GERMER, Eduardo. Máquinas de Fluxo, 2015

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MÁQUINAS 
DE 
 FLUXO 
 
 
 
 
 
 
 
PROF. EDUARDO GERMER (UTFPR-CT) CURITIBA - 2015 
1‐1 
 
1. INTRODUÇÃO	
Máquina de Fluido  (fluid machinery) é o equipamento que promove a  troca de energia entre um sistema 
mecânico e um  fluido,  transformando energia mecânica  (trabalho) em energia de  fluido ou energia de  fluido em 
energia mecânica. 
As máquinas  de  fluido  podem  ser  divididas  em  dois  grupos,  as máquinas  de  deslocamento  positivo  e  as 
máquinas de fluxo (ou turbomáquinas). A diferença entre estes dois grupos é que no primeiro o fluido fica confinado 
em alguma região do equipamento, enquanto no segundo grupo isto não ocorre, havendo fluxo contínuo através da 
máquina. Uma bomba de pistão, por exemplo, é uma máquina de deslocamento positivo, pois o fluido fica contido 
dentro do conjunto pistão/cilindro sendo submetido à variação de pressão pela variação do volume do recipiente. Já 
bombas centrífugas são máquinas de fluxo, pois o fluido escoa pelo rotor, onde recebe energia. No primeiro grupo, 
ao desligar o equipamento, o  fluido  fica confinado em  seu  interior, no  segundo grupo  isto  só ocorrerá  se houver 
algum sistema externo que o mantenha nesta condição, caso contrário escoará para fora da máquina. 
Tanto  as  máquinas  de  fluxo  como  as máquinas  de  deslocamento  positivo  podem  ser  divididas  em  duas 
classes, as máquinas hidráulicas e as máquinas térmicas. Nas máquinas hidráulicas o processo ocorre com variação 
pouco  sensível  da massa  específica  (volume  específico)  do  fluido  que  está  sendo  usado,  ou  seja,  processos  que 
podem  ser modelados como  incompressíveis.  Já nas máquinas  térmicas o  fluido  tem variação  significativa de  sua 
massa específica durante o processo de troca de energia (ex. compressores, turbinas a gás, turbinas a vapor, etc) não 
possibilitando a hipótese de fluido incompressível. 
As  máquinas  hidráulicas  trabalham  geralmente  com  água,  óleo,  e  outros  líquidos,  considerados  como 
incompressíveis nas aplicações normais. Trabalham também com o ar, que será tratado como  incompressível para 
pressões até 1 mca1, sendo neste caso chamadas de ventiladores. 
Alguma  variação  pode  ser  encontrada  nas  classificações  das  máquinas  de  fluido  dada  pela  literatura.  A 
classificação mostrada na Figura 1.1 é a que será usada neste  texto. A apostila  tratará somente das máquinas de 
fluxo hidráulicas. 
 
 
Figura 1.1 ‐ Classificação das máquinas de fluido [adaptado de BRASIL, 2010, p.21] 
                                                            
1 mca – metros de coluna d’água.  
1‐2 
 
	 Classificação	das	máquinas	de	fluido	
a) Quanto ao sentido da transmissão de energia, pode‐se classifica‐las como: 
 
 Geradora  (geratriz):  a  máquina  transforma  energia  mecânica  em  energia  de  fluido  (ex.  bombas  e 
ventiladores). 
 Motora  (operatriz):  a  máquina  transforma  energia  de  fluido  em  energia  mecânica  (ex.  turbina,  gerador 
eólico, moinho de vento e rodas d’água). 
 
b) Quanto ao tipo de energia envolvido no processo pode‐se classificá‐las como 
 
 Máquinas  de  deslocamento  positivo  (positive  displacement  machines):  nestes  equipamentos  uma 
quantidade  fixa  de  fluido  de  trabalho  é  confinada  durante  sua  passagem  através  da  máquina,  sendo 
submetido a trocas de pressão em razão da variação no volume do recipiente em que se encontra contido. O 
fluido  tem  que  mudar  seu  estado  energético.  Caso  a  máquina  pare  de  funcionar,  o  fluido  de  trabalho 
permanecerá  no  seu  interior  indefinidamente.  Também  chamada  máquina  estática.  Nestas  máquinas  a 
energia  transferida  é  substancialmente  de  pressão,  sendo muito  pequena  a  energia  cinética  transferida, 
podendo ser desprezada. Podem ser máquinas rotativas (rotary machines) como a bomba de engrenagens, e 
máquinas alternativas (reciprocating machines) como o compressor de pistão.  
 Máquinas de Fluxo ou Turbomáquinas (turbomachinery): ou máquinas dinâmicas, o fluido não se encontra 
em momento algum confinado dentro da carcaça da máquina, mas  sim num  fluxo  continuo através dela, 
estando sujeito a variações de energia devido aos efeitos dinâmicos da corrente fluida. Nestas máquinas o 
escoamento do fluido é orientado por meio de lâminas ou aletas solidárias a um elemento rotativo (rotor). A 
energia  transferida é  substancialmente cinética, através da variação da velocidade do  fluido entre as pás, 
desde  a  entrada  até  a  saída do  rotor,  a baixa pressão ou baixos diferenciais  de pressão. Como  exemplo 
podem ser citadas as turbinas hidráulicas e ventiladores centrífugos.  
 
c) Quanto à direção do escoamento do fluido 
 
 Axiais: escoamento predominantemente na direção do eixo. O fluido entra e sai do rotor na direção axial. 
Recalca grandes vazões em pequenas alturas. A força predominante é de sustentação. 
 Radiais:  escoamento  predominante  na  direção  radial.  O  fluido  entra  no  rotor  na  direção  axial  e  sai  na 
direção  radial.  Tem  como  característica  o  recalque  de  pequenas  vazões  a  grandes  alturas.  Sua  força 
predominante é a centrífuga.  
 Mista ou diagonal: escoamento predominantemente na direção diagonal, parte axial e parte radial 
 Tangencial: escoamento tangente ao rotor. 
 
 
Figura 1.2 – Tipos quanto à direção do escoamento 
 
1‐3 
 
d) Quanto à forma dos canais entre as pás do rotor 
 
 Máquinas  de Ação  (ou  de  impulsão):  nesta máquina  toda  energia  do  fluido  é  transformada  em  energia 
cinética, antes da transformação em trabalho mecânico processado pela máquina. A pressão do  fluido, ao 
atravessar  o  rotor,  permanece  constante. Um  exemplo  são  as  turbinas  Pelton,  onde  um  ou mais  bocais 
(separados do rotor), aceleram o fluido resultando em jatos livres (a pressão atmosférica) de alta velocidade, 
que transferem movimento para o rotor, que gira mesmo sem estar cheio de fluido. 
o Turbomáquinas de ação (motoras): turbinas Pelton (tangencial) e Michell (duplo efeito radial) 
o Turbomáquinas de ação (geradoras): não existe aplicação prática 
 
           
Figura 1.3 – Turbina Pelton 
 
 Máquinas de Reação: nesta máquina  tanto a energia cinética quanto a de pressão são  transformadas em 
trabalho mecânico  e  vice‐versa.  Parte da  energia  do  fluido  é  transformada  em  energia  cinética  antes da 
entrada do rotor, durante sua passagem por perfis ajustáveis (distribuidor), e o restante da transformação 
ocorre no próprio rotor. A pressão do fluido varia ao atravessar o rotor, que fica preenchido pelo líquido.  
o Turbomáquinas de reação (motoras): turbinas Francis (radial ou diagonal), Kaplan e Hélice (axiais) 
o Turbomáquinas de reação (geradoras): bombas e ventiladores (radiais, diagonais e axiais) 
 
 
Figura 1.4 – Turbina Schwankrug  
 
1‐4 
 
                          
Figura 1.5 – Turbina Kaplan 
 
                     
Figura 1.6 – Turbina Francis 
 
Figura 1.7 – Bomba centrífuga 
1‐5 
 
e) Quanto ao número de entradas para aspiração (sucção) 
 
 Sucção Simples (entrada unilateral): há somente uma boca de sucção para entrada do fluido. 
 Dupla Sucção: fluido entra por duas bocas de sucção paralelamente ao eixo de rotação. Como se fossem dois 
rotores simples montados em paralelo. Tem como vantagem a possibilidade de proporcionar equilíbrio dos 
empuxos axiais, que melhora o rendimento da bomba, eliminando a necessidade de rolamento de grandes 
dimensões para suporte axial sobre o eixo. 
 
f) Quanto ao número de rotores 
 
 Simples estágio: bomba com um único rotor dentro da carcaça. Pode‐se teoricamente projetar uma bomba 
de simples estágio para qualquer situação de altura manométrica e de vazão, porém, dimensões excessivas e 
baixo rendimentofazem com que os fabricantes a limitem a alturas manométricas de 100 [mca]. 
 Múltiplo  estágio:  a  bomba  tem  dois  ou mais  rotores  associados  em  série  dentro  da  carcaça.  Permite  a 
elevação do líquido a grandes alturas manométricas (>100 [mca]), sendo o rotor radial o indicado para esta 
aplicação. 
 
Figura 1.8 – Bomba múltiplo estágio 
 
g) Quanto ao posicionamento do eixo 
 
 Eixo horizontal: é a forma construtiva mais comum. 
 Eixo vertical: Usada, por exemplo, para extração de água de poços. 
 
h) Quanto ao tipo de rotor 
 
 Aberto:  para  bombas  de  pequenas  dimensões.  Têm  pequenas  dimensões,  baixa  resistência  estrutural  e 
baixo  rendimento.  Como  vantagem  dificulta  o  entupimento,  podendo  ser  usado  para  bombear  líquidos 
sujos. 
 Semi‐aberto: tem apenas um disco, onde são fixadas as aletas. 
 Fechado: usado para bombear líquidos limpos. Possui dois discos com as palhetas fixadas em ambos. Evita a 
recirculação de água, ou seja, o retorno da água à boca de sucção. 
           
Rotor Aberto    Rotor Semi‐aberto     Rotor Fechado 
Figura 1.9 – Tipos de rotores 
1‐6 
 
i) Quanto à posição do eixo da bomba em relação ao nível da água 
 
 Não afogada (sucção positiva): o eixo da bomba está acima do nível d’água do reservatório de sucção. 
 Afogada (sucção negativa): eixo da bomba está abaixo do nível d’água do reservatório de sucção. 
 
              
Bomba afogada        Bomba não‐afogada 
Figura 1.10 – Tipo de instalação 
 
	
REFERÊNCIAS	BIBLIOGRÁFICAS	
BRASIL, A.N. Máquinas termo hidráulicas de fluxo. Itaúna: Universidade de Itaúna, 2010.  
CARVALHO, D.F. Hidráulica Aplicada. Apostila UFRRJ. 
GUIMARÃES, L.B. Máquinas hidráulicas. Curitiba: UFPR, 1991. 
HENN, E.A.L. Máquinas de fluido. 2ª ed, Porto Alegre: UFSM, 2006. 
SOUZA, Z.; BRAN, R. Máquinas de Fluxo: turbinas, bombas e ventiladores. Rio de Janeiro: ed. LTC, 1969. 
 
2-1 
 
2. CONCEITOS BÁSICOS 
 
O objetivo deste capítulo é fazer uma breve revisão de conceitos vistos em disciplinas da grade fundamental 
e que serão de utilidade nesta disciplina. 
ENERGIA 
O objetivo de utilizar uma máquina de fluxo hidráulica é realizar a troca de energia entre fluido e 
equipamento. De modo que se torna importante quantificar esta troca. 
Para obter este valor de energia aplica-se a 1ª lei da termodinâmica a um volume de controle. A Figura 2.1 
indica as fronteiras físicas de uma máquina de fluxo hidráulica, que pode ser motora ou geradora. 
 
Figura 2.1 - Volume de controle 
 
A Figura 2.1 mostra o volume de controle cujas fronteiras coincidem com as delimitações físicas da máquina 
de fluxo (M.F.). As seções de entrada e descarga são representadas pelos subíndices “e” e “s” respectivamente. 
Considerando propriedades uniformes nas seções de entrada e saída, tem-se: 
 
 
 
onde: 
 Q – taxa de energia recebida na forma de calor [J/s] 
 W – taxa de energia fornecida na forma de trabalho [J/s] 
 h – Entalpia [J/kg] 
 m - vazão mássica [kg/s] 
 V – velocidade média do fluido [m/s] 
 g – aceleração da gravidade [m/s2] 
 z – cota em relação a uma referência arbitrária [m] 
 
Considerando regime permanente e somente uma entrada e uma saída: 
 
 
 
Aplicando o princípio da conservação da massa ao volume de controle, considerando regime permanente e 
somente uma entrada e uma saída, 
 
 












s
s
s
ss
e
e
e
ee gz
VhmgzVhmWQ
dt
dE
22
22













 s
s
sse
e
ee gz
VhmgzVhmWQ
22
0
22

mmmmm
dt
dm
sese
VC   
2-2 
 
Aplicando à equação da energia, 
 
 
 
Considerando “Y” como a energia por unidade de massa (J/kg) cedida pela máquina na forma de trabalho, e 
“q” a energia por unidade de massa (J/kg) recebida pela máquina na forma de calor, resulta: 
 
 
 
Para bombas hidráulicas (hydraulic pumps) e ventiladores (fans), considerando: 
o Transformação adiabática (q=0) e sem atrito (isentrópica) 023  dsss 
o Trabalho recebido pelo sistema é negativo (convenção termodinâmica) 
 
Considerando “T” a temperatura absoluta (em K) e “s” a entropia (em J/kg.K) e lembrando que: 
 
Das considerações anteriores (ds=0): 
 
 
 
Resulta, 
 
 
 (2.1) 
 
Ao utilizar a Eq.(2.1) para calcular a energia (por unidade de massa) em forma de trabalho (Y) entregue à 
bomba/ventilador, o valor obtido será negativo. Isto está em conformidade com nossa convenção termodinâmica de 
que a energia que entra no volume de controle em forma de trabalho é negativa. Como nosso interesse é quantificar 
o valor desta energia e já temos ciência de que ela entra no volume de controle, que é entregue ao equipamento, 
deixaremos seu valor positivo. Além disto, dividiremos a equação pela aceleração da gravidade (g) para obter a 
energia por unidade de peso (H) cuja unidade é [J/N], dada por: 
 
(2.2) 
 
 
Para turbinas hidráulicas (hydraulic turbines), considerando: 
o Transformação adiabática (q=0) e sem atrito (isentrópica) 023  dsss 
o Trabalho entregue pelo sistema é positivo (convenção termodinâmica) 
 
Aplicando as hipóteses acima à equação da energia tem-se o mesmo desenvolvimento dado para bombas, 
chegando-se à mesma Eq.(2.1). Que resulta, 
 
(2.3) 
vdp-dh=Tds=dq

es
eses
s
e
ctevs
e
ppppvhhvdhdh     )(dpvdpvdpdh
s
e
s
e
   eseses zzgVVppY  222
1



















 e
e
es
s
s gz
VhgzVhmWQ
22
22

   eseses zzg
VVhhYq 




 

2
22
   eseses zzVVg
ppH  22
2
1

   sesese zzVVg
pp
H 

 22
2
1

2-3 
 
VAZÃO 
A mecânica dos fluidos define vazão volumétrica [m3] como o volume de fluido que atravessa dada seção 
transversal qualquer na unidade de tempo; e vazão mássica a quantidade de massa [kg] que passa nesta seção na 
unidade de tempo, sendo esta última escrita como: 
 

SC
AdVm

 .
 
Considerando que “A” é a área da seção transversal do tubo, “V” a velocidade média do escoamento na 
seção transversal do tubo tratada e “” a massa específica do fluido, que para as máquinas hidráulicas é constante, e 
fazendo a integração tem-se que a taxa mássica será: 
 
m VA  (2.4) 
 
Enquanto a vazão volumétrica é dada por: 
 
 (2.5) 
 
Medidores de Vazão de Restrição para escoamentos internos 
Segundo Fox & MacDonald (2001, p. 249) a maioria dos medidores de restrição para escoamentos internos 
baseiam-se no princípio da aceleração da corrente fluida através de alguma forma de bocal. 
A equação geral dos medidores de orifício pode ser escrita como: 
 
(2.6) 
 
Onde: 
 “Cq” vem de gráficos (Fig.2.2) e é função de Reynolds e “m”, 
 
 
 
 Am é a área de seção, de diâmetro “d”, do medidor, 
 At é a área da seção de entrada (do tubo), de diâmetro “D”, 
 “g” a aceleração da gravidade, e 
 “ΔH” a diferença de pressão (em m) no medidor, ou a perda de carga (em m). 
Outras relações para definição dos coeficientes de vazão podem ser vistas em Fox & MacDonald (2001, 
p.249-257). 
VAmVQ 


HgACQ mQ  2
2






D
d
A
A
m
t
m
2-4 
 
 
 
Figura 2.2 - Valores de “CQ” para alguns medidores de vazão 
2-5 
 
Rotação 
Para máquinas geradoras (bombas e ventiladores) a rotação é fornecida pelo motor de acionamento. Se for 
elétrico podem ser os de corrente alternada (C.A.) ou de corrente contínua (C.C.). Existem alternativas aos motores 
elétricos; bombas de sistemas de incêndio,por exemplo, são normalmente acionadas por motores diesel. 
Os motores elétricos C.C. têm sua velocidade determinada pela tensão de alimentação. Apresentam torque 
constante em praticamente toda sua faixa de velocidade. 
Motores elétricos C.A. são divididos entre síncronos e assíncronos (indução). Os motores síncronos 
trabalham na rotação síncrona, já o assíncrono tem uma perda de velocidade devido a um fenômeno chamado 
escorregamento, que faz com que operem em rotações pouco mais baixas que a rotação síncrona. Os motores 
elétricos C.A. mais comuns tem 1 e 2 pares de pólos, e suas rotações são: de 3600 rpm e 1800 rpm para os síncronos, 
e de 3500 rpm e 1750 rpm para os assíncronos. 
Caso seja necessário ter uma rotação diferenciada da rotação dos motores C.A. pode-se utilizar acionamento 
por correia, por engrenagens ou outro tipo de redutor ou amplificador de rotação. Em motores de C.C. isto é feito 
eletronicamente. 
As máquinas motoras (turbinas) são geralmente acopladas a alternadores (geradores de C.A.) que devem 
trabalhar com rotações síncronas constantes. Essa rotação síncrona depende do número de pares de pólos do 
gerador e da frequência da rede elétrica a qual está ligada a máquina. 
A rotação síncrona (nsinc) é dada por: 
 
 f-freqüência da rede (Brasil - 60 Hz); 
 p-número de pares de pólos do alternador; 
 n-rotação síncrona. 
 
 
Perdas de Carga 
As perdas de carga em tubos e acessórios podem ser calculadas com alguns métodos: 
Hazen-Willians1: 
É um método empírico muito utilizado, que apresenta resultados razoáveis para tubos com diâmetros de 50 
mm a 3000 mm, velocidades inferiores a 3,0 m/s e escoamento com água. O sucesso de sua utilização depende, 
dentre outros fatores, da correta avaliação do coeficiente “C”. 
 
LDCQH pc ....643,10
87,485,185,1  (2.7) 
 
Onde: 
 Q – vazão [m3/s] 
 Hpc – perda de carga na tubulação forçada [m] 
 C – coeficiente de Hazen-Willians (Tabelas 2.1 e 2.2) 
 D – diâmetro interno da tubulação [m] 
 L – comprimento da tubulação reta [m] 
 
 
 
 
1 Relação empírica desenvolvida no início do século XX e ainda bastante utilizada. Atualmente, com as facilidades de uso 
de planilhas computacionais, calculadoras científicas, e outros, a formulação dada por Darcy-Weisbach para cálculo de perda de 
carga é uma opção mais apropriada. 
p
fn 60.sinc 
2-6 
 
 
Tabela 2.1 – Coeficientes de Hazen-Williams 
 
 
Tabela 2.2 – Coeficientes de Hazen-Williams [Fonte: KSB, 2001] 
 
 
2-7 
 
Darcy-Weisbach: 
Válida para fluidos incompressíveis. Tem a seguinte forma para cálculos de perdas em trechos retos de 
tubos: 
 
g
V
D
LfH pc 2
.
2
 (2.8) 
 
Onde: 
 f – coeficiente de atrito, que vem do diagrama de Moody-Rouse 
 Hpc – perda de carga na tubulação [m] 
 D – diâmetro interno da tubulação [m] 
 L – comprimento da tubulação [m] 
 V – velocidade média [m/s] 
 
Outra forma de obter o coeficiente de atrito, sem precisar do diagrama de Moody-Rouse é usando a fórmula 
de Colebrook, que considera a rugosidade do tubo (e) e o número de Reynolds (Re) do escoamento: 
 
 








 5,05,0 .Re
51,2
7,3
log.0,21
f
D
e
f (2.9) 
 
O inconveniente é que tal fórmula requer um processo iterativo para obtenção de “f”. Porém, segundo 
Miller (Fox & MacDonald, 2001), se o valor inicial de “f” no processo iterativo for obtido com o uso da eq.(2.7), com 
uma ou duas iterações obtêm-se um erro menor que 1%: 
 
 
2
9,00 Re
74,5
7,3
log.25,0

















 D
e
f (2.10) 
 
Sendo o número de Reynolds obtido por: 
 

 DVDV
Re (2.11) 
 
 
 ρ – massa específica [kg/m3] 
 V – velocidade média do escoamento [m/s] 
 D – diâmetro do tubo [m] 
 μ - viscosidade dinâmica [Pa.s] 
 ν - viscosidade cinemática [m2/s] 
 
Para perdas localizadas 
 
g
VkH pc 2
.
2
 (2.12) 
 k – coeficiente de perda 
 
 
2-8 
 
Tabela 2.3 – Rugosidade [Fonte: KSB, 2001] 
 
 
Tabela 2.4 – Coeficiente de perda localizada [Fonte: KSB, 2001] 
 
 
Tabela 2.5 – Coeficiente de perda localizada [Fonte: KSB, 2001] 
 
 
 
2-9 
 
Tabela 2.6 – Coeficiente de perda localizada [Fonte: KSB, 2001] 
 
 
Método do comprimento equivalente : 
Este método tem como objetivo relacionar perdas de carga localizadas a perdas de tubo reto. Espera-se 
definir, por exemplo, que comprimento de tubo reto teria a mesma perda de carga que uma válvula (ou outro 
acessório) de mesmo diâmetro. A este comprimento chama-se “comprimento equivalente” (Lequivalente). Exemplo: um 
registro de gaveta aberto de 1” tem perda de carga equivalente a 0,2 m de tubo reto de 1” (ver tabela 2.7). 
Isto assume que uma tubulação que possui ao longo de sua extensão uma série de singularidades (perdas 
localizadas) é equivalente a uma tubulação reta de comprimento maior (sem singularidades). Com base neste 
conceito o que se faz é adicionar ao comprimento de tubo reto “reto” (Lreto) da tubulação os comprimentos 
equivalentes (Lequivalente) dos acessórios. 
Nas fórmulas de Hazen-Williams (Eq.2.7) e de Darcy Weisbach (Eq. 2.8) o termo “L” corresponde a tubo reto, 
então o que se faz neste caso é considerar: 
 
eequivalentreto LLL  (2.13) 
 
 
 
 
 
 
 
2-10 
 
Tabela 2.7 – Comprimentos equivalentes [Fonte: KSB, 2001] 
 
 
2-11 
 
Exercícios 
1. Pede-se calcular a perda de carga na sucção e no recalque do sistema a seguir, considerando que a vazão é de 10 m3/h e a 
viscosidade cinemática da água de 10-6 m2/s. Utilize o método de Hazen-Willians e Darcy Weisbach. Considere uma 
tubulação nova de aço galvanizado. (R. Darcy: 0,8067 mca e 36,227 mca; Hazen: 0,8147 mca e 36,243 mca). 
 
Singularidades: 
1. Filtro: perda de carga de 0,7 mca na vazão especificada 
2. Filtro: perda de carga de 0,7 mca na vazão especificada 
3. Registro de gaveta 
4. Bomba hidráulica 
5. Trocador de calor com perda de carga de 7,0 mca na vazão especificada 
6. Torre de resfriamento 
7. Curva de 90º (R/D=1,5) 
8. Canalização de recalque com diâmetro de 2,5” e comprimento reto de 25 m 
9. Canalização de sucção com diâmetro de 3” e comprimento reto de 10 m 
10. Bicos injetores que funcionam com pressão de 28 mca 
11. Entrada de canalização normal 
 
2. Pede-se calcular a vazão sabendo que a pressão diferencial medida em manômetro acoplado no bocal de vazão é de 1,0 mca. 
Sabe-se que o diâmetro da tubulação é de 2” e que o diâmetro do medidor é de 37,8 mm. O escoamento tem Reynolds 
maior que 2.105. (R. 20 m3/h) 
3. Sabendo que determinada máquina de fluxo tem vazão de 0,020 m3/s, diâmetro de entrada de 0,1 m e de saída de 0,075 m, 
pressões na entrada e saída de 2 mca e 40 mca respectivamente, e o desnível entre a entrada e a saída de 0,15 m, com a entrada abaixo da 
saída. Pede-se determinar se tal máquina de fluxo é geradora ou motora. (R. Geradora) 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS: 
FOX, R.W.; MACDONALD, A.T. Introdução à mecânica dos fluidos. 5ª Ed. Rio de Janeiro: Ed. LTC, 2001. 
KSB. Manual de Treinamento – Seleção e aplicação de bombas centrífugas. 4ª Ed. 2001. 
3-1 
 
3. TRIÂNGULO DE VELOCIDADES 
3.1 Composição de uma máquina hidráulica 
Uma máquina de fluxo hidráulica é composta basicamente de duas partes de constituição simétrica, uma fixa 
(n=0) e outra móvel (n≠0). A parte fixa é composta pelo sistema diretor, por aletas ajustáveis, o pré-distribuidor, 
injetores e tubo de sucção. Nestes órgãos fixos poderá ocorrer a transformação de energia de pressão em energia de 
velocidade ou energia de velocidade em energia de pressão, conforme seu formato (injetorou difusor). Estes 
componentes são esquematizados na Figura 3.1, que mostra o esquema de uma turbina, e Figura 3.2, mostrando o 
desenho de uma bomba centrífuga e um rotor. 
 
 
Figura 3.1 – Arranjo de turbina hidráulica 
 
 
Figura 3.2 – Esquema de uma bomba centrífuga 
 
A parte móvel da máquina é formada apenas pelo rotor, composto das pás, cubo e coroa. Este é o principal 
órgão da máquina, responsável pela transformação de energia hidráulica em energia mecânica ou vice-versa. 
Para melhor entender a composição de uma máquina hidráulica, a Figura 3.3 mostra o esquema de uma 
bomba centrífuga. Nela o fluido entra no centro do rotor (olho do rotor), e é capturado pelas pás. O movimento de 
rotação do rotor faz com que o fluido receba energia das pás. Na saída o fluido é descarregado a altas velocidades na 
voluta cuja área da seção transversal aumenta gradualmente à medida que se direciona para a saída da bomba. Este 
formato da voluta faz com que a energia de velocidade do fluido se transforme gradualmente, reduzindo perdas por 
choques e turbulência, em energia de pressão, pela desaceleração do fluido. Algumas bombas tem um sistema 
diretor na saída (em volta do rotor), chamado anel difusor, que tem por objetivo minimizar as perdas ao guiar e 
desacelerar o fluido. 
3-2 
 
 
 
Figura 3.3 – Esquema de uma bomba centrífuga [Fonte: adaptado de CHAPALLAZ et al. 1992] 
 
3.2 Projeções 
Considera-se, de maneira geral, que o escoamento em máquinas hidráulicas se processa em superfícies de 
revolução superpostas. A velocidade do fluido em cada ponto do escoamento possui uma componente tangencial ao 
eixo, uma componente radial e uma componente axial. 
As pás (simples ou em dupla curvatura) e outras partes do rotor, desenhadas conforme o escoamento 
desejado do fluido no rotor, são definidas a partir da sua projeção em dois planos (Figura 3.4): o plano meridiano e o 
plano normal. 
 
 
Figura 3.4 - Planos de representação e trajetória (fonte: Campos, 1996) 
Plano meridiano 
O plano meridiano (Figura 3.5) é um plano paralelo ao eixo da máquina. A representação nesse plano é feita 
pelo rebatimento dos pontos principais da pá sobre o plano, mantendo-se a mesma distância do ponto ao eixo no 
rebatimento. Assim, cada ponto do rotor fica representado no plano pelo traço da circunferência que ele descreveria 
se dotado de rotação em torno do eixo. 
 
3-3 
 
 
Figura 3.5 - Projeção meridiana e normal de uma aresta (fonte: Campos, 1996) 
 
Plano normal 
É um plano perpendicular ao eixo da máquina, da mesma maneira, a representação é feita através do 
rebatimento dos pontos necessários da pá sobre o plano. 
Tendo visto os dois planos a representação de um rotor radial de uma bomba no plano meridiano e no plano 
normal é mostrado na Figura 3.6a. E na Figura 3.6b é apresentado um rotor axial. 
 
 
Figura 3.6 – (a) Rotor radial nos planos (b) - Representação de turbina axial 
 
 
Para as máquinas axiais, além das projeções normal e meridional, pode-se representar o rotor segundo 
vários cortes cilíndricos desenvolvidos, em cada diâmetro em estudo, denominado desenvolvimento de corte 
cilíndrico e mostrado nas Figura 3.7 (a) e (b). 
3-4 
 
 
Figura 3.7 (a) - Rotor axial com corte cilíndrico (b) – Corte cilíndrico do rotor axial 
3.3 Notação 
Com a finalidade de identificação dos pontos principais do rotor é usual adotar-se índices que indiquem as 
posições desses pontos no rotor. Uma convenção possível é a de Betz que apresenta índices que aumentam no 
sentido do escoamento (para todas as máquinas hidráulicas). Ela adota os índices 4 e 5 para as arestas de entrada e 
saída do rotor, respectivamente, e os índices 3 e 6 para os pontos do escoamento imediatamente antes e depois do 
rotor. A Figura 3.8 mostra outros pontos desta convenção. 
 
Figura 3.8- Convenção de Betz (fonte: Campos, 1996) 
 
3.4 Triângulos de velocidade no rotor 
As hipóteses iniciais para análise do triângulo de velocidades consideram que o rotor é composto por um 
número infinito de pás infinitamente finas. Neste caso, consideram-se as linhas de corrente congruentes com as pás 
e o escoamento como sendo unidimensional. Assim, o triângulo de velocidades é válido para todos os pontos 
localizados no mesmo diâmetro. Entre as seções de entrada e saída o escoamento deverá produzir o mínimo de 
perdas com a adoção de perfis ou formatos de pás mais adequados. 
Outras hipóteses consideradas são a de regime permanente (vazão mássica constante); a de que os 
triângulos de velocidades na entrada e saída do rotor são representativos do escoamento; e a de que as velocidades 
na entrada e saída são uniformes nas seções. 
Para construção do triângulo de velocidades é preciso entender os conceitos de velocidade absoluta e 
velocidade relativa do fluido. 
3-5 
 
Movimento relativo 
É o movimento da partícula percebido por um observador movendo-se com o rotor. Neste caso a trajetória 
(relativa) da partícula acompanha o perfil da pá, como se o rotor estivesse parado (em repouso) e o fluido escoando 
através dos canais formados pelas pás. A velocidade tangente a esta trajetória é conhecida por velocidade relativa e 
será representada por “w” (Figura 3.9). 
 
Figura 3.9 – Movimentos relativo e absoluto [ Fonte: CHAPALLAZ et al., 1992] 
 
Movimento absoluto 
É o movimento da partícula percebido por um observador posicionado fora do rotor. A trajetória da partícula 
resulta da composição de dois movimentos, um dentro dos canais do rotor e outro de rotação do rotor. A velocidade 
tangente a esta trajetória é denominada velocidade absoluta e será representado por “c” (Figura 3.9). 
Velocidade tangencial1 
Como o rotor está em movimento de rotação, o fluido que escoa através de seus canais acompanha esse 
movimento. É possível obter a velocidade tangencial do fluido em cada ponto do rotor, sabendo sua posição 
(diâmetro) e a rotação do rotor. A esta velocidade é dada o nome de velocidade tangencial e representada por “u”. 
Sabendo a velocidade angular ω, assim como as dimensões geométricas do rotor, a componente tangencial 
é expressa por: 
 
 (3.1) 
 
 
 D: diâmetro [m] no ponto considerado 
 n: rotação [rpm] 
 ω: velocidade radial [rd/s] 
 r: raio [m] no ponto considerado 
 u: velocidade tangencial [m/s] 
Triângulos de velocidade 
Finalmente, o triângulo de velocidades é formado pelas três velocidades vistas anteriormente e podem ser 
representadas na forma vetorial por: 
 
 (3.2) 
 
 
1 Também conhecida por velocidade de arrastamento, circunferencial ou periférica. 
60
Dnru  
uWC 


3-6 
 
Sua representação gráfica é dada pela Figura 3.10 e as componentes mostradas na figura são definidas a 
seguir. 
 
Figura 3.10 – Exemplo de triângulo de velocidades 
 
 c: velocidade absoluta [m/s] do escoamento no ponto em estudo; 
 u: velocidade tangencial [m/s] do escoamento no ponto em estudo; 
 w: velocidade relativa [m/s] do escoamento no ponto em estudo; 
 Cm: componente meridiana da velocidade absoluta (projeção da velocidade absoluta C sobre o plano meridiano); 
 Cu: componente tangencial da velocidade absoluta (projeção da velocidade absoluta sobre a direção tangencial); 
 : ângulo formado pela velocidade absoluta e a velocidade tangencial, também chamado ângulo do escoamento absoluto; 
 β: ângulo formado pela velocidade relativa e a tangencial, também chamado ângulo do escoamento relativo ou ângulo 
construtivo da pá. 
 
O triângulo de velocidades pode ser construído em qualquer ponto do rotor, porém, a entrada e a saída são 
os pontos mais importantes e serão os objetos de estudo deste ponto em diante (Figura 3.11). 
 
Figura3.11 - Trajetórias em uma bomba centrífuga [adaptado de CHAPALLAZ et al., 1992] 
 
A Figura 3.12 mostra triângulos de velocidades, na saída do rotor, para alguns tipos de rotores de bombas e 
ventiladores com base no ângulo construtivo: β5>90º (pás curvadas para frente), β5=90º (pás retas), e β5<90º (pás 
curvadas para trás). 
 
 
Figura 3.12 – Tipos de rotores em bombas e ventiladores e seus triângulos de velocidades 
3-7 
 
Velocidade meridiana (componente meridiana) e Vazão 
A componente meridiana da velocidade absoluta (Cm) tem direção normal à seção transversal em que o 
fluido escoa. Sua importância está em sua relação com a vazão de fluido que escoa através do rotor. Considerando o 
princípio da conservação da massa para regime permanente: 
 SC AdC 0.

 
Aplicando ao volume de controle delimitado pelas paredes do rotor e pelas seções de entrada (4) e saída (5), 
e considerando o escoamento uniforme na seção de escoamento: 
 
 
Considerando que o produto interno é dado por: 
555
444cos.
dACAdC
dACAdC
AdCAdC
m
saída
m
entrada
 
 
 


 
Aplicando: 
 
 
(3.3) 
 
As áreas das seções de entrada (3) e saída (6) do rotor na região imediatamente antes e imediatamente 
depois do rotor são definidas para as máquinas radiais por: 
556443 bDAebDA   (3.4) 
onde D é o diâmetro e b a altura (ou largura) da pá. Tais parâmetros serão definidos no rotor, então de agora 
adiante ao se falar em diâmetro interno ou externo do rotor (caso radial) será relacionado ao sub índice (4) ou (5). 
Para máquinas axiais estas áreas são dadas por: 
 2263 4 ie DDAA 

 (3.5) 
onde o sub índice e indica diâmetro externo e i diâmetro interno. 
Se as pás tiverem espessura desprezível, então: 
6534 AAeAA  (3.6) 
Se as espessuras das pás não forem desprezíveis, então haverá um estrangulamento da área se comparadas 
às áreas pouco antes da entrada do rotor (ponto “3”) e na entrada do rotor (ponto “4”). Da mesma forma para a 
região da saída do rotor (ponto “5”) e pouco depois da saída do rotor (ponto “6”). Pode-se definir esta 
redução/estrangulamento da área por um fator de estrangulamento (f), onde 1<f<0, e a relação entre as áreas fica: 
 
655344 AfAeAfA  (3.7) 
Aplicando a conservação da massa nas seções de entrada e saída: 
 
443344334433 fCCAfCACACACQ mmmmmm  
443 fCC mm  (3.8) 


Q
m
Q
m
ívelincompress
mm
mm
ACACACAC
dACdACAdCAdC

 
 
44554455
5454
0
0


0..
54
  AdCAdC


3-8 
 
556666556655 fCCACAfCACACQ mmmmmm  
556 fCC mm  (3.9) 
 
Os fatores de estrangulamento são definidos por 
 
Figura 3.13 – Esquemas de pás com respectivas espessuras (s) 
 
sen
SS t  (3.10) 
t
St
f t


 (3.11) 
Há diferença entre as espessuras s e st. A primeira indica a espessura da pá e a segunda indica a “espessura 
de recobrimento” da pá nos perímetros de entrada e saída (Fig.3.13). Observe que o valor de s é o mesmo para a 
entrada e a saída, mas st pode ter valores distintos nestas regiões, uma vez que é função do ângulo construtivo da pá 
nestas regiões. 
E finalmente, fica fácil perceber que se as espessuras das aletas são desprezíveis, então o fator de 
estrangulamento é “1” (pois St≈0) e as velocidades meridianas em “3” e “4” são iguais, o mesmo ocorrendo para os 
pontos “5” e “6”. 
 
Ângulo α 
É o ângulo entre a velocidade absoluta (C.) e a velocidade tangencial (u). 
u
m
C
C
tg 
 
 (3.12) 
Ângulo β – ângulo construtivo da pá 
É fixado a partir do momento em que se define a curvatura (o desenho, isto é, o projeto mecânico do rotor) 
das pás, na entrada até a saída do rotor. 
u
m
u
m
W
C
Cu
C
tg 


 (3.13) 
3-9 
 
 
Triângulo de velocidades para rotor de máquina hidráulica geradora radial 
Será considerado que na entrada da pá ocorre escoamento “sem choque”, e a velocidade relativa “w4” 
deverá ser tangente à pá, formando o ângulo “4” com a direção tangencial. Na saída a velocidade relativa “w5” é 
tangente à pá formando o ângulo “5” com a direção tangencial. 
 
Figura 3.12 - Representação das velocidades em rotor de bomba radial (fonte: Campos, 1996) 
 
A velocidade meridiana (Cm) é normal às seções de entrada e saída do rotor. Para o rotor radial da Figura 
3.12, a vazão é estabelecida em função da área e da componente meridiana. Caso as espessuras das pás sejam 
desprezadas: 
555444 mm CbDCbDQ   (3.14) 
Se as espessuras das pás forem consideradas, devem ser verificadas as relações de velocidades meridianas, 
conforme já visto, ou então pode-se chegar facilmente à seguinte fórmula para vazão 
mt CSbZbDQ














 
pás pelas ocupada
 escoamento
de seção da Áreapás das livre
escoamento do Área
.... (3.15) 
 “Z” é o número de pás do rotor. 
 
O triângulo de velocidade na entrada estabelece a condição de entrada radial (4 = 900) para o ponto de 
projeto, de modo que Cu4 = 0 e Cm4=C4. O ângulo construtivo 4 deve ser tal que, 
4
4
4 u
C
arctg m
 (3.16) 
para não haver choque (ou incongruência do escoamento com a pá) na entrada. 
3-10 
 
 
Figura 3.14 - Triângulos de velocidade – máquina hidráulica geradora radial (fonte: Campos, 1996) 
Triângulo de velocidades para rotor de máquina hidráulica geradora axial 
A particularidade deste tipo de rotor é a igualdade das componentes “Cm” na entrada e na saída devido à 
igualdade das áreas, e também a igualdade da componente tangencial “u” na entrada e na saída para o mesmo 
diâmetro. 
 
Figura 3.15 - Triângulos de velocidade – máquina hidráulica geradora axial (fonte: Campos, 1996) 
 
O corte cilíndrico representado na Figura 3.15 é relativo ao diâmetro médio, sendo o corte da pá 
representado por uma curva. Na realidade, as pás de máquinas axiais possuem uma certa espessura, e nos casos de 
máquinas de bom rendimento o corte é um perfil aerodinâmico. A vazão para esta máquina é dada por: 
 
    522422 44 miemie CDDCDDQ 

 (5.17) 
3-11 
 
Triângulo de velocidades para rotor de máquina hidráulica motora 
A máquina motora axial é representada na Figura 3.16 (a), e a radial na Figura 3.16 (b). Na radial as 
componentes meridionais (Cm) na entrada e na saída não são necessariamente iguais. Estas serão iguais se a 
máquina for de seção constante. Na máquina axial as componentes meridionais (Cm) são necessariamente iguais, e 
as componentes tangenciais (u), serão iguais ao considerarmos o mesmo diâmetro. 
 
 Figura 3.16 – (a) Máquina hidráulica motora axial (b) Máquina hidráulica motora radial (fonte: Campos, 1996) 
Sistema diretor de máquina hidráulica radial 
Aplicando a equação da conservação da massa na formulação integral, considerando regime permanente e 
velocidade uniforme nas seções, para a superfície de controle composta das superfícies de controle I e II , e uma vez 
que não há fluxo pelas laterais (Figura 3.17 (a)), pode-se simplificar a equação da continuidade, desenvolvida 
inicialmente para máquinas geradoras. 
 
Figura 3.17 – (a) Sistema diretor radial (b) Sistema diretor axial (fonte: Campos, 1996) 
 
 SC AdC 0

 
 ACACdACdAC mmSCI mSCII m 778887788 0   
ou: 
 77778888 bDCbDC mm   (3.18) 
3-12 
 
Ao considerar b7=b8 , e b1=b2 tem-se para máquinas hidráulicas geradoras: 
7878
8
7
7
8 ppeCC
D
D
Cm
Cm
mm  
Verifica-se que há uma desaceleração do escoamento na direção da saída para caixa espiral.Para máquinas hidráulicas motoras: 
2121
1
2
2
1 ppeCC
D
D
Cm
Cm
mm  
Há, portanto, uma aceleração do escoamento na direção da entrada do rotor. 
 Sistema diretor de máquinas hidráulicas axiais 
Da mesma maneira, pode-se considerar: 
 221121 ACACQQ mm  
Sendo: 
 
 
A
De Di
1
1
2
1
2
4


 e 
 
A
De Di
2
2
2
2
2
4


 (3.19) 
Para máquinas axiais (Figura 3.17 (b)) a área na entrada é igual a área na saída do sistema distribuidor, pois 
De1=De2 e Di1=Di2 , sendo De e Di , respectivamente, os diâmetros externos e internos, da coroa circular por onde 
passa a água, tanto para turbinas quanto para bombas axiais. Então: 
 Para MHM: Cm Cm1 2 
 Para MHG: Cm Cm7 8 
 
EXERCÍCIOS SUGERIDOS 
1. Pede-se desenhar e determinar os elementos dos triângulos de velocidades para os diâmetros de entrada e saída de um ventilador 
radial, do qual são conhecidos: 
a. Rotação do rotor: 750 rpm 
b. Vazão: 240 m3/min 
c. Diâmetro na entrada do rotor: 600 mm 
d. Diâmetro na saída do rotor: 855 mm 
e. Ângulo construtivo da pá na saída do rotor: 90º 
f. Por motivos de facilidade de construção, as alturas das pás na entrada e saída do rotor são iguais e valem 210 mm; e 
g. A espessura das pás é desprezível. 
(R. u4=23,55m/s; u5=33,6m/s; c5=34,34m/s; c4=cm4=10,11m/s; cm5=7,1 m/s; w4=25,6m/s; w5=7,1m/s; α4=90º; α5=11,9º) 
 
2. Desenhar e determinar os triângulos de velocidades, para a entrada e saída do rotor de uma bomba centrífuga. Sabe-se que o 
mesmo gira a 1470 rpm, o canal é de secção constante e a espessura das pás desprezível. São conhecidos ainda: 
a. Diâmetro de saída igual ao dobro do diâmetro de entrada; 
b. Ângulo construtivo da pá na entrada: 30º 
c. Ângulo construtivo da pá na saída: 38º 
d. Diâmetro na entrada: 0,2 m 
 R. u4=15,4m/s; u5=30,8m/s; c4=8,9m/s, c5=21,3m/s; w4=17,8m/s; w5=14,5m/s; α4=90º; α5=24,7º ) 
3-13 
 
 
3. Em uma turbina de reação são conhecidos: 
a. Altura da pá na entrada: 8 cm 
b. Altura da pá na saída: 13 cm 
c. Diâmetro de entrada: 60 cm 
d. Ângulo construtivo da pá na entrada: 120º 
e. Ângulo construtivo da pá na saída: 30º 
f. Número de pás: 15 
g. Espessura das pás: 6 mm 
Sabendo-se que o canal tem secção transversal constante, pede-se determinar para uma rotação de 600 rpm: a vazão e o ângulo 
formado entre a velocidade absoluta e a velocidade tangencial na entrada do rotor. (R. Q= 1,0475m3/s; α4=17,5º ) 
4. Tem-se uma bomba centrífuga cujo rotor gira a 1150 rpm e tem as seguintes dimensões: 
a. Altura da pá na entrada: 40,7 mm 
b. Diâmetro do rotor na entrada: 178 mm 
c. Diâmetro do rotor na saída: 381 mm 
d. Ângulo construtivo da pá na entrada: 18º 
e. Ângulo construtivo da pá na saída: 20º 
Desprezando-se a espessura das pás pede-se: 
f. Os elementos dos triângulos de velocidades na entrada e saída do rotor 
g. A vazão recalcada pela bomba 
Obs. Os canais são de seção transversal constante. (R. u4=10,71m/s; u5=22,93m/s; c4=3,5m/s, c5=13,8m/s; cm4=cm5=3,5 m/s; w4=11,27m/s; 
w5=10,23m/s; α4=90º; α5=14,7º; Q= 7,96.10-2m3/s ) 
5. Uma turbina Francis operando com 79 m3/h e sob uma queda de 6,8 mca e rotação de 1025 rpm desenvolve uma potência hidráulica 
de 1,99 CV. São conhecidos os seguintes elementos do seu rotor: 
a. Diâmetro de saída: 0,0725 m 
b. Altura da pá na saída: 31,6 mm 
c. Altura da pá na entrada: 17 mm 
d. Ângulo construtivo da pá na entrada: 90º 
Considerando canais de seção transversal constante e espessura das pás desprezível, pede-se determinar os elementos dos 
triângulos de velocidades para a entrada e saída do rotor. (R. u4=7,13m/s; u5=3,9m/s; c4=7,8m/s, c5=3,1m/s; cm4=cm5=3,1 m/s; cu4=7,13m/s; 
cu5=0, wu4=0m/s; wu5=3,9m/s, w4=3,1m/s; w5=5m/s; α4=21,7º; α5=90º; β5= 38,5º ) 
6. Uma instalação de bombeamento opera na captação de água da estação de tratamento que serve a uma indústria de abate de gado. 
São conhecidos os seguintes elementos da bomba hidráulica: 
a. Diâmetro de entrada do rotor: 200 mm 
b. Diâmetro de saída do rotor: 400 mm 
c. Altura do rotor na entrada: 40 mm 
d. Altura do rotor na saída: 20 mm 
e. Ângulo construtivo da pá na entrada: 18º25’ 
f. Ângulo construtivo da pá na saída: 20º 
g. Coeficiente de estrangulamento na entrada do rotor: 0,815 
h. Vazão de 453 m3/h 
i. Considerar constante a seção transversal dos canais do rotor 
Determinar 
j. O valor da componente absoluta na direção tangencial na saída do rotor (R. 20 m/s) 
k. O valor do ângulo formado entre a velocidade absoluta e a velocidade tangencial na saída do rotor (R. 17º) 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
CAMPOS, M.C. Apostila de Máquinas Hidráulicas-UFPR. Curitiba: 1996. 
CHAPALLAZ, J.M.; EICHENBERGER, P.; FISCHER, G. Manual of pumps used as turbines. Deutsches Zentrum fur 
Entwicklungstechnologien GATE: Eschborn, 1992. Disponível em: http://www.nzdl.org/gsdlmod?e=d-00000-00---off-0hdl--00-0----0-10-0---0---
0direct-10---4-------0-1l--11-en-50---20-about---00-0-1-00-0-0-11-1-0utfZz-8-00&cl=CL1.11&d=HASH011f05bf8734d88d1a080257.1&gc=1. Visitado: 10/10/2014. 
GUIMARÃES, L.B. Máquinas hidráulicas. Curitiba: UFPR, 1991. 
TURTON, R.K. Principles of turbomachinery. 2th ed. London: Chapman & Hall, 1995. 
1 
 
4. EQUAÇÃO FUNDAMENTAL 
As máquinas hidráulicas podem ser estudadas, e os cálculos relativos a estes equipamentos podem ser feitos 
utilizando vários métodos, dentre os quais se destacam dois. O primeiro e mais antigo tem como hipótese que o 
rotor tem um número infinito de pás, que teriam de ser infinitamente finas. Na segunda abordagem a representação 
é feita a partir da análise de uma única pá, para daí então aproximar para o caso real. Esta apostila utiliza o primeiro 
método, que parte da hipótese de “escoamento congruente nas pás”. 
4.1 EQUAÇÃO DE EULER 
A equação de Euler é a equação básica para o desenvolvimento/estudo de bombas, ventiladores e turbinas. 
Expressa o intercâmbio de energia entre o rotor e o fluido. 
Para iniciar as análises são feitas as seguintes hipóteses simplificadoras, considerando uma máquina ideal: 
 Número infinito de pás 
 Espessura infinitesimal das pás 
 Fluido incompressível 
 Sem atrito (fluido ideal) 
 Isento de choque na entrada 
 Regime permanente 
 
Considerando agora o princípio da conservação da quantidade de movimento angular (QMA) aplicado ao 
volume de controle (Figura 4.2) tendo como base o eixo do rotor: 
 
 (4.1) 
 
Desconsiderando os torques devido às forças de superfície e de corpo (do campo gravitacional), e 
considerando regime permanente, resulta: 
 
 (4.2) 
 
 
Figura 4.1 – Visão em corte do rotor (Fonte: Turton, 1995) 
  

  



controle de superfície pela
QMA de líquido Fluxo
controle de volumeno 
QMA de temporalVariaçãoeixo
Torque
nalgravitacio campo
devido força da Torque
superfície
de força
da Torque
. 


SCVC
eixo
VC
s AdCCxrdVCxr
t
TdVgxrFxr 
 SCeixo AdCCxrT

.
2 
 
 
Figura 4.2 – Volume de controle para rotor de máquina geradora 
 
 
Considerando uma máquina geradora e usando as relações do triângulo de velocidades na entrada (4): 
44
4
4 4
4  senCC
C
C
sen u
u
 
  44
4
44
0 coscos180cos
4
4  CC
C
C
m
m
 
E a partir do triângulo de velocidades na saída (5): 
555
5
5
5  senCC
C
C
sen u
u
 
55
5
5 coscos 5
5  CC
C
C
m
m
 
Aplicando a Eq.(4.2) ao rotor da Figura 4.2, que representa o rotor de uma máquina geradora, 
  54 .. SCSCeixo AdCCxrAdCCxrT

 
Considerando o módulo do torque, com Teixo>0 em máquinas geradoras, usando o sub índice“t” para indicar 
um valor teórico, e o sub índice “∞” para indicar que foi obtido com a premissa de rotor com número infinito de pás, 




54
0 )cos(180cos(
SC
CC
SC
CC
t AdCsenCrAdCsenCrT
mumu





  



 
Lembrando que “θ” é o ângulo formado entre “r” e “C”, 

 m
mu
m
mut ACCrACCrT

  44445555  
3 
 
Assim, o torque teórico para máquinas geradoras é expresso por, 
 (4.3) 
 
De forma similar, para máquinas motoras, 
 
(4.4) 
 
Pode-se deixar as Eqs. (4.3) e (4.4) na forma genérica para máquinas hidráulicas geradoras e motoras1. 
(4.5) 
 
 “+” indica máquinas geradoras 
 
 “-“ indica máquinas motoras
 
 
A potência hidráulica (Ph) é definida como o produto do torque (T) pela velocidade angular (ω). 
Considerando que esta potência é a hidráulica (Ph) teórica (subscrito “t”) de um rotor com número infinito (subscrito 
“∞”), resulta: 
    44554455 . uuth
ru
T
uuth
CuCumPCrCrmP
t
 





  
  
A potência hidráulica também pode ser obtida pelo produto do peso específico (ϒ) pela vazão (Q) pela 
energia por unidade de peso (H) fornecida/recebida pelo rotor para/do fluido. Assim: 
gm
P
H
Q
P
HQHP tht
gmgCAQth
ttth 
 



  

 
Logo: 
 
(4.6) 
 
A Eq.(4.6) é conhecida por equações de Euler2, ou equação fundamental das máquinas de fluxo 
(fundamental equation of turbomachines), válida para máquinas radiais e axiais. Vale observar que é válida também 
para o caso em que a massa específica varie ao longo do rotor, pois a massa específica não aparece na equação. 
Casos especiais (simplificações): 
 Para máquinas axiais: u4=u5 e Cm4=Cm5 
 Nas turbinas hidráulicas para reduzir as perdas por atrito no tubo de sucção busca-se Cu5=0 
resultando α5=90º . 
 Para máquinas geradoras desprovidas de pás diretrizes, como bombas e ventiladores centrífugos, 
normalmente assume-se α4=90º e Cu4=0. Neste caso o escoamento entra no rotor na direção radial. 
 
1
 Esta convenção será adotada a partir de agora neste capítulo 
2
 Segundo Pfleiderer (1979, p.21), a eq.(4.6) foi deduzida por Leonard Euler em 1754. 
 4455 uut CrCrmT  
 5544 uut CrCrmT  
  4455 uut CrCrmT  
 4455
1
uut CuCu
g
H 
4 
 
OUTRAS FORMAS DA EQUAÇÃO FUNDAMENTAL IDEAL DAS MÁQUINAS DE FLUXO 
A partir do triângulo de velocidades pode-se tirar as seguintes relações: 
 
 
(4.7) 
 
 
Substituindo as eqs. (4.7) na equação fundamental (4.6) obtida anteriormente, resulta: 
 
(4.8) 
 
 
A eq.(4.8) é outra forma da equação fundamental das máquinas de fluxo. Representa a energia teórica 
entregue/recebida ao/pelo fluido pelas pás (espessura desprezível) do rotor (com número infinito de pás). 
Pode-se ainda calcular a altura teórica com número infinito de pás usando Bernoulli no canal do rotor, 










 45
2
4
2
545
2
zz
g
ccpp
H t

 
Fazendo z5≈z4: 
 
(4.9) 
 
 
Comparando a eq.(4.9) à eq. (4.8) pode-se definir duas energias de pressão. A energia de pressão estática, 
que o fluido recebe ao passar pelo rotor de uma máquina de fluxo pode ser expressa por: 
 
(4.10) 
 
 
onde o termo “I” representa o aumento da pressão decorrente da ação da força centrífuga sobre as partículas 
fluidas, provocado pela diferença de velocidade tangencial na entrada e saída como consequência do movimento do 
rotor. Vale observar que no caso do rotor axial a velocidade tangencial na entrada e saída são iguais e este termo é 
nulo. O termo “II” deve-se a transformação de energia de velocidade em energia de pressão, decorrente da 
diminuição da velocidade relativa entre a entrada e a saída, no interior dos canais em forma de difusores, 
constituídos pelas pás do rotor. 
 2525255525552525
2
1
2 wuccuucucw uu 
 2424244424442424
2
1
2 wuccuucucw uu 





 





g
cc
g
ww
g
uu
Ht
222
2
4
2
5
2
5
2
4
2
4
2
5





 



g
ccpp
H t
2
2
4
2
545





















 


III
est
g
ww
g
uupp
H
22
2
5
2
4
2
4
2
545

5 
 
E por fim a energia de pressão dinâmica. Além do aumento da energia de pressão estática, há o aumento da 
energia de pressão dinâmica, devido à variação da energia cinética do fluido ao escoar da entrada para a saída do 
rotor. 
 
(4.11) 
 
CONCEITOS DE AÇÃO E REAÇÃO 
A interpretação dos conceitos de ação e reação tem por base o conceito de energia de pressão estática dada 
pela eq. (4.10). E as máquinas de ação e reação são classificadas conforme segue: 
Hest=0 → máquina de ação ou pressão constante 
Hest>0 → máquina de reação 
 
Existe um número adimensional chamado de grau de reação (degree of reaction), que indica como cada uma 
destas máquinas transforma a energia. Quando a avaliação é feita sob o escoamento ideal, sem perdas, esta 
grandeza é denominada grau de reação teórico e é dada por, 
 
(4.12) 
 
 
(4.13) 
 
 
Exemplo 1: Um rotor de bomba centrífuga de 200 mm de diâmetro de saída gira a 3500 rpm. O ângulo das 
pás na saída é igual a 22º e a componente meridiana da velocidade absoluta na saída é igual a 3,6 m/s. Determinar a 
altura teórica para número infinito de pás. Considere escoamento com entrada radial. (R. 103,64 mca) 
 
Exemplo 2: Uma bomba centrífuga opera a 0,005 m3/s e rotação de 1500 rpm. O diâmetro do rotor na 
entrada é de 100 mm e na saída 200 mm. As alturas da pá na entrada e saída são 10 mm e 5 mm respectivamente. 
Determine a energia de pressão transmitida pelo rotor em termos de altura equivalente. O ângulo construtivo das 
pás na saída é de 30º. (R. 12,18 mca) 
 
Exemplo 3: Uma bomba centrífuga opera a 2,0 m3/min e rotação de 1200 rpm. A altura da pá na saída é de 
20 mm. O ângulo construtivo das pás na saída é de 25º. A componente meridiana da velocidade absoluta é de 2,5 
m/s.Determine: a) as alturas e potência teórica para número infinito de pás; b) as expressões das alturas e potências 
em função da vazão; c) o gráfico H-Q e P-Q de 0 a 4,0 m3/min. (R. a) 10,8 mca e 3,6kW; b)Ht∞[mca]=18,1-
218,6.Q[m3/s], e Pht∞[kW]=177,6Q[m
3/s]-2144,6.Q2[m3/s]) 





 

g
cc
H din
2
2
4
2
5
motoras
u
Cu
H
H
t
est
t 
4
4
2
1
geradoras
u
Cu
H
H
t
est
t 


5
5
2
1
6 
 
EQUAÇÃO FUNDAMENTAL – EFEITO DO NÚMERO FINITO DE PÁS 
Das condições iniciais estipuladas, duas afetam o rendimento de forma mais significativa, o atrito e o 
número finito de pás. No caso do atrito atribui-se um rendimento hidráulico que considera estas perdas, já o número 
finito de pás altera o triângulo de velocidades devido ao fenômeno conhecido por “escorregamento“. 
ESCORREGAMENTO 
A primeira característica que altera a carga (Ht∞) definida na concepção ideal do rotor é o escorregamento. 
Ao se deslocar pelo rotor a partícula, devido à sua inércia, tende a manter sua orientação com relação aos eixos 
fixos, criando um movimento circulatório em relação ao canal, conhecido como vórtice relativo (relative circulation). 
Na Figura 4.3 uma partícula fluida genérica foi representada por uma circunferência cortada por uma reta 
“AB”. Devido à inexistênciade atrito, a partícula atingirá a seção de saída do rotor (III) com a mesma direção que 
entrou (I). Porém, enquanto a partícula atravessa o rotor, este está em movimento, arrastando a partícula 
tangencialmente. Um observador, solidário ao rotor, verá a partícula num movimento radial, mas com certa rotação 
ao se mover (vórtice relativo). 
 
Figura 4.3 - Origem do vórtice relativo (Fonte: Silva, 2000) 
 
 O movimento através do rotor pode ser considerado então como uma composição de movimentos da 
corrente de passagem e do vórtice relativo (Figura 4.4). 
 
Figura 4.4 – Composição da corrente de passagem (Fonte: Silva, 2000)
 
 
O vórtice relativo produz uma corrente radial com sentido centrípeto junto à face de ataque da pá, em 
sentido contrário à corrente de passagem, resultando em uma redução da velocidade relativa nesta região. No dorso 
da pá (nas costas da pá) o sentido das duas correntes é o mesmo, e ocorre um aumento da velocidade relativa nesta 
região. Isto gera um gradiente de pressão através do canal com sobre pressão na face de ataque e depressão no 
dorso. 
7 
 
 
Figura 4.5 – Vórtice relativo e distribuição de pressão nas pás
3
 
 
Esta diferença de pressão gera um “tombamento” da velocidade relativa de saída do rotor na direção do 
dorso da pá, fazendo que a inclinação da velocidade relativa seja menor que o ângulo construtivo das pás do rotor. 
Conforme pode-se ver no triângulo de velocidades da Figura 4.6, a consideração de número finito de pás 
aumenta a velocidade relativa (W5#) se comparada ao que haveria se a consideração fosse com número infinito de 
pás (W5∞). Como a velocidade tangencial (u5) é a mesma e a vazão não se altera, ou seja Cm5#= Cm5∞, ocorre uma 
redução em C5∞ e consequentemente em Cu5∞. Reduzindo Cu5∞ ocorre automaticamente uma redução na altura 
(Ht∞) entregue ou recebida pelo rotor. 
 
 
Figura 4.6 – Representação dos triângulos de velocidades na saída (Fonte: Alé, 2011) 
 
 
 
 
 
3
 Fonte: http://www.nzdl.org/gsdlmod?e=d-00000-00---off-0hdl--00-0----0-10-0---0---0direct-10---4-------0-1l--11-en-50---20-about---00-0-1-00-0-0-11-
1-0utfZz-8-00-0-0-11-10-0utfZz-8-00&a=d&c=hdl&cl=CL1.11&d=HASH011f05bf8734d88d1a080257.14.3 
8 
 
A Figura 4.7 apresenta os triângulos de velocidade na saída de máquinas geradoras com rotores de 
diferentes ângulos construtivos. 
 
 
Figura 4.7 – Triângulos de velocidade na saída considerando o número finito de pás para vários tipos de ângulos construtivos 
 
CORREÇÃO DA ALTURA (Ht) DEVIDO AO NÚMERO FINITO DE PÁS 
Conforme discutido na seção anterior, o escorregamento gera uma redução na componente tangencial da 
velocidade absoluta, resultando em redução da carga do rotor. Será visto a seguir como quantificar isto. 
Os cálculos para definição da carga serão feitos considerando o escoamento congruente com as pás, ou seja, 
com número infinito de pás. Enquanto para as turbinas este procedimento é geralmente adequado e este valor pode 
ser usado como aproximação, no caso de bombas e ventiladores devem ser realizados alguns procedimentos para 
correção. A não correção neste último caso poderia levar a erros de até 35%. 
Como o número finito de pás pode alterar o triângulo de velocidades na saída, deve-se considerar estas 
variações para o cálculo da altura teórica para número finito de pás (Ht). Para máquinas motoras (turbinas) essas 
alterações podem ser desconsideradas e a altura teórica para número finito de pás (Ht) resulta: 
 tt HH (4.14) 
Já nas geradoras (bombas e ventiladores) estes efeitos diminuem a altura teórica sendo necessária uma 
correção: 
tttt aHHHH   (4.15) 
onde o fator “a” é um termo de correção, que Henn (2012) chama de fator de deficiência de potência (slip fator). 
Deve-se observar que não é um rendimento, pois não considera as perdas energéticas, mas sim a impossibilidade de 
atingir a situação idealizada, ou seja, a máquina teórica com número finito de pás entregará (ou receberá) menos 
energia que o quantificado para máquina teórica ideal (teórica com número infinito de pás). 
 
9 
 
Um dos métodos para definir esse fator de deficiência de potência é dado por Pfleiderer, 
2
5
41
1
21








r
rZ
a

 (4.16)
  “Z” é o número de pás 
 “ψ” é o fator de correção de Pfleiderer, um coeficiente experimental (Tabela 4.1) 
 
Tabela 4.1 – Valor de “ψ” em função do ângulo “β5” 
Ângulo construtivo da pá na saída (β5) 20º 23º 25º 30º 35º 40º 
Ψ (pás com guias) 0,76 0,80 0,81 0,85 0,90 0,94 
Ψ (pás sem guias) 0,86 0,90 0,91 0,95 1,00 1,04 
 
Exemplo 4: Um rotor de bomba centrífuga tem diâmetros de 150 mm e 300 mm na entrada e saída 
respectivamente. As alturas das pás são de 75 mm e 50 mm na entrada e saída. Os ângulos construtivos das pás na 
entrada e saída são 20º e 25º. A bomba gira a 1450 rpm e opera com água. Pede-se: a) altura teórica para número 
infinito de pás; b) considerando que a bomba tem 7 pás determine a altura teórica para número finito de pás 
(bomba sem pás guias). (R. Ht∞=37,41 e Ht=27,77mca). 
 
EFEITO DA ESPESSURA DAS PÁS 
A seguir serão feitas considerações sobre o efeito da espessura das pás no triângulo de velocidades. 
Considera-se que no capítulo anterior, de triângulo de velocidades, os cálculos usando a espessura das pás já foram 
apresentados. 
Considerando pás de espessura finita (espessura não desprezível), a área da seção transversal disponível 
para a passagem do escoamento é reduzida, se comparada à área existente antes das pás do rotor. Como isto não 
implica em variação de energia, a componente tangencial da velocidade absoluta (Cu) não varia. A componente da 
velocidade que será afetada é aquela relacionada à vazão, que é a velocidade meridiana (Cm). 
 
Figura 4.8 – Considerações do rotor com pás de espessura finita 
10 
 
Conforme pode ser visto na Figura 4.8 (a) a área da região 6 não é afetada pelas pás e sua espessura, já a 
área da região 5 tem sua magnitude reduzida, em relação a área da região 6, pela área ocupada pelas pás. 
Expressando matematicamente, com base na Figura 4.8 (b), 
44444
443
tSZbbDA
bDA




 
5555
556
5 tSZbbDA
bDA




 
Considerando que a vazão é dada por: 
434433
43
mm
AA
mm CCACACQ  
 
565566
56
mm
AA
mm CCACACQ  
 
Lembrando que o sub índice “3” indica a região imediatamente antes do fluido entrar no rotor, o “4” indica a 
região imediatamente após o fluido entrar no rotor. O sub índice “5” é a região imediatamente antes do fluido sair 
do rotor e o “6” a região imediatamente após o fluido deixar o rotor. E os triângulos de velocidades considerando a 
espessura das pás ficam, 
 
 
Figura 4.9 – Triângulos de velocidades na entrada e saída do rotor, ao considerar pás de espessura finita 
 
 
 
 
Figura 4.10 – Efeito do número finito de pás e de suas espessuras 
 
 
11 
 
Na Figura 4.10 os triângulos na saída são representados: 
 por linha cheia para o caso em que o escoamento é congruente com a pá (uma das consequências da 
hipótese de número infinito de pás), e a velocidade meridiana (Cm) foi calculada descontando a área 
ocupada pelas pás (pá com espessura não desprezível). 
 por linha tipo “traço-ponto” para o caso em que o escoamento sofre o efeito do escorregamento e 
não é congruente com a pá (uma das consequências da hipótese de número finito de pás) e a 
velocidade meridiana foi calculada descontando a área ocupada pelas pás (pá com espessura não 
desprezível). 
 Por linha tracejada para o caso do escoamento já fora do rotor,onde não há a restrição de área 
devido à presença das pás, o que reduz a velocidade meridiana (Cm). 
 
PERDAS e RENDIMENTOS 
Na transformação da energia hidráulica em trabalho mecânico, ou vice-versa, nem toda energia é realmente 
convertida de uma forma em outra, como seria o ideal, existindo uma parcela desta energia que acaba sendo 
perdida em processos irreversíveis, que degradam formas de energia mais nobres (mecânica) em formas de energia 
de qualidade inferior (calor e energia interna). 
Estas perdas que ocorrem nas máquinas hidráulicas podem ser classificadas como internas e externas. As 
internas estão localizadas no interior da carcaça da máquina, resultado da movimentação do fluido nesta região. As 
externas são as encontradas fora da carcaça, como o atrito do eixo com mancais, anéis de vedação e outras, que não 
estão relacionadas com o movimento do fluido em seu interior. 
Dentre as possíveis perdas que ocorrem, as mais significativas são: 
 Hidráulicas (perda interna) 
 Volumétricas (perda interna) 
 Mecânicas (perda externa) 
Perdas Hidráulicas 
Esta é a principal perda dentro da máquina hidráulica. Suas fontes são o atrito e as variações de seção e de 
velocidade, que em geral reduzem a pressão. São também conhecidas por “perdas nas pás” pois ocorrem 
principalmente nos canais. Serão representadas aqui por “Jh”, tendo por unidade a energia por unidade de peso. 
Ocorrem dentro das máquinas hidráulicas desde a seção de entrada até a de saída e são provocadas pelo: 
 atrito de superfície entre o fluido e as paredes da máquina (canais de rotor e sistema diretor); 
 deslocamento de camada limite provocado pela forma dos contornos internos das pás, aletas e outras 
partes constitutivas; 
 pela dissipação de energia por mudança brusca de seção e direção dos canais que conduzem o fluido 
através da máquina; e 
 pelo choque do fluido contra o bordo de ataque das pás, que ocorre quando a máquina funciona fora do 
ponto nominal (ponto de projeto). 
Nas bombas/ventiladores o trabalho dessa perda deve ser fornecido pelas pás ao fluido de trabalho, e nas 
turbinas esse trabalho é fornecido pelo fluido. 
12 
 
Estas perdas devem ser consideradas nos cálculos das alturas de elevação/queda (H), 
ht JHH  (4.17) 
 
 “Ht“ é a altura teórica (com rotor considerado como tendo número finito de pás) desenvolvida pelo rotor; 
 “H” é a altura de elevação/queda; e 
 “Jh” é a energia perdida por perdas hidráulicas dentro da máquina. 
 
Como é muito difícil a obtenção do termo “Jh” na eq.(4.18), faz-se uma relação que define o rendimento 
hidráulico (hydraulic efficiency) o que permite avaliar as perdas. 
1







t
h
H
H

 (4.18) 
Esse rendimento varia de 0,5 em bombas pequenas até 0,90 em grandes bombas. Em geral, para efeitos de 
projeto considera-se esse valor entre 0,85 e 0,88. Quando trabalham no ponto de projeto, as máquinas de fluxo têm 
esse rendimento entre 0,85 e 0,93 (orientativo). 
Perdas Volumétricas e Rendimento Volumétrico 
São as perdas que ocorrem devido à “fuga” de fluido pelos espaços entre o rotor e a carcaça, e entre a 
carcaça e o eixo, nos labirintos das turbomáquinas. Estas perdas não afetam muito a altura de elevação. 
 
Figura 4.11 – Esquema de labirinto em bomba centrífuga 
 
Os labirintos são os espaços entre o rotor/carcaça e eixo/carcaça da máquina, sendo sua função evitar o 
atrito sólido (contato) entre estas partes e ao mesmo tempo minimizar a fuga de fluido. São formados por anéis de 
desgaste renováveis, alojados na parte fixa da máquina ou no rotor, ou em ambos. Estes anéis permitem diminuir a 
folga e substituição destas partes quando gastos, sem que esse desgaste afete diretamente as partes fixas e móveis 
da máquina. Os anéis de desgaste são em geral de materiais menos resistentes que o da máquina. 
 
Figura 4.12 – Alguns tipos de labirintos 
 
13 
 
Verificando a Figura 4.13 é possível identificar dois pontos de fuga de fluido. Uma parcela (qe) se dá pelo 
labirinto “Lae” para fora da máquina (eixo/carcaça), e em geral é muito pequena dependendo do labirinto utilizado 
entre o eixo e a caixa da máquina (engaxetamento ou selo mecânico), podendo ser muitas vezes desprezada. A 
outra perda (qi) se dá pelo labirinto (Lai) entre o rotor e a carcaça. Esta fuga ocorre no sentido da região de alta 
pressão para a de baixa pressão, após passar o rotor, retornando para o tubo de sucção, sendo novamente 
bombeado, exigindo maior potência de acionamento da bomba. 
 
Figura 4.13 – Esquema de perdas por fuga de fluido pelos labirintos nas máquinas de fluxo 
 
Desta forma a vazão que realmente passa pelo rotor (Figura 4.13) e participa efetivamente das trocas de 
energia: 
it qQQ  , (4.19) 
 “Qt“ é a vazão teórica 
 “Q” é a vazão considerada no cálculo das alturas de queda e elevação 
 “qi” é a vazão perdida internamente 
Rendimento volumétrico 
Considera as perdas por fuga de fluido e para determinar isto usa-se o rendimento volumétrico (volumetric 
efficiency): 
11 














ti
v
Q
Q
qQ
Q

 
(4.20)
 
Perdas mecânicas 
São as perdas externas e representam principalmente as perdas por atrito em mancais, gaxetas e atrito do ar 
nos acoplamentos e volantes de inércia. As perdas nos mancais são função do peso da parte rotativa que ele 
suporta, da velocidade tangencial do eixo e do coeficiente de atrito entre as superfícies de contato. No caso das 
gaxetas deve-se considerar a velocidade tangencial do eixo, o coeficiente de atrito, da superfície de atrito e do grau 
de aperto da sobreposta da gaxeta, quanto maior este aperto maiores as perdas mecânicas. 
Rendimento mecânico 
É o rendimento que considera as perdas externas e sua relação é dada por: 
14 
 
1









ef
i
m
P
P

 
(4.21) 
 
Seu valor varia de 0,92 a 0,95 nas bombas mais recentes, sendo maiores nas de maior dimensão. Quando 
trabalham no ponto de projeto, as máquinas de fluxo têm rendimento mecânico na ordem de 0,99 (valor 
orientativo. 
Rendimento total 
A potência efetiva relaciona-se com a potência hidráulica através do rendimento total (total efficiency ou 
gross efficiency) da instalação. 
 
mhtmvh
ef
h
t
v
P
P
  ... 1
1









 

 
(4.22) 
 
Nas grandes bombas centrífugas esse rendimento passa de 85%. Nas pequenas, dependendo do tipo e 
condições de operação pode baixar a menos de 40%. Um valor razoável para o caso de estimativas é 60% para 
bombas pequenas e 75% para bombas médias. Quando trabalham no ponto de projeto, as máquinas de fluxo têm 
esse rendimento entre 80% e 90% (orientativo). 
POTÊNCIAS 
A potência é efetivamente a grandeza mais importante em termos de custos envolvidos em uma instalação, 
tanto de máquinas geradoras como máquinas motoras. Esta grandeza define a quantidade de energia por unidade 
de tempo (taxa de energia) consumida por máquinas geradoras (bombas e ventiladores). 
Potência eficaz (efetiva ou total) 
Conforme já mencionado é natural que ocorram perdas hidráulicas no interior das máquinas hidráulicas e 
perdas mecânicas pelo atrito mecânico que ocorrem externamente entre as suas partes fixas e girantes. Assim, nem 
toda energia cedida ou recebida pelo fluido pode ser transformada em trabalho mecânico no eixo da máquina, tem-
se então a potência eficaz ou efetiva é que expressa pela potência entregue/recebida do fluido, mais as potências 
perdidas no processo. 
pmief PPP  (4.23) 
 “Pef“ é a potência eficaz no eixo da máquina 
 “Pi“ é a potência interna 
 “Ppm”é a potência mecânica perdida 
 
Para o caso de bombas, a potência efetiva ou eficaz (Pef) é definida como sendo a potência entregue pelo 
motor no eixo da bomba. Também conhecida por potência motriz e BHP (Break Horse Power). 
Todas as perdas internas e externas produzem uma perda de potência que reduz a entrega, ou aumenta a 
necessidade, de potência eficaz das máquinas. 
15 
 
Potência interna (Pi) 
Considerando somente as perdas internas (hidráulica e volumétrica) obtêm-se a potência interna, que é a 
potência no eixo de entrada da bomba/ventilador, ou a potência no eixo de saída da turbina. Têm a propriedade de 
transmitir caor ao fluido de trabalho. 
   ttihi HQqQJHP   (4.24) 
Caso sejam considerados o atrito nas paredes externas do rotor, que gera uma potência de atrito no rotor 
(Pr), e a perta por troca de fluido, que gera uma potência Pa, então a potëncia interna é dada por 
 artti PPHQP   (4.25) 
 
A perda por troca ocorre devido à troca de fluido entre a região atrás do rotor e os canais das pás, que 
ocorre devido a desaceleração do escoamento, pois nesse caso a camada limite na região de saída deve fluir contra 
pressáo crescente. Ocorre então o perigo do retorno da camada limite ao rotor, ou seja, a necessidade dela ser 
novamente acelerada. Esta perda ocorre somente nas bombas e não nas turbinas. 
Potência hidráulica 
Aplicando o conceito físico, define-se a potência hidráulica como sendo o produto do peso de fluido que 
passa através da máquina, na unidade de tempo, pela altura de queda ou elevação; portanto este conceito é útil 
tanto para bombas como para turbinas hidráulicas: 
Assim pode-se escrever: 
 
gQHQHPh   (4.26) 
 
 γ:peso específico em [N/m
3
] 
 Q: vazão em volume [m
3
/s] 
 H: altura de queda ou elevação [m] 
 Ph: potência hidráulica [W] 
 g: gravidade (adota-se nesta apostila o valor de 9,81 m/s
2
) 
 ρ: massa específica [kg/m
3
] 
 
Então, potência hidráulica é a potência fornecida pela máquina geradora (bomba) para o fluido. Esta 
potência difere da potência efetiva devido a perdas que ocorrem nas transformações de energia. 
Considerando que a potência perdida interna é a produzida pelas perdas de pressão e por fuga de fluido: 
pihi PPP  
(3.9)
 
 “Ph“ é a potência hidráulica 
 “Ppi” é a potência perdida interna 
 
Exemplo 5: Uma bomba trabalha com uma altura manométrica igual a 22m e uma vazão igual a 20 l/s. O 
impelidor gira a 1500rpm. O diâmetro do rotor na entrada é de 135mm e na saída de 270mm. A largura da pá saída é 
de 10mm. O ângulo da pá na saída é de 30º. Considere um rotor com 7 álabes. A espessura da pá é de 3mm. 
Determinar: a) a potência teórica da bomba. 
16 
 
EXERCÍCIOS: 
1. Uma bomba com escoamento radial na entrada trabalha com uma vazão de 2,0m³/min e 1200 rpm. A altura do canal de saída do 
rotor é de 20 mm, e o ângulo construtivo de saída da pá é igual a 25º. A componente meridiana da velocidade absoluta na saída é de 
2,5m/s. Determine: a) as equações de Ht∞=f(Q) e Pht∞=f(Q) (R. Ht∞=18,1-218,6Q; Pht∞=117,56Q-2145Q
2
); b) Plote as curvas obtidas 
desde vazão nula até vazão de 4,0 m
3
/min; c) a altura e a potência hidráulica teórica para número infinito de pás nas condições 
dadas. (Resp.: Ht∞ = 10,8m; Pht∞ = 3,53kW). 
2. Uma bomba centrífuga opera com uma rotação de 1750 rpm fornecendo uma vazão de 318 m
3
/h. O rotor apresenta um diâmetro 
externo igual a 356 mm e um diâmetro interno de 97 mm. A altura da pá na entrada e saída é igual a 50mm. O ângulo construtivo da 
pá na entrada e na saída é igual a 23º. Considere que o fluido entra no rotor radialmente. Determine a altura teórica para numero 
infinito de pás. (Resp.: Ht∞ = 96,1m). 
3. Uma bomba opera com água (ρ = 1000 kg/m³), rotação de 2500 rpm e vazão de 360 m³/h. O diâmetro do rotor na entrada é de 150 
mm e na saída de 300 mm. A altura da pá na entrada é de 30 mm e na saída 15 mm. O ângulo construtivo da pá na saída é 25º. 
Determinar a altura, torque e potência teórica para número infinito de pás. Demonstre também os cálculos de todas as 
componentes do polígono de velocidade. (Resp.: Ht∞ = 96,00 m; Pht∞ = 94,18 kW; Tt∞ = 361,0 Nm). 
4. Considere os dados da tabela abaixo para uma bomba centrífuga com escoamento ideal que opera a 1450 rpm com água a 15ºC. 
Determine a equação da altura teórica para número infinito de pás versus a vazão da bomba (Ht∞=f(Q)). (Resp.: Ht∞ = 53 – 106Q). 
 Entrada Saída 
Diâmetro [mm] 150 300 
Altura pá [mm] 75 50 
Ângulo construtivo 20º 25º 
5. Uma bomba opera com água, rotação de 1750 rpm e vazão de 252 m3/h. O diâmetro do rotor na entrada é de 125 mm e na saída é 
de 250 mm. A largura da pá na entrada é igual a 30 mm e na saída é 18 mm. Os ângulos construtivos das pás na entrada e na saída, 
respectivamente, são de 30º e 40º. Esta mesma bomba possui um rotor de chapa fina conformada e pás com guias. A Equação que 
representa a curva da altura teórica para número finito de pás é dada por: Ht(m) 45,618 - 167,226Q (m
3/s). Determine o número de 
pás e equação que representa a altura teórica para número infinito de pás. (Resp.: z = 14 pás; Ht∞(m) = 53,83 – 197,33Q(m
3
/s)). 
6. Uma instalação com bomba hidráulica radial destinada a bombear 0,124 m3/s, apresenta uma altura teórica (considerando número 
finito de pás) de 62,61 m. Calcule a rotação da bomba para desenvolver estas grandezas de funcionamento conhecendo-se os 
seguintes dados do rotor: 
a. Entrada do rotor: diâmetro de 200 mm e altura da pá de 40 mm 
b. Saída do rotor: diâmetro de 400 mm e altura da pá de 18 mm 
c. Ângulo construtivo na saída: 24º 
d. Coeficiente de Pfleiderer: a=1,85 
Resp. n=1930 rpm 
7. Uma bomba centrífuga com entrada radial trabalha com água com vazão de 0,3 m
3
/s. O diâmetro do impelidor é de 250 mm e as pás 
tem 30 mm de largura na saída. Considere que as pás são radiais (β5=90º) na saída. Determine a altura teórica considerando número 
infinito de pás e a potência necessária quando a bomba trabalha com 1000 rpm. (R.17,5 m; 51,5 kW) 
8. Determinar o polígono de velocidades na entrada e na saída de uma bomba centrífuga que apresenta escoamento com entrada 
radial. O diâmetro interno do rotor é de 50 mm e o diâmetro externo do rotor é de 250 mm. A altura da pá na entrada é igual a 10 
mm e na saída é 5 mm. O ângulo construtivo da pá na entrada é igual a 20º e na saída igual a 23º. Considere que a bomba gira com 
uma rotação de 1300 rpm (b) Determinar a altura teórica, potência e torque da bomba. (R. Ht∞=27,5 m; T=3,85 Nm; Wt∞=524W) 
9. Determine o ângulo construtivo da pá na entrada do rotor e a rotação a que deverá girar. Os elementos conhecidos são os seguintes: 
a. Diâmetro do rotor na entrada: 220 mm 
b. Diâmetro do rotor na saída: 330 mm 
c. Ângulo construtivo da pá na saída: 30º 
d. Vazão na saída do rotor: 30 l/s 
e. Número de pás: 8 
f. Canais de seção (área transversal constante) 
g. Altura da pá na saída: 10 mm 
h. Altura teórica (nr.finito de pás): 17,65 m 
i. A bomba não tem aletas direcionais após o rotor 
j. Fator de estrangulamento na saída = 0,85 
(R. 1097,11rpm, 15,1º) 
10. Uma bomba radial girando a 1450 rpm trabalha com vazão de 26,7 l/s, velocidade meridiana na saída de 4,52 m/s; e altura teórica 
(nr.finito de pás) de 40,6 m. Pede-se calcular o número de pás do rotor e definir uma relação da nova altura teórica (nr.finito de pás) 
como função da vazão para o rotor girando a 1750 rpm. Os dados da bomba são: 
a. Diâmetro do rotor na entrada: 168 mm 
b. Diâmetro do rotor na saída: 360 mm 
17 
 
c. Canais de seção (área transversal constante) 
d. Altura da pá na saída: 10 mm 
e. A bomba não tem pás guias 
f. Espessura da pá = 5 mm 
g. a=1,211