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 CAPÍTULO 1 
 
TEORIA ELETROMAGNÉTICA 
 
 
Começamos nosso estudo de engenharia de microondas com um breve resumo da 
história e principais aplicações da tecnologia de microondas, seguido por uma revisão 
dos temas fundamentais em teoria eletromagnética de que vamos precisar em todo o 
livro. O leitor interessado encontrará mais adicionais discussões destes temas em outras 
referências. 
 
1.1 Introducão a Engenharia de Microondas 
 
O termo microondas refere-se a sinais de corrente alternada com freqüências entre 
300MHz (3 x 108Hz) e 300GHz (3 x1011 Hz ) e um comprimento de onda 
correspondente entre λ=c/f=1m e λ=c/f=1mm, respectivamente. Sinais com 
comprimento de onda de milímetros são chamados ondas mimionmétricas. A Figura 1.1 
mostra a localização da banda de frequênica de microondas no espectro 
eletromagnético. Por causa das freqüências altas ( e curto comprimentos de onda), a 
teoria de circuito padrão geralmente não pode ser usada diretamente para resolver 
problemas de microondas. Neste sentido teoria padrão de circuito é uma aproximação 
ou um uso espcial da teoria eletromagnética descrita pelas equações de Maxwell. Isto é 
devido ao fato de que, em geral , as aproximações de circuitos concentrados válidas em 
freqüências de microondas. Componentes de microondas são elementos frequentemente 
distribuídos, onde a fase da tensão ou corrente variam significamente ao longo da 
extensão física do dispositivo, porque as dimensões do dispositivo são da ordem do 
comprimento de onda de microondas. Em frequências muito baixas, o comprimento de 
onda é grande o suficiente tal que não há variação de fase insignificante entre as 
dimensões de um componente. No outro extremo de freqüência pode ser identificado 
como engenharia óptica, em que o comprimento de onda é muito menor do que as 
dimensões do componente. Neste caso as equações de Maxwell podem ser simplificadas 
para a óptica geométrica e sistemas ópticos podem ser projetados com a teoria da óptica 
geométrica. Tais técnicas são, por vezes, aplicáveis aos sistemas de ondas milimétricas, 
onde são referidas como quasioptical. Em engenharia de microondas, então precisamos 
muitas vezes começaar com as equações de Maxwell e suas soluções. É na natureza 
destas equações que surge complexidade matemática. 
 
 
 
2 
 
 
Figura 1.1- Espectro Eletromagnético 
 
 
 
1.2 Equações de Maxwell 
 
Com a consciência da perspectiva histórica, é geramente vantajoso a partir de um ponto 
de vista pedagógico apresentar a teoria eletromagnética e começar com as equações de 
Maxwell. A forma geral em função do tempo das equações de Maxwell, então podem 
ser escrita na forma pontual ou diferencial como: 
 
 
3 
 
Sendo, 
 a intensidade de campo elétrico, V/m 
 a intensidade de campo magnético, A/m 
 a densidade de fluxo elétrico, C/m 
 a densidade de fluxo magnético, Wb/m 
 a densidade de corrente magnética , V/m 
 a densidade de corrrente elétrica, A/m2 
 a densidade de carga elétrica, C/m3 
 
 
O sistema MKS de unidades é usado ao longo desta apostila. As quantidades 
representam variações dos vetores campos e são funções reais das coordenadas 
espaciais x,y,z e do tempo t. 
 
Vetores operadores diferenciais 
Os operadores gradiente, divergente, rotacional e laplaciano em coordenadas 
retangurlares, cilindricas e esféricas são dadas abaixo. 
 
a- Relações em coordenadas retangular 
 
 
 
 
b- Relações em coordenadas cilíndricas 
 
4 
 
 
 
 
 
 
 
c- Relaçoes em coordenadas esféricas 
 
 
 
 
No espaço livre as seguintes relações entre as intensidades do campo elétrico e 
magnético com a densidade de fluxo são: 
 
 
 
Onde 𝜇𝑜 = 4𝑥10
−7 Henry/m é a permeabilidade no espaço livre e ϵo = 8.85x10-12 
Farad/m é a permissividade do espaço livre. Veremos na próxima seção como outros 
meios de comunicação além do espaço livre podem afetar essas relações constitutivas. 
As equações (1.1a) e (1.1d) são lineares, mas são independentes umas das outras. Uma 
vez que o divergente do rotacional de qualquer vetor é zero temos, 
 
 
5 
 
 
Desde que não há carga livre, , o qual leva a , ou (1.1d). 
A equação da continuidade pode ser similarmente derivada tomando o divergente de 
(1.1b), 
 
 
Sendo usado (1.1c). Esta equação estabelece que a carga é conservada, ou que a 
corrente é contínua, desde que ∇. 𝐽 representa o fluxo de corrente no ponto, e 𝜕𝜌/𝜕𝑡 
representa a variação da carga com o tempo no ponto. 
 
As equações diferenciais acima podem ser convertidas para a forma integral através do 
uso de vários teoremas de integrais vetoriais. Então aplicando o teorema do divergente 
em (1.1c) e (1.1d) produz 
 
 
 
Sendo Q em (1.4) a carga total contida em um volume V( englobado pela superfície S). 
Aplicando o teorema de Stokes em (1.11) temos, 
 
 
 
 
Que sem o termo M, é a lei de Faraday e forma a base da lei da voltagem de Kirchhoff. 
Em (1.6), C engloba o contorno em torno da superfície S, como mostra na Fig. 1.3. A lei 
de Ampere pode ser derivada aplicando o teorema de Stokes a (1.1b): 
 
 
 
Sendo 𝐼 = ∫ 𝐽. 𝑑𝑠
𝑆
 o fluxo de corrente através da superfície S. As equações (1.4) a (1.7) 
representam as equações de Maxwel na forma integral. 
 
Assumindo o campo elétrico senoidal no tempo do tipo 𝑒𝑗𝜔𝑡 na direção x o mesmo é da 
forma: 
6 
 
 
 
 
 
 
Sendo A, a amplitude( real), ω é a freqüência em radianos, e ∅ é a referência de fase. 
 
 
 
Figura 1.3- Contorno fechado C e superfície S associada com a lei de Faraday. 
 
 
A onda no tempo t=0 tem a forma fasorial, 
 
 
 
Vamos supor a representação fasorial nesta apostila, de modo que conversão das 
quantidades variáveis no tempo é acompanhada pela multiplicação fasorial por 𝑒𝑗𝜔𝑡 e 
tomando a parte real, 
 
 
 
Substitutindo (1.9) em (1.10) nos obteremos (1.8). Quando se trabalha em fasor a 
notação, costuma-se suprimir o fator comum ejωt em todos os termos. 
Quando se trata de potência e energia nos estamos interessados na média de uma 
quantidade quadrática. Isto pode ser encontrado muito facilmente para campos 
harmônicos no tempo. Por exemplo, a média do quadrado da magnitude de um campo 
elétrico dado por, 
 
 
 
que⃗⃗ ⃗ tem a forma fasorial, 
 
 
 
7 
 
Pode ser calculada como, 
 
 
 
 
O valor rms( root-mean-square) é 
 
|�̅�|𝑟𝑚𝑠 = |�̅�|/√2 
 
Assumindo uma dependência temporal ejωt, as derivadas de (1.1a) e (1.1d) podem ser 
substituida por jω. As equações de Maxwell na forma fasorial então ternam, 
 
 
 
 
 
1.3 Campos em um Meio e Condições de Contorno 
 
 
Para um material dielétrico, um campo elétrico aplicado �⃗� causa uma polarização de 
átomos ou moléculas do material criando um momento dipolo elétrico que aumenta o 
valor do fluxo do deslocamento total, D. Este vetor de polarização adicional é chamado 
Pe, a polarização elétrica, sendo, 
 
 
E meios lineares, a polarização elétrica está relacionada linearmente ao campo aplicado, 
como, 
 
 
 
 
 
8 
 
Sendo 𝜒𝑒 , chamada de susceptibilidade elétrica. Então, 
 
 
 
 
 
Em um material condutor a densidade de corrente é dada por, 
 
 
 
Que é a lei de Ohm para o campo eletromagnético. Substituindo na equação de Maxwell 
(1.14b), teremos, 
 
 
 
 
 
Uma quantidade relacionada de interesse é a tangente da perda, definida como, 
 
 
 
 
Para um material dielétrico com σ =0, 
 
 
 
No caso discutido acima assumimos que o vetor polarização está na mesma direção do 
campo elétrico. Tais materiais são chamados de isotrópicos, o que nem sempre 
acontece. Para materiais em que o vetor polarização não está na direção do campo 
elétrico, que são chamados de materiais anisotrópicos a relação entre o vetor 
polarização e campo elétrico é dada pela forma tensorial, ou seja, 
 
 
9 
 
 
 
 
Alguns cristais e materiais ionizados como um gás ionizado apresenta estecomportamento. 
A situação análoga ocorre para materiais magnéticos. Um campo magnético aplicado 
pode alinhar o momento dipolo magnético para produzir uma polarização magnética ( 
ou magnetização) Pm. 
Então 
 
 
Para um material magnético linear, Pm está linearmente relacionado com H por, 
 
 
Sendo 𝜒𝑚 a susceptibilidade magnética. De (1.23) e (1.24) temos, 
 
 
Sendo 
 
 
 
Como no caso elétrico, o material magnético pode ser anisotrópico, neste caso o tensor 
permeabilidade magnética pode ser escrita como, 
 
 
 
 
1.4 Equação da Onda e Soluções da Onda Plana Básica 
 
Em regiões homogênea, linear, isotrópica, e sem fonte, as equações de Maxwell na 
forma fasorial são 
 
 
e constituem duas equações para as duas incógnitas, E e H. Como tal, eles podem ser 
resolvidos para ambos E ou H . Assim, tomando o rotacional de (1.41a) e (1.41b) nos 
fornece, 
 
10 
 
 
 
 
 
que é uma equação para E. Esse resultado pode ser simplificado através do uso da 
identidade vetorial (B.14), 
∇x∇x𝐴 ⃗⃗ ⃗ = ∇(∇. 𝐴 ) − ∇2𝐴 
 
a qual é válida para as componentes retangulares de um vetor arbitrário. Para o campo 
elétrico em uma região sem cargas, 
∇. �⃗� = 0 
 
a equação para o campo elétrico fica, 
 
 
 
A Equação (1.42) é chamada de equação de Helmholtz. Para o campo magnético a 
equação é dada por, 
 
 
 
 
 
 
 
Uma constante 𝑘 = 𝜔√𝜇𝜖 é definida e chamada de número de ondas ou constante de 
propagação. 
 
 
 
 
Ondas planas em um meio sem perdas 
 
Em um meio sem perda, ϵ e µ são números reais, tal que k é real. Considerando uma 
onda plana se propagando em um meio homogêneo, isotrópico na direção z, com o 
campo elétrico na direção �̂� e uniforme (sem variação) nas direções x e y, 
𝜕 𝜕𝑥 = 𝜕 𝑦⁄ = 0⁄ , então a equação de Helmholtz fica, 
 
 
 
11 
 
Sendo k constante e real a solução desta equação é do tipo, 
 
 
 
 
 
 
 
No domínio do tempo, 
 
 
 
 
 
Considerando um ponto sobre a onda tal que a fase é constante, 
 
𝜔𝑡 − 𝑘𝑧 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 
 
a velocidade de fase é dada por, 
 
 
 
 
 
 
 
 
O comprimento de onda é definido como a distância entre dois máximos sucessivos, 
 
 
Lembrando que 𝐸𝑦 = 𝐸𝑧 = 0 e usando (1.41a) teremos, 𝐻𝑥 = 𝐻𝑧 = 0 e, 
 
𝐻𝑦 =
1
𝜔𝜇
𝜕𝐸𝑥
𝜕𝑧
 
 
Então, usando a Equação (1.45) obtemos, 
 
12 
 
 
Sendo, 
 
𝜂 = 𝜔µ 𝑘⁄ = √𝜔 µ⁄ 
 
a impedância da onda, definida como a relação entre o campo elétrico e magnético. 
Para a onda no espaço livre a impedância da onda é dada por, 
 
𝜂𝑜 = √µ𝑜 𝜖𝑜⁄ = 120𝜋 𝛺 = 377𝛺 
 
 
 
 
Exemplo 1.1 Parâmetros de uma onda plana 
 
Uma onda plana se propagando em um dielétrico sem perdas tem campo elétrico dado 
por 𝐸𝑜𝑐𝑜𝑠(1.51𝑥10
10 − 61.1𝑧). Determine o comprimento de onda, velocidade de fase, 
e impedância da onda para esta onda, e a constante dielétrica do meio. 
 
Solução 
Comparando com (1.46) identificamos 𝜔 = 1,51𝑥1010 𝑟𝑎𝑑/ sec 𝑒 𝑘 = 61.6𝑚−1. 
Usando a Equação (1.46) então temos o comprimento de onda, 
 
𝜆 = 
2𝜋
𝑘
= 
2𝜋
61.1
= 0.102 (𝑚) 
 
A velocidade de fase pode ser calculada usando (1.47): 
 
𝑣𝑝 =
𝜔
𝑘
= 
1.51𝑥1010
61.6
= 2.45𝑥108 𝑚/𝑠 
 
Esta velocidade é menor do que a velocidade da luz por um fator 1.255. A constante 
dielétrica pode ser achada como, 
 
𝜖𝑟 = (
𝑐
𝑣𝑝
) = (
3.0𝑥108
2.45𝑥108
)
2
= 1.50 
A impedância da onda é dada por, 
 
𝜂 = 𝜂𝑜 √𝜖𝑟⁄ = 
377
√1.5
= 307,8 𝛺 
 
 
Equação da onda plana em um meio com perda 
 
Considerando o efeito de um meio com perdas. Se o meio é condutor com uma 
condutividade σ, as equações de Maxwell podem ser escrita como, 
13 
 
 
 
 Ou, 
 
 
 
 
Definindo, 
 
 
 
 
 
A equação fica, 
 
 
 
Cuja solução é do tipo, 
 
 
 
 
Para a onda viajando na direção positiva o fator de propagação é, 
 
 
 
 
 
No domínio do tempo temos, 
 
 
 
 
Fazendo, 
𝜺 = 𝜺′ − 𝒋𝜺′′ 
14 
 
 
 
 
 
 
Usando a Equação (1.41a) o campo magnético é dado por, 
 
 
 
 
A impedância da onda (η) é dada pela relação entre o campo elétrico e magnético: 
 
 
 
 
 
 
Podemos escrever, 
 
 
 
 
Para um bom condutor, ou seja 𝜎 ≫ 𝜔𝜖 , 
 
 
 
 
 
A profundidade skin é definida por, 
 
 
 
 
15 
 
Exemplo 1.2 – Calcular a profundidade skin do alumínio, cobre, ouro e prata na 
frequência de 10GHz. 
Solução 
 
 
 
 
 
 
 
 
Polarização da onda plana 
 
Considere a superposição de uma onda polarizada linearmente na direção �̂� de 
amplitude E1 e uma onda polarizada linearmente com amplitude do campo E2 na direção 
�̂�, ambas as ondas viajando na direção z. O campo total pode ser dado por, 
 
�⃗⃗� = (𝑬𝟏�̂� + 𝑬𝟐�̂�)𝒆
−𝒋𝒌𝒐𝒛 (𝟏. 𝟕𝟖) 
 
 
 
Se 𝐸1 ≠ 0 𝑒 𝐸2 = 0, teremos uma onda plana linearmente polarizada na direção �̂�. 
Similarmente, se 𝐸1 = 0 𝑒 𝐸2 ≠ 0, teremos uma onda plana linearmente polarizada na 
direção �̂�. Se 𝐸1 ≠ 0 𝑒 𝐸2 ≠ 0, teremos uma onda plana polarizada com um ângulo, 
 
 
 
Por exemplo, se 𝐸1 = 𝐸2 = 𝐸2 = 𝐸𝑜, teremos, 
 
 
16 
 
 
 
Agora considere o caso em que 𝐸1 = 𝑗𝐸2 = 𝐸𝑜, sendo, Eo é real tal que 
 
 
 
No domínio do tempo, 
 
 
 
 
Seja um ponto z =0, a equação (1.80) então reduz, 
 
 
 
Tal que quando 𝜔𝑡 aumenta a partir de zero, o campo elétrico roda em direção contrária 
aos ponteiros do relógio a partir do eixo z. O ângulo do eixo x do campo elétrico no 
tempo t, em z=0, é então, 
 
 
 
Neste caso dizemos que a onda tem polarização circular a direita (RHCP). Similarmente 
se, 
 
 
 
 
A onda tem polarização circular a esquerda ( LHCP ). 
17 
 
 
 
Figura 1.9- (a)Onda circular a direita (b) onda circular a esquerda. 
 
 
 
1.6 ENERGIA E POTÊNCIA 
 
A energia elétrica armazena em um volume V é dada por, 
 
 
 
Para um meio sem perda, isotrópico, com ϵ real 
 
Similarmente a energia magnética 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
18 
 
Definimos vetor de Poynting como, 
 
 
 
 
 
 
Problemas 
1.4 Uma onda plana propagando ao longo do eixo z em um meio dielétrico com 𝜀𝑟 = 2,55 tem 
um campo elétrico dado por ℰ𝑦 = 𝐸𝑜 cos(𝜔𝑡 − 𝑘𝑧). A frequência é de 2,4 GHz, e 𝐸𝑜 =
30 𝑉/𝑚. (a) Ache a amplitude e direção do campo magnético. (b) Ache a velocidade de 
fase e comprimento de onda. (c) Ache a mudança de fase entre as posições z1 = 0,5m e z2 = 
1,7m. 
1.5 Mostre que uma onda plana polarizada linearmente da forma 𝐸 = 𝐸𝑜(𝑥 + 2�̂�)𝑒
−𝑗𝑘𝑜𝑧 pode 
ser representado como a soma de uma onda RHCP e uma LHCP. 
 
1.8 Considere uma onda plana RHCP normalmente incidente de um espaço livre ( z < 0) para 
um bom condutor. Seja o campo da onda incidente da forma, 
�⃗� 𝑖 = 𝐸𝑜(𝑥 − 𝑗�̂�)𝑒
−𝑗𝑘𝑜𝑧 
 ache os campos elétricos e magnético na região z > 0 . Calcule o vetor de Poyting para z < 0 e z 
> 0, e mostre que a potência complexa é conservada. Qual é a polarização da onda refletida. 
1.9 Considere uma onda plana propagando em um dielétrico com perdas para z < 0, com uma 
placa condutora perfeita em z=0. Assuma que o meio com perda é caracterizado por 𝜖 = (5 −
𝑗2)𝜖𝑜, 𝜇 = 𝜇𝑜, e que a frequência da onda plana é 1,0 GHz, e seja do campo elétrico da onda 
incidente 4 V/m em z=0. Ache o campo elétrico para z < 0, e plote a intensidade total do campo 
elétrico para −0,5 ≤ 𝑧 ≤ 0. 
1.15 Um material anisotrópico tem um tensor permissividade [ϵ] dado abaixo. Em um certo 
ponto no material, o campo elétrico é dado por �⃗� = 2𝑥 + 3�̂� + 4�̂�. Qual �⃗⃗� neste ponto? 
[𝜖] = [
1 −2𝑗 0
2𝑗 3 0
0 0 4
] 
 
 
 
 
 
 
19 
 
CAPÍTULO 2 
LINHA DE TRANSMISSÃO 
 
2.1 Modelo da linha de transmissão 
A diferença entre a teoria de circuitos e teoria da linha de transmissão está no tamanho 
elétrico. Em circuitos elétricos o tamanho físico da rede é muito menor do que o 
comprimento de onda, enquanto em linha de transmissão o tamanho físico da mesma 
pode ser da ordem de grandeza ou maiordo que o comprimento de onda. A linha de 
transmissão é uma rede de parâmetros distribuídos, e as correntes e voltagens podem 
variar ao longo da linha. 
Como mostrado na Fig. 1.1, uma linha de transmissão pode ser modelada como uma 
linha de dois fios constituída de comprimentos infinitesimais Δz e parâmetros R, L, G, 
C por unidade de comprimento definidos como: 
R = resistência por unidade de comprimento (Ohms/m) 
L = indutância por unidade de comprimento ( H/m) 
G = condutância por unidade de comprimento ( S/m) 
C = capacitância por unidade de comprimento ( F/m) 
 
Figura 2.1 Circuito equivalente de corrente e voltagem para um comprimento 
incremental de uma linha de transmissão. 
 
Pela de Kirchhoff das tensões podemos escrever, 
20 
 
 
Pela de Kirchhoff das correntes podemos escrever, 
 
 
Dividindo( 2.1a) e (2.1b) por Δz e fazendo o limite ∆𝑧 → 0 
 
 
Para o caso de variação senoidal com o tempo as equações (2.2) ficam, 
 
 
Propagação de ondas e linha de transmissão 
As duas equações (2.3) podem ser resolvidas simultaneamente dando a equação para 
V(z), 
 
 
21 
 
Que tem como solução, 
 
 
Sendo o termo 𝑒−𝛾𝑧 representa a onda se propagando na direção +z, e 𝑒+𝛾𝑧 representa a 
onda se propagando na direção –z. Usando (2.3a) temos, 
𝐼(𝑧) = 
1
−(𝑅 + 𝑗𝜔𝐿)
𝑑𝑉(𝑧)
𝑑𝑧
 
Aplicando (2.6a), 
 
Comparando com (2.6b) temos, 
𝐼𝑜
+ =
𝛾
(𝑅 + 𝑗𝜔𝐿)
𝑉𝑜
+ ; 𝐼𝑜
− =
−𝛾
(𝑅 + 𝑗𝜔𝐿)
𝑉𝑜
− 
 
Comparando com (2.6a) mostra que a impedância característica pode ser definida como, 
 
𝑍𝑜 =
𝑉𝑜
+
𝐼𝑜
+ = 
𝑅 + 𝑗𝜔𝐿
𝛾
 ; 𝑍𝑜 =
−𝑉𝑜
−
𝐼𝑜−
= 
𝑅 + 𝑗𝜔𝐿
𝛾
 
Ou ainda temos, 
 
 
Podemos relacionar as tensões com as correntes, 
 
 
22 
 
Então (2.6b) pode ser escrita como, 
 
 
Usando as expressões para as amplitudes das ondas, 
 
𝑉𝑜
+ = |𝑉𝑜
+|𝑒𝑗∅
+
 ; 𝑉𝑜
− = |𝑉𝑜
−|𝑒𝑗∅
−
 
Usando, 
𝛾 = 𝛼 + 𝑗𝛽 
A Equação (2.6ª) pode ser convertida de volta para o domínio do tempo e a voltagem 
pode ser dada como, 
 
 
 
Sendo ∅± é a fase da tensão complexa 𝑉𝑜
±. 
O comprimento de onda é dado por, 
 
 
e a velocidade de fase é, 
 
 
 
 
23 
 
Linha sem Perda 
A solução acima é para uma linha de transmissão de maneira geral, incluindo os efeitos 
de perdas, e como visto a constante de propagação e impedância característica são 
complexas. Em vários casos particulares, entretanto, a perda em uma linha é pequena e 
pode ser desprezada, resultando em simplificação dos resultados. Fazendo R=G=0 a 
constante de propagação é dada por, 
 
Como esperado uma linha sem perdas, a constante de atenuação α é zero. A impedância 
característica de (2.7) reduz a , 
 
Que é agora real. A solução geral para a voltagem e corrente em uma linha sem perdas 
pode ser escrita como, 
 
 
O comprimento de onda é dado por 
 
A velocidade de fase é dada por, 
 
24 
 
 
 
2.2 ANÁLISE DE CAMPO DE LINHAS DE TRANSMISSÃO 
Nesta seção re-derivaremos a equação de um telégrafo na forma harmônica partindo das 
equações de Maxwell. 
Parâmetros da linha de transmissão 
Considerando uma seção de 1m de uma linha de transmissão uniforme com campos E e 
H, como mostrado na Fig. 2.2, sendo S área da seção transversal da linha. Seja a 
voltagem entre os condutores 𝑉0𝑒
∓𝑗𝛽𝑧 e a corrente 𝐼0𝑒
∓𝑗𝛽𝑧. A energia magnética média 
armazenada para 1m de seção pode ser escrita usando (1.86) como, 
 
E pela dos circuitos, 𝑊𝑚 = 𝐿|𝐼𝑜|
2/4. 
Podemos determinar a indutância igualando as equações anteriores, 
 
Figura 2.2 Linhas de campo em uma linha de transmiss’ao TEM 
 
 
Similarmente, a energia elétrica média armazenada por unidade de comprimento pode 
ser achada a partir de (1.84) como, 
 
E pela teoria dos circuitos 𝑊𝑒 = 𝐶|𝑉0|/4 
Resultando na seguinte expressão para o valor da capacitância, 
25 
 
 
A partir de (1.130) a potência por unidade de comprimento, 
 
Pela teoria dos circuitos 
 
Então, 
 
Sendo, 
𝑅𝑠 = 1/𝜎𝛿𝑠 
 
C1 + C2 representa o caminho de integração sobre os condutores . 
A partir de (1.92), a potência média dissipada por unidade do dielétrico é, 
 
Sendo 𝝐 = 𝝐´ − 𝒋𝝐´´ = 𝜺´(𝟏 − 𝒋𝒕𝒂𝒏𝜹). Pela teoria dos circuitos, 
 
Então podemos escrever, 
 
 
Exemplo 2.1 Parâmetros de uma linha de transmissão coaxial. 
26 
 
Os campos de uma linha de transmissão coaxial são mostrados na Fig. 2.3 podem ser 
expressos como, 
 
Figura 2.3 Geometris de uma linha coaxial com resistência de superfície RS nos condutores 
internos e externos 
 
 
 
Solução 
Das equações anteriores, 
 
 
A tabela 2.1, sumariza os parâmetros do cabo, dois fios paralelos, e placas. 
27 
 
Tabela 2.1-parâmetros do cabo coaxial, dois fios paralelos, e placas. 
 
 
 
2.3 Linhas De Transmissão Terminadas Sem Perdas 
A Fig. 2.4 mostra uma linha de transmissão sem perda terminada com uma carga ZL 
Assumindo que a onda incidente é da forma 𝑉𝑜
−𝑗𝛽𝑧
 da fonte até z<0. . A tensão total 
pode ser escrita como a soma da onda incidente e onda refletida, 
 
 
 
 
Figura 2.4 Uma linha de transmissão terminada na carga ZL 
 
De maneira similar a corrente será, 
28 
 
 
A relação entre a tensão e corrente na carga (z=0) será, 
 
Resolvendo, 
 
A relação entre a amplitude da tensão refletida e incidente é o coeficiente de reflexão, 
 
 
A tensão e corrente na linha pode ser escrita como, 
 
Considerando agora a potência ao longo da linha e usando as Equações (2.36a) e 
(2.36b), obtemos, 
 
 
Sendo que usamos (2.36) .Lembrando que 𝐴 − 𝐴∗ = 2𝑗𝐼𝑚(𝐴) podemos escrever, 
 
 
29 
 
O qual mostra que o fluxo de potência média é constante ao longo da linha, e que a 
potência total entregue a carga é igual a potência incidente (|𝑉𝑜
+|2/2𝑍𝑜) menos a 
potência refletida |𝑉𝑜
+|2|𝛤|/2𝑍𝑜) . Quando Γ = 0, haverá máxima potência entrgue a 
carga, e quando |𝛤| = 1 não potência entrgue a carga. 
Quando a carga não está casada, apenas parte da potência da fonte é entregue ao 
gerador. Esta perda de potência é chamada de perda de retorno, e é definda como, 
 
Se a carga é casada com a linha |𝑉(𝑧) = |𝑉𝑜
+|| , que é constante. Quando a carga não é 
casada haverá uma onda refletida que leva a uma onda estacionária cuja magnitude não 
é constante. Então pela equação (2.36a), para z=-l e 𝛤 = |𝛤|𝑒𝑗𝜃 
 
 
Sendo 𝑙 = −𝑧 a distância medida a partir da carga em z=0, e θ a fase do coeficiente de 
reflexão ( 𝛤 = |𝛤|𝑒𝑗𝜃). O valor máximo ocorre quando o termo da fase 𝑒𝑗(𝜃−2𝛽𝑙) = 1, 
e podemos escrever, 
 
O valor mínimo ocorre quando 𝑒𝑗(𝜃−2𝛽𝑙) = −1 e nos fornee, 
 
A relação Vmax para Vmin é chamada de relação de onda estacionária da voltagem 
(SWR) sendo dada por, 
 
O valor de SWR é real e está dentro dos limites 1 ≤ 𝑆𝑊𝑅 ≤ ∞, sendo SWR =1 
implica em casamento da carga. 
A tensão ao longo da linha é dada por, 
𝑉(𝑧) = 𝑉𝑜
+𝑒−𝑗𝛽𝑧 + 𝑉𝑜
−𝑒𝑗𝛽𝑧 
 
30 
 
Para z = -l, a tensão é, 
𝑉(𝑧) = 𝑉𝑜
+𝑒−𝑗𝛽𝑙 + 𝑉𝑜
−𝑒𝑗𝛽𝑙 
O coeficiente de reflexão para z = -l é então dado por, 
 
 
A impedância vista na direção da carga é 
 
 
 
Sendo (2.36a, 2.36b) usadas. Uma fórmula mais usada é obtida usando (2.35) para Γ em 
(2.43), 
 
 
Casos Especiais de linha de transmissão sem perdas 
Considerando o circuito de linha de transmissão mostrado na Fig 2.5, onde a linha é 
terminada com um curto circuito, ZL = 0. Da Eq.(2.35) o coeficiente de reflexão é dado 
por 𝛤 = −1 e o SWR é infinito. De (2.36), 
 
A partir de (2.44) 
31 
 
 
 
Figura 2.5 Linha de transmissão terminada com curto 
 
 
Figura 2.6 (a) voltagem, (b) corrente (c) impedância ( Rin =0 ou ∞). Variação ao longo da linha 
de transmissão. 
32 
 
 
Considerando agora a linha aberta mostrado na Fig. 2.7, onde 𝑍𝐿 = ∞. Dividindo o 
numerador e denominador de (2.35) por ZL e seguindo 𝑍𝐿 → ∞ , mostra que o 
coeficiente de reflexãopara o caso é 𝛤 = 1 e a razão de onda estacionária é infinita. De 
(2.36) a voltagem e corrente são dadas por, 
 
 
 
Figura 2.7 Linha de transmissão em aberto 
 
O qual mostra que I=0 na carga, como esperado pelo circuito aberto, enquanto a 
voltagem é máxima. A impedância de entrada é, 
 
 
Considerando a linha de transmissão com comprimento 𝑙 = 𝜆 2⁄ , 
𝛽𝑙 = 
2𝜋
𝜆
 
𝜆
2
= 𝜋 
 
pela Eq. (2.44), 
 
 
33 
 
Se a linha é de um quarto de onda, ou de maneira mais geral, 𝑙 = 𝜆 2⁄ + 𝑛 𝜆 2⁄ , sendo 
n=1,2,3,...(2.44) mostra que a impedância de entrada é dada por, 
 
 
Tal linha é conhecida como transformador de quarto de onda porque ele tem efeito de 
transformar a impedância. 
 
Figura 2.8 (a) voltagem, (b) corrente (c) impedância Zin = Rin +Xin com Rin =0 ou ∞ . Variação 
ao longo da linha de transmissão. 
Considerando uma linha com impedância característica Zo alimentando uma linha de 
deferente impedância característica Z1, como mostrado na Fig. 2.9. Se a linha de carga é 
34 
 
infinita ou terminada com a impedância igual a impedância Z1 não haverá reflexão no 
final da linha e o coeficiente de reflexão será dada por, 
 
Figura 2.9 Reflexão e transmissão em uma junção de duas linhas de transmissão com diferentes 
coeficientes de reflexão. 
 
 
Não toda onda incidente é refletida, e alguma parte é transmitida para a segunda linha 
Z1 com coeficiente de transmissão T. 
Temos por( 2.36a), 
 
 
 
Igualando estas duas equações para z=0, o coeficiente de transmissão é dada por, 
 
 
O coeficiente de transmissão é normalmente dado em dB, como 
 
 
 
 
 
35 
 
Decibels e Nepers 
Muitas vezes a razão de duas potências P1 e P2 em sistemas de microondas é expressa 
em decibels (dB) como, 
10𝑙𝑜𝑔
𝑃1
𝑃2
 
Outra relação usada na literatura é o Neper definido como, 
 
A relação entre decibels e neper é dada por, 
 
A potência pode ser dada em dBm, 
 
 
2.5 Transformador de um Quarto de Onda 
A Fig. 2.16 mostra um transformador de um quarto de onda. É desejado que a 
impedância de entrada Zin seja igual a impedância da linha Z0. Pela equação, 
 
 
Sendo, 
 
 
 
36 
 
 
Figura 2.16 Transformador de um quarto de onda 
 
Exemplo 2.5 Resposta em frequência de um transformador de um quarto de onda 
Considerando uma resistência de carga RL = 100 Ω para ser casada com uma linha de 
50Ω com um transformador de um quarto de onda. Ache a impedância característica da 
seção casada e plote o coeficiente de reflexão normalizado em função de f/f0, sendo f0 a 
frequência da linha de um quarto de comprimento de onda produz casamento com Z0. 
Solução 
 
 
 
Sendo 𝛽𝑙 = 𝜋/2 para f = f0. 
 
37 
 
 
Figura 2.17 Coeficiente de reflexão versus frequência normalizada para o transformador de um 
quarto de onda do Exemplo 2.5. 
 
Ponto de vista das múltiplas reflexões 
Na Fig. 2.18 mostra um transformador de um quarto de onda com coeficientes de 
transmissão e reflexão como segue: 
Γ = coeficiente total de reflexão da onda incidente no transformador 
Γ1 = coeficiente de reflexão parcial da onda incidente na carga Z1 
Γ2 = coeficiente de reflexão parcial da onda incidente na carga Z0 
Γ3 = coeficiente de reflexão parcial da onda incidente na carga RL 
T1 =coeficiente de transmissão parcial da onda incidente de Z0 para Z1 
T2 =coeficiente de transmissão parcial da onda incidente de Z1 para Z0 
 
 
38 
 
 
 
 
Figura 2.18 Análise de múltiplas reflexões de um transformador de um quarto de onda 
 
 
 
Desde que o sinal percorre a linha de um quarto de onda na ida e volta, a defasagem nos 
dois percursos será de 180o e o coeficiente de reflexão total é dado por, 
 
39 
 
 
Sabemos que , 
 
Então, 
 
O numerador de (2.66) pode ser desenvolvido substituindo (2.64) em (2.66). Desde que, 
𝛤2 = −𝛤1 
𝛤1 + 𝛤1𝛤2𝛤3 − 𝑇1𝑇2𝛤3 = 𝛤1 − 𝛤1
2𝛤3 − 𝑇1𝑇2𝛤3 = 
 
 
Que anula quando 𝑍1 = √𝑍0𝑅𝐿 
 
2.6 Gerador e Carga descasados 
A Fig. 2.19 mostra uma linha de transmissão com um gerador arbitrário de impedância 
Zg e impedância de carga, Zl, que podem ser complexas. A linha de transmissão é 
assumida sem perdas de comprimento l e impedância característica Z0. A impedância 
vista olhando para a linha de transmissão do gerador é dada por, 
40 
 
 
Sendo, 
 
 
 
 
Figura 2.19 Linha de transmissão para uma carga não casada com o gerador 
 
A voltagem na linha pode ser escrita como, 
 
Para z= -l, 
 
Tal que, 
 
Podemos escrever usando ( 2.67), 
 
41 
 
 
Sendo, 
 
 
 
A razão de onda estacionária é, 
 
Usando as expressões: 
𝐼𝑛 = 
𝑉𝑖𝑛
𝐼𝑛
 
𝑍𝑖𝑛 = 𝑅𝑖𝑛 + 𝑗𝑋𝑖𝑛 
𝑍𝑔 = 𝑅𝑔 + 𝑗𝑋𝑔 
A potência ao longo da linha é dada por, 
 
 
 
Casamento da carga com a linha 
Neste caso Zl = Z0, tal que Γl = 0, e SWR = 1, de (2.68) e (2.73). Então a impedância 
de entrada é Zin = Z0, Xin =0 e Ri =Z0, então a potência entregue a carga é, 
 
42 
 
Gerador casado com o conjunto linha seguida de uma carga 
Neste caso a impedância de carga Zl e/ou os parâmetros da linha de transmissão βl e Z0 
são escolhidos para fazer com que a impedância Zin = Zg. Sendo 
𝑍𝑖𝑛 = 𝑅𝑖𝑛 + 𝑗𝑋𝑖𝑛 
𝑍𝑔 = 𝑅𝑔 + 𝑗𝑋𝑔 
Então, 
𝑅𝑖𝑛 = 𝑅𝑔 ; 𝑒 𝑋𝑖𝑛 = 𝑋𝑔 
tal que o gerador é casado com a linha seguida com a carga. O coeficiente de 
transmissão total é dado por, 
 
 
 
 
Casamento da fonte com conjugado do circuito linha/carga 
Assumindo que a impedância, Zg, é fixada podemos variar a impedância de entrada Zin 
até atingir a potência máxima entregue a carga. Conhecendo Zin é fácil achar a 
correspondente Zl via transformação de impedância. A máxima potência P usando 
(7.75), 
 
Pelas equações (2.7ª,b) simultaneamente de Rin e Xin , 
43 
 
 
A potência entregue é , a partir de (2.75) e (2.80), 
 
 
2.7 Linha de Transmissão com perda 
Na prática toda linha de transmissão tem perdas devido a finita condutividade e perdas 
de dielétrico, mas estas perdas são usualmente pequenas. Na maioria dos casos práticos 
a perda é pequena. Quando uma perda é pequena podemos simplificar as expressões dos 
parâmetros da linha.Em geral a expressão para a constante de propagação é dada por 
(2.5), 
 
Podemos rearranjar, 
 
Se uma linha é de baixa perda podemos assumir que 𝑅 ≪ 𝜔𝐿 e 𝐺 ≪ 𝜔𝐶, o que significa 
que as perdas no condutor e dielétrico são pequenas. Quando 𝑅𝐺 ≪ 𝜔2𝐿𝐶 e (2.83) 
reduz a, 
 
 
Usando a igualdade, 
√𝟏 + 𝒙 = 𝟏 +
𝒙
𝟐
+ ⋯ 
44 
 
 
 
 
 
 
Sendo, 
𝑍𝑜 = √
𝐿
𝐶
 
A impedância característica pode ser aproximada por, 
 
As equações (2.85) e(2.86) são conhecidas como modelos aproximados de alta 
frequência da linha de transmissão. 
 
Linha com distorção 
Podemos observar das equações (2.82) e ( 2.83) que a constante de propagação β é uma 
função complicada da frequência, não sendo linear quando a linha possui perdas. Se β 
não linear a velocidade 𝑣𝑝 = 𝜔/𝛽 será diferente para frequências diferentes. A 
implicação disto é que um sinal em banda larga terá velocidade de fase diferente para 
frequências diferentes e chegará ao receptor em tempos ligeiramente diferentes. Isto 
leva a dispersão, uma distorção do sinal que um fenômeno indesejado. 
Há entretanto um caso em que uma linha com perdas tem fase linear em função da 
frequência. Tal linha é chamada de linha sem distorção, e é caracterizadas satisfazendo 
a equação, 
45 
 
𝑅
𝐿
=
𝐺
𝐶
 
Da equação (2.83) a constante de propagação sobre esta condição reduz a, 
 
 
O que mostra que 
𝛽 = 𝜔√𝐿𝐶 
é uma função linear com a frequência. A Eq. (2.88) mostra que 𝛼 = √𝐶 𝐿⁄ não é função 
da frequência sendo constante. Uma linha sem distorção é capaz de transmitir um pulso 
sem distorção, não deformando o mesmo. 
 
Linha com perdas terminada 
 
A Fig. 2.20 mostra uma linha de comprimento l com perdas e terminada com uma carga 
ZL. Então 𝛾 = 𝛼 + 𝑗𝛽 é complexo, mas assumiremosque a perda é pequena, tal que Zo é 
aproximadamente real, como em (2.86). 
 
 
Figura 2.20 Uma linha de transmissão com perda terminada com impedância ZL. 
 
46 
 
Em (2.36), expressões para a corrente e tensão em uma linha sem perdas são dadas. 
Expressões análogas para o caso de perdas são, 
 
 
 
Sendo Γ o coeficiente de reflexão da carga, como dado em (2.35) e 𝑉𝑜
+ é a voltagem 
incidente em z=0. De (2.42) o coeficiente de reflexão na da distância l carga é, 
 
 
A impedância de entrada Zin na distância l da carga é então, 
 
 
Podemos calcular a potência entregue na entrada da linha em z=-l como, 
 
 
Sendo (2.89) usada para V(-l) e I(-l). A potência entregue a carga é, 
 
 
A diferença destas potências corresponde à perda de potência na linha: 
 
 
47 
 
 
O primeiro termo (2.94) é a potência perdida da onda incidente, enquanto o segundo 
termo é a potência perdida da onda refletida, note que os dois termos aumentam com α. 
 
 
Problemas 
2.1 Uma corrente em uma linha de transmissão é dada por 𝑖(𝑡) = 1.2cos (1.51𝑥1010𝑡 −
80.3𝑧). Determine (a) a frequência, (b) o comprimento de onda, (c) a velocidade de fase, (d) a 
representação vetorial da corrente. 
Solução 
Comparando com a equação geral para a corrente, 
𝑖(𝑧, 𝑡) = 𝐼𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 − 𝛽𝑧) = 1.2cos (1.51𝑥1010𝑡 − 80.3𝑧, 
Temos, 
𝜔 = 1.51𝑥1010 𝑒 𝛽 = 80.3 
 
(a) 𝑓 =
1.51𝑥1010
2𝜋
= 2.4𝑥109𝐻𝑧 
(b) 𝜆 =
2𝜋
𝛽
=
2𝜋
80.3
= 0.0782(𝑚) 
(c) 𝑣𝑝 =
𝜔
𝛽
=
1.51𝑥1010
80.3
= 1.88𝑥108 
(d) 𝐼 = 1.2𝑒−𝑗80.3 
 
2.6 Um cabo coaxial tem diâmetro interno de 0.91mm e um dielétrico de 3.02 mm. Ambos os 
condutores são de cobre e o dielétrico de teflon. Calcule R, L, G e C da linha em 1GHz, e use os 
resultados par achar a impedância em 1GHz. 
2.8 Uma linha de transmissão sem perdas de tamanho l = 0.3λ é terminada com uma impedância 
de carga complexa como mostrado abaixo. Ache o coeficiente de reflexão na carga, a SWR na 
linha, o coeficiente de reflexão na entrada da linha, e a impedância na entrada da linha. 
48 
 
 
Solução 
𝛤 =
𝑍𝐿 − 𝑍0
𝑍𝐿 + 𝑍0
=
30 − 𝑗20 − 75
30 − 𝑗20 + 75
= −0.1328 + 0.4412𝑗 
𝑆𝑊𝑅 =
1 + |𝛤|
1 − |𝛤|
= 2.7086 
𝛤(𝑙) =
𝑉0
−
𝑉0
+
𝑒−𝑗𝛽𝑙
𝑒𝑗𝛽𝑙
= 𝛤(0)𝑒−2𝑗𝛽𝑙 = −0.1328 + 0.4412𝑗 
𝑍𝑖𝑛 = 𝑍0
𝑍𝐿 + 𝑗𝑍0tan (𝛽𝑙)
𝑍0 + 𝑗𝑍𝐿tan (𝛽𝑙)
= 202.99 − 5.1929𝑗 
 
 
2.9 Uma linha sem perda é terminada com uma carga de 100Ω. Se o SWR na linha é 1.5, ache 
os dois valores possíveis da impedância característica. 
Solução 
𝑆𝑊𝑅 =
1 + |𝛤|
1 − |𝛤|
= 1.5 ; |𝛤| = ±
1
5
 
𝛤 =
𝑍𝐿 − 𝑍0
𝑍𝐿 + 𝑍0
 
±1.5 =
100 − 𝑍0
100 + 𝑍0
 
𝑍0 = 66.7(𝛺) 
𝑍0=150𝛺 
 
2.11 Uma linha de transmissão tem constante dielétrica efetiva de 1,65. Ache o menor 
comprimento da linha em circuito aberto que aparece na entrada como um capacitor de 5pF em 
2.5 GHz. Repita para uma indutância de 5 nH. 
Solução 
49 
 
C=5pF em f=2.56GHz; 𝜖𝑟 = 1.65 
𝜆 =
𝑣𝑝
𝑓
=
𝑐/𝜖𝑟
𝑓
 
𝑍𝑖𝑛 = −𝑗𝑍0 cot(𝛽𝑙) = −𝑗
1
𝜔𝐶
 
𝑍0 cot(𝛽𝑙) =
1
𝜔𝐶
 
cot (
2𝜋𝑙
𝜆
) =
1
2𝜋2.5𝑥109𝑥5. 10−12𝑥100
 
𝜔𝑙
𝑐/𝜖𝑟
= 1.442 
𝑙 =
1.442𝑥3. 108
√1.65𝑥2𝜋𝑥2.5𝑥109
 
 
𝑙 = 0.0214(𝑚) 
 
2.13 Uma linha de transmissão tipo cabo coaxial com Z0 =75Ω tem comprimento de 2cm e é 
terminada com uma impedância de carga de 37.5 + j75Ω. Se a constante dielétrica da linha é 
2.56 e a frequência é 3 GHz, ache a impedância de entrada na linha, o coeficiente de reflexão na 
carga, o coeficiente de reflexão na entrada, e a SWR na linha. 
 Solução 
f=3GHz ; ZL = 37.5+j75; Z0 = 75Ω; ϵr = 2.56; 
𝜆 =
𝑣𝑝
𝑓
=
𝑐/𝜖𝑟
𝑓
 
𝛽 =
2𝜋
𝜆
=
𝜔
𝑐/𝜖𝑟
 
𝑍𝑖𝑛 = 𝑍0
𝑍𝐿 + 𝑗𝑍0tan (𝛽𝑙)
𝑍0 + 𝑗𝑍𝐿tan (𝛽𝑙)
= 18.985 − 𝑗20.54 
𝛤 =
𝑍𝐿 − 𝑍0
𝑍𝐿 + 𝑍0
= 0.0769 + 𝑗0.6154 
𝛤(𝑙) =
𝑉0
−
𝑉0
+ = 𝛤(0)𝑒
−2𝑗𝛽𝑙 = 0.4021 + 0.9040𝑖 
𝑆𝑊𝑅 =
1 + |𝛤|
1 − |𝛤|
= 4.2656 
50 
 
Um gerador é conectado a uma linha de transmissão como mostrado abaixo. Ache a voltagem 
como função de z ao longo da linha. Plote a magnitude da voltagem para −𝑙 ≤ 𝑧 ≤ 0. 
 
Projete um transformador de um quarto de onda para casar uma carga de 40Ω a uma linha de 
75Ω. Plote o SWR para 0,5 ≤ 𝑓 𝑓𝑜⁄ ≤ 2,0, sendo fo a frequência para a linha de λ/4. 
 Uma linha de transmissão tem os seguintes parâmetros por unidade de comprimento: L= 0.2 
µH/m, C=300 pf/m, R=5Ω/m, e G=0.01 S/m. Calcule a constante de propagação e a 
impedância característica desta linha em 500 MHz 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
51 
 
 
 
CAPÍTULO 3 
GUIAS DE ONDAS 
 
 
3.1 Solução Geral para as Ondas TE e TM. 
 
Assumindo o campo variando com 𝑒𝑗𝜔𝑡 e a onda na direção z. O Campo elétrico e 
magnético pode ser escrito como, 
�⃗� (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝐸𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧)�̂� + 𝐸𝑦(𝑥, 𝑦, 𝑧)�̂� + 𝐸𝑧(𝑥, 𝑦, 𝑧)�̂� 
�⃗⃗� (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝐻𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧)�̂� + 𝐻𝑦(𝑥, 𝑦, 𝑧)�̂� + 𝐻𝑧(𝑥, 𝑦, 𝑧)�̂� 
 
𝐸𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑒𝑥(𝑥, 𝑦)𝑒
−𝑗𝛽𝑧 
𝐸𝑦(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑒𝑦(𝑥, 𝑦)𝑒
−𝑗𝛽𝑧 
𝐸𝑧(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑒𝑧(𝑥, 𝑦)𝑒
−𝑗𝛽𝑧 
 
𝐻𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧) = ℎ𝑥(𝑥, 𝑦)𝑒
−𝑗𝛽𝑧 
𝐻𝑦(𝑥, 𝑦, 𝑧) = ℎ𝑦(𝑥, 𝑦)𝑒
−𝑗𝛽𝑧 
𝐻𝑧(𝑥, 𝑦, 𝑧) = ℎ𝑧(𝑥, 𝑦)𝑒
−𝑗𝛽𝑧 
Podemos escrever os campos pelas Eqs. (3.1a) e 3.1b), 
�⃗� (𝑥, 𝑦, 𝑧) = [ 𝑒 (𝑥, 𝑦) + �̂�𝑒𝑧(𝑥, 𝑦)]𝑒
−𝑗𝛽𝑧 (3.1𝑎) 
�⃗⃗� (𝑥, 𝑦, 𝑧) = [ ℎ⃗ (𝑥, 𝑦) + �̂�ℎ𝑧(𝑥, 𝑦)]𝑒
−𝑗𝛽𝑧 (3.1𝑏) 
 
 
52 
 
Sendo 𝑒 (𝑥, 𝑦) e ℎ⃗ (𝑥, 𝑦) representa o campo transversal (�̂�, �̂�) elétrico e campo 
magnético, enquanto ez e hz representam as componentes longitudinal do campo 
elétrico e magnético, isto é, 
𝑒 (𝑥, 𝑦) = 𝑒𝑥(𝑥, 𝑦)�̂� + 𝑒𝑦(𝑥, 𝑦)�̂� 
ℎ⃗ (𝑥, 𝑦) = ℎ𝑥(𝑥, 𝑦)�̂� + ℎ𝑦(𝑥, 𝑦)�̂� 
𝑒𝑧⃗⃗ ⃗(𝑥, 𝑦) = 𝑒𝑧(𝑥, 𝑦)�̂� 
ℎ𝑧⃗⃗⃗⃗ (𝑥, 𝑦) = ℎ𝑧(𝑥, 𝑦)�̂� 
 
Assumindo que os campos estão no espaço livre, 
 
Considerando a variação na direção z do tipo 𝑒𝑗𝛽𝑧, 
 
 
Podemos escrever as componentes transversais em função das componentes 
longitudinais, 
 
53 
 
 
como visto anteriormente, 
 
 
Ondas TE 
A onda TE é caracterizada por Ez =0 e 𝐻𝑧 ≠ 0. 
 
 
Neste caso, 𝑘𝑐 ≠ 0, e a constante de propagação 𝛽 = √𝑘
2 − 𝑘𝑐
2 é geralmente uma 
função da frequência e geometria do guia. Para aplicar (3.19), primeiro achamos Hz da 
equação de Helmholtz. 
A equação de Helmholtz para a componente Hz é, 
 
Para Hz, a equação fica, 
54 
 
 
 
Desde que , 𝐻𝑧(𝑥, 𝑦, 𝑧) = ℎ𝑧(𝑥, 𝑦)𝑒
−𝑗𝛽𝑧 
 
 
Sendo 𝑘𝑐
2 = 𝑘2 − 𝛽2 
 
 
 
Ondas TM 
Uma onda transversal magnética é caracterizada por 𝐸𝑧 ≠ 0, 𝐻𝑧 = 0. As Eqs.(3.5) 
reduzem a, 
 
 
 
Como no caso do modo TE, Ez é achado pela equação de Helmhotz, 
 
 
55 
 
Desde que, 
 
 
 
A impedância da onda TM é dada por, 
 
 
Atenuação Devido ao Dielétrico 
A atenuação na linha de transmissão ou guia de onda pode ser causada ou pela perda no 
dielétrico ou no condutor. A atenuação total pode ser dada por, 
𝛼 = 𝛼𝑑 + 𝛼𝑐 
𝛼𝑑 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑎𝑡𝑒𝑛𝑢𝑎çã𝑜 𝑑𝑜 𝑑𝑖𝑒𝑙é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑜 
𝛼𝑐 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑖𝑒𝑙é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑢𝑡𝑜𝑟 
 
Usando a constante dielétrica complexa podemos escrever que a constante de 
propagação pode ser escrita como, 
 
 
Para a maioria dos dielétricos tan(𝛿) ≪ 1. Então a equação (3.27) pode ser simplificada 
usando os dois primeiros termos da expansão de Taylor, 
 
A equação (3.27) reduz a 
56 
 
𝜸 = √𝒌𝒄
𝟐 − 𝝎𝟐𝝁𝒐𝜺𝒐𝜺𝒓 +
𝟏
𝟐
−𝒋𝝎𝟐𝝁𝒐𝜺𝒐𝜺𝒓
√𝒌𝒄𝟐 − 𝝎𝟐𝝁𝒐𝜺𝒐𝜺𝒓
 
 
𝜸 = √𝒌𝒄𝟐 − 𝝎𝟐𝝁𝒐𝜺𝒐𝜺𝒓 +
𝟏
𝟐
−𝒋𝝎𝟐𝝁𝒐𝜺𝒐𝜺𝒓
√𝒌𝒄𝟐 − 𝝎𝟐𝝁𝒐𝜺𝒐𝜺𝒓
 
Desde que, 
𝒌𝒄
𝟐 − 𝝎𝟐𝝁𝒐𝜺𝒐𝜺𝒓 = −𝜷
𝟐 
√𝒌𝒄𝟐 − 𝝎𝟐𝝁𝒐𝜺𝒐𝜺𝒓 = −𝒋𝜷 
𝜸 = 𝒋𝜷 +
𝟏
𝟐
𝝎𝟐𝝁𝒐𝜺𝒐𝜺𝒓𝒕𝒂𝒏 (𝜹)
𝜷
= 𝒋𝜷 + 𝜶𝒅 
 
A equação(3.28) mostra que quando a perda é pequena a constante de fase β, não muda, 
enquanto a constante de atenuação devido ao dielétrico é, 
𝜶𝒅 =
𝟏
𝟐
𝝎𝟐𝝁𝒐𝜺𝒐𝜺𝒓𝒕𝒂𝒏(𝜹)
𝜷
 
𝑵𝒑
𝒎
 (𝒑𝒂𝒓𝒂 𝑻𝑬 𝒆 𝑻𝑴) 
 
Este resultado aplica a qualquer onda TE ou TM. 
Para a onda TEM 
𝜶𝒅 =
𝟏
𝟐
𝝎√𝝁𝒐𝜺𝒐𝜺𝒓 𝒕𝒂𝒏 (𝜹)
𝜷
 
𝑵𝒑
𝒎
 (𝒑𝒂𝒓𝒂 𝑻𝑬𝑴 ) 
 
 
3.2 Guia de Placas Paralelas 
Considerando um guia de onda de placas paralelas como mostrado na Fig.3.2. Na 
geometria W é assumido ser muito maior do que d, tal que a variação com x seja 
pequena. 
 
57 
 
 
Figura 3.2 Geometria de um guia de onda de placas paralelas 
 
Ondas TM 
 
Neste caso Hz =0 e Ez satisfaz a equação (3.25), com 𝜕 𝜕𝑥⁄ = 0. 
 
A solução é do tipo, 
 
As condições de contorno são dadas por, 
 
Isto implica que B=0 e kcd = nπ para n= 0,1,2,3,.....ou , 
 
 
 
58 
 
 
 
O valor de β é positivo se k > kc . A frequência de corte ocorre quando β =0. Temos 
então que usando a igualdade k = kc , podemos calcular a frequência de corte, que é 
dada por, 
2𝜋𝑓𝑐√𝜇𝜖 =
𝑛𝜋
𝑑
 
 
 
A velocidade de fase de um guia de onda é dada por, 
 
 
O comprimento de onda de um guia é definido por, 
 
 
 
Os modos de um guia de onda podem ter uma interessante interpretação quando vistos como um 
par de ondas plana. Por exemplo, considerando uma onda TM1 com, 
 
 
59 
 
e o campo Ez, 
 
 
Podemos escrever, 
 
 
O resultado está na forma de duas ondas planas viajando nas direções de –y , +z e +y, +z, 
respectivamente como mostrado na Fig. abaixo. 
O ângulo θ de cada onda com o eixo z satisfaz a relação, 
 
 
Tal que 
(𝜋 𝑑⁄ )2 + 𝛽1
2 = 𝑘2 
Para f > fc , β é real e menor do que k1. 
 
 
Figura 3.3 Interpretação da propagação em um guia de placas paralelas do modo TM1 
 
 
Modo TE 
O modo TE, caracterizado por, Ez = 0, pode também propagar em placas paralelas. 
Com, 
𝜕 𝜕𝑥⁄ = 0 
60 
 
 
Hz precisa obedecer a seguinte equação, 
 
 
Sabemos que, 
 
A solução geral da Eq. (3.62) é dada por, 
 
 
A partir da Eq. (3.19c), 
 
As condições de contorno são: 
𝐸𝑥 = 0 𝑒𝑚 𝑦 = 0 ; 𝑒 𝐸𝑥 = 0 𝑒𝑚 𝑦 = 𝑑 
 
Pelas condições de contorno A=0 e 
 
 
A solução para Hz é dada por, 
 
 
Os campos transversais podem ser obtidos a partir da Eq. (3.19), 
61 
 
 
 
A constante de propagação é dada por, 
 
 
A frequência de corte é dada por, 
 
O fluxo de potência no guia de onda é dado por, 
 
 
A atenuação devido ao dielétrico é dada pela Eq.(3.29). É deixado como exercício que a 
atenuação devido a perda do condutor no modo TE é dada por, 
 
 
A Fig. 3.4 mostra a atenuação devido ao condutor no guia de onda de placas paralelas. 
62 
 
 
Figura 3.4 Atenuação devido as perdas do condutor para os modos TEM, TM1, e TE1 em um 
guia de onda de placas paralelas. 
 
Tabela 3.1 Sumário de um guia de onda de placas paralelas 
 
63 
 
3.3 Guias de Ondas Retangulares 
Onda TE 
Os modos TE são caracterizados pelo campo Ez = 0, enquanto Hz precisa satisfazer a 
equação reduzida (3.1). 
 
 
Com 
𝑯𝒛(𝒙, 𝒚, 𝒛) = 𝒉𝒛(𝒙, 𝒚)𝒆
−𝒋𝜷𝒛 
𝑘𝑐
2 = 𝑘2 − 𝛽2 é o número de onda de corte. A equação diferencial parcial (3.73) pode 
ser resolvida pelo método de separação de variáveis fazendo, 
 
Substituindo na equação (3.73), temos, 
 
 
Pela técnica de separação de variáveis cada termo da equação (3.75) precisa ser 
constante, tal que podemos definir estas constantes como kx , ky , e equação (3.75) pode 
ser convertida nas duas equações abaixo, 
 
 
 
 
64 
 
 
Figura 3.7 – Estrutura de um guia de onda 
 
A solução geral para hz posse então ser escrita como, 
 
 
O cálculo das constantes em (3.78) pode ser feito utilizando as condições de contorno 
do campo elétrico tangencial nas paredes do guia de onda. Isto é, 
 
Utilizando as equações (3.19c) e (3.19d), podemos achar ex e ey a partir de hz , 
 
 
Então pelas equações (3.79a) e (3.80b) podemos ver que : 
D=0, 𝒌𝒚 = 𝒏𝝅 𝒃 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒏 = 𝟎, 𝟏, 𝟐, … .⁄ 
Pelas equações (3.79b) e (3.80b) temos: 
B=0 e 𝒌𝒙 = 𝒎𝝅 𝒂 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒎 = 𝟎, 𝟏, 𝟐, … .⁄ 
A solução final para Hz é, 
 
65 
 
 
Sendo Amn é uma constante arbitrária composta das constantes A e C. As componentes 
transversais do modo TEmn pode ser achadas usando (3.19) e (3.81), 
 
 
Para haver propagação é necessário que, 
 
Na frequência de corte temos que k = kc. 
Cada modo ( combinação de m e n) então tem frequência de corte fcmn dada por, 
 
 
O modo com menor frequência de corte é chamada de modo dominante: desde que 
temos a > b , a menor frequência ocorre para o modo TE10 ( m=1, n=0): 
 
 
O comprimento de onda do guia é definida como a distância entre dois planos de mesma 
fase ao longo do guia, e é igual a, 
 
66 
 
 
O qual é maior que λ, o comprimeno de onda da onda plana no vácuo. A velocidade de 
fase é , 
 
As equações (3.81) e (3.82) para o caso de m=1 e n=0 dão os seguintes resultados para o 
modo TE10 , 
 
Temos ainda as relações para o modo TE10 
 
 
O fluxo de potência é dado por, 
 
 
A perda de potência por unidade de comprimento devido a condutividade nas paredes é 
dada por (1.131), 
67 
 
 
 
Sendo Rs a resistência da superfície, e C a integral de contorno que engloba o perímetro 
do guia de onda. Se calcularmos a potência perdida em x=0, e y=0 e dobramos sua soma 
obteremos a perda de potência. A corrente de superfície em x=0 (esquerdo) da parede é , 
 
Enquanto a corrente e y=0 (base), 
 
Substituindo (3.94) em (3.93) teremos, 
 
 
 
A atenuação devido à perda no condutor para o modo TE10 é então, 
 
 
 
68 
 
 
Figura 3.8 Atenuação de vários modos de propagação de um guia retangular de bronze com 
a=2.0 cm. 
 
Modo TM 
Os modos TM são caracterizados pelos campos com Hz = 0, equanto Ez precisa 
satisfazer a equação (3.25), 
 
A solução geral é dada por, 
 
 
As condições de contorno são, 
 
Aplicando as condiçoes de contorno(3.99a) a (3.98) obtemos A=0, kx = mπ/a para 
m=1,2,3.... Similarmente aplicando (3.99b) a (3.98) obtemos C=0, ky = nπ/b para 
n=1,2,3. 
 
69 
 
A solução para Ez reduz a equação, 
 
 
Bmn é uma constante. 
As componentes transversais para o modo TMmn pode ser calculadas pela equação 
(3.23) e (3.100), 
 
 
 
 
 
Tabela 3.2 Sumário do resultado do guia retangular 
70 
 
 
Importante observar que as componentes para E e H nas equações (3.101) são 
identicamente zero se m ou n for zero. Então não há os modos TM00, TM01 ou TM10 e o 
modo de mais baixa propagação para a onda TM é o modo TM11 , tendo a frequência de 
corte, 
 
Exemplo 3.1 Características de um guia de onda retangular. 
Considere um guia retangular de cobre com meio de propagação de teflon, tendo as 
dimensões a = 1,07 cm e b = 0,43, funciona na banda K. Ache as frequências de corte 
dos primeiros modos de propagação. Se a frequência de operação é de 15 GHz, ache as 
atenuações devido ao dielétrico e perdas no condutor. 
71 
 
Solução 
Utilizando tabelas(anexo do Pozar) para o teflon 𝜖𝑟 = 2,08 e tanδ = 0,0004. A partir da 
equação (3.84) a frequência de corte é dada por, 
 
 
 
Os modos TE10, TE20, TE01, TE11 e TM11 são os primeiros modos a se propagar. Em 15 
GHz, β = 345,1 m-1 , e a constante de propagação do modo TE10 é, 
 
 
 
A partir de (3.29), a atenuação devido ao dielétrico é, 
 
A resitência superficial do cobre das paredes é ( 𝜎 = 5,8𝑥107𝑆/𝑚) 
 
 
 
E a atenuação devido ao condutor é dada pela equação (3.96), é 
72 
 
 
 
Modos TEm0 para um guia parcialmente carregado 
Os resultados anteriores se aplicam quando o guia é preenchido com um material 
homogêneo, mas em vários casos práticos ( tal como casamento de impedância) um guia 
de onda parcialmente preenchido poderá ser usado, como mostrado na Fig. abaixo. 
 
 
Figura 3.10 Geometria de um guia de onda retangular parcialmente carregado. 
 
Desde que a geometia é uniforme na direçãoy e n=0, os modos TEm0 não possui 
dependência com y. Então a Eq. (3.21) para hz pode ser escrita separadamentepara o 
dielétrico e a região com ar como, 
 
Sendo kd e ka o número de onda de corte para o dielétrico e região de ar, definida como, 
 
73 
 
A constante de propagação β precisa ser a mesma em ambas as regiões para assegurar o 
casamento de fase ao longo da interface x = t. As soluções para as Eqs. (3.105) pode 
seer escritas como, 
 
 
 
Agora temos necessitamos as componentes �̂� 𝑒 �̂� para aplicar as condições de contorno 
em x=0, t e a. Ez =0 para os modos TE, e Hy = 0. Ey é achado da Eq.(1.19a) desde que 
𝜕 𝜕𝑥⁄ = 0. Ey é achado pela Eq.(3.19d) como, 
 
Para satisfazer as condições de contorno que Ey=0 em x=0 requer que B=D=0. 
Precisamos agora focar na continuidade do campo tangencial (Ey,Hz) em x=t. Eq. 
(3.107) e (3.108) então fornece o seguinte: 
 
Desde que este é um sistema de equações homogêneas, o determinante precisa ser nulo. 
Então, 
 
Usando a Eq. (3.106) permite que ka e kd precisa ser expressa em termos de β, tal que 
(3.109) pode ser resovida numericamente em termos de 𝛽. 
 
 
 
74 
 
3.4 Guia de Onda Cilíndrico 
Considerando um guia cilíndrico como mostrado na Fig. 3.11a. Para calcular os campos 
neste caso precisamos trabalhar com um sistema de coordenadas cilíndricas. 
 
 
Figura 3.11a Geometria de um guia de onda circular 
 
As relações para as coordenadas cilíndricas para gradiente, divergente e rotacional são: 
 
 
 
 
 
 
 
 
75 
 
Funções de Bessel 
 
As funções de Bessel são soluções da equação diferencial, 
 
 
 
 
Send k2 real e n um número inteiro. As suas soluções independentes para esta equação 
são as funões de Bessel de primeira e segunda espécie, escrita como 𝐽𝑛(𝑘𝜌) e 𝑌𝑛(𝑘𝜌) tal 
que a solução geral para (C.1) é dada por, 
 
 
 
Sendo A e B valores arbitrários constantes que depende das condições de contorno. 
 
 
Estas funções podem ser escritas na forma de série, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Os gráficos das funções de Bessel de primeira espécie Jn(x) e de segunda espécie Yn(x) 
são dados nas Figuras 3.11b. Nota se que a função de Bessel de segunda espécie tende a 
infinito quando x tende a zero. 
76 
 
 
 
Figura 3.11b-Funções de Bessel 
 
De maneira similar ao que foi desenvolvido em (3.1) os campos em coordenadas 
cilíndricas podem ser escritos como, 
 
 
 
 
77 
 
Modo TE 
Para o modo TE, Ez=0 e Hz é solução da equação, 
 
 
Se 
 
Temos, 
 
Usando o método da separação de variáveis, 
 
E substituindo em (3.112) obteremos, 
 
 
O lado esquerdo da equação depende apenas de 𝜌 (não de ∅) enquanto o lado direito 
depende apenas de ∅. Então cada lado precisa ser uma constante, que chamaremos de 
𝑘∅
2. Então, 
78 
 
 
 
 
A solução geral para (3.115) é 
 
Desde que a solução para hz, precisa ser periódica em ∅( que é 
 
𝑘∅ precisa ser um inteiro n. Então (3.117) torna, 
 
Enquanto (3.116) torna, 
 
 
Que é reconhecida como Equação diferencial de Bessel. A solução é dada por, 
 
Sendo Jn(x) e Yn(x) são funções de Bessel de primeira e segunda espécie, 
respectivamente. Desde que 𝑌𝑛(𝑘𝑐𝜌) torna infinito em 𝜌 = 0, este termo é fisicamente 
inaceitável par um guia de onda circular, tal que D=0. A solução para hz pode ser escrita 
como, 
79 
 
 
Desde que Ez =0, precisamos ter, 
 
Da Eq.(3.110b) precisamos achar 𝐸∅ a partir de Hz como, 
 
Sendo refere se a derivada de Jn com respeito ao argumento. Para 𝐸∅ anular 
em 𝜌 = 𝑎, podemos escrever, 
 
Se as raízes de 𝐽𝑛
′ (𝑥) são definidas 𝑝𝑛𝑚
′ , tal que 𝐽𝑛
′ (𝑝𝑛𝑚
′ ) = 0, sendo 𝑝𝑛𝑚
′ a mésima raiz 
de 𝐽𝑛
′ (𝑥), então kc precisa ter o valor, 
 
 
Os valores de 𝑝𝑛𝑚
′ dados em tabela matemática; alguns valores são dados na Tabela 3.3. 
 
Os modo TEmn são então definidos pelo número de onda de corte 
 
Sendo n é o número da variação circular de (∅), e m é número da variação radial (𝜌). 
A constante de propagação do modo TEnm é dada por, 
80 
 
 
 
Com frequência de corte, 
 
Os campos transversais são: 
 
 
De diferentes pontos de vista, o sistema de coordenadas pode ser rodado sobre o eixo z 
para obter hz, com ou A=0 ou B=0. 
Agora consideremos um modo dominante TE11 com uma excitação tal que B=0. Os 
campos agora podem ser escritos para o modo TE11 como, 
 
81 
 
O fluxo de potência no guia de onda é dado por, 
 
 
A atenuação devido ao dielétrico é dada por (3.2). A atenuação devido a perda no 
condutor pode ser achado por, 
 
 
A constante de atenuação é dada por, 
 
 
82 
 
Modo TM 
Para o modo TM a equação da onda fica, 
 
Sendo, 
 
 
A solução da equação (3.134) para ez fica, 
 
 
O campo Ez precisa obedecer a identidade, 
 
 
Podemos então escrever, 
 
 
 
83 
 
 
Temos que, 
 
 
A frequência de corte será dada por, 
 
Os campos transversais são dados por, 
 
 
Figura 3.12 Atenuação de vários modos em um guia de cobre circular com a=2,54cm. 
84 
 
 
 
Figura 3.13 Frequência de corte dos primeiros modos de um guia circular TE e TM rela.tivo a 
frequência de corte do modo dominante TE11 
 
 
Exemplo 3.2 Características de um guia de onda cilíndrico 
Ache a frequência de corte dos dois primeiros modos de propagação de um guia 
cilíndrico de teflon com a=0,5 cm. Se o interior do guia é banhado a ouro, calcule a 
perda em dB para o caso do comprimento do guia ser de 30 cm e operando em 14 GHz. 
Solução: 
Da Fig.3.13, os dois primeiros modos de propagação do guia circular são 
TE11(p´11=1.841) e T01(p´01 = 2.405). As frequências de corte são calculadas 
pelas Eqs. (3.17) e (3.140): 
 
Somente o modo TE11 propaga em 14 GHz. O número de onda é 
 
A constante de propagação é, 
 
A atenuação do dilétrico é dada por, 
85 
 
 
O ouro possui condutividade de : 
𝝈 = 𝟒. 𝟏 ∗ 𝟏𝟎𝟕(𝑺 𝒎⁄ ) 
 
A resistência de superfície é dada por, 
 
A atenuação devido ao condutor é dada por, 
 
A atenuação total é dada por, 
 
A atenuação em 30 cm de guia é dada por, 
Atenuação(dB) = α(dB/m) x L(m) = (2.07)(0.3) = 0.62 dB 
 
 
3.6 Onda de superfície em um dielétrico aterrado. 
Modo TM 
A Figura 3.18 mostra a geometria de um dielétrico aterrado como guia de onda. 
Assumindo a propagação na direção +z com fator de propagação 𝑒−𝑗𝛽𝑧 e 𝜕 𝜕𝑦 = 0.⁄ 
 
86 
 
 
Figura 3.18 Geometria de um dielétrico aterrado 
 
O campo Ez precisa satisfazer a equação (3.25) em cada região, 
 
𝒌𝒄
𝟐 = 𝒌𝟐 − 𝜷𝟐 
𝒌𝟐 = 𝝐𝒓𝒌𝒐
𝟐 
 
 
Definimos o número de onda de corte, 
 
A solução geral será, 
 
 
87 
 
As condições de contorno são: 
 
 
A partir de (3.23), Hz = 0, Ey = Hz = 0. As condições acima no fornecem B=0, C=0. A 
continuidade do campo Ez, dada por, 
𝑒𝑧 = 𝐴𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑐𝑥) ; 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑑 
𝑒𝑧 = 𝐷𝑒
−ℎ𝑥 ; 𝑑 ≤ 𝑥 ≤ ∞ 
nos fornece, 
 
Aplicando a continuidade em Hy obteremos nas duas interfaces, 
 
𝐻𝑦 = −
𝑗𝜔𝜖
𝑘𝑐2
𝜕𝐸𝑧
𝜕𝑥
 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑑 
𝐻𝑦 = −
𝑗𝜔𝜖𝑜
ℎ2
𝜕𝐸𝑧
𝜕𝑥
 𝑑 ≤ 𝑥 ≤ ∞ 
Para x=d, temos que é campo é contínuo, isto é, 
−
𝑗𝜔𝜖
𝑘𝑐2
𝐴𝑘𝑐 cos(𝑘𝑐𝑑) = −
𝑗𝜔𝜖𝑜
ℎ2
ℎ𝑒−ℎ𝑑 (1.64) 
Ou ainda temos, 
 
Dividindo a Eq. (3.64a) pela Eq. (1.64) obtemos, 
 
Eliminando β, em 161a, 161b, 
88 
 
 
As equações (1.165) e (1.166) constituem um conjunto de equações transcendentais 
simultâneas que precisam ser resolvidas para kc e h, dado ko e ϵr . Estas equações são 
resolvidas numericamente, mas o gráfico abaixo mostra uma representação da solução 
gráfica. Multiplicando a equação (3.166) por d2 nos dá, 
 
Multiplicando (3.165) por d, 
 
 
Figura 3.19 Solução gráfica da equação transcendental para a frequência de corte de uma onda 
de superfície TM de um dielétrico aterrado. 
A frequência de corte do modo TEm pode ser derivada como, 
 
 
Uma vez kc e h tenham sido determinados os campos são dados por, 
 
89 
 
 
3.7 Linha de Fita 
Uma linha de fita é uma linha de transmissão plana pode ser feita em circuitointegrado 
como mostrado na Fig. 3.22. Uma fita condutora é colocada no centro de duas placas 
condutoras separadas por uma distância b, em que a região entre as placas condutoras é 
preenchida por dielétrico. 
 
 
 
Figura 3.22 Linha de transmissão linha de fita . (a) Gemetria. (b) Linhas de campo magnético e 
elétrico. 
 
 
 
Fórmulas para a constante de propagação, impedância característica e atenuação. 
Pela seção 3.1 sabemos que a velocidade de fase do modo TEM é dada por, 
 
90 
 
 
Então a constante de propagação da linha de fita é, 
 
 
A impedância característica é dada por de uma linha de transmissão é dada por, 
 
 
Conhecendo o valor da capacitância podemos calcular o valor da impedância 
característica. O cálculo exato pode ser feito utilizando a equação de Poisson, mas é de 
grande complexidade. Fórmulas de fácil utilização podem ser usadas. Neste caso a 
impedância característica é dada por, 
 
Sendo We a largura efetiva da fita dada por, 
 
 
Em projetos de linha de transmissão é desejado calcular a largura da linha dado a 
impedância característica, então precisamos usar a expressão (3.179b) de forma inversa. 
Tais fórmulas são, 
91 
 
 
 
A atenuação pode ser calculada pelo método de Wheeler, 
 
Com, 
 
 
t = a espessura da fita. 
 
Exemplo 3.5 - Linha de Fita 
Ache a largura de uma linha de fita de cobre com impedância de 50 Ohms, com b= 
0,32cm ϵr = 2,20. Se a tangente de perda do dielétrico é 0,001 e frequência de 10 GHz, 
calcular a atenuação em dB/λ. Assuma a espessura do condutor t=0,01mm. 
Solução 
 
 
 
92 
 
 
Na frequência de 10 GHz, 
 
A atenuação dielétrica é, 
 
A atenuação do condutor é, para a onda TEM, 
 
 
A = 4,74 
 
 
 
3.8 Micro Fita 
Uma micro fita é uma das mais populares linhas de transmissão planar, porque pode ser 
fabricada com facilidade por um processo de fotolito. A geometria de um micro fita é 
mostrada na Figura 3.25, 
 
93 
 
 
Figura 3.25 Linha de transmissão micro fita. (a) Geometria. (b) Linhas de campo 
elétrico e magnético. 
 
 
Fórmula para a constante dielétrica efetiva, impedância característica, e 
atenuação. 
 
A constante dielétrica efetiva de um micro fita é dada por, 
 
A impedância característica é dada por, 
 
 
Para uma dada impedância característica Zo, podemos calcular a relação da largura da 
fita e espessura da fita é dada por, 
94 
 
 
Sendo, 
 
A atenuação devido a perda no dielétrico é dada por, 
 
 
 
A atenuação devido a perda no condutor é dada por, 
 
Sendo, 
 
 
Exemplo 3.7 Exemplo de micro linha 
Calcular a largura e comprimento de um micro fita para 50 Ω de impedância 
característica e uma mudança de fase de 90o em 2,5 GHz. A espessura do substrato é d 
=0,127cm com ϵr = 2,20. 
Solução 
Para Zo = 50 Ω , podemos supor que W/d > 2 e, 
 
95 
 
𝑊 = 3,081𝑑 = 0,391 𝑐𝑚 
 
 
 
 
Problemas 
3.4 Calcule a atenuação do modo TE10, em dB/m, para um guia de onda na banda K operando 
em f=20GHz. O guia de onda é feito de bronze, e cheio com um dielétrico tendo ϵr = 2.2 e tanδ 
= 0.002. Obs. Usar a tabela para achar as dimensões do guia. 
3.8 Uma atenuador pode ser feito usando um guia de onda operando abaixo da frequência de 
corte, como mostrado abaixo. Se a = 2.286 cm e opera na frequência de 12 GHz, determine o 
tamanho da seção do guia que funciona abaixo do corte para atingir uma atenuação de 100 dB 
entre a entrada e saída. Desprezar o efeito das reflexões nas descontinuidades. 
 
3.8 Para um guia retangular mostrado abaixo, resolva (1.309) com β =0 para achar a frequência 
de corte do modo TE10. Assuma a=2,286 cm, t= a/2, ϵr =2.25. 
96 
 
 
3.13 Considere um guia de onda circular com a=0.8 cm, e cheio com um dielétrico tem material 
com ϵr = 2.3. Calcule a frequência de corte e os primeiros modos de propagação. 
3.19 Projete uma linha de transmissão stripeline com impedância característica 70Ω. O plano de 
terra é separado por 0.316 cm, e constante dielétrica de 2.2. Qual o comprimento de onda do 
guia na linha de transmissão se a frequência é de 3.0 GHz. 
3.20 Projete uma linha de transmissão microstrip de impedância característica de 100Ω. O 
substrato tem espessura de 0.158 cm, com ϵr = 2.20. Qual é o comprimento de onda nesta linha 
se f=4 GHz. 
3.27 Um guia de onda cheio com dielétrico teflon opera em 9,5 GHz. Calcule a velocidade da 
luz neste material e a velocidade de fase e grupo no guia de onda. 
 
 
 
 
CAPÍTULO 4 
ANÁLISE DE REDES DE MICRO-ONDAS 
 
4.1 Matriz Impedância e Admitância 
Começando considerando uma rede de micro-ondas de N portas como mostrado na Fig. 
4.5. As portas da Fig. 4.5 podem ser qualquer tipo de linha de transmissão ou guia de 
onda. Na entrada de uma porta n-ésima a tensão e corrente é a soma do sinal de entrada 
ou incidente e sinal de saída ou refletido, que de acordo com a Fig. abaixo são dadas 
por, 
 
97 
 
 
Sendo a corrente e tensão da onda incidente 𝐼𝑛
+ , 𝑉𝑛
+ e a corrente e tensão da onda 
refletida 𝐼𝑛
− , 𝑉𝑛
− . 
A matriz impedância [Z] de uma rede de microonda relaciona tensão com corrente dada 
por, 
 
(4.25) 
 
 
 
Figura 4.5 Uma rede de microondas de N portas 
 
 
98 
 
Na forma matricial temos, 
 
De maneira similar a podemos definir a matriz admitância, [Y] como, 
 
 
 
 
 
Na forma matricial, 
 
A relação entre a impedância [Z] e admitância [Y] é dada por, 
 
 
 
 
A partir da Eq.(4.25), podemos escrever, 
 
 
Em outras palavras, (4.28) estabelece que Zij pode ser achada introduzindo uma corrente 
Ij na porta j e abrindo todas as outras portas ( tal que Ik = 0 para 𝑘 ≠ 𝑗), e medindo a 
voltagem de circuito aberto na porta i. Então Zii, é a impedância de entrada vista pela 
99 
 
porta i quando todas as outras portas são circuito aberto, e Zij é a impedância de 
transferência entre as portas i e j quando todas as outras portas estiverem abertas. 
A partir da Eq. (4.26) temos, 
 
 
Exemplo 4.3 Cálculo dos parâmetros da impedância 
Ache os parâmetros Z de uma rede de duas portas como mostrado na Figura 4.6. 
Solução 
De (4.28), Z11 pode ser achado como uma impedância de 1 porta quando a porta 2 é 
curto circuitada. 
 
 
 
Figura 4.6 Rede T com duas portas 
 
A impedância de transferência Z12 pode ser achada medido a tensão de circuito aberto 
na porta 1 quando a corrente I2 é aplicada na porta . 
 
 
 
Podemos verificar que Z21 = Z12. Finalmente Z22 é achado, 
100 
 
 
 
4.2 Matriz Espalhamento 
Considerando um sistema de N portas mostrado na Fig.4.5, a relação entre os sinais de 
entrada(𝐼𝑛
+ , 𝑉𝑛
+) e refletido (𝐼𝑛
− , 𝑉𝑛
−)pode ser dada por, 
 
 
Cada elemento da matriz pode ser calculado por, 
 
 
 
Exemplo 4.4 Cálculo dos parâmetros da matriz espalhamento 
Ache a matriz S de um circuito atenuador de 3 dB mostrado na Fig. 4.8 quando a 
impedância característica é Zo = 50Ω. 
Solução 
Supondo uma linha colocada no início e final do circuito com impedância Z0 = 50 Ω. 
De (4.41) podemos achar o coeficiente de reflexão visto pela porta 1 quando a porta 2 é 
terminada com uma carga casada ( Zo = 50Ω). 
a- Aplicando uma tensão 𝑉1
− na porta 1, podemos calcular S11, usando a expressão, 
 
101 
 
 
Podemos calcular Zin, 
 Zin = 8.56 + [141,8(8,56+50)]/(141,8 + 8,56 + 50) = 50 Ω. 
Como Zin = Z0, então, 
𝜞(𝟏) = 𝟎 𝒆 𝑺𝟏𝟏 = 𝟎 
 
b- Para calcular S21 aplicamos uma onda incidente na porta 1, 𝑉1
+, e medindo a 
onda de saída na porta 2, 𝑉2
− . Isto é equivalente ao coeficiente de transmissão da 
porta 1 e porta 2. 
 
 
 
Como S11 =0 e a saída está casada terminada em Zo = 50Ω( 𝑉2
+ = 0), 
𝑺𝟏𝟏 = 
𝑽𝟏
−
𝑽𝟏
+ |𝑽𝟐+=𝟎 
 
 então 𝑉1
− = 0 e podemos escrever, 
𝑽𝟏 = 𝑽𝟏
+ + 𝑽𝟏
− ; 𝑽𝟏 = 𝑽𝟏
+ 
 
Pela condição de cálculo de S11, 𝑉2
+ = 0, podemos escrever então, 
102 
 
𝑽𝟐 = 𝑽𝟐
+ + 𝑽𝟐
− ; 𝑽𝟐 = 𝑽𝟐
− 
Paradeterminar 𝑉2
− = 𝑉2 aplicamos uma tensão V1 na porta 1 e usando o divisor de 
tensão achamos 𝑉2. Para determinar a tensão V2, aplicamos uma tensão V1 na porta 1 e 
usando a fórmula de um divisor de tensão, calculamos 𝑉1
′, entre as resistências de 
8.56Ω, 
 
𝑽𝟏
′ = 𝑽𝟏
𝟒𝟏. 𝟒𝟒
𝟒𝟏. 𝟒𝟒 + 𝟖. 𝟓𝟔
 
Sendo 41,44 = 141,8(58,56)/(141,8 + 58,56) é a resistência paralelo de 50 Ω e a 
resistência 8,56 Ω com a resistência de 141.8 Ω. 
Aplicando novamente um divisor podemos calcular a tensão 𝑉2 = 𝑉2
−
 
 
𝑽𝟐
− = 𝑽𝟐 = 𝑽𝟏
′
𝟓𝟎
𝟓𝟎 + 𝟖. 𝟓𝟔
 
 
 Então, 
 S21 = 0,707. 
Pela simetria, 
𝑆22 = 0 𝑒 𝑆12 = 0.707 
 
Pela simetria a potência de entrada |𝑽𝟏
+|𝟐/𝟐𝒁𝒐, então a saída é 
|𝑽𝟏
−|𝟐/𝟐𝒁𝒐 = 
|𝑺𝟐𝟏𝑽𝟏
+|
𝟐
𝟐𝒁𝒐
= 
|𝑽𝟏
+|
𝟐
𝟒𝒁𝒐
 
que é metade da potência de entrada. 
Mostraremos que a matriz espalhamento pode ser determinada de [Z] ou [Y] e vice 
versa. Assumiremos que a impedância característica, Zon, de todas as portas é idêntica. 
Então por conveniência podemos fazer Zon = 1. 
Como, 
103 
 
𝑰𝒏 =
𝑽𝒏
𝒁𝒐𝒏
 
 De (4.24) a voltagem e corrente total na n-ésima porta são dadas por, 
 
Usando a definição de [Z] de (4.25) com (4.42) dá, 
 
A qual pode ser escrita como, 
[𝒁][𝑽+] − [𝑽+] = [𝑽−] + [𝒁][𝑽−] 
(𝒁 − 𝑼)𝑽+ = (𝒁 + 𝑼)𝑽− 
Ou, 
 
Sendo [U] matriz identidade definida como, 
 
 
Usando (4.40) em (4.43) podemos escrever, 
([𝒁] + [𝑼])[𝑺][𝑽+] = ([𝒁] − [𝑼])[𝑽+] (𝟒. 𝟒𝟑𝒂) 
 
Ou ainda, 
 
104 
 
Dando a matriz espalhamento em termos da matriz impedância. Note que que a rede 
(4.44) reduz a 
 
 
Para achar [Z] em termos de [S], reescrevemos (4.33a), na forma 
([𝒁] + [𝑼])[𝑺] = ([𝒁] − [𝑼]) 
[𝒁][𝑺] + [𝑼][𝑺] = [𝒁] − [𝑼] 
[𝒁][𝑺] − [𝒁] = −[𝑼][𝑺] − [𝑼] 
[𝒁]([𝑼] − [𝑺]) = [𝑼][𝑺] + [𝑼] 
Finalmente, 
 
 
 
 
 
Rede recíproca e rede sem perdas 
Como discutido na seção 4.2, as matrizes impedância e admitância são simétricas para a 
rede recíproca, e são puramente imaginária pra redes sem perdas. A matriz 
espalhamento para estes casos particulares de redes tem propriedades especiais. 
Mostraremos que a matriz espalhamento para redes recíprocas é simétrica, e que a 
matriz espalhamento para redes sem perdas é unitária. 
Adicionando (4.42a) e (4.42b) obteremos, 
 
[𝐼] = 2([𝑍] + [𝑈])−1[𝑉+] (4.46) 
105 
 
Por subtração (4.42a) e (4.42b) 
 
 
Substtituindo [I] de (4.64) em (4.46b) e usando, 
[𝑉−] = [𝑆][𝑉+] 
Vamos obter, 
 
Fazendo a transposta de (4.47), temos 
 
Sabemos que [U]𝑡 = [𝑈], e se [Z] é recíproca então [Z] é simetrica, tal que [𝑍]𝑡 = [𝑍], 
então, 
 
[𝑆]𝑡 = {([𝑍] + [𝑈])−1}𝑡([𝑍] − [𝑈])𝑡 = ([𝑍]𝑡 + [𝑈]𝑡)−1([𝑍]𝑡 − [𝑈]𝑡)
= {([𝑍] + [𝑈])−1}([𝑍] − [𝑈]) = [𝑆] 
 
A qual é equivalente a (4.44). Temos então mostrado que, 
 
 
Então a matriz espalhamento é simétrica para redes recíprocas. 
106 
 
Se a rede é sem perdas, nenhuma potência real pode ser entregue a rede. Então, se a 
impedância característica de todas as portas são idênticas e assumida ser unitária, a 
potência média entregue a rede é, 
 
 
 
Desde que os termos −[𝑉+]
𝑡[𝑉−]∗ + [𝑉−]𝑡[𝑉+]∗ são da forma A-A* , sendo puramente 
imaginário. Os termos restantes da Eq.(4,49) representam a onda incidente e a onda 
refletida. Se a rede é sem perda a potência média se anula como mostrado na Eq.(4.49). 
Então podemos intuitivamente dizer que, 
 
Usando [𝑉−] = [𝑆][𝑉+] em (4.50) temos, 
 
 
Tal que, para não zero [𝑉+] 
 
 
Uma matriz que satisfaz a condição (4.51) é chamada de matriz unitária. 
A matriz da Eq.(4.51) pode ser escrita na forma de somatória, 
 
107 
 
 
Sendo 𝛿𝑖𝑗 = 1 𝑠𝑒 𝑖 = 𝑗, 𝑒 𝛿𝑖𝑗 = 0, 𝑠𝑒 𝑖 ≠ 𝑗 é o delta Kronnecker. Então se i =j, (4.52) 
reduz a, 
 
 
 
 
Em outras palavras, (4,53a) estabelece que produto escalar de qualquer coluna de [S] 
com o seu conjugado da mesma coluna dá a unidade, enquanto (4.53b) estabelece que o 
produto escalar de qualque coluna com o conjugado de uma coluna diferente dá zero( as 
colunas são ortogonais). De (4.51) podemos também ter que 
[𝑆][𝑆]∗𝑡 = [𝑈] 
Então a mesma afirmação pode ser feita para as colunas da matriz espalhamento. 
 
Exemplo 4.5 Aplicação dos parâmetros espalhamento 
Uma rede de duas portas tem a seguinte matriz espalhamento: 
 
 
Determine se a rede é recíproca e sem perdas. Se a porta 2 é termina com uma carga 
casada, qual é a perda de retorno vista pela porta 1? Se a porta 2 é terminada com um 
curto circuito, qual é a perda de retorno vista pela porta 1? 
 
Solução 
108 
 
1-Como [S] não é simétrica, a rede não é recíproca. Para ser sem perda, os parâmetros 
espalhamento precisam satisfazer(4.53). Pegando a primeira coluna [ i=1 em (4.53a)] 
fornece 
 
 
Tal que a rede não é sem perdas. 
2-Quando a porta 2 é terminada com carga casada, o coeficiente de reflexão visto na 
porta 1 é 𝛤 = 𝑆11 = 0.15. A perda de retorno é, 
 
 
 
3-Quando a porta 2 é terminada com um curto, o coeficiente de reflexão visto na porta 1 
pode ser achado como segue. Da definição da matriz de espalhamento e o fato que 
𝑉2
+ = −𝑉2
− ( para um curto na porta 2), podemos escrever, 
 
A segunda equação fornece, 
 
 
Dividindo a primeira equação por 𝑉1
+ e usando as equações acima resultam no 
coeficiene de reflexão visto na porta 1 como, 
 
 
Então a perda de retorno é 𝑅𝐿 = −20𝑙𝑜𝑔|𝛤| = −20 log(0.45) = 6.9 𝑑𝐵 
109 
 
 
Matriz de transmissão ( ABCD) 
Os parâmetros Z,Y e S podem ser usados para caracterizar uma rede micro-ondas com 
arbitrário número de portas, mas na prática vários redes consiste de uma cascata de 
conexões de duas ou mais redes de duas portas. Neste caso é conveniente definir uma 
matriz de transmissão 2x2 ou matriz ABCD. 
A matriz ABCD é definida para duas portas em termos da tensão total e correntes é 
mostrado na Fig. 
 
 
 
 
 
Para o caso de duas redes em cascata 
 
 
Figura 4.11 (a) Rede de duas portas;(b) uma conexão em cascata de duas portas. 
 
 
110 
 
 
 
 
 
Exemplo 4.6 Cálculo de parâmetros ABCD 
Ache os parâmetros ABCD de redes de duas portas consistindo de uma impedância em 
série Z entre as portas 1 e 2. 
Solução 
 
 
 
 
Exemplo: 
Calcular os parâmetros A,B,C,D de uma linha de transmissão aberta. 
Solução 
Para uma linha de transmissão a voltagem e corrente são dadas por: 
𝑉(𝑧) = 𝑉𝑜
+(𝑒−𝑗𝛽𝑧 + 𝛤𝑒𝑗𝛽𝑧) 
111 
 
𝐼(𝑧) = 
𝑉𝑜
+
𝑍𝑜
(𝑒−𝑗𝛽𝑧 − 𝛤𝑒𝑗𝛽𝑧) 
Para determinar o valor de A usamos a equação, 
𝐴 = 
𝑉1
𝑉2
|𝐼2=0 
Para este caso o circuito está aberto, então Γ =1 e, 
𝑉1 = 𝑉(−𝑙) = 2𝑉𝑜
+cos (𝛽𝑙) 
𝑉2 = 𝑉(0) = 𝑉𝑜
+(𝑒−𝑗𝛽0 + 𝑒𝑗𝛽0) = 2𝑉𝑜
+ 
𝐴 = 
𝑉1
𝑉2
|𝐼2=0 = cos (𝛽𝑙) 
Para determinação de B, usamos a equação, 
𝐵 =
𝑉1
𝐼2
|𝑉2=0 
Para este caso Γ = -1 e, 
𝑉1 = 𝑉(−𝑙) = 𝑉𝑜
+2𝑗𝑠𝑒𝑛(𝛽𝑙) 
𝐼2 = 𝐼(0) = 
2𝑉𝑜
+
𝑍𝑜
 
𝐵 = 𝑗𝑍𝑜𝑠𝑒𝑛(𝛽𝑙) 
 
 
112 
 
 
 
 
Relação com a matriz impedância 
 
 
113 
 
 
 
 
Se a rede é recíproca, então Z12 = Z21 e (4,67) pode ser usada para mostrar que AB – BC 
=1. 
 
Generalização dos parâmetros Espalhamento 
Consideramos até os parâmetros da matriz espalhamento com a mesma impedância 
característica para todas as portas. Entretanto as impedâncias de uma rede de 
multiportas podem ser diferentes. 
 
Considerando uma rede de N portas como mostrado na Fig. 4.10, sendo Zon impedância 
característica da porta n, e 𝑉𝑛
+ 𝑒 𝑉𝑛
− , respectivamente, representam as voltagens 
incidente e refletida da porta n. Definimos um novo conjunto de variáveis, 
 
Sendo na representa an onda incidente e bn representa a onda refletida na porta n. 
De 4.42a,b temos, 
 
114 
 
 
 
A potência média entregue pela porta é, 
 
 
 
 
Este resultado mostra que a potência entregue a rede é a potência incidente menos a 
potência refletida. Se expressarmosem termos de 𝑉𝑛
+ 𝑒 𝑉𝑛
− o resultado irá depender da 
impedância característica da porta n. 
A generalização da matriz espalhamento pode então ser usada para relacionar a onda 
incidente com a refletida definida em (4.57), 
 
 
Sendo que os elementos da matriz espalhamento são dados por, 
 
 
Que é análoga ao resultado (4.41) para redes com idênticas impedâncias característica 
para todas as portas. Usando (4.57) e (4.61) temos, 
 
 
115 
 
 
Exemplo 
A voltagem e corrente em uma rede de duas portas são achadas como segue: V1=10(0
0) 
V, I1=0.1(40
0), V2=12(30
0), e I2=0.15(100
0). Determine as voltagens e correntes 
incidentes e refletidas, assumindo que a impedância é 50Ω em cada porta. 
 
Solução 
Para a porta “1”, 
𝑉1 = 𝑉1
+ + 𝑉1
− 
𝐼1 = 𝐼1
+ − 𝐼1
− = 
𝑉1
+ − 𝑉1
−
𝑍0
 
Somando as equações acima obtemos, 
𝑉1
+ =
𝑉1 + 𝐼1𝑍0
2
 
Subtraindo temos, 
𝑉1
− =
𝑉1 − 𝐼1𝑍0
2
 
 
De maneira similar obtemos para a porta “2”, 
𝑉2
+ =
𝑉2 + 𝐼2𝑍0
2
 
𝑉2
+ =
𝑉2 − 𝐼2𝑍0
2
 
 
 
116 
 
𝑉1
+ =
1
2
[10(0) + 50x0.1(𝑒𝑗40
𝑜
)] = 6.91 + j1.607 
 
𝑉1
− =
1
2
[10(0) − 50x0.1 ((𝑒𝑗40
𝑜
))] = 3.085 − j1.607 
 
 
𝑉2
+ =
1
2
[12(30) + 50x0.15 ((𝑒𝑗100
𝑜
))] = 4.545 + j6.695 
𝑉2
+ =
1
2
[12(30) − 50x0.15(𝑒𝑗100
𝑜
)] = 5.8473 − j0.693 
 
 
 
Exemplo 
Ache os parâmetros S de uma impedância em série Z conectada entre as duas portas, 
como mostrado na Fig. abaixo. 
 
 
Solução 
Supondo impedância de carga igual a Z0, a impedância de entrada Zi, 
𝒁𝒊 = 𝒁 + 𝒁𝟎 
Havendo casamento de impedância, na saída, 𝑉2
+ = 0 
𝑆11 =
𝑉1
−
𝑉1
+ |𝑉2+=0 = 𝛤1|𝑉2+=0 
𝑍𝑖 − 𝑍0
𝑍𝑖 + 𝑍0
=
𝑍
2𝑍0 + 𝑍
 
De maneira similar como o circuito é simétrico, 
117 
 
𝑆22 =
𝑍
2𝑍𝑜 + 𝑍
 
Para o cálculo de S21 usamos a equação, 
𝑆21 =
𝑉2
−
𝑉1
+ |𝑉2+=0 = 
 
𝑉2 = 𝑉2
+ + 𝑉2
− = 𝑉2
− 
𝑉1 = 𝑉1
+ + 𝑉1
− = 𝑉1
+ + 𝛤1|𝑉2+=0𝑉1
+ 
Sendo V1 a voltagem na entrada da rede e a voltagem na saída ou seja na carga igual a 
V2, 
𝑉2 = 𝑉1
𝑍𝑜
𝑍𝑜 + 𝑍
 
Ou, 
𝑉1 = 𝑉2
𝑍 + 𝑍0
𝑍0
 
𝑉1 = 𝑉1
+ + 𝛤𝑉1
− = (1 + 𝛤)𝑉1
+ 
Igualando as duas equações acima, 
(1 + 𝛤1|𝑉2+=0)𝑉1
+ = 𝑉2
−
𝑍 + 𝑍0
𝑍0
 
 
(1 +
𝑍
2𝑍0 + 𝑍
)𝑉1
+ = 𝑉2
−
𝑍 + 𝑍0
𝑍0
 
 
𝑆21 =
𝑉2
−
𝑉1
+ |𝑉2+=0 =
2𝑍0
2𝑍0 + 𝑍
= 1 −
𝑍
2𝑍0 + 𝑍
 
 
Para S12
 obteremos, 
 
𝑆12 =
𝑉1
−
𝑉2
+ |𝑉1+=0 =
2𝑍0
2𝑍0 + 𝑍
= 1 −
𝑍
2𝑍0 + 𝑍
 
118 
 
 
A matriz espalhamento S é dada por, 
 
[
𝑆11 𝑆12
𝑆21 𝑆22
] = [
𝛤1 1 − 𝛤1
1 − 𝛤1 𝛤1
] 
 
 
 
119 
 
 
 
 
120 
 
Problemas 
4.1 Derive as matrizes [Z] e [Y] para as seguintes redes: 
 
4.2 Uma rede com duas portas possui as voltagens e correntes em seguida ( Zo = 50Ω): 
 
Determine a impedância de entrada vista por cada porta, e ache a voltagem incidente em cada 
porta. 
4.3 Derive a matriz espalhamento para cada uma das linhas de transmissão sem perda mostradas 
abaixo, relativa a impedância do sistema de Zo. Verifique que cada matriz é unitária. 
 
4.4 Uma rede de quatro portas tem matriz espalhamento mostrada abaixo. 
(a) É a rede sem perdas? 
(b) É a rede recíproca? 
(c) Qual a perda de retorno na porta 1 quando todas as outras portas são terminadas com cargas 
casadas? 
 
 
121 
 
 
4.5 Uma rede de duas portas tem voltagens e correntes ( Z0 = 50Ω) : 
 
Determinar a impedância vista em cada porta, e ache a voltagem incidente e refletida em cada 
porta. 
4.6 Uma rede de quatro portas tem matriz espalhamento mostrada abaixo. Se as portas 3 e 4 são 
conectadas com uma linha de transmissão sem perda casa com um comprimento elétrico de 60o, 
ache a perda de inserção e atraso de fase entre as portas 1 e 2. 
 
4.7 Os parâmetros espalhamento de uma rede de duas portas foram medidas e são 
 
Ache os parâmetros equivalentes da impedância Z para esta rede, se a impedância característica 
é de 50Ω. 
4.8. Determine os parâmetros Z e ABCD de uma rede de duas portas mostrada na Figura P8.3 
operando em 800 MHz. 
 
 
4.9- Determine a matriz Z para uma rede de duas portas mostrada na Figura P8.4. 
122 
 
 
4.10- Uma matriz Y de uma rede de duas portas é dada por 
 
Ela é conectada em um circuito mostrado na figura P8.9. Ache as voltagens V1 e V2. 
 
 
 
4.11- Determine os parâmetros S da rede mostrada na Figura P8.15. 
 
 
 
 
4.12-Determine os parâmetros S de uma rede de duas porta em T mostrada na Figura P8.17. 
 
123 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
124 
 
CAPÍTULO 5 
CASAMENTO DE IMPEDÂNCIA 
 
A ideia básica de casamento de impedância é mostrada na Fig. 5.1, que mostra uma 
rede de casamento de impedância entre a linha de transmissão e a impedância da carga. 
Uma rede casada é idealmente uma rede sem perdas. 
 
Figura 5.1 Casamento com rede em L 
 
Derivaremos expressões analíticas para o casamento de redes com elementos para os 
dois casos mostrados na Fig. 5.2. 
 
Figura 5.2 Rede casadora tipo L 
 
Solução analítica 
Considerando a Fig.5.2a e seja ZL=RL+jXL com RL > Z0. A impedância vista na direção 
da rede casadora seguida da carga precisa ser igual a Z0 isto é, 
 
jB é admitância. 
Arranjando os termos e separando a parte real e imaginária em duas equações com as 
incógnitas X e B, temos, 
 
125 
 
Resolvendo (5.2a) para X e substituindo em (5.2b) temos uma equação quadrática em 
B. A solução é, 
 
Note se que desde que RL > Z0, o argumento da segunda raiz quadrada é sempre 
positivo. Então a reatância em série é dada por, 
 
A Eq. (5.3a) mostra que duas soluções para X e B são possíveis. Valores positivos de X 
implica em uma indutância enquanto valores negativos implica em capacitores. 
Vamos considerar agora a Fig. 5.2b. Este circuito é usado quando RL > Z0. A 
admitância vista na direção da carga seguida pela impedância de carga ZL =RL + jXL 
precisa ser igual a 1/Z0 para casar, 
 
Arranjando os termos e separando em duas equações de parte real e imaginária para as 
duas equações X e B: 
 
Resolvendo temos, 
 
 
Exemplo 5.1 Casamento da seção em L 
Projete uma rede de seção para casar a uma carga RC em série com impedância ZL = 
200-j100Ω com uma linha de 100Ω, na frequência de 500 MHz. 
Para frequência de 500 MHz o valor de B para o circuito 5.1a, é dado por, 
126 
 
 
B1=0.0029 
B2=- -0.0069 
 
 
X1=122.4745; 
X2= -122.4745 
𝑗𝜔𝐿1 = 𝑗𝑋1 
𝐿1 =
𝑋1
𝜔
= 3,898. 10−8 
𝑗𝜔𝐶1 = 𝑗𝐵1 
𝐶1 =
𝐵1
𝜔
= 9,33. 10−12 
 
 
Os valores de B2 e X2 são negativos, então, isto significa que X2 representa um 
capacitor, 
𝑗𝑋2 = 𝑗. (−1.224745) = −𝑗/(𝜔𝐶2) 
𝐶2 = −
1
𝑋2. 𝜔
= 2,60. 10−12 
Similarmente, 
−𝑗. 0,0069 = 1/(𝑗𝜔𝐿2) 
𝐿2 = =
1
𝐵2. 𝜔
= 4,61. 10−8 
 
 
 
127 
 
 
Figura 5.3(b) As duas seções em L do circuito casador. 
 
Os coeficientes de reflexão para os dois circuitos da Fig. 5.3b são mostrados na Fig. 
5.3c. 
 
 
Figura 5.3(c) Coeficiente de reflexão versus frequência para os circuitos da figura (b). 
 
5.2 Toco simples 
Toco simples são mostrados na Fig.5.4. Em um toco simples a sintonia é feita ajustando 
dois parâmetros que são a distância d, da carga e a posição do toco, e o valor da 
susceptância ou reatância do toco. 
A ideia básica é selecionar d tal que a admitância, Y, vista na direção da linha em uma 
distância d da carga é da forma 𝑌0 + 𝑗𝐵. Então a susceptância do toco é escolhida como 
128 
 
–jB, resultando em uma condição de casamento. Para o toco em série a distância é 
selecionado tal que a impedância, Z, vista olhando na direção da linha em uma distância 
d da carga é da forma 𝑍0 + 𝑗𝑋. Então a reatância do toco é escolhida como –jX, 
resultante em uma condição de casamento. Na distância d a admitância é Y=Yo+ jB. 
Basta agora ter um toco com susceptância tal que Bs = -B, sendo Bs a susceptância do 
toco. 
 
 
 
Figura 5.4 Toco simples (a) toco em paralelo (b) toco em série 
 
Para