primeira prova gab - cálculo 1

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
CCEN – DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA – A´REA2
PRIMEIRO SEMESTRE DE 2004 — (14–06–2004)
GABARITO DO PRIMEIRO EXERC´ICIO ESCOLAR DE CA´LCULO 1
1aQuesta˜o: (3.0 pts) Calcule a derivada de cada uma das func¸o˜es abaixo:
a) f(x) = (1 + x2) arctan(x)
b) f(x) =
1− x2
arcsen(x)
c) f(x) = sen2(e2x)
Soluc¸a˜o: (a) f ′(x) = (1 + x2)′ arctan(x) + (1 + x2)(arctan(x))′ = 2x arctan(x) + 1, portanto,
f ′(x) = 2x arctan(x) + 1
(b) f ′(x) =
(1− x2)′arcsen(x)− (1− x2)(arcsen(x))′
(arcsen(x))2
= −2xarcsen(x) +
√
1− x2
(arcsen(x))2
. Logo,
f ′(x) = −2xarcsen(x) +
√
1− x2
(arcsen(x))2
(c) f ′(x) = 2sen(e2x).(sen(e2x))′ = 2sen(e2x). cos(e2x).(e2x)′ = 2sen(e2x). cos(e2x).2.e2x, por-
tanto, f ′(x) = 4e2xsen(e2x). cos(e2x), ou seja,
f ′(x) = 4e2xsen(e2x). cos(e2x)
2a Questa˜o: (3.0 pts) Considere a func¸a˜o definida por
f(x) =

ax+ b se x < 1
c se x = 1
2x2 se x ≥ 1
,
onde, a, b e c sa˜o constantes.
(i) Determine todos os valores de a, b e c para os quais f e´ cont´ınua em x = 1.
(ii) Determine a, b e c de modo que f seja diferencia´vel em x = 1.
Soluc¸a˜o: (i) A func¸a˜o dada e´ cont´ınua em x = 1, se e somente se
lim
x→1+
f(x) = lim
x→1−
f(x) = f(1) = c.
Temos: lim
x→1+
f(x) = lim
x→1+
2x2 = 2, e lim
x→1−
f(x) = lim
x→1−
(ax+ b) = a + b. Portanto, para que f
seja cont´ınua em x = 1, deveremos ter 2 = a + b = c. Assim, para que f seja cont´ınua deve-se
ter
c = 2 e a+ b = 2.
(ii) Para que f seja diferencia´vel em x = 1 e´ necessa´rio (mas na˜o suficiente) que a mesma seja
cont´ınua no mesmo ponto. Isso ja´ exige, pelo ı´tem anterior, que c = 2 e a + b = 2. Ale´m disso
deveremos ter que as derivadas laterais existam e sejam iguais em x = 1. Como
f ′(1+) = lim
h→0+
f(1 + h)− f(1)
h
= lim
h→0+
2(1 + h)2 − 2
h
= lim
h→0+
2(2 + h) = 4,
e
f ′(1−) = lim
h→0−
f(1 + h)− f(1)
h
= lim
h→0−
a(1 + h) + b− 2
h
= lim
h→0−
a+ b− 2 + ah
h
= a,
pois a+ b = 2. Consequ¨entemente f sera´ diferencia´vel se a = 4, b = −2 e c = 2.
3a Questa˜o: Considere a func¸a˜o f(x) = ln(x), x > 0.
(a) (1,0 pts) Determine a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f no ponto (1, 0).
(b) (1,5 pts) Dado um ponto arbitra´rio (x0, ln(x0)) do gra´fico de f , verifique que a reta tangente
neste ponto pode ser obtida ligando o mesmo ao ponto (0 , ln(x0)− 1).
Soluc¸a˜o: (a) A equac¸a˜o da reta pedida e´ y − 0 = (ln(1))′(x− 1), ou seja, y = x− 1.
(b) Dado um ponto arbitra´rio (x0, ln(x0)) sobre o gra´fico, a equac¸a˜o da reta tangente ao mesmo
neste ponto e´ y − ln(x0) = (ln(x0))′(x− x0), ou seja, y − ln(x0) = x− x0
x0
, e portanto o ponto
(0, ln(x0)− 1) tambe´m pertence a` reta tangente, donde a veracidade da afirmac¸a˜o.
4a Questa˜o: (1,5 pts) Sejam x(t) e y(t) as coordenadas de uma part´ıcula que se desloca sobre uma
circunfereˆncia centrada na origem com 5 metros de raio. Se no instante t = 1, a part´ıcula passa
pelo ponto (3, 4) com velocidade horizontal de 4 metros por segundo, calcule a velocidade vertical
da part´ıcula neste mesmo instante.
Soluc¸a˜o: Como a equac¸a˜o de uma circunfereˆncia de raio 5 com centro na origem e´ x2 + y2 = 25,
segue-se que as posic¸o˜es horizontal e vertical da part´ıcula, x(t) e y(t), respectivamente, satisfazem
a mesma equac¸a˜o, ou seja, x(t)2+ y(t)2 = 25. Nos pontos onde estas func¸o˜es sa˜o diferencia´veis,
(em particular em t = 1), derivando os dois lados da igualdade temos 2x(t)x′(t) + 2y(t)y′(t) =
0. Substituindo t = 1 nesta u´ltima equac¸a˜o e levando em conta que x(1) = 3, y(1) = 4 e
x′(1) = 4, obtemos y′(1) = −3, ou seja, no instante t = 1, a part´ıcula tem velocidade vertical
de −3 metros por segundo.