Boost CCM Completo

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RETIFICADORES 
MONOFÁSICOS COM 
CORREÇÃO ATIVA DO 
FATOR DE POTÊNCIA 
EMPREGANDO O 
 
CONVERSOR BOOST 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Ivo Barbi 
 
Universidade Federal de Santa Catarina – 
UFSC 
Agosto de 2015 
 
 
APRESENTAÇÃO 
 
Este documento reúne material produzido pelos pós-graduandos 
que cursaram a disciplina Retificadores Monofásicos com Fator de 
Potência Unitário, que ministrei no Programa de Pós-Graduação em 
Engenharia Elétrica da UFSC, ao longo de vários anos. 
Os pós-graduandos que contribuíram na redação do documento 
são mencionados na lista apresentada a seguir. 
 
 
Carlos Eduardo Marcussi Gomes 
Hugo Estofanero Larico 
Marcelo Luiz Poleto 
Marcos Aurélio Izumida Martins 
Mário Henrique Pereira Santos 
Marlos Gatti Bottarelli 
Murilo De Pieri Fenili 
Romeu Antunes Friedemann 
Rhafael Moretti 
Thiago Batista Soeiro 
Odiglei Hess Gonçalves 
Romero Leandro Andersen 
Telles Lazzarin Brunelli 
Cristiano Hetzel Crippa 
Diogo Cesar Coelho 
 
Carlos Henrique Illa Font 
Claudinor B. Nascimento 
Eduardo Inácio Pereira 
Flábio A. Bardemaker Batista 
João Américo Vilela Junior 
José A. da Matta Guedes 
Mauro Tavares Peraça 
Ricardo Luiz Alves 
André Luiz Fuerback 
Cícero Postiglione 
Eloi Agostini Junior 
Gabriel Tibola 
Gleyson Luiz Piazza 
Juliano Bedin 
Márcio Silveira Ortmann 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
1. Introdução ....................................................................................................................... 3 
2. Retificador Boost de Onda Completa com Alto Fator de Potência ................................ 4 
2.1. Etapas de Operação ................................................................................................ 4 
2.2. Característica Estática ............................................................................................ 6 
2.3. Indutor Boost .......................................................................................................... 7 
2.4. Capacitor de Saída do Conversor Boost ................................................................. 9 
3. Estratégia de controle ................................................................................................... 13 
4. Controle de Corrente .................................................................................................... 14 
4.1. Malha de Controle de Corrente ............................................................................ 14 
4.2. Modelo por Valores Médios Instantâneos ............................................................ 15 
4.3. Compensador de Corrente .................................................................................... 17 
4.4. Ganho do Modulador PWM ................................................................................. 21 
4.5. Sensor de Corrente ............................................................................................... 24 
4.6. Ajuste dos parâmetros de CI(s) ............................................................................. 24 
5. Controle de Tensão ....................................................................................................... 27 
5.1. Malha de Controle da Tensão Média de Saída (VO) ............................................ 27 
5.2. Modelo por Valores Médios ................................................................................. 29 
5.3. Compensador de Tensão ....................................................................................... 31 
5.4. Ganhos Associados à Malha de Tensão ............................................................... 33 
5.5. Sensor de Tensão .................................................................................................. 34 
5.6. Ajuste dos Parâmetros de CV(s) ............................................................................ 35 
6. Exemplo de Cálculo ..................................................................................................... 38 
7. Resultados de Simulação .............................................................................................. 53 
7.1. Sistema sem a Malha de Tensão ........................................................................... 53 
7.2. Sistema Completo ................................................................................................. 56 
8. Conclusão ..................................................................................................................... 66 
9. Referências Bibliográficas ............................................................................................ 67 
ÍNDICE DE SÍMBOLOS 
 
Ci(s):Função de transferência do controlador da malha de corrente; 
Csi(s):Função de transferência do controlador simétrico da malha de corrente; 
Co: Capacitor de saída do conversor boost; 
Cv(s):Função de transferência do controlador da malha de tensão; 
Csv(s):Função de transferência do controlador simétrico da malha de tensão; 
D: Razão cíclica; 
fpv: Freqüência do pólo do compensador de tensão; 
frede: Freqüência da rede; 
fs: Freqüência de comutação; 
FTMAi: FTMA da malha de corrente; 
FTMAv: FTMA da malha de tensão; 
GCI: Controlador de corrente visto pela malha de tensão; 
GFP: Ganho da faixa plana; 
GIref: Ganho do modelo linearizado do multiplicador; 
GMv: Ganho do medidor de tensão; 
Gpwm: Ganho PWM; 
Hi(s):Função de transferência da planta para a malha de corrente; 
Hv(s):Função de transferência da planta para a malha de tensão; 
ID: Corrente do diodo; 
iinp: Corrente de pico na fonte de alimentação; 
iLb: Corrente do indutor boost; 
 iLb: Variação de corrente do indutor boost; 
LbI : Variação de corrente do indutor boost normalizado; 
Iref: Corrente de referência; 
Lboost: Indutor de entrada do conversor boost; 
Pin: Potência de entrada; 
Po: Potência de saída do conversor boost; 
Ts:Período de comutação; 
VC:Tensão de controle da malha de corrente; 
Vi: Tensão média de alimentação do conversor boost; 
Vin:Tensão de saída do retificador; 
Vinp:Tensão de saída de pico do retificador; 
Vo: Tensão de saída do conversor boost; 
Vomed: Tensão de saída medida do conversor boost; 
Vor: Variação na tensão do capacitor de saída do conversor boost; 
Voref: Tensão de saída de referência do conversor boost; 
Vs:Tensão de pico da onda dente de serra; 
Vsr:Tensão da onda dente de serra; 
Vsw:Tensão no interruptorS; 
o:Sinal de controle da malha de tensão; 
 
 
 
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Introdução 
3
1. INTRODUÇÃO 
 
 A escalada tecnológica ocorrida nos últimos anos tem propiciado a utilização cada 
vez mais corriqueira de equipamentos eletrônicos que possuem em sua entrada fontes de 
alimentação do tipo chaveada. É comum, neste tipo de aplicação que o primeiro estágio de 
processamento de potência corresponda a uma estrutura retificadora associada a um filtro 
capacitivo. Esta estrutura possui dois pontos fortes: robustez e simplicidade. Porém, 
demanda da rede de alimentação corrente com elevado conteúdo harmônico. 
 Como atualmente as concessionárias vêm, através de normatização, requisitando 
que os consumidores de energia elétrica possuam um elevado fator de potência, o que 
implica não só na correção do fator de deslocamento da corrente, mas também, de sua taxa 
de distorção harmônica (TDH), surge a necessidade de acoplar-se um estágio de pré-
processamento de energia, capaz de corrigir estas distorções na corrente de entrada. 
 Uma alternativa para o estágio de correção do fator de potência (PFC – do inglês 
Power FactorCorrection), é a utilização de um conversor do tipo boost em cascata com a 
estrutura de retificação, conhecido na literatura como retificador boost. Através de técnicas 
de controle adequadas ele é capaz de emular uma carga com características resistivas, 
propiciando assim um fator de potência próximo à unidade. Dentre os possíveis modos de 
operação do estágio boost, pode-se destacar o modo de condução contínua (MCC), com 
controle de corrente por valores médios instantâneos, associado à modulação por largura de 
pulso (PWM), que é amplamente utilizada na indústria. Além disso, introduz baixa 
interferência eletromagnética na rede elétrica, não necessita filtros de entrada e o valor da 
corrente de pico nos componentes é menor do que quando opera no modo de condução 
crítica ou descontínua da corrente de entrada. Outra vantagem desta estrutura é o fato de 
possuir um circuito dedicado para o comando, controle e modulação PWM, tal como o 
UC3854. 
 O objetivo deste trabalho é apresentar as etapas de projeto do retificador boost com 
alto fator de potência. Inicialmente será abordado o equacionamento dos componentes que 
constituem sua estrutura de potência, em seguida será apresentada uma técnica de controle 
do conversor por corrente média e sua modelagem, e para finalizar, um exemplo de projeto, 
apresentando sua planilha de cálculos e resultados de simulações. 
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Retificador Boost de Onda Completa com Alto Fator de Potência 
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2. RETIFICADOR BOOST DE ONDA COMPLETA COM ALTO 
FATOR DE POTÊNCIA 
 
 Os retificadores boost de onda completa caracterizam-se por apresentar um 
conversor boost conectado entre o retificador de onda completa e o capacitor de 
armazenamento de saída. Sua topologia está apresentada na Figura 1. 
S
+
-
Vo
Vin
D 1 D 2
D 3 D 4
+ -
LBoost DBoost
Co Ro
 
Figura 1 – Topologia do retificador boost. 
 
 Como o objetivo é obter elevado fator de potência na entrada do sistema, a corrente 
no indutor L deve apresentar o formato de uma sinusóide retificada e estar em fase com a 
tensão de alimentação. 
 
2.1. ETAPAS DE OPERAÇÃO 
 
 As etapas de operação do retificador boost são as mesmas do conversor boost 
convencional, porém, neste caso a tensão de entrada possui o formato de uma sinusóide 
retificada. 
 Para descrever suas etapas de operação será considerando apenas o semiciclo 
positivo da rede, já que no outro semiciclo a corrente da fonte passa a circular pelos diodos 
D2 e D3 ao invés dos diodos D1 e D4, sendo que os componentes do conversor boost não 
alteram os seus estados de condução e bloqueio. 
Durante um período de comutação do conversor existem duas etapas de operação 
possíveis, descritos a seguir: 
 
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1a Etapa (to, tc) – Etapa de magnetização: durante esta etapa de operação, o interruptor S 
encontra-se conduzindo e o diodo DBosst bloqueado. As principais características desta etapa 
são: 
 O indutor LBoost está armazenando energia, proveniente de Vin(t); 
 A corrente no indutor cresce com uma taxa de variação igual à in
Boost
V (t)
L
; 
 A corrente no interruptor S é igual à corrente no indutor LBoost; 
 O diodo DBoost encontra-se bloqueado, pois está reversamente polarizado com a 
tensão oV ; 
 O capacitor Co está fornecendo energia para a carga Ro; 
 Esta etapa se encerra quando o interruptor S é comandado a bloquear. 
 
2a Etapa (tc, ta) – Etapa de desmagnetização: nesta etapa de operação tem-se o diodo 
conduzindo e o interruptor S bloqueado. As principais características desta etapa são: 
 A energia armazenada no indutor LBoost, durante a primeira etapa de funcionamento, 
está sendo entregue ao capacitor Co e à carga Ro; 
 A tensão sobre o interruptor S é igual à Vo; 
 A corrente do indutor LBoost decresce com uma taxa de variação igual à o in
Boost
( )V V t
L
 ; 
 A corrente sobre o diodo DBoost é igual à corrente do indutor LBoost; 
 Esta etapa termina quando o interruptor S é comandado novamente a conduzir. 
 
 Os dois estados topológicos referentes às etapas de operação podem ser visualizados 
na Figura 2. 
Vin
D 1 D 2
D 3 D 4
LBoost DBoost
Co RoS S
D 1 D 2
D 3 D 4
Vin
Primeira Etapa Segunda Etapa LBoost DBoost
Co Ro
+ - + -
 
Figura 2 – Etapas de operação para o retificador boost. 
 
 As principais formas de onda para um período de comutação estão apresentadas na 
Figura 3. 
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6
IM
mI
IM
mI
IM
mI
V -o
iLb(t)
iT (t)
(t)v
Lb
t
i (t)D
t
t
t
to tc ta
T s
Vi
Vi
 
Figura 3 – Principais formas de onda para um período de comutação. 
 
2.2. CARACTERÍSTICA ESTÁTICA 
 
 Para um conversor boost operando em MCC o ganho estático é dado por: 
1
1
o
i
V
V D
  (2.1) 
Neste caso a tensão de entrada do conversor varia conforme uma tensão retificada de 
120Hz, cujo valor mínimo é zero e o valor máximo é o da tensão de pico da rede. Para que 
Vo seja constante, existe um valor de D diferente em cada instante, dado por: 
1 pin
o
V .sen(θ)
D(θ)= -
V para 0º < θ < 180º (2.2) 
 A equação (2.2) pode ser reescrita como: 
1D(θ)= -A.sen(θ) (2.3) 
Sendo: 
pin
o
V
A=
V
 (2.4) 
 Onde: 
 Vi: Tensão média de alimentação do conversor boost; 
 Vo: Tensão de saída do conversor boost; 
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 Vinp: tensão de pico da saída do retificador; 
 D: razão cíclica. 
 
 As curvas traçadas na Figura 4, representam a variação da razão cíclica D(θ) em um 
período, para diversas relações entre a tensão de pico de entrada e a tensão de saída Vo. É 
importante lembrar que um período da tensão de entrada do conversor boost é a metade do 
período da tensão da rede. 
0 30 60 90 120 150 180
0.2
0.4
0.6
0.8
D A( )
A=0.5
A=0.6
A=0.7
A=0.8
 
Figura 4– Variação da razão cíclica em função de θ para um período da tensão retificada, tomando A 
como parâmetro. 
 
2.3. INDUTOR BOOST 
 
 Para que se tenha fator de potência elevado na entrada do sistema, a corrente que 
flui pelo indutor deve acompanhar a tensão de saída do retificador, ou de entrada do 
conversor boost, e, portanto, será composta por uma componente de baixa freqüência 
(120Hz) sobreposta por uma pequena componente de alta freqüência (freqüência de 
comutação). 
O valor da indutância deve ser calculado considerando-se a máxima variação que 
será permitida para a componente de alta freqüência da corrente. A tensão da rede evolui de 
forma sinusoidal segundo a expressão (2.5). 
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Pin in
V (t)=V .sen(θ) Para 0º < θ < 180º (2.5) 
 Quando o interruptor está conduzindo, pode-se escrever a seguinte relação para o 
indutor: 
Lb Lb
in Boost Boost
di (t) ΔI
V (t)=L . =L .
dt Δt (2.6) 
 Em um período de chaveamento, o tempo de condução do interruptor é o próprio 
valor da razão cíclica multiplicado pelo período: 
st D( ).T   (2.7) 
 Substituindo-se (2.5) e (2.7) em (2.6) obtém-se a expressão(2.8): 
p
Boost Lb
in s
L .ΔI
=sen(θ).D(θ)
V .T
 (2.8) 
 A razão cíclica pode ser escrita através da característica estática do retificador boost: 
1 pin
o
V .sen(θ)
D(θ)= -
V (2.9) 
 Substituindo-se (2.9) em (2.8) tem-se: 
inp
p
2Boost Lb
in s o
VL .ΔI =sen(θ)- .sen (θ)
V .T V (2.10) 
 O termo a esquerda da equação (2.10) pode ser definido como uma ondulação de 
corrente normalizada, denominada LbI . Assim tem-se a seguinte equação: 
pin 2
Lb
o
VΔI =sen(θ)- .sen (θ)
V (2.11) 
Ou 
2
LbΔI =sen(θ)-A.sen (θ) (2.12) 
 
 A Figura 5 a seguir representa a dependência da ondulação de corrente normalizada 
frente à variação do parâmetro A. 
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Figura 5– Ondulação (valor pico a pico) da componente de alta freqüência da corrente no indutor boost 
para um semi-ciclo da rede parametrizada. 
 
 Assim, para determinar a indutância do boost, basta substituir o valor da variação 
máxima da corrente parametrizada para o parâmetro A desejado. 
p
Max
Lb in
Boost
Lb s
ΔI .V
L = ΔI .f (2.13) 
 ILb representa a ondulação na corrente do indutor, geralmente 10% do valor eficaz 
da corrente de entrada . 
 
2.4. CAPACITOR DE SAÍDA DO CONVERSOR BOOST 
 
 O circuito presente na Figura 6 mostra as variáveis envolvidas na dedução da 
expressão do capacitor de saída. Com a simplificação apresentada na Figura 7, pode-se 
obter a expressão que relaciona a variação da tensão ΔVcp (valor de pico) com corrente de 
pico no capacitor Icp. 
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L Boost
D Boost
Co RoS
Ix
IC Io
Vin
-
Iin
-
V 0
+
-
 
Figura 6 - Circuito do Conversor Boost Bidirecional. 
 
-
Vc
+
C0
IC
 
Figura 7 - Circuito simplificado para obtenção do Capacitor de saída. 
 
c c c cp c cpV X I V X I      (2.14) 
Onde: 
1
2c o
X
f C    (2.15) 
Sabendo que a freqüência f é o dobro da freqüência de entrada fin, substituindo 
(2.15) em (2.14) e isolando Co, obtém-se (2.16): 
4
cp
o
in cp
I
C
f V    (2.16) 
Para obter a expressão final para o cálculo de Co, é necessário obter o valor de pico 
da corrente que circula pelo capacitor. Para isso, é necessário fazer algumas considerações: 
( )in pV V sen   (2.17) 
( )in pI I sen   (2.18) 
( ) ( ) ( )in in inP V I    (2.19) 
 
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Substituindo (2.17) e (2.18) em (2.19) obtém-se a expressão para potência 
instantânea de entrada: 
2
in p pP (θ)=V .I .sen θ (2.20) 
A expressão para a potência instantânea de saída está presente na equação (2.21): 
o o xP (θ)=V .I (θ) (2.21) 
Supondo que as perdas são nulas no conversor, pode-se igualar a expressão (2.20) 
a (2.21). Com isso se obtém Ix(θ): 
p 2
x p
o
V
I (θ)= .I .sen θ
V
 (2.22) 
A potência média na saída, desprezando-se as perdas, pode ser obtida através da 
expressão (2.23): 
2
p p
o
V I
P
 (2.23) 
Sabe-se que: 
1 1-
2 2
2sen θ= .cos2θ (2.24) 
Substituindo (2.23) e (2.24) em (2.22) obtém-se (2.25): 
o o
x
o o
P PI (θ) cos2θ
V V
   (2.25) 
A componente contínua da corrente Ix(θ) não passa pelo capacitor de saída, obtém-
se a expressão da corrente Ic: 
o
c
o
PI (θ)= .cos2θ
V
 (2.26) 
Onde: 
o
cp
o
PI
V
 (2.27) 
Portanto, substituindo (2.27) em (2.16) e sabendo que ΔVcp é igual a ΔVcpp/2, 
obtém-se a expressão para o cálculo do capacitor de saída: 
2
o
o
in o cpp
PC
f V V     (2.28) 
 
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 Onde: 
 ΔVcpp: Ondulação da tensão de saída do conversor boost em Volts; 
 Po: Potência de saída do conversor. 
 
Geralmente utiliza-se ΔVcpp inferior a 5% da tensão de saída a fim de evitar 
problemas de controle. Isto porque a planta vista pela malha de corrente depende da tensão 
de saída, como será visto mais à frente. Portanto, variações muito grandes na tensão de 
saída provocarão distorções na corrente de entrada do retificador. 
 
 
 
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_________________________________________________________________________ 
1. ESTRATÉGIA DE CONTROLE 
 
13
3. ESTRATÉGIA DE CONTROLE 
 
Para que o conversor boost opere como filtro ativo e mantenha a tensão de saída 
constante são necessárias duas malhas de controle, uma de corrente e outra de tensão. A 
malha de corrente tem a função de reproduzir no indutor uma corrente retificada de 120Hz 
sincronizada com a tensão de entrada, a fim de se obter fator de potência elevado na entrada 
do sistema. Para tal, é necessário que a malha de corrente seja rápida o suficiente para 
reproduzir a corrente sem grandes distorções. Já a malha de tensão tem o objetivo de 
manter a tensão de saída do conversor constante, ajustando-a quando ocorrerem variações 
de carga. Portanto, a malha de tensão deve ser suficientemente lenta para que exista um 
desacoplamento dinâmico em relação à malha de controle da corrente. 
A Figura 8 apresenta o esquema de controle do retificador boost. 
 
S
 Sistema de
Controle
+
-
Vo
ILb
IRef
D
Vin
D 1 D 2
D 3 D 4
+ -
LBoost DBoost
Co Ro
 
Figura 8– Esquema de controle do Retificador boost. 
 
 
 
 
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2. CONTROLE DE CORRENTE 
 
14
4. CONTROLE DE CORRENTE 
 
 Nesta seção serão tratados à modelagem e controle da malha de corrente. 
4.1. MALHA DE CONTROLE DE CORRENTE 
 De posse dos parâmetros do conversor, pode-se agora projetar a estrutura de 
controle para a produção de uma corrente de entrada sinusoidal (de baixo conteúdo 
harmônico) e em fase com a tensão de alimentação. 
 A estrutura de controle utilizada será do tipo realimentada, onde o sinal de corrente 
do indutor é subtraído de uma corrente de referência, com formato e amplitude adequados.O sinal de erro resultante é aplicado no compensador de corrente para a produção da tensão 
de controle Vc, sendo este último comparado em seguida com uma onda dente de serra, de 
freqüência fS e amplitude VSrr, para produção dos pulsos PWM de acionamento do 
interruptor. O diagrama básico da estrutura de controle é apresentado na Figura 9. 
 
LBoost
CO
DBoost
S RO
VO
+
_
+
-
Compensador
de
Corrente
iLb
IRef
VSrr
PWM
D1 D2
D3 D4
Vin
 
Figura 9 – Estrutura básica do controle de corrente. 
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2. CONTROLE DE CORRENTE 
 
15
 
 Identificando cada um dos blocos da estrutura de controle de corrente, pode-se 
representá-los funcionalmente como o ilustrado na Figura 10, onde: 
 
 HI(s)  Modelo por valores médios instantâneos da planta; 
 CI(s)  Compensador de corrente; 
 GPWM  Ganho do modulador PWM; 
 GMI  Ganho do medidor de corrente. 
 
CI(s) HI(s)
GMI
GPWM
+
_
Iref  VC D ILb
ILb*
 
Figura 10 — Diagrama de blocos da malha de controle. 
Uma vez definido o diagrama de blocos da malha de controle, é necessário obter um 
modelo do conversor que relacione a corrente no indutor com a razão cíclica D. Para tal 
será obtido o modelo da planta para valores médios instantâneos. 
 
4.2. MODELO POR VALORES MÉDIOS INSTANTÂNEOS 
 
 Para a obtenção deste modelo, serão considerados os valores médios das grandezas 
de interesse dentro do período de comutação. Assim, considera-se que a tensão de 
alimentação do conversor boost permanece constante durante um intervalo de comutação, 
como definido em (4.1). 
i iV (ωt) = V (4.1) 
 
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2. CONTROLE DE CORRENTE 
 
16
VO
t
VS(t)
DTS (1-D)TS
TS
(1-D)VO
 
Figura 11 — Tensão sobre o interruptor S. 
 
 Considerando as tensões instantâneas de barramento e de saída constantes, dentro 
do intervalo de comutação, pode-se obter através do valor médio da tensão sobre o 
interruptor S (Figura 11), um modelo elétrico equivalente para o conversor em função da 
variável de controle D. A Figura 12, apresenta este modelo. 
L Boost
V I (1 - D)V O
ILb
 
Figura 12 — Circuito elétrico equivalente. 
 Do circuito elétrico equivalente obtém-se (4.2). 
 
 1 1Lb i O
Boost
di (t) V -D(t) V
dt L
      (4.2) 
 
Aplicando uma pequena perturbação no sistema pode-se escrever novamente a 
equação (4.2) como: 
 
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_______________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________ 
2. CONTROLE DE CORRENTE 
 
17
    1 1Lb Lb i O
Boost
d i (t)+Δi (t) V D(t)+ΔD(t) V
dt L
       (4.3) 
 Substituindo-se (4.2) em (4.3) tem-se: 
Lb O
Boost
dΔi (t) V= .ΔD(t)
dt L
 (4.4) 
 Aplicando a transformada de Laplace em (4.4) chega-se ao modelo incremental por 
valores médios instantâneos: 
Lb O
i
Boost
ΔI VH (s) = =ΔD s.L (4.5) 
De posse do modelo da planta do boost, o próximo passo é analisar o compensador 
adequado. 
 
4.3. COMPENSADOR DE CORRENTE 
 O compensador da malha de corrente clássico proposto pela literatura é apresentado 
na Figura 13. Ele apresenta dois pólos e um zero conferindo um grau maior de liberdade no 
ajuste da resposta do sistema, quando comparado ao controlador PI. 
 
C2
R3
R2
+
-
VC
RShunt
C1
ILb
Iref
R1
 
Figura 13 — Compensador de corrente CI(s). 
 
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2. CONTROLE DE CORRENTE 
 
18
 Observando a estrutura utilizada para CI(s), que esta se constitui de um amplificador 
na configuração “somador não-inversor”. É fato conhecido que a função de transferência 
deste tipo de configuração é dada por (4.6). 
1O R
f
V Z
V Z
     
 (4.6) 
ZR e Zf são, respectivamente, as impedâncias do ramo de realimentação e da entrada 
inversora. Assim, as representações equivalentes para ZR e Zf, referentes ao circuito 
apresentado na Figura 13, resultam em: 
 
 
3 1
3 1 2
1 2
1 2
1
1
R
R C sZ
R C Cs C C s
C C
              
 (4.7) 
 
2fZ R (4.8) 
 Substituindo-se (4.7) e (4.8) em (4.6), obtém-se a expressão (4.9). 
 
 
3 1
3 1 2
2 1 2
1 2
1 1
1
O
I
+
V R C sC (s)= (s)
V R C Cs R C C s
C C
               
 (4.9) 
 
 É possível garantir através da escolha adequada dos parâmetros de (4.9), que sua 
parcela dependente da freqüência seja muito maior do que a unidade dentro da banda 
passante do sistema compensado, com isto é possível aproximar-se (4.9) por (4.10). 
 
 
3 1
3 1 2
2 1 2
1 2
1
1
I
R C sC (s)
R C Cs R C C s
C C
               
 (4.10) 
 
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2. CONTROLE DE CORRENTE 
 
19
 A restrição de projeto efetuada para a obtenção de (4.10) pode, em alguns casos, 
tornar-se inadequada, podendo apresentar resultados indesejados para situações 
particulares. Para contornar tal situação, este trabalho propõe uma alteração na topologia da 
Figura 13, e com isso garantir que o controle estará atuando da maneira correta sem 
restrições. 
Fazendo uma nova análise do circuito da Figura 13 pode-se identificar os elementos 
responsáveis pela produção do sinal de entrada do compensador de corrente (Figura 14). 
Isto é necessário para que se possa justificar a alteração que será sugerida para a eliminação 
da restrição de projeto mencionada. 
 
iL RSh
RX
iRef VX
+
_
 
Figura 14 – Sensor de corrente (RSh) e sinal de controle (VX). 
 
 A partir do modelo equivalente de Thévenin do circuito apresentado na Figura 14, 
chega-se à representação ilustrada na Figura 15. 
 
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2. CONTROLE DE CORRENTE 
 
20
Zth
Vth V+
+
_
 
Figura 15 – Circuito equivalente de Thevenin. 
 Onde: 
th X ShZ R R  (4.11) 
 
th XV V (4.12) 
 
 Ao conectar-se uma impedância, denominada ZX, entre o terminal não inversor do 
amplificador e a referência, como o mostrado na Figura 16, e utilizando as relações (4.11) e 
(4.12) obtidas para o modelo equivalente de Thevenin, chega-se a expressão (4.13). 
X
th
X th
ZV V
Z Z
   (4.13) 
C2
R3
R2
+
-
VC
RShunt
C1
ILb
Iref
RX
ZX
 
Figura 16 – Compensador de corrente simétrico CSI(s). 
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2. CONTROLE DE CORRENTE 
 
21
 Substituindo (4.13)e (4.12) em (4.6), obtém-se a expressão (4.14). 
 
R fO X
X f X th
Z ZV Z
V Z Z Z
           
 (4.14) 
 
 Fazendo agora com que: 
 
X RZ Z e X f ShR Z R ? (4.15) 
 
Obtém-se (4.16). 
 
 
3 1
3 1 2
2 1 2
1 2
1
1
O
SI
X
V R C sC (s)
V R C Cs R C C s
C C
                
 (4.16) 
 
 Assim, chega-se à conclusão que a alteração topológica apresentada em CSI(s) 
permite que o sistema de controle comporte-se ao longo de toda a sua faixa de operação de 
acordo com o proposto em (4.10). 
 O compensador possui o zero situado em fz, dado por 
 
3 1
1
2z
f
R C   (4.17) 
e, os pólos fp1 e fp2 situados em: 
 
1 2
1 2
3 1 2
0
2p p
C Cf e f
R C C
     (4.18) 
 
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2. CONTROLE DE CORRENTE 
 
22
4.4. GANHO DO MODULADOR PWM 
 
 Como pode ser observado na Figura 9, na saída do compensador de corrente tem-se 
o sinal de controle VC. No entanto, este precisa ser “transformado” na variável de controle 
‘D’, que é refletida pelo modulador na forma de pulsos para o acionamento do interruptor 
S. Para a efetuar a produção destes pulsos, utilizou-se à técnica denominada PWM (Pulse 
Width Modulation). A Figura 17 ilustra o princípio de produção dos pulsos. 
 
VS
VC
D.TS
TS
t
t
 
Figura 17 — Produção dos pulsos PWM. 
 A utilização desta técnica de modulação insere na malha de controle (Figura 10) o 
ganho GPWM, sendo este dependente das características do sinal modulador. 
 Por exemplo, ao utilizar-se um sinal do tipo dente de serra, como o ilustrado na 
Figura 17, durante um período de comutação obtém-se: 
S
Srr
S
VV (t) t
T
  (4.19) 
Quando VSrr(t) = VC , em t = D.TS , tem-se: 
S
Srr C S
S
VV (t) V D T
T
    
então: 
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2. CONTROLE DE CORRENTE 
 
23
 C
S
VD
V
 (4.20) 
Assim, 
1
PWM
S
G
V
 (4.21) 
 
 Dado que a ondulação em alta freqüência contida em iLB(t), causada pelo 
chaveamento, pode estar presente no sinal de controle VC(t), múltiplos cruzamentos de 
VC(t) por VSrr(t) podem ocorrer. Uma prática recomendável, para a redução deste 
fenômeno, é a escolha do valor de pico de VSrr(t) em função da máxima derivada da 
corrente do indutor LBoost. Como esta por hipótese ocorre no pico da tensão de entrada tem-
se nesse instante que: 
pinLb
Boost
Vdi
dt L
 (4.22) 
S CdV (t) dV
dt dt
 
S S
S
dV (t) V
dt T
 
 
 
 
 Ganho na faixa plana: 
3
2
FP
RG
R
 
Sabe-se também que: 
C
FP
dV dVG
dt dt

  
 
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2. CONTROLE DE CORRENTE 
 
24
Na 2ª etapa: LBoost inP o
Boost
di (t) (V .sen(ωt)-V )=
dt L
 
Para o pior caso, em que 0t  LBoost o
Boost
di (t) V
dt L
   
Como + ref 1 LBoost shV =I (t)×R -i (t)×R e em um período de chaveamento refI (t) é 
constante: 
1
ref LBoost o
sh sh
Boost
dI (t) di (t) VdV dVR R R
dt dt dt dt L
 
       
Assim, 
C o
FP sh
Boost
dV VG R
dt L
   
Logo: 
3
2
S o
sh
S Boost
V R V R
T R L
   
 
O que garante que a inclinação da dente de serra seja maior que a inclinação do sinal 
de controle. 
 Já que a inclinação da rampa de VSrr(t) é dada pelo coeficiente S
S
V
T , demonstrado 
em (4.19), o que se sugere é: 
PinS
S Boost
VV
T L
 (4.23) 
 
4.5. SENSOR DE CORRENTE 
 
 O sensoriamento de corrente na estrutura de controle proposta dá-se através de um 
resistor inserido no caminho de iLb(t), denominado RShunt ou RSh. 
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2. CONTROLE DE CORRENTE 
 
25
 Analisando-se a configuração do compensador de corrente (Figura 13), pode-se 
obter, ao se supor o amplificador operacional ideal, a seguinte relação entre a correntes 
iLb(t) e iRef(t). 
 
1Ref Lb ShV i (t) R i (t) R     (4.24) 
 
 O que se deseja em regime permanente é o seguimento de iRef(t) por iLb(t), ou seja, 
que V+ = 0. Isto faz com que, 
1Ref Lb Shi R i R   (4.25) 
 
 A equação (4.25), permite que para um dado RSh calcule-se o valor de pico da 
corrente de referência, ou caso contrário, dado o valor de pico de iRef(t) pode-se obter o 
valor adequado deste resistor. 
 
4.6. AJUSTE DOS PARÂMETROS DE CI(S) 
 
 Na seção seguinte serão abordados assuntos pertinentes à estrutura de controle da 
tensão média de saída do conversor. Para que algumas das considerações sejam válidas é 
necessário que o ajuste dos parâmetros de CI(s) proporcione o desacoplamento dinâmico 
entre as estruturas de controle de corrente e tensão. 
 Através da utilização de uma banda passante “larga” o suficiente, para função de 
transferência de malha aberta do laço de controle de corrente – FTMAI(s), pode-se garantir 
o desacoplamento necessário, no entanto, deve-se assegurar também que a freqüência de 
cruzamento situe-se no mínimo uma década abaixo da de comutação. 
 Assim, o projeto deste compensador pode ser realizado utilizando os seguintes 
critérios: 
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2. CONTROLE DE CORRENTE 
 
26
 A freqüência do zero ‘fz’ deve ser alocada a alguns quilohertz, sendo o suficiente 
para permitir a boa reprodução a corrente de referência, que tem o formado de uma 
sinusóide retificada; 
 O segundo pólo do compensador deve ser posicionado, de forma que a freqüência 
de cruzamento (fc) esteja contida na faixa plana de CI(s), onde ganho de faixa plana 
GFP é dado por: 
3
2
20FP
RG log
R
     
 (4.26) 
 
 Respeitadas estas recomendações, pode-se obter de forma simples o valor de GFP 
através do critério de estabilidade 1
c
I s jFTMA (s)   , dado que o compensador no entorno 
de fc pode ser representado por esta constante, o que resulta em: 
 
1
c
I PWM I Sh s j
C (s) G H (s) R     (4.27) 
 
Substituindo-se (4.5), (4.21) e CI(jc) por (4.26) em (4.27), chega-se á 
 
1 1OFP Sh
S Boost c
VG R
V L     (4.28) 
assim, 
2Boost c S
FP
O Sh
L f VG
V R
    (4.29) 
 
 Especificando-se, por exemplo R2, de posse do valor de GFP e utilizando-se (4.26) 
calcula-se R3. Além disto, devido ao tipo de estrutura escolhida para o compensador de 
corrente tem-se que, 
 1 2R R (4.30) 
 
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2. CONTROLE DE CORRENTE 
 
27
dado que fz e fp2 são arbitrados, logo, conhecidos, com o emprego das equações (4.17) e 
(4.18)determinam-se os valores dos capacitores C1 e C2. Com isto, todos os elementos da 
estrutura de controle ficam determinados. Pode-se então esboçar o diagrama de Bode 
assintótico de CI(s), apresentado na Figura 18. 
20dB/dec
0 dB/dec
20 dB/dec
Gfp
fz fp2
|CI(f)|
f 
Figura 18 — Diagrama assintótico de CI(f). 
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Controle de Tensão 
28
5. CONTROLE DE TENSÃO 
 
 Do ajuste da malha de corrente é possível que o conversor opere em um ponto fixo 
onde tensões e correntes apresentem os valores adequados, para transferir a potência nos 
níveis de tensão de saída desejados. No entanto, variações de carga, por exemplo, deslocam 
a estrutura de seu ponto de operação, pois, devido à estratégia de controle de corrente, seu 
formato e amplitude são impostos e independentes do valor médio da tensão de saída. 
 Para que se possa solucionar esta situação, é inserida no sistema mais uma malha de 
controle. Esta é responsável pelo controle do valor médio da tensão de saída. 
 
5.1. MALHA DE CONTROLE DA TENSÃO MÉDIA DE SAÍDA (VO) 
 
 A estrutura proposta para realizar o controle de VO, está apresentada na Figura 19. A 
estratégia consiste basicamente na alteração da amplitude da corrente de referência IRef , 
isto é feito mediante o multiplicador, que multiplica o sinal portador de referência “IRef*” 
com o sinal de erro compensado (Vcv) produzido pelo controlador de tensão CV(s), sendo o 
resultado da comparação do valor médio da tensão de saída (VO) com uma tensão de 
referência (VORef).Com isto, variações de carga não provocam mais variações significativas 
em VO. 
 
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Controle de Tensão 
29
S
+
_
V
O
+
_
+
+
-
Vc
D
Vsrr
PWM
+ +
-
X CVV
Compensador
de
Tensão
Compensador
de
Corrente
IRef
I
I LB*
V OMed
VOrefv
CO R O
D Boost
IS
L Boost
I Lb
|Vin|
ID
*IRef
 
Figura 19 — Estrutura básica do controle de tensão. 
 
 Na Figura 20 é apresentado o diagrama funcional de blocos da malha de tensão 
tanto em malha aberta como em malha fechada. As variáveis envolvidas são descritas por 
seus valores médios. 
Para a analise da malha de tensão considera-se a tensão de entrada constante, logo o 
multiplicador é representado por um função de transferência KIref a qual apresenta um 
ganho constante” 
 
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Controle de Tensão 
30
Figura 20 — Diagrama de blocos da malha de controle da tensão. 
Onde: 
 
Modelos: 
 HV(s)  Planta ( O
O
V
I — valores médios); 
 CV(s)  Compensador de tensão; 
Ganhos: 
 KIref  Multiplicador; 
 KCI  Compensador de corrente em regime; 
 KPk  Relação entre iLb e IO; 
 KMv  Medidor de tensão. 
5.2. MODELO POR VALORES MÉDIOS 
 
 A modelagem desejada da planta, nesta etapa, está voltada à obtenção de uma 
representação pelos valores médios, da tensão na carga em relação à sua corrente, por 
conveniência. 
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Controle de Tensão 
31
CO RO
VO
+
_
IS
ILb ID
VB
+
_
 
Figura 21 — Circuito equivalente por valores médios. 
 
 Trabalhando com os valores médios das grandezas no conversor boost, pode-se 
representá-lo como o ilustrado na Figura 21. De forma a simplificar a análise necessária 
para a obtenção do modelo para variações de VO, pode-se simplificá-lo ainda mais o que 
resulta no circuito elétrico equivalente por valores médios, apresentado na Figura 22. 
CO RO
VO
+
_
ID
 
Figura 22 — Circuito elétrico equivalente para a determinação do modelo. 
 
 Utilizando o modelo elétrico obtido, pode-se através do somatório das correntes no 
nó ‘+’ de VO, obter a equação que descreve o comportamento dinâmico da estrutura quando 
submetida a variações, representada pela equação (5.1). 
O O
O O
O
dV (t) V (t)I (t) C
dt R
   (5.1) 
Manipulando os termos de (5.1), obtém-se (5.2). 
 
O O O
O O O
dV (t) V (t) I (t)=
dt C .R C
 (5.2) 
 Aplicando a transformada de Laplace à (5.2), obtém-se a função de transferência da 
planta, por valores médios dada pela expressão (5.3). 
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Controle de Tensão 
32
 
1
O O
V
O O O
V RH (s) = (s)
I C R s
    (5.3) 
 
 Assim sendo o ganho da faixa plana HV(0) e a freqüência do pólo da planta fpo são 
dados por, 
V OH (0) R (5.4) 
 
1
2po O O
f
C R   (5.5) 
0 dB/dec
20 dB/dec
RO
fp
|HV(f)|
f 
Figura 23 — Diagrama de módulo de HV(f). 
 
5.3. COMPENSADOR DE TENSÃO 
 
A estrutura clássica do compensador de tensão sugerida na literatura é mostrada na 
Figura 24. 
 
Figura 24 – Estrutura do compensador de tensão Cv(s). 
 
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Controle de Tensão 
33
 A função matemática que relaciona as entradas com a saída da estrutura Cv(s) é 
definida na equação (5.6). 
 R RCV ref o ref V ref
f f
Z ZV =(V -V ' ) +V =E +V
Z Z
 (5.6) 
sendo: 
 7 6
7 3
( ) . : ( )
1R f
RZ s Z s R
R C s
    (5.7) 
A saída do compensador depende de duas parcelas, a primeira em função dos 
parâmetros do filtro e a segunda que é um valor constante igual à tensão de referência. 
Linearizando a equação (5.6) em torno do seu ponto de operação, obtém-se o modelo 
incremental do compensador apresentado no equacionamento abaixo. Este modelo descreve 
o seu comportamento dinâmico válido para pequenas perturbações em torno do ponto de 
operação. 
     ref
f
R
VCVCV VZ
ZtEtvV   
     ref
f
R
VCVCV VZ
ZtEtvV   
Assim; 
   
f
R
VCV Z
Zttv  
 
 
 
 sZ
sZ
sE
sV
f
R
V
CV  
 
Substituindo a equação (5.7) , obtém-se a função de transferência do compensador: 
 
     
 
   1376
7
 sCRR
R
sZ
sZ
sE
sVsC
f
R
V
CV
V (5.8) 
 
A configuração apresenta apenas um pólo. Com este compensador, é possível 
ajustar-se a banda passante da função de transferência em malha aberta da estrutura de 
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_________________________________________________________________________ 
Controle de Tensão 
34
controle da tensão – FTMAV(s), bem como o erro estático e a atenuação da ondulação da 
tensão de saída que é aplicada na entrada do multiplicador. 
 Pode-se então, determinar o ganho estático de CV(s) e a posição de seu pólo: 
 
7
6
V
RC (0)
R
 (5.9) 
7 3
12pv
f
R C   (5.10) 
 
 A maneira considerada mais adequada para o ajuste dos parâmetros do 
compensador, será abordada em uma seção posterior. 
 
5.4. GANHOS ASSOCIADOS À MALHA DE TENSÃO 
 
 Como pode ser observado na Figura 20, o sinal de saída do compensador ‘VCV’ 
sofre a ação de diversos ganhos antes de ser injetado na planta. 
 O primeiro desses ganhos KIref está associado a linearização do multiplicador, 
utilizado para o controle da tensão/potência média de saída. Devido à dinâmica da malha de 
controle de tensão, pode-se considerar que a resposta do sistema em função do valor de 
pico da corrente de referencia ipRef, assim o valor desta corrente depende do multiplicador, 
considerando-se a tensão de entrada constante e o sistema em regime permanente em malha 
aberta, calcula-se o referido ganho segundo (5.11). 
 
inp
ref
ref
Iref VKV
i
K  (5.11) 
 
 O ganho KCI refere-se ao comportamento da malha de corrente em regime, ou seja, 
converter a corrente de referência iRef(t), na corrente da indutância iLb(t) (valores médios ou 
médios instantâneos). Tal relação, já foi obtida e está apresentada em (4.25), como na saída 
do multiplicador tem-se o sinal iRef , o ganho da malha de corrente é dado por: 
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Controle de Tensão 
35
1CI
Sh
RK
R
 (5.12) 
 
 A última constante associada à malha direta do controle é KPk, que estabelece a 
relação entre as correntes de pico no indutor boost e média de saída. Tal relação pode ser 
derivada de forma simples através da equação de balanço de potência. Considerando o 
estágio PFC operando sem perdas, as potências de entrada e saída são iguais, assim: 
 
. :
2
p pin in
in O O O
v i
P P V I
   
 
Sabendo que as correntes de pico na entrada (iinp) e no indutor boost (iLb) são 
iguais, a relação entre estas correntes, ou seja, KPk é dada por: 
 
1
2
  pinPk
O
V
K
V
 ou 
2
Pk aK (5.13) 
 
 Assim, é possível estabelecer a relação entre os diferentes blocos da malha. 
5.5. SENSOR DE TENSÃO 
RMs
RMi
VO
VO’
 
Figura 25 — Estrutura do sensor de tensão. 
 
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Controle de Tensão 
36
 A leitura da tensão de saída é feita através de um divisor resistivo associado em 
paralelo aos terminais da carga. A sua estrutura está apresentada na Figura 25. Tal arranjo 
confere ao medidor o ganho GMv, dado por: 
 
  
Omed Mi
Mv
O Mi Ms
V RK
V R R
 (5.14) 
 
 Para a o cálculo dos resistores do arranjo, basta especificar-se a um destes e o ganho 
desejado. 
 
5.6. AJUSTE DOS PARÂMETROS DE CV(S) 
 
 O ajuste dos parâmetros do compensador de tensão pode ser efetuado segundo 
diversos critérios. Aqui, os fatores de mérito arbitrados e utilizados como guias para o 
dimensionamento foram o valor de pico da ondulação da tensão na saída do compensador 
de tensão (Va), e o erro estático na tensão média de saída (O). 
 Utilizando o teorema do valor final, pode-se obter que o erro estático para a 
estrutura de controle descrita pelo diagrama de blocos da Figura 20, é dado por: 
 
1
1o vFTMA (0)
   (5.15) 
 
 Da análise da Figura 20 obtém-se que a função de transferência de malha aberta, 
para o laço de controle da tensão, é 
 
V V Iref CI Pk V MvFTMA (s) = C (s) G G G H (s) G     (5.16) 
 
Assim, substituindo (5.16), (5.9) e (5.4) em (5.15) e considerando que 
  Iref CI PkK K K K , obtém-se a seguinte relação para a determinação dos componentes do 
controlador: 
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Controle de Tensão 
37
7
6
1 1o
o O Mv
R
R G R G


      
 (5.17) 
 
 Com isto, arbitrando-se um dos resistores o outro fica automaticamente 
determinado. 
 A segunda relação é obtida através da atenuação desejada para o ripple em VO, ou 
seja, devido à estrutura de controle utilizada (Figura 19), a ondulação de tensão presente na 
entrada de CV(s) é apenas atenuada pelo sensor de tensão, com isto tem-se que: 
 
   c O MvV V K (5.18) 
 
 O que se deseja neste caso é obter a atenuação apresentada pelo compensador de 
tensão de forma que se tenha: 
2a V rede OV C ( f ) V   (5.19) 
 
 Então, substituindo-se (5.8) em (5.19) e obtendo-se o módulo de CV(s), mediante 
algumas pequenas considerações encontra-se que, o capacitor C3 pode ser calculado da 
seguinte forma: 
3
62 2
O Mv
a rede
V KC
V f R
      (5.20) 
 
 Com isto, todos os elementos do compensador de tensão ficam determinados, e 
pode-se traçar o diagrama assintótico esperado, para o módulo da resposta em freqüência 
apresentada por CV(s) (Figura 26). 
 
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Controle de Tensão 
38
f
0 dB/dec
20 dB/dec
CV(0)
fpv
|Cv(f)|
 
Figura 26 — Diagrama assintótico do |CV(f)| 
 
 
 
 
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Exemplo de Cálculo 
39
6. EXEMPLO DE CÁLCULO 
 Nesta seção, é apresentado um exemplo de cálculo dos parâmetros da estrutura do 
módulo PFC, utilizando às relações obtidas anteriormente. Os cálculos foram 
desenvolvidos em planilha do Mathcad [5]. 
Vinp 311.127VVinp 2 Vin
Valor de pico da tensão:
Entrada
Baseados nos dados de entrada pode-se calcular algumas grandezas que serão 
utilizadas mais adiante.
Cálculos iniciais
IL 0.2
Ondulação máxima da corrente
no indutor Boost:
Vo 0.02Ondulação relativa da tensão em 120Hz:
fs 30kHzFreqüência de comutação:
Po 1.2kWPotência:
Vo 400VTensão média:
Saída
 1.0Rendimento:
fr 60HzFreqüência da rede: 
Vin 220VTensão eficaz:
Entrada
Dados:
Figura 1 - Estrutura do Retificador Boost.
 
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Exemplo de Cálculo 
40
Para a determinação do valor da indutância L Boost é necessário que determine a 
situação de máxima ondulação de sua corrente. Assim sendo, do circuito equivalente 
(Fig. 1) durante o intervalo em que S permanece fechada obtêm-se que:
0 30 60 90 120 150 180
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Comportamento da Razão Cíclica
Theta [º]
D
(T
he
ta
)
D  a  1 a sin  
a 0.778a
Vinp
Vo

dado que0  .:D   1 Vinp sin  
Vo

como V in , possui comportamento senoidal durante um semi-ciclo da fonte de 
alimentação, a razão cíclica pode ser descrita como segue
Vo
Vin
1
1 D
Sabe-se que para o conversor Boost o ganho estático é dado pela seguinte expressão:
Indutor Boost "L Boost "
Ro 133.333Ro
Vo
2
Po

Resistência Nominal:
Carga
IinP 7.714 AIinP 2 Iin
Corrente depico
Iin 5.455 AIin
Po
 Vin

Corrente eficaz:
 
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Exemplo de Cálculo 
41
Co 994.718FCo
Po
2  fr Vo Vo Vo 
Este capacitor é definido em função da ondulação de 120Hz estipulada, então:
Capacitor de Armazenagem "C O"
LBoost 2.151mHLBoost
0.32 Vinp
IL IinP fs

O valor da indutância pode ser obtido a partir da seguinte expressão:
I 40º( ) 0.32
Desta curva verifica-se que a situação de máxima ondulação ocorre para  
aproximadamente igual a 40º e 140º, daí:
0 30 60 90 120 150 180
0
0.1
0.2
0.3
Ondulação Relativa de Corrente
Theta [º]
I  a  sin   a sin  2ou I   sin   Vinp
Vo
sin  2
Definindo-se 
LBoost iLb fs
Vinp
sin   Vinp
Vo
sin  2daí tem-se
t D  
fs
.:LBoost
iLb
t Vinp sin  
Dado o elevado valor da freqüência de comutação pode-se dizer que durante o intervalo 
de acionamento de S, que
LBoost t
iLb t( )
d
d
 Vinp sin  
 
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Exemplo de Cálculo 
42
Modelo por Valores Médios Instantâneos do Conversor 
Boost em CCM
Figura 2 - Estrutura do Conversor Boost p/ obtenção do 
modelo por valores médios instantâneos.
Baseando-se no modelo para valores médios instatâneos de tensão (fig. 2), pode-se
obter como modelo da planta o seguinte:
t
iLb t( )dd
Vo
LBoost
D t( )
Efetuando a transformada de L'Place
ILb s( )
D s( ) HI s( ) HI s( )
Vo
LBoost s

Assim, os diagramas de módulo e fase da planta sem compensação, são:
10 100 1 103 1 104 1 105
20
0
20
40
60
80
Resposta em Freqüência - |Hi (jw)|
Freqüência [Hz]
G
an
ho
 [d
B
]
 
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Exemplo de Cálculo 
43
10 100 1 103 1 104 1 105
180
135
90
45
0
Resposta em Freqüência - Fase de Hi (jw)
Freqüência [Hz]
Fa
se
 [º
]
Malha de Controle da Corrente
Figura 3 - Estrutura de controle da corrente.
Ganho do Modulador PWM
Para a determinação do ganho do modulador PWM, é necessário que se determine o 
valor de pico da onda dente de serra. Assim, utilizando a derivada de i Lb obtém-se que:
diLb
Vinp
LBoost
1
sec
A

 diLb 1.446 10
5
Arbitrando-se o valor de V Srr: Vsrr 15V
Assim, a inclinação da onda moduladora é dada por:
dVSrr Vsrr fs 1
sec
V

 dVSrr 4.5 10
5
Como dVSrr > di Lb espera-se que não hajam múltiplos cruzamentos. 
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Exemplo de Cálculo 
44
Pode-se então calcular o ganho do modulador PWM.
GPWM
1
Vsrr
1V( ) GPWM 0.067
Compensador de Corrente
Figura 4a - Estrutura do dompensador de corrente.
Figura 4b - Estrutura do dompensador de corrente simétrico.
Para que se possa posteriormente "desacoplar" às dinâmicas das malhas de corrente e 
tensão, o compensador de corrente deve ser ajustado de forma a atender a esta 
imposição. 
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Exemplo de Cálculo 
45
RShunt 0.13
Ganho de faixa plana (dB):
Gfp 20 log
LBoost 2  fs Vsrr
Vo RShunt 10


 Gfp 21.385
Componentes de CI(s)
R2 R1 R2 10K
R3 R2 10
Gfp
20 R3 117.292k
C1
1
2  fz R3
 C1 1.357nF
C2
1
2  R3 fp2 fz  C2 27.692pF
CI s( )
R3 C1 s 1 
R2 C1 C2  s R3 C1 C2C1 C2 s 1



1
Função de Transferência do Compensador CI(s) 
CSI s( )
R3 C1 s 1 
R2 C1 C2  s R3 C1 C2C1 C2 s 1




Função de Transferência do Compensador CSI(s) 
Cálculo dos Parâmetros do Compensador
Definindo-se aos seguintes parâmetros do controlador:
Pico da corrente de referência: iRef 100A
Valor de um dos resistores: R1 10k
Zero: fz 1kHz
Pólo 1: fp1 0Hz
Pólo 2: fp2 50 fz
Os outros elementos, podem ser obtidos da seguinte forma:
Freqüência do segundo pólo do controlador:
fp2 50KHz
Resistor "Shunt":
RShunt
iRef
IinP
R1
 
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Exemplo de Cálculo 
46
100 1 103 1 104 1 105 1 106
20
0
20
40
60
|Ci(f)|
|Csi(f)|
0 dB
Resposta em Freqüência - |Ci (jw)|
Freqüência [Hz]
G
an
ho
 [d
B
] 20
100 1 103 1 104 1 105 1 106
90
67.5
45
22.5
0
Fase Ci(f)
Fase Csi(f)
-90º
Resposta em Freqüência - Fase de Ci (jw)
Freqüência [Hz]
Fa
se
 [º
]
Função de Transferência de Malha Aberta "FTMA I" 
Para que se possa analisar o efeito do controlador de corrente na estrutura, será 
traçada a resposta em freqüência da FTMA para esta malha. Do diagrama de blocos 
contido na fig.3.
FTMAI s( ) CI s( ) GPWM HI s( ) RShunt
FTMASI s( ) CSI s( ) GPWM HI s( ) RShunt 
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Exemplo de Cálculo 
47
100 1 103 1 104 1 105
60
40
20
0
20
40
60
FTMAi
FTMAsi
0dB
Resposta em Freqüência - |FTMAi (jw)|
Freqüência [Hz]
G
an
ho
 [d
B
]
3kHz
100 1 103 1 104 1 105
180
160
140
120
100
FTMAi
FTMAsi
Resp. em Freqüência - Fase de FTMAi (jw)
Freqüência [Hz]
Fa
se
 [º
]
112
3kHz
Dos diagramas de módulo e fase da FTMAI(s), concluí-se que o sistema de controle 
será estável em malha fechada.
Dentro da faixa de freqüência de operação, os dois compensadores apresentaram o 
mesmo comportamento. 
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Exemplo de Cálculo 
48
Malha de Controle da Tensão
Dado o ajuste da malha de corrente, esta apresenta-se dinâmicamente desacoplada da
de tensão. Disto, resulta que a estrutura básica de controle da tensão média de saída 
do conversor pode ser apresentada na forma da fig.5.
Figura 5 - Estrutura de controle da corrente.
Modelo por Valores Médios do Conversor Boost em CCM
Figura 6 - Estrutura do Conversor Boost p/ obtenção do 
modelo por valores médios.
Baseando-se no modelo para valores médios (fig. 6), pode-se obter como modelo da 
planta o seguinte:
t
Vo t( )
d
d
Vo t( )
Co Ro

Io t( )
Co

Efetuando a transformada de LaPlace
Vo s( )
Io s( )
HV s( ) HV s( )
Ro
Ro Co s 1

Assim, os diagramas de módulo e fase da planta sem compensação, são: 
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Exemplo de Cálculo 
49
0.1 1 10 100 1 10320
0
20
40
60
Resposta em Freqüência - |Hv(jw)|
Freqüência [Hz]
G
an
ho
 [d
B
]
0.1 1 10 100 1 103100
80
60
40
20
0
Resposta em Freqüência - Fase de Hv(jw)
Freqüência [Hz]
Fa
se
 [º
]
Ganhos da Malha de Controle
Multiplicador:
GIref
0.9 iRef
2 A GIref 6.364 10
5
Compensador de Corrente:
GCI
R1
RShunt
 GCI 7.714 104
 
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Exemplo de Cálculo 
50
Figura 8a - Estrutura do compensador de tensão.
Compensador de Tensão
Figura 7 - Estrutura do medidor de tensão.
RMs 217.8kRMs RMi
1 GMv
GMv



RMi 2.2kAssim, arbitrando-se o valor para um dos resistores:
GMv 0.01GMv
RMi
RMi RMs

A leitura da tensão de saída será feita através de um divisor resistivo, cuja estrutura está 
apresentada na fig.7, tal arranjo confere ao medidor o ganho GMV.
Ganho do medidor
G 1.909G GIref GCI GPk
Total:
GPk 0.389GPk
1
2
Vinp
Vo

Potência:
 
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Exemplo de Cálculo 
51
fp 7.793Hzfp 1
2  C3 R7

Freqüência obtida para o pólo:
C3 106.103nFC3
Vo Vo GMv
2  2 fr R6 Va

R7 192.49KR7 Cv R6
Componentes do compensador:
Cv 19.249Cv
1 o
o GIref GCI Ro GPk GMv



Ganho estático de Cv(s):
Os outros elementos, podem ser obtidos da seguinte forma:
Va 100mVValor de pico da ondulação em 120Hz:
R6 10kEstimativa p/cálculo dos parâmetros:
Vref 4VReferência do compensador de tensão (400V):
o 0.02Erro estático de tensão:
Definindo-se aos seguintes parâmetros do controlador:
Cálculo dos Parâmetros do Compensador
A função de transfêrencia dos dois compensadores que representam as suas dinâmicas 
em torno do ponto de operação são iguais.
Figura 8b - Estrutura do compensador simétrico de tensão.
 
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Exemplo de Cálculo 
52
CV s( )
R7
R6 R7 C3 s 1 
Função de Transferência de Gv(s)
0.1 1 10 100 1 103 1 104
20
0
20
40
Resposta em Freqüência - |Cv (jw)|
Freqüência [Hz]
|C
v(
jw
)| 
[d
B
]
0.1 1 10 100 1 103 1 104
90
67.5
45
22.5
0
Resposta em Freqüência - Fase de Cv (jw)
Freqüência [Hz]
Fa
se
 C
v(
jw
) [
º]
 
 
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Exemplo de Cálculo 
53
Função de Transferência de Malha Aberta (FTMAv)
Para que se possa analisar o efeito do controlador de tensão na estrutura, será traçada 
a resposta em freqüência da FTMA para esta malha. Do diagrama de blocos contido na 
fig.5.
FTMAv s( ) CV s( ) G HV s( ) GMv
0.1 1 10 100 1 10340
20
0
20
40
60
Resposta em Freqüência - |FTMAv (jw)|
Freqüência [Hz]
G
an
ho
 [d
B
]
20Hz
0.1 1 10 100 1 103180
135
90
45
0
Resp. em Freqüência - Fase de FTMAv (jw)
Freqüência [Hz]
Fa
se
 [º
]
155
20Hz
Através da fase da resposta em freqüência para a FTMAV(s), observa-se que o sistema 
possui uma margem de fase positiva e de cerca de 25º. Logo, também a estrutura de 
controle de tensão será estável em malha fechada. 
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Resultados de Simulação 
54
7. RESULTADOS DE SIMULAÇÃO 
 
 Nesta seção serão apresentados os resultados de simulação obtidos para o conversor 
boost – PFC, representado na Figura 27. Para que se possa estabelecer um comparativo 
serão traçadas as formas de onda para duas situações distintas: com e sem a malha de 
compensação da tensão média de saída. 
 Também serão comparados resultados da estrutura utilizando os compensadores 
tradicionais e os compensadores simétricos sugerido neste trabalho. 
 Durante a operação dos circuitos serão aplicados degraus de –20% na carga, no 
instante t = 200ms, para a visualização do comportamento da estrutura quando submetida a 
transitórios de carga. Vale observar que os valores dos componentes apresentados na Figura 
27 foram os empregues para a obtenção dos resultados apresentados. 
 As simulações foram feitas no programa Psim [6]. 
7.1. SISTEMA SEM A MALHA DE TENSÃO 
 
Foram feitas simulações usando o compensador de corrente (CI(s)) e compensador 
de corrente simétrico (CSI(s)). Os resultados serão apresentados simultaneamente para 
efeito de comparação. No circuito da Figura 27 o circuito foi apresentado com o 
compensador CI(s). A estrutura do compensador CSI(s) é mostrada na Figura 16. 
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Resultados de Simulação 
55
 
Figura 27 — Circuito para simulação do conversor s/ malha de tensão. 
 
 Observando a Figura 28 verifica-se que a estrutura é capaz de realizar a correção do 
fator de potência, mesmo sem a presença da malha de tensão. Isto fica evidente, ao se 
observar à proposta de controle, em que a corrente independe da tensão de saída do 
conversor. A corrente de entrada utilizando o CI(s), denominada de “in”, foi idêntica a 
corrente de entrada,“in2”, utilizando o CSI(s). 
 
 
 
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Resultados de Simulação 
56
 
Figura 28 — Tensão de entrada ‘vin’ , corrente de entrada ‘iin’ e ‘iin2’. 
 
 Como a estrutura opera sem o controle de sua tensão média de saída, e já que a 
amplitude da corrente no indutor boost é imposta pela malha de corrente, variações de 
carga provocam alterações em VO, o que pode ser visualizado na Figura 29. Essas variações 
não alteram o comportamento da corrente do indutor. Novamente, “iL” e “iL2” são as 
correntes no indutor boost, “VO” e “VO2” são tensões de saída do conversor utilizando os 
compensadores CI(s) e CSI(s) respectivamente. 
 
Figura 29 – Tensão de saída ‘VO’ e ‘VO2”, Corrente ‘iL’ e corrente ‘iL2’. 
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Resultados de Simulação 
57
 Observou-se que os compensadores de corrente CI(s) e CSI(s) apresentaram 
comportamentos idênticos, não havendo alterações nos resultados. 
É fundamental no processo de projeto ajustar corretamente a malha de corrente 
nesta fase, para depois prosseguir com o projeto da malha de tensão. 
 
7.2. SISTEMA COMPLETO 
 
Nesta seção serão apresentados os resultados de simulação para o sistema 
completo utilizando os componentes calculadosna seção 6. 
 O diagrama contendo as malhas de controle de tensão e corrente, projetadas para a 
estrutura, é apresentado na Figura 30. Os compensadores mostrados nesta figura são os 
compensadores de corrente CI(s) e de tensão CV(s) (tradicionais). As mesmas simulações 
foram realizadas com o retificador boost utilizando os compensadores simétricos de 
corrente (CSI(s)) e tensão (CSV(s)) proposto no texto. Os resultados serão apresentados 
simultaneamente, para efeito de comparação, em que o índice “2” indica os resultados com 
os compensadores simétricos. 
 Para que o transitório de partida do sistema não viesse a influenciar os resultados 
obtidos, o transitório de redução de 20% de carga foi deslocado para o instante t = 400ms. 
 
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Resultados de Simulação 
58
 
Figura 30 — Estrutura de controle “completa”. 
 
 A inserção da malha de tensão no circuito propiciou a correção do elevado desvio 
da tensão de saída quando da aplicação de um degrau de carga. Isto foi feito, segundo o 
comportamento previsto para a atuação desta malha de controle, ou seja, alterando-se o 
valor médio da corrente de referência da malha de corrente, e assim os valores médio e 
eficaz da corrente de saída. Tal comportamento pode ser visualizado através da Figura 31. 
Percebe-se que os comportamentos dinâmicos dos dois compensadores de tensão 
foram idênticos, mas o compensador Cv(s) apresentou um erro estático maior e não atendeu 
as especificações de projeto. Em ambos os casos houve uma pequena redução na ondulação 
da tensão de saída, isto, é claro, provocado pela redução da carga alimentada pelo 
conversor. 
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Resultados de Simulação 
59
 
Figura 31 — Tensão de saída ‘VO’ e ‘VO2’. 
 
 A Figura 32 mostra que o comportamento da corrente do indutor boost, diante do 
degrau de carga, é idêntico para os dois compensadores de corrente. Há uma diferença na 
amplitude das correntes devido à diferença no erro estático na tensão de saída do conversor. 
 
Figura 32– Corrente ‘iL’ e corrente ‘iL2’. 
 
 Durante a etapa de projeto da malha de controle da corrente especificou-se que sua 
dinâmica deveria ser tão mais “veloz” do que a da malha de tensão a ponto de estas 
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poderem ser consideradas desacopladas. Observando-se o comportamento apresentado 
pelos sinais de controle de corrente e tensão (respectivamente na Figura 33 e na Figura 34), 
fica evidente que tal desacoplamento foi assegurado. Visto que há o perfeito seguimento da 
envoltória da corrente do indutor boost. A ondulação de tensão, porém com fase oposta, 
como pode ser visualizado na Figura 31. Esta análise é válida para os compensadores 
tradicionais e os ‘simétricos’. 
 
 
Figura 33 — Comportamento do sinal de controle de corrente. 
 
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Figura 34 — Comportamento do sinal de controle da tensão ‘Vct’. 
 
Na Figura 35 que apresenta VO, Vct, VO2 e Vct2, pode-se verificar que para a 
ondulação de tensão com carregamento nominal (ΔVO = 0.02VO), na saída dos dois 
compensadores de tensão, tem-se o valor Va ≈ 100mV, ou seja, o valor projetado. Ao 
extrair o valor médio de VO e VO2, da mesma figura, chega-se a um erro estático de 
aproximadamente 4% e 1,5% respectivamente, ou seja, apenas o compensador de tensão 
simétrico atendeu o valor de erro estático desejado. Estes fatos servem para reforçar a 
validade da estratégia utilizada para o cálculo dos parâmetros e questionar a eficiência do 
compensador de tensão usualmente utilizado. 
 
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Figura 35 — Ondulação de tensão em VO e em Vct. 
 
 Na Figura 36 estão apresentados o sinal de controle de corrente e a onda dente de 
serra para os dois tipos de controladores testados. Constata-se através desta que o valor 
escolhido para o pico de VSrr(t) é adequado, pois, não permite que haja múltiplos 
cruzamentos entre estas tensões. 
 
Figura 36 — Ondulação do sinal de controle de corrente. 
 
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 O efeito Cusp apresentado pela corrente do indutor boost e, portanto, pela corrente 
de entrada, está ilustrado na Figura 37. 
 
 
Figura 37 — Visão em detalhe do efeito ‘Cusp’. 
 
 A ondulação de corrente no indutor boost é apresentada na Figura 38. Pode-se 
observar que esta grandeza possui o valor aproximado de 1A, sendo que o valor projetado 
para esta ondulação era de 1,4A. Isto, no entanto, não invalida a metodologia utilizada para 
o cálculo de LBoost apenas mostra que as aproximações efetuadas para a obtenção da 
expressão, levam a resultados conservadores. 
 
 
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Figura 38 — Ondulação da corrente de entrada. 
 
Os resultados apresentados nas Figura 37 e Figura 38 são válido para os de 
compensadores tradicionais e para os ‘simétricos’, pois o comportamento dos 
compensadores de corrente foram idênticos e como conseqüência a corrente da fonte de 
alimentação e do indutor boost são iguais. 
 Finalmente, na Figura 39 são apresentadas a tensão e a corrente de entrada para 
ambos sistemas de controle. É possível constatar, para os dois casos, a eficácia da estrutura 
PFC, isto porque, a corrente de entrada assemelha-se muito a uma sinusóide em fase com a 
tensão de alimentação. Assim, o que a rede de alimentação “enxerga” é uma carga 
equivalente a um resistor. Logo uma carga com fator de potência muito próximo a unidade. 
 
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Figura 39 — Tensão e corrente de entrada – Correção do fator de potência. 
 
 A corrente de entrada, apesar de possuir uma envoltória sinusoidal, possui além da 
distorção na passagem pelo zero da corrente, causada pelo efeito Cusp, um conteúdo em 
alta freqüência, na forma de uma ondulação. Para que se possa avaliar a distorção 
harmônica causada por esses efeitos, foi traçado seu espectro harmônico, cujo resultado 
está apresentado na Figura 40. 
 
 
Figura 40 — Espectro harmônico da corrente de entrada c/PFC. 
 
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