Unidade 5 Eletricidade Aplicada

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ELEMENTOS EM SÉRIE
Como já vimos, uma bateria como a mostrada a seguir tem, em função da d.d.p, capacidade de pressionar um fluxo de cargas através de um simples circuito (gerar corrente elétrica). O terminal positivo atrai elétrons do fio com a mesma rapidez com que eles são fornecidos no terminal negativo (sentido eletrônico da corrente). Enquanto a bateria estiver ligada ao circuito e mantendo as suas características elétricas, a corrente através do circuito não terá variação de intensidade nem sentido.
Se considerarmos o fio um condutor ideal (não se opõe ao fluxo de elétrons = não têm resistência), a d.d.p. V entre os terminais do resistor será igual à tensão aplicada pela bateria: V (volts) = E (volts). O fluxo constante de carga nos leva a concluir que a corrente contínua I é a mesma em qualquer ponto do circuito. Segundo o sentido de fluxo convencional, vemos um aumento de potencial ao atravessarmos a bateria de (- para +) e uma queda de potencial ao atravessarmos o resistor (+ para -). Em circuitos em série com apenas uma fonte de tensão, a corrente convencional sempre passa de um potencial mais baixo para um mais alto ao atravessar a fonte de tensão como mostra a figura a seguir:
Entretanto, o fluxo convencional sempre passa de um potencial mais alto para um mais baixo ao atravessar um resistor, qualquer que seja o número de fontes de tensão no mesmo circuito, como mostra a figura a seguir:
5.2 CIRCUITOS EM SÉRIE
Dois ou mais elementos estão em série está em série sempre que:
Possuem somente um terminal em comum (apenas um terminal de um está conectado ao de outro);
O ponto em comum entre os dois elementos não está conectado a outro elemento percorrido por corrente;
O circuito a seguir possui três elementos conectados em três pontos (a, b, c), de modo a constituir um caminho fechado para a corrente I.
Perceba que os resistores R1 e R2 estão em série, afinal possuem apenas o ponto B em comum. As outras extremidades dos mesmos estão conectadas a outros pontos do circuito. Pela mesma razão, a bateria E e o resistor R1 estão em série (terminal a em comum), e o resistor R2 e a bateria E estão em série (terminar c em comum). Visto que todos os elementos estão em série, o circuito é chamado de circuito em série. Dois exemplos comuns fora da eletricidade de conexões em série são uma corda feita com pedaços menores remendados e um encanamento que transporta água de um ponto a outro.
Se o circuito acima for modificado de modo que um resistor R3 percorrido por corrente seja introduzido, conforme mostra a figura a seguir, R1 e R2 não estarão mais em série, pois a parte (2) da definição não estará mais sendo obedecida.
EM ELEMENTOS EM SÉRIES, A CORRENTE É SEMPRE A MESMA ATRAVÉS DOS ELEMENTOS
Portanto no circuito fechado apresentado anteriormente, a corrente I através de cada resistor é a mesma que passa na bateria. Esse fato é frequentemente usado para verificar se elementos estão ou não em série.
Chamamos de ramo do circuito qualquer parte dele que possua um ou mais elementos em série. No circuito fechado apresentado anteriormente, o resistor R1 constitui um ramo do circuito (começa em a e termina em b), o resistor R2 outro (começa em b e termina em c) e a bateria E, um terceiro. 
A RESISTÊNCIA TOTAL EM CIRCUITOS EM SÉRIE É A SOMA DAS RESISÊNCIAS DO CIRCUITO
No circuito fechado apresentado anteriormente, por exemplo, a resistência RT é igual a R1 + R2. Observe que a resistência total na verdade é a resistência que a bateria 'enxerga' quando observa a combinação dos elementos em série como é ilustrado a seguir:
Em geral, para determinar a resistência total ou equivalente de N resistores em série, aplicamos a seguinte equação:
Uma vez conhecida a resistência total, o circuito fechado apresentado anteriormente pode ser reescrito, como apresentado a seguir, mostrando que realmente a única resistência que a fonte de tensão enxerga é a equivalente. Não importa a disposição dos elementos para estabelecer a resistência total. 
Desde que a resistência total seja conhecida, a corrente drenada pela fonte pode ser determinada pela lei de ohm da seguinte forma:
Como a tensão E é fixa, a intensidade da corrente na fonte depende apenas do valor da resistência total de forma que uma resistência total elevada resultará em um valor relativamente pequeno de IS, enquanto valores pequenos de resistência total resultarão em grandes valores de IS.
O fato da corrente ser a mesma em todos os elementos do circuito permite calcular a tensão entre os terminais de cada resistor usando diretamente a lei de ohm, ou seja:
A potência fornecida a cada resistor pode então ser calculada utilizando qualquer uma das três equações já estabelecidas anteriormente. A seguir, o resistor R1 foi usado como exemplo:
A potência fornecida pela fonte é:
A POTÊNCIA TOTAL FORNECIDA A UM CIRCUITO É IGUAL À POTÊNCIA TOTAL DISSIPADA PELOS RESISTORES
EXEMPLO 5.1 Determine, para o circuito mostrado na figura 5.7, a resistência total, a corrente fornecida pela fonte IS, as tensões V1, V2 e V3, a potência dissipada por R1, R2 e R3 e a potência fornecida pela fonte, comparando-a com a soma das potências calculadas. 
Para determinar a resistência total de N resistores de mesmo valor em série, basta multiplicar o valor de um dos resistores pelo número total de resistores, n, no circuito:
EXEMPLO 5.2 Determine RT, I e V2 para o circuito mostrado na figura 5.8.
Os exemplos 5.1 e 5.2 são problemas cuja solução é obtida pela substituição direta dos valores em fórmulas, sendo, portanto, extremamente fáceis. Entretanto, o 5.3 apresenta, evidentemente, outro tipo de problema no qual é necessário sólido conhecimento das equações fundamentais e capacidade de identificar qual equação deve ser usada primeiro. O melhor treino para esse tipo de exercícios é simples resolver tantos quanto for possível.
EXEMPLO 5.3 Dados RT e I, calcule R1 e E para o circuito visto na figura 5.9.
5.3 FONTES DE TENSÃO EM SÉRIE
Várias fontes de tensão podem ser dispostas em série de modo a aumentar ou diminuir a tensão aplicada a um circuito. A tensão resultante aplicada a um sistema é determinada somando as tensões de mesma polaridade e subtraindo as tensões de polaridades contrárias. A polaridade resultante é aquela para a qual a soma é maior.
Em (a), por exemplo, as fontes estão todas 'forçando' a corrente para direita, de modo que a tensão resultante é dada por: ET = E1 + E2 + E3 = 10V + 6V + 2V = 18V. Já em (b), a maior força é para a esquerda, o que resulta em uma tensão dada por: ET = E2 + E3 – E1 = 9V + 3V – 4V = 8V
5.4 LEI DE KIRCHHOFF PARA TENSÕES
A SOMA ALGÉBRICA DAS ELEVAÇÕES E QUEDAS DE TENSÃO EM UMA MALHA FECHADA É ZERO
Uma malha fechada é qualquer caminho contínuo que, ao ser percorrido em um sentido a partir de um ponto, retorna ao mesmo ponto, vindo do sentido contrário. Na figura 5.12, seguindo a corrente, podemos traçar um caminho contínuo que deixa o ponto A através de R1 e volta através de E sem deixar um circuito. Sendo assim, ABCDA é uma malha fechada.
Para podermos aplicar a lei de Kirchhoff para tensões, a soma das tensões, assim como das quedas, precisa ser feita percorrendo o sentido em um determinado sentido. Por convenção, usaremos o sentido horário, mas saiba que com a aplicação correta da lei, o sentido anti-horário também pode ser adotado.
Um sinal positivo indica uma elevação de potencial de (- para +), e um sinal negativo indica uma queda de potencial de (+ para -). Se seguirmos a corrente no circuito da fig. 5.12 a partir do ponto a, primeiro encontraremos uma queda de potencial V1 (de + para -) entre os terminais de R1, depois outra queda V2 entre os terminais de R2. Ao passar pelo interior da fonte, temos um aumento de potencial E (- para +) antes de retornar ao ponto a. Em forma simbólica, usando notação de somatório para representaro somatório em sentido horário, P para malha e V para as variações de potencial, temos:
O que para o circuito da figura 5.12, leva a (usando o sentido horário, seguindo a corrente I e começando em d):
+E – V1 – V2 = 0 --> E = V1 + V2
A TENSÃO APLICADA A UM CIRCUITO EM SÉRIE É IGUAL À SOMA DAS QUEDAS DE TENSÃO NOS ELEMENTO
Que expressando em palavras, significa que a soma das elevações de potencial numa malha fechada tem de ser igual à soma das quedas de potencial. 
A APLICAÇÃO DA LEI DE KIRCHHOFF PARA TENSÕES NÃO PRECISA SEGUIR UM CAMINHO QUE INCLUA ELEMENTOS PERCORRIDOS POR CORRENTE
Note que na figura 5.13 há uma diferença de potencial entre os pontos a e b, embora os pontos não estejam conectados por um elemento percorrido por corrente. 
Temos que –Vx – 8V + 12V = 0 e portando, Vx = 4V.
EXEMPLO 5.4 Determine as tensões desconhecidas nos circuitos da figura 5.14
Quando estamos trabalhando com a lei de Kirchhoff para tensões, não devemos nos preocupar com os elementos. Não importa se é uma queda de tensão num elemento resistivo ou numa fonte. Importa apenas se é uma queda de tensão. Na figura 5.14(a), por exemplo, se escolhermos o sentido horário, descobriremos que existem quedas de tensão nos resistores R1 e R2 e também na fonte E2. Todas essas diferenças de potencial deverão portando ser tomadas com sinal negativo ao aplicarmos a lei de Kirchhoff para tensões. Assim, teremos: 
Esse resultado mostra claramente que não é necessário conhecer os valores dos resistores ou corrente para determinar a tensão desconhecida. Os valores das outras tensões são suficientes. 
Já na figura 5.14(b), a tensão desconhecida não está entre os terminais de um elemento percorrido por corrente. Entretanto, como mencionado nos parágrafos anteriores, a lei de Kirchhoff para tensões não se aplica apenas a elementos percorridos por corrente. Nesse caso, há duas formas possíveis de calcular a corrente desconhecida. A primeira dela é adotando o sentido horário, incluindo a fonte de tensão E e a outra, é usando o sentido horário para a outra malha que envolve R2 e R3:
EXEMPLO 5.5 Determine V1 e V2 para o circuito mostrado na figura 5.15
Para a malha 1, começando do ponto a e escolhendo o sentido horário, temos:
Para a malha 2, começando do ponto a e escolhendo o sentido horário, temos:
O sinal negativo indica apenas que as polaridades reais das d.d.p são opostas àquelas escolhidas inicialmente na Figura 5.15
O exemplo a seguir enfatiza o fato de que quando aplicamos a lei de Kirchhoff para tensões, as polaridades das quedas ou elevações de tensão são os parâmetros que importam, e não os tipos de elementos envolvidos.
EXEMPLO 5.6 Usando a lei de Kirchhoff para tensões, determine as tensões desconhecidas para os circuitos mostrados na figura 5.16
Note em cada circuito que as polaridades dos elementos desconhecidos, representados por retângulos, indicam que eles podem conter fontes, resistores ou uma combinação dos dois tipos de componentes. Aplicando a lei de Kirchhoff para tensões aos circuitos apresentados na figura 5.16(a) no sentido horário, temos:
Na figura 5.16(b), a polaridade da tensão desconhecida não foi indicada. Em casos como esse, suponha uma polaridade qualquer e use a lei de Kirchhoff para tensões como nos exemplos anteriores. Se o resultado for positivo, a polaridade escolhida estava correta. Se for negativo, o valor absoluto está correto, mas a polaridade terá de ser invertida. Nesse caso, se supusermos que a é o terminal positivo e b, o negativo, e aplicarmos a lei de Kirchhoff para tensões no sentido horário, teremos: 
Como o resultado foi negativo, sabemos que a deve ser negativo e b positivo, mas o valor absoluto 18V está correto.
EXEMPLO 5.7 Para o circuito da Figura 5.17, determine RT, I, V1, V2, a potência dissipada pelos resistores R1 e R2, a potência fornecida pela bataria, comparando-a a dissipada pelos resistores combinados e verifique a lei de Kirchhoff para tensões (sentido horário).
EXEMPLO 5.8 Para o circuito da Figura 5.18, determine V2 usando a lei de Kirchhoff para correntes, I, R1, R3
5.5 INTERCAMBIANDO ELEMENTOS EM SÉRIE
É possível intercambiar elementos em série sem alterar sua resistência total, a corrente que percorre o circuito nem a potência consumida pelos elementos. O circuito da figura 5.19, por exemplo, pode ser redesenhando conforme mostra a figura 5.20, sem que os valores de I e V2 sejam alterados. 
EXEMPLO 5.9 Determine I e a tensão entre os terminais do resistor de 7 Ω no circuito na Figura 5.21
5.6 REGRA DOS DIVISORES DE TENSÃO
EM CIRCUITOS EM SÉRIE, A TENSÃO ENTRE OS TERMINAIS DOS ELEMENTOS RESISTIVOS SE DIVIDE NA MESMA PROPORÇÃO QUE OS VALORES DA RESISTÊNCIA
Por exemplo, as tensões entre os terminais dos elementos resistivos mostrados na figura 5.23 são dadas. O maior resistor de 6 Ω, captura a maior parte da tensão aplicada, enquanto o menor deles, R2, captura a menor. Note também que, como a resistência de R1 é 6x maior que a de R3, a tensão entre os terminais de R1 também é 6x maior que a entre os terminais de R3. O fato de que a resistência de R2 é 3x maior entre os terminais de R2, resulta em uma tensão 3x maior entre os terminais de R2. Finalmente, como R1 é o dobro de R2, a tensão entre seus terminais é 2x maior que a entre os terminais de R2. Portanto, em geral, a tensão entre terminais de resistores em série está na mesma razão que suas resistências.
É particularmente interessante notar que, se a resistência de todos os resistores da figura 5.23 for aumentada NA MESMA PROPORÇÃO, como mostrado na figura 5.24, os valores da tensão permanecerão os mesmos. Em outras palavras, ainda que as resistências sejam multiplicadas por um milhão, as tensões continuarão as mesmas. Assim, fica claro que é relação (razão) entre os resistores que conta para a divisão da tensão e não seus valores absolutos. Apesar disso, o valor da corrente será extremamente afetado pela mudança dos valores.
A regra dos divisores de tensão permite calcular determinar as tensões sem determinar primeiro a corrente. A regra pode ser deduzida analisando o circuito da figura 5.26.
Estabelecemos anteriormente que RT = R1 + R2 e I = E / RT. Aplicando a lei de ohm, temos:
Assim, temos que: 
Onde Vx é a tensão entre os terminais Rx, E é a tensão aplicada pela fonte aos elementos em série e RT é a resistência total do circuito em série.
EXEMPLO 5.10 Determine a tensão V1 para o circuito mostrado na Figura 5.27
EXEMPLO 5.11 Usando a regra dos divisores de tensão, determine as tensões V1 e V3 para o circuito em série visto na Figura 5.28.
EXEMPLO 5.12 Determine a tensão V' na figura 5.28 entre os terminais dos resistores R1 e R2.
Também não é necessário que a tensão E na equação seja a tensão da fonte no circuito. Por exemplo, se V é a tensão entre os terminais de um conjunto de elementos em série, como mostrados na figura 5.29, então:
EXEMPLO 5.13 Projete o divisor de tensão mostrado na Figura 5.30 de forma que VR1 = 4VR2.
5.7 NOTAÇÃO 
Na maioria dos casos, circuitos são aterrados por questão de segurança. O símbolo que representa o aterramento é mostrado na figura 5.31 com seu valor de potencial definido (zero volts)
Embora a figura 5.32 (c) não mostre nenhuma conexão entre os dois símbolos de terra, supõe-se que essa ligação exista para garantir o fluxo contínuo de elétrons.
Se E = 12V, então o ponto está a um potencial de 12V em relação ao potencial nulo da terra e existem 12V entre os terminais da combinação em série dos resistores R1 e R2. Se um voltímetro conectado entre o ponto b e a terra lê 4V, então a tensão entre os terminais de R2 é 4V, com o potencial maior em b.
Em diagramas esquemáticos maiores, nos quais o espaço precisa ser aproveitado ao máximo e a clarezade informações é muito importante, as fontes de tensão podem ser representadas como nas figuras 5.33(a) e 5.34(a). A real representação das mesmas pode ser vista nas figuras 5.33(b) e 5.34(b)
Além disso, os valores de potencial podem ser indicados na figura 5.35 para permitir uma verificação rápida dos valores dos potenciais, relativos ao ponto terra, em vários pontos de um circuito, para assegurar que o sistema está operando adequadamente.
Notação de índice inferior 
O fato de a tensão ser uma grandeza que é estabelecida entre dois pontos resultou em uma notação de duplo índice inferior que define o primeiro índice inferior como correspondente ao ponto de maior potencial. Na figura 5.36(a), os dois pontos que definem a tensão entre os terminais do resistor R são representados por a e b. Como a é o primeiro índice em Vab, o ponto a deve estar a um potencial maior que o de b para que Vab tenha valor positivo. Se na verdade o ponto b estiver a um potencial maior que o de a, Vab terá valor negativo, conforme indicado em 5.36 (b).
Notação de índice inferior único 
Se o ponto b da notação Vab for especificado como o potencial da terra (nulo), então uma notação de subscrito inferior único poderá ser usada para informar a tensão em um ponto em relação ao ponto de terra. Na figura 5.37, Va é a tensão entre a e o ponto de terra. Nesse caso, ela é obviamente 10V, pois é medida diretamente entre os terminais da fonte de tensão E. A tensão Vb é a tensão entre o ponto b e o ponto de terra. Como a tensão é obtida diretamente sobre o resistor de 4 Ω, Vb = 4V.
EXEMPLO 5.14 Determine a tensão Vab para as condições mostradas na Figura 5.38.
EXEMPLO 5.15 Determine a tensão Va para a configuração ilustrada na Figura 5.39
EXEMPLO 5.16 Determine a tensão Vab para a configuração mostrada na Figura 5.40
EXEMPLO 5.17 Determine as tensões Vb, Vc e Vac no circuito visto na Figura 5.42.
Começando no potencial da terra (zero volt), subimos 10V para chegar ao ponto a e em seguida passamos por uma queda de potencial de 4V para chegar ao ponto b. O resultado é o que o medidor lerá:
Se continuarmos até o ponto c, haverá uma queda adicional de 20V, o que nos dará:
A tensão Vac pode ser obtida da seguinte forma:
EXEMPLO 5.18 Determine Vab, Vcb e Vc para o circuito mostrado na Figura 5.45
Há dois modos de resolver esse problema. O primeiro é fazer um esboço como o da Figura 5.46 e notar que existe uma queda de 54V entre os terminais dos resistores em série R1 e R2. A corrente pode então ser determinada usando a lei de Ohm e os valores das tensões como segue:
O outro modo é redesenhar o circuito como mostrado na Figura 5.47 para estabelecer o efeito somatório de E1 e E2 para então resolver o circuito em série:
EXEMPLO 5.19 Usando a regra dos divisores de tensão, determine V1 e V2 da Figura 5.48.
Redesenhando o circuito com o símbolo de bateria, obtemos o circuito da Figura 5.49. Aplicando a regra dos divisores de tensão, temos:
EXEMPLO 5.20 Para o circuito visto a Figura 5.20, calcule Vab, Vb e Vc.
5.8 RESISTÊNCIA INTERNA DAS FONTES DE TENSÃO
Toda fonte de tensão, seja ela um gerador, uma bateria ou uma fonte de alimentação para experiências em laboratório, possui resistência interna. O circuito equivalente de qualquer fonte de tensão então é parecido com o mostrado em 5.51(b)
Em todas as análises de circuito até agora, usamos fontes de tensão ideais que não apresentavam resistência interna, como a mostrada em 5.52(a). Nesse tipo de fonte, sua tensão de saída é E volts, tenha ela carga ou não. Já nas fontes reais, como a mostrada em 5.52(b), a tensão de saída só é E volts, se a fonte não estiver ligada a nenhuma carga (IL = 0). Quando uma carga é conectada a fonte (figura 5.52(c)), a tensão de saída da fonte diminui devido à queda da tensão na resistência interna.
Aplicando a lei de Kirchhoff para tensões ao circuito (c), temos:
Se o valor de Rint não for conhecido, ele pode ser achado através da equação a seguir:
Um gráfico da tensão de saída (VL) em função da corrente, para um gerador CC, é mostrado na figura 5.53 e o circuito interno dele aparece em 5.51(b). Observe que um aumento de corrente de carga, a partir de qualquer nível de tensão, corresponde a uma queda na tensão entre os terminais de saída devido a maior queda de tensão na resistência interna Vint = IFLRint = (10A) (2 Ω) = 20V, e a tensão entre os terminais de saída de gerador cai de 100V – uma diferença significativa quando se espera que um gerador de 120V se a corrente na carga permanecer abaixo do valor máximo. Se fosse permitido que a corrente de carga aumentasse sem limites, a queda de tensão na resistência interna chegaria a ser igual à tensão da fonte, e a tensão de saída do gerador chegaria à zero.
Quanto maior a resistência interna, maior a inclinação da curva característica mostrado em 5.53. Na realidade, seja qual for o intervalo de tensão ou corrente escolhido, a resistência interna é dada por:
Para o intervalo escolhido de 5-7A (ΔIL = 2A) em 5.53, ΔVL = 4V e Rint = ΔVL / ΔIL = 4V / 2A = 2Ω
Uma consequência direta da queda da tensão de saída é uma queda de potência fornecida à carga. Multiplicando os dois membros da equação (5.13) por IL que atravessa o circuito, temos:
EXEMPLO 5.21 Antes que a carga seja conectada, a tensão de saída da fonte mostrada na Figura 5.54(a) está ajustada para 40V. Quando uma carga de 500 Ω é conectada, como mostra a Figura 5.54(b), a tensão de saída cai para 38,5V. O que aconteceu ao restante da tensão e qual a resistência interna da fonte.
A diferença 40V - 38,5V = 1,5V aparece entre os terminais da resistência interna da fonte. A corrente na carga é 38,5 V / 0,5 Ω = 77 mA. Aplicando a Equação 5.14, temos:
EXEMPLO 5.22 A bateria vista na Figura 5.22 possui uma resistência interna de 2 Ω. Determine a tensão com carga (VL) e a potência dissipada pela resistência interna se a carga for um resistor de 13 Ω.