Matemática Financeira Aplicada

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Matemática Financeira Aplicada
 Séries Periódicas Uniformes
 Séries Uniformes Postecipadas
 Séries Uniformes Antecipadas
 Séries Uniformes Diferidas (antecipada/postecipada)
0 1 2 3 4 n
R
0 1 nn-1432
R
nc+3c+2c+1c0
R
carência
 
Matemática Financeira Aplicada
 Valor Presente das Séries Periódicas 
Uniformes
( ) 1i1R −+
( ) 2i1R −+
( ) 3i1R −+
( ) 4i1R −+
( ) ni1R −+
0 1 2 3 4 n
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )[ ]n321
n32
i1...i1i1i1RP
i1
R...
i1
R
i1
R
i1
RP 
−−−− ++++++++=
+
++
+
+
+
+
+
=
 
Matemática Financeira Aplicada
 Valor Presente das Séries Periódicas 
Uniformes
Na fórmula anterior, o somatório entre colchetes 
representa a soma dos termos de uma 
progressão geométrica finita. Logo, pode ser 
reescrita como:
Onde: a1 = primeiro termo da série;
an = enésimo termo da série;
q = razão da série.



−
−
=
q1
.qaaRP n1
 
Matemática Financeira Aplicada
Valor Presente das Séries Periódicas 
Uniformes
Substituindo as respectivas expressões, 
encontra-se: 
Obs: Internacionalmente, chama-se de fator de 
valor presente o símbolo , onde “n” 
representa o número de termos da série e “i” a 
sua taxa de capitalização.
( ) ( ) ( )
( ) i%n1
-1-n-1
.R
i11
i1.i1i1RP ¬=


+−
++−+
=
−
a
i%n¬a
 
Matemática Financeira Aplicada
Valor Presente das Séries Periódicas 
Uniformes
Exemplo
Calcular o valor das prestações anuais 
postecipadas iguais e consecutivas que 
liquidam um débito de $ 200,000 no prazo de 
seis anos, sendo a taxa de juros efetiva de 
18% a.m. para os três primeiros anos e de 
20% para os demais.
 
Matemática Financeira Aplicada
Valor Presente das Séries Periódicas 
Uniformes
Exemplo – Séries Diferidas
Um financiamento de $ 50,000 será pago em 
12 prestações mensais aplicando-se juros 
efetivos de 8% a.m. Considerando que foi 
estipulado um período de carência de três 
meses, calcular o valor das prestações 
antecipadas e postecipadas.
 
Matemática Financeira Aplicada
Montante de Séries Periódicas 
Uniformes
Considerando uma série postecipada, capitalizada 
por n períodos o valor presente da série:
Obs: Internacionalmente, chama-se de fator de valor 
futuro o símbolo .
( )
( ) ( )
( )
i%n
n
n
n
n
R.S 
i
1i1RSi1.
.ii1
1i1RS
¬=



−+
=⇒+


+
−+
=
s
i%n¬s
 
Matemática Financeira Aplicada
Montante de Séries Periódicas 
Uniformes
Exemplo
Inicialmente uma pessoa deveria pagar pela 
compra de um eletrodoméstico quatro 
prestações de $ 80 cada (a primeira para 30 
dias), mais três prestações de $ 60. Entretanto a 
loja oferece outro esquema de pagamento em 
que o cliente faria um único pagamento daqui a 5 
meses. Considerando uma taxa de juros de 
6%a.m., qual será o valor desse pagamento 
único? 
 
Matemática Financeira Aplicada
( ) ( ) ( ) ( ) 0i1
R...
i1
R
i1
R
i1
R-P n321 =+
−−
+
−
+
−
+
 Cálculo das Taxas de Juros em Séries 
Periódicas Uniformes
A taxa de juros ou taxa interna de retorno de 
um fluxo uniforme de n pagamentos ou 
recebimentos é a taxa que capitaliza os 
termos da série: 
 
Matemática Financeira Aplicada
 Cálculo das Taxas de Juros em Séries 
Periódicas Uniformes
O cálculo da taxa interna de retorno em fluxos 
multiperiódicos é um processo complexo, 
resolvido por tentativas ou interpolação linear.
Os métodos iterativos indicados são:
 Newton-Raphson;
 Gauss-Cantelli;
 Método de Karpin;
 Método de Baily-Lenzi. 
 
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 Cálculo das Taxas de Juros em Séries 
Periódicas Uniformes
Exemplo
Depositando mensalmente $ 4,000 durante 
18 meses, acumulou-se um capital de 
$124,136.67. Calcular a taxa de juros efetiva 
mensal ganha pelos depósitos. 
 
Matemática Financeira Aplicada
 Séries Variáveis
São comuns as situações em que as 
projeções dos fluxos de caixa das aplicações 
financeiras ou dos projetos de investimento 
são crescentes ou decrescentes ao longo do 
tempo. Serão estudados dois tipos de fluxos:
 Séries variáveis em progressão aritmética;
 Séries variáveis em progressão geométrica.
 
Matemática Financeira Aplicada
 Séries Variáveis – Gradientes Uniformes
Em uma anuidade vencida cujos termos ou 
rendas variam de acordo com uma lei 
predeterminada, denomina-se gradiente a 
diferença entre duas rendas. Cada termo da 
anuidade é constituído pela renda-base mais os 
gradientes acumulados. 
0 1 2 3 4 5 6
Renda-base
Gradientes
0G
1G
2G
3G
4G
5G
 
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 Séries Variáveis em Progressão Aritmética
Crescente e postecipada
0 1 2 3 4 n
0G
1G
2G
3G
(n-1)G
Sn-1
S3
S2
S1
( )n
i
G S i%n −¬= s ( ) ( )ni1i
G P i%nn −¬+
= s
 
Matemática Financeira Aplicada
 Séries Variáveis em Progressão Aritmética
Crescente e antecipada
0 1 2 3 4 n
1G
2G
3G
nG
Sn
S4
S3
S1
( )[ ]n.i1
i
G S i%n −¬+= s ( ) ( ) 


+
−¬+= ni%n n1
n.i1
i
G P a
4G S2
 
Matemática Financeira Aplicada
 Séries Variáveis em Progressão Aritmética
Decrescentes
0 1 2 3 4 n
1G
(n-1)G
Pn
P4
P3
P1
( )[ ]i%nni1niG S ¬−+= s ( ) ( )[ ]i%nnn -i1ni1i G P ¬++= s
nG
P2
(n-2)G
(n-3)G
 
Matemática Financeira Aplicada
 Séries Variáveis em Progressão Aritmética
Exemplo
Uma máquina permite uma economia de 
custos de $ 10,000 no primeiro ano e 
gradativamente crescente até o quinto ano de 
suas vida útil. Considerando uma taxa efetiva 
de 12% a.ª, calcular o valor atual dessa 
economia de custos.
 
Matemática Financeira Aplicada
 Séries Variáveis em Progressão Geométrica
Valor presente de séries crescentes e 
decrescentes
( )
( )
( ) 


+−
+−
+
=
i1h
i1h
i1
A P
nn
n
0 1 2 3 4 n-1 n
A
Ah
Ah²
Ah³
Ahⁿ‾²
Ahⁿ‾¹
 
Matemática Financeira Aplicada
 Séries Variáveis em Progressão Geométrica
Exemplo
Uma pessoa pagará mensalmente durante 18 
meses uma série de prestações com reajuste 
mensal de 5%. Considerando que o primeiro 
pagamento de $ 48,000 será efetuado no fim do 
primeiro mês, calcular o valor presente da série 
de prestações a juros efetivos de 7% a.m.
 
Matemática Financeira Aplicada
 Séries Variáveis – Perpetuidades
É um conjunto de rendas cujo número não 
pode ser determinado exatamente, pois é muito 
grande e tende ao infinito. Pode ser 
antecipada, postecipada e diferida. Um 
exemplo são os dividendos pagos pelas 
empresas. 
0 1 2 3 4 5 ∞ tempo
R R R R R R
 
Matemática Financeira Aplicada
 Séries Variáveis – Perpetuidades
Postecipada
Antecipada
i
RPP.iR =⇔=
( )
i
i1RP
i1
iP.R aa
+
=⇔


+
=
 
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 Séries Variáveis – Perpetuidades
Custo Capitalizado
 Existem atividades cujos ativos devem ser mantidos 
permanentemente, reformados ou substituídos 
periodicamente através de desembolsos de capital.
0 1 2 k 4 5 ∞ tempo
R R R R R RR
k
C
S S
( ) 


−+
+=+=
1i1
SCPCF k
 
Matemática Financeira Aplicada
 Séries Variáveis – Perpetuidades
Exemplo
Uma jazida de ouro com reservas para 
exploração estimada em mais de cem anos 
produz lucros médios de $ 4,000,000/ano. 
Calcular o valor da mina, considerando que 
nos próximos dois anos a mina não operará 
por motivos de renovação de equipamentos. 
O custo de oportunidade do capital é de 15% 
a.a.
 
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 Séries Variáveis – Perpetuidades
Exemplo
Um canal deirrigação teve um custo inicial de $ 
500,000. O engenheiro projetista estima que 
para estar permanentemente em condições 
operacionais, a cada três anos, deve ser 
realizada uma reforma do canal a um custo 
aproximado de $ 150,000. Determinar a quantia 
que deve ser aplicada hoje a juros de 15% a.a., 
de modo que assegure a reforma perpétua do 
canal, bem como o custo capitalizado do canal, 
admitindo-se um custo de capital de 15% a.a.