 in ⎥	⎢ i 1 i n i 1 in ⎥
⎣	⎦	⎣	⎦
⎡1	 	1	⎤
VP  PMT ⎢ 	⎥
⎢ i	i 1 in ⎥⎣	 ⎦
Quando n € ∞ o segundo termo dentro do parênteses tenderá a zero, e ficamos então com
VP  PMT .
i
Se a perpetuidade apresentar um crescimento constante " g " , isto pode ser incorporado na fórmula, que passa a ser:
VP  PMT
i  g
Estas fórmulas são importantes na avaliação de empresas, pois supõe-se que uma empresa tem duração indeterminada, e portanto, apresenta fluxos de anuidade infinita.
3.4.1 Exercícios: Anuidades e Perpetuidades
Você está fazendo uma poupança pois precisa ter $150.000,00 daqui a 8 anos para comprar uma casa. Quanto você deve depositar anualmente num investimento de renda fixa que rende 15% ao ano, considerando que o seu primeiro depósito ocorrerá exatamente daqui a um ano, e todos estes depósitos anuais serão do mesmo valor?
Resp: $10.927,51
No mesmo exemplo anterior, qual seria o valor anual a ser depositado, considerando que o primeiro depósito ocorrerá imediatamente?	Resp: $9.502,19
Qual é o Valor Futuro que você obtém investindo $250,00 todo mês numa aplicação que rende 1% a.m., durante cinco anos?	Resp: $20.417,42
Qual é a taxa mensal de juros compostos que faz uma aplicação mensal de $100,00 crescer para $3.000,00 em dois anos?	Resp: 1,89% ao mês
Qual o Valor Presente de uma Anuidade de $ 1.000 que tenha a duração de 7 anos, a uma taxa de juros de 18% a.a.?	Resp: 3.811,53
Qual o Valor Presente de uma Anuidade de $2.500 que tenha a duração de 10 anos, a uma taxa de juros de 20% a.a.?	Resp: $10.481,18
Qual o Valor Presente de uma Perpetuidade de $2.500 anuais, a uma taxa de juros de 20% ao ano?	Resp: $12.500,00
As ações da Datalog S.A. pagam um dividendo anual de $12,00. A expectativa do mercado é de que este dividendo se mantenha constante no futuro. Se a taxa de juros a ser utilizada for de 15% a.a., qual deve ser o valor desta ação?	Resp: $80.00
Uma ação está sendo negociada no mercado a $50,00. Espera-se que a empresa distribua dividendos anuais constantes de $15,00 no futuro, e sabe-se que o custo de capital da empresa é de 20% a.a. Este preço está correto? Você deve comprar ou vender esta ação?
Resp: $75,00, compra.
Fluxos não Uniformes
Uma anuidade tem como característica básica o fato de ser uma série constante de pagamentos (ou recebimentos). Muitas vezes, no entanto, nos deparamos com uma série de pagamentos que não tem relação entre si, especialmente na análise de fluxos de caixa de projetos de investimento de empresas, como no exemplo a seguir:
0	1	2	3	4
100
170
200
140
				
O Valor Presente de um fluxo não uniforme pode ser calculado achando-se o Valor Presente de cada fluxo individualmente, e somando-se depois todos os valores encontrados. Supondo uma taxa de juros de 10% por período, temos:
0	1	2	3	4
90,9
140,5
150,3
95,6
477,3
100	170	200	140
VP 
CF1  CF2
CF3
CF4
b1 ig	b1 ig2
b1 ig3
b1 ig4
100	170	200	140
VP 
		
1,1	1,12 1,13 1,14
VP  477,3
Alternativamente podemos utilizar a calculadora financeira, ou mesmo a planilha Excel para automatizar os cálculos necessários.
Exemplo: Calculando o Valor Presente de um fluxo não uniforme
Considere o mesmo fluxo anterior. O procedimento passo a passo para HP 12c envolve o uso das teclas azuis, que são acessadas sempre que se digita a tecla , é o seguinte:
	Passo
	Ação
	Descrição
	1
	
	tecle
	FIN
	Limpa a memória financeira
	2
	100
	e tecle
	CFj
	Informa que o primeiro Fluxo é $100
	3
	170
	e tecle
	CFj
	Informa que o segundo Fluxo é $170
	4
	200
	e tecle
	CFj
	Informa que o terceiro Fluxo é $200
	5
	140
	e tecle
	CFj
	Informa que o quarto Fluxo é $140
	6
	10
	e tecle
	
	Informa que os juros são de 10% por período
	7
	
	tecle
	NPV
	Calcula o Valor Presente: 477,3
Exemplo: Calcule o Valor Presente do seguinte fluxo de caixa, considerando uma taxa de juros de 15% a.a.:
0	1	2	3	4	5
2.800	2.000	(4.500)	3.000	5.500
Resp: VP(15%) = 5.437,98
Taxas de Juros
Em finanças trabalha-se com diversos tipos de taxas de juros: Efetiva, Nominal, Real, , Proporcional, Equivalente, e outras.
Taxa efetiva
Taxa efetiva é aquela em que a unidade de referência de seu tempo coincide com as unidades de tempo dos períodos de capitalização.
3% ao mês, capitalizados mensalmente
4% ao trimestre, capitalizados trimestralmente
6% ao semestre, capitalizados semestralmente
10% ao ano, capitalizados anualmente
Taxa Nominal
Taxa nominal é aquela em que a unidade de referência de seu tempo não coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. É a taxa cotada por bancos, credores ou outros agentes do mercado financeiro. Dessa forma, se você estiver negociando com um gerente de banco, analista de mercado financeiro, ou um vendo
um anúncio de financiamento de automóvel na televisão, a taxa de juros mencionada é sempre uma taxa nominal. A taxa nominal é quase sempre fornecida em termos anuais, e os períodos de capitalização podem ser semestrais, trimestrais ou mensais. A taxa nominal inclui a inflação estimada para o período.
São exemplos de taxas nominais:
12% ao ano capitalizados mensalmente
24% ao ano capitalizados semestralmente
10% ao ano capitalizados trimestralmente
A taxa nominal é bastante utilizada no mercado, entretanto o seu valor nunca é usado nos cálculos por não representar uma taxa efetiva. O que realmente interessa é a taxa efetiva embutida na taxa nominal, pois ela é que será efetivamente aplicada em cada período de capitalização. Para entendermos o significado de uma taxa nominal, vamos mostrar as taxas efetivas decorrentes das taxasnominais:
12% a.a. capitalizados mensalmente, significa uma taxa efetiva de:
12% a.a.  1% ao mês 12 meses
24% a.a. capitalizados semestralmente, significa uma taxa efetiva de:
24% a.a.
2 semestres
 12% ao semestre
10% a.a. capitalizados trimestralmente, significa uma taxa efetiva de:
10% a.a.
4 trimestres
 2,5% ao trimestre
No nossos cálculos, devemos sempre trabalhar com as taxas efetivas correspondentes, ou seja, 1% ao mês, 12% ao semestre ou 2,5% ao trimestre, e nunca com taxas nominais. Conforme podemos observar, a obtenção da taxa efetiva embutida na taxa nominal feita no regime de juros simples. Evidentemente a taxa anual equivalente a essa taxa efetiva embutida é maior do que a taxa nominal que lhe deu origem, pois esta equivalência é feita no regime de juros compostos.
Exercícios:
Qual é a taxa anual nominal equivalente a 3,5% efetivos ao mês?
Qual é a taxa mensal efetiva equivalente a 24% nominais ao ano?
Qual é a taxa mensal efetiva equivalente a 24% efetivos ao ano?
Qual é a taxa mensal equivalente a 10% nominais ao semestre?
Quanto você vai receber de juros em 4 meses se aplicar $2.500,00 a uma taxa 24% ao ano efetiva?
Taxa Real
São as taxas utilizadas nas aplicações pós-fixadas. A taxa de juros real não inclui a inflação estimada para o período. Ela pode ser calculada a partir de uma taxa nominal ou efetiva, expurgando-se a inflação nela embutida através da seguinte fórmula:
1 r 
1 i
1 F
€	r 
1 i  1
1 F
onde	r = taxa de juros real
i = taxa de juros nominal
F = inflação no período
Ex: Suponha um país onde a taxa de inflação mensal seja de 20% a.m. Se um empréstimo tem uma taxa mensal nominal de 26%, qual a taxa real deste empréstimo?
r  1 0,26  1  5%
1 0,20
Taxas proporcionais
Duas ou mais taxas são ditas proporcionais, quando, ao serem aplicadas a um mesmo principal durante um mesmo prazo, produzirem um mesmo montante acumulado no final daquele prazo, no regime de juros simples. O conceito de taxas proporcionais está, portanto, diretamente ligado ao regime de juros simples. Assim, considerando o período de um ano, as seguintes taxas são proporcionais entre si:
1% ao mês, 3% ao trimestre, 6% ao semestre, 12% ao ano.
Podemos verificar isso calculando o montante obtido através da aplicação de $1000 por um ano a cada uma dessas taxas em regime de juros simples, utilizando a fórmula:
S = P (1+ i.n)
	Período
	Taxa
	Formula
	Montante Final
	mês
	1%
	S = 1000 (1+0,01 x 12)
	1.120
	trimestre
	3%
	S = 1000 (1+0,03 x 4)
	1.120
	semestre
	6%
	S = 1000 (1+0,06 x 2)
	1.120
	ano
	12%
	S = 1000 (1+0,12 x 1)
	1.120
Exemplos:
Qual o montante acumulado no final de quatro anos, a partir de um principal de
$100, com uma taxa de juros de 12% a.a. , no regime de juros simples?
Resp: S = 100 ( 1 + 0,12 x 4 ) = 148
Qual é o montante acumulado no final de quatro anos, a partir de um principal de
$100, com uma taxa de juros de 6% ao semestre, no regime de juros simples?
Resp: S = 100 ( 1 + 0,06 x 8 ) = 148
Qual é o montante acumulado no final de quatro anos, a partir de um principal de
$100, com uma taxa de juros de 3% ao trimestre, no regime de juros simples?
Resp: S = 100 ( 1 + 0,03 x 16 ) = 148
Conclusão: As taxas de 12% ao ano, 6% ao semestre e 3% ao trimestre são proporcionais.
Taxas equivalentes
Duas ou mais taxas são ditas equivalentes quando, ao serem aplicadas a um mesmo principal durante um mesmo prazo, produzirem um mesmo montante acumulado no final daquele prazo, no regime de juros compostos. O conceito de taxas equivalentes está, portanto, diretamente ligado ao regime de juros compostos.
Exemplo:
Qual o montante acumulado no final de um ano, a partir de um principal de
$100,00, com uma taxa de juros de 1% a.m., no regime de juros compostos?
Resp: FV = PV (1 + i )n = 100,00 ( 1,01)12 = $112,68
Qual o montante acumulado no final de um ano, a partir de um principal de
$100,00, com uma taxa de juros de 12,683% a.a., no regime de juros compostos?
Resp: FV = PV (1 + i )n = 100,00 ( 1,01)12 = $112,68
Conclusão: Os juros de 1% a.m. produziram um crescimento efetivo do dinheiro de 12,683% a.a. Assim, as taxas de 1% a.m. e 12,683 a.a. são taxas equivalentes.
Fórmulas de equivalência no tempo:
(1 id )360  (1 im)12  (1 it)4  (1 is)2  (1 ia)
	onde:	id
	=
	Taxa de juros diária
	im
	=
	Taxa de juros mensal
	it
	=
	Taxa de juros trimestral
	is
	=
	Taxa de juros semestral
	ia
	=
	Taxa de juros anual
Exemplo:
Qual a taxa mensal equivalente a taxa de 12% a.a.?
(1 + im )12	= (1+ia)	= 1 + 0.12 = 1,12
(1 + im )12	= 1,12
1 + im	= (1,12)(1/12)
im	= (1,12)(1/12) - 1
im	= 0,00948	ou seja	0,948 % a.m.
Quais as taxas anual, semestral trimestral e diária equivalentes à taxa de 3% a.m.?
Colocando a taxa em base decimal mensal	im = 3/100 = 0.03 Taxa anual (1 + im)12	= (1 + ia)
(1 + 0.03)12	= (1 + ia)	= 1,4258
ia	= 0.4258	= 42,58 % a.a.
	Taxa Semestral	(1 + is)2
	=
	(1 + im)12
	(1 + is)
	=
	(1 + im)6
	is
	=
	(1 + im)6 - 1
	is
	=
	(1 + 0,03)6 - 1
	is
	=
	0.1941	=	19,41 % a.s.
	Taxa trimestral
	(1 + it)
	=
	(1 + im)3
	
	it
	=
	(1 + im)3 - 1
	
	it
	=
	(1.03)3 - 1
	
	it
	=
	0.0927	=	9,27 % a.t.
	Taxa diária
	(1 + id)30
id
	=
=
	(1 + im)
{Raiz (30) de (1 + im)} -1
	
	id id
	=
=
	raiz (30) de (1,03) - 1
0,000986	=	0,0986 % a.d.
Equivalência de fluxos de caixa
ois ou mais fluxos de caixa são ditos equivalentes a uma determinada taxa de juros, se os seus valores atuais, calculados com essa mesma taxa, forem iguais. O estudo da equivalência de fluxos de caixa se faz no regime de juros compostosD
Convém ressaltar que se os fluxos de caixa tiverem o mesmo valor atual a uma determinada taxa de juros, então seus montantes após n períodos, obtidos com essa mesma taxa, serão necessariamente iguais. Assim a equivalência dos fluxos de caixa não precisa obrigatoriamente no período zero, isto é, com cálculo de valores atuais. Ela pode ser realizada em qualquer período n, desde que o período escolhido seja o mesmo para todos os fluxos. É importante destacar que a equivalência de fluxos de caixa depende da taxa de juros. Assim, se dois fluxos são equivalentes a uma certa taxa, essa equivalência deixará de existir se a taxa for alterada.
Exemplo:
1) Analisamos quatro planos diferentes, porém equivalentes, de se financiar $1.000,00 a uma taxa de 10% a.a. Verificar se esses planos são equivalentes (quando descontados à taxa de 10% a.a.) pelo método do Valor Presente, VP.
	Ano
	Plano A
	Plano B
	Plano C
	Plano D
	1
	
	100,00
	315,47
	350,00
	2
	
	100,00
	315,47
	325,00
	3
	
	100,00
	315,47
	300,00
	4
	1.464,10
	1.100,00
	315,47
	275,00
Solução:
Plano A:	VP (10%) = 1.464,10 / (1,10)4 = 1.000,00
Matemática Financeira 3.1
30
Plano B:	VP(10%) 
100
1,101
 100
1,102
 100
1,103
 1100
1,104
= 90,909 + 82,644 + 75,131 + 751,314	= 1.000,00
Plano C:	VP(10%)  315,47  315,47  315,47  315,47
1,101	1,102	1,103	1,104
= 287,036 + 260,942 + 237,220 + 215,654 = 1.000,00
Matemática Financeira 3.1
32
Plano D:	VP(10%) 
350
1,101
 325
1,102
 300
1,103
 275
1,104
= 318,1817 + 268,595 + 225,394 + 187,828 = 1.000,00
Conclusão: Esses diversos fluxos de caixa são equivalentes, por terem o mesmo Valor Presente quando descontados a taxa de 10%.
Sistemas de Amortização
Quando fazemos um financiamento de um bem, seja de automóvel, ou de uma casa, ou um empréstimo para uma empresa, é preciso determinar como serão pagos os juros e amortizações devidos ao longo do tempo. Por exemplo, pode-se determinar que o principal somente será pago ao final do prazo do empréstimo, ou ele pode ser amortizado durante a sua vigência. Assim, cada parcelade pagamento pode incluir tanto os juros do período quanto a amortização do principal. Os sistemas mais utilizados são:
Pagamento no final
O financiamento é pago de uma única vez no final. Os juros são capitalizados ao final de cada período (mês ou ano por exemplo). Esta modalidade de pagamento é utilizada em Papéis de renda fixa (Letras de Câmbio ou Certificados de Depósito com renda final) e Títulos descontados em banco comercial
Sistema Americano
É realizado o pagamento somente de juros ao final de cada período e ao final do prazo do empréstimo é pago, além dos juros do último período, também o principal integral. Esta modalidade é utilizada em papéis de renda fixa com renda paga periodicamente como letras de câmbio com renda mensal, certificados de depósito com renda mensal, trimestral, etc.
Sistema Price
Esta modalidade de amortização consiste em uma série de pagamentos iguais e periódicos, conforme já visto anteriormente A parcela periódica de pagamentos
compreende os juros do período mais amortização de parte do principal. Esta modalidade é utilizada em financiamentos imobiliários e crédito direto ao consumidor (automóveis, eletrodomésticos). Este também é conhecido como o sistema Francês de amortização.
Cálculo:
Cálculo do valor da prestação constante (com o uso de tabelas ou de calculadoras)
Cálculo dos juros do período pela aplicação da taxa do contrato sobre os valores do saldo (remanescente do principal) no inicio do período.
Cálculo da amortização do principal pela diferença entre o valor da prestação e o valor dos juros do período
Observa-se que os juros de cada prestação vão diminuindo com o tempo, pois o principal remanescente vai se tornando cada vez menor. Como o valor da prestação é constante, a parcela de amortização de cada prestação vai aumentando ao longo do tempo.
Sistema de Amortização Constante (SAC)
O financiamento é pago em prestações decrescentes. Cada parcela compreende pagamento de juros e da amortização de parte do principal. Esta modalidade é utilizada em financiamentos imobiliários e em financiamentos à empresas, por parte de entidades governamentais
Cálculo:
Cálculo da amortização do principal, que tem valor constante em todas as prestações, através da divisão do principal pelo número de prestações.
Cálculo dos juros do período, pela aplicação da taxa do contrato sobre valor do saldo (remanescente do principal) no inicio do período
Cálculo do valor da prestação pela soma da amortização do principal com os juros do período.
Em cada período, o principal remanescente decresce do valor de uma amortização. Como todas as amortizações são iguais, esse decréscimo será uniforme, e, portanto os juros dos períodos também serão uniformemente decrescentes ao longo do tempo
Sistema de Amortizações Mista - SAM
O principal é pago por parcelas periódicas cujos valores correspondem a média do Sistema PRICE e do Sistema de Amortizações Constantes (SAC). É utilizada na liquidação de financiamentos da casa própria.
Exemplo:
1) Suponha um financiamento de $100,00 sobre o qual incidam juros à taxa de 5% a.a. e que o prazo do empréstimo seja de cinco anos. Calcule o juros, amortização e saldo devedor a cada ano em cada um dos seguintes sistemas de amortização:
Pagamento ao Final
	Ano
	0
	1
	2
	3
	4
	5
	Saldo Inicial Juros do ano Saldo Final
Pagam no Final do Ano:
Juros Amortização
Total
Saldo Devedor Final
	
100,00
	100,00
5,00
	
	
	
	
	
	
	105,00
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	105,00
	
	
	
	
Sistema Americano - Amortização ao Final
	Ano
	0
	1
	2
	3
	4
	5
	Saldo Inicial
	
	100,00
	
	
	
	
	Juros do ano
	
	5,00
	
	
	
	
	Saldo Final
	
	105,00
(5,00)
	
	
	
	
	Pagam no Final do Ano:
	
	
	
	
	
	
	Juros
	
	
	
	
	
	
	Amortização
	
	
	
	
	
	
	Total
	
	(5,00)
	
	
	
	
	Saldo Devedor Final
	100,00
	100,00
	
	
	
	
Sistema Price - Pagamento Constante
	Ano
	0
	1
	2
	3
	4
	5
	Saldo Inicial
	
	100,00
	
	
	
	
	Juros do ano
	
	5,00
	
	
	
	
	Saldo Final
	
	105,00
	
	
	
	
	Pagam no Final do Ano:
	
	
	
	
	
	
	Juros
	
	(5,00)
	
	
	
	
	Amortização
	
	(18,10)
	
	
	
	
	Total
	
	(23,10)
	
	
	
	
	Saldo Devedor Final
	100,00
	81,90
	
	
	
	
SAC - Sistema de Amortização Constante
	Ano
	0
	1
	2
	3
	4
	5
	Saldo Inicial
	
	100,00
	
	
	
	
	Juros do ano
	
	5,00
	
	
	
	
	Saldo Final
	
	105,00
	
	
	
	
	Pagam no Final do Ano:
	
	
	
	
	
	
	Juros
	
	(5,00)
	
	
	
	
	Amortização
	
	(20,00)
	
	
	
	
	Total
	
	(25,00)
	
	
	
	
	Saldo Devedor Final
	100,00
	80,00
	
	
	
	
SAM - Sistema de Amortização Misto
	Ano
	0
	1
	2
	3
	4
	5
	Saldo Inicial
	
	100,00
	
	
	
	
	Juros do ano
	
	5,00
	
	
	
	
	Saldo Final
	
	105,00
	
	
	
	
	Pagam no Final do Ano:
	
	
	
	
	
	
	Juros
	
	(5,00)
	
	
	
	
	Amortização
	
	(19,05)
	
	
	
	
	Total
	
	(24,05)
	
	
	
	
	Saldo Devedor Final
	100,00
	80,95
	
	
	
	
Respostas:
	Pagamento ao Final
	0
	1
	2
	3
	4
	5
	Saldo Inicial Juros do ano Saldo Final
Pagam no Final do Ano:
Juros Amortização
Total
Saldo Devedor Final
	
	100,00
	105,00
	110,25
	115,76
	121,55
	
	
	5,00
	5,25
	5,51
	5,79
	6,08
	
	
	105,00
	110,25
	115,76
	121,55
	127,63
	
	
	
	
	
	
	(27,63)
	
	
	
	
	
	
	(100,00)
	
	
	
	
	
	
	(127,63)
	
	100,00
	105,00
	110,25
	115,76
	121,55
	0,00
	Sistema Americano
	0
	1
	2
	3
	4
	5
	Saldo Inicial
	
	100,00
	100,00
	100,00
	100,00
	100,00
	Juros do ano
	
	5,00
	5,00
	5,00
	5,00
	5,00
	Saldo Final
	
	105,00
	105,00
	105,00
	105,00
	105,00
	Pagam no Final do Ano:
	
	
	
	
	
	
	Juros
	
	(5,00)
	(5,00)
	(5,00)
	(5,00)
	(5,00)
	Amortização
	
	
	
	
	
	(100,00)
	Total
	
	(5,00)
	(5,00)
	(5,00)
	(5,00)
	(105,00)
	Saldo Devedor Final
	100,00
	100,00
	100,00
	100,00
	100,00
	0,00
	Sistema Price
	0
	1
	2
	3
	4
	5
	Saldo Inicial
	
	100,00
	81,90
	62,90
	42,95
	22,00
	Juros do ano
	
	5,00
	4,10
	3,15
	2,15
	1,10
	Saldo Final
	
	105,00
	86,00
	66,05
	45,10
	23,10
	Pagam no Final do Ano:
	
	
	
	
	
	
	Juros
	
	(5,00)
	(4,10)
	(3,15)
	(2,15)
	(1,10)
	Amortização
	
	(18,10)
	(19,00)
	(19,95)
	(20,95)
	(22,00)
	Total
	
	(23,10)
	(23,10)
	(23,10)
	(23,10)
	(23,10)
	Saldo Devedor Final
	100,00
	81,90
	62,90
	42,95
	22,00
	0,00
	SAC
	0
	1
	2
	3
	4
	5
	Saldo Inicial
	
	100,00
	80,00
	60,00
	40,00
	20,00
	Juros do ano
	
	5,00
	4,00
	3,00
	2,00
	1,00
	Saldo Final
	
	105,00
	84,00
	63,00
	42,00
	21,00
	Pagam no Final do Ano:
	
	
	
	
	
	
	Juros
	
	(5,00)
	(4,00)
	(3,00)
	(2,00)
	(1,00)
	Amortização
	
	(20,00)
	(20,00)
	(20,00)
	(20,00)
	(20,00)
	Total
	
	(25,00)
	(24,00)
	(23,00)
	(22,00)
	(21,00)
	Saldo Devedor Final
	100,00
	80,00
	60,00
	40,00
	20,00
	0,00
	SAM
	0
	1
	2
	3
	4
	5
	Saldo Inicial
	
	100,00
	80,95
	61,45
	41,47
	21,00
	Juros do ano
	
	5,00
	4,05
	3,07
	2,07
	1,05
	Saldo Final
	
	105,00
	85,00
	64,52
	43,55
	22,05
	Pagam no Final do Ano:
	
	
	
	
	
	
	Juros
	
	(5,00)
	(4,05)
	(3,07)
	(2,07)
	(1,05)
	Amortização
	
	(19,05)
	(19,50)
	(19,98)
	(20,47)
	(21,00)
	Total
	
	(24,05)
	(23,55)
	(23,05)
	(22,55)
	(22,05)
	Saldo Devedor Final
	100,00
	80,95
	61,45
	41,47
	21,00
	0,00
4.2 Exercícios: Sistemas de Amortização
Um determinado bem pode ser adquirido por $1.000,00 à vista ou, alternativamente, por 4 planos equivalentes de financiamento a taxa de 10% a.a. que apresentamos esquemas de pagamentos vistos na tabela a seguir, em forma de pagamentos anuais (em $):
	Ano
	Plano A
	Plano B
	Plano C
	Plano D
	1
	200,00
	200,00
	150,00
	300,00
	2
	290,00
	240,00
	195,00
	280,00
	3
	270,00
	275,00
	285,00
	260,00
	4
	350,00
	305,00
	365,00
	240,00
	5
	220,00
	330,00
	385,00
	220,00
Elabore uma tabela para cada um destes 4 planos de financiamento que permita obter o desdobramento dos pagamentos anuais em juros e amortização, à taxa de 10% ao ano, e que, ainda, forneça o saldo devedor (remanescente do principal) ao final de cada ano, antes e depois de cada pagamento.
A firma pesqueira Peixão D’Ouro contratou você para determinar qual será o valor de todas as suas dívidas no dia 30 de janeiro de 2004, considerando que todas as prestações dos seus diversos financiamentos estejam em dia nessa data. Você está em 30 de janeiro de 2001 (isto é hoje, para efeitos de seus cálculos). O panorama da Peixão D’Ouro é o seguinte:
Prédio do escritório central: Comprado em 30 de janeiro de 2001, com 20 anos de prazo para pagamento pelo sistema PRICE, com taxa de juros pré fixada de 8% ao ano. Custo do prédio: $1.200.000 com 30% de entrada e o restante financiado.
Barco de Pesca “Priscilla, Rainha do Mar” com casco cor de rosa com adornos na cor lilás degradé. A compra foi efetuada com 50% de entrada e com o restante financiado pelo Banco Mãos ao Alto. O barco novo custou $1.800.000 (pagos ao estaleiro), em 30 janeiro de 1999, financiado pelo sistema SAC em 10 anos com taxa de juros pré fixada de 10% ao ano.
Terreno comprado por $400.000 junto ao Porto do Rio Seco para guarda e manuseio de cargas frigorificadas. O sistema adotado foi de pagamento de juros durante o financiamento com pagamento do principal apenas no final. O financiamento foi em 15 anos e o negócio foi fechado em 30 de janeiro de 2000. A taxa de juros adotada foi de 12% ao ano, fixos.
Abaixo temos a receita para a construção de um sistema de amortização, o qual calcula o valor das prestações período a período da seguinte forma:
Características do Financiamento: $1.000,00, à taxa de 10% a.a.
Cálculo da prestação: Os juros de cada ano devem ser calculados sobre o saldo devedor do inicio do ano imediatamente após o pagamento da prestação.
A prestação de cada ano é obtida através da divisão do saldo devedor, imediatamente antes do pagamento, pelo número de prestações a pagar. Exemplo: A primeira prestação é igual a (1.000,00 + 100,00) / 5 = $220,00
Monte um quadro deste financiamento.
Desenvolva uma tabela de planos equivalentes de financiamentos, semelhante ao quadro na forma abaixo, de acordo com as seguintes condições:
Principal financiado: $1.000 Prazo do financiamento: 5 trimestres
Taxa de juros: 6% ao trimestre Regime de juros: Compostos
Capitalização: Trimestral
Os planos a serem considerados são os seguintes: Plano A:	Pagamento ao final
Plano B:	Pagamento periódico de juros
Plano C:	Prestações iguais - Sistema “PRICE” Plano D:	Sistema de amortizações constantes - SAC Plano E:	Sistema de amortizações mistas - SAM
Forma do quadro:
	Trimestre
	0
	1
	2
	3
	4
	5
	Saldo Inicial do Trimestre
	
	
	
	
	
	
	Juros do Trimestre
	
	
	
	
	
	
	Saldo Final
	
	
	
	
	
	
	Pag no Final do Trimestre:
	
	
	
	
	
	
	Juros
	
	
	
	
	
	
	Amortização
	
	
	
	
	
	
	Total
	
	
	
	
	
	
	Saldo Após Pagam
	
	
	
	
	
	
Desconto bancário
escontos bancários são operações de crédito que utilizam duplicatas e títulos. De modo geral, uma operação de desconto visa estabelecer o valor presente pelo qual determinado ativo – que apresenta um valor numa data futura, o valor futuro – podeD
ser negociado hoje.
A fórmula para desconto é: VP = VF – Juros
VP = VF – VF . i . n
Exemplo:
VP = VF (1 – i . n)
Uma duplicata com valor de face de $1.000,00 e prazo de vencimento de 2 meses é descontada com uma taxa de 4% ao mês. Determine o valor do desconto e o valor descontado deste titulo.
Solução:
Dados valor Futuro = 1.000, o prazo de 2 meses e taxa de 4% podemos fazer:
VP = VF (1 – i . n)
VP = 1.000 (1 – 0,04 x 2)
VP = 1.000 – 80 = 920
Valor do desconto = $80,00
Valor Presente do titulo descontado = $920,00
Exemplo:
Vamos verificar agora quanto que o agente financeiro está recebendo como taxa de retorno por fazer este desconto de duplicata do exemplo 1 (anterior).
Solução:
Quem está investindo $920,00 para receber em 2 meses $1.000,00, está recendo efetivamente a seguinte taxa de juros compostos:
PV	920
N	2
FV	1.000
PMT	0
I	???
Resposta:
A taxa de retorno é 4,26% ao mês. O que você pode concluir disto?
Exercícios: Desconto bancário
Você vendeu hoje uma mercadoria a um cliente por R$ 10.000,00, com pagamento acertado para daqui a 2 meses (60 dias). O problema é que você precisa de dinheiro hoje para fechar a folha de pagamentos de sua firma. Você decide ir ao banco Forte e descontar a duplicata relativa à essa venda. Suponha que o gerente do banco Forte lhe informe que a taxa de desconto está fixada em 3% ao mês, a juros simples. Quanto você vai receber, se descontar essa duplicata?
Resp: Você vai receber R$ 9.400,00.
Você é o cliente e foi ao banco para descontar, hoje, uma promissória no valor de face (valor escrito na promissória) de R$ 20.000,00, com vencimento para daqui a 2 meses. O banco lhe creditou, hoje, em sua conta, R$ 18.000,00, em virtude da operação de desconto. Qual é a taxa de desconto bancário em questão?
Resp: A taxa de desconto bancário é de 5% ao mês.
Você trabalha em uma grande fabrica de escovas. Seus clientes são muitos e você sempre lhes concede prazo para que possam pagar suas contas. Supondo que você desconte uma duplicata no valor de R$15.000,00, com vencimento para daqui a 3 meses, junto a um banco que cobre uma taxa de desconto de 2% ao mês, quanto você deve receber hoje do banco ao realizar essa operação?
Resp: Você deve receber hoje R$ 14.100,00.
A alta administração do banco onde você trabalha determinou que as taxas para desconto de promissórias ou duplicatas sejam de 9% ao mês. Você recebe seu primeiro cliente do dia e ele quer descontar uma duplicata no valor (valor de face) de R$ 13.000,00, com vencimento para daqui a 2 meses. Quanto você deve creditar hoje na conta do cliente, caso decida realizar a operação?
Resp: Você deve creditar hoje R$ 10.660,00
Análise de Projetos de Investimento
s projetos de investimento de uma empresa podem ser representados como uma série de fluxos de caixa, onde os valores negativos representam as saídas de caixa, ou os investimentos e custos a serem incorridos, enquanto que os valores positivosO
representam o retorno liquido que o projeto oferece em cada período, já deduzidos todos os custos, taxas, impostos associados ao projeto. Em termos gerais, um fluxo de caixa de projeto tem a seguinte representação:
	0
	1
	2
	3
	......
	j
	CF0
	CF1
	CF2
	CF3
	......
	CFj
Valor Presente Líquido
Diz-se que um projeto é economicamente viável quando os seus ganhos são maiores que o investimento necessário para implantá-lo. Como geralmente os ganhos de um projeto estão distribuídos ao longo de uma série de períodos, é necessário "descontar" esses fluxos, isto é, calcular o seu Valor Presente, até o instante zero que é o momento atual onde a decisão de investir ou não está sendo tomada. A diferença entre o Valor Presente do fluxo de caixa do projeto, o investimento necessário, é chamado de Valor Presente Líquido, ou VPL.
Assim, podemos dizer que o VPL é a soma de todas os fluxos, positivos ou negativos, de um projeto, descontados até o instante zero. Este VPL representa o valor do projeto, e aceita-se o projeto caso VPL seja > 0. Isto representa uma firma trocando um ativo (caixa, dinheiro em espécie) por outro ativo (projeto) que acredita-se ter maior valor. Se isto seconfirmar, os acionistas irão se beneficiar do montante da diferença. Caso VPL < 0, isto significa que o custo do projeto é maior do que os seus retornos, e ele não deve ser realizado.
Em análise de projetos, a taxa de desconto a ser utilizada no fluxo é o custo de capital da empresa. Este custo de capital é a média ponderada da taxa de juros que os credores cobram da empresa, e da taxa de retorno que os acionistas esperam receber no futuro da empresa.
n FC
Fórmula Geral:	VP 	 	j 
(1  i) j
j 1
Matemática Financeira 3.1
40
Exemplo:
1) Suponha um projeto com duração de seis anos, que demande um investimento único inicial no valor de $10.000 e que forneça um fluxo de caixa, livre de taxas e impostos conforme diagrama a seguir. O custo de capital para o levantamento dos $10.000 juntos aos bancos é de 10% a.a. Qual é o Valor Presente Líquido deste projeto?
	0
	1
	2
	3
	4
	5
	6
	CF0
	CF1
	CF2
	CF3
	CF4
	CF5
	CF6
	(10000)
	2000
	2200
	1800
	2800
	3000
	3500
Matemática Financeira 3.1
50
VPL  CF 
CF1 
CF2
CF3
  
CF6
0 b1  ig	b1 ig2
b1  ig3
b1  ig6
VPL  10000 
2000 
1,1
2200
1,12
 1800 
1,13
2800 
1,14
3000 
1,15
3500
1,16
VPL  739.59
Isto significa que este projeto gera fluxos de caixa suficientes para “pagar” o custo do projeto à taxa de 10% a.a. e ainda deixa um resultado líquido (VPL) de $740 para os investidores.
Utilizando a HP 12c:
	Passo
	Ação
	Descrição
	1
	
	tecle
	 FIN
	Limpa a memória financeira
	2
	10000
	e tecle
	
CF0
	Informa que o primeiro Fluxo é -$10000
	2
	2000
	e tecle
	 CFj
	Informa que o primeiro Fluxo é $2000
	2
	2200
	e tecle
	 CFj
	Informa que o primeiro Fluxo é $2200
	2
	1800
	e tecle
	 CFj
	Informa que o primeiro Fluxo é $1800
	3
	2800
	e tecle
	 CFj
	Informa que o segundo Fluxo é $2800
	4
	3000
	e tecle
	 CFj
	Informa que o terceiro Fluxo é $3000
	5
	3500
	e tecle
	 CFj
	Informa que o quarto Fluxo é $3500
	6
	10
	e tecle
	
	Informa que o Custo de Capital é 10% ao ano
	7
	
	tecle
	NPV
	Calcula o Valor Presente: 740
Nota: Cálculo do Valor Presente Líquido no Excel
A planilha Excel oferece diversas funções de matemática financeira que simplificam o cálculos matemáticos necessários. No entanto, o uso da função VPL requer alguns cuidados para que se obtenham resultados corretos. Como Excel considera que os fluxos sempre se iniciam no ano 1, o fluxo do instante zero nunca deve ser incluído na fórmula do VPL - este valor deve ser somado a parte, fora da fórmula. Assim, a solução para o exemplo acima no Excel seria:
Taxa Interna de Retorno - TIR
A taxa interna de retorno é a taxa à qual o fluxo de caixa descontado de um projeto é igual ao Valor de Investimento, ou seja, o Custo do projeto. Nesse caso, necessariamente o VPL de um projeto descontado à TIR é zero. Podemos afirmar então que a TIR é o maior custo de oportunidade que um projeto pode suportar. Aceita-se um projeto se sua TIR for maior que o custo de oportunidade. A maior vantagem da TIR é que ela dá os mesmos resultados que o método do VPL na maioria das vezes, mas conflita em alguns casos.
Como não existe fórmula analítica para a TIR, a única maneira de achá-la é por tentativas, alterando a taxa de desconto passo a passo até obtermos VPL = 0. Para calcular a TIR do exemplo anterior, utilizamos a função IRR (TIR) da calculadora, teclando IRR e a calculadora nos dá o valor de 12,2%.
Taxa Interna de Retorno Modificada
O método da TIR pressupõe que todos os fluxos de caixa positivos são reinvestidos à taxa interna de retorno do projeto. Essa premissa é válida desde que não haja uma grande discrepância entre a taxa interna de retorno e a taxa de desconto utilizada para o projeto. Quando isso ocorre, os resultados obtidos tendem a ser menos confiáveis, e podem induzir a erros de avaliação. Além disso, o método da TIR pode levar a múltiplas taxas internas para um mesmo projeto, caso haja mais de uma inversão de sinal no fluxo de caixa do projeto. Essas taxas múltiplas, embora matematicamente corretas, não tem significado financeiro relevante para o processo de decisão de investimento.
O método da Taxa interna de retorno modificada (MIRR) evita esses dois problemas. Os fluxos negativos são trazidos a valor presente, enquanto que os fluxos positivos são levados a valor futuro no último períodos do fluxo. Com os valores concentrados no instante zero e no período final, o cálculo da taxa interna se torna fácil e direto. Observe que para levar os fluxos positivos para o seu valor futuro no período final, é mais fácil concentrá-los todos no instante zero, para depois projetá-lo para o instante final.
Projetos mutuamente exclusivos com escalas de investimento muito diferentes. (Taxa de Desconto = 10%)
	0
	1
	TIR
	VPL
	
(1000)
	
2000
	100%
	820
	0
	1
	TIR
	VPL
	
(10.000)
	
15.000
	50%
	3.636
Projetos com grandes diferenças de prazo, ou padrões de fluxo de caixa muito diferentes. (Taxa de Desconto = 10%)
	0
	1
	2
	3
	4
	5
	TIR
	VPL
	
	
	
	
	
	
	33%
	3.592
	(9.000)
	6.000
	5.000
	4.000
	0
	0
	
	
	
0
	
1
	
2
	
3
	
	
n
	
TIR 20%
	
VPL 9.000
	(9.000)
	1.800
	1.800
	1.800
	
	1.800
	
	
Exemplo:
Calcule o TIR e a TIR Modificada para o seguinte fluxo de caixa. Adote uma taxa de desconto de 14%:
0	1	2	3	4	TIR	VPL
21.86%	6.619
(40.000)	16.000	16.000	16.000	16.000
VP (14%) Entradas	=	46.619,40
VF (14%) Entradas	=	78.738,30 VP(14%) Saídas =	(40.000)
Fluxo final:
0	1	2	3	4	TIRM
18.45%
(40.000)	78.738
Exercícios:
Um projeto de investimento apresenta o seguinte fluxo de caixa:
	0
	1
	2
	(4.000)
	2.000
	4.000
Determine o seu VPL, considerando uma taxa de desconto de 10%.
Determine o seu VPL para taxas de desconto variando entre 0% e 90%.
	Taxa Desc
	VPL
	Taxa Desc
	VPL
	0
	
	50
	
	10
	
	60
	
	20
	
	70
	
	30
	
	80
	
	40
	
	90
	
Trace o gráfico da curva VPL x Taxa de Desconto
VPL
20000%	10%	20%	30%	40%	50%	60%	70%	80%	90%	100%
1500
1000
500
0
-500
-1000
-1500
-2000
Taxa Desc
d) Identifique a Taxa Interna de Retorno desse projeto.
O gerente da VJC Produções Artísticas está analisando a proposta de lançamento do disco de um novo artista de música tecno-cool-metal. Ele sabe que o lançamento de um disco requer um grande investimento inicial em promoção e marketing, e que essa moda de música tecno-cool-metal deve durar 5 anos somente (felizmente). O fluxo de caixa deste projeto está apresentado abaixo. Considerando que os acionistas da VJC esperam receber um retorno de 15% no seu investimento na empresa, calcule o VPL, a Taxa Interna de Retorno (TIR). Deve o gerente investir neste projeto?
0	1	2	3	4	5
(6.500)	1.800	2.300	3.200	1.000	3.500
Resp: VPL(15%) = 1220,27, TIR = 22,2%
Para uma determinada obra pública há a alternativa de se adotar um encanamento de 20cm ou 30cm. O encanamento de 20cm tem um custo inicial de $45.000 e o custo anual de bombeamento é estimado em $10.000. O encanamento de 30cm tem um custo inicial de $80.000 e um custo anual de bombeamento de $7.000. O serviço de tal equipamento será utilizado por 20 anos; nenhum valor residual é esperado para ambos os tipos ao final desse período. Considerando uma taxa de desconto de 10% a.a., qual encanamento deve ser utilizado?	Resp: 20cm:VPL(10%) = 130.135, 30cm:VPL(10%) = 139.594
Uma propriedade que contém lojas e escritório está à venda por $6.000. Estima-se que durante um período de 20 anos a renda proveniente dos aluguéis das lojas e escritório atingirá por ano $890, e que as despesas com impostos, manutenção, condomínio, etc, atingirão por ano $380. Estima-se ainda que ao final dos 20 anos, a propriedade poderá ser vendida por $4.500. Considerandouma taxa de desconto de 10% a.a., decida se vale a pena esse investimento. Informe também qual é o retorno que poderia obter com o negócio.	Resp: VPL(10%) = (989.19), TIR = 7.95%
Para os dois projetos mutuamente exclusivos abaixo, calcule o VPL e a TIR, adotando-se uma taxa de desconto de 10%. Como você explica a discrepância observada nos resultados obtidos pelos dois métodos?
	0
A)
	1
	2
	3
	4
	(24.000)
	10.000
	10.000
	10.000
	10.000
	
0
B)
	
1
	
2
	
3
	
4
	(24.000)
	0
	5.000
	10.000
	33.000
Resp: A: VPL = 7.698,7, TIR = 24,1% B: VPL = 10.184,8, TIR = 21,7%
A Globaltec S.A está decidindo que tipo de empilhadeiras a serão adotadas para a movimentação de carga nos seus armazéns para substituir as suas velhas empilhadeiras a diesel. Existem duas alternativas: empilhadeiras elétricas e a gás, e como ambas realizam as mesmas funções, a empresa irá escolher apenas um tipo. As empilhadeiras elétricas são mais caras, porém tem um custo de manutenção e operação menor: o seu preço unitário é de $23.000, enquanto empilhadeiras a gás custam $17.000 cada. O custo de capital da empresa é de 12%, e a vida útil estimada de ambos os tipos de empilhadeira é de 6 anos. A economia líquida gerada pela empilhadeira elétrica representa um benefício anual de fluxo de caixa de $7.000, e a da empilhadeira a gás é de $5.400 anuais, já consideradas as despesas de depreciação. Qual é o VPL, a TIR e a TIRM de cada alternativa? Qual modelo deve a empresa escolher?
Resp: Elétrica: VPL(12%) = 5.779,85, TIR = 20,5%, TIRM = 16,3% Gás: VPL(12%) = 5.201,60, TIR = 22,2%, TIRM = 17,1%
O estudo de viabilidade econômica de um projeto de privatização de uma estatal conduziu aos seguintes fluxos de caixas. Calcule o VPL e a rentabilidade do projeto. (Valores em R$ milhões). Considere uma taxa de desconto de 10% a.a.
	Ano
	Pagamentos (investimento)
	Recebimentos (retorno)
	0
	5.000
	
	1
	800
	3.000
	2
	1.000
	2.400
	3
	2.200
	1.800
	4
	1.400
	3.000
	5
	1.600
	4.000
Resp: VPL= 439.53; TIR = 13,4%
Você pretende investir na firma Celadar que deve pagar três fluxos de caixa $1.100,00 em t=1, $1.500,00 em t=2 e $2.500,00 em t=3. Após o terceiro período a firma não paga mais nenhum fluxo de caixa, não vale nada e nem tem valor terminal. A taxa de desconto apropriada para descontar os fluxos de caixa é 20% ao ano. A firma Celadar está a venda por $3.000. Qual é o VPL e a TIR para o investidor que comprar a Celadar? Você compraria esta empresa?	Resp: VPL(20%) = $405,09, TIR = 27,33%. Sim.
A firma NOVASTAR está à venda por $8.200.000. Os fluxos de caixa líquidos após taxas e impostos que a firma promete pagar aos seus proprietários no futuro é de
$1.400.000 por anos pelos próximos 20 anos de sua vida útil. Considerando que a taxa de desconto para esta firma seja 10% ao ano, qual é o VPL desta operação de venda se levada a cabo pelos valores mencionados acima? Você investiria nesse projeto?
Resp: $3.718.989,21. Sim.
Você tem um projeto de investir na firma Unicom Ltda. que deve pagar três fluxos de caixa $1.100 em t=1, $1.200 em t=2 e $1.300 em t=3. Após o terceiro período (ano) a firma não paga mais nenhum fluxo de caixa, não vale nada e nem tem valor terminal. A Unicom está à venda por $3.000. Qual é o VPL e a TIR da deste investimento? Supondo que o custo do capital para financiar o projeto seja 12% ao ano vale a pena investir no projeto?	Resp: VPL (12%) = ($135,91), TIR = 9,42%. Não.
Qual é o Valor Presente de um projeto que paga 4 fluxos de caixa iguais no valor de $850 em t=1, t=2, t=3 e t=4 respectivamente. Considere que a taxa apropriada para desconto é de 8% por período de tempo.	Resp: $2.815,31
Qual é o VPL e a TIR de um projeto que custa $2.350 e paga 4 fluxos de caixa iguais de
$850 em t=1, t=2, t=3 e t=4 respectivamente. Considere que a taxa apropriada para desconto é de 8% por período de tempo.	Resp: VPL = $465,31, TIR = 16,605%
Qual é a TIR do projeto QUASAR? O projeto Quasar promete pagar $4.500 em t=1,
$5.400 em t=2 e $3.200 em t=3. O custo de implementação do projeto Quasar é $6.000
Resp: TIR = 55,158
Qual o montante acumulado em 6 trimestres a uma taxa de 2% a.m., no regime de juros compostos, a partir de um principal igual a $1.000.000?	Resp: $1.428.246,26
Um cidadão investiu $10.000 nesta data, para receber $14.257,60 daqui a um ano. Qual a taxa de rentabilidade mensal de seu investimento?	Resp: 3.00% ao mês
Um lojista coloca na vitrine um fogão de 6 bocas com o seguinte cartaz:
Pechincha: $420,00. Em apoio ao novo plano econômico do governo vendemos sem juros! Só hoje! Pague em 3 parcelas iguais (0, 30 e 60 dias) sem juros ou à vista com 30% de desconto!
A loja está fazendo propaganda enganosa ou não? Porque?
Resp: Sim, porque o lojista está cobrando juros apesar de afirmar o contrário. A taxa de juros cobrada é 51,08% ao mês.
Uma empresa contraiu um empréstimo no regime de juros compostos, a taxa de 3,5%
a.m. para ser liquidado em dois pagamentos. O primeiro pagamento será de $500.000 e deverá ocorrer no final do quinto mês. O segundo pagamento será de $1.000.000 e deverá ocorrer no final do décimo segundo. Esse empréstimo poderia, entretanto, ser liquidado com um único pagamento de $2.154.483,45. Determinar em que mês este pagamento deveria ser realizado para que a taxa de 3,5% a.m. fosse mantida.	Resp: n = 20
O Banco de Comércio Internacional empresta dinheiro à “2,5% ao mês” ou seja na linguagem bancária “7,5% ao trimestre” juros simples, entretanto, exige que os juros sejam pagos por ocasião da liberação do empréstimo, Assim assina-se uma nota promissória de $4.000 com vencimento dentro de 3 meses, e o banco libera ao financiado apenas $3.700 pois os $300 de juros são descontados no ato ($4.000 x 0,075 = $300). Qual a taxa mensal efetiva cobrada nessa operação, a juros compostos? Qual seria a taxa mensal efetiva cobrada caso o pagamento dos juros ($300) fosse no vencimento da promissória? Isto é, o banco liberaria $4.000 e no final do trimestre você pagaria $4.000 mais $300.	Resp: 2.63 % e 2,44 %.
Uma pessoa deseja fazer uma aplicação financeira, a juros compostos de 1,8% a.m., de forma que possa retirar $ 250.000 ao final do 3o. mês e $ 170.000 ao final do 14o. mês. Qual o menor valor da aplicação que permitiria essas retiradas?	Resp: $369.399,87
Considere a seguinte operação de crédito:
Valor do empréstimo: $ 100.000.000
Taxa de Juros: 20% a.a., devidos no final
Prazo: 30 meses
Comissão de Crédito: 5% sobre o valor do empréstimo, na liberação
Calcule a efetiva taxa de juros anual da operação.
Dica: Mantenha a taxa anual (20% ao ano) e use o período como sendo 2,5. Se você trabalha com uma HP 12C, tecle STO EEX para colocar a máquina na posição de calcular período fracionário com juros compostos. A máquina indica esta posição mostrando no visor um pequeno “c” no lado direito.
Resp: = 22,4875 % ao ano
A aplicação em um fundo de renda fixa aumenta sua aplicação em 50% ao fim de 5 meses. Qual é a taxa de juros que esta aplicação paga mensalmente?
Resp: i = 8,45% ao mês
Considere que a taxa de juros para financiamento ao consumidor está girando em torno de 3% ao mês. Esta é a taxa cobrada pelo seu cartão de crédito para o financiamento de suas despesas. Você quer fazer o seguro de seu automóvel importado. O corretor de seguros lhe oferece um seguro que pode ter o prêmio pago à vista no valor de $12.000 (dinheiro, cheque ou cartão de crédito) ou então pode ser pago em 4 parcelas (1+ 3 mensais) iguais no valor de $3.130. Se você decidir fazer o seguro qual será sua forma de pagamento caso não tenha condições de pagar à vista? Isto é você pagará com cartão ou pelo financiamento direto da seguradora?	Resp: Deve escolher o plano da seguradora.
Você quer poupar para suas férias de fim de ano. Pretende gastar US$ 5.000 por mês durante 2 meses em Orlando – Florida. Faltam 12 meses para suas férias. Você hoje não tem