Estatística descritiva BIOESTATISTICA(2)

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1
Universidade Federal do Espírito Santo
Centro de Ciências Agrárias
Depto de Engenharia Rural
Profa. Gisele Rodrigues Moreira
Enga. Agrônoma
Dra. Genetica e Melhoramento
E-mail: gisele.moreira @ufes.br
giselemoreira.webnode.com
IMPORTÂNCIA DA ESTATÍSTICA E 
CONCEITOS BÁSICOS
� ESTATÍSTICA DESCRITIVA
Estatística descritiva ou análise exploratória dos 
dados:
Parte da estatística que lida com a 
organização, resumo e apresentação de dados 
por meio de uso de tabelas, de gráficos e de 
medidas de posição, dispersão e pela natureza 
da distribuição em que ocorrem.
INTRODUÇÃO
2
INTRODUÇÃO
ETAPAS:
1a - Coleta ou levantamento dos dados;
2a - Organização dos dados;
3a – Apresentação e representação dos dados.
�Apresentação em tabelas e gráficos
� Medidas de posição ou tendência central
� Medidas de dispersão ou variabilidade
� Estatísticas descritivas de distribuição
3 4
COLETA DOS DADOS
• Tipos de variáveis
• Dados primários e secundários
• TIPOS DE VARIÁVEIS
Qualitativa Quantitativa
Nominal
(classificação)
Ordinal
(ordenadação)
Discreta
(contagem) 
Contínua
(mensuração)
Fator RH (RH+ e 
RH-)
Satisfação com um 
produto 
(Insatisfeito, 
neutro, satisfeito)
Número de 
folhas por 
planta
Estatura de 
pessoas (cm)
5
Importante:
A forma que os dados são coletados, e os 
procedimentos para organizá-los e apresentá-
los depende do tipo de variável!!!!!!!
6
2
7
• DADOS PRIMÁRIOS E SECUNDÁRIOS
• DADOS PRIMÁRIOS → oriundos de sua própria 
análise
• DADOS SECUNDÁRIOS → coletados de outra 
fonte
• DADOS BRUTOS → forma sem ordenação e 
sem nenhum tipo de arranjo sistemático
• DADOS ELABORADOS → forma ordenada e 
com algum tipo de arranjo sistemático 
(seqüência crescente, decrescente, ou outra)
ORGANIZAÇÃO DOS DADOS
8
Dados brutos Dados brutos ––
Variável quantitativa contínuaVariável quantitativa contínua
Peso ao nascer de nascidos vivos, em kg (n = 30 )
2,522 3,200 1,900 4,100 4,600 3,400
2,720 3,720 3,600 2,400 1,720 3,400
3,125 2,800 3,200 2,700 2,750 1,570
2,250 2,900 3,300 2,450 4,200 3,800
3,220 2,950 2,900 3,400 2,100 2,700
9
Adaptado de: VIEIRA, S. Introdução à estatística. Rio de Janeiro: Elsevier, 2008, pág. 34.
Dados brutos Dados brutos ––
Variável quantitativa contínuaVariável quantitativa contínua
Peso ao nascer de nascidos vivos, em kg (n = 30 )
1,570 2,400 2,720 2,950 3,300 3,720
1,720 2,450 2,750 3,125 3,400 3,800
1,900 2,522 2,800 3,200 3,400 4,100
2,100 2,700 2,900 3,200 3,400 4,200
2,250 2,700 2,900 3,220 3,600 4,600
10
Adaptado de: VIEIRA, S. Introdução à estatística. Rio de Janeiro: Elsevier, 2008, pág. 34.
11
• Tabelas
- Série estatística
- Tabela de contingência
- Tabelas de distribuição de frequências
• Gráficos
- Barras verticais (colunas)
- Barras horizontais
- Linha
- Setores ou pizza
- Diagrama de dispersão
- Histograma e polígono de frequência
• Medidas de posição e dispersão
• Estatísticas de distribuição
APRESENTAÇÃO E 
REPRESENTAÇÃO DOS DADOS
12
TABELAS
� Características
� Séries estatísticas
� Tabela de contingência
� Tabela de distribuição de frequências
3
TABELA
� Objetiva resumir, com certo formalismo, um
conjunto de observações.
� Permitem totalizar linhas e colunas e
estabelecer proporções em várias
direções, conforme a necessidade do estudo.
OBS: Os quadros NÃO resumem 
informações, apenas as registram. Logo, as 
informações nos quadros não se relacionam 
entre si!!!!
13
CARACTERÍSTICAS DE UMA TABELA:
Ver “Normas Tabulares” (IBGE, 1993)
14
Sucessão de dados “estatísticos” 
referentes a qualquer variável.
Pode ser de quatro tipos:
- Série temporal, histórica ou cronológica
(época a que se refere o fenômeno analisado)
- Série geográfica, territorial ou de 
localidade
(onde o fenômeno ocorre)
- Série específica ou categórica
(o fenômeno que é descrito)
- Série mista
Série estatística
15
Ano Número de alfabetizados
2000 93.839.744
2010 147.385.581
Tabela 1. Número de alfabetizados com idade de 10 ou
mais anos, nos censos de 2000 e 2010.
Fonte: IBGE, censos demográficos 2000 e 2010
Série temporal, histórica ou cronológica
16
Situação de 
domicílio
Número de alfabetizados
Urbana 128.091.166
Rural 19.294.415
Fonte: IBGE, censo demográfico 2010
Série geográfica, territorial ou de localidade
Tabela 2. Número de alfabetizados, na idade de 10 anos
ou mais, por situação de domicílio, de acordo
com o censo brasileiro de 2010.
17
Série específica ou categórica
Gênero Número de alfabetizados
Homens 71.361.117
Mulheres 76.024.464
Tabela 3. Número de alfabetizados, segundo o gênero,
na idade de 10 anos ou mais, de acordo com
o censo brasileiro de 2010.
Fonte: IBGE, censo demográfico 2010
18
4
Série temporal, histórica ou cronológica 
Série geográfica, territorial ou de localidade 
Série específica ou categórica 
Série mista
19
Gênero 2000 2010
Homem 45.990.282 71.361.117
Mulher 47.849.462 76.024.464
Tabela 4. Número de alfabetizados, segundo o gênero,
na idade de 10 anos ou mais, de acordo com o
censo brasileiro de 2000 e 2010.
Série mista
Fonte: IBGE, censos demográficos 2000 e 2010
20
Usada para fazer correspondência das 
respostas de duas ou mais variáveis 
categóricas (qualitativas).
Variáveis: Linhas e colunas
Interseções entre linhas e colunas: células
Células: frequência, porcentagem do total 
geral, porcentagem do total por linha ou por 
coluna, dependendo do tipo de tabela que está 
sendo elaborada.
Tabela de contingência
21 22
Foram feitos diagnósticos de depressão em 500 estudantes
com idades entre 10 e 17 anos, metade de cada gênero.
Foram identificados 98 casos de depressão, sendo 62 do
gênero feminino. Sem depressão foram 214 do gênero
masculino. Apresente os dados em tabela de
contingência.
Gênero
Depressão
TOTAL
Sim Não
Masculino 36 214 250
Feminino 62 188 250
TOTAL 98 402 500
RESPOSTA:
EXERCÍCIO
(VIEIRA, S. Introdução à Bioestatística. 4. ed. Rio de Janeiro: Elsevier, 2008, pág. 30)
Tabela 5. Tabela de contingência para os diagnósticos de depressão, segundo o
gênero, em 500 estudantes.
23
Gênero
Depressão
TOTAL
Sim Não
Masculino 7,2 42,8 50
Feminino 12,4 37,6 50
TOTAL 19,6 80,4 100
RESPOSTA:
Por total geral:
É possível ainda, a partir da tabela de contingência pela 
frequências absolutas construir as tabelas de contingência 
baseadas nas porcentagens total, por linha e por coluna.
Tabela 6. Tabela de contingência, em porcentagem por total geral, para os
diagnósticos de depressão, segundo o gênero, em 500 estudantes.
24
%50
250
%100500
=
−
−
x
x
%6,19
98
%100500
=
−
−
x
x
%4,80
402
%100500
=
−
−
x
x
%2,7
36
%100500
=
−
−
x
x
%4,12
62
%100500
=
−
−
x
x
Cálculos das porcentagens por total geral:
%8,42
214
%100500
=
−
−
x
x
%6,37
188
%100500
=
−
−
x
x
5
25
Por total por linha:
Gênero
Depressão
TOTAL
Sim Não
Masculino 14,4 85,6 100
Feminino 24,8 75,2 100
TOTAL 19,6 80,4 100
RESPOSTA:
Tabela 7. Tabela de contingência, em porcentagem por total de linha, para os
diagnósticos de depressão, segundo o gênero, em 500 estudantes.
26
%4,14
36
%100250
=
−
−
x
x
%6,85
214
%100250
=
−
−
x
x
%8,24
62
%100250
=
−
−
x
x
%2,75
188
%100250
=
−
−
x
x
Cálculos das porcentagens do total por linha:
27
Por total por coluna:
Gênero
Depressão
TOTAL
Sim Não
Masculino 36,7 53,2 50
Feminino 63,3 46,8 50
TOTAL 100 100 100
RESPOSTA:
Tabela8. Tabela de contingência, em porcentagem por total de coluna, para os
diagnósticos de depressão, segundo o gênero, em 500 estudantes.
28
Cálculos das porcentagens do total por coluna:
%7,36
36
%10098
≈
−
−
x
x
%3,63
62
%10098
≈
−
−
x
x
%2,53
214
%100402
≈
−
−
x
x
%8,46
188
%100402
≈
−
−
x
x
Usada para sintetizar valores 
numéricos (variáveis 
quantitativas), onde se procura 
corresponder os valores observados da 
variável em estudo com as respectivas 
freqüências.
Tabela de distribuição de 
frequências
29
Tipos:
� Tabela de distribuição de frequências
DISCRETA ou PONTUAL ⇒ dados
quantitativos discretos
� Tabela de distribuição de frequências
INTERVALAR ⇒ dados quantitativos
contínuos
30
6
31
Tabela de distribuição de freqüências –
DISCRETA OU PONTUAL
EXEMPLO: Supondo que desejamos
apresentar, em uma tabela de distribuição de
frequências pontual, os dados hipotéticos de
valores da variável “número de animais
contaminados por determinada doença”, obtidos
a partir de 20 propriedades rurais, quais sejam:
0 0 0 0 1
1 1 1 1 1
1 2 2 2 2
2 3 3 4 5
32
Tabela de distribuição de freqüências –
DISCRETA OU PONTUAL
EXEMPLO:
10 PASSO: Obter as frequências absolutas 
(Fi) - dadas pela contagem do 
número de ocorrência de cada 
resultado.
0 0 0 0 1
1 1 1 1 1
1 2 2 2 2
2 3 3 4 5
0 → 4
1 → 7
2 → 5
3 → 2
4 → 1
5 → 1
32
33
20 PASSO: Obter as demais frequências: 
- frequência relativa (Fri), 
- frequência relativa percentual (Fpi%), 
- frequência acumulada (Fci) e
- frequência acumulada percentual 
(Fci%)
30 PASSO: Montar a tabela de distribuição de 
frequências.
33
34
Tabela de distribuição de frequências – DISCRETA OU PONTUAL
No animais 
contaminados Fi Fri Fpi (%) Fci Fci (%)
0 4 0,20 20 4 20
1 7 0,35 35 11 55
2 5 0,25 25 16 80
3 2 0,10 10 18 90
4 1 0,05 5 19 95
5 1 0,05 5 20 100
Total (n) 20 1,00 100 - -
Fri = frequência absoluta; Fri = frequência relativa; Fpi% = frequência relativa percentual; Fci = frequência
acumulada; Fci% = frequência acumulada percentual
Tabela 9. Tabela de distribuição de frequências pontual para o
número de animais contaminados para um grupo de 20
propriedades.
35
EXEMPLO: Sejam os dados do peso ao nascer
de nascidos vivos, em kg
Tabela de distribuição de frequências –
CONTÍNUA OU INTERVALAR
1,570 2,400 2,720 2,950 3,300 3,720
1,720 2,450 2,750 3,125 3,400 3,800
1,900 2,522 2,800 3,200 3,400 4,100
2,100 2,700 2,900 3,200 3,400 4,200
2,250 2,700 2,900 3,220 3,600 4,600
Adaptado de: VIEIRA, S. Introdução à estatística. Rio de Janeiro: Elsevier, 2008, pág. 34.
36
EXEMPLO:
10 PASSO: número de classes: k = 5
20 PASSO: amplitude de classe: c = 0,758
30 PASSO: limite inferior da primeira classe: 
Li1a = 1,191
40 PASSO: obter as frequências absolutas (Fi)
- dadas pela contagem do número de 
ocorrência de resultado em cada classe.
Tabela de distribuição de frequências –
CONTÍNUA OU INTERVALAR
7
37
FÓRMULAS:FÓRMULAS:
5477,530 classes de Número ≈≈==⇒ nk
1 que Em
758,07575,0
15
570,1600,4
1
 classe de oCompriment
 - X XA 
k
A
c
n=
≈=
−
−
=
−
=⇒
191,1
2
758,0570,1
2
2
 classe primeira dainferior Limite
11
11
=−=−=
−=⇒
cXLi
cXLi
a
a
OBS: Justifica-se o k– 1, e não apenas k, no denominador da expressão do comprimento de classe devido à
suposição de que a amostra de tamanho n tem grande chance de não conter o valor mínimo da população
(FERREIRA, 2005).
1ª classe: 1,191 ├ 1,949
2ª classe: 1,949 ├ 2,707
3ª classe: 2,707 ├ 3,465
4ª classe: 3,465 ├ 4,223
5ª classe: 4,223 ├ 4,981
Obtenção das classes:
Se, K é igual a 5, então são cinco classes, ou seja, intervalos. 
O limite inferior da primeira classe começa é o valor 1,191 (LI1a). 
E, cada classe tem o comprimento (c) de 0,758
38
39
40 PASSO: Obter as frequências absolutas (Fi)
- dadas pela contagem do número de 
ocorrência de resultado em cada 
classe
40
1,570 2,400 2,720 2,950 3,300 3,720
1,720 2,450 2,750 3,125 3,400 3,800
1,900 2,522 2,800 3,200 3,400 4,100
2,100 2,700 2,900 3,200 3,400 4,200
2,250 2,700 2,900 3,220 3,600 4,600
⇒ 3
⇒ 7
⇒ 14
⇒ 5
⇒ 1
1ª classe: 1,191 ├ 1,949
2ª classe: 1,949 ├ 2,707
3ª classe: 2,707 ├ 3,465
4ª classe: 3,465 ├ 4,223
5ª classe: 4,223 ├ 4,981
41
50 PASSO: Obter as demais frequências: 
- frequência relativa (Fri), 
- frequência relativa percentual 
(Fpi%), 
- frequência acumulada (Fci) e
- frequência acumulada percentual 
(Fci%)
60 PASSO: Montar a tabela de distribuição de 
frequências.
41
42
Classes Fi Fri Fpi% Fci Fci%
1,191 ├ 1,949 3 0,10 10 3 10
1,949 ├ 2,707 7 0,23 23 10 33
2,707 ├ 3,465 14 0,47 47 24 80
3,465 ├ 4,223 5 0,17 17 29 97
4,223 ├ 4,981 1 0,03 3 30 100
Total 30 1,0 100 - -
Fri = frequência absoluta; Fri = frequência relativa; Fpi% = frequência relativa percentual; Fci =
frequência acumulada; Fci% = frequência acumulada percentual
Tabela 10. Tabela de distribuição de frequências intervalar
do peso ao nascer de nascidos vivos, em kg.
8
43
EXERCÍCIO
Classes Fi Fri Fpi% Fci Fci%
150 ├ 158 7
158 ├ 166 5
166 ├ 174 10
174 ├ 182 12
182 ├ 190 5
190 ├ 198 1
Total 40 1,00 100 - -
Tabela 11. Altura (cm) de 40 alunos do curso de
Estatística da UFES (dados hipotéticos)
43
Fri = frequência absoluta; Fri = frequência relativa; Fpi% = frequência relativa percentual; Fci =
frequência acumulada; Fci% = frequência acumulada percentual
44
EXERCÍCIO - resposta
Classes Fi Fri Fpi% Fci Fci%
150 ├ 158 7 0,18 18 7 18
158 ├ 166 5 0,12 12 12 30
166 ├ 174 10 0,25 25 22 55
174 ├ 182 12 0,31 31 34 86
182 ├ 190 5 0,12 12 39 98
190 ├ 198 1 0,02 2 40 100
Total 40 1,00 100 - -
Tabela 11. Altura (cm) de 160 alunos do curso de
Estatística da UFES (dados hipotéticos)
44
Fri = frequência absoluta; Fri = frequência relativa; Fpi% = frequência relativa percentual; Fci =
frequência acumulada; Fci% = frequência acumulada percentual
45
GRÁFICOS
� Barras verticais (colunas)
� Barras horizontais
� Linha
� Setores ou pizza
� Diagrama de dispersão
� Histograma e polígono de frequência
Possibilita rápida impressão 
visual da distribuição dos valores ou 
das freqüências observadas.
GRÁFICO
46
Tipos de gráficos
� de barras verticais (ou colunas)
� de barras horizontais
� de linhas
� de setores (ou pizza)
� Etc. (Exel →Inserir → Gráfico) 
� Histograma e polígono de frequências
47
GRÁFICO DE BARRAS VERTICAIS (OU GRÁFICO DE BARRAS VERTICAIS (OU 
COLUNAS)COLUNAS)
Usado para apresentar especialmente dados de
variáveis qualitativas (nominais ou ordinais).
Ou seja, é usado para comparar a quantidade ou
a percentagem de valores em diversas categorias.
Também usado para apresentar dados de variáveis quantitativas
discretas organizadas em tabela de distribuição de frequências
pontual.
48
9
Ex: GRÁFICO DE BARRAS VERTICAIS
Fonte: VIEIRA, S. Introdução à Bioestatística. 4 ed. Elsevier, 2008.
0
10
20
30
40
50
60
70
Sim Em parte Não Sem resposta
Figura 1. Resposta de 100 pessoas submetidas a uma
cirurgia estética reparadora quando perguntadas
se consideravam que a cirurgia plástica havia
melhorado a aparência delas.
Resposta
Fr
eq
u
ên
ci
a
 r
el
a
ti
va
 p
er
ce
n
tu
a
l
49 50
0
1
2
3
4
5
6
7
0 1 2 3
4
5
Figura 2. Número de animais contaminados por
determinada doença em 20 propriedades rurais.
Número de animais contaminados
Fr
eq
u
ên
ci
a
 a
b
so
lu
ta
GRÁFICO DE BARRAS HORIZONTAISGRÁFICO DE BARRAS HORIZONTAIS
Também usado para apresentardados de
variáveis qualitativas (nominais ou
ordinais), sendo o melhor tipo para comparar
múltiplos valores categóricos.
Também usado para apresentar dados de variáveis
quantitativas discretas organizadas em tabela de
distribuição de frequências pontual.
51
Ex: GRÁFICO DE BARRAS HORIZONTAL
Figura 3. Distribuição dos casos de doenças de notificação
compulsória no Hospital Federal dos servidores do Estado
do Rio de Janeiro, no período de 1990 a 2004.
52
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000
Dengue
Tuberculose
Hepatite
AIDS/HIV
Diarréia 
Rubéola
Intoxicação alimentar
Meinigite
Número de casos
D
o
e
n
ça
s 
d
e
 n
o
ti
fi
ca
çã
o
 c
o
m
p
u
ls
ó
ri
a
Fonte: http://www.hse.rj.saude.gov.br/profissional/boletim/bol30/epvigi.asp
53
0 1 2 3 4 5 6 7 8
0
1
2
3
4
5
Frequência absoluta
N
º 
d
e 
a
n
im
a
is
 c
o
n
ta
m
in
a
d
o
s
Figura 4. Número de animais contaminados por
determinada doença em 20 propriedades rurais.
GRÁFICO DE LINHASGRÁFICO DE LINHAS
Usado para exibir tendências ao longo do
tempo tanto para variáveis qualitativas e
quantitativas.
54
10
Ex: GRÁFICO DE LINHASEx: GRÁFICO DE LINHAS
Figura 5. Ocorrência da Síndrome de Down em seres humanos de acordo
com a idade da mãe.
Fonte: ENADE , 2009 – Biomedicina 
55
GRÁFICO DE SETORES OU PIZZAGRÁFICO DE SETORES OU PIZZA
Especialmente usado para apresentar
variáveis qualitativas nominais ou
ordinais, de modo a visualizar o todo que
está compreendido em cada um das
categorias. Usado quando existe apenas
poucas categorias.
56
19,71%
20,91%
24,67%
34,71% Aranha
Serpente
Outros animais
Escorpião
Figura 6. Casos de intoxicação humana (%) por animal
peçonhento, ocorridos no Brasil em 2005, de acordo
com o animal.
Ex: GRÁFICO DE SETORES OU PIZZA
Fonte: VIEIRA, S. Introdução à Bioestatística. 4 ed. Elsevier, 2008.
57
DIAGRAMA DE DISPERSÃODIAGRAMA DE DISPERSÃO
Usado para analisar visualmente a relação entre
duas variáveis quantitativas, obtidas nas
mesmas unidades de observação.
58
Se os pontos estiverem espalhados em torno de uma 
linha reta imaginária, é indício de que a relação entre 
as variáveis é linear.
59
Ex: DIAGRAMA DE DISPERSÃO
Sejam as notas de oito alunos nas disciplinas de Cálculo e
Física, sorteados ao acaso em uma turma de Engenharia (COSTA NETO, P. L.
O. Estatística. São Paulo: Blücher, 2002. pág. 222):
Aluno 1 2 3 4 5 6 7 8
Cálculo (X) 4,5 6,0 3,0 2,5 5,0 5,5 1,5 7,0
Física (Y) 3,5 4,5 3,0 2,0 5,5 5,0 1,5 6,0
0
2
4
6
8
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Figura 7. Notas de oito alunos em Cálculo e Física.
Existe uma tendência de 
relação linear crescente entre 
as variáveis.
Usados para dados quantitativos contínuos
apresentados em tabelas de distribuição de 
frequência intervalar.
Histograma e polígono de frequência
IMPORTÂNCIA: 
Verificar a forma de distribuição dos dados
60
11
Gráfico de coluna utilizado para representar 
distribuições de freqüências com dados 
agrupados em classes. Especialmente indicado 
para dados em tabelas de distribuição de 
frequência intervalar.
61
Gráfico obtido pela união de pontos dos
lados superiores (pontos médios das classes)
dos retângulos de um histograma por meio de
segmentos de reta consecutivos.
62
HISTOGRAMA E POLÍGONO DE FREQÜÊNCIA
Figura 8. Histograma e polígono de frequência.
63
Classes de valores Pontos médios das classes
Fr
e
q
u
ê
n
ci
a
Fr
e
q
u
ê
n
ci
a
64
EXERCÍCIO: Obter o histograma e o polígono de frequência a partir dos dados 
agrupados na Tabela de distribuição de frequências INTERVALAR abaixo:
iX
64
Classes Fi Fri Fpi% Fci Fci%
1,191 ├ 1,949 3 0,10 10 3 10
1,949 ├ 2,707 7 0,23 23 10 33
2,707 ├ 3,465 14 0,47 47 24 80
3,465 ├ 4,223 5 0,17 17 29 97
4,223 ├ 4,981 1 0,03 3 30 100
Total 30 1,0 100 - -
Tabela 12. Tabela de distribuição de frequências intervalar
do peso ao nascer de nascidos vivos, em kg.
65
Figura 9. Histograma para o peso ao nascer de nascidos
vivos, em kg.
Fr
e
qu
ên
cia
 
a
bs
o
lu
ta
 
(F
i)
Classes de valores
0
2
4
6
8
10
12
14
16
1,191 ├ 1,949 1,949 ├ 2,707 2,707 ├ 3,465 3,465 ├ 4,223 4,223 ├ 4,981 
Fr
e
qu
ên
cia
 
a
bs
o
lu
ta
 
(F
i)
Pontos médios das classes
66
0
2
4
6
8
10
12
14
16
0.812 1.570 2.328 3.086 3.844 4.602 5.360
Figura 10. Polígono de frequência para o peso ao nascer
de nascidos vivos, em kg.
? ?
12
Fr
e
qu
ên
cia
 
a
bs
o
lu
ta
 
(F
i)
Pontos médios das classes
67
0
2
4
6
8
10
12
14
16
0.812 1.570 2.328 3.086 3.844 4.602 5.360
Figura 10. Polígono de frequência para o peso ao nascer
de nascidos vivos, em kg.
68
Figura 11. Histograma e polígono de frequência para o peso
ao nascer de nascidos vivos, em kg.
Fr
e
qu
ên
cia
 
a
bs
o
lu
ta
 
(F
i)
Classes de valores
0
2
4
6
8
10
12
14
16
1,191 ├ 1,949 1,949 ├ 2,707 2,707 ├ 3,465 3,465 ├ 4,223 4,223 ├ 4,981 
Histograma
Polígono de 
frequência
EXERCÍCIOEXERCÍCIO
Figura 12. Variação de anticorpos para a doença X em relação a uma corte 
populacional específica (área endêmica). (ENADE 2010 – Biomedicina)
69
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Resposta: B
70
71
EXERCÍCIO
Tabela 13. Altura (cm) de 40 alunos do curso de
Estatística da UFES (dados hipotéticos)
Classes Fi Fri Fpi% Fci Fci%
150 ├ 158 7 0,18 18 7 18
158 ├ 166 5 0,12 12 12 30
166 ├ 174 10 0,25 25 22 55
174 ├ 182 12 0,31 31 34 86
182 ├ 190 5 0,12 12 39 98
190 ├ 198 1 0,02 2 40 100
Total 40 1,00 100 - -
Fazer o histograma e o polígono de frequência a partir das
frequências absolutas.
72
Medidas de posição
� Média aritmética
� Mediana
� Moda
13
MEDIDAS DE POSIÇÃO OU TENDÊNCIA 
CENTRAL
Objetivos:
• representar o ponto central de um conjunto de 
dados (média, mediana e moda), 
• estabelecer em torno de que valores 
representativos os dados se distribuem, 
• dividir o conjunto de dados em partes iguais 
(separatrizes → mediana).
73
Média aritmética 
n
XXXX
n
X
X n
n
i
i ++++
==
∑
=
...3211
� Conceito: Soma das observações
dividida pelo número delas.
74
Em que: é cada valor da variável
n é o número de elementos amostrais 
iX
75
kg
n
X
X
n
i
i
987,2
30
600,4...720,1570,11
≈
+++
==
∑
=
EXEMPLO: Sejam os dados do peso ao nascer
de nascidos vivos, em kg
1,570 2,400 2,720 2,950 3,300 3,720
1,720 2,450 2,750 3,125 3,400 3,800
1,900 2,522 2,800 3,200 3,400 4,100
2,100 2,700 2,900 3,200 3,400 4,200
2,250 2,700 2,900 3,220 3,600 4,600
Adaptado de: VIEIRA, S. Introdução à estatística. Rio de Janeiro: Elsevier, 2008, pág. 34.
76
987,2=X
Fr
e
qu
ên
cia
 
a
bs
o
lu
ta
Peso ao nascer
Figura 13. Distribuição dos pesos, em kg, de nascidos vivos em torno da
média aritmética.
0
1
2
3
1.570 2.070 2.570 3.070 3.570 4.070 4.570
77
Propriedades da Média:
� Multiplicando-se ou dividindo-se, todos os
valores de uma variável por uma constante, a
média do conjunto fica multiplicada ou dividida
por esta constante;
� Somando-se ou subtraindo-se uma constante a
todos os valores de uma variável, a média do
conjunto fica acrescida ou diminuída dessa
constante.
78
Vantagens da Média:
� Facilidade de interpretação e cálculo;
� Tem potencial de uso para propósitos de inferências.
Desvantagens da Média:
� É afetada por valores extremos;
� Só pode ser usada para variáveis quantitativas.14
Mediana
79
� Conceito: É o valor que ocupa a posição
central da série de dados, quando estes
são colocados em ordem crescente ou
decrescente.
Mediana
)
2
1( +n
X
2
)
2
2()
2
( +
+ nn XX
Md =
Se n for PAR
Se n for ÍMPAR
80
1,570 2,400 2,720 2,950 3,300 3,720
1,720 2,450 2,750 3,125 3,400 3,800
1,900 2,522 2,800 3,200 3,400 4,100
2,100 2,700 2,900 3,200 3,400 4,200
2,250 2,700 2,900 3,220 3,600 4,600
81
222
1615
)
2
230()
2
30()
2
2()
2
( XX
XXXX
Md
nn
+
=
+
=
+
=
++
kgMd 925,2=
EXEMPLO: Sejam os dados do peso ao nascer
de nascidos vivos, em kg
Adaptado de: VIEIRA, S. Introdução à estatística. Rio de Janeiro: Elsevier, 2008, pág. 34.
⇒
+
=
2
950,2900,2Md
82
Propriedades da Mediana:
� Multiplicando-se, ou dividindo-se, todos os
valores de uma variável por uma constante, a
mediana do conjunto fica multiplicada ou dividida
por esta constante;
� Somando-se ou subtraindo-se uma constante a
todos os valores de uma variável, a mediana do
conjunto fica acrescida ou diminuída dessa
constante.
83
Vantagens da Mediana:
� Não é afetada por valores extremos;
� Pode ser obtida para variáveis quantitativas e
qualitativas ordinais com n ímpar;
� Pode ser obtida em amostras em que alguns valores
ainda não foram registrados.
Desvantagem da Mediana:
� Menos informativa que a média, pois só considera
os ranques (postos ou posições) das observações e não
todos os valores.
• Conceito: É o resultado que ocorre com 
maior frequência numa série de dados.
84
Classificações:
- Amodal
(o conjunto de dados não possui moda)
- Unimodal
(o conjunto de dados possui uma moda)
- Bimodal
(o conjunto de dados possui duas modas)
- Multimodal
(o conjunto de dados possui mais de duas modas)
Moda
15
Moda
85
Unimodal
86
kgMo 400,3=
EXEMPLO: Sejam os dados do peso ao nascer
de nascidos vivos, em kg
Adaptado de: VIEIRA, S. Introdução à estatística. Rio de Janeiro: Elsevier, 2008, pág. 34.
1,570 2,400 2,720 2,950 3,300 3,720
1,720 2,450 2,750 3,125 3,400 3,800
1,900 2,522 2,800 3,200 3,400 4,100
2,100 2,700 2,900 3,200 3,400 4,200
2,250 2,700 2,900 3,220 3,600 4,600
87
Vantagens da Moda:
� Rápida obtenção como medida de posição;
� Pode ser obtida para variáveis quantitativas e
qualitativas (nominais e ordinais);
Desvantagem da Moda:
� Menos informativa que a média, pois só considera
as frequências das observações e não todos os valores.
88
EXERCÍCIO 1
Classe fenotípica Frequência absoluta (Fi)
AL 7
AR 3
VL 3
VR 1
Calcule: média aritmética e a moda (classifique)
Tabela 14. Distribuição de frequências absolutas para a variável cor e
textura da semente de ervilha referente à análise da geração F2
do cruzamento de uma planta de ervilha com sementes
amarelas e lisas (AL) com outras verdes e rugosas (VR).
89
Em um experimento o número de carrapatos, observados
em cada um dos animais de um grupo, foram os seguintes:
19, 7, 4, 9, 7, 17, 13, 10, 17, 15, 11, 15, 15, 20, 19 
Após terem sido calculadas a média aritmética, a mediana
e a moda, um erro foi descoberto: um dos animais com 15
carrapatos tinha, na realidade, 17. É correto afirmar que
nessa situação apenas a média aritmética se altera após a
correção dos dados? Justifique.
EXERCÍCIO 2
90
Classe (g) Freqüência 
0 –| 5 8
5 –| 10 2
10 –| 15 6
15 –| 20 8
20 –| 25 5
25 –| 30 5
30 –| 35 0
35 –| 40 1
A tabela abaixo ilustra a classificação por peso, em gramas, de 
uma amostra com 35 peixes. 
a) Deve-se associar à quarta classe da tabela o valor de 0,015 kg? 
Justifique.
b) A média aritmética dos valores agrupados é igual a 15,50 g? 
Justifique. 
c) Obtenha o histograma e o polígono de freqüência.
EXERCÍCIO 3
16
91
EXERCÍCIO 1 - resposta
14
1337
14
14
1 VRVLARAL
X
X i
i
+++
==
∑
=
Média aritmética
Moda
A classe que possui maior frequência é AL (Fi =
7), Assim Mo = AL; Unimodal
Como a variável é qualitativa nominal não tem
como calcular a média, pois não tem como
proceder o cálculo.
92
Medidas de dispersão
� Amplitude
� Desvio médio
� Variância
� Desvio padrão
� Coeficiente de variação
� Erro padrão da média
Objetivos:
� Quantificar a dispersão dos dados em torno do 
ponto central; 
� Caracterizar e diferenciar a dispersão espacial dos 
dados.
93
MEDIDAS DE DISPERSÃO OU 
VARIABILIDADE
Amplitude total (A)
• Conceito: Diferença entre a maior e a menor 
observação. 
1XXA n −=
94
Em que:
Xn e X1 são, respectivamente, o
último e o primeiro valor nos dados
ordenados
1,570 2,400 2,720 2,950 3,300 3,720
1,720 2,450 2,750 3,125 3,400 3,800
1,900 2,522 2,800 3,200 3,400 4,100
2,100 2,700 2,900 3,200 3,400 4,200
2,250 2,700 2,900 3,220 3,600 4,600
95
kgXXA n 03,3570,1600,41 =−=−=
EXEMPLO: Sejam os dados do peso ao nascer
de nascidos vivos, em kg
Adaptado de: VIEIRA, S. Introdução à estatística. Rio de Janeiro: Elsevier, 2008, pág. 34.
96
Vantagem da Amplitude:
� Rápida obtenção como medida de dispersão.
Desvantagem da Amplitude:
�Pouco informativa como medida de dispersão, pois
uma vez que depende apenas dos valores extremos,
não identifica possíveis variações entre esses limites.
� Fornece uma subestimativa da amplitude
populacional, já que dificilmente a amostra vai
apresentar tanto o valor mais baixo quanto o mais alto
(geralmente os mais raros) da população.
17
Desvio médio
• Conceito: Média dos desvios absolutos em 
relação à média (ou mediana), da amostra. 
n
XX
n
i
i
X
∑
=
−
=
1σˆ
97
)ˆ( Xσ Suponha que tenham sido encontrados os seguintes
valores de uma variável qualquer, em cm:
208 203 202 200 198 197 192
200cm =aritméticaMédia
Em que,
Xi = valores ou dados observados
m = média verdadeira dos dados
ei = desvios em relação a média
xi = m + ei
98
203
208
198
200
202
192
197
200=X
e1 = 8
e2 = 3
e3 = 2
e4 = 0
e5 = -2
e6 = -3
e7 = -8
mˆ X eˆ
 ii −=
Obtenção dos desvios (ei):
99
0ˆ 
7
1
=∑
−i
ie
0)( 
1
=−∑
−
XX
n
i
i
n
XX
n
i
i
X
∑
=
−
=
1σˆ
0)( 
1
=−∑
−
XX
n
i
i
Módulo da soma dos desvios
Número de elementos na amostra
100
Se, 
Então, o desvio médio é: 
101
kg
X
n
XX
X
i
i
n
i
i
X
564,0
30
3,53
30
987,2600,4...987,2720,1987,2570,1
ˆ
30
987,2
ˆ
30
11
≈=
−+−+−
=
−
=
−
=
∑∑
==
σ
σ
1,570 2,400 2,720 2,950 3,300 3,720
1,720 2,450 2,750 3,125 3,400 3,800
1,900 2,522 2,800 3,200 3,400 4,100
2,100 2,700 2,900 3,200 3,400 4,200
2,250 2,700 2,900 3,220 3,600 4,600
EXEMPLO: Sejam os dados do peso ao nascer
de nascidos vivos, em kg
Adaptado de: VIEIRA, S. Introdução à estatística. Rio de Janeiro: Elsevier, 2008, pág. 34.
Variância amostral
• Conceito: Dispersão dos valores em torno da 
média, ou seja, a média dos quadrados das 
diferenças dos valores em relação à sua média 
(Quadrado médio). 
1
)(
ˆ
1
2
2
−
−
=
∑
=
n
XX
n
i
i
σ
102
)ˆ( 2σ
18
103
1
)(
ˆ
1
2
2
−
−
=
∑
=
n
XX
n
i
i
σ Soma de quadrados dos desvios
Graus de liberdade
0)( 
1
=−∑
−
XX
n
i
iSe, 
Então, a variância é: 
OBS: Se a variância for obtida para dados coletados na população, o denominador será n e não n – 1.
VariânciaVariância
1
)(
ˆ
1
2
2
−
−
=
∑
=
n
XX
n
i
i
σ
1
)(
ˆ
1
1
2
2
2
−
−
=
∑
∑
=
=
n
n
X
X
n
i
n
i
i
i
σ
104
105
2
2
222
2
30
1
30
1
2
2
1
1
2
2
2
516,0
29
30
)600,4...720,1570,1()600,4...720,1570,1(ˆ
130
30
)(
1
)(
ˆ
kg
X
X
n
n
X
X
i
i
i
i
n
i
n
i
i
i
≈
+++
−+++
=
−
−
=
−
−
=
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
σ
σ
1,570 2,400 2,720 2,950 3,300 3,720
1,720 2,450 2,750 3,125 3,400 3,800
1,900 2,522 2,800 3,200 3,400 4,100
2,100 2,700 2,900 3,200 3,400 4,200
2,250 2,700 2,900 3,220 3,600 4,600
EXEMPLO: Sejam os dados do peso ao nascer
de nascidos vivos, em kg
Adaptado de: VIEIRA, S. Introdução à estatística. Rio de Janeiro: Elsevier, 2008, pág. 34.
106
Propriedades da Variância:
� Multiplicando-se todos os valores de uma
variável por uma constante, a variância fica
multiplicada pelo quadrado da constante;
� Somando-se ou subtraindo-se uma constante a
todos os valores de uma variável, a variância não
se altera.
Desvio padrão
• Conceito: É a raiz quadrada da variância. 
2
ˆˆ σσ =
Tem a vantagem, em relação à 
variância de estar na mesma 
unidade dos dados originais!
107
)ˆ(σ
22 516,0ˆ Variância kg=⇒σ
kgkg 719,0516,0ˆ padrão Desvio 22 ≈=⇒ σ
108
1,570 2,400 2,720 2,950 3,300 3,720
1,720 2,450 2,750 3,125 3,400 3,800
1,900 2,522 2,800 3,200 3,400 4,100
2,100 2,700 2,900 3,200 3,400 4,200
2,250 2,700 2,900 3,220 3,600 4,600
EXEMPLO: Sejam os dados do peso ao nascer
de nascidos vivos, em kg
Adaptado de: VIEIRA, S. Introdução à estatística. Rio de Janeiro: Elsevier, 2008, pág. 34.
19
109
719,0987,2ˆ ±⇒± σX
268,2ˆ ⇒−σX 706,3ˆ ⇒+σX
Fr
e
qu
ên
cia
 
a
bs
o
lu
ta
Peso ao nascer (kg)
Figura 14. Dispersão, em termos de desvio padrão, dos pesos de nascidos vivos,
em torno da média aritmética.
0
1
2
3
1.570 2.070 2.570 3.070 3.570 4.070 4.570
110
Interpretação do desvio padrão: A maioria
dos valores dos pesos dos nascidos vivos
estão concentrados entre 2,268 e 3,706 kg.
719,0987,2ˆ ±⇒± σX
706,3ˆ268,2 ≤±≤ σX
De fato, 33,3% dos valores (1,570; 1,720; 1,900; 2,100; 2,250; 3,720; 3,800; 4,100;
4,200 e 4,600) estão fora dos limites desse intervalo.
111
Propriedades do Desvio padrão:
� Multiplicando-se todos os valores de uma
variável por uma constante, o desvio padrão fica
multiplicado pela constante;
� Somando-se ou subtraindo-se uma constante a
todos os valores de uma variável, o desvio padrão
não se altera.
� O desvio padrão é maior que o desvio médio.
Coeficiente de variação (CV%)
• Conceito: Medida relativa da variabilidade em 
um conjunto de dados. 
100.ˆ%
X
CV σ=
112
Em que:
=
=
X
σˆ Desvio padrão amostral
Média amostral
- ∞∞∞∞ ≤≤≤≤ CV% ≤≤≤≤ +∞∞∞∞
113
%07,24100.
987,2
719,0% ≈=CV
kgX
kg
987,2
719,0ˆ
=
=σ
Sejam:
Quanto menor o CV%, maior a concentração dos dados
em torno do valor central, e maior homogeneidade.
1,570 2,400 2,720 2,950 3,300 3,720
1,720 2,450 2,750 3,125 3,400 3,800
1,900 2,522 2,800 3,200 3,400 4,100
2,100 2,700 2,900 3,200 3,400 4,200
2,250 2,700 2,900 3,220 3,600 4,600
EXEMPLO: Sejam os dados do peso ao nascer
de nascidos vivos, em kg
Adaptado de: VIEIRA, S. Introdução à estatística. Rio de Janeiro: Elsevier, 2008, pág. 34.
114
Vantagens do Coeficiente de variação:
� Medida adimensional!
� Compara a variabilidade de conjuntos de dados
com diferentes unidades de medida;
� Compara conjuntos de dados com mesma
unidade, mas com médias de diferentes
magnitudes.
20
115
Tem-se uma amostra de 4 sementes de uma espécie E (dados
fictícios), no qual se obtém os dados para a espessura do
endosperma (milímetros) e peso (em gramas).
OUTRO EXEMPLO:
Espessura do endosperma Peso
2 4 5 3 0,012 0,021 0,018 0,016
mm
mmX
5,0ˆ
5,3
=
=
σ
Variável Espessura (X): Variável Peso (Y):
g
gY
004,0ˆ
02,0
≈
≈
σ
OBS: Endosperma é tecido nutritivo que envolve o embrião em certos tipos de plantas
116
%13%
100.
5,3
5,0%
≈
=
X
X
CV
CV
%5,22%
100.
02,0
04,0%
≈
=
Y
Y
CV
CV
A espessura do endosperma possui menor
variabilidade que o peso das sementes, pois 
possui menor CV%.
mm
mmX
5,0ˆ
5,3
=
=
σ
Variável Espessura (X): Variável Peso (Y):
g
gY
004,0ˆ
02,0
≅
≅
σ
Erro padrão da média
• Conceito: Medida de dispersão das médias
amostrais em torno da média da população.
n
X
σ
σ
ˆ
ˆ =
É um estimador da precisão da estimativa de 
uma média populacionall!!
117
kg
n
X 131,030
719,0ˆ
ˆ ≈==
σ
σ
Quanto menor o valor do erro padrão da média, mais 
provável será a chance de se obter a média amostral nas 
proximidades da média populacional!!
118
30
719,0ˆ
=
=
n
kgσ
Sejam:
1,570 2,400 2,720 2,950 3,300 3,720
1,720 2,450 2,750 3,125 3,400 3,800
1,900 2,522 2,800 3,200 3,400 4,100
2,100 2,700 2,900 3,200 3,400 4,200
2,250 2,700 2,900 3,220 3,600 4,600
EXEMPLO: Sejam os dados do peso ao nascer
de nascidos vivos, em kg
Adaptado de: VIEIRA, S. Introdução à estatística. Rio de Janeiro: Elsevier, 2008, pág. 34.
119
Algumas observações sobre as medidas de 
dispersão:
� Quanto maior a dispersão dos dados, maiores são a amplitude, o desvio
médio, a variância, o desvio padrão e o coeficiente de variação;
� Quanto maior a concentração dos dados em torno do valor
central, menores são a amplitude, o desvio médio, a variância, o desvio
padrão e o coeficiente de variação;
� Se os valores forem todos iguais, a amplitude, o desvio médio, a
variância, o desvio padrão e o coeficiente de variação serão iguais a zero;
� Não existe estimativas negativas de amplitude, desvio
médio, variância, desvio padrão e erro padrão da média;
� É possível valor negativo, e acima de 100%, para o coeficiente de
variação.
120
Estatísticas descritivas de 
distribuição
� Coeficiente de assimetria
� Coeficiente de curtose
21
Coeficiente de assimetria
• Conceito: Mede a simetria ou assimetria de uma 
distribuição.
121
Simétrica
Assimétrica positiva Assimétrica negativa
122
Simétrica
Assimétrica positiva Assimétrica negativa
)( MoMdX ==
 )( MoMdX <<)( XMdMo <<
Posição relativa da MÉDIA, MEDIANA e MODA numa 
distribuição
Figura 15 - Posição relativa da média, mediana e moda numa distribuição.
123
- Se As > 0 ⇒ a distrib. será Assimétrica Positiva;
- Se As = 0 ⇒ a distrib. será Simétrica ou Normal;
- Se As < 0 ⇒ a distrib. será Assimétrica Negativa.
σˆ
oMXAs −=
σˆ
)(3 dMXAs −=
COEFICIENTE DE ASSIMETRIA
1,570 2,400 2,720 2,950 3,300 3,720
1,720 2,450 2,750 3,125 3,400 3,800
1,900 2,522 2,800 3,200 3,400 4,100
2,100 2,700 2,900 3,200 3,400 4,200
2,250 2,700 2,900 3,220 3,600 4,600
124
kg
M
M
kgX
d
o
719,0ˆ
925,2
400,3
987,2
=
=
=
=
σ
Sejam:
26,0
719,0
)925,2987,2(3
ˆ
)(3
≈
−
=
−
=
σ
dMXAs
As > 0 ⇒ Assimetria positiva
EXEMPLO: Sejam os dados do peso ao nascer
de nascidos vivos, em kg
Adaptado de: VIEIRA, S. Introdução à estatística. Rio de Janeiro: Elsevier, 2008, pág. 34.
574,0
719,0
400,3987,2
ˆ
0
−≈
−
=
−
=
σ
MXAs
As < 0 ⇒ Assimetria negativa
125
Figura 16. Histograma e polígono de frequência para o peso
ao nascer de nascidos vivos, em kg.
Fr
e
qu
ên
cia
 
a
bs
o
lu
ta
 
(F
i)
Classes de valores
0
2
4
6
8
10
12
14
16
1,191 ├ 1,949 1,949 ├ 2,707 2,707 ├ 3,465 3,465 ├ 4,223 4,223 ├ 4,981 
Como no conjunto de dados a moda foi maior que a mediana e a
média, pressupõe-se que a assimetria seja negativa, e não positiva, apesar da
relação entre as medidas não ter correspondido exatamente ao esperado para
esse tipo de assimetria.
• Conceito: Mede o grau de achatamento de
distribuições simétricas
(Normais ou aproximadamente Normais)
126
Coeficiente de curtose
22Curtose < 3,0 → platicúrtica
Curtose = 3,0 → mesocúrtica (distribuição Normal)
Curtose > 3,0 → leptocúrtica
)3)(2(
)1(3
ˆ)3)(2)(1(
)1( 2
1
4
−−
−
−













 −
−−−
+
= ∑
=
nn
nXX
nnn
nnCurtose
n
i
i
σ
127
COEFICIENTE DE CURTOSE
128
1,570 2,400 2,720 2,950 3,300 3,720
1,720 2,450 2,750 3,125 3,400 3,800
1,900 2,522 2,800 3,200 3,400 4,100
2,100 2,700 2,900 3,200 3,400 4,200
2,250 2,700 2,900 3,220 3,600 4,600
EXEMPLO: Sejam os dados do peso ao nascer
de nascidos vivos, em kg
Adaptado de: VIEIRA, S. Introdução à estatística. Rio de Janeiro: Elsevier, 2008, pág. 34.
kg
kgX
n
719,0ˆ
987,2
30
=
=
=
σ
056,0
)330)(230(
)130(3
719,0
987,2
)330)(230)(130(
)130(30
)3)(2(
)1(3
ˆ)3)(2)(1(
)1(
230
1
4
2
1
4
≈
−−
−
−













 −
−−−
+
=
−−
−
−













 −
−−−
+
=
∑
∑
=
=
Curtose
XCurtose
nn
nXX
nnn
nnCurtose
i
i
n
i
i
σ
Curtose < 3,0 ⇒ Platicúrtica
Sejam:
129
Sejam os dados do consumo diário de sal, em gramas por dia:
EXERCÍCIO 
6 9 6 8 7 6
4 10 6 8 6 8
a) Construa o histograma e o polígono de frequências (a partir
das frequências relativas) e discuta sobre a assimetria da
distribuição.
b) Obtenha média, moda (classifique) e mediana.
c) Obtenha a variância e o desvio padrão. Interprete o desvio
padrão.
d) Calcule o coeficiente de assimetria (classifique) e compare
as posições relativas da média, mediana e moda na distribuição.
e) Obtenha a amplitude e o coeficiente de variação.
Adaptado de: VIEIRA, S. Introdução à estatística. Rio de Janeiro: Elsevier, 2008, pág. 82.
130
5,2
3
3
1 =
=
=
aLi
c
ka)
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
2,5 ├ 5.5 5,5 ├ 8.5 8,5 ├ 11,5
Figura 17. Histograma e polígono de frequência para o
consumo diário de sal, em gramas por dia.
Classes 
Fr
e
q
u
ê
n
ci
a
 r
e
la
ti
va
 
131
5,6
al Unimod6
7
=
=
=
Md
Mo
X
b)
Respostas:
65,1
73,22
≈
≈
σ
σ
)
)c)
A maioria dos dados do consumo diário de sal está disperso em
torno da média entre 7 – 1,65 e 7 + 1,65, ou seja, 5,35 ≤ ≤ 8,65.X
132
65,1
5,6;6
7
≅
==
=
σ
)
MdMo
X
91,0
65,1
)5,67(3
ˆ
)(3
61,0
65,1
67
ˆ
≈
−
=
−
=
≈
−
=
−
=
σ
σ
d
o
MXAs
MXAs
d)
As > 0 ⇒ Assimetria positiva
Respostas:
XMdMoLogo <<⇒ :
23
133
65,1
7
≅
=
σ
)
X
e)
%6,23100.
7
65,1100.% ===
X
CV σ
)
64101 =−=−= XXA n
Respostas:
FIM
Literatura recomendada:
BLAYR, R. C.; TAYLOR, R. A. Bioestatística para ciências da
saúde. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2013.
469p.
CALLEGARI-JACQUES, S. M. Bioestatística: princípios e
aplicações. Porto Alegre: Artmed, 2003. 255p.
FERREIRA, D. F. Estatística básica. Lavras: UFLA, 2005. 664p.
LEVINE, D. M. et al., Estatística: teoria e aplicações. 6. ed. Rio
de Janeiro: LTC, 2012. 804p.
TOLEDO, G.L. & OVALLE, I.I. Estatística básica. 2.ed. São
Paulo: Atlas, 1982. 459p.
VIEIRA, S. Introdução à Bioestatística. Rio de Janeiro:
Elsevier, 2008. 345p.
134