Integração Aplicada rev006

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CENTROIDE DE UMA CARGA DISTRIBUÍDA APLICADA EM ESTRUTURAS NO ESTADO ELÁSTICO
MICHEL, Daniel1
ROJAS, Fernando Cuenca2
Resumo: O presente artigo tem o objetivo de mostrar uma aplicação do cálculo diferencial e integral na determinação do ponto exato de atuação da força resultante em um carregamento distribuído sobre uma viga no estado elástico. Busca evidenciar de uma maneira didática, que as tabelas de posicionamento do centroide, apresentadas pelos autores, são apenas um produto resultante da aplicação da integral ou antiderivada. O aluno dos primeiros semestres de engenharia terá nesse artigo uma fonte de pesquisa que fará parte de uma base conceitual para alavancar seus passos em análise estrutural. Através da revisão bibliográfica serão abordados alguns conceitos como força, massa, gravidade e peso, relacionando-os com a geometria dos corpos. Uma introdução no cálculo integral nos permitirá analisar os métodos para determinação da área sob uma dada curva de modo que se possa demonstrar o resultado dos trabalhos de Newton e Leibniz que culminaram no conceito de antiderivada. Percebe-se que, sendo conhecida a função ou curva que rege o carregamento sobre uma determinada estrutura, será possível demonstrar que a força total atuante nessa estrutura equivale à área sob a curva. A ideia que se tem ao fim do presente documento é de que o domínio do cálculo superior por parte do profissional não pode ser dissociado da análise estrutural em nenhum momento, e que este domínio é que serve de ferramenta para o engenheiro no momento de conferir a informação contida em catálogos e tabelas.
Abstract: Xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx.
Palavras- Chave: Antiderivada. Carga. Carregamento distribuído. Leibniz. Newton
Keywords: xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx.
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Acadêmico do 6º Semestre do Curso de Engenharia Civil da Universidade de Cruz Alta, UNICRUZ.
E-mail: dmichel.dmichel@gmail.com
xxxx xxxx, do Curso de Engenharia Civil da Universidade de Cruz Alta, UNICRUZ.
E-mail: mfigueiro@unicruz.edu.br
INTRODUÇÃO
Uma grande parcela da literatura disponível voltada à área da análise estrutural, não mostra de onde vem as tabelas que contém o posicionamento do centroide, seja para os elementos de linha ou mesmo para os sólidos homogêneos, tanto menos ainda para elementos cuja superfície é regida por funções desconhecidas. A solução aqui é um tanto simples, e passa pelo entendimento e aplicação do cálculo integral como método para determinar o local de aplicação da força resultante em um carregamento distribuído sobre uma estrutura.
O problema chave reside no fato de que nas disciplinas de Mecânica Geral e Resistência dos Materiais, nem sempre é expressa pelo autor uma relação direta entre o conceito do cálculo superior e sua aplicação com a disciplina, antes, porém, é muito comum nos depararmos com sentenças prontas, mas que trazem consigo uma série de conceitos abstratos e complexos para o aluno iniciante de engenharia.
Mesmo que aluno dos primeiros semestres demonstre ter domínio sobre o cálculo integral, caso não verifique sua aplicação e ligação com a disciplina, poderá vir a indagar-se quanto ao real motivo para tamanho esforço em aprendê-lo, se não há uma razão para seu uso.
Em Mecânica Geral, as forças aplicadas sobre os corpos são geralmente pontuais e tem um local de atuação bem definido e orientado, porém, nas disciplinas que se seguem como em Resistência dos Materiais, Estruturas Isostáticas e Hiperestáticas, as cargas sobre os elementos estruturais geralmente se apresentam de forma distribuída ao longo da estrutura, sendo que a fim de tornar sua análise viável, é necessário transformar essas cargas distribuídas em cargas pontuais, o que somente será possível ao conhecermos a posição do centroide desse tipo de carga distribuída.
Ao analisarmos os esforços aos quais estarão sujeitos os corpos rígidos, nos deparamos com as mais variadas situações, sendo que é responsabilidade do engenheiro saber interpretar esses problemas de modo que possa prever o arranjo necessário para que a estrutura projetada possa suportar todas essas solicitações.
Um corpo pode estar sujeito a carregamentos pontuais, isto é, que atuam em um ponto específico ou a carregamentos distribuídos ao longo de sua superfície. Quando a carga sobre um corpo rígido é pontual, o raciocínio de resolução é bem mais simplório, já quando a carga é distribuída, especialmente de maneira não uniforme, o método irá requerer o uso de ferramentas não muito comuns, mas que se exploradas didaticamente, produzirão resultados surpreendentes.
Se existe um conjunto de forças distribuídas ao longo do eixo de uma viga, por exemplo, e se essa distribuição obedece à uma função conhecida, então é equivalente afirmar que há uma força sendo aplicada a cada unidade de comprimento na viga analisada, e que o somatório dessas forças deve resultar em uma única força resultante.
O vento que sopra sobre a vidraça de um edifício, a pressão que a água exerce sobre o fundo de um reservatório em uma estação de tratamento de efluentes, o peso do concreto derramado sobre a forma de uma laje em construção, uma parede de tijolos ou um muro triangular construído sobre uma viga, entre outros, são exemplos de cargas distribuídas.
Através de uma revisão de literatura no que diz respeito ao conceito do cálculo integral, este trabalho tornará possível verificar que podemos substituir todas essas pequenas forças por uma única força resultante e equivalente, e ainda determinar o local de aplicação dessa força, ou seja, o centro de gravidade ou centroide do corpo, sendo que este é nosso objetivo principal, o qual vai justamente ao encontro dessa afirmação, buscando a comprovação matemática desse raciocínio através da integral ou antiderivada.
REVISÃO DA LITERATURA
A força de atração exercida pela Terra sobre qualquer corpo rígido é uma força externa, e pode ser representada por uma única força P (força peso), dirigida do corpo para o centro da Terra. Essa mesma força é também denominada como força de gravidade, ou peso do corpo, e é causada pelo campo gravitacional da Terra.
De acordo com a Segunda Lei de Newton:
“Força é uma influência externa que provoca a aceleração de um corpo em um referencial linear” (TIPLER, 2000, p. 77).
Se admitirmos que esteja atuando sobre o corpo uma única força externa, a direção dessa força coincide com a direção da aceleração que essa força provoca. O módulo dessa força P é dado pelo produto da massa do corpo pelo módulo da aceleração . (Equação 1).
 (1)
 O vetor (denominado campo gravitacional) independe do corpo, antes, o peso, ou a força peso P que atua sobre este é que é diretamente proporcional à massa do corpo em questão e ao vetor .
De acordo com (TIPLER, 2000, p. 80) o vetor é a força por unidade de massaque a Terra exerce sobre qualquer corpo, e se denomina de campo gravitacional. Pela superfície da Terra esse valor tem ligeira variação em função da altitude e latitude do local em que é considerado, sendo que um valor médio com boa aproximação fornece um módulo de .
“A Terra exerce uma força sobre cada uma das partículas que constituem um corpo. Logo a ação da Terra sobre um corpo rígido deve ser representada por um grande número de pequenas forças distribuídas sobre todo o corpo” (BEER; JOHNSTON; MAZUREK; EISENERG, 2013, p. 222).
Ou ainda, se um dado corpo é composto por uma série infinita de partículas que tenham um tamanho diferenciado, de tal forma que esse corpo esteja imerso em um campo gravitacional de mesma intensidade em qualquer região, então, é possível afirmar que cada uma das partículas terá um peso que será diretamente proporcional à sua massa e ao módulo do vetor , considerando, é claro, sua direção e sentido. Segundo HIBBELER (2011), o peso de cada uma dessas partículas formará um conjunto de forças praticamente paralelas, de modo que haverá uma força resultante de todo esse sistema, a qual representa o peso do corpo. Esse vetor resultante passa por um único ponto que é chamado de centro de gravidade do corpo.
A essa altura, talvez seja redundante tal afirmação, mas estamos considerando que o campo de gravidade mencionado acima seja sempre constante em qualquer região do referido corpo, muito embora, sabemos que o mesmo sofre ligeira variação, porém, com reflexo desprezível em nossa análise, pois as distâncias envolvidas na maior parte das aplicações de engenharia são relativamente pequenas, como por exemplo: o comprimento de uma viga em um edifício.
É possível admitir que existe uma pressão P exercida em cada ponto da superfície, e esta indica a intensidade da carga sobre o corpo rígido, e é medida em Pascal (Pa). É a força F em Newton (N) por unidade de área (m²). (Equação 2).
 (2)
Em relação ao termo “carregamento uniforme”, usado por HIBBELER (2011), podemos ser induzidos a imaginar uma carga distribuída em um arranjo regular ao longo da estrutura, por exemplo, um paralelepípedo (prisma regular) montado sobre a extensão de uma viga.
Ao dividirmos esse paralelepípedo em seções transversais ao longo da viga, percebemos que o centro de cada fração do paralelepípedo estará exercendo sobre a estrutura uma força que obedece à Equação 1. Se continuarmos a divisão do paralelepípedo ainda em várias frações até um limite possível, o centro de cada pequena fração exercerá uma força menor, da mesma forma, sobre a viga.
Como o sólido geométrico é regular e as forças de cada fração são iguais, fica fácil de obter o somatório das forças e substituí-las por uma força equivalente que atua em um único ponto da viga. Bastaria, para tal, conhecer a função de formação da área do plano central que corta longitudinalmente o sólido analisado.
Se conhecermos a função de formação da área do plano de forças, com o uso do cálculo integral, temos como definir a força equivalente e o seu local de atuação. Note, porém, que o paralelepípedo do exemplo acima tem densidade homogênea ao longo de toda sua massa e é um elemento isotrópico.
Fundamentação do cálculo integral
Quando o nosso interesse é encontrar taxas de variação, ou retas tangentes a uma curva, o método matemático que nos serve é o cálculo diferencial. Já quando queremos encontrar a área sob uma dada curva, a parte do cálculo que nos interessa é o cálculo integral. Sendo este último, o objeto de nosso estudo como ferramenta para definir a força equivalente e o seu ponto de aplicação em um carregamento distribuído coplanar.
As fórmulas para as áreas das figuras geométricas básicas, tais como retângulos, polígonos e círculos, datam dos primeiros registros sobre matemática. O primeiro avanço real, além do nível elementar no cálculo de áreas, foi feito pelo matemático grego Arquimedes, que arquitetou uma técnica engenhosa, mas incômoda, para achar as áreas das regiões limitadas por parábolas, por espirais e por várias outras curvas, a qual é chamada de método da exaustão. (ANTON, 2000, p. 378).
O método de Arquimedes, assim como o da maioria dos matemáticos que o sucederam no século XVII, carecia de generalização, pois para cada função formadora da curva, era necessário um planejamento diferente.
Segundo (ANTON, 2000, p. 379), há dois métodos básicos para cálculos de áreas sob uma dada curva, o método dos retângulos e o da antiderivada.
O método dos retângulos
O método dos retângulos consiste em dividir o intervalo [a,b] em n subintervalos iguais e construir um retângulo que se estende desde o eixo X até algum ponto da curva definida pela função dada (Figura 1-a).
Figura 1 - Método dos retângulos
Se n cresce, a área calculada se aproxima da área exata da curva, da mesma forma como um limite. (Figura 1).
Figura 2 - Área sob a curva definida por f(x)
Para melhorar esse raciocínio, vamos analisar a Figura 2. Observe que se dividirmos o intervalo [0,1] em n subintervalos iguais, teremos que cada um desses subintervalos terá um comprimento igual a 1/n. Usando o conceito de Série podemos perceber os extremos desse intervalo [0,1] através da sequência abaixo:
Os extremos direitos de cada subintervalo podem ser descritos pela série abaixo:
Se cada n subintervalo equivale a um retângulo de base n e altura igual ao valor de f(x) = x² em qualquer ponto do intervalo [0,1], então, a área total sob a curva equivale à soma das áreas de cada um desses ínfimos retângulos, conforme a equação 3.
 (3)
Se admitirmos que n = 7, então a área sob a curva será definida pela equação 4.
 (4)
Tabela 1 - Área sob a curva f(x) = x² para "n" intervalos
Com o auxílio do software Excel, a exemplo da equação (4), foram calculadas as áreas An definidas pelas séries dos intervalos: n = 7; n = 10; n = 100; n = 1000; n = 10000 e 
n = 100000. Dessa forma, foi construída a Tabela 1, a qual nos sugere que a área exata do gráfico sob a curva de f(x) = x² no intervalo [0,1] tende a 1/3, o que poderá ser comprovado pelo método da antiderivada que será explorado mais a frente.
O método da antiderivada
Segundo (LARSON; HOSTETLER; EDWARDS, 1998, p. 252), a definição de antiderivada afirma que uma função F é chamada de antiderivada de f se, para todo x no domínio de f, vale a relação da Equação 5:
 (5)
O método da antiderivada foi desenvolvido inicialmente por Newton e Leibniz no século XII (ANTON, 2000). Tal procedimento afirma que a área sob a curva f(x) pode ser definida como A(x) do ponto “a” até um ponto arbitrário “x”, no intervalo [a,b]. Usando o conceito de limite a partir da Equação 5, foi possível encontrar a derivada de A(x), ou seja, a função A’(x). Dessa forma, bastava integrar novamente A’(x) para se obter a área A(x) conforme a Figura 3.
 (6)
Figura 3 – Área sob a curva f(x)
A área A(x) sob a curva f(x) pode ser obtida efetuando a integral definida da função f(x) do ponto “a” até o ponto arbitrário “x” conforme a Equação 7.
 (7)
METODOLOGIA
O intuito de aproximar o cálculo integral do problema das cargas distribuídas, bem como, de fortalecer a fundamentação desses conceitos, buscou produzir o presente trabalho, o tanto quanto possível, dentro de uma abordagem didática com o conceito e a fundamentação mais elementar possível da antiderivada.
A área de abrangência compreende o problema das cargas distribuídas em uma estrutura e o cálculo da área sob uma dada curva.
A fim de que tal objetivo fosse alcançado, foi necessária toda uma elucidação inicial do problema da distribuição de cargas na seção introdutória, sendo que nas seções que se seguiram foram abordados os conceitos fundamentais mais elementares da antiderivada voltados à determinação de áreas, dando ao aluno um enfoque bastante intuitivo.
Na sequência será demonstrada a aplicação desse conceito na determinação do centroide de uma carga distribuída sobre umaviga retilínea.
A distribuição de cargas e a integral definida
A partir da definição sugerida no método da antiderivada, para que possamos encontrar a área sob a curva do gráfico de f(x) = x² expressa na Figura 2, basta procurarmos uma função cuja derivada seja x². Como a integral é do tipo “definida”, o valor da constante “C” será desprezado. Pela regra da integral da potência, temos a Equação 8:
 (8)
A área da região “R” será determinada pela Equação 9:
 (9)
Um modelo de carga distribuída mais comumente encontrado na construção civil é geralmente uniforme ao longo de um eixo ou ao longo de uma superfície. (HIBBELER, 2011). Vamos considerar a viga da Figura 4, a qual possui uma largura “b” e está sendo solicitada por um carregamento que varia apenas ao longo do eixo “x”.
Figura 4 - Carregamento distribuído
Segundo (HIBBELER, 2011, p. 134), esse carregamento pode ser descrito por uma função p = p(x), que é dada em Pascal (N/m²). É a pressão “P” que atua em cada ponto da superfície da viga, conforme descrito pela Equação 2 na seção introdutória do presente documento. É um carregamento distribuído do tipo coplanar, pois se estende apenas ao longo do eixo “x” em uma linha central da viga.
Ao efetuarmos a multiplicação da função de carregamento p = p(x), que é dada em (N/m²), pela largura “b” da viga, que é dada em (m), teremos uma carga “W” ao longo do eixo “x” que será dada em N/m, da seguinte forma:
 (10)
De acordo com (HIBBELER, 2011), o sistema de forças paralelas coplanares obtido pela Equação 10, através da análise da Figura 4, pode ser substituído por uma única força resultante equivalente agindo em uma posição específica da viga, conforme a Figura 5.
Figura 5 - Substituição da carga distribuída por uma única força.
A partir do momento em que admitimos que a intensidade da força resultante equivalha à soma de todas as ínfimas forças que atuam no sistema da viga na Figura 5, precisamos de um método de integração, pois existe um número infinito de forças paralelas dF agindo sobre a viga.
A distribuição de forças paralelas dF está agindo em um elemento do comprimento dx, e W(x) é definida como uma força por unidade de comprimento, então a sentença abaixo é verdadeira:
 (11)
A intensidade de dF tem que ser determinada pela área abaixo da curva de carregamento ao longo do comprimento L. (Figura 5-b).
O ponto exato de aplicação da força resultante 
O sistema de forças analisado na Figura 5 se resume apenas às forças paralelas ao eixo “y”, isto é, perpendiculares à viga horizontal.
Se a soma de todas as forças F produz uma força resultante , e cada força F que atua sobre a viga produz um momento em relação ao eixo “x”, então, as igualdades (12 e 13) propostas abaixo, segundo (HIBBELER, 2011), satisfazem o raciocínio da substituição de todas as forças por uma força resultante e de todos os momentos M por um momento resultante em relação ao ponto “O”.
 (12)
 (13)
A primeira equação estabelece que força resultante do sistema seja equivalente à soma de todas as forças ; e a segunda equação estabelece que o momento de binário resultante do sistema seja equivalente à soma de todos os momentos de binário mais os momentos de todas as forças em relação ao ponto “O”. (HIBBELER, 2011, p. 118).
O sistema de forças analisado na Figura 5 se resume apenas às forças paralelas ao eixo “y”, isto é, perpendiculares à viga horizontal.
Ao ponto exato de aplicação da força no eixo “x” vamos dar o nome de . Esse argumento define a abcissa do plano “(x,y)” onde corta a viga no eixo “x”.
Se igualarmos o momento produzido pela força resultante com o momento produzido pela distribuição das forças paralelas em relação ao ponto “O”, será possível determinar a posição . (HIBBELER, 2011). Observe que na Figura 5 o giro produzido pelos momentos da Equação 13 tem sentido horário, de forma que segundo a convenção adotada neste trabalho, possuem sinal negativo segundo a Equação 14.
 (14)
O lado esquerdo da Equação 14 equivale ao momento produzido pela força . O lado direito admite o mesmo momento, porém com obtenção de a partir da integral da área de distribuição das cargas, segundo a Equação 11.
Isolando de teremos a equação 15, abaixo:
 (15)
Segundo (HIBBELER, 2011) a abcissa localiza o centro geométrico (centroide) da área sob um carregamento distribuído. A força resultante passa sempre pelo centroide conforme a Figura 5-b.
Em algumas situações o diagrama de carregamento proposto pela Figura 5 produz uma figura geométrica plana regular, ou seja, uma superfície plana cuja área pode sempre ser obtida por equações já conhecidas, como trapézios, retângulos, triângulos, círculos, e outros mais. Para esses casos conhecidos, é desnecessária a aplicação da integral de área proposta, bastando para isso, obter os centroides na literatura usual.
Exemplo prático
A Figura 6 é uma representação de carga distribuída sobre uma viga de largura b = 0,30m e comprimento L = 8m. Encontre a abcissa que indica o ponto exato da viga onde uma força resultante está sendo aplicada.
Figura 6 – Exemplo prático
RESOLUÇÃO:
A pressão distribuída sobre essa viga obedece à função:
 (1)
A intensidade do carregamento ao longo da viga obedece à função:
 (2)
No ponto mais alto da curva (quando x = 8m), a intensidade do carregamento é:
 (3)
No último setor com área de (1,0 x 0,3) m, a pressão exercida sobre a estrutura é:
 (4)
A força resultante sobre a viga é:
O ponto de aplicação da força resultante sobre a viga tem a posição:
CONSIDERAÇÕES FINAIS E CONCLUSÃO
O cálculo integral é uma excelente ferramenta para o engenheiro
REFERÊNCIAS
ANTON, Howard. CÁLCULO: UM NOVO HORIZONTE. 6. ed. Porto Alegre: Bookmann, 2000. 670 p. (VOLUME 1). TRADUÇÃO DE CIRO DE CARVALHO PATARRA.
BEER, Ferdinand P. et al. ESTÁTICA: MECÂNICA VETORIAL PARA ENGENHEIROS. 9. ed. Porto Alegre: Mc Graw Hill, 2012. 626 p. TRADUÇÃO DE ANTONIO EUSTÁQUIO DE MELO PERTENCE.
HIBBELER, Russell C.. ESTÁTICA: MECÂNICA PARA ENGENHARIA. 12. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2011. 512 p. Tradução de Daniel Vieira.
LARSON, Roland E.; HOSTETLER, Robert P.; EDWARDS, Bruce H.. CÁLCULO: COM APLICAÇÕES. 4. ed. Rio de Janeiro: Ltc - Livros Técnicos e Científicos, 1998. 711 p. TRADUÇÃO DE ALFREDO ALVES DE FARIAS.
LARSON, Roland E.; HOSTETLER, Robert P.; EDWARDS, Bruce H.. CÁLCULO: COM GEOMETRIA ANALÍTICA. 5. ed. Rio de Janeiro: Ltc - Livros Técnicos e Científicos, 1994. 644 p. (VOLUME 1). TRADUÇÃO DE VALÉRIA DE MAGALHÃES IORIO.
TIPPLER, Paul A.. FÍSICA: PARA CIENTISTAS E ENGENHEIROS. 4. ed. Rio de Janeiro: Ltc - Livros Técnicos e Científicos, 2000. 651 p. TRADUÇÃO DE HORACIO MACEDO.