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Aula 15: Correlação e Regressão Linear Simples – Parte 1
ESTATÍSTICA
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Construir e interpretar o diagrama de dispersão;
Calcular e interpretar o coeficiente de correlação linear.
Estrutura de Conteúdo
AULA 15: CORRELAÇÃO E REGRESSÃO LINEAR SIMPLES – PARTE 1
Estatística
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Muitas as vezes nos deparamos com o problema de verificar a existência de uma relação entre duas variáveis (X e Y) ou mais variáveis quantitativas com o objetivo de responder aos seguintes questionamentos:
Para ilustrar o que foi dito acima, vejamos o seguinte exemplo, em que as variáveis X e Y representem, respectivamente, a renda e a poupança das famílias brasileiras. 
Uma amostra de N famílias forneceria pares de pontos (X1 Y1) (X2 Y2) (X3 Y3) ... (Xn Yn), que plotados em um sistema de coordenadas cartesianas, resultaria em um gráfico denominado Diagrama de Dispersão.
Com base no diagrama, é possível verificar a existência de alguma relação entre as variáveis. Nas figuras que se encontram no slide seguinte, temos alguns exemplos de tipos de correlação.
Diagrama de Dispersão
Há algum tipo de relação entre as variáveis X e Y?
Qual o tipo de relacionamento entre elas?
Qual a intensidade da relação?
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Diagrama de Dispersão
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Estatística
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Diagrama de Dispersão
O objetivo da Teoria da Correlação, no caso de duas variáveis, é uma pesquisa no sentido de determinar se as variações de Y, por exemplo, estão associadas a certas variações de X, investigando igualmente se é possível aferir a velocidade de variação de uma variável em função das variações da outra.
É possível que dois fenômenos apresentem alto nível de correlação estatística sem que entre eles haja alguma relação de causa e efeito. 
A análise exigida, nos problemas de correlação, objetiva afastar conclusões falhas a que, às vezes, pode ser conduzido o pesquisador.
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Diagrama de Dispersão
Para comprovar o que afirmamos, vejamos um exemplo muito comum apresentado em diversos livros de Estatística.
“Na França, em igual período, constatou-se forte correlação quando analisadas as séries correspondentes ao consumo de carvão e mortalidade decorrente de determinada enfermidade. Entretanto, neste caso, não é correto concluir que o aumento do consumo de carvão tenha sido a causa da mortalidade.
Investigando mais profundamente, conclui-se que o período considerado coincide com o de incidência de maior frio. Portanto, este seria a causa do aumento do consumo do carvão bem como do aumento da taxa de mortalidade pela enfermidade considerada”.
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Diagrama de Dispersão
O coeficiente de correlação entre duas variáveis expressa a medida dos afastamentos dos pontos observados (Xi Yi) de uma reta de regressão. Permite conceituar o grau de confiança com que a reta de regressão expressa a interdependência funcional entre as duas variáveis. 
Os valores do coeficiente de correlação linear estão sempre entre -1 e +1. Um valor de +1 indica uma correlação linear positiva perfeita entre X e Y. Um valor de -1 indica uma correlação linear negativa perfeita entre X e Y. Os valores próximos de zero indicam forte dispersão.
 
O coeficiente de correlação linear de Pearson é definido pela seguinte fórmula:
r = n (Σ XY) – (Σ X) (Σ Y) / (Ѵ (n Σ X2 – (Σ X)2 ) (Ѵ (n Σ Y2) – (Σ Y)2 )
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Coeficiente de Correlação
Para ilustrar o cálculo do coeficiente de correlação linear, vamos utilizar a tabela abaixo, em que a variável X representa a aplicação de inseticida em quilos em uma lavoura de soja e a variável Y a produtividade em toneladas.
 
 X	 Y	XY	X2 Y2
 1 3 3 1 9
 2 4 8 4 16
 3 4 12 9 16
 4 3 12 16 9
 5 6 30 25 36 
 6 5 30 36 25
---------------------------------------
 21 25 95 91 111 
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Estatística
Coeficiente de Correlação
Substituindo os valores da linha do somatório de cada coluna na fórmula do coeficiente de Correlação, temos:
	r = n (Σ XY) – (Σ X) (Σ Y) / (Ѵ (n Σ X2 – (Σ X)2 ) (Ѵ (n Σ Y2) – (Σ Y)2 )
	r = 6 (95) – ((21) (25)) / (Ѵ 6 (91) – (21)2 ) (Ѵ 6 (111) (25)2 
	r = 45 / 72,7 = 0,6189
Como o coeficiente de correlação é 0,6189, concluímos que as variáveis possuem uma boa correlação
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Teste de Hipótese para Correlação
O Teste de Hipótese é um método da inferência estatística, em que se utiliza dados amostrais de uma população para testar uma afirmativa sobre uma propriedade dessa população. 
Para a realização do teste, recomenda-se seguir os seguintes passos:
 
Estabelecer as hipóteses nula e alternativa:
H0 : ρ = 0 ( n o h correlação linear significante);
H1 : ρ ≠ 0 (h correlação linear significante), sendo ρ o coeficiente de correlação populacional.
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Teste de Hipótese para Correlação
Calcular a estatística do teste: T = r / Ѵ (1 – r2) / (n – 2), sendo n o número de pares ordenados e r o coeficiente de correlação amostral de Pearson;
Especificar o nível de significância e determinar o grau de liberdade: n – 2;
Analisar os resultados: Se | t | valores críticos encontrados na tabela de valores críticos (vide tabela na aula 14), rejeitamos H0, pois não há evidência suficiente para se concluir que haja uma correlação linear.
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Estatística
CONTEÚDO DA PRÓXIMA AULA
Regressão linear simples;
Equação de regressão e sua utilização para fazer previsões. 
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