Cálculo Integral

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Exercı´cios de Revis~ao
Ca´lculo Integral
Prof. Flausino Lucas
Questa˜o 1. Ajuste os expoentes e, fazendo uso da
Regra do Tombo, calcule a derivada das seguintes
func¸o˜es:
a) f(x) = x5
b) f(x) = −3x8
c) f(x) = −8x6
d) f(x) =
√
x
e) h(x) =
3
√
x4
f) s(x) =
2
√
x5
g) u(x) = 13√x
h) v(x) = 5√
x
i) f(x) = 2x3
j) g(x) = − 45√
x2
k) x(t) = t
2
t5
l) y(t) =
√
x
x
m) f(x) = x
√
x
n) f(x) = x2 3
√
x
o) f(x) = x
5
√
x9
x7
p) u(x) = −7x10
Questa˜o 2. Calcule as derivadas das func¸o˜es
abaixo:
a) h(x) = 7x3 − 2x2 + 5x+ 1
b) h(x) = 7
√
x− 2x2 − 4x+ 1x
c) f(x) = 2x+ 7x2 +
x2
7 − 8 5√x
d) v(x) = 6
e) t(x) = 7x+ 8
f) f(x) = 52 sin(x)− 8x4 + 64√
x3
g) g(x) = 8 cos(x)− 4ex + 72
h) s(y) = y7 − 2y5 + 2 ln(y)
Questa˜o 3. Escreva a definic¸a˜o formal da derivada
de uma func¸a˜o f num ponto x.
Questa˜o 4. Seja f(x) = x3 − 6x2 + 5.Resolva a
equac¸a˜o f ′(x) = 0.
Questa˜o 5. Determine os valores de x para os
quais f ′(x) = 0, f ′(x) > 0 e f ′(x) < 0 no caso
das seguintes func¸o˜es:
a) f(x) = x2 − 2x+ 1
b) f(x) = 3x2 + 12x+ 5
c) f(x) = x
3
3 − 52x2 + 6x− 7
Questa˜o 6. Determine a equac¸a˜o da reta que
passa pelo ponto (2, 3) e cujo coeficiente angular
e´ −2.
Questa˜o 7. Qual o coeficiente angular da reta que
passa pelos pontos (2, 5) e (3, 4)? Qual a equac¸a˜o
da reta que passa por estes pontos?
Questa˜o 8. Determine a equac¸a˜o da reta tangente
a f(x) = x2 no ponto de abcissa x0 = −1. Esboce
o gra´fico e a reta tangente no ponto.
Questa˜o 9. Determine a equac¸a˜o da reta tangente
a f(x) =
√
x no ponto de abcissa x0 = 4. Esboce
o gra´fico e a reta tangente no ponto.
Questa˜o 10. Determine a equac¸a˜o da reta tan-
gente a f(x) = sin(x) no ponto de abcissa x0 = pi.
Esboce o gra´fico e a reta tangente no ponto.
Questa˜o 11. Calcule a derivada de:
a) h(x) = x2 sin(x)−√xex + 2x
b) f(x) = cos(x)x2−2x+1
1
c) g(x) = ln xx2−1 + e
x cosx
Questa˜o 12 (TESTE). Calcule a derivada da
func¸a˜o f(x) = 2x+3x2+1
(a) f ′(x) = 2x−4y−5x2+1
(b) f ′(x) = −2x
2−6x+2
(x2+1)2
(c) f ′(x) = −12x+6(x+1)2
(d) f ′(x) = 12x−6(x+1)2
(e) f ′(x) = 2x
2−(2x+3)4x
(x2+1)2
Questa˜o 13 (TESTE). Dada a equac¸a˜o y =
(sinx+ cosx)3 , dydx sera´ expressa por:
a) 3(sinx+ cosx)2(sinx+ cosx)
b) 3(sinx+ cosx)2(cosx− sinx)
c) (sinx+ cosx)3(tanx+ secx)2
d) 3(cosx− sinx)2(sinx+ cosx)
e) 3(sinx− cosx)2(sinx+ cosx)
Questa˜o 14 (TESTE). Seja e2x+x6−xy2+2 = 0.
Sabendo que x e´ func¸a˜o impl´ıcita de y, calcule dxdy .
(a) −2xy2e2x+6x5−y2
(b) 2xy2e2x+6x5−y2
(c) 2xy+22e2x+6x5−y2
(d) 2x2e2x+6x5−y2
(e) 2e
2x+6x5−y2
2xy
Questa˜o 15 (TESTE). Seja e2x+x6−xy2+2 = 0.
Sabendo que x e´ func¸a˜o impl´ıcita de y, calcule dxdy .
(a) −2xy2e2x+6x5−y2
(b) 2xy2e2x+6x5−y2
(c) 2xy+22e2x+6x5−y2
(d) 2x2e2x+6x5−y2
(e) 2e
2x+6x5−y2
2xy
Questa˜o 16 (TESTE). A func¸a˜o y = f(x), y > 0
e´ dada implicitamente pela equac¸a˜o x2 + y2 = 4.
Calcule dydx .
(a) 4√
4+x2
(b) −x√
4−x2
(c) −x√
2+x
(d) x√
2+x
(e) x√
4+x
Questa˜o 17. Calcule dvdt , onde:
a) v(x, y) = x2 + y3 com x = t, y = t2
b) v(x, y) = cosx sin y−ln(x) com x = t2+1, y = 3
c) v(x, y, z) = x2y − 2xz + yz3, com x = cos t, y =
sin t, z = t
Questa˜o 18 (TESTE). Dada a equac¸a˜o u = xy+
xz + yz, sendo x = r, y = 2r + 3, z = 4r, dudr sera´
expressa por:
(a) 3x+ 5y + 6z
(b) 6x+ 5y + 3z
(c) 5x+ 3y + 6z
(d) 6x+ 3y + 5z
(e) 3x+ 6y + 5z
Questa˜o 19. Determine o polinoˆmio de Taylor de
f de ordem n em torno de x0 nos seguintes casos:
a) f(x) = lnx, x0 = 1, n = 3
b) f(x) = ex, x0 = 0, n = 5
c) f(x) = 1x , x0 = 1, n = 2
d) f(x) = 11+x , x0 = 1, n = 4
e) f(x) = 1−x1+x , x0 = 0, n = 4
f) f(x) =
√
x, x0 = 4, n = 2
g) f(x) = sinx , x0 = 0, n = 5
Comenta´rio: Quando x0 = 0 a Se´rie de Taylor e´
tambe´m chamada Se´rie de Maclaurin.
2
Questa˜o 20 (TESTE). O polinoˆmio de Taylor de
grau 3 em torno de zero da func¸a˜o f(x) = (1+x)3/2
e´ expresso por:
(a) 1 + 32x+
3
8x
2 − 116x3
(b) 1 + 32x+
3
8x
2 + 116x
3
(c) 1− 32x− 38x2 − 116x3
(d) 32x− 38x2 − 116x3
(e) 1− 2x− 8x2 − 16x3
Questa˜o 21 (TESTE). Seja f(x) = 11−x , encontre
o polinoˆmio de Taylor de f de ordem 2 em torno
de x0 = 0.
(a) p(x) = 1 + x+ x2
(b) p(x) = ln(1 + x)
(c) p(x) = ln(1− x)
(d) p(x) = x+ x2
(e) p(x) = 1 + x
Questa˜o 22. Calcule a derivada das seguintes
func¸o˜es:
a) f(x) = sin(2x+ 1)
b) f(x) = ecos(x)
c) f(x) = 2x2 · sin(x2 − 2x)
d) f(x) = ln(cos(x))
e) f(x) = 2xx2−1
f) f(x) = cos(x)x
g) f(x) = tan(x) Comenta´rio: Lembre que tan =
sin
cos
h) f(x) = ln(x2 + 1)
Questa˜o 23. Usando a Regra de L’Hospital, caso
seja necessa´rio, calcule os limites:
a) limx→0 x
2+5x
x2
b) limx→2 x
3−5x+2
x2−4
c) limx→−1 x
2+x
x3+1
d) limx→0
sin(x)
x
e) limx→1
ln(x)
x−1
f) limx→−∞ e
2x
−x2+2x
g) limx→+∞ x
3+5x2−3x−2
e−x
Questa˜o 24 (TESTE). A reta tangente a` curva
y = 2x5 no ponto (1, 2) tem coeficiente angular
igual a:
(A) 10
(B) 20
(C) 15
(D) 12
(E) 5
Questa˜o 25 (TESTE). Considere:
A = lim
x→+∞
x3 + x+ 1
2x3 − x2
B = lim
x→4
√
x− 2
x− 4
C = lim
x→+∞
x2 − 3x+ 2
x2 − x+ 2
E´ CORRETO afirmarmos que:
(A) A < B < C
(B) C < B < A
(C) B < C < A
(D) A < C < B
(E) B < A < C
Questa˜o 26 (TESTE). Qual a equac¸a˜o da reta
tangente a` func¸a˜o y = 4x3 + 3x2 + x+ 5 em x = 0
?
(A) y = x+ 5
(B) y = 5x+ 1
(C) y = −x+ 1
(D) y = x− 5
(E) y = x− 1
Questa˜o 27 (TESTE). Chama-se custo me´dio
(Cm) de fabricac¸a˜o de um produto o custo de
produc¸a˜o dividido pela quantidade produzida.
Considere o custo de produc¸a˜o dado por: C(x) =
400 + 7x A` medida que se aumenta a quantidade
de unidades produzidas, o custo me´dio tende para
o valor de:
(A) R$ 5,00
(B) R$ 6,00
(C) R$ 7,00
(D) R$ 8,00
3
(E) R$ 9,00
Comenta´rio: Segundo o enunciado, a func¸a˜o
custo me´dio e´, enta˜o Cm(x) =
C(x)
x
Questa˜o 28. Diga se as seguintes func¸o˜es teˆm
pontos cr´ıticos, e classifique-os em ma´ximo local,
mı´nimo local ou sela:
a) f(x) = x3 − 1
b) f(x) = x3 − 2x2
c) f(x) = x4 − x3
d) f(x) = e−2x
e) f(x) = ln(x)x
Questa˜o 29 (TESTE). Qual das seguintes
afirmac¸o˜es sobre o gra´fico de f(x) = 1x2+1 e´ cor-
reta:
(A) ha´ mudanc¸a de concavidade nos pontos x =
±
√
3
3
(B) tem ass´ıntotas verticais em x = ±1.
(C) e´ estritamente crescente.
(D) e´ estritamente decrescente.
(E) tem ass´ıntota horizontal em y = 1.]
Comenta´rio: Ale´m de responder o teste, construa
tambe´m o gra´fico da func¸a˜o f(x), com o roteiro
aprendido em Ca´lculo Diferencial.
Questa˜o 30 (TESTE). Considere
A =
[
x x2
x2 x
]
Neste caso, o valor ma´ximo que f(x) = det(A) pode
assumir e´:
(A)
√
2
2
(B) −
√
2
2
(C) 12
(D) − 14
(E) 14
Questa˜o 31 (TESTE). Um modelo para o cresci-
mento de certo tipo de bacte´ria num determinado
meio e´ dado por:
x(t) = 10 · e− 1t2
onde o tempo t e´ dado em horas e x(t) expressa
o nu´mero de bacte´rias em func¸a˜o do tempo (dado
em milho˜es), ambos valores positivos. Devido a`s
condic¸o˜es do meio, como disponibilidade de ali-
mento entre outros, o nu´mero de bacte´rias na˜o pode
exceder 10 milho˜es. Enta˜o, em determinado ins-
tante, o crescimento de bacte´rias entra em desace-
lerac¸a˜o (justamente o ponto onde o gra´fico muda
de concavidade). Pergunta-se em que instante de
tempo ocorre essa mudanc¸a:
(A) t = e2
(B) t =
√
5
2
(C) t =
√
6
3
(D) t = 12
(E) t = e−1
Comenta´rio: Ale´m de responder o teste, cons-
trua tambe´m o gra´fico da func¸a˜o x(t), com o roteiro
aprendido em Ca´lculo Diferencial.
Questa˜o 32 (TESTE). Os intervalos de x , de
crescimento e decrescimento func¸a˜o f(x) = x2 −
x− 2 sa˜o dados por:
(A) crescente para (−∞; 0, 5] e decrescente para
(0, 5;∞)
(B)decrescente para (−∞; 0, 5] e crescente para
(0, 5;∞)
(C) crescente para (−∞; 0, 5) e decrescente para
[0, 5;∞)
(D) decrescente para (−∞; 0, 5) e crescente para
(0, 5;∞)
(E) decrescente para (−∞; 0, 5] e crescente para
[0, 5;∞)
Questa˜o 33 (TESTE). Considerando a func¸a˜o
f(x) = x−1x2 , podemos afirmar que a func¸a˜o e´ cres-
cente no intervalo:
(A) (0, 1)
(B) (0, 2)
(C) (2, 3)
(D) (−2, 1)
(E) (−1, 0)
Comenta´rio: Ale´m de responder o teste, construa
tambe´m o gra´fico da func¸a˜o f(x), com o roteiro
aprendido em Ca´lculo Diferencial.
Questa˜o 34 (TESTE). Considere a func¸a˜o f(x) =
5 + 12x − 5x3, definida nos reais. O intervalo em
que a func¸a˜o e´ crescente e´:
(A) (
−
√
2
3
,
√
2
3
)
(B) (
−
√
3
2
,
√
3
2
)
4
(C) (
−
√
4
3
,
√
4
3
)
(D) (
−
√
4
5
,
√
4
5
)
(E) (
−
√
5
4
,
√
5
4
)
5