AI6 GPI Probabilidade e Estatística Aplicada Prof. Nelson

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Probabilidade e 
Estatística Aplicada
Aula Interativa 6
Prof. Nelson Pereira Castanheira
Teoria das Probabilidades
 Experimento aleatório
 Espaço amostral
 Eventos: simples, composto, 
certo, impossível
número de vezes em que 
o evento A pode ocorrer
P(A) =
número de vezes em que 
o espaço amostral S ocorre
Valores limites das 
probabilidades
 P(A) = 0, quando A = 0
(há certeza de não acontecer)
 P(A) = 1, quando A = S 
(há certeza de acontecer)
 Probabilidade do 
acontecimento P(A)
 Probabilidade do não 
acontecimento Q(A)
Q(A) + P(A) = 1
 Experimento: joga-se 
uma moeda honesta
 Espaço amostral: 
S = {cara, coroa}
 Evento: A = {deu cara}
P(A) = ½ ou 50% 
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 Seja agora o evento que 
consiste em jogarmos, uma 
única vez, um dado honesto
A = {deu 5} 
S = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6}
1
6
Então: P(A) = 
 Joga-se dois dados honestos
S = {36 resultados possíveis}
A = {a soma dos dois dados é 6}
A = {(1 , 5) , (2 , 4) , 
(3 , 3) , (4 , 2) , (5 , 1)}
5
36
P(A) = 
 Um nº é sorteado entre os 
inteiros de 1 até 10. Qual a 
probabilidade dele ser o 4?
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
A = { 4 }
1
10
P(A) = 
Eventos Mutuamente 
Exclusivos
 Ocorrendo um deles, o 
outro não pode ocorrer
 Exemplo: joguei um dado
 Sejam os eventos:
A = {deu o número 3}
B = {deu o número 4} 
 Então, se ocorreu o evento 
A não pode ter ocorrido 
o evento B e vice-versa
 Os eventos A e B são 
mutuamente exclusivos
Regra da Multiplicação
 1º experimento: “a” resultados
 2º experimento: “b” resultados
 P (1º  2º) = a . b
 Obs.:  significa Interseção 
e corresponde à 
Multiplicação. Lê-se “E”
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Regra da Adição para 
Eventos Mutuamente 
Exclusivos
 P(A  B) = P(A) + P(B)
 Obs.:  significa União 
e corresponde à Soma. 
Lê-se “OU”
 Joguei um dado
 Qual a probabilidade 
de ter dado 4 ou 5?
P(4  5) = P(4) + P(5)
1 1 2
6 6 6
P(4  5) = =+
Eventos Não 
Mutuamente Exclusivos
 São eventos que podem 
ocorrer simultaneamente
 Exemplo: seja o 
experimento que consiste 
em retirar uma carta de um 
baralho comum de 52 cartas
 Sejam os eventos:
A = extração de um ás
B = extração de uma 
carta de ouros 
 Observe que ao ocorrer A, 
poderá ter ocorrido B
Regra da Adição 
para Eventos Não 
Mutuamente Exclusivos
P(A  B) = P(A) + P(B) – P(A  B)
 Retirei uma carta de um 
baralho honesto. Qual 
a probabilidade dessa 
carta ser o ás de ouros?
4
4
52
13
52 
P (ás de ouros) = 
4 13 4 13 16
52 52 52 52 52
P (ás) = 
P (ouros) = 
+ – . =
Distribuição Binomial 
de Probabilidades 
Recordando fatorial
3! = 3 . 2 . 1 = 6
5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120
0! = 1 (por definição)
 Recordando combinação
5!
3! . (5 – 3)!
120 
6 . 2
C5, 3 = 
C5, 3 = = 10
 A Distribuição Binomial é 
uma distribuição discreta de 
probabilidade aplicável sempre 
que o processo de Amostragem 
é do tipo de Bernoulli, ou seja:
a) em cada tentativa existem 
dois resultados possíveis 
e mutuamente exclusivos, 
denominados de sucesso 
e fracasso
b) as séries de tentativas 
ou observações são 
eventos independentes
c) a probabilidade de 
sucesso, indicada por “p”, 
permanece constante de 
tentativa para tentativa 
(processo estacionário)
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Distribuição Binomial
P(X) = CN,X . p X . q N-X = 
N !
X ! (N – X) !
= . p X . q N-X
Importante:
 p = probabilidade de sucesso
 q = probabilidade de fracasso
 p + q = 1
 Experimento: jogar um 
dado cinco vezes
P (três 6 em cinco lances) = ?
p = 1/6 ; q = 5/6
N = 5 (nº de tentativas)
X = 3 (nº de sucessos)
P(X=3) = C5,3 . p 3 . q 5-3 = 
5 !
3 ! (5 – 3) !
1 25
216 36
P(X=3) = 0,0321 ou 3,21%
=
P(X=3) = 10 . .
. (1/6) 3 . (5/6) 5-3
Distribuição de Poisson
 A Distribuição de Poisson 
é usada quando os 
eventos ocorrem em 
um continuum de tempo 
ou espaço. Os eventos 
são independentes e o 
processo é estacionário
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Distribuição de Poisson
X . e 
X!
 Obs.:  = nº médio de 
sucessos (é sempre um 
valor conhecido)
P(X  ) = 
 Um departamento de conserto 
de máquinas recebe uma 
média de cinco chamadas 
por hora. Qual a probabilidade 
de que, em uma hora 
selecionada aleatoriamente, 
sejam recebidas exatamente 
três chamadas? 
53 . e5 
3!
125 . 0,00674
6
= 0,1404 ou 14,04%
= =
P(X= 3 = 5) = 
Distribuição Normal 
de Probabilidades
 A Distribuição Normal é 
contínua e simétrica em 
relação à média. A curva 
que representa a distribuição 
normal é mesocúrtica e 
frequentemente descrita 
como curva em forma de 
sino, sendo também conhecida 
como Curva de Gauss
Curva da Distribuição 
Normal de Probabilidades
f(X)
X
Z
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 Qualquer conjunto de valores 
X normalmente distribuídos 
pode ser convertido em 
valores normais padronizados 
z pelo uso da fórmula:
X  
S
z = 
Z 0,00 0,01 0,02 0,03
0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120
0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517
0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910
Distribuição Normal
 A vida média de um tipo de 
lâmpada segue uma distribuição 
normal, com média  = 2.000 
horas e desvio padrão S = 200 
horas. Qual a probabilidade de 
uma lâmpada escolhida ao acaso 
durar entre 2000 e 2400 horas?
1400 1600 1800 2000 2200 2400 2600 X
- 3 - 2 - 1 0 1 2 3 Z
f(X)
P (2000 a 2400 horas) = ?
X   2.400  2.000 
S 200
z = + 2
P(0  z  +2,0) = 0,4772
P(2.000  X  2.400) = 0,4772 
ou 47,72 %
=z = 
O que isso significa? 
 Significa que a área limitada 
pela curva e pelo eixo 
horizontal X, para valores 
de z variando de 0 até +2, 
corresponde a 47,72% 
da área total sob a curva
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Referências de Apoio
 CASTANHEIRA, Nelson 
Pereira. Estatística aplicada 
a todos os níveis. 5. ed. 
Curitiba: Intersaberes, 2010.
 BUSSAB, Wilton de O.; 
MORETTIN, Pedro A. 
Estatística básica. 5. ed. 
São Paulo: Saraiva, 2002.