Lista IC 1

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Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro
Prof.: Josiane Cordeiro Coelho
Lista de Estat´ıstica Aplicada a` Economia e a Administrac¸a˜o:
Intervalos de Confianc¸a
1. Suponha que uma populac¸a˜o de contas na˜o comerciais de um banco, com saldo dia´rios,
tem um desvio padra˜o de 100 reais. Uma amostra aleato´ria de 64 contas na˜o comerciais
forneceu um saldo me´dio de 500 reais.
a) Construa um intervalo de 95% de confianc¸a para a verdadeira me´dia.
b) Construa um intervalo de 99% de confianc¸a para a verdadeira me´dia.
c) Construa um intervalo de confianc¸a para a verdadeira me´dia com um n´ıvel de signi-
ficaˆncia de 10%.
d) Se a amplitude de um intervalo de confianc¸a, constru´ıdo a partir dessa amostra, e´ de
20; qual teria sido o n´ıvel de significaˆncia?
e) Se a margem de erro para um n´ıvel de confianc¸a de 95% e´ de 50 reais, qual seria o
nu´mero de contas?
f) O que se pode dizer, com 99% de confianc¸a, sobre o tamanho ma´ximo da amostra com
o erro da estimativa do item a)?
2. Um empresa deseja estimar a me´dia de vendas, por estabelecimento, durante o u´ltimo ano
de um determinado produto. Para uma amostra de 25 estabelecimentos, que apresentu
me´dia de 5000 reais, determine o intervalo de confianc¸a de 99% para a me´dia de vendas.
Considere que os valores de venda sa˜o considerados normalmente distribu´ıdos, com desvio
padra˜o de 200 reais.
3. Define-se o erro padra˜o (EP ) de um estimador como o seu desvio padra˜o. Assim, para o
estimador X¯, me´dia amostral, temos EP (X¯) = σ/
√
n, quando σ e´ conhecido e EP (X¯) =
S/
√
n. Para uma amostra de 50 firmas tomada de uma determinada indu´stria, o nu´mero
me´dio de empregados por firma e´ de 250 com um desvio padra˜o de 60. Nesta indu´stria, ha´
um total de 400 firmas. Determine o erro padra˜o da me´dia para ser usado na estimac¸a˜o
da me´dia populacional por um intervalo de confianc¸a. Qual e´ o intervalo de confianc¸a com
95%? Comente o resultado.
4. Qual o tamanho da amostra necessa´ria para estimar o tempo me´dio que um vendedor de
uma loja de mo´veis gasta com cada cliente, a menos de 3 minutos, para obter um n´ıvel de
confianc¸a de 99%? Suponha que σ = 15.
5. Uma ma´quina enche pacotes de cafe´ com um peso que se comporta como uma varia´vel
aleato´ria Normal de me´dia 200 gramas e desvio padra˜o 10 gramas. Uma amostra de 25
pacotes e´ sorteada e pergunta-se:
a) Qual e´ o nu´mero esperado de pacotes da amostra com peso inferior a 200 gramas?
b) Qual e´ a probabilidade de que o peso total dos pacotes da amostra na˜o exceda 5100
gramas?
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6. Desejamos coletar uma amostra de uma varia´vel aleato´ria X com distribuic¸a˜o Normal de
me´dia desconhecida e variaˆncia 30. Qual deve ser o tamanho da amostra para que, com
0, 92 de probabilidade, a me´dia amostral na˜o difira da me´dia populacional por mais de 3
unidades?
7. A seguinte amostra foi extra´ıda de uma populac¸a˜o normal: 6, 6, 7, 8, 9, 9, 10, 11, 12.
Construa o intervalo de confianc¸a para a me´dia populacional, com n´ıvel de significaˆncia
de 10%.
8. Uma amostra aleato´ria simples de uma populac¸a˜o normal apresenta as seguintes carac-
ter´ısticas:
n = 25, x¯ = 200 e s2 = 400
Construa um intervalo de confianc¸a de n´ıvel de confianc¸a de 98% para a me´dia da
populac¸a˜o.
9. Uma amostra aleato´ria simples de uma populac¸a˜o X apresenta as seguintes caracter´ısticas:
n = 36, x¯ = 100 e s2 = 144
Construa um intervalo de confianc¸a de n´ıvel de significaˆncia de 10% para a me´dia da
populac¸a˜o.
10. Os tempos gastos por quinze funciona´rios em uma das tarefas de um programa de trei-
namento esta˜o listados abaixo. E´ razoa´vel supor, nesse caso, que essa seja uma amostra
aleato´ria simples de uma populac¸a˜o normal, ou seja, e´ razoa´vel supor que a populac¸a˜o
de todos os tempos de funciona´rios submetidos a esse treinamento seja aproximadamente
normal. Obtenha o intervalo de confianc¸a de n´ıvel de confianc¸a de 95% para o tempo
me´dio populacional. 52 44 55 44 45 59 50 54 62 46 54 58 60 62 63
11. Interprete e comente as afirmac¸o˜es:
a)“A me´dia de sala´rio inicial para rece´m formados em Economia esta´ entre 7 a 9 sala´rios
mı´nimos com probabilidade de 95%”.
b)“Quanto maior for o tamanho da amostra, maior e´ a probabilidade da me´dia amostral
estar pro´xima da verdadeira me´dia”.
12. O consumo de combust´ıvel e´ uma varia´vel aleato´ria com paraˆmetros dependendo do tipo de
ve´ıculo. Suponha que, para um certo ve´ıculo, o desvio padra˜o do consumo seja conhecido
e igual a 2km/l. Pore´m precisamos de informac¸o˜es para o consumo me´dio, desta maneira
selecionamos 50 automo´veis desse modelo e observamos o consumo.
a) Quem seria um estimador do consumo me´dio para todos os automo´veis desse tipo?
b) Qual o erro padra˜o do consumo me´dio?
c) Se a amostra forneceu um consumo me´dio de 11, 4km/l, construa um intervalo de
confianc¸a (95%) para a me´dia de consumo desses carros.
d) Se a amplitude de um intervalo de confianc¸a, constru´ıdo a partir dessa amostra, e´ de 2;
qual teria sido o n´ıvel de significaˆncia?
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13. Considere que em uma populac¸a˜o normal com desvio padra˜o 3, extrai-se uma aas de
tamanho 49, que fornece o seguinte resultado:
∑49
i=1 xi = 1760. Calcule o intervalo de
confianc¸a para a me´dia populacional µ, utilizando o n´ıvel de significaˆncia α = 2%.
14. Suponha que uma indu´stria farmaceˆutica deseja saber a quantos volunta´rios se deve aplicar
uma vacina, de modo que a proporc¸a˜o de indiv´ıduos imunizados na amostra difira de menos
2% da proporc¸a˜o verdadeira de imunizados na populac¸a`o, com probabilidade de 90%. Qual
o tamanho da amostra a escolher?
15. Suponha o problema de estimac¸a˜o intervalar da proporc¸a˜o, isto e´, o intervalo de confianc¸a
para a proporc¸a˜o. Para o caso geral, qual e´ o erro padra˜o do estimador utilizado, que e´ a
proporc¸a˜o amostral?
16. De 50000 pec¸as fabricadas por uma companhia retira-se uma amostra de 400 pec¸as, e
obte´m-se a vida me´dia de 800 horas e o desvio padra˜o de 100 horas.
a) Qual o intervalo de confianc¸a de 99% para a vida me´dia da populac¸a˜o?
b) Que tamanho deve ter a amostra para que seja 95% a confianc¸a na estimativa de
800± 7, 84?
17. O interesse de um gerente e´ estimar a porcentagem de consumidores de um certo produto.
Se a amostra de tamanho 300 forneceu 100 indiv´ıduos que consomem o produto, determine:
a) o intervalo de confianc¸a com 95% e interprete o resultado;
b) o erro padra˜o da proporc¸a˜o amostral;
c) o tamanho da amostra para que o erro da estimativa na˜o exceda a 0,02 unidades com
probabilidade de 90%.
18. Na divulgac¸a˜o dos resultados de uma pesquisa, publicou-se o seguinte texto (dados fict´ıcios):
Com o objetivo de se estimar a me´dia de uma populac¸a˜o, estudou-se uma amostra de ta-
manho n = 45. De estudos anteriores, sabe-se que essa populac¸a˜o e´ muito bem aproximada
por uma distribuic¸a˜o normal com desvio padra˜o 3, mas acredita-se que a me´dia tenha mu-
dado desde esse u´ltimo estudo. Com os dados amostrais obteve-se o intervalo de confianc¸a
[1, 81; 3, 03], com uma margem de erro de 0, 61. Quais sa˜o as informac¸o˜es importantes que
na˜o foram divulgadas? Como podemos obteˆ-las?
19. De uma populac¸a˜oN(µ; 9) extrai-se uma amostra aleato´ria simples de tamanho 30, obtendo-
se
∑25
i=1 xi = 75. Desenvolva detalhadamente o intervalo de confianc¸a de n´ıvel de confianc¸a
99% para a me´dia da populac¸a˜o.
20. Qual devera´ ser o tamanho de uma amostra aleato´ria simples a ser retirada de uma po-
pulac¸a˜o N(150; 132) para que P (|X¯ − µ| < 6, 5) = 0, 95?
21. Definimos a varia´vel e = X¯ − µ como sendo o erro amostral da me´dia, onde X e´ a me´dia
de uma aas de tamanho n de uma populac¸a˜o com me´dia µ e desvio padra˜o σ.
a) Determine E(e) eV ar(e).
b) Se a populac¸a˜o e´ normal com σ = 20, que proporc¸a˜o das amostras de tamanho 100 tera´
erro amostral absoluto maior do que 2 unidades?
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c) Neste caso, qual deve ser o valor de σ para que P (|e| > σ) = 0, 01?
d) Qual deve ser o tamanho da amostra para que 95% dos erros amostrais absolutos sejam
inferiores a 1 unidade?
22. O peso X de um determinado produto e´ descrito aproximadamente por uma distribuic¸a˜o
normal com σ = 0, 58. Uma amostra de tamanho n = 25 resultou em x¯ = 2, 8. Desenvolva
detalhadamente o intervalo de confianc¸a de n´ıvel de confianc¸a 0, 90.
23. Considere uma populac¸a˜o normal com σ = 5, retira-se uma amostra aleato´ria simples de
tamanho 50, obtendo-se x¯ = 42.
a) Obtenha o intervalo de confianc¸a para a me´dia com n´ıvel de significaˆncia de 5%.
b) Qual e´ o erro de estimac¸a˜o?
c) Para que o erro seja menor ou igual a 1, com probabilidade de acerto de 95%, qual
devera´ ser o tamanho da amostra?
24. Os valores da venda mensal de determinado artigo teˆm distribuic¸a˜o aproximadamente
normal com desvio padra˜o de R$500, 00. O gerente da loja afirma vender, em me´dia,
R$34.700, 00. O dono da loja, querendo verificar a veracidade de tal afirmativa, seleciona
uma amostra aleato´ria das vendas em determinado meˆs, obtendo os seguintes valores:
33840 32960 41815 35060 35050 32940 32115 32740 33590 33010
a) Obtenha o intervalo de confianc¸a para a venda me´dia mensal com n´ıvel de significaˆncia
de 5%.
b) Obtenha o intervalo de confianc¸a para a venda me´dia mensal com n´ıvel de significaˆncia
de 1%.
c) Em qual dos dois n´ıveis de significaˆncia podemos afirmar que o gerente se baseou para
fazer a afirmativa?
25. Para estudar a viabilidade de lanc¸amento de um novo produto no mercado, o gerente de
uma grande empresa contrata uma firma de consultoria estat´ıstica para estudar a aceitac¸a˜o
do produto entre os clientes potenciais. O gerente deseja obter uma estimativa com um
erro ma´ximo de 2% com probabilidade 80% e pede ao consultor estat´ıstico que fornec¸a o
tamanho de amostra necessa´rio.
a) De posse das informac¸o˜es dadas, o consultor calcula o tamanho da amostra necessa´rio
no pior cena´rio. O que significa pior cena´rio nesse caso? Qual o tamanho de amostra
obtido pelo consultor?
b) O gerente acha que o custo de tal amostra seria muito alto e autoriza o consultor a
realizar um estudo piloto com uma amostra de 100 pessoas para obter uma estimativa
da verdadeira proporc¸a˜o. O resultado desse estudo piloto e´ uma estimativa pˆ = 0, 76 de
aceitac¸a˜o do novo produto. Com base nessa estimativa, o consultor recalcula o tamanho
da amostra necessa´rio. Qual e´ esse tamanho?
c) Selecionada a amostra com o tamanho obtido no item anterior, obteve-se uma proporc¸a˜o
de 72% de clientes favora´veis ao produto. Construa um intervalo de confianc¸a para a
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verdadeira proporc¸a˜o com n´ıvel de confianc¸a de 90%.
26. Uma associac¸a˜o de estudantes universita´rios de uma grande universidade deseja saber a
opinia˜o dos alunos sobre a proposta da reitoria sobre o prec¸o do bandeja˜o. Para isso,
seleciona aleatoriamente uma amostra de 300 estudantes, dos quais 180 sa˜o favora´veis a`
proposta da reitoria.
a) Construa um intervalo de confianc¸a para a verdadeira proporc¸a˜o de alunos favora´veis a`
pol´ıtica da reitoria, ao n´ıvel de significaˆncia de 2%.
b) Qual e´ a margem de erro no item a?
c) Qual devera´ ser o tamanho da amostra para se ter um erro de no ma´ximo 5%, com n´ıvel
de confianc¸a de 99%?
27. Uma amostra de 200 habitantes de uma grande cidade revelou que 120 desejavam a flu-
orac¸a˜o da a´gua. Encontre o intervalo de confianc¸a para a verdadeira proporc¸a˜o dos que
na˜o desejam a fluorac¸a˜o da a´gua para
a) um n´ıvel de significaˆncia de 5%; b) um n´ıvel de confianc¸a de 96%.
28. Querendo estimar a proporc¸a˜o de pec¸as defeituosas em uma linha de produc¸a˜o, examinou-
se uma amostra de 200 pec¸as, encontrando-se 64 defeituosas. Sabe-se que o estimador pˆ
para esse tamanho de amostra tem desvio padra˜o de 5%.
Calcule o intervalo de confianc¸a ao n´ıvel de significaˆncia de 5%.
29. Em uma pesquisa de mercado, 60 das 150 pessoas entrevistadas afirmaram que comprariam
determinado produto sendo lanc¸ado por uma empresa. Essa amostra e´ suficiente para se
estimar a verdadeira proporc¸a˜o de futuros compradores, com uma precisa˜o de 0,08 e uma
confianc¸a de 90%? Em caso negativo, calcule o tamanho de amostra necessa´rio.
30. Em uma fa´brica, uma amostra de 30 pec¸as apresentou os seguintes diaˆmetros (em mm):
10 13 14 11 13 14 11 13 14 15 12 14 15 13 14 12 12 11 15 16 13
15 14 14 15 15 16 12 10 15
Supondo que os diaˆmetros sejam aproximadamente normais, obtenha um intervalo de
confianc¸a para o diaˆmetro me´dio de todos os parafusos produzidos nessa fa´brica, usando
o n´ıvel de significaˆncia de 2%. Para facilitar a soluc¸a˜o do exerc´ıcio, voceˆ pode usar os
seguintes resultados:
∑30
i=1 xi = 401
∑30
i=1 x
2
i = 5443
31. Simule a coleta de 80 observac¸o˜es de uma varia´vel Normal(10;25) e obtenha o intervalo de
confianc¸a de 95% para a me´dia. Repita este procedimento 100 vezes, isto e´, obtenha 100
intervalos de confianc¸a. Verifique quantos deles conteˆm a verdadeira me´dia.
32. Um fabricante comprou um lote de 300 pec¸as eletroˆnicas de um saldo de estoques de uma
grande indu´stria. Para uma amostra aleato´ria de 60 pec¸as, constatou-se 6 eram defeituosas.
Construa um intervalo de confianc¸a com 95% que contenha a proporc¸a˜o de todas as pec¸as
defeituosas.
33. Para um particular produto, a me´dia de vendas por estabelecimento em um detrerminado
meˆs, em uma amostra com 10 estabelecimentos, foi com me´dia de 3000 reais e desvio
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padra˜o de 200 reais. Para um segundo produto, uma amostra com 15 estabelecimentos, a
me´dia foi de 2800 reais e com desvio padra˜o de 160 reais. Suponha que o montantes de
vendas sejam normalmente distribu´ıdos para ambos os produtos. Construa um intervalo
de confianc¸a com 98% entre a diferenc¸a do n´ıvel me´dio de vendas dos produtos.
34. Considere uma amostra com 50 funciona´rios de uma empresa, o sala´rio me´dio por hora
foi de 15 reais com desvio padra˜o de 2 reais. Em uma segunda empresa, o sala´rio me´dio
por hora de 40 funciona´rios foi de 18 reais com desvio padra˜o de 2,40 reais. Estimar a
diferenc¸a dos sala´rios me´dios por hora das duas empresas, usando o intervalo de confianc¸a
de 92%.
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