Juros Simples 2016

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EDUCAÇÃO DE QUALIDADE INTERNACIONAL
UNIFAVIP/DeVry 
Curso de Administração de Empresas
Departamento de Matemática e Estatística.
Professor: Alessandro Bruno de S. Dias
Aluno:_________________________Tuma:___________
MATEMÁTICA FINANCEIRA – JUROS SIMPLES
JUROS SIMPLES – PERÍODO DE CAPITALIZAÇÃO – TAXA DE JUROS – VALOR PRESENTE (VP) – VALOR FUTURO (VF) – DIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA – PROPORCIONALIDADE DE TAXAS – EQUAÇÕES – DESCONTO SIMPLES – DESCONTO DE DUPLICATAS – TAXA DE RENTABILIDADE E TAXA DE DESCONTO – VALOR NOMINAL – MODELOS DE DUPLICATA E PROMISSÓRIA (DESCONTO DE TÍTULOS DE CRÉDITO) MÉTODO HAMBURGUÊS (CÁLCULO DE IOF DESCONTO DE DUPLICATAS)
	Matemática Financeira
– JUROS SIMPLES 
INTRODUÇÃO
Nesta seção, serão apresentadas as técnicas aos cálculos de JUROS, no regime de
Capitalização simples.
Por meio da utilização das equações dos Juros Simples, serão determinadas várias 
Grandezas associadas às operações dessa natureza.
DEFINIÇÕES
Juros são a remuneração devida ou obtida pela captação ou aplicação do fator capital,
Respectivamente. Em outras palavras , é o valor pago/recebido pelo “aluguel” do capital. Os 
Juros visam dar uma compensação àquele que disponibiliza o capital em função, basicamente,
de três fatores: risco, custo de oportunidade e depreciação do capital.
Exemplo: 
Empréstimo: 53.000,00 a serem pagos em 12 prestações de $400,00.
Valor total pago: 12 x $ 400,00= $4.800,00
Juros devidos: $4.800,00 - $ 3.000,00 = $1.800,00
Capitalização é a correção feita sobre o valor do capital em função do tempo.
Exemplo: Capitalização 
Data 10/05/X7 10/07/X7
Saldo da Aplicação $10.000,00 $14.000,00
 
 Descapitalização
Período de Capitalização é o intervalo de tempo compreendido entre dois momentos consecutivos de apuração dos juros devidos.
Matemática Financeira
Exemplo:
	Investimento: Poupança.
	Data da aplicação: 03/04/X7
	Intervalo entre aplicação e crédito dos juros: 1 mês
	Conclusão: a Poupança tem período de capitalização igual a 1 mês.
Representado pela letra “n’, o Prazo de uma captação/aplicação eqüivale ao número de períodos de capitalização envolvidos na operação.
Exemplo:
	Financiamento de veículo a ser pago em 12 prestações mensais.
	O prazo desta operação será de 1 ano.
Taxa de Juros “ i “ representa o percentual do valor da operação que será pago/recebido ao final de cada período de capitalização a título de juros. A taxa de juros representa a velocidade de crescimento do capital durante o prazo da operação.
Exemplo:
Data 01/05/X3 01/06/X3 01/07/X3
Saldo da Aplicação $1.000,00 $1.150,00 $1.300,00 
 
 + $150,00 + $150,00
Velocidade de crescimento do capital: $150,00 por mês.
Em termos percentuais 150/1.000,00 = 0,15 = 15%
Regime de Capitalização Simples (Juros Simples) é caracterizado pelo fato da taxa de juros ser aplicada, ao final de cada período de capitalização e durante todo o prazo da operação financeira, única e exclusivamente sobre o valor inicial da negociação. Portanto, os juros devidos e não pagos/recebidos não sofrem qualquer processo de capitalização. Na prática, isto quer dizer o valor dos juros devidos a cada período não varia com o tempo.
Exemplo:
	Aplicação: 
	$
	1.000,00
	Juros do 1.º período 
	$
	110,00
	Juros do 2.º período 
	$
	110,00
	Juros do 3.º período 
	$
	110,00
 Matemática Financeira
Valor Presente ou Principal é o valor do capital disponibilizado no início da operação
Financeira, ou seja, antes de sofrer qualquer processo de capitalização.
		Exemplo: Você aplicou $1.000,00 e resgatou $1.200,00 após 4 meses.
			 Principal da operação: $1.000,00
Valor Futuro ou Montante representa a soma do valor presente com os juros devidos até o momento da sua apuração. O valor futuro não está necessariamente associado ao fim da operação, podendo ser determinado em qualquer instante posterior ao início da mesma.///
Exemplo:
	Aplicação: 
	$
	1.000,00
	$
	
	
 
 Valores 
 Futuros 
	Juros do 1.º período 
	$
	110,00
	$
	1.110,00 
	
	Juros do 2.º período 
	$
	110,00
	$
	1.220,00
	
	Juros do 3.º período 
	$
	110,00
	$
	1.330,00
	
	
 Juros do 10.º período $ 110,00 $ 2.100,00 
O DIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA
Representação gráfica do conjunto de entradas e saídas de caixa resultantes de uma operação.
 S( S(
 S ( S(
,
 i(%) 
 0 1 2 3 4 5 
 
 S( S(
A linha horizontal é uma escala temporal, onde cada subdivisão representa um período de capitalização. As entradas e saídas são representadas por setas apontadas para cima e para baixo , respectivamente. 
Matemática Financeira
Esta representação gráfica é um recurso largamente empregado nas operações de matemática financeira, pois permite uma visão mais ampla e mais precisa do horizonte financeiro do empréstimo/investimento.
Exemplo: Aplicação (saída) hoje (data 0) de $1.000,00 . Resgate (entrada) , em três períodos (data 3), no valor de $1.200,00. $1.200,00
 0 1 2 3 
 Períodos (n)
EQUAÇÕES
Basicamente, quando um investidor aplica um certo capital (Valor Presente – VP), está preocupado em saber, além do prazo da aplicação (n), a taxa de juros (i), que será aplicada sobre o seu dinheiro, pois desta maneira, poderá determinar o valor que será resgatado (Valor Futuro – VF) ao final do prazo de operação.
O cálculo dos Juros Simples é feito através do produto das seguintes variáveis: Valor Presente, taxa de juros e prazo da operação. Assim,
Juros = VP . i . n
De acordo com as definições vistas anteriormente, o Valor Futuro de uma operação financeira a juros simples é dado por:
		VF = VP + VP . i . n
Algumas considerações importantes:
As taxas de juros utilizam uma notação característica para as suas unidades, por exemplo: i = 15% ao mês = 15% a . m . i = 10% ao ano = 10% a.a., e assim por diante. A partir de agora, esta será a notação que iremos empregar
Na realização dos cálculos, a taxa de juros e o prazo da operação devem estar representados em unidades compatíveis, ou seja, a taxa deve ser expressa para períodos iguais aos períodos de capitalização. Se você tiver, por exemplo, uma taxa de juros mensal – i = 10% a .m . , para um investimento cujo prazo é de 1 ano, deve assumir em seus cálculos, levando em consideração o fato de que um ano tem 12 meses, n= 1.12 = 12 meses, ou então conservando a unidade do prazo (n=1ano), modificar aquela referente a taxa de juros, admitindo nos cálculos i= 10% . 12 = 120% a.a..
Deve-se Tersempre em mente que, apesar das taxas de juros normalmente serem apresentadas na forma percentual , por exemplo, i= 20% a.m., no momento de efetuar os cálculos, ao lançar o valor das mesmas nas equações, estes devem ser colocados na forma unitária, ou seja, i= 0,20 a.m., Para se obter esta representação, chamada de representação 
Matemática Financeira
unitária, basta dividir o valor da forma percentual por 100. Como por exemplo, suponha que você tem uma taxa de juros i= 23%a.a., o valor que deve ser aplicado nas equações é i=23/100 = 0,23 a.a. ..
Uma propriedade importante do regime de capitalização simples é a proporcionalidade que as taxas de juros conservam ao longo do tempo. Por exemplo, uma taxa de juros simples de 15% a . m. , ao ser representada para um período de um ano , assume o valor proporcional de 12 . 15% = 180% a.a.. Resumindo, se você estiver trabalhando com uma taxa de juros simples, a conversão de taxa anual para mensal ou vice versa é feita por meio de uma regra de três simples, como segue:
		I = 10% a.m. = ?% a.a.
		10%			está para		1 mês
		X%			está para		12 meses (1 ano)
Solucionando , tem-se:
		10 = 1 ( X% = 12 .10%
 X% 12
		X% = 120% a.m.
Note bem:
A relação de proporcionalidade utilizada acima só será válida quando você estiver lidando com regimes de capitalização simples. Nos casos em que o regime de capitalização for composto, tal relação deverá ser substituída por relações de eqüivalência de taxas de juros, assunto este que será abordado, oportunamente mais adiante.
APLICAÇÕES PRÁTICAS
O regime de capitalização simples encontra aplicação nos cálculos dos juros devidos nas operações com cheques especiais. Assim , você poderá conferir a exatidão das cobranças de juros lançadas nos seu extrato bancário.
Operações de desconto de duplicatas , além de outros tipos de descontos bancários, utilizam o regime de capitalização simples em seus cálculos. Tais operações serão abordadas na próxima seção deste trabalho.
Matemática Financeira
CONCLUSÃO
Equações Básicas:
		Juros = VP . i . n
		VF = VP + VP . i . N
Variáveis:
		VP = Valor Presente
		VF = Valor Futuro
		 i = Taxa de Juros	
		n = Prazo da Operação
Questões Básicas
Nos problemas de Juros Simples, normalmente são dados os valores de três das variáveis e solicitado o valor da quarta variável.
	Dados
	Variável Calculada
	VP, i, n
	 VF
	VP, i, n
	 VP
	VF, VP, n
	 I
	VF, VP, i
	 N
A solicitação da determinação dos juros resultantes da operação é, também, muito comum
nos problemas envolvendo Juros Simples.
Procedimentos Importantes:
Compatibilizar as unidades da taxa de juros e do prazo da operação
Matemática Financeira
O MÉTODO HAMBURGUÊS
Empregado largamente pelas instituições financeiras nas suas operações de bastidores que envolvem o regime de capitalização simples.
Por representar apenas uma simplificação da metodologia dos Juros Simples, pode ser utilizada nos cálculos sem qualquer restrição.
A fórmula:
 
 
 Juros = ( Nº 
 3.000
Onde,
 		( Nº é a soma dos produtos (valor da operação x prazo em dias)
		i é a taxa mensal expressa na forma percentual.
EXEMPLO:
Suponha que você tenha feito a seguinte movimentação em sua conta bancária:
	EXTRATO
	DATA
	HISTÓRICO
	D
	C
	SALDO
	01/03/X7
	Saldo
	
	
	200
	02/03/X7
	Cheque 0100
	500
	
	(300)
	08/03/X7
	Cheque 0101
	1.000
	
	(1.300)
	15/03/X7
	Depósito em dinheiro
	
	2.000
	700
	20/03/X7
	Cheque 0108
	2.500
	
	(1.800)
De posse desses dados, como você faria para saber o valor dos juros que serão debitados
em sua conta corrente em 01/04/X7, utilizando o Método Hamburguês? A taxa de juros cobrada pelo seu banco é de 9% ao mês.
Matemática Financeira
MÉTODO HAMBURGUÊS
Fórmula:
			Juros = ( Nº
 3.000
A taxa de juros deve ser mensal e empregada na forma percentual .
Na obtenção do (Nº , o valor individual (principal) de cada operação deve ser multiplicado pelo respectivo número de dias.
Ler e interpretar, com bastante atenção, os enunciados dos problemas. O correto entendimento da operação que está sendo avaliada será de fundamental importância para o sucesso da solução que você desenvolverá e, em conseqüência, da decisão que você tomará . 
– DESCONTOS SIMPLES
INTRODUÇÃO
Nesta seção, você vai aprender os significados das Taxas de Descontos e Taxas de Rentabilidade. Serão estudadas algumas das suas aplicações mais comuns no mercado, tais como o desconto de duplicatas e outros títulos, que são operações comuns no cotidiano do comércio.
DEFINIÇÕES
 Os prazos de uma operação financeira podem ser dados tanto em termos comerciais quanto em termos do calendário civil. O mês comercial tem , sempre 30 dias, O ano comercial tem 360 dias, ao invés de 365 constante do calendário anual.
Exemplo:
		Operação realizada entre as seguintes datas 01/04/X7 e 01/06/X7
		Números de dias entre as datas: 62 dias
		Números de dias pelo mês comercial: 61 dias 
Matemática Financeira
A Taxa de Rentabilidade é aquela sobre o Valor Presente ( VP (Principal). Durante o prazo “n”, produz o Valor Futuro ( VF, durante “n” períodos, para produzir o Valor Presente ( VP, Esquematicamente, tem-se:
 
 VP VF
 
 
 Taxa de Desconto – D
Exemplo:
Valor do título no seu vencimento: VF = $1.450,00, após 3 período
Valor do título recebido antes do vencimento : VP= 1.000,00
	Taxa de Rentabilidade i= 450/(1.000 . 3) = 15% por período
	Taxa de Desconto D= 450/(1.450 . 3 ) = 10,34% por período
	Análise: Numa operação de desconto como esta, a instituição tem um ganho 
exatamente na diferença entre a taxa de desconto e a taxa de rentabilidade.
Valor Nominal : é o valor de um título na data do seu vencimento
	Exemplo:
		Duplicata no valor de $5.000,00, com vencimento em 90 dias.
		Valor nominal da duplicata: $5.000,00
Taxa de Desconto x Taxa de Rentabilidade
Em um dado momento, a taxa de rentabilidade – i – é igual a taxa de desconto – D. 
Suponha que o valor seja de 10% ao mês. Apesar das duas taxas serem iguais, os 
resultados conseguidos com a aplicação das duas em situações práticas são bem 
distintos.
No momento em que você pensar em se dirigir a um banco para efetuar uma aplicação,
por exemplo, de $1.000,00, que renda , por hipótese 10% ao ao ano no regime de juros 
simples, ou seja lhe permita sacar, no prazo de um ano, a quantia de $1.100,00, você estará raciocinando exatamente em termos da taxa de rentabilidade dessa aplicação.
Pois , nesse caso, 10% de 1.000,00 é 100
	Matemática Financeira
Caso você pense em ir ao banco a fim de realizar uma operação de desconto de um título de
 crédito (uma duplicata ou promissória...) com valor futuro de $1.000,00 e vencimento no prazo de 
1 ano, a uma taxa de juros simples de 10% ao ano, para obter hoje o valor $990,00, você estará, então, raciocinando sobre a taxa de desconto da operação.
Pois, nesse caso , 10% de 1.100,00 é de 110. (Taxa de Desconto incide sobre o VF) 
Desconto de Duplicatas:
Quando uma empresa realiza uma venda a prazo, é obrigada,por lei, a emitir e enviar ao 
comprador uma fatura dessa compra e uma duplicata.
A fatura é uma nota na qual a empresa especifica a natureza e a quantidade dos artigos 
adquiridos pelo comprador, seus respectivos preços, descontos etc. e, finalmente , a importância 
líquida a ser paga por este último.
A duplicata é um documento , confeccionado de acordo coma forma prevista em lei (sem o que 
não teria validade jurídica), no qual o comprador, declarando reconhecer a exatidão da 
importância nela expressa, relativa a compra das mercadorias constantes da fatura 
correspondente , obriga-se a pagá-la na época estipulada, denominada vencimento, Assim , a 
duplicata nada mais é que uma versão simplificada da nota fiscal relativa à venda. É um 
documento comprobatório do saldo credor existente, junto ao comprador, em favor da empresa 
que vendeu as mercadorias.
É importante frisar que a duplicata é um documento emitido pela empresa credora e enviado ao 
cliente para o aceite, e que é originária, exclusivamente, de atividades de compra e venda.
Se por algum motivo, a empresa precisar se capitalizar, poderá se dirigir a um banco e solicitar o 
Adiantamento dos valores que tem a receber . Mediante uma operação chamada endosso, a empresa possuidora do título de crédito transfere a propriedade do mesmo para banco . O banco
Adianta hoje os pagamentos à empresa vendedora e no futuro, mais especificamente na data do
Vencimento, recebe diretamente do cliente (comprador da mercadoria).
Este processo recebe o nome de desconto duplicata. Obviamente, o banco cobra uma taxa por 
este adiantamento, e cobra adiantado, liberando para o vendedor da mercadoria que está 
descontando a duplicata, um valor menor do que o valor nominal do título. A diferença entre o
valor liberado hoje e o valor nominal é o juro da operação de desconto de duplicatas. Este é o 
retorno que o banco obtém por adiantar (emprestar) recursos a quem deles esta necessitando
hoje. Nas operações bancárias de desconto de duplicatas, é normalmente utilizado o conceito de taxas de desconto.
Matemática Financeira
	MODELO DE DUPLICATA
	EMITENTE
 
DATA DE EMISSÃO
SACADO:
VALOR:
DATA DE VENCIMENTO
	Nome/Razão Social: REFRIGERANTES GASTOTAL LTDA.
CNPJ.: 01.111.222/0001-33
25 de novembro de 2007
Nome/Razão Social: DEPÓSITO SÃO SEBASTIÃO LTDA.
CNPJ.: 02.222.333/0001-44
End.: Av. Todos os Santos, 1010 – Centro – Rio de Janeiro- RJ
R$2.500,00 (Dois Mil e Quinhentos Reais) 
: 15 de janeiro de 2007
Desconto de Promissórias
 O conceito é o mesmo. Uma promissória é um instrumento de confissão de dívida . O emitente 
da nota promissória é quem assume o compromisso do seu pagamento, no seu vencimento. 
Desta maneira , neste tipo de título de crédito não existe o processo de aceite por parte do 
devedor. O tomador, possuidor ou beneficiado é aquele a quem esse documento é dirigido, isto é , o credor da importância nele consignada.
	
	
Vencimento em_ 25_____ de ___Outubro____ de 2007____
 
 N.º 01/01
 No dia cinco de outubro_____ de 2002__ pagarei__ por esta única via de NOTA 
PROMISSÓRIA a BASE FORTE INCORPORAÇÕES E EMPREENDIMENTOS LTDA. – CGC.:
03.444.555/0001-66 , ou a sua ordem, a quantia de DEZ MIL E QUINHENTOS REAIS , em 
moeda corrente
 DATA: RIO DE JANEIRO, 05 de ABRIL DE 2007
 AVAKUSTA: JOÃO JOSE____________ EMITENTE: SEBASTIÃO DIAS________,
 ASSINATURA: João José________ ASSINATURA: Sebastião Dias___, 
 
	
Matemática Financeira
	BORDERÔ DE DESCONTO
	CEDENTE: Supermercados Semtroco
	N.º DP
	 Sacado
	Praça
	vencimento
	Valor ($)
	1001
	Indústria X
	 RJ
	10/02/2007
	1.000,00
	1002
	Casas Y
	 BH 
	20/03/2007
	2.000,00
	1004
	José Silva
	 Cuiabá
	24/03/2007
	1.500,00
	1006
	Sebastião Dias
	 RJ 
	08/04/2007
	2.000,00
	1007
	Mercado São Sebastião
	 RJ 
	15/05/2007
	6.000,00
	1009
	Vai Vai Promoções
	 Belém
	20/05/2007
	4.000,00
	1011
	Casas XYZ
	 Recife
	25/06/2007
	3.500,00
Relembrando a fórmula do Método Hamburguês:
 
Desconto = (N.º X D 
 
 3.000
Onde, o (N.º é obtido através da soma dos produtos (valor x n.º de dias até o 
vencimento) para cada título descontado, e D, como sabemos , é a taxa mensal de 
desconto simples da operação.
 APLICAÇÕES PRÁTICAS
 Como você pode perceber, esses procedimentos de cálculo de descontos de títulos de 
Crédito (duplicatas e promissórias, por exemplo), utilizando o regime de juros simples, é 
amplamente utilizado nas relações estabelecidas entre as empresas e os bancos no seu 
dia – a – dia. Portanto, o real entendimento e domínio desse tipo de operação é de grande valia para aqueles que, em suas atividades cotidianas, estão em contato com o mercado.
 O MÉTODO HAMBURGUÊS
 Agora veremos a aplicação do Método Hamburguês nas operações de descontos de 
títulos de crédito – promissórias e duplicatas.
Nas operações de desconto que envolvem vários títulos , as instituições financeiras, mais
Especificamente os bancos comerciais, trabalham com um tipo de documento chamado 
Bordereau ou “ Borderô”, que nada mais que uma listagem das duplicatas e/ou promissórias envolvidas na operação, contendo as respectivas datas de vencimento e 
valores nominais. É importante observar que todos os títulos constantes de um Borderô 
devem estar sujeitos à mesma taxa de desconto. Abaixo, encontra-se ilustrado um 
exemplo simplificado de um Borderô.
 
Matemática Financeira
EQUAÇÕES
 Equação do Desconto:
				Desconto = VF x D x n
 Onde, 
				n – prazo de desconto 
				VF - valor nominal do título
Equação do Valor Descontado
			 Valor Descontado = VF x (1- D x n)
Equação da Rentabilidade:
			VF = VP x(1+i x n)
Note bem:
 Todas as observações feitas acerca das variáveis nos cálculos da seção anterior, 
continuam	 valendo. Por exemplo: a taxa deve ser aplicada nas equações na forma 
unitária, lembra?...
Não esqueça!
Matemática Financeira
CONCLUSÃO
Equações Básicas
Equação do Desconto:
			Desconto = VF x D x n
 Equação do Valor Descontado
			Valor Descontado = VF x (1-D x n)
Equação da Rentabilidade:
			VF = VP x (1 + i x n)
Variáveis:
		VP - Valor Presente ou Descontado
		VF - Valor Futuro ou Nominal
		I - Taxa de Rentabilidade
		n - Prazo da Operação de Desconto 
		D - Taxa de Desconto
Nesta seção, você estudou aplicações de mercado com o uso de juros simples. 
Pôde, ainda, estabelecer contato com a metodologia empregada nos cálculos de 
Valores em operações de desconto de duplicatas e promissórias, operações estas, 
Altamente comuns no cotidiano do mercado.
Matemática Financeira
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