RVicente_MetodosQuantitativos_aula6

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Métodos Quantitativos
PROF. DR. Renato Vicente
Aula 6A
Revisão 
Método Estatístico
Amostra
População
Estatística 
Descritiva
Teoria de 
Probabilidades
Inferência
Estatística
Linha do Tempo da Estatística
Jogos de Azar
Teoria de 
Probabilidades
Teoria de 
Evolução
1
2
3
Inferência Estatística
Aritmética do Estado
Métodos Não-
paramétricos
0 10002000 aC 1500 1750 1870 1930 1960 1980
Demografia
Teoria de 
Erros
Computadores 
Eletrônicos
1 2 3
Estatística Descritiva: Variáveis qualitativas
Classes de qualitativas: 
Setores, barras, barras, rosa 
de Nightingale
Estatística Descritiva: Variáveis quantitativas
60
80
100
120
140
R
an
ki
n
g
 d
o
 P
IB
 (
d
o
 m
ai
s 
p
o
b
re
 
p
ar
a 
o
 m
ai
s 
ri
co
)
Quant X quant : Dispersão
0
20
40
60
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
Índice de Desenvolvimento Humano
R
an
ki
n
g
 d
o
 P
IB
 (
d
o
 m
ai
s 
p
o
b
re
 
p
ar
a 
o
 m
ai
s 
ri
co
)
Quant X quant : Dispersão
Estatística Descritiva: Distribuições de variáveis 
aleatórias
Histograma
Boxplot
Estatística Descritiva: Resumindo informação
Histogramas ou tabelas de freqüência
Rol dos dados
Média e Desvio Padrão
Sumário dos 5 números: Min, Segundo 
Quartil (25%), Mediana (50%), Terceiro 
Quartil (75%), Máx
Moda e Largura a Meia altura+ robusto
Método Estatístico
Amostra
População
Estatística 
Descritiva
Teoria de 
Probabilidades
Inferência
Estatística
Probabilidades: Calculando Riscos de 
Extrapolação
População
Média desconhecida=x
Amostra real estimativa 
da média = x1 
Média desconhecida=x
Dada uma única amostra de tamanho n, qual seria o 
intervalo que conteria a média populacional 
desconhecida em 95 % das vezes ? 
Probabilidades: Calculando Riscos de 
Extrapolação
População
Amostra real 
Estimador= x1 
Amostras 
hipotéticas do 
mesmo tamanho
População
Grandeza desconhecida=x
1. Imaginamos um número bem grande de amostras aleatórias 
do mesmo tamanho.
2. Imaginamos que calculamos valores estimados em cada um 
delas. Estes valores estimados estariam distribuídos em 
torno do valor desconhecido da grandeza. 
3. A Teoria de Probabilidades nos permite então descrever a 
distribuição destes valores.
Inferência Estatística
Amostra
População
Inferência
Estatística
A teoria de probabilidades nos permite estimar a 
partir de uma amostra um intervalo com confiança 
definida para os valores na população. Para isso 
calculamos um estimador de intervalo. 
Inferência Estatística
Suponha que queiramos determinar a MÉDIA POPULACIONAL de uma 
quantidade. A amostra tem tamanho n. Calculamos a média amostral:
E o desvio padrão amostral:
O intervalo de confiança é :
c depende do nível de confiança desejado e do número de dados n
Estatística T 
Quando a amostra for pequena teremos que fixar uma confiança (por exemplo, 
95%) e procurarmos pelo valor de c em uma tabela conhecida como estatística T. 
http://www.dim.fm.usp.br/info/tabelat/tabelat.php
Por exemplo, nossa amostra de crânios etruscos tem n=4:
141 148 132 138
Digamos que desejamos estimar um intervalo com confiança 95% 
para a média da população. Começamos por calcular a média:
Média=(141+148+132+138)/4 = 139,75
Calculamos em seguida o desvio padrão amostral:
DPA = 6,65
Estatística T 
Por exemplo, nossa amostra de crânios etruscos tem n=4:
141 148 132 138
Digamos que desejamos estimar um intervalo com confiança 95% para a média 
da população. Começamos por calcular a média:
Média=(141+148+132+138)/4 = 139,75
Calculamos em seguida o desvio padrão amostral:
DPA = 6,65DPA = 6,65
O número de graus de liberdade é n-1=3 (df=3). Consultando a tabela usamos 
t(0.975), pois queremos um intervalo com 2,5% em cada lado (95% no total, 
portanto). Na tabela obtemos t(0.975)= 3,18. 
Assim teremos o seguinte intervalo com confiança de 95%:
139,75-3,18*6,65/RAIZ(4) < MÉDIA POP < 139,75+3,18*6,65/RAIZ(4)
IC_MédiaPop(95%) = [129,150]
Aula 6B
Regressão 
Biometria: Regressão Linear
i 1 2 3 4 5 6 7
x(i) 11.2 12.4 13.5 15.7 17.1 18.5 19.0
y(i) 3.0 3.2 4.0 4.8 4.8 4.9 5.6
http://www.stat.wvu.edu/SRS/Modules/Applets/Regression/regression.html
http://www.math.csusb.edu/faculty/stanton/probstat/regression.html
Regressão Linear
As distâncias entre as 
observações e a reta escolhida 
são aleatórias.
A melhor reta é aquela que 
minimiza a soma total destas 
distâncias (mínimos 
quadrados)
http://www.stat.wvu.edu/SRS/Modules/Applets/Regression/regression.html
http://www.math.csusb.edu/faculty/stanton/probstat/regression.html
A qualidade do ajuste é 
medida pelo R2 (quadrado da 
correlação de Pearson) que 
significa a fração da variação 
que é explicada pelo ajuste. 
Assim R2=1 indica ajuste 
perfeito.
Aula 6C
Testes de Hipóteses 
Popper: Método Indutivo
Em 1934 Karl Popper publicou a Lógica da 
Pesquisa Científica. Neste livro Popper procura 
delimitar hipóteses científicas a partir da 
propriedade de falseabilidade, ou seja, a partir da 
possibilidade de realizar-se um experimento que 
contradiga previsões deduzidas de uma hipótese 
científica.
H -> C1, C2, C3, ... Cn
Como em geral não é possível verificar todos os 
experimentos possíveis, não seria possível provar
uma hipótese. Mas apenas uma observação 
contraditória seria suficiente para rejeitá-la.
Também não é possível garantir que as mesmas 
consequências não possam emergir de outras 
hipóteses.
Teste de Significância: valor p
Em 1925 Fisher publicou um livro que viria a ser o 
primeiro manual de métodos estatísticos: 
Statistical Methods for Research Workers . Neste 
livro são apresentadas técnicas para avaliação do 
VALOR-p, medida da probabilidade de obtermos 
resultados iguais ou mais extremos do que nossas 
observações dado que uma HIPÓTESE NULA 
H0 seja verdadeiraH0 seja verdadeira
Quanto menor p, mais improvável a observação 
se H0 for verdadeira.
Se p< nível de significância (usualmente 5%) 
rejeitamos H0. Se p>5% não-rejeitamos H0.
Poderia haver outra explicação, mas não há 
evidência contra H0.
Ronald A Fisher 
(1890-1962)
http://www.amstat.org/publications/jse/v16n3/pvalueapplet.html
Neyman e Egon Pearson: Testes de 
Hipóteses
Neyman e Pearson (filho de 
Karl Pearson, odiado por R.A. 
Fisher) notaram que os testes 
de significância podem ser 
aplicados de forma mais efetiva 
quando a Hipótese nula é quando a Hipótese nula é 
comparada à uma Hipótese 
Alternativa. 
Egon Pearson 
(1895-1980)
http://www.amstat.org/publications/jse/v16n3/pvalueapplet.html
Jerzy Neyman 
(1894-1981)
Comparando médias: Teste T
Grupo 
controle
Grupo 
em tratamento
Suponhamos duas amostras em um experimento com dois tratamentos. AS 
distribuições amostrais são representadas acima
Comparando médias: Teste T
variabilidade 
média
variabilidade 
alta
Dependendo da variabilidade observada a diferença entre médias será mais 
ou menos significativa. 
variabilidade 
baixa
Comparando médias: Teste T
sinal
ruído Variabilidade dos grupos
Diferença entre as médias
A estatística T mede a relação sinal ruído da diferença entre as médias 
amostrais . Após calcular o valor t. Basta observar a significância em uma 
tabela T. A Hipótese nula corresponde a médias idênticas. A hipótese 
alternativa a médias diferentes.
Tipos de Erros
Inocente Culpado
Condenado Erro TIPO I Correto
Liberado Correto Erro TIPO II
H0 verdadeira H1 verdadeira
Rejeita H0 Erro TIPO I CorretoRejeita H0 Erro TIPO I Correto
Não rejeitaH0 Correto Erro TIPO II
Tipos de Erros
H0 verdadeira H1 verdadeira
Rejeita H0 Erro TIPO I Correto
Não rejeita H0 Correto Erro TIPO II
culpadoinocente
http://www.intuitor.com/statistics/CurveApplet.html
aparência de culpa
Criminoso
s espertos 
com bons 
advogados 
Inocentes
suspeitos
Tipo ITipo II
Poder e Significância de um Teste
H0 verdadeira H1 verdadeira
Rejeita H0 Erro TIPO I Correto
Não rejeita H0 Correto Erro TIPO II
O poder de um teste é a probabilidade de que o teste rejeite uma 
hipótese nula falsa. Ou seja é a probabilidade de que H1 seja julgada 
verdadeira quando realmente for verdadeira. 
http://www.intuitor.com/statistics/CurveApplet.html
Alternativamente é a chance de que o teste não cometa um erro do Tipo 
II, ou seja será 1-β=1-P(Erro Tipo II).
A probabilidade de erros do tipo I é a significância do teste α=P(Erro 
Tipo I). Normalmente fixa-se primeiro a significância (1% ou 5%), a partir 
disso define-se o intervalo de rejeição da hipótese nula. O poder do 
teste é conseqüência desta escolha, do tamanho da amostra e da 
própria amostra. Testes com poder muito baixo são pouco informativos.