LABORATÓRIO DE CONTROLE EXPERIMENTO 1

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO MARANHÃO
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE ELETRICIDADE
LABORATÓRIO DE CONTROLE
EXPERIMENTO I
São Luís, 2017.
EXPERIMENTO I
Relatório apresentado ao Prof. Dr. Carlos Alberto Brandão Barbosa Leite, da disciplina de Laboratório de Controle no semestre 2017.2 do Curso de Engenharia Elétrica da Universidade Federal do Maranhão.
São Luís, 2017.
INTRODUÇÃO
O controle automático tem desempenhado um papel fundamental no avanço da engenharia e da ciência. Além da extrema importância em sistemas de veículos espaciais, sistemas de direcionamento de mísseis, sistemas robóticos e similares, o controle automático tem se tornado de grande importância e parte integrante dos processos industriais e de produção (Ogata, 2003).
O controle em malha fechada impõe o comportamento da variável. A realização de um sistema controle é complexa, contudo pode ser exemplificado como o resultado de um passo distinto, que consiste no desenvolvimento de uma representação matemática do processo, chamada Modelo Dinâmico, a ser controlado. O modelo é utilizado e compreendido pelos engenheiros de controle clássico como um conjunto de equações diferenciais que descrevem o comportamento dinâmico. 
Neste experimento vamos analisar a planta BIQUAD, fazendo uma comparação com resultados teóricos e práticos realizando simulação da planta com o software Matlab, para encontrar a resposta ao degrau e as figuras de mérito do sistema de segunda ordem.
TAREFA 1
Análise da Planta BIQUAD.
Figura 1
Objetivo: Mostrar que a configuração do circuito com amplificadores operacionais da figura1 realiza a função de transferência de Vin para Vout de um filtro passa baixas:, considerando Ra= R, Rb = Rc = Rd = .
 = A = 
 n = 
 = 
Fazendo Ra= R, Rb = Rc = Rd = , obtemos o circuito equivalente mostrado na figura 2.
Figura 2
Considerando-se os amplificadores operacionais utilizados no circuito da planta BIQUAD como ideais, pode-se encontrar a função de transferência da saída em relação à entrada usando-se as equações para cada amplificador operacional e substituindo-se as equações. Como todos os amplificadores são inversores, pode-se usar o mesmo tipo de análise para cada um deles, partindo do amplificador 4.
	
Para Amp-Op 4:
 = 
 = 
 
(Equação 1)
Para Amp-Op 3:
 = 
 = 
Como no amp-op 4,
(Equação 2)
Para Amp-Op 2:
 = 
 = - 
 = - sCV2
Como no amp-op 3,
(Equação 3)
 Para Amp-Op 1:
 + = + 
 + = - - 
 + = - - sCV1
(Equação 4)
Utilizando-se o resultado obtido no amp-op 4, pode-se substituir às equações 1 e 3 na equação 4 com o objetivo de reunir as tensões e na mesma equação.
 + = - - sCV1
 - = - - sC(- sRCVout) 
 = - - sC(- sRCVout) 
Multiplicando-se ambos os lados da equação por R, tem-se
 = Vout + + s2R2C2 Vout 
 = Vout( 1 + s2R2C2 + )
 = 
Dividindo-se no lado direito da equação em cima e embaixo por R1, tem-se
 = 
Este resultado corresponde à função de transferência dada no início, fazendo-se as devidas substituições.
TAREFA 2
Objetivo: Considerando R1 = R2 = R = 10k𝛀 e C = 1𝜇F , Calcule (caso existam):
	
tr = tan -1= 	(1)
tp = 	(2)
ts = = ( critério 2%) 	(3)
ts = = ( critério 5%) 	(4)
 = tan -1 	(5)
d = n 	(6)
Mp (%) = e - ( σ/ωd ) π 		(7)
Figura 3 - curva de resposta ao degrau unitário mostrando td, tr, tp, Mp e ts.
Antes de usar as fórmulas da tarefa 2, é interessante calcular previamente alguns valores importantes.
Para :
ζ = = = 0.5
Para n :
n = = = 100 rad/s
Para σ :
σ = ζn = 0.5x100 = 50 rad/s
Com os valores de e n calculados, pode-se encontrar os valores das variáveis pedidas.
Para d :
d = n = 100 = 86.6025 rad/s
Para :
 = tan -1 = tan -1 = 60° = 
Para tr :
tr = = = 24.18 ms
Para tp : 
tp = = = 36.28 ms
Para ts (critério 2%) : 
ts = = = 80 ms
Para ts (critério 5%) :
ts = = = 60 ms
Para Mp : 
Mp (%) = e - ( σ/ωd ) π x 100 = e - ( 50/86.6025 ) π x 100 = 16.3 %
TAREFA 3
Verificação dos resultados obtidos anteriormente através do gráfico de resposta ao degrau no MATLAB.
O código para a verificação dos resultados utiliza os valores dados dos componentes passivos da planta BIQUAD, que são os resistores e os capacitores. Utiliza-se a função tf para utilizar a função de transferência no MatLab, separando-se numerador e denominador. A função de transferência é alocada na variável sys para representar o sistema da planta BIQUAD. A resposta ao degrau é obtida através da função step no MatLab e pode ser vista na figura 4.
Figura 4 – Resposta do sistema ao degrau.
A função stepinfo retorna as figuras de mérito do sistema, e é utilizada no código para esta finalidade.
O código utilizado para obter esses resultados é mostrado em seguida.
/*
	Código para descobrir a resposta ao degrau
	da planta BIQUAD.
*/
	
	//valores dos componentes passivos do sistema
	R1 = 10000;
	R2 = R1;
	R = R2;
	C = 1 * 10^(-6);
	
	numerador = [(R/R1)];
	denominador = [((R^2)*(C^2)) ((R^2*C)/(R2)) (1)];
	
	//função de transferência do sistema
	sys = tf(numerador,denominador);
	//plotagem gráfica da resposta ao impulso do sistema 
	step(sys)
	
	//figuras de mérito do sistema
	stepinfo(sys)
	ans = 
		 RiseTime: 0.0164
		SettlingTime: 0.0808
		 SettlingMin: 0.9315
		SettlingMax: 1.1629
		 Overshoot: 16.2929
		 Undershoot: 0
			Peak: 1.1629
		 PeakTime: 0.0359
CONCLUSÃO
O experimento com a planta BIQUAD mostrou-se como uma excelente forma de visualizar os resultados da resposta de um sistema de segunda ordem, seja ele mecânico, hidráulico ou outro tipo de sistema, visto que é possível fazer referência a um sistema usando um modelo elétrico. 
No sistema utilizado para esta experimentação, pode-se calcular as figuras de mérito com as fórmulas disponíveis, além de deduzir a sua função de transferência usando conceitos básicos de circuitos elétricos, já que o sistema utiliza componentes passivos, e conceitos básicos de eletrônica usados por causa dos amplificadores operacionais do sistema, mais especificamente, os conceitos e fórmulas para um amplificador inversor. A resposta gráfica pode ser obtida pelo MATLAB, mostrando o comportamento do sistema quando excitado por uma entrada do tipo degrau.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Brandão, CarlosAlberto. Guia do Experimento 1 de Laboratório de Controle, 2017.
OGATA, Katsuhiko. Engenharia de Controle Moderno, 3º Ed. Editora LTC.
Franklin, Gene F. Powell, David J. Naeini, Abbas Emami. Sistemas de Controle para Engenharia, 6º Ed. Bookman.
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