Guias Eletromagnéticos Resolução

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Lista Guia de ondas 
 
1) Mostrar que num guia de ondas retangular (dimensões “a” e “b”) a radiação EM 
com comprimento de onda λ<λc, onde: 
 
 
não será propagada. 
Solução: 
Da teoria, sabemos que, para a radiação se propagar, ω>ωc, onde: 
 
 
Dai: 
 
 
Como ω>ωc => f>fc, e devido a relação inversa entre f e λ, para a radiação se 
propagar, λ< λc 
 
2) (example 11-1, pag 348, George Kennedy, “electronic communications systems) 
Uma onda com frequência f = 6GHz é propagada num guia de onda retangular, 
preenchido com ar, e com largura a = 3 cm. Calcular, para o modo TE10: 
a) Comprimento de onda de corte, c. 
b) Comprimento de onda no guia, g. 
c) Velocidade de grupo. 
d) Velocidade de fase. 
22 )/()/(
2
bnam
c


   
2
2
2
2
1
b
n
a
m
c


  
 1,22  ccf
c
cc
    22
2
2
2
2 )/()/(
2
22
bnam
b
n
a
m
cc
c
c






Respostas: (a) 6 cm; (b) 5.0 cm; (c) vg = 1.66x108m/s. (d) vp= 5.43x108m/s 
 Solução: 
a) Calculamos λc: 
 
b) vamos calcular o ângulo de propagação. Primeiro, devemos calcular o comprimento de 
onda “no espaço livre” correspondente a essa frequência (desde que o meio é ar, c=c0 
3x10
8
m/s): 
 
 dai, 
 
 
 
c) 
 
Tem uma forma alternativa, embora mais complicada, de calcular esta velocidade: 
 
 
 
Precisamos do valor βz correspondente ao modo. Podemos olhar o gráfico da relação de 
dispersão na teoria, e este valor é obtido igualando a frequência da onda se propagando 
(no caso 6GHz), à relação de dispersão: 
 
Para o modo TE10 
mc 06.0
)03.0/1(
2
2

44.56
..8333.0
06.0
05.0
)sin(





c
m
s
s
m
f
c
05.0
1106
103
12
8




mg 09.0
)cos(



s
m
s
mcvg
808 1066.144.56cos103cos  
c
a
c
b
n
a
m
cv
z
z
z
u
z
g
22
2
2
22
2
22
2
1
1









2
2
2
2
22
2
22
2
2
1
a
cf
b
n
a
m
zz
 
 
 
 
Substituindo na equação acima, para vg: 
 
 
 
 
 
d) 
 
 
 
3) Uma onda com frequência f = 10 GHz é propagada num guia de onda retangular 
com largura a = 6 cm, preenchido com ar. 
a) Quantos modos TEm0 vão ser propagar?. 
b) Qual será a faixa de frequências de um sinal dado para se ter propagação 
somente segundo o modo TE10 neste guia de onda? 
Respostas: (a) vão se propagar os primeiros três modos; (b) 2.5 GHz < f < 5GHz. 
Solução: 
a) sabemos que f>fc para termos propagação, a expressão para fc (lembrar que n=0) é: 
 
 
s
ms
m
c
v phase
8
0
8
1043.5
44.56cos
103
cos


 
a
m
b
n
a
m
fc  2
1
2
1
2
2
2
2

  mm
s
m
s
ac
f
z
146.69
03.0103
1106
2
2
2
2
2
8
9
2
22



















   
s
m
m
m
sm
a
c
v
z
g
8
22
2
8
22
2
1066.1
03.0146.69
1
/103
1









desde que o guia é preenchido por ar: 
 
 
(o “m” representa modo de propagação) . 
Como a f a ser propagada é 10x10
9
1/s e deve ser >fc: 
 
 
i.e., os primeiros três modos vão se propagar; TE10, TE20, e TE30. 
b) Se quisermos propagação a través apenas de TE10, fc10<f< fc20. 
Aproveitamos a expressão acima “pronta” para a fc do nosso guia e calculamos: 
 
 
 
Logo, para termos propagação apenas em TE10, 2.5 GHz < f < 5GHz. 
4) Um guia de ondas retangular tem dimensões 3 x 4.5 cm, e é preenchido com ar. 
(lembrar que a maior das duas dimensões é sempre considerada como a largura (a) do 
guia de onda) 
a) Calcular as frequências de corte e as impedâncias características, Z0g, para os 
modos TE10 e TE11. Um sinal de 9 GHz vai excitar os dois modos? 
 b) Calcular também os respectivos ângulos de propagação, e as velocidades de grupo 
correspondentes (para ambos os modos) em dita frequência. 
Solução: 
 
s
m
m
ms
m
f c
1""105.2
06.0
""
2
103
9
8



41105.211010 99  m
s
m
s
s
f
s
f
s
mf
mcmc
c
1105,1105.2
,1""105.2
9
2
9
1
9



  sm
s
m
fcTE
b
n
a
m
fc
11034.3
045.0
1
2
103
2
1 9
2
2
8
102
2
2
2


 
 
 
 
 
 
Para calcular a impedância característica, utilizamos a expressão em função da f. 
Como o guia é preenchido com ar, usamos η0 =120πΩ. 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas (a): fc para TE10 = 3.34GHz; fc para TE11 = 6 GHz. ZTE10= 406Ω, ZTE11= 
505.8Ω. O sinal de 9 GHz vai se propagar segundo os dois modos. (b) Os ângulos de 
    smm
s
m
fcTE 1106
03.0
1
045.0
1
2
103
9
22
8
11 











































8.505
109
106
1
120
406
109
1034.3
1
120
1
120
1
2
9
9
11
2
9
9
10
22
0





TE
TE
c
c
TEmn
Z
Z
f
f
Z
0
9
9
0
9
9
81.41...666.0
109
106
)sin(
78.21...37111.0
109
1034.3
)sin(
11
10








TE
TE
c
c f
f



s
m
s
mcv
TEg
808 1078.274.21cos103cos
10
 
s
m
s
mcv
TEg
808 1023.281.41cos103cos
11
 
propagação serão 21.74
0
 para o TE10 e 41.81
0
 para o TE11, vg para o TE10: 
2.78x10
8
m/s, vg para o TE11: 2.23x10
8
m/s, 
 
5) Um sinal de 6GHz deve ser propagado no modo TE10 de um guia de ondas 
retangular preenchido com ar. Requere-se que a velocidade de transmissão da energia 
(ou seja, a sua velocidade de grupo) seja o 90  da velocidade da luz no ar. Qual 
deverá ser a largura (a) do guia de ondas? E qual será a impedância característica 
nesse modo? 
Solução: 
 
 
Sabemos também que: 
 
 
E a fc para o TE10: 
 
 
 
Respostas: largura a = 5.73 cm, Z0G = 419 . 
 
6) Demonstrar que a impedância característica para o modo TE10 de um guia de ondas 
retangular é: 
 
084.259.0cos   ccvg
GHzff
f
f
c
c
c
615.284.25sin106)sin()sin( 09  
m
s
s
m
fa
a
f cc
2
9
8
1073.5
10615.22
103
2
1
2
1 


 
2
2
1
10








a
ZZ TEog


 
 
Onde η é a impedância característica do meio preenchendo o guia. A largura do guia 
é “a”. (Observação: como se trata do modo TE10, a dimensão “b” não entra nos 
cálculos). Observar que podemos generalizar esse resultado para qualquer modo, 
TEmn. 
Solução: A impedância característica do guia é definida como o cociente entre os 
campos E e H transversais à direção de propagação. Paro o modo TE10 temos: 
 
 
 
 
 
 
Lembrando que ω=2πf=2πc/λ e c=1/√εμ 
 
 
 
 
 
 
Observando que ´2a´ é o λc para o modo TE10, esse resultado pode se generalizar (não 
demostraremos isso, apenas usar o resultado) para: 
 
 
222
2
22
2
2
2
2
222
022
022
1
)sin(
)sin(
10
aa
e
a
x
H
a
j
e
a
x
H
a
j
H
E
Z
yx
zzj
z
z
zj
z
xs
ys
TE































2
2
2
2
2
222
22
222
2
2
1
4
1
4
1
1
4
11
10

















aa
aaa
H
E
Z
xs
ys
TE
















 
 
 
 
22
11 















f
f
Z
c
c
TEmn



