APS - Estatística e Probabilidade Aplicada

Prévia do material em texto

Atividade
Imagine que a prova N2 ocorrerá de forma presencial e que você poderá realizar a
consulta a um resumo contendo toda a matéria estudada no semestre até a última
aula da semana de 31/maio a 4/junho. Nele, você deverá colocar:
▪ Definições;
▪ Fórmulas;
▪ Exemplos resolvidos (quando julgar necessário).
___________________________________________________________________
Aula 01 - INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA
Processo Estatístico:
Definição: A Estatística é a única ciência capaz de quantificar os erros.
Erros – Exemplos:
A pesquisa foi realizada com 3.000 pessoas entre os dias xx/xx/xx e yy/yy/yy. A pesquisa possui uma confiança de 95% e a margem de erro é de 2 pontos percentuais.
Aula 02 - TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM
Objetivo: Obter uma amostra representativa da população
TIPOS DE AMOSTRAGENS
AMOSTRAGEM:
Probabilística
Todos os elementos tem a mesma “chance” 
de serem selecionados.Não Probabilística
Os elementos tem “chances” diferentes de serem selecionados.
· Conglomerado;
· Intencional;
· Proporcional ou Quotas;
· Desproporcional.
· Aleatória Simples ou Casual Simples;
· Sistemática;
· Estratificada;
· Conglomerado.
AMOSTRAGENS NÃO PROBABILÍSTICAS
1) ACIDENTAL OU POR CONVENIÊNCIA: Ocorrem de forma que os elementos selecionados são, de certa forma, voluntários e estão presentes em determinado local e horário, coincidentes com o do entrevistador. (Quando as “tias” abordam as pessoas despreparadamente).
2) INTENCIONAL: É um tipo de amostragem derivada da Acidental. A diferença é que se estabelece um “filtro” em que apenas pessoas de interesse serão selecionadas e/ou abordadas pelo entrevistador. Exemplo: Proprietário de uma fábrica de óculos encomenda uma pesquisa sobre formas, cores e tamanhos de armações com o objetivo de melhorar as vendas. Filtro: pessoas que usam óculos
3) PROPORCIONAL OU POR QUOTAS: O tamanho da amostra, para cada “camada” analisada, é proporcional ao tamanho da população.
Exemplo: 
AMOSTRA: Obter uma amostra correspondente a 20% do tamanho populacional.36 + 12 = 48 (tamanho da população)
20% de 48 é 0,20 . 48 = 9,6 Amostra Tamanho: 10
Embora não seja uma regra, é preferível sempre fazer alterações onde houver o maior valor!
4) DESPROPORCIONAL: Usando o mesmo exemplo a cima 
36 + 12 = 48 (tamanho da população)
20% de 48 é 0,20 . 48 = 9,6 -> Amostra Tamanho: 10
AMOSTRAGENS PROBABILÍSTICAS
1) ALEATÓRIA SIMPLES OU CASUAL: Todos os elementos da amostra devem ter exatamente a mesma “chance” (probabilidade) de serem escolhidos. Exemplo: Bingo.
2) SISTEMÁTICA: Consiste em escolher um indivíduo inicialmente de forma aleatória entre a população e, posteriormente, selecionar para amostra.
3) ESTRATIFICADA: É costume considerar três tipos de amostragem estratificada: uniforme, proporcional e ótima. Na amostragem estratificada uniforme, sorteia-se igual número de elementos em cada estrato. Na proporcional, o número de elementos sorteados em cada estrato é proporcional ao número de elementos existentes no estrato.
4) CONGLOMERADO: Divide-se a área da população em conglomerados: em seguida sorteia-se alguns desses conglomerados e, finalmente são estudados todos os elementos pertencentes aos conglomerados escolhidos.
EXEMPLOS:
1-) Classifique o tipo de amostragem utilizada em cada caso: 
a) Em uma sala de aula composta por 60 alunos arrumados em 6 fileiras de 10 alunos cada, toma-se uma amostra de 10 alunos jogando-se um dado e escolhendo os alunos da fileira correspondente ao resultado da jogada.
R: Conglomerado
b) Em uma sala de aula composta por 60 alunos, toma-se uma amostra de 10 alunos escolhendo-se um valor qualquer na lista de chamada e selecionando os 10 alunos a partir daquele número. Se chegar ao fim da lista antes de completar 10 alunos, volta-se ao início da lista, até completar 10 alunos.
R: Sistemática
2-) Uma população encontra-se em três estratos, com tamanhos, respectivamente, n1 = 40, n2 = 100 e n3 = 60. Sabendo que, ao ser realizada uma amostragem estratificada proporcional, nove elementos da amostra foram retirados do 3o estrato, determine o número total de elementos da amostra.
3-) A produção diária de uma indústria é de 450 peças. Uma amostra sistemática de tamanho 30 será extraída de uma produção, começando pela peça de número 10. Assinale a alternativa correspondente aos números das cinco primeiros peças:
a) 10 – 25 – 40 – 55 – 70 
b) 10 – 15 – 20 – 25 – 30 
c) 10 – 12 – 14 – 16 – 18 
d) 10 – 20 – 30 – 40 – 50
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS
Variável: é o que se deseja observar para se tirar algum tipo de conclusão. Geralmente as variáveis para estudo são selecionadas por processos de amostragem. Os símbolos utilizados para representá-las são letras maiúsculas do alfabeto, tais como X, Y, Z... que podem assumir qualquer valor de um conjunto de dados.
Variáveis
· Qualitativas: Qualidade “PALAVRA”
Nominais: Não há hierarquia. Exemplo: Cor dos olhos, marcas, cidade em que nasceu, tipo de música ou filme predileto
Ordinais: Ordem / Hierarquia. Exemplo: Patentes do exército, tamanho de camisetas (P/M/G), grau de escolaridade
· Quantitativas: Quantidade “NÚMERO”
Discretas: Valores discretos (contar com os dedos). Exemplo: Nº de irmãos que possui, nº de geladeiras que possui em casa, idade*
Contínuas: Valores contínuos (intervalos). Exemplo: Salário (faixa salarial), tamanho populacional de um país (considerando um conjunto de países analisados), idade*
EXERCÍCIO
1-) Classifique as variáveis em qualitativas (nominal ou ordinal) ou quantitativas (discreta ou contínua):
a) número de ações negociadas por dia na bolsa de valores ao longo de 1 ano; 
contínua
b) número de filhos de um certo casal;
discreta
c) comprimento dos pregos produzidos por uma máquina;
contínua
d) número de volumes na biblioteca da faculdade;
discreta
e) salário dos funcionários de uma empresa;
contínua
f) cor predominante da parede externa de sua casa;
nominal 
g) grau de escolaridade;
ordinal
h) número de horas dormidas na última noite;
discreta
i) tipo de comida preferida; 
nominal
j) cargo dos funcionários de uma empresa.
ordinal
ORGANIZAÇÃO DE DADOS
Rol: Chama-se ROL a sequência dos dados brutos ordenada de forma não decrescente. 
Suponhamos uma pesquisa em que 10 casais foram entrevistados com relação ao número de filhos que possuíam. Os resultados obtidos, na ordem das entrevistas (dados brutos) foram: 2, 1, 1, 3, 0, 1, 0, 0, 0, 2
				ROL: 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 3.
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS
EXEMPLO
1-) Consideremos o quadro seguinte que mostra as notas de Estatística dos alunos de uma classe. Os dados apresentados na tabela abaixo estão na forma primitiva (dados brutos).
ROL: 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 9, 9 
	
COLUNAS DE FREQUÊNCIAS RELATIVAS
Nas colunas fri e Fri podemos trabalhar tanto com porcentagens como com valores decimais. Lembrando que:
INTERVALOS CONTÍNUOS (CLASSES)
Notação
NOMENCLATURAS
DETERMINAÇÃO DO NÚMERO DE CLASSES
REGRA DE STURGES (CLASSES DE MESMA AMPLITUDE)
	EXEMPLO
EXEMPLO
	
GRÁFICOS
OBJETIVOS DE UM GRÁFICO:
-> Resumir as informações de forma simplificada. 
-> Facilitar a leitura e interpretação dos dados. 
-> Permitir uma leitura correta e precisa dos dados apresentados.
TIPOS DE GRÁFICOS
GRÁFICO DE LINHAS:
São utilizados, geralmente, para representações de dados envolvendo Séries Temporais.
As Séries Temporais podem ser variadas, de acordo com o interesse e necessidade:
▪ Dias 
▪ Meses 
▪ Anos 
▪ Horas 
▪ Minutos 
▪ Semestres
Na construção desses gráficos, o tempo é marcado no eixo x e a frequência do valor observado é marcado no eixo y.
GRÁFICO DE COLUNAS:
Ideal para variáveis qualitativas (nominais ou ordinais) e variáveis quantitativas discretas. As frequências dos valores observados são representadas no eixo vertical e as “categorias” da variável são exibidas no eixo horizontal.
GRÁFICO DE BARRAS:
Ideal para variáveis qualitativas ordinais. 
As frequências dos valoresobservados são representados no eixo horizontal e as “categorias” da variável são exibidas no eixo vertical (o contrário dos gráficos de colunas). 
Geralmente, para passar a ideia de hierarquia, as barras são dispostas de forma crescente ou decrescente, conforme o interesse na informação que se quer ressaltar. Porém, isso não é uma obrigatoriedade na construção de gráficos de barras.
	GRÁFICOS DE COLUNAS: CUIDADOS E RÓTULOS
-> GRÁFICO 3D 					->GRÁFICO DE SETORES (PIZZA / TORTA) 
PROBABILIDADE
Experimento aleatório = fenômenos que, quando repetidos inúmeras vezes em processos semelhantes, possuem resultados imprevisíveis. Exemplos: lançamento de um dado ou de uma moeda. 
Espaço Amostral = conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento aleatório. 
Notação: 𝛀 (ômega)
Exemplos: 
- Lançamento de um dado: Ω = {1,2,3,4,5,6}; 
- Lançamento de uma moeda: Ω = 𝐾, 𝐶.
_______________________________________________________________________________________________________________
Evento = é um subconjunto de um espaço amostral. Geralmente os eventos são representados por letras maiúsculas. Basicamente, um evento é um conjunto contendo os casos (elementos) de interesse.
Exemplos:
- Lançamento de um dado: Ω = {1,2,3,4,5,6};
- Obter um número maior que 4 no lançamento de um dado: 𝐴 = {5,6};
* Lançamento de 2 moedas: Ω = {(𝐾,𝐾),( 𝐾, 𝐶),(𝐶,𝐾),(𝐶, 𝐶)};
* Obter 1 cara no lançamento de 2 moedas: 𝐷 = {(𝐾, 𝐶),(𝐶, 𝐾)}.
COMBINAÇÕES DE EVENTOS
Intersecção: Sejam A e B dois eventos; então 𝐴 ∩ 𝐵 será um evento que corresponde à ocorrência de A e B simultaneamente.
𝐴 = {1,2,3,4} 
𝐵 = {3,4,5,6,7} 
𝐴 ∩ 𝐵 = {3,4}
Ω = {1,2,3,4,5,6,7}
∩ = e
∪ = ou
União: Sejam A e B dois eventos; então 𝑨 ∪ 𝑩 corresponde a um evento que ocorrerá quando uma das três condições forem satisfeitas:
▪ ocorre A e não ocorre B; 
▪ não ocorre A e ocorre B; 
▪ ocorre A e ocorre B simultaneamente.
𝐴 = {1,2,3,4} 
𝐵 = {3,4,5,6,7} 
𝐴 ∪ 𝐵 = {1,2,3,4,5,6,7}
 Ω = {1,2,3,4,5,6,7}
Mutuamente exclusivos: Sejam A e B dois eventos; se 𝑨 ∩ 𝑩 = ∅ , então A e B são ditos eventos mutuamente exclusivos. 
𝐴 = {1,2,3}
𝐵 = {5,6,7}
𝐴 ∩ 𝐵 = ∅
 
 
 Ω = {1,2,3,5,6,7}
 
Complementar: Seja A um evento; então 𝑨 (lê-se: “A barra”) será também um evento que ocorrerá se, e somente se, A não ocorrer.
Ω = {1,2,3,4,5,6,7}
𝐴 = {1,2,3,4} Ã = {5,6,7}
 
 Note que sempre teremos:
 A ∪ Ã = Ω
 A ∩ Ã = ∅
EXEMPLO:
Suponhamos o lançamento de um dado. Sejam os eventos: 
A: ocorrer um número ímpar; 
B: ocorrer um número primo. 
Escrever os conjuntos que representam:
a) o espaço amostral;
R: Ω = {1,2,3,4,5,6}
b) o evento A;
R: 𝐴 = {1,3,5}
c) o evento B;
R: 𝐵 = {2,3,5}
d) o evento ocorrer um número ímpar ou primo;
R: 𝐴 ∪ 𝐵 = {1,2,3,5}
e) o evento ocorrer um número ímpar e primo;
R: 𝐴 ∩ 𝐵 = {3,5}
f) o evento não ocorrer um número ímpar;
R: Ã = {2,4,6}
g) o evento não ocorrer um número primo.
R: B = {1,4,6}
DEFINIÇÃO: A probabilidade de ocorrer um evento A definido em um espaço amostral 𝛺 é dada por:
EXEMPLO:
Lança-se um dado. Sejam os eventos: 
A: obter número 5; 
B: obter número 1 ou 6; 
C: obter número 7; 
D: obter um número de 1 a 6. 
Calcular a probabilidade de ocorrer cada um dos eventos citados.
Ω = {1,2,3,4,5,6}
𝐴 = {5} 
𝐵 = {1,6} 
𝐶 = {7} ERRADO, pois não é subconjunto de Ω = 𝑪 = ∅
𝐷 = {1,2,3,4,5,6}
PROBABILIDADE EMPÍRICA:
Quando um experimento (por exemplo, lançar um dado ou lançar uma moeda) é repetido muitas vezes, são formados padrões regulares que permitem encontrar a probabilidade empírica de que determinado evento ocorra.
Por exemplo: ao lançarmos uma moeda 10 vezes, pode ser que ocorra obtermos 2 caras e 8 coroas. Porém, isso não significa que a probabilidade de ocorrer cara não seja 50%. Se repetirmos o experimento lançar uma moeda em torno de 10.000 vezes, é muito provável que o número de caras observadas seja um valor bastante próximo de 5.000.
Esse fato é explicado pela Lei dos Grandes Números: conforme um experimento é repetido várias vezes, a probabilidade empírica de um evento se aproxima da sua probabilidade teórica (real).
EXEMPLO:
Em um Serviço de Atendimento ao Cliente (SAC) de uma empresa, é perguntado sobre o grau de satisfação do cliente com os serviços prestados. Em 1000 atendimentos, 550 consumidores disseram estar “muito satisfeitos”; 300 apenas “satisfeitos”; e o restante, “insatisfeitos”. Qual a probabilidade de a empresa receber a ligação de um cliente “insatisfeito”?
1000 – 550 – 300 = 150 clientes insatisfeitos
𝑃 insatisfeito = 150/1000 = 0,15 ou 15%
PROBABILIDADE DE UM EVENTO COMPLEMENTAR
Portanto: 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐴) = 1 é igual 𝑃(𝐴) = 1 − 𝑃(𝐴)
Exemplo: a probabilidade de um equipamento sair de fábrica com defeito é de 0,5%. Qual a probabilidade de o equipamento sair funcionando corretamente?
R: D: um aparelho apresentar defeito de fábrica 
𝐷:aparelho não apresentar defeito de fábrica
𝑃(𝐷) + 𝑃(𝐷) = 1 
0,005 + 𝑃(𝐷) = 1 
𝑃(𝐷) = 1 − 0,005 
𝑃 𝐷 = 0,995 ou 99,5%
PROBABILIDADE DE VÁRIOS EVENTOS
Se tivermos vários eventos mutuamente exclusivos, ou seja: 
𝐴1 ∩ 𝐴2 ∩ 𝐴3 ∩ ⋯ ∩ 𝐴𝑛 = ∅
De modo que:
𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ 𝐴3 ∪ ⋯ ∪ 𝐴𝑛 = Ω
Então:
Exemplo: segundo os meteorologistas, a probabilidade de fazer um dia ensolarado é 45%; ficar nublado é 30%. Qual a probabilidade de chover? Admita que essas são as únicas possibilidades de ocorrência. 
S: o dia será ensolarado; 
N: o dia ficará nublado; 
C: haverá chuva no dia.P(S) + P(N) + P(C) = 1 
0,45 + 0,30 + P(C) = 1 
P(C) = 1 – 0,45 – 0,30 
P(C) = 0,25 ou 25%
PROBABILIDADE DA UNIÃO DE 2 EVENTOS
Vamos “deduzir” a fórmula a partir de um exemplo. 
Escolhendo-se aleatoriamente um número natural de 1 a 20, qual é a probabilidade desse número ser múltiplo de 2 ou 3?
Sejam os eventos: 
A: o número ser múltiplo de 2 
B: o número ser múltiplo de 3
EXEMPLOS RESOLVIDOS
1-)(FUVEST) A probabilidade de que a população atual de um país seja de 110 milhões ou mais é de 95%. A probabilidade de ser 110 milhões ou menos é de 8%. Calcule a probabilidade de ser 110 milhões.
2-) Em um grupo de 500 estudantes, 80 estudam Engenharia, 150 estudam Administração e 10 estudam Engenharia e Administração. Se um aluno é escolhido ao acaso, qual a probabilidade de que: 
a) ele estude Administração e Engenharia? 
b) ele estude somente Engenharia? 
c) ele estude somente Administração? 
d) ele não estude Engenharia nem Administração? 
e) ele estude Engenharia ou Administração?
ESPAÇOS EQUIPROVÁVEIS E NÃO EQUIPROVÁVEIS
 
Quando a probabilidade de ocorrência de cada elemento de um espaço amostral for a mesma, dizemos que temos um espaço equiprovável. Porém, se a probabilidade de ocorrência de cada elemento não for a mesma, dizemos que temos um espaço não equiprovável. Exemplos: 
1-) Uma urna contém 50 bolas idênticas. Se as bolas forem numeradas de 1 a 50, qual a probabilidade de, em uma extração ao acaso 
a) obtermos a bola de número 27? 
b) obtermos uma bola de número par? 
c) obtermos uma bola de número maior que 20? 
2-) Considere a roleta indicada na figura:
Calcule a probabilidade de ser sorteado cada um dos números mostrados.
P(1) = ¼
P(2) = ¼
P(3) = 2/4 = ½
3-) A probabilidade de ocorrer carano lançamento de uma moeda é 0,62. Qual é a probabilidade de ocorrer coroa?
P(K) + P(C) = 1 
P(C) = 1 – 0,62 
P(C) = 0,38 ou 38%
4-) Em uma moeda viciada, a probabilidade de ocorrer cara é igual a cinco vezes a probabilidade de ocorrer coroa. Calcule a probabilidade de ocorrer cara em um lançamento dessa moeda.
P(K) = 5.P(C)
P(K) + P(C) = 1 P(K) =5. 1/6 = 5/6
5.P(C)+ P(C) = 1 
6P(C) = 1
P(C) = 1/6
5-) Três cavalos P, Q e R disputam um páreo, no qual só se premiará o vencedor. Um apostador afirma que a probabilidade de P vencer é o dobro da probabilidade de Q e que Q tem o triplo da probabilidade de ganhar de R. Qual a probabilidade que cada cavalo tem de vencer?
6-) Em um lançamento de um dado viciado, a probabilidade de observarmos um número é proporcional a esse número. Calcule a probabilidade de ocorrer número maior ou igual a 5. 
Seja k um número real que será a nossa constante de proporcionalidade
 k + 2k + 3k + 4k + 5k + 6k = 1 		P(face 5) = 5/21
 21k = 1 					P(face 6) = 6/21 
 K=x’x
EVENTOS INDEPENDENTES 
1-) Dois eventos são estatisticamente independentes se a ocorrência de um deles não afetar a ocorrência do outro. Por exemplo: ao lançarmos uma moeda honesta e observarmos o resultado, podemos ter obtido uma cara. Se lançarmos novamente, a probabilidade de obtermos outra cara não será alterada em função do resultado obtido na(s) jogada(s) anterior(es), ou seja, a probabilidade continua sendo 50%.
Se A e B são eventos independentes então 
Essa regra é válida para n eventos independentes A1 , A2 , ..., An . Isto é válido desde que todas as combinações entre dois ou mais eventos sejam independentes:
Caso A e B não sejam eventos independentes, dizemos que A e B são dependentes.
2-) Uma experiência consiste em lançar, simultaneamente, um dado e duas moedas. Qual a probabilidade de obter a face quatro no dado e duas caras? 
Como os eventos são, claramente, independentes, visto que o resultado obtido nas moedas e no dado não são influenciados um pelo outro, temos:
ÁRVORE DE PROBABILIDADES – ESTRUTURA GERAL
Exemplo 1
Lança-se uma moeda 3 vezes. Calcule a probabilidade dos eventos: 
A: ocorrem pelo menos duas caras. 
B: ocorrem resultados iguais nos três lançamentos.
ÁRVORE DE PROBABILIDADES
Exemplo 1
A urna I tem 3 bolas vermelhas e 4 brancas, a urna II tem 2 bolas vermelhas e 6 brancas e a urna III tem 5 bolas vermelhas, 2 brancas e 3 amarelas. Uma urna é selecionada ao acaso e dela é extraída uma bola, também ao acaso. Qual a probabilidade de a bola ser:
a) vermelha? 
b) branca? 
c) amarela?
As urnas possuem os seguintes aspectos:
Baseado no enunciado, a primeira etapa do experimento consiste na escolha de uma urna (dentre as 3 disponíveis). Logo, o início da árvore será:
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
ENSAIOS DE BERNOULLI: Consideremos um experimento que consiste em uma sequência de ensaios ou tentativas independentes, isto é, ensaios nos quais a probabilidade de um resultado em cada ensaio não depende dos resultados ocorridos nos ensaios anteriores, nem dos resultados nos ensaios posteriores.
Em cada ensaio, podem ocorrer apenas dois resultados:
▪ Sucesso → consiste nos casos de interesse para o cálculo de probabilidades. 
▪ Fracasso → consiste em todos os casos que não são sucesso.
O que é sucesso: O sucesso em um experimento de Bernoulli corresponde àquilo que temos interesse em calcular probabilidades, independente de se tratar, do ponto de vista social, ético ou moral, de algo bom ou ruim (ou ‘neutro’). À probabilidade de sucesso devemos associar um valor p.
Exemplo: 
↪ Obter cara no lançamento de uma moeda honesta → 𝑝 = 0,5;
↪ Obter face 2 no lançamento de um dado honesto → 𝑝 = 1 6;
↪ Ocorrer um acidente de trânsito com vítima fatal em certo cruzamento da cidade;
↪ Uma pessoa internada em UTI por COVID-19 falecer na cidade de São Paulo.
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL: FÓRMULA
Devemos definir, inicialmente:
▪ Qual é a variável X que representa sucesso 
▪ Qual é a probabilidade de sucesso p 
▪ Qual o número de repetições (n) dos Ensaios de Bernoulli
A probabilidade de a variável X ser igual a um certo valor k, de modo que 0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛, pode ser calculada pela fórmula:
EXEMPLOS:
1-) Uma prova consta de 10 testes com 5 alternativas cada um, sendo apenas uma delas correta. Um aluno que nada sabe a respeito da matéria avaliada, “chuta” uma resposta para cada teste. Qual é a probabilidade de ele acertar exatamente 6 testes?
Definimos:
X: nº de testes que o aluno acerta (sucesso)
𝑝 = 1/5 = 0,2 (probabilidade de sucesso)
𝑛 = 10 (repetições de Ensaios de Bernoulli)
Queremos calcular:
𝑃 (𝑋 = 6) (portanto, 𝑘 = 6)
𝑃 (𝑋 = 6) = (10/6) . 0,2^6 . (1-p)^n-k
P (X=6) = (10/06) . 0,2^6 . 0,8^4
P (X=6) = 210 . 0,2^6 . 0,8^4
P (X=6) = 0,0055 ou 0,55%
2-) Um casal deseja ter 4 filhos, 2 homens e 2 mulheres. Supondo que a probabilidade de nascimento de um homem (H) ou uma mulher (M) seja a mesma, qual a probabilidade de tal fato acontecer?
Definimos: 
X: nº de homens (sucesso) 
𝑝 = 1 2 = 0,5 (probabilidade de sucesso) 
𝑛 = 4 (repetições de Ensaios de Bernoulli)
Queremos calcular: 
𝑃 (𝑋 = 2) (portanto, 𝑘 = 2)
𝑃 (𝑋 = 2) = (4/2) . 0,5^2 . (1 − 0,5)^4−2
𝑃 (𝑋 = 2) = (4/2) . 0,5^2 . 0,5^2
𝑃 (𝑋 = 2) = 6. 0,5^2 . 0,5^2
𝑃 (𝑋 = 2) = 𝟎, 𝟑𝟕𝟓 𝐨𝐮 𝟑𝟕, 𝟓%
3-) Uma urna tem 4 bolas vermelhas (V) e 6 brancas (B). Uma bola é extraída, observada sua cor e reposta na urna. O experimento é repetido 5 vezes. Qual a probabilidade de observarmos exatamente 3 vezes bola vermelha?
Definimos: 
X: nº de bolas vermelhas (sucesso) 
𝑝 = 4 10 = 0,4 (probabilidade de sucesso) 
𝑛 = 5 (repetições de Ensaios de Bernoulli) 
Queremos calcular: 
𝑃 (𝑋 = 3) (portanto, 𝑘 = 3)
𝑃 (𝑋 = 3) = (5/3) . 0,4^3 . (1 − 0,4)^ 5−3
𝑃 (𝑋 = 3) = (5/3) . 0,4^3 . 0,6^2
𝑃 (𝑋 = 3) = 10 . 0,4^3 . 0,6^2
𝑃 (𝑋 = 3) = 𝟎, 𝟐𝟑𝟎𝟒 𝐨𝐮 𝟐𝟑, 𝟎𝟒%
4-) Em uma cidade, 10% das pessoas possuem carro de marca A. Se 30 pessoas são selecionadas ao acaso, com reposição, qual a probabilidade de exatamente 5 pessoas possuírem carro de marca A?
Definimos: 
X: nº de carros da marca A (sucesso) 
𝑝 = 0,1 (probabilidade de sucesso) 
𝑛 = 30 (repetições de Ensaios de Bernoulli) 
Queremos calcular: 
𝑃 (𝑋 = 5) (portanto, 𝑘 = 5)
EVENTO COMPLEMENTAR
Sempre que necessário, você pode aplicar uma das fórmulas a seguir (“pode” e não necessariamente “deve”) para simplificar os cálculos:
5-) Admite–se que uma válvula eletrônica, instalada em determinado circuito, tenha probabilidade 0,3 de funcionar mais de 600 horas. Analisando–se 10 válvulas, qual será a probabilidade de que, entre elas, pelo menos 3 continuem funcionando após 600 horas?
Definimos: X: 
nº de válvulas que funcionam mais de 600 horas (sucesso)
𝑝 = 0,3 𝑛 = 10 
Queremos calcular: 
𝑃 (𝑋 ≥ 3)
Portanto, devemos calcular:
6-) Vamos supor o lançamento de uma moeda honesta. Suponhamos que você faça uma aposta com um amigo seu: ganha aquele que obtiver mais caras (no seu caso) ou coroas (no caso dele) em 7 lançamentos. Qual a probabilidade de você ganhar?
Definimos: 
X: nº de caras (sucesso) 
𝑝 = 0,5 𝑛 = 7 
Queremos calcular: 
𝑃 (𝑋 ≥ 4)
VALOR ESPERADO, VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO
Em uma distribuição Binomial de probabilidades: 
A média ou valor esperado ou, ainda, esperança de X é dado por:
A variância de X é dada por:
O desvio padrão de X é dado por:
7-) Overbooking é prática realizada na aviação do mundo todo. Consiste na empresa aérea vender mais bilhetes do que o disponível no voo com base na média de desistência dos voos anteriores. Uma empresa aérea possui um avião com capacidade para 100 lugares. Se para certo voo essa empresa vendeu 103 passagens e, admitindo que a probabilidade de um passageiro não comparecer para embarque é de 1%, qual a probabilidade de algum passageiro nãoconseguir embarcar? Qual a média, variância e desvio padrão?
Definimos: 
X: nº de passageiros que comparecem ao embarque (sucesso) 
𝑝 = 0,99 
𝑛 = 103
8-) Em uma determinada cidade, 56% dos dias de um ano possuem tempo limpo e ensolarado. No mês de abril, quantos dias espera-se que tenham tempo limpo e ensolarado?
Definimos: 
X: nº de dias com tempo limpo e ensolarado (sucesso) 
𝑝 = 0,56 
𝑛 = 30
9-) Em uma pesquisa realizada verificou-se que três a cada oito pessoas tem dificuldades para pegar no sono. Uma amostra aleatória de 25 pessoas é selecionada. Determine a média e o desvio padrão do número de pessoas que possuem dificuldades para pegar no sono dentro dessa amostra.
Definimos: 
X: nº de pessoas que têm dificuldade para pegar no sono (sucesso) 
𝑝 = 3/8 = 0,375 
𝑛 = 25