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Eletricidade Aplicada Potência e correção de Fator de Potência Lista 4 “nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn” )(. VAIVN Potência e Correção do Fator de Potência Potência Aparente: Triângulo de Potência Adiantado Potência Ativa: Potência Reativa: )(cos.. WIVP )(sin.. VARIVQ Fator de Potência: cos. PF Com estes valores definidos podemos construir triângulos de potências para cada um dos componentes do sistema das seguintes formas: θ N P Q θ N P Q Triângulo de Potência Atrasado Dependendo o equipamento empregado no sistema o fator de potência pode ser atrasado ou adiantado. A associação desses equipamentos apresentará o fator de potência total do sistema. Equipamentos que interferem no Fator de Potência: Equipamento Contribuição Aparência do Triangulo Motor de indução Atrasa Transformador Atrasa Motor Síncrono Adianta Carga Resistiva Adianta Banco de Capacitores Adianta Cargas Chaveadas Atrasa (Ajuste Fino) Filtro Eletrônico Adianta (Ajuste Fino) A fim de facilitar a resolução dos problemas propostos vale lembrar que: A C B α β γ Lei dos Senos: CAB sinsinsin Eletricidade Aplicada Potência e correção de Fator de Potência Lista 4 Nota: Neste capítulo devido à necessidade de aplicar funções sen-1 e cos-1 e estas retornarem valores com muitas casas decimais, utilizarei 5 casa decimais nos exercícios para minimizar erros de arredondamento. Em exercícios que estas transformações puderem ser evitadas, estas serão feitas à todo custo. Eletricidade Aplicada Potência e correção de Fator de Potência Lista 4 4.2.8) AI Z V IIZV º75|5 º30|20 º45|100 . 1 1 1 1 Z 2 Z 3 ZV Z1=20|30º Z2=15|-45º Z3=10|0º V=100|-45º Para determinar o triangulo de potência (P,Q e N) de cada uma das impedâncias devemos primeiramente determinar a corrente que flui em cada uma delas. Para Z1 temos: Com o valor da corrente que passa pela impedância podemos determinar as componentes do triângulo de potência. Para evitar os efeitos da fase da fonte e mater o comportamento dos componentes ao invés de utilizar I1 utilizaremos I1*, que tem o mesmo valor de I1 porém com o sinal da fase invertido. JN N IVNIVN 25001.435)º30|500( )º75|5).(º45|100( .. 1 1 * 11 Potência Aparente (N) θ Potência Ativa (P) Potência Reativa (Q) Como Z1 tem sua fase positiva (+30º) o triângulo de forças será atrasado. Caso contrário este seria adiantado. Assim temos o seguinte triangulo de forças para Z1 : 433W 2 5 0 V A R 30º Eletricidade Aplicada Potência e correção de Fator de Potência Lista 4 AI Z V IIZV º0|67.6 º45|15 º45|100 . 2 2 2 Para Z2 temos: JN N IVNIVN 64.47164.471)º45|667( )º0|67.6).(º45|100( .. 1 1 * 22 Potência Aparente (N) θ Potência Ativa (P) Potência Reativa (Q) Como Z2 tem sua fase negativa (-45º) o triângulo de forças será adiantado. Assim temos o seguinte triângulo de forças para Z2 : 471,64W 4 7 1 ,6 4 V A R 45º Para Z3 temos: AI Z V IIZV º45|10 º0|10 º45|100 . 3 3 3 JN N IVNIVN 01000)º0|1000( )º45|10).(º45|100( .. 1 1 * 33 Como Z3 tem sua fase igual à 0 este apresentará comportamento puramente aitvo. Assim temos o seguinte triângulo de forças para Z3 : 1000W Eletricidade Aplicada Potência e correção de Fator de Potência Lista 4 Para determinar o triângulo total de potência devemos associar os 3 triângulos sempre conectando os vetores da potência aparente. Finalmente ligaremos o início do primeiro vetor da potência aparente ao final do último. Avaliando o novo triângulo de potência podemos determinar seus componentes: 99329.0 49.1917 64.1904 N P CosF.P VA49.1917 )64.221()64.1904( W64.1904100064.471433 VAR64.22125064.471 T T 2222 T TTT T T N QPN P Q 433W 2 5 0 V A R 30º 471,64W 4 7 1 ,6 4 V A R 45º 1000W PT Q T 221.64VAR T Q , e 1904.64W T P 1917.49VA T N , ntado)0.993(adia .. PF Eletricidade Aplicada Potência e correção de Fator de Potência Lista 4 4.2.9) AI Z V IIZV º45|6.9 º15|25 º30|240 . 1 1 1 1 Z 2 Z 3 ZV Z1=25|15º Z2=15|-60º Z3=15|90º V=240|-30º Este problema será resolvido da mesma forma que o anterior. Para Z1 temos: JN N IVNIVN 32.59649.2225)º15|2034( )º45|6.9).(º30|240( .. 1 1 * 11 Potência Aparente (N) θ Potência Ativa (P) Potência Reativa (Q) Como Z1 tem sua fase positiva (+15º) o triângulo de forças será atrasado. Assim temos o seguinte triangulo de forças para Z1 : 2225,5W 5 9 6 ,3 2 V A R 15º Eletricidade Aplicada Potência e correção de Fator de Potência Lista 4 AI Z V IIZV º30|16 º60|15 º30|240 . 2 2 2 Para Z2 temos: JN N IVNIVN 54.33251920)º60|3840( )º30|16).(º30|240( .. 1 1 * 22 Potência Aparente (N) θ Potência Ativa (P) Potência Reativa (Q) Como Z2 tem sua fase negativa (-60º) o triângulo de forças será adiantado. Assim temos o seguinte triângulo de forças para Z2 : 1920W 3 3 2 5 ,5 4 V A R 60º Para Z3 temos: AI Z V IIZV º120|16 º90|15 º30|240 . 3 3 3 JN N IVNIVN 38400)º90|3840( )º120|16).(º30|240( .. 1 1 * 33 Como Z3 tem sua fase igual à 0 este apresentará comportamento puramente aitvo. Assim temos o seguinte triângulo de forças para Z3 : 3 8 4 0 V A R Eletricidade Aplicada Potência e correção de Fator de Potência Lista 4 Para determinar o triângulo total de potência devemos associar os 3 triângulos da seguinte forma: Avaliando o novo triângulo de potência podemos determinar seus componentes: 966.0 79.4291 5.4145 N P CosF.P VA79.4291 )5.4145()78.1110( W5.414119205.2225 VAR78.1110384054.332532.596 T T 2222 21 321 T TTT T T T T N QPN P PPP Q QQQQ 2225,5W 5 9 6 ,3 2 V A R 15º 1920W 3 3 2 5 V A R PT Q T 60º 3 8 4 0 V A R 1110.78VAR T Q , e 4145.5W T P 4291.79VA T N , sado)0.966(atra . PF Eletricidade Aplicada Potência e correção de Fator de Potência Lista 4 4.2.10) Antes de determinar o triângulo total de forças devemos completar as informações referentes a cada uma das cargas do problema. Para a carga 1 temos: KVARQ QQPN KVA KW N N KW N P CosCos 75.30625.14 525.6 25.6 8.0 55 8.0 8.0 1 22 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 11 5KW Q 1 θ1 Carga 1: • P=5KW • F.P.=0,8 • Atrasado Carga 2: • N=4KVA • Q=2KVAR • Adiantado Carga 3: • N=6KVA • F.P.=0,9 • Atrasado Para a carga 2 temos: 86602.0 4 46410.3 46410.312 24 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 22 Cos Cos N P Cos KVARP PQPN θ2 2 K V A R P2 Eletricidade Aplicada Potência e correção de Fator de Potência Lista 4 2 ,6 1 5 3 3 K V A R KVARQ QQPN KWP KVA P N P CosCos 61533.284.6 4.56 4.5 6 9.0 9.0 3 22 3 2 3 2 3 2 3 3 3 3 3 33 P3 Q 3 θ3 Para a carga 3 temos: 5KW 3,7 5 K V A R 3,4641KW 2 K V A R PT Q T θ1 5,4KW θ3 θ2 95383.0 53510.14 86410.13 N P CosF.P VA53510.14 )86410.13()36533.4( W86410.134.546410.35 AR36533.461533.2275.3 T T 2222 321 321 KN QPN KP PPPP KVQ QQQQ T TTT T T T T Vale salientar que a construção do triangulo de potências resultante deve ser realizada em proporção para evitar erros na visualização de lados e ângulos. Avaliando o novo triângulo de potência podemos determinar seus componentes: R4.36533KVA T Q , e 13.86410KW T P A14.53510KV T N , rasado)0.95383(at . PF Eletricidade Aplicada Potência e correção de Fator de Potência Lista 4 4.2.11) Conforme feito para o exemplo anterior, para a carga 1 temos: VARQ QQPN WP P N P CosCos 82856.14220400 140200 140 200 7.0 7.0 1 22 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 11 P1 Q 1 θ1 Carga 1: • N=200VA • F.P.=0,7 • Atrasado Carga 2: • N=350VA • F.P.=0,5 • Atrasado Carga 3: • N=275VA • F.P.=1 Para a carga 2 temos: P2 Q 2 θ2 VARQ QQPN WP P N P CosCos 10889.30391875 175350 175 350 5.0 5.0 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 Eletricidade Aplicada Potência e correção de Fator de Potência Lista 4 VARQ WP VA P N P CosCos 0 275 275 1 1 3 3 3 3 3 33 P3 Para a carga 3 temos: 140W 1 4 2 ,8 2 8 5 6 V A R PT θ1 θ2 VA56764.739 )93755.445()590( W590275175140 AR93755.44510899.30382856.142 2222 321 21 KN QPN KP PPPP VQ QQQ T TTT T T T T 175W 3 0 3 ,1 0 8 9 9 V A R 275W Q T 79776.0 56764.739 590 F.P Eletricidade Aplicada Potência e correção de Fator de Potência Lista 4 AR445.93755V T Q , e 590W T P A739.56764V T N , rasado)0.79776(at . PF Eletricidade Aplicada Potência e correção de Fator de Potência Lista 4 4.2.12) Neste exemplo temos uma carga com fator de potência 0,65 que terá capacitores em paralelo adicionados de forma que o fator de potência final do aranjo chegue à 0,9. Iniciaremos determinando os valores para QI e NI: KVARQ QQPN KVAN N N P CosCos IIII I I I I II 73886.35075147.123017 30053846.461 53846.461 300 65.0 65.0 1 22222 300KW θI CosθI=0,65 Q C Q I 300KW θI Q I Eletricidade Aplicada Potência e correção de Fator de Potência Lista 4 29663.145 11111.2111130033333.333 33333.333 300 9.0 cos9.0cos 300 22 T T T T T T TT IT Q Q N N N P KWPP Q T 44223.205 29663.14573886.350 C C ITCICT Q Q QQQQQQ À estre triangulo adicionaremos os capacitores com carga resistiva QC até que o fator de potência do arranjo se torne 0.9 atrasado. A figura abaixo representa o novo arranjo: Definido o triângulo total de potências podemos calcular seus componentes : Sabendo que QT+QC=QI podemos calcular o valor de QC: PT Q T 300KW θI 35 0 ,7 3 8 8 6 5 K V A R Q C θT Eletricidade Aplicada Potência e correção de Fator de Potência Lista 4 e Agora calcularemos a redução em porcentagem de KVA: %77777.27dRe 100. 53846.461 33333.33353846.461 100.dRe %KVA %KVA I TI N NN KVARQ C 44223.205 %77777.27dRe %KVA Eletricidade Aplicada Potência e correção de Fator de Potência Lista 4 4.2.13) Neste exemplo temos uma carga com fator de potência 0,8 que terá cargas resistivas adicionadas de forma que o fator de potência final do aranjo chegue à 0,85. Iniciaremos determinando os valores para QI e PI: KVARQ QQPN KWP P N P CosCos IIII I I I I II 15225 2025 20 25 8.0 8.0 1 22222 PI θI CosθI=0,8 PN Q I θI Q I PI Eletricidade Aplicada Potência e correção de Fator de Potência Lista 4 KWP P KVAN N Q KVARQQ T T T T T T TT IT 52428.24 44060.6011547488.28 47488.28 52678.0 15 sin 52678.0sin85.0cos 15 22 KWP P PPPRPP R R ITRRIT 52428.4 2052428.24 À estre triangulo adicionaremos cargas resistivas com potência PR até que o fator de potência do arranjo se torne 0.85 atrasado. A figura abaixo representa o novo arranjo: Definido o triângulo total de potências podemos calcular seus componentes : Sabendo que PT=PR+PI podemos calcular o valor de PR: PT 20KW θI PR θT Q T 1 5 K V A R KWP R 52428.4 Eletricidade Aplicada Potência e correção de Fator de Potência Lista 4 4.2.14) Neste exemplo temos um motor de indução com fator de potência 0,75 atrasado associado à motores sícronos com fator de potência 0,65 adiantado. Neste arranjo devemos adicionar cargas capacitivas (banco de capacitores) até obtermos um fator de potência igual à 0,95. Iniciaremos determinando os valores para QI, NI, QM e PM : VARQ QQPN VAN N N P CosCos IIII I I I I II 87565.13221750000 15002000 2000 1500 75.0 75.0 1 22222 1500W θI CosθI=0,75 Q I θM Q M PM CosθM=0,65 Q C 1500W θI Q I θM Q M PM Analogamente para o motor síncrono temos: VARQ QQPN WP P N P CosCos IIII M M M M MM 96710.379144375 325500 325 500 65.0 65.0 1 22222 Eletricidade Aplicada Potência e correção de Fator de Potência Lista 4 VARQ Q VAN N N P WPPP T T T T T T TT MIT 84849.599 21329.359878182505263.1921 05263.1921 1825 95.0 cos95.0cos 18253251500 22 VARQ Q QQQQQQQQ C C MTICMCIT 06006.343 96710.37984849.59987565.1322 À estre arranjo adicionaremos cargas capacitivas com potência QC até que o fator de potência do arranjo se torne 0.95 atrasado. A figura abaixo representa o novo arranjo: Definido o triângulo total de potências podemos calcular seus componentes : Sabendo que QT=QI-QC-QM podemos calcular o valor de QC: PT Q C θT Q T 1500W θI θM 3 7 9 ,9 6 7 1 0 V A R 325W CosθM=0,65 CosθI=0,75 1 3 2 2 ,8 7 5 6 5 V A R Eletricidade Aplicada Potência ecorreção de Fator de Potência Lista 4 e Agora calcularemos a redução em porcentagem de VA. Para isso devemos calcular primeiro a quantidade de VA (NA) existentes no arranjo composto pelo motor de indução e o motor síncrono. Este arranjo segue abaixo: %48131.6dRe 100. 19121.2054 05263.192119121.2054 100.dRe %VA %VA A TA N NN VARQ C 06006.343 %48131.6dRe %KVA PA θA Q A 1500W θI θM 3 7 9 ,9 6 7 1 0 V A R 325W CosθM=0,65 CosθI=0,75 1 3 2 2 ,8 7 5 6 5 V A R 19121.2054 90855.9421825 90855.942 96710.37987565.1322 18253251500 22 A A A MIA MIA N N Q QQQ WPPP Com após calcular a quantidade de VA do arranjo (NA), determinaremos a sua redução até o valor final (NT): Eletricidade Aplicada Potência e correção de Fator de Potência Lista 4 4.2.15) Neste exemplo temos uma carga inicial que será associada à um banco de capacitores com 20KVAR. Esta adição nos resulta em triângulo de potência atrasado com fator de potência igual à 0,9. Sabendo que a adição de bancos de capacitores tende à adiantar o fator de potência do arranjo podemos concluir que a carga inicial tem F.P menor que 0,9 e que este é inicialmente atrasado. Neste problema traçaremos o triangulo total de potência e determinaremos o valor QI, NI, PI e seu fator de potência. Assim temos: KVARQ QQPN KWP P N P CosCos T TTTT T T T T TT 63963.8075.6502 5.166185 5.166 185 9.0 9.0 22222 PI θI Q I 2 0 K V A R PT Q T θI 2 0 K V A R θT Verificando a figura temos: KVAN N KVARQQQ KWPP I I ITI TI 55226.194 63963.1005.166 63963.10020 5.166 22 85581.0 55226.194 5.166 .. .. I T T I PF N P PF PI Q I CosθT=0,9 Eletricidade Aplicada Potência e correção de Fator de Potência Lista 4 VAR100.69363K I Q , e 166.5KW T P VA194.55226K T N , rasado)0.85581(at . PF Eletricidade Aplicada Potência e correção de Fator de Potência Lista 4 θ3 4.2.16) Neste exemplo temos uma combinação de motores de indução e sincronos que no resultam em um arranjo final com F.P 0,9 atrasado: o 22 o 1 o o 15806.6490 0279.11 86989.368.0 84193.259.0 T TI II TT Cos Cos θI Este problema exigirá uma utilização mais profunda da trigonometria para sua solução. Primeiro definiremos os valores dos ângulos presentes na figura: PI Q I θM Q M PM CosθI=0,8 PT θT Q T PI θI θM Q M PM CosθT=0,9 CosθI=0,8 Q I θ1 θ2 θ4 Para definir θ3 aplicaremos a lei dos senos: o 3 13 1 3 31 92015.49 76515.0sin4sin 500 sin.2000 sin 2000 sin 500 sin Eletricidade Aplicada Potência e correção de Fator de Potência Lista 4 49,92015º 91298.0cos.. 07821.2490 92179.65 18015806.6492015.49 o 4 o 4 ooo 4 MM MM PF Repetindo a figura com os valores dos ângulos indicados podemos determinar o valor de θM: PT 25,84193º Q T PI θI θM Q M PM CosθT=0,9 CosθI=0,8 QI 11,0279º 64,15806º θ4 91298.0.. M PF Eletricidade Aplicada Potência e correção de Fator de Potência Lista 4 θ3 4.2.17) Neste exemplo temos uma combinação de motores de indução e sincronos que no resultam em um arranjo final com F.P 0,9 atrasado: o 3432 o 22 o 44 o o 91843.84180 21167.5890 86990.3690 13010.536.0 78833.3185.0 T M MM TT Cos Cos θI Este problema exigirá uma utilização mais profunda da trigonometria para sua solução. Primeiro definiremos os valores dos ângulos presentes na figura: PI Q I θM Q M PM PT θT Q T PI θI θM Q M PM CosθT=0,85 Q I θ1 θ2 θ4 CosθM=0,6 CosθM=0,6 Eletricidade Aplicada Potência e correção de Fator de Potência Lista 4 Repetindo a figura com os valores dos ângulos indicados podemos determinar o valor de θ1 e θI: Para definir θ1 aplicaremos a lei dos senos: 58319.0cos. 32439.54 78833.3152606.22 52606.22 38310.091843.84sin 13 5 sin 65 91843.84sin.25 sin 65 sin 25 sin o oo 1 o 1 o 1 o 1 31 II I I TI PF 84,91843º PT 31,78833º Q T PI θI 53,13010º Q M PM CosθT=0,85 Q I θ1 58,21167 36,86990º CosθM=0,6 58319.0.. I PF Eletricidade Aplicada Potência e correção de Fator de Potência Lista 4 β 4.2.18) Neste exemplo temos uma trawnformador de 100KVA que opera com apenas 80% de sua plena carga com isso temos: oo 32 o 331 o 22 o 11 66823.15836090 21167.5890 13010.536.0 78833.3185.0 Cos Cos θ1 Primeiro definiremos os valores dos ângulos presentes na figura: P1 Q I θ3 α γ θ2 Q 2 P2 KVAKVAN 80100.80,0 1 Cosθ1=0,85 Cosθ2=0,6 Será associado a este transformador cargas com F.P. atrasado de moto que a potência total final não exceda os 100KVA (NT) do transformador. Com isso temos o seguinte arranjo: θ1 Q I Cosθ1=0,85 θ2 Q 2 Cosθ2=0,6 P2 P1 PT Q T Eletricidade Aplicada Potência e correção de Fator de Potência Lista 4 Repetindo a figura com os valores dos ângulos indicados podemos determinar o valor de θ1 e θI: Para calcular β aplicaremos a lei dos senos: o o o o 41308.466826.15891866.16180 180 91866.16 29101.066826.158sin 5 4 sin 100 66826.158sin.80 sin 100 sin 80 sin PT Q T KVAN 15271.21 2 β 58,21167º γ 31,78833º Q I Cosθ1=0,85 53,13010 Q 2 Cosθ2=0,6 P2 P1 Para calcular N2 aplicaremos a lei dos senos: KVAN N N 15271.21 66826.158sin 41308.4sin.100 sin sin.100 100 sinsin o 2 2 2 Eletricidade Aplicada Potência e correção de Fator de Potência Lista 4 4.2.19) Para a letra A associaremos o transformador ao capacitor para obtermos um F.P. igual à 0,9 atrasado conforme feito no exercício 12. Antes devemos defirnir as demais potências associadas ao transformador: θ1 P1 Q I Cosθ1=0,8 a) Q C PT Q T θ1 1 5 0 K V A R Q C θT θ1 200KW Q I Cosθ1=0,8 KVARQ QQPN KWP P N P CosCos IIII 15022500 200250 200 250 8.0 8.0 1 22222 1 1 1 1 11 86441.96 71506.938220022222.222 22222.222 200 9.0 cos9.0cos 200 22 1 T T T T T T TT T Q Q N N N P KWPP KVARQ Q QQQ C C TC 13559.53 86441.96150 1 Eletricidade Aplicada Potênciae correção de Fator de Potência Lista 4 Com o fator de potência corrigido agora definiremos quantos KW com fator de carga unitário podemos adicionar ao triângulo de forças da questão sem que sejam ultrapassados os 250KVA do transformador b) KWP PP KWP P R TR T T 47187.3020047187.230 200 47187.230 28607.5311786441.96250 22 Como já dispomos do valor de QT e NT podemos calcular PT: PT 200KW θI PR θT Q T 9 6 ,8 6 4 4 1 K V A R KWP R 52428.4 KWQ C 13559.53 b) a)
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