6__Aula_Programada_de_C_lculo_01

Prévia do material em texto

CENTRO UNIVERSITÁRIO MAURICIO DE NASSAU 
 NÚCLEO BÁSICO DE ENGENHARIA
Aula Programada de Cálculo (APC 06)
 João Mesquita
EQUAÇÃO DA RETA TANGENTE A UMA CURVA
Nesta APC trataremos do clássico problema de determinar a reta tangente à uma curva. Nos nosso primeiros cursos de geometria somos acostumados a pensar em reta tangente à uma curva num ponto como sendo à reta que “toca” a curva somente naquele ponto. Se pararmos para refletir um pouco sobre esse conceito veremos que essa ideia é boa no caso de uma circunferência, mas não é boa em curvas em geral, conforme ilustram as figuras abaixo:
Na verdade há uma maneira mais precisa de definirmos à reta tangente à uma curva num ponto. A ideia é a seguinte: seja uma função real de variável real, cuja representação gráfica está mostrada a seguir. 
Digamos que queremos determinar a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto . Para tal consideramos um outro ponto sobre o gráfico de f, a saber: e a partir destes dois pontos podemos então construir a reta (r), que é secante ao gráfico de f. note que se fizermos a reta (r) que é secante ao gráfico de f aproxima-se cada vez mais da reta (t), que a nossa intuição manda chamar de reta tangente ao gráfico de f no ponto . Assim, guiados pela nossa ideia intuitiva de reta tangente a uma curva num ponto, definimos como sendo o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f no ponto como sendo o limite dos coeficientes angulares das retas secantes ao gráfico de f quando , ou seja, definimos o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f no ponto como sendo
É claro que com esse valor de m e com as coordenadas do ponto , podemos determinar a equação da reta tangente ao gráfico de f em usando a velha e boa fórmula já conhecida da Geometria analítica
Aplicação 01
Qual a equação da reta tangente à curva no ponto ?
A DERIVADA DE UMA FUNÇÃO
Definição: 
 
Dado um intervalo aberto , e uma função definimos a derivada de f num ponto como sendo o limite , que quando existe e é finito é denotado por e é chamado de DERIVADA DA FUNÇÃO f NO PONTO xo , ou seja, 
OBSERVAÇÕES:
I) Se chamarmos de x podemos reescrever a derivada de f em como sendo
II) Note que o valor de corresponde ao valor do coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f, ou seja, , onde é a medida do ângulo que a reta tangente ao gráfico de f no ponto forma com o eixo x. Portanto nos pontos em que a reta tangente ao gráfico de f for horizontal, teremos , conforme ilustra o diagrama a seguir:
III) Diante do exposto a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto é dada por .
IV) Quando , podemos também falar em reta normal ao gráfico da função . Quando , definimos a reta normal ao gráfico da função no ponto como sendo a reta que “passa” pelo ponto e que é perpendicular à reta tangente ao gráfico da função no referido ponto. Lembrando que quando duas retas não verticais (r) e (s) são perpendiculares temos , segue que a equação da reta normal ao gráfico da função no ponto é dada por:
V) A derivada da função f pode ser representada por uma das seguintes formas: 
DERIVADAS DAS FUNÇÕES ELEMENTARES
De posse da definição de derivada de uma função f num ponto x, vamos agora determinar a derivada de algumas funções muito presentes no Cálculo e nas suas aplicações, ditas funções elementares, cujas derivadas são tabeladas a seguir:
Aplicação 02
Seja tal que , onde . Mostre que para todo x real.
Aplicação 03
Seja tal que , onde . Mostre que para todo x real.
DERIVADA E CONTINUIDADE
Não podemos deixar de comentar o fato de que se uma função é derivável num ponto então a função f é contínua neste mesmo ponto . Vejamos:
De fato, se f é derivável no ponto , significa que existe e é finito. Assim,
Na expressão acima passando o limite com , obtemos:
O que nos permite concluir, pela definição de continuidade de função que f é contínua no ponto . Assim podemos concluir que DERIVABILIDADE IMPLICA EM CONTINUIDADE, mas muito cuidado que o contrário não é verdade, ou seja, o fato de uma função ser contínua num ponto não implica que essa função seja derivável no ponto . O Exemplo clássico deste fato é a função dada por quando analisada no ponto x=0 ela é claramente contínua pois
Mas,
Que não existe, pois os limites laterais no ponto x=0 são distintos conforme ilustramos a seguir:
Assim, não existe, apesar da função f ser contínua em x=0, mostrando, pois que o fato de uma função ser contínua num ponto não obriga que ela seja derivável naquele ponto.
REGRAS DE DERIVAÇÃO
Para agilizar os cálculo das derivadas existem as chamadas REGRAS DE DERIVAÇÃO, que são teorema que estabelecem regras práticas para calcularmos as derivadas de somas, diferenças, produtos e quocientes de funções reais. Se e f e g são funções reais de variável real, pode-se demonstrar que:
a) 
 b)
c) 
d) 
Aplicação 03
Obtenha a derivada de cada uma das funções a seguir:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
Aplicação 04
a) Para cada função f(x), determine a derivada f’(x) no ponto x0 indicado:
b) 
c) 
d) 
e) 
Aplicação 05
Determine a equação da reta tangente à curva no ponto de abscissa x=2.
Aplicação 06
 Determine a equação da reta normal à curva no ponto de abscissa .
REGRA DA CADEIA (DERIVADA DA FUNÇÃO COMPOSTA)
Sejam uma função real de variável real dada pela lei e uma função real de variável real dada pela lei . A função composta é dada por . Supondo que f seja derivável no ponto x e que g seja derivável no ponto f(x), pode-se demonstrar que a função h também é derivável no ponto x e que
É um costume dizer que a derivada da função composta é a derivada da função externa, multiplicada pela derivada da função interna.
Aplicação 07
Qual a derivada da função definida por ?
Aplicação 08
Obtenha as derivadas das funções a seguir:
a) 
b) 
c) 
d) 
d) 
e) 
f) 
g) 
h) 
i) 
j) 
A DERIVADA DA FUNÇÃO INVERSA
Seja uma função real de variável real dada pela lei , Bijetiva e que para todo . Pode-se demonstrar que a função inversa é derivável e que .
Aplicação 09
Qual a derivada da função , definida por , onde e ?
Aplicação 10
Obtenha as derivadas das funções a seguir:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
Aplicação 11
Obtenha o valor da derivada da inversa da função definida por no ponto x=1.
DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR
Seja f uma função derivável num intervalo I. Em alguns casos a função f’, derivada de f, pode ser novamente derivada, obtendo-se então a derivada segunda de f, que denotamos por f’’ (ou f(2)). Continuando com esse mesmo raciocínio podemos obter as derivadas terceira, quarta, quinta, etc...cujas notações são . Assim denotamos por a derivada de ordem n da função f no ponto x.
Aplicação 12
Seja definida por . Calcule .
Aplicação 13
 Se , determine .
Aplicação 14
Determine a derivada de ordem 10 da função .
Aplicação 15
Determine a derivada de ordem 5 da função .
APLICAÇÕES DAS DERIVADAS
Vamos utilizar a derivada de uma função como ferramenta para resolver problemas das mais variadas áreas do conhecimento, a saber: Física, Química, Economia, Biologia, Engenharia, Matemática Financeira, Estatística e Probabilidade, sem falar nos problemas da própria Matemática pura. Vamos mostrar ao longo deste capítulo como a derivada de uma função pode revelar propriedades importantes da própria função e em particular do seu gráfico. Para atingir esse objetivo vamos inicialmente desenvolver uma série de definições e resultados importantes que serão necessários para atacarmos de modo adequado os problemas das diversas áreas acima citadas.
ESBOÇO DE GRÁFICOS
Existe o processo simples de esboçar o gráfico de uma função contínua ligando-se um número finito de pontos , do seu gráfico, no plano xy. Mas este procedimento nem sempre revela as nuances do gráfico.Veremos como as derivadas são ferramentas auxiliares no esboço desses gráficos, provendo informações qualitativas que não podem ser descobertas através de uma simples plotagem de pontos.
INTERVALOS DE CRESCIMENTO E DE DECRESCIMENTO DE UMA FUNÇÃO
O diagrama abaixo mostra uma típica representação gráfica de uma função estritamente crescente 
Lembre que uma função f é estritamente crescente num intervalo se, nesse intervalo, quando x aumenta de valor, f(x) também aumenta de valor. Noutras palavras, f é crescente se vale a implicação:
para quaisquer 
O diagrama abaixo mostra uma típica representação gráfica de uma função estritamente decrescente 
Lembre que uma função f é estritamente decrescente num intervalo se, nesse intervalo, quando x aumenta de valor, f(x) diminui de valor. Noutras palavras, f é crescente se vale a implicação:
para quaisquer 
OBSERVAÇÃO:
Suponhamos que f seja contínua no intervalo fechado [a, b] e tem derivada nos pontos do intervalo aberto (a, b). Então:
i) Se para todo , então f é estritamente crescente no intervalo .
ii) Se para todo , então f é estritamente decrescente no intervalo .
Não iremos demonstrar esse teorema aqui. Iremos apenas ilustrar geometricamente o fato de que esse teorema é bastante plausível. Na figura abaixo , em que f é crescente em um certo intervalo [a; b], todas as retas tangentes ao gráfico de f, no intervalo são inclinadas para a direita. Daí os coeficientes angulares dessas retas são todos positivos. Como o coeficiente angular em um ponto P = (c; f(c)) é f’(c), temos f’(c) > 0 para cada .O comportamento de f’(x) nos extremos do intervalo não precisa ser levado em consideração. Na Figura, temos f’(a) = 0 e (a reta tangente em (b; f(b)) é vertical, ).
No caso em que f é decrescente em um certo intervalo [a, b], todas as retas tangentes ao gráfico de f, no intervalo , são inclinadas para a esquerda. Daí os coeficientes angulares dessas retas são todos negativos. Como o coeficiente angular em um ponto P = (c; f(c)) é f’(c), temos f’(c) < 0 para cada .O comportamento de f’(x) nos extremos do intervalo não precisa ser levado em consideração. Na figura a seguir temos f’(a) = 0 e (0 e (a reta tangente em (b; f(b)) é vertical, ).
PONTOS DE MÁXIMO E DE MÍNIMO LOCAIS
Definição:
Um ponto xo , no domínio da função f, é um ponto de mínimo local de f se existe um intervalo [a, b] contido no domínio de f, com , tal que para todo x em [a, b]. 
Isto ocorre, por exemplo, no caso em que existem intervalos [a, x0] e [x0, b] contidos no domínio de f tais que f é decrescente em [a, x0] e é crescente em [x0, b], conforme ilustra a figura a seguir:
Por outro lado, um ponto xo , no domínio da função f, é um ponto de máximo local de f se existe um intervalo [a, b] contido no domínio de f, com , tal que para todo x em [a, b]. 
Isto ocorre, por exemplo, no caso em que existem intervalos [a, x0] e [x0, b] contidos no domínio de f tais que f é crescente em [a, x0] e é decrescente em [x0, b], conforme ilustra a figura a seguir:
OBSERVAÇÕES:
I) Note que se f é derivável no intervalo e é um ponto de máximo local ou de mínimo local de f então , visto que no ponto a reta tangente ao gráfico de f é horizontal e portanto tem coeficiente angular igual a 0. Mas muita atenção que a recíproca deste resultado é falsa, isto é, se não obriga que sela um ponto de máximo ou de mínimo local de f. Por exemplo, se considerarmos a função , definida por segue que , portanto . Mas evidentemente não é ponto de máximo nem de mínimo local de f, conforme ilustra a representação gráfica de f mostrada a seguir:
II) Para uma dada função derivável f, os pontos x do domínio de f em que ou não existe são denominados de PONTOS CRÍTICOS DE f. Assim ao determinarmos os valores de x em que teremos apenas os CANDIDATOS a pontos de máximo e de mínimo locais de f, mas não necessariamente os pontos de máximo ou de mínimo locais de f. 
 Neste ponto uma pergunta é bastante natural: se for um ponto crítico de f, ou seja, se , como podemos saber se é um ponto de máximo ou de mínimo local de f? Para dar uma essa pergunta vamos fazer algumas definições:
Definição:
O gráfico de f(x) é côncavo para cima (ou tem concavidade voltada para cima) no intervalo aberto I se, exceto pelos pontos de tangência, a curva y = f(x) está, nesse intervalo, sempre no semi-plano acima de cada reta tangente a ela nesse intervalo, conforme ilustra a figura s seguir:
Neste gráfico a curva y = f(x) é côncava para cima, para valores de x em um certo intervalo aberto I. Isto quer dizer que, exceto pelos pontos de tangência, a curva y = f(x) está sempre no semi-plano acima de cada reta tangente a ela. Neste caso, à medida em que x cresce, cresce também o coeficiente angular da
reta tangente à curva no ponto (x, f(x)), na figura passa de negativo a positivo.
O gráfico de f(x) é côncavo para baixo (ou tem concavidade voltada para baixo) no intervalo aberto I se, exceto pelos pontos de tangência, a curva y = f(x) está, nesse intervalo, sempre no semi-plano abaixo de cada reta tangente a ela nesse intervalo, conforme ilustra a figura s seguir:
Neste gráfico a curva y = f(x) é côncava para baixo, para valores de x em um certo intervalo aberto I. Isto quer dizer que, exceto pelos pontos de tangência, a curva y = f(x) está sempre no semi-plano abaixo de cada reta tangente a ela. Neste caso, à medida em que x cresce, cresce também o coeficiente angular da reta tangente à curva no ponto (x, f(x)), na figura passa de positivo a negativo.
Pode-se demonstrar que Sendo f(x) derivável duas vezes nos pontos do intervalo aberto I, então:
i) Se f’’(x) > 0 para todo , então a curva y = f(x) é côncava para cima em I;
ii) Se f’’(x) < 0 para todo , então a curva y = f(x) é côncava para baixo em I.
Não demonstraremos esse resultado aqui, mas daremos o seguinte argumento de razoabilidade:
Se f’’(x) > 0 nos pontos então, a função f’(x) é estritamente crescente em I. Assim, f’(x) cresce à medida em que x cresce, desse modo, temos a curva y = f(x) côncava para cima em I.
Se f’’(x) < 0 nos pontos então a função f’(x) é decrescente em I. Assim, f’(x) decresce à medida em que x cresce, desse modo, temos a curva y = f(x) côncava para baixo em I.
III) O ponto P = (x0; f(x0)) é um ponto de inflexão da curva y = f(x) se esta curva é côncava para cima (ou para baixo) em um intervalo com ou e côncava para baixo (respectivamente, para cima) em um intervalo , com real ou Isto quer dizer que o ponto P = (x0; f(x0)) é um ponto de mudança do sentido de concavidade do gráfico de f, conforme ilustra a figura abaixo:
Ora, como já vimos a derivada segunda de f é o indicador apropriado para conhecermos a concavidade do gráfico de f. Assim, se f’’(x) e contínua, os candidatos a pontos de inflexão são os pontos (x; f(x)) para os quais f’’(x) = 0. Aqui também devemos tomar muito cuidado, pois o fato não garante que seja um ponto de inflexão de f, conforme ilustra o exemplo a seguir: Se considerarmos a função dada por segue que e portanto e no entanto evidentemente não é um ponto de inflexão de f conforme ilustra a diagrama a seguir:
Na verdade para que um ponto do domínio de f seja um ponto de inflexão de f é preciso que e que mude de sinal em .
IV) Um ponto do domínio de f é dito um ponto de PONTO DE MÁXIMO GLOBAL DE f quando para todo x pertencente ao domínio de f e é chamado de PONTO DE MÍNIMO GLOBAL DE f quando para todo x pertencente ao domínio de f
V) Como determinar os pontos de um intervalo , nos quais f atinge seus valores máximo e mínimo, se I é um intervalo aberto ou ilimitado, e f é contínua em I? Neste caso, a resposta é:
Sendo f contínua em um intervalo I, comparamos os valores de f nos extremos que efetivamente pertencem ao intervalo com os valores de f nos seus pontos críticos desse intervalo. Comparamos ainda esses valores com os limites de f(x) quando x tende a extremos que não pertencem aointervalo.
Como reforço estratégico na pesquisa de máximos e mínimos locais, temos também o seguinte resultado chamada de TESTE DA DERIVADA SEGUNDA (que não demonstraremos aqui):
Sendo f uma função contínua, com f’ também contínua, em um intervalo aberto I, e x0 um ponto de I, então:
i)Se f’(x0) = 0 e f’’(x0) > 0, então x0 é um ponto de mínimo local de f;
ii)Se f’(x0) = 0 e f’’(x0) < 0, então x0 é um ponto de máximo local de f;
Aplicação 16
Esboce a representação gráfica função , definida por no plano cartesiano.
Aplicação 17
Cada uma das funções f dadas abaixo tem como domínio todo o conjunto R. Para cada uma delas,
a) Calcule f’(x) e determine os intervalos em que f é crescente e aqueles em que f é decrescente;
b) Determine os pontos de máximo locais e os pontos de mínimo locais de f, bem como os valores de f(x) nesses pontos;
c) Calcule f’’(x) e determine os intervalos em que a curva y = f(x) é côncava para cima e aqueles em que ela é côncava para baixo;
d) Determine os pontos de inflexão da curva y = f(x);
e) Calcule as raízes de f (soluções da equação f(x) = 0), quando isto não for difícil;
f) Calcule os limites e ;
g) A partir dos dados coletados acima, faça um esboço do gráfico de f.
i) 
ii) 
iii) 
Aplicação 18:
Um recipiente de lata, de forma cilíndrica e aberto no topo, deve ter capacidade de v litros. Determine a razão entre a altura h e o diâmetro d da base de modo que a quantidade de lata usada na sua fabricação seja a menor possível.
Aplicação 19
Um estudante quer construir um viveiro retangular para seu hamster, usando a parede de um cômodo como um dos lados e cercando os demais três lados com 3 metros de tela disponíveis, obtendo a maior área retangular possível. Quais devem ser as dimensões de seu viveiro?
TEOREMA DE ROLLE
Se é uma função contínua e derivável em tal que , então existe tal que .
Apesar de não darmos uma demonstração rigorosa deste resultado aqui, vamos dar um argumento de razoabilidade, a saber: Ora, sabemos que o valor da derivada de uma função f num ponto corresponde geometricamente ao coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f naquele ponto, Assim o que o teorema acima está afirmando é que se é uma função contínua e derivável em tal que , então existe tal que a reta tangente ao gráfico de f em x=c é horizontal, o que é bastante razoável conforme ilustram as figuras abaixo:
TEOREMA DO VALOR MÉDIO
Se é uma função contínua e derivável em , então existe tal que 
Também não daremos aqui uma demonstração rigorosa para esse resultado. Mais uma vez vamos apresentar um argumento de razoabilidade, a saber: Se tomarmos sobre o gráfico de f os pontos e podemos traçar uma reta (s) secante ao gráfico de f cujo coeficiente angular é . Assim o que o teorema do valor médio está afirmando é que existe pelo menos um ponto em que a reta tangente ao gráfico de f no ponto seja paralela à reta secante s, conforme ilustram as figuras a seguir:
17
:
fIRR
Ì®
o
xI
Î
o
xI
Î
o
xI
Î
(
)
'
o
fx
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
.
o
oo
o
fxfx
fxfxxx
xx
-
-=-
-
0
xx
®
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
limlim.
oo
o
oo
xxxx
o
fxfx
fxfxxx
xx
®®
éù
-
-=-Þ
éù
êú
ëû
-
ëû
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
limlimlim.lim
oooo
o
oo
xxxxxxxx
o
fxfx
fxfxxx
xx
®®®®
-
-=-Þ
-
(
)
(
)
(
)
lim'.0
o
oo
xx
fxfxfx
®
-=Þ
(
)
(
)
(
)
(
)
lim0lim
oo
oo
xxxx
fxfxfxfx
®®
-=Þ=
0
x
0
x
0
x
:
fRR
®
(
)
yfx
=
(
)
fxx
=
(
)
(
)
0
lim00
x
fxf
®
==
(
)
(
)
(
)
(
)
000
0
'0limlimlim
0
xxx
fxffxx
f
xxx
®®®
-
===
-
000
limlimlim11
xxx
x
x
xx
+++
®®®
===
(
)
000
limlimlim11
xxx
x
x
xx
+++
®®®
-
==-=-
(
)
0
'0lim
x
x
f
x
®
=
kR
Î
(
)
(
)
(
)
..'
kfxkfx
=
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
'''
fxgxfxgx
±=±
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
.''..'
fxgxfxgxfxgx
=+
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
'..'
'
fxfxgxfxgx
gx
gx
æö
-
=
ç÷
èø
()21
fxx
=+
3
()1
fxx
=+
()3
fxx
=-
2
()
3
x
fx
x
+
=
-
(
)
(
)
,
ooo
Pxfx
=
()cos2
x
fxxsenx
=-+
2
0
()4
fxxparax
==
0
()233
fxxparax
=+=
432
0
()56940
fxxxxxparax
=+-+-=
432
0
()56940
fxxxxxparax
=+-+-=
2
0
2
539
()5
5
xx
fxparax
x
+-
==
+
3
yx
=
ysenx
=
3
x
p
=
:
fAB
®
(
)
(
)
,
oo
Pxxfxx
=+D+D
(
)
yfx
=
:
gBC
®
(
)
zgy
=
:
hAC
®
(
)
(
)
(
)
hxgfx
=
(
)
(
)
(
)
(
)
'.'
hxgfxfx
=
:
hRR
®
(
)
(
)
8
2
1
hxx
=+
24
()(321)
fxxx
=++
(
)
2
32
()26
fxxxx
=-+-+
0
x
D®
4
21
()
32
x
fx
x
+
æö
=
ç÷
-
èø
()35
fxx
=+
3
2
21
()
32
x
fx
xx
-
æö
=
ç÷
+-
èø
2
()32
fxxx
=+
(
)
2
()cos
fxx
=
(
)
232
().1
fxxsenx
=+
(
)
2
()ln3
x
fxxe
=+
(
)
cos
x
x
fx
xe
=
(
)
2
3
fxxsenx
=
(
)
'0
fx
¹
xA
Î
(
)
1
xfy
-
=
(
)
(
)
(
)
1
1
'
'
fy
fx
-
=
:
fRR
+
®
(
)
log
a
fxx
=
aR
Î
01
a
<¹
(
)
2
log
fxx
=
(
)
(
)
2
log
fxsenx
=
(
)
(
)
1
ln2
fxx
x
=+
(
)
ln
fxx
=
(
)
x
fxx
=
:
fRR
®
(
)
3
fxxx
=+
(
)
(
)
(
)
345
,,,...
fff
(
)
(
)
n
fx
:
fRR
®
(
)
3
52
fxxx
=++
(
)
(
)
3
fx
(
)
(
)
limlim
oo
xoxo
fxxfx
y
m
xx
D®D®
+D-
D
==
DD
(
)
3
x
fxe
=
(
)
(
)
10
0
f
(
)
cos2
yx
=
x
yxe
-
=
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
111222
,,,,...,,
nnn
PxfxPxfxPxfx
===
IR
Ì
(
)
(
)
1212
xxfxfx
<Þ<
12
,
xxI
Î
(
)
(
)
1212
xxfxfx
<Þ>
(
)
'0
fx
>
(
)
,
xab
Î
[
]
,
ab
(
)
'0
fx
<
o
P
(
)
,
ab
(
)
,
cab
Î
(
)
'
fb
=+¥
(
)
lim'
xb
fx
-
®
=+¥
(
)
,
ab
(
)
,
cab
Î
(
)
'
fb
=-¥
(
)
lim'
xb
fx
-
®
=-¥
(
)
(
)
0
o
yfxmxx
-=-
o
axb
<<
(
)
(
)
o
fxfx
³
(
)
(
)
o
fxfx
£
(
)
,
ab
(
)
0
,
xab
Î
(
)
0
'0
fx
=
0
x
2
yx
=
0
x
:
fRR
®
(
)
3
fxx
=
(
)
2
'3
fxx
=
(
)
'00
f
=
0
0
x
=
(
)
'0
fx
=
(
)
'
fx
o
x
(
)
2,4
o
P
=
(
)
0
'0
fx
=
xI
Î
xI
Î
xI
Î
xI
Î
(
)
,
o
x
a
a
-¥
(
)
,
o
x
b
IR
Ì
b
+¥
(
)
''0
o
fx
=
o
x
:
fRR
®
(
)
4
fxx
=
(
)
2
''12
fxx
=
(
)
''00
f
=
0
o
x
=
:
fIR
®
o
x
(
)
''
fx
o
x
o
x
(
)
(
)
o
fxfx
£
(
)
(
)
o
fxfx
³
(
)
IDf
Ì
:
fRR
®
(
)
32
3
fxxx
=-
o
xI
Î
(
)
lim
x
fx
®-¥
(
)
lim
x
fx
®+¥
(
)
2
21
fxxx
=-++
(
)
32
69
fxxxx
=-+
(
)
2
2
3
1
x
fx
x
+
=
+
[
]
:,
fabR
®
(
)
,
ab
(
)
(
)
fafb
=
(
)
,
cab
Î
(
)
'0
fc
=
(
)
(
)
lim
oo
xo
fxxfx
x
D®
+D-
D
(
)
(
)
(
)
(
)
'
fbfafcba
-=-
(
)
(
)
,
Aafa
=
(
)
(
)
,
Bbfb
=
(
)
(
)
s
fbfa
y
m
xba
-
D
==
D-
(
)
(
)
,
Ccfc
=
(
)
'
o
fx
(
)
(
)
(
)
'lim
oo
o
xo
fxxfx
fx
x
D®
+D-
=
D
o
xx
+D
o
x
(
)
(
)
(
)
'lim
o
o
o
xx
o
fxfx
fx
xx
®
-
=
-
(
)
'
o
fx
(
)
o
fxtg
=a
'
a
(
)
f'xm0
==
(
)
yfx
=
(
)
(
)
(
)
'
ooo
yfxfxxx
-=-
(
)
'0
o
fx
¹
1
r
s
m
m
=-
(
)
(
)
(
)
0
1
'
o
o
yfxxx
fx
-=--
(
)
''
x
dfdy
yfxDf
dxdx
====
(
)
(
)
(
)
(
)
nn
xx
xx
a
yfxyfx
c
xnNnx
senxx
xsenx
x
x
ee
aaa
x
xa
-
==
Î
-
1
''
0
,
cos
cos
1
ln
.ln
1
log
ln
f:RR
®
(
)
n
fxx
=
nN
Î
(
)
n1
f'xnx
-
=
(
)
fxsenx
=
(
)
f'xcosx
=