1 Flexão

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FLEXÃO 
FLEXÃO 
Flexão é a deformação sofrida por um elemento estrutural devido a 
ação de um momento fletor. 
Momento Fletor é um momento que faz com que as seções 
transversais de um elemento estrutural girem em torno de eixos que 
são paralelos às seções e que, ao mesmo tempo, são 
perpendiculares ao eixo longitudinal, que passa pelo centro de cada 
seção do elemento 
O Eixo Longitudinal é a linha que une os centroides de todas as 
seções transversais do elemento. 
Com a deformação, o Eixo Longitudinal assume a forma de uma 
curva plana 
Eixo assume a forma 
de uma curva plana 
Eixo 
Longitudinal 
A flexão pode ser provocada por cargas aplicadas perpendicularmente 
ao eixo longitudinal de um elemento, ou por conjugados (momentos) 
que atuam em torno de um eixo perpendicular ao eixo longitudinal. 
A flexão é uma solicitação típica de vigas e eixos de transmissão. 
Vigas são elementos estruturais delgados que suportam carregamentos 
aplicados perpendicularmente ao seu eixo longitudinal. 
Eixos de transmissão são casos particulares de vigas, pois suportam 
carregamentos aplicados à sua direção longitudinal e ainda podem 
transmitir movimento e potência. 
Em geral, as Vigas são barras longas e retas, com área de seção 
transversal constante e classificadas conforme o modo como são 
apoiadas. 
Assim tem-se: 
 
Viga simplesmente apoiada – é suportada por um vínculo fixo em 
uma extremidade e um apoio simples na outra extremidade. 
Viga apoiada com extremidade em balanço – viga na qual uma ou 
ambas as extremidades ultrapassam os apoios, ficando tais 
extremidades em balanço. 
Viga em balanço – é uma viga que possui uma extremidade 
engastada, enquanto que a outra está livre, ou seja, não possui apoio. 
Em função dos carregamentos aos quais estão submetidas, as Vigas 
desenvolvem, internamente, dois tipos de cargas: um Esforço Cortante 
(força cortante ou força cisalhante) e um Momento Fletor. 
Em geral, tanto o Esforço Cortante (V) como o Momento Fletor (M) 
variam de ponto para ponto ao longo do comprimento da viga. 
Assim, normalmente, o projeto de uma viga é baseado na análise 
desses dois tipos de solicitações V e M. 
Então, um dos primeiros passos no projeto de uma viga é justamente 
a determinação dos esforços internos, Esforço Cortante (V) e o 
Momento Fletor (M), que atuam em cada seção e ao longo do 
comprimento da viga. 
Um modo de fazer isso é encontrar uma equação para V e para M em 
função de uma posição arbitrária x, ao longo do comprimento da viga, 
tal como no exemplo a seguir. 





 −= xLwV x 2
.)(
( )2)( ..2 xxL
wM x −=
Obtendo-se as equações de V e M em função de x para todo o 
comprimento da viga, as mesmas podem ser representadas em gráficos 
denominados Diagramas de Esforço Cortante e Momento Fletor. 
Diagrama de Momento Fletor → 
Diagrama de Esforço Cortante → 





 −= xLwV x 2
.)(
( )2)( ..2 xxL
wM x −=
Os valores máximos tanto de V como de M podem ser obtidos 
diretamente desses diagramas. 
Em geral, as expressões de V e de M são descontínuas, ou seja, as 
equações mudam ao longo do comprimento da viga. A mudança ocorre 
a partir dos pontos onde há uma mudança no carregamento. Na viga 
mostrada a seguir, por exemplo, há três equações de V e três equações 
de M, pois há três trechos com carregamentos distintos: AB, BC e CD. 
Por essa razão, as equações de V e de M devem ser determinadas para 
cada trecho da viga 
Convenção de Sinal para Vigas 
A fim de padronizar os cálculos, é fundamental a adoção de uma 
convenção de sinal, de modo a definir quando V e M serão positivos ou 
negativos 
As direções positivas são as seguintes: 
- Esforço Cortante interno positivo V 
provoca uma rotação em sentido 
horário no seguimento da viga no 
qual atua; 
- Momento Fletor interno positivo M 
causa compressão nas fibras 
superiores e tração nas inferiores. 
FLEXÃO EM 
VIGAS RETAS 
Uma viga reta é aquela cujo eixo longitudinal (linha que une os 
centroides de todas as seções transversais da viga) é uma linha reta. 
Para estudar os efeitos da flexão em vigas retas serão adotadas as 
seguintes considerações: 
- O material da viga é homogêneo e isotrópico; 
- A seção transversal da viga deve ter pelo menos um eixo de simetria; 
- O momento fletor ao qual a viga está submetida deve atuar em torno 
de uma linha central perpendicular ao eixo de simetria da viga 
inicialmente, para entender como se comporta uma viga submetida à 
flexão, vamos analisar um elemento prismático reto, feito de material 
altamente deformável, com seção transversal quadrada, marcado por 
linhas longitudinais e transversais, que formam um reticulado, e que 
será submetido a um momento fletor M. 
- As linhas longitudinais se tornam curvas e as linhas transversais 
permanecem retas; 
Ao se aplicar o momento fletor M ao elemento, as linhas do reticulado 
tendem a se deformar segundo o padrão mostrado na figura. 
A partir desse simples experimento, observa-se o seguinte: 
- Também observa-se, que há um alongamento das fibras do material 
na parte inferior e um encurtamento na parte superior; 
Fibras 
Encurtadas 
Fibras 
Alongadas 
- Conclui-se que entre essas duas regiões deve existir uma superfície, 
denominada superfície neutra. 
- Na superfície neutra não haverá mudança nos comprimentos das 
fibras longitudinais do material. 
Superfície 
Neutra 
APÓS A DEFORMAÇÃO ANTES DA DEFORMAÇÃO 
Fibras 
Encurtadas 
Fibras 
Alongadas 
Superfície 
Neutra 
A partir das observações anteriores, vamos procurar agora aplicá-las a 
um caso mais geral. 
Para tanto, primeiramente, vamos estabelecer um elemento reto, com 
seção transversal genérica qualquer, orientado de acordo com um 
sistema de eixos x, y e z, estabelecidos de acordo com a regra da mão 
direita. 
Observação: Embora a seção transversal seja genérica, vamos 
considerar que ela possua pelo menos um eixo de simetria, no caso, o 
eixo y. 
1) O eixo longitudinal x, situado na superfície neutra, não sofre 
qualquer mudança no comprimento e assumirá a forma de uma curva 
plana localizada no plano de simetria x-y; 
Admitindo que as observações anteriores sejam válidas, é possível 
estabelecer três premissas sobre o modo como o momento fletor M 
deformará o material: 
2) As seções transversais da viga, que eram planas antes da flexão, 
permanecem planas após a flexão; 
3) Qualquer deformação da seção transversal dentro de seu próprio 
plano será desprezível. 
O eixo z que se encontra no plano da seção transversal e em torno do 
qual a seção gira é denominado de eixo neutro. 
Seções Planas, 
permanecem planas 
ANTES DA DEFORMAÇÃO 
APÓS A DEFORMAÇÃO 
Para mostrar como o material se deformará, isola-se um segmento da 
viga de comprimento Δx, situado a uma distância x de uma das 
extremidades da viga. 
Antes da flexão, ds=dx. 
Quando o momento fletor M deforma o 
elemento, o ângulo entre as seções 
transversais torna-se dθ 
Com isso, a fibra ds sofrerá uma contração e 
assumirá o valor ds’ 
Tanto ds como ds’ podem ser obtidos em 
função do raio de curvatura ρ e do ângulo dθ 
θρ
θρ
dyds
ddxds
).('
.
−=
==
ds
dsds −
=
'ε
Para mostrar o que ocorre após a flexão, vamos identificar uma fibra de 
comprimento ds, situada a uma distância y da fibra dx da viga. 
θρ
θρθρε
d
ddy −−
=
).(
Substituindo-se as equações de ds e ds’, na equação 
da deformação específica ε tem-se: 
θρ
θρθθρε
d
ddyd −−
=
.
ρ
ε y−=
A partir da equação anterior pode-se tirar 
algumas conclusões sobre a deformação 
específicaε : 
- Seu módulo é diretamente proporcional a y, ou 
seja, ela é máxima nos pontos em que y é 
máximo,; 
-Seu módulo é inversamente proporcional a ρ ; 
-Ela é negativa para valores positivos de y, 
e positiva para valores negativos de y. 
Realizando-se as devidas simplificações e resolvendo a 
equação chega-se uma equação para ε : 
Se a seção transversal permanece plana após a flexão, é uma indicação 
de que ela simplesmente gira em torno do eixo neutro. 
 
Diante desse fato, é possível estabelecer uma relação entre a maior 
deformação específica εmax e a deformação específica de qualquer 
outro ponto da seção ε, por meio de uma simples semelhança de 
triângulos: 
maxεε ⋅




=
c
y
yc
εε
=max
Isolando-se ε chega-se: 
max.σσ 




=
c
y
Chega-se a uma primeira equação para a tensão, 
dada por: 
E
e
E
max
max
σ
εσε ==
Admitindo-se que as tensões e as deformações 
internas não superem o limite de proporcionalidade 
do material, pode-se fazer uso da Lei de Hooke. 
 
Assim: 
Ec
y
Ec
y max
max ..
σσεε 




=⇒




=
Substituindo-se essas expressões na equação 
anterior e fazendo-se as devidas simplificações: 
A ao se analisar a equação anterior, observa-se que a tensão σ só pode ser 
determinada se conhecermos a posição do eixo neutro, uma vez que: 
 
- Y, que é a posição da fibra onde atua σ, é medida a partir do eixo neutro z; 
 
- c, que é a posição da fibra onde atua σmax, também é medida a partir do eixo 
neutro z. 
max.σσ 




=
c
y
Outra observação que pode ser feita pela análise da equação anterior é que ela 
ainda não relaciona o efeito, a tensão, com a causa, o momento fletor M. 
 
0==∑ xR FF
0.. max =





∫
A
dA
c
y σ
0=⋅∫ dAσ
Com relação à posição do eixo neutro, esta pode ser determinada a partir 
da aplicação da equação de equilíbrio na direção x, como será 
apresentado a seguir. 
0== ∫∑ dFFx
0. ==∫ ∫
A A
dAdF σ
max.σσ 




=
c
y
Mas 
então 
então 
Logo: 
Sabe-se que: 
0. =∫
A
dAy
0.max =∫
A
dAy
c
σ
A integral anterior nada mais é do que o somatório dos momentos de primeira 
ordem ou momentos estáticos das pequenas áreas dA em relação ao eixo 
neutro z. 
 
O resultado dessa integral só será zero, o eixo z for um eixo centroidal. 
 
Conclusão: o Eixo Neutro z é um eixo centroidal. 
Com relação à equação anterior, pode-se 
fazer a seguinte análise: 
-A tensão σmax não é zero, assim como c 
não é zero; 
-- Logo, o produto só resultará no valor 
zero, se: 
Como σmax e c são constantes tem-se que: 
MMM zzR == ∑)(
∫ 



=
A
dA
c
yyM ... maxσ
c
I
M
=maxσentãodAI
A
y∫= .
2
Estabelecida a posição do eixo neutro, é preciso agora relacionar a tensão com o 
momento fletor M. 
 
Essa relação pode ser obtida a partir da aplicação da equação de equilíbrio de 
momentos em torno do eixo neutro z: 
dAdF ⋅= σ
∫ ∫ 



==
A A
dA
c
ydFyM .. maxσ
∫=
A
dFyM .
∫=
A
dA
c
M y .2maxσ
 Logo, para que a equação anterior represente de forma verdadeira o valor de 
σmax, ou seja, uma tensão de compressão, torna-se necessário inserir um sinal 
negativo na frente da equação, de tal forma que ela pode ser escrita como: 
c
I
M
−=maxσ
c
I
M
=maxσ
Analisando-se a figura, observa-se que a tensão σmax é uma tensão de 
compressão. 
I
cM .
max −=σ
c-Distância medida a partir do eixo neutro e perpendicularmente a este 
até o ponto mais afastado da seção transversal, onde ocorre σmax; 
σmax- Tensão normal máxima devido à flexão , que ocorre no ponto mais 
afastado do eixo centroidal ou eixo neutro 
M- Momento interno resultante determinado pelo método das seções e 
pelas equações de equilíbrio; 
I- Momento de inércia da área da seção transversal calculado em torno 
do eixo centroidal que coincide com eixo neutro; 
I
yM .
−=σ
Então: 
Uma vez tendo-se uma equação para σmax pode-se também obter uma equação 
geral para a tensão de flexão em qualquer ponto da seção. 
 
Para tanto, basta substituir a expressão de σmax na equação geral de tensão σ, 
tal como apresentado a seguir: 





−




=
I
cM
c
y ..σ





−




=⇒




=
I
cM
c
y
c
y ... max σσσ
I
yM .
−=σ
y- Distância medida a partir do eixo neutro e perpendicularmente a este 
até o ponto onde deseja-se determinar o valor de σ. 
σ- Tensão normal devido à flexão , 
M- Momento interno resultante determinado pelo método das seções e 
pelas equações de equilíbrio; 
I- Momento de inércia da área da seção transversal calculado em torno 
do eixo centroidal que coincide com eixo neutro; 
Assim, a equação que permite determinar a 
tensão de flexão para qualquer ponto da seção 
transversal de um elemento submetido a um 
momento fletor M é dada por: 
Onde: 
CONCENTRAÇÃO DE 
TENSÕES 
Concentração de Tensões 
Fator de Concentração de Tensões 
Efeito da Concentração de Tensões 
Fator de Concentração de Tensões 
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